Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vladimíra Pavlicová
|
|
- Roman Beran
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimíra Pavlicová Webová aplikace pro výuku základních poznatků z matematiky na střední škole Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Robová Jarmila, CSc. Studijní program: Geografie Studijní obor: Geografie a matematika se zaměřením na vzdělávání 2010
2 Ráda bych poděkovala vedoucí své bakalářské práce, paní RNDr. Jarmile Robové, CSc., za velmi pečlivé pročtení a podnětné rady i nápady, stejně jako za milý a ochotný přístup, kterého se mi od ní vždy dostalo. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 24. května 2010 Vladimíra Pavlicová 2
3 Obsah Abstrakt / Abstract... 4 Úvod... 5 Uživatelská dokumentace Seznámení se s pojmy Číselné obory Druhá odmocnina Algebraické výrazy Absolutní hodnota reálného čísla Mocniny Mocniny s přirozeným mocnitelem Cvičení Mocniny s celým mocnitelem Cvičení Mnohočleny Výrazy Cvičení Početní operace s mnohočleny Cvičení Rozklad mnohočlenů Cvičení Seznam použitých matematických symbolů...69 Závěr...70 Literatura...72 Nakládání s prací
4 Abstrakt Název práce: Webová aplikace pro výuku základních poznatků z matematiky na střední škole Autor: Vladimíra Pavlicová Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. vedoucího: robova@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Předložená práce má za cíl sloužit jako výukový materiál pro žáky prvního ročníku středních škol, zaměřený na základní poznatky z matematiky. Konkrétně se zabývá učivem o mocninách a mnohočlenech. Tvoří ji dvě dílčí části učební text, v němž je učivo srozumitelně vysvětleno a ilustrováno pomocí řešených příkladů; a úlohy k procvičení, v nichž si žáci mohou své znalosti ověřit, případně doplnit. Jelikož má práce formu webové aplikace, důraz je kladen na interaktivní prvky (např. krokovaná řešení, testy s výběrem z několika možností), které zvyšují atraktivitu předkládaného učiva pro žáky. Žáci si tudíž mohou učivo osvojit a procvičit zábavnou formou. Ke zvýšení zájmu žáků o tuto práci může přispět i fakt, že je volně přístupná na internetu. Klíčová slova: základní poznatky z matematiky, mocniny, mnohočleny Abstract Title: Web application for teaching basic knowledge of mathematics at secondary school Author: Vladimíra Pavlicová Department: Department of Mathematics Education Supervisor: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Supervisor's address: robova@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The presented work is intended to serve as a teaching material for pupils of the first year of secondary school, focusing on the basic knowledge of mathematics. Specifically, it deals with the subject matter of powers and polynomials. It is composed of two sub-sections an educational text, in which the subject matter is clearly explained and illustrated through solved examples, and exercises to practice, which allow pupils to check, eventually improve, their knowledge. Owing to the fact that the work has a form of a web application, the emphasis is placed on interactive elements (for example, step-by-step solutions, multiple choice tests), which increase the attractiveness of the presented curriculum for pupils. Pupils are therefore able to learn and practice the curriculum by enjoyable way. The fact that the application is freely available on the Internet can also increase pupils interest in it. Keywords: basic knowledge of mathematics, powers, polynomials 4
5 Úvod Osvojení si základních poznatků z matematiky na střední škole je nezbytné pro úspěšné další studium, a to nejen matematiky, ale i jiných přírodních věd. Základní znalosti z matematiky, ačkoli tomu většina středoškolských žáků nevěří, jsou vyžadovány i na mnohých oborech vysokých škol, včetně těch humanitních. Přesto toto učivo činívá potíže. Žáci tudíž mnohdy již na počátku svého studia na střední škole získají mezery ve svých znalostech, které je pak dlouhodobě provází. Navíc, matematika bývá obecně považována za těžší a méně záživný předmět. Z výše uvedených důvodů jsem si zvolila k vypracování takovou práci, která by měla žákům prvních ročníků středních škol pomoci zvládnout tyto matematické základy, a to zábavnější formou. Cílem mé práce je tedy vytvoření interaktivních webových stránek zaměřených na výuku základních poznatků z matematiky na střední škole. Ty budou sestávat ze dvou dílčích částí učebního textu, v němž bude jednoduše a srozumitelně vysvětleno učivo, provázené pro větší názornost řešenými příklady; a úlohami k procvičení, v nichž si žáci budou moci své znalosti ověřit, případně doplnit. Vzhledem k rozsahu práce se omezím na výklad a procvičení učiva o mocninách a mnohočlenech, přičemž v kapitole o mocninách se budu věnovat jen mocninám s přirozeným a celým mocnitelem. Důraz budu klást zejména na úlohy k procvičení, které by měly být nápadité a rozmanité, aby přitáhly žákovu pozornost a aby hravou formou přispěly k pochopení probraného učiva. Na závěr bych ráda uvedla ještě několik slov k vlastní motivaci pro psaní této práce. Jako možná budoucí učitelka matematiky a zeměpisu bych chtěla vytvořit práci, jež bude blízká mému studijnímu zaměření, tedy didaktice matematiky. Ačkoli nestuduji informatiku, tudíž tvorba webových stránek je pro mne novinkou, líbí se mi, že výsledky mé práce budou dostupné na internetu. Myslím si, že je to v současné době narůstajícího významu informačních technologií výborný prostředek, jak žáky zaujmout a formou hry je naučit důležité 5
6 matematické učivo. Doufám, že tato práce bude pro žáky přínosná a přispěje k rozšíření jejich matematických znalostí, a snad i k jejich většímu zájmu a zaujetí pro matematiku jako takovou. 6
7 Uživatelská dokumentace Webová aplikace je ke dni 24. května 2010 dostupná na adrese: V této webové aplikaci je vždy vlevo, s výjimkou titulní strany, umístěna navigace, zbylou část strany pak zabírá vlastní text práce. Za barvu pozadí byla zvolena světla žlutá, celá práce je pak laděna do pestrých barev. Záměrem bylo vybrat takové barvy, které by upoutaly, ale nenarušily žákovu pozornost, a zároveň ho příjemně naladily k učení. Práce je vždy členěna na vysvětlující učební text a interaktivní cvičení. V učebním textu se setkáme s definicemi, graficky oddělenými od ostatního textu oranžovou barvou, např.: Symbolem a označujeme absolutní hodnotu reálného čísla a, přičemž platí: 1. pro a 0 je a = a, 2. pro a < 0 je a = a. Věty, případně jiná důležitá tvrzení, jsou v zeleném rámečku: Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. Symbolem hvězdička je označeno učivo navíc, tj. nadstavbové poznámky nebo cvičení: a R: a 1 = a Pro větší přehlednost jsou v textu umístěny interaktivní odkazy, jejichž pomocí se přesuneme do jiné kapitoly, např. Algebraické výrazy, nebo na začátek aktuální stránky [nahoru]. 7
8 Důležitou složkou práce jsou interaktivní cvičení, ty se člení do třech typů: 1. Krokované řešení Zadání: 2.6 Vypočítej: a) = Pro zobrazení další části výpočtu je potřeba kliknout na symbol otazník. 1. krok: a) = = 2. krok: a) = = = 3. krok: a) = = = 3 4 = 4. krok: a) = = = 3 4 = Výběr správné odpovědi z několika možných Zadání: Přiřaď odpovídající výrazy 8
9 Možné řešení: Po kliknutí na tlačítko Znova všechny vyplněné odpovědi zmizí a k dispozici je opět prázdné zadání. 3. Výběr s možnostmi ano, ne Zadání: 3.9 Rozhodni, zda-li jsou následující tvrzení o mnohočlenu 27x 2 6x + 14 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně. b) Jedná se o trojčlen. c) Absolutní člen je roven 27. d) Koeficient u kvadratického členu je roven 27. e) Koeficient u lineárního členu je roven -6. Možné řešení: Kliknutím na modře podtržený odkaz se otevře v novém okně vysvětlující text. 9
10 Kapitola 1 Seznámení se s pojmy Vítej na stránkách, které se věnují mocninám a mnohočlenům! V této, tedy úvodní, kapitole jsou vysvětleny základní pojmy, které jsou důležité pro pochopení dalšího textu. Druhá kapitola se pak zabývá mocninami, třetí kapitola se soustřeďuje na mnohočleny. Na konci práce je uveden seznam použitých matematických symbolů. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Číselné obory o Algebraické výrazy o Absolutní hodnota reálného čísla o Druhá odmocnina Jak webové stránky používat? V učebním textu jsou pro větší přehlednost barevně odlišena důležitá tvrzení, a to dle následujícího schématu: oranžová barva značí definice, zelená barva upozorňuje na věty, příp. důležitá tvrzení. 10
11 Na stránkách také nalezneme interaktivní prvky, a to nejen v podobě odkazů (s výjimkou navigace jsou všechny odkazy podtržené), ale i dvou symbolů: hvězdička reprezentuje učivo navíc, i po rozkliknutí zůstává za textem otazník symbolizuje řešení, po rozkliknutí zmizí Cvičení slouží k ověření získaných znalostí, proto se řešení ukáže až po: vybrání odpovědi kliknutí na symbol otazník kliknutí na možnost ano, ne Pokud je za cvičením k dispozici tlačítko Znova ( ), kliknutím na toto tlačítko se vymažou předchozí odpovědi a můžeš začít vyplňovat cvičení od začátku. V některých cvičeních, pokud uděláš chybu, se ti objeví odkaz na text, který danou problematiku vysvětluje. Pokud na něj klikneš, daný odkaz se ti otevře pro lepší přehlednost v novém okně. 11
12 1.1 Číselné obory Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený. Pozn. Uzavřenost číselného oboru vzhledem k početní operaci znamená, že výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné číselné množiny je číslo, které také patří do této číselné množiny. Obor všech přirozených čísel je tvořen množinou čísel 1, 2, 3,, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení. Značíme N. Obor všech celých čísel je tvořen množinou obsahující všechna přirozená čísla, všechna čísla opačná k přirozeným číslům a nulu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání a násobení. Značíme Z. Pozn. Opačným číslem a k číslu a rozumíme takové číslo, pro něž je a + a = 0. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné (např. a = 2, a = 2), opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné (např. b = 6, b = 6). Opačné číslo k číslu nula je číslo nula. Příklad Rozhodni, zda-li následující tvrzení jsou pravdivá: a) Číslo 0 náleží do oboru přirozených čísel. Ne, číslo 0 náleží do oboru celých čísel. 12
13 b) Opačným číslem k číslu 11 je číslo 11. Ano, toto tvrzení je pravdivé. c) Číslo 2 náleží do oboru přirozených čísel. Ne, číslo 2 náleží do oboru celých čísel. Obor všech racionálních čísel je tvořen množinou obsahující taková čísla, která lze zapsat ve tvaru a, kde a Z, b N, na které jsou definovány bez b omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Značíme Q. Pozn. Množinu racionálních čísel můžeme také popsat tak, že obsahuje čísla s konečným desetinným rozvojem (např. číslo 1,25) a nekonečným periodickým desetinným rozvojem (např. číslo 1, 3). Obor všech reálných čísel je tvořen množinou obsahující všechna racionální čísla a čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Značíme R. Pozn. Reálné číslo, které zároveň nepatří do množiny racionálních čísel, nazýváme iracionální číslo. Příkladem iracionálního čísla je číslo π (tj. Ludolfovo číslo, které představuje podíl obvodu libovolné kružnice a jejího průměru), které má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj. 13
14 Pozn. Každé reálné číslo můžeme znázornit jako bod na číselné ose. A zároveň každý bod na číselné ose reprezentuje jedno reálné číslo π Pozn. Zápis a Z čteme a náleží Z. Tento zápis znamená, že číslo a je prvkem oboru celých čísel. Příklad Rozhodni, zda platí: a) 3,14 Q Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. b) π Q Ne, Ludolfovo číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, proto do oboru racionálních čísel nepatří. c) 0, Q Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. Vztah mezi číselnými množinami lze schematicky vyjádřit: R N Z Q 14
15 Na závěr se podíváme, jaké vlastnosti má každý číselný obor: Pro každá tři čísla a, b, c z číselného oboru platí: 1. asociativnost sčítání a násobení a + b + c = a + b + c a b c = a b c 2. komutativnost sčítání a násobení a + b = b + a a b = b a 3. existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání a násobení 0 + a = a (s výjimkou oboru přirozených čísel) 1 a = a 4. distributivnost násobení vzhledem ke sčítání a b + c = ab + ac Pozn. Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je takový prvek, který neovlivní výsledek početní operace. Pozn. V oboru přirozených čísel platí existence neutrálního prvku jen vzhledem k násobení. Existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo Druhá odmocnina Jestliže a, b jsou dvě nezáporná reálná čísla taková, že pro ně platí b b = a, pak číslo b nazýváme druhá odmocnina z čísla a. Značíme b = a. Číslo a nazýváme základ odmocniny (odmocněnec), symbol je odmocnítko. 15
16 druhá odmocnina z čísla a b = a odmocnítko základ odmocniny Z definice tedy vyplývají dvě důležitá tvrzení: Druhou odmocninu umíme určit pouze z nezáporného reálného čísla. To znamená, že druhá odmocnina ze záporného čísla není v oboru reálných čísel vůbec definována. Druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo. Přestože platí 3 3 = 9 a zároveň 3 3 = 9, tak výsledek druhé odmocniny z devíti je jednoznačný, a to aby byla obě čísla, tj. a i b, nezáporná). 9 = 3 (protože v definici požadujeme, Příklad Vypočítej: a) 4 4 = 2, protože 2 2 = 4. b) = 4, protože 4 4 =
17 c) 25 Tato odmocnina není v oboru reálných čísel definována, protože druhou odmocninu umíme určit jen z nezáporného reálného čísla. d) = 9, protože 9 9 = 81. e) 6,25 6,25 = 2,5, protože 2,5 2,5 = 6, Algebraické výrazy Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy. Pozn. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno, které zastupuje čísla z určitého oboru. Konkrétní čísla, která se objevují ve výrazech, označujeme jako konstanty. Výraz je např. zápis Naopak výrazem není zápis Ve výrazu 3x 2y + yz jsou čísla 3, 2 konstanty, písmena x, y, z jsou proměnné z oboru reálných čísel. Více se s výrazy seznámíme v kapitole Výrazy. 17
18 1.4 Absolutní hodnota reálného čísla Symbolem a označujeme absolutní hodnotu reálného čísla a, přičemž platí: 1. pro a 0 je a = a, 2. pro a < 0 je a = a. Jaký je geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla? Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla od obrazu nuly na číselné ose. -a 0 a a a Důležité vlastnosti absolutní hodnoty reálného čísla a: 1. Pro všechna reálná čísla a je a 0, 2. pro všechna reálná čísla a platí a = a, 3. pro každé reálné číslo a platí a 2 = a. Příklad Vypočítej: a) 3 3 = 3 b) 2,5 2,5 = 2,5 18
19 c) = 1 8 d) = 3 4 e) x 2 x 2 = x 19
20 Kapitola 2 Mocniny Tato kapitola se dělí na dva dílčí celky. V prvním celku se dozvíme, co je mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká početní pravidla pro ni platí. V druhém celku pojem mocnina zobecníme, budeme se věnovat mocninám s celým mocnitelem. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Mocniny s přirozeným mocnitelem Cvičení o Mocniny s celým mocnitelem Cvičení 2.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem V matematice se setkáváme se složitými výpočty, přesto se matematikové snaží zapisovat své výsledky a výpočty co nejelegantněji, aby byly stručné a přehledné. Proto se místo zápisu používá elegantnější zápis 2 4. Obdobně místo součinu píšeme 2 4, tedy zápis pomocí mocniny. A jak vlastně mocninu s přirozeným mocnitelem definujeme? Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n platí: a n = a a a a n činitel ů 20
21 Výraz a n nazýváme mocnina, a je základ mocniny (mocněnec), n je mocnitel (exponent). mocnina a n mocnitel (exponent) základ mocniny (mocněnec) Tedy 2 4 = činitelé Z uvedené definice dále vyplývá, že: 1. Pro každé reálné číslo a platí a 1 = a, a R: a 1 = a 2. pro každé přirozené číslo n platí 1 n = 1 a 0 n = 0. n N: 1 n = 1 0 n = 0 Příklad Vypočítej: a) = = 27 b) = = 32 c) = 7 21
22 d) = = 0 e) = = 1 Nyní se podíváme, kdy je mocnina reálného čísla s přirozeným mocnitelem kladné a kdy záporné číslo. Je-li základ mocniny kladné reálné číslo (a > 0), tak je mocnina vždy kladná, což vidíme přímo z definice (součin kladných čísel je kladné číslo). Je-li základ mocniny záporné reálné číslo (a < 0), tak mohou nastat dva případy. Když je mocnitel sudé číslo, pak je mocnina číslo kladné (součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné). Je-li však mocnitel liché číslo, pak mocnina je číslo záporné (součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné). Je-li základ mocniny číslo nula, pak mocnina je rovna nule. a > 0 a n > 0 a < 0 a n > 0 pro n sudé a n < 0 pro n liché a = 0 a n = 0 Příklad Rozhodni, zda-li je mocnina a číslo kladné: a) Ano, protože a > 0. b) ( 5) 3 Ne, protože a < 0 a n je liché. c) Ano, protože a > 0. 22
23 d) ( 7) 8 Ano, protože a < 0 a n je sudé. e) ( 4) 9 Ne, protože a < 0 a n je liché. Pozor! Je rozdíl mezi zápisem ( 2) 4 a 2 4. V prvním případě je a = 2, tj. a < 0 a zároveň n je sudé, proto je podle tabulky tato mocnina číslo kladné. Tento výraz můžeme také přepsat jako ( 2) 4 = ( 1) = = 2 4 = 16. Ve druhém případě se vlastně jedná o výraz = 1 16 = 16, tudíž výsledek je číslo záporné. Abychom mohli počítat i o něco složitější příklady, uvedeme si věty pro počítání s mocninami, které lze odvodit z definice mocniny. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá přirozená čísla r, s platí: 1. a r a s = a r+s, 2. a r s = a r s, 3. ar a s = ar s, 4. a b r = a r b r, a 0, r > s, 5. a b r = a r br, b 0. Důkaz: 1. a r a s = a a a r činitel ů 2. a r s = a a a r činitel ů a a a s činitel ů s = a a a r činitel ů = a a a r +s činitel ů = a r+s a a a r činitel ů s závorek a a a r činitel ů = = a a a r s činitel ů = a r s 3. ar a r činitel ů = a a... a s a a a s činitel ů s činitel ů r>s a a... a = r s činitel ů a a... a a a a s činitel ů = a r s 23
24 4. a b r = a b a b a b = a a a b b b = r krát r činitel ů r činitel ů = a r b r 5. a b r = a b a b r krát a b r činitel ů = a a... a = ar b b b b r r činitel ů Příklad Vypočítej: a) = = 2 5 = 32 b) = = 5 3 = 125 c) = 76 4 = 7 2 = 49 d) = = 4 9 = 36 e) = =
25 A jakým způsobem sčítáme a odčítáme mocniny? Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. Příklad Vypočítej: a) = = 4 8 = 32 b) = = 3 16 = 48 c) = = = 24 d) = = = 28 25
26 Cvičení 2.1 Přiřaď : A B C D E F G a) 1 6 = A B C D E F G OK b) 1 17 = A B C D E F G OK c) 2 3 = A B C D E F G OK d) = A B C D E F G OK e) 0 4 = A B C D E F G OK f) = A B C D E F G OK g) = A B C D E F G OK 2.2 Rozhodni, zda-li je mocnina číslo kladné: a) 9 3 OK b) 9 3 OK c) d) OK OK e) 6 4 OK f) OK g) OK h) OK i) OK 26
27 2.3 Přiřaď: A B C D E F G H , a) = A B C D E F G H OK b) = A B C D E F G H OK c) = A B C D E F G H OK d) 10 4 = A B C D E F G H OK e) = A B C D E F G H OK f) 3 3 = A B C D E F G H OK g) 0,3 2 = A B C D E F G H OK h) 3 3 = A B C D E F G H OK 2.4 Rozhodni, zda-li je mocnina číslo kladné: a) ( 5) 4 OK b) 5 4 OK c) ( 8) 5 OK d) 8 5 OK e) 12 2 OK f) ( 12) 2 OK 2.5 Vypočítej: a) = = 52 = 25 b) = = 5 2 = 10 c) = = = 18 27
28 d) = = = 1 e) = = = 9 4 f) = = = = Vypočítej: a) = = = 3 4 = 81 b) = = = = = 9 c) = = = = 25 d) = = = 2 33 = 2 27 = 54 = Vyjádři pomocí mocnin o základu 2, 3 nebo 5: a) = = = b) = = = 2 3 c) = = = d) = = 2 = = = 28
29 2.8 Vypočítej: a) 5x 2 y 4 2 xy 2 2 2xy 3 10x y 2 = 5x 2 y 4 2x 2 y 4 8x 3 y 3 10x y 2 = 2x2 y b) 3x 3 y 2 2 2xy 2 3 = 9x 6 y 4 8x 3 y 6 2xy 2 3 xy 4 4x 2 y 4 3x 4 y 4 = 6x3 y 2 c) x 5 y 6 xy 2 3 = x 5 y 6 27x 9 y 12 = 3x 7 y 4 3x 2 y 4 2 3x 3 y 4 9x 4 y 8 x 3 y Vypočítej za předpokladu, že x, y, z R 0 a a, b, c N: a) (x 2a+b y a ) c (x c y b ) a = x 2ac +bc y ac x ac y ab = x 3ac +bc ac +ab y b) x a +b z 3b y 2a +3 x b = x a +2b z b y 2 z 2b y 2a +5 c) x 2b y 3a +2 y x b = x 2b y 3a +2 z 4a +c = x b y 3a+1 z 2a+c z 2a z 4a +c z 2a y x b d) ( x 3+5a y a ) b ( z b +c z a y b x 2b)a = x 3b +5ab y ab z ab z ab +ac y ab x 2ab = x3b+3ab z ac 2.2 Mocniny s celým mocnitelem Víme už, co je to mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká pravidla pro ni platí. Co se ale stane, když za mocnitele dosadíme celé číslo? Nejdříve se znovu podíváme na pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Když si jednotlivé věty pečlivě pročteme, zjistíme, že ve všech může být mocnitelem libovolné přirozené číslo. Jenom v jedné větě je pro mocnitele připojena další podmínka. O kterou větu se jedná? Přeci o pravidlo dělení mocnin se stejným základem! K této větě je připojena podmínka, že pro mocnitele r, s platí: r > s. 29
30 Zkusme se podívat, co se stane, když tato podmínka nebude platit. Tedy když r = s nebo r < s. 1. případ: r = s Je zřejmé, že rovnost ar r = 1 platí pro každé nenulové reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo r. psát: 1 = ar a r = ar r = a 0. a Využijeme-li navíc vztah 0 = r r, pak můžeme Proto definujeme: Pro každé reálné nenulové číslo a platí a 0 = 1. Pozn. Požadujeme, aby číslo a bylo nenulové, protože výraz 0 0 není definován. Z uvedeného zápisu je vidět, že námi zkoumaná věta ar že r = s. a s = ar s platí i v případě, 2. případ: r < s Pro každé nenulové reálné číslo a a pro všechna přirozená čísla r, s, která splňují druhý případ, tedy r < s platí, že: a r r činitel ů = a a... a a s a a a s činitel ů = r činitel ů a a... a a a a a a a r činitel ů s r činitel ů = 1 a a a s r činitel ů = 1 as r, kde s r je přirozené číslo. Odtud tedy definujeme: Pro každé nenulové reálné číslo a a pro každé celé číslo k platí a k = 1 a k. Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost: a r a s = 1 a s r = a s r = a s+r = a r s, přičemž r s je záporné celé číslo. Pak ale vidíme, že věta ar = a s ar s platí i v případě, že r < s. 30
31 Příklad Vypočítej: a) = 1 (podle definice) b) 0 0 Tento výraz není definován. c) = = 1 8 d) 0,1 3 0,1 3 = = = A nyní si můžeme uvést všechny věty pro počítání s mocninami s celým mocnitelem. Pozorný čtenář si jistě všimne, že tyto věty odpovídají větám pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Pouze zmizela podmínka pro mocnitele ve větě o dělení mocnin se stejným základem. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá celá čísla r, s platí: 1. a r a s = a r+s, 2. a r s = a rs, 3. ar a s = ar s, a 0, 4. a b r = a r b r, 5. a b r = a r br, b 0. 31
32 Příklad Vypočítej za předpokladu, že x, y, z jsou nenulová reálná čísla: a) 2x 3 y 4 z 2 3x 3 y 6 z 3 2x 3 y 4 z 2 3x 3 y 6 z 3 = 6x 0 y 2 z 5 = 6y2 z 5 b) 3x 2 y 4 z 3 2 9x 3 y 6 z 3 3x 2 y 4 z 3 2 9x 3 y 6 z 3 = 1 9 x4 y 8 z 6 9x 3 y 6 z 3 = xy 2 z 9 = xz9 y 2 c) 16x 7 y y 5 3 z 2 x 4 z 3 16x 7 y 3 z y 5 x 4 z 3 3 = 16x 7 y 3 z 2 y 5 3 = 16x 7 y 3 2x 4 z 3 z 2 y 15 8x 12 z 2y 12 9 = = 2y 12 z 11 x 5 z 11 x 5 Na závěr si ještě uvedeme způsob, jakým v matematice i v dalších přírodních vědách zapisujeme velká čísla, aby byl zápis přehlednější. Využíváme k tomu mocniny se základem 10, tedy zápis vypadá takto: a 10 n, kde 1 a < 10, n Z. Exponent n odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla. Poznámka: Tento typ zápisu se nazývá semilogaritmický tvar. Číslu a se říká mantisa. Příklad Zapiš ve tvaru a 10 n, kde 1 a < 10, n Z: a) = 3,
33 2 = A B C D E F G OK b) = 5, c) 0, ,002 8 = 2, d) 0, , = 9, Cvičení 2.10 Přiřaď: A B C D E F G a) = A B C D E F G OK b) = A B C D E F G OK c) 1 2 d) 1 3 A B C D E F G OK = 1 3 e) = 2 A B C D E F G OK f) = A B C D E F G OK g) = A B C D E F G OK 33
34 2.11 Zapiš jako mocninu a n (a R 0, n Z): a) = OK b) = OK c) = OK d) a 2 a 4 a 3 = a 24 a 3 a 5 OK e) a 2n +1 a 3 n = f) n +4 a a 6n n a n 3 a 4 a 2 a 3 = a 6 a 5 a 1 OK OK 34
35 g) a 3n +4 a 2n 2 = n +2 a a 6n 8 n +6 a OK 2.12 Vypočítej: a) = = 3 b) = = = 27 c) = = 2 5 d) 0,5 2 0, , ,2 3 = = = Zjednoduš následující výrazy za předpokladu, že a, b, c, d R 0 : a) 3a 4 b 6 c 4 d 2 6a 2 b 6 c 3 d 4 = 18a 2 b 0 c 7 d 6 = 18a 2 d 6 c 7 b) 7a 2 b 4 c 3 d 7 = a 5 b 3 d 2 14a 3 b 7 c 4 d 5 2c c) 15a 3 b 6 c 7 8a 2 b 4 d 2 = 12d5 2b 7 d 3 5ac 6 a 2 b 5 c d) 3a 2 b 3 c 4 d 5 3 a 4 b 3 d 2 3a 3 b a c 5 d = 6 b 9 c 12 d 15 c 10 d 4 = 3a 4 b 4 c 2 2 a 4 b 3 d 2 9a 6 b 8 d 13 e) 2ab 3 2 a c 4 d 5 c 3 3 c 2 2b 2 d = 8 d 4 a 15 c 9 = a 13 b a 2 b 6 8b 6 d 6 32c 17 d 2 f) b 4 d 2 3 a 2 bc 5 2 = b12 d 6 25a 6 b 8 d 12 = 5a 8 d 6 5a 6 b 2 c 4 5a 3 b 4 d 6 5a 6 b 2 c 4 a 4 b 2 c 10 c 14 35
36 2.14 Vyber odpovídající výraz: a) = 1, , , b) 23,5 = 2, , , c) = 6, , , d) 0,000 8 = 8, , , e) 0, = 6, , , f) 0,345 = 3, , , OK OK OK OK OK OK 36
37 2.15 Přepiš následující údaje tak, aby jejich číselná hodnota byla ve tvaru a 10 n, kde 1 a < 10, n Z: a) Světlo se pohybuje ve vakuu rychlostí v = km/s. v = km/s b) Obvod o rovníku je přibližně m. o = 6, m c) Průměr d červené krvinky se pohybuje kolem 0, m. d = 7, m 2.16 Daná čísla nejdříve zapiš ve tvaru a 10 n, kde 1 a < 10, n Z, a poté vypočítej: a) 0, = 4, , = = = 0,3 b) 0, ,004 = , , = = = 20 c) , = 2, , = = = d) , = , , , , = = 5,3 104 = Vypočítej za předpokladu, že x, y, z R 0 a a, b, c Z: a) x a b y 2a+2b x b y 2b = x a y 2a = (xy 2 ) a b) (x b y 2b ) c (x a z 3 ) b (x b z) a = x bc y 2bc (x 3c y 4c ) b x ab z 3b x ab z a = y 6bc z a 3b x 3bc y 4bc x 4bc c) x 2a z b y 4a 1 z 2 b x a +b y 2b 3 = x 2a z b y 2b 3 y 4a 1 z 2 b x a +b = x a b y 4a 2b +2 z 2 d) (x 2a y 3 ) c x b z z 4c b = x 2abc y 3bc x b z 4bc = c x 1 y 2c z bc x b y 2bc x2abc y bc z 5bc = (x 2a yz 5 ) bc 37
38 2.18 Vypočítej: a) = = = = 13 2 b) = = = = 18 9 = 2 38
39 Kapitola 3 Mnohočleny Tato kapitola se dělí na tři dílčí celky. V prvním celku se dozvíme, co to jsou výrazy a kde se s nimi můžeme setkat. Ve druhém celku se podíváme na speciální případ výrazu, a to mnohočlen. Naučíme se mnohočleny sčítat, odčítat, násobit i dělit. Třetí celek je věnován rozkladu mnohočlenů. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Výrazy Cvičení o Početní operace s mnohočleny Cvičení o Rozklad mnohočlenů Cvičení 3.1 Výrazy Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy. Pozn. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno, které zastupuje čísla z určitého oboru. Tento obor nazýváme obor proměnné. Konkrétní čísla, která se objevují ve výrazech, označujeme jako konstanty. 39
40 Výraz je např. zápis 3a + b, a n, x y 2, 5 x 3 + y. Výrazem naopak není zápis 7 2 (2. Pro lepší pochopení uvedených pojmů se podíváme na výraz 2πr, pomocí něhož vypočítáme obvod kruhu. Jedná se o výraz, kde konstantami jsou čísla 2 a π (jejich hodnota je stále stejná, konstantní). Proměnnou je v tomto případě písmeno r, vyjadřující poloměr daného kruhu (hodnota poloměru se pro různé kruhy mění, proměňuje se, a s ní i obvod kruhu). A jaký je obor proměnné r pro výraz 2πr? Díváme-li se na tento výraz jako na návod pro výpočet obvodu kruhu, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými čísly (poloměr kruhu, tedy proměnná r, nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly). Jestliže však výraz 2πr chápeme obecněji, jako určitý výraz se dvěma konstantami a jednou proměnnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla. Kromě oboru proměnné existuje i definiční obor proměnné. Do definičního oboru proměnné patří jen taková čísla, pro která daný výraz má smysl. To znamená, že po dosazení libovolného čísla z definičního oboru proměnné nenastane nepřípustná operace (dělení nulou, výraz nula na nultou, odmocňování záporného čísla, atd.). V našem případě je definiční obor proměnné tvořen všemi reálnými čísly. Pozn. Pozorný čtenář jistě zpozoroval, že řecké písmeno π [pí] jsme označili jako konstantu. Jak již víme z kapitoly o číselných oborech, písmeno π reprezentuje iracionální Ludolfovo číslo (jeho přibližná hodnota je 3,14). Pozn. Není-li v zadání úlohy obor proměnné uveden, bereme v úvahu ten nejobecnější možný (obvykle obor reálných čísel). Z tohoto oboru vynecháme ty hodnoty, pro které výraz nemá smysl, a tím dostaneme definiční obor proměnné. 40
41 Hodnotou výrazu pro dané hodnoty proměnných rozumíme výsledek získaný po dosazení daných hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací. Pozn. Do definičního oboru výrazu s více proměnnými patří jen taková čísla, pro která má daný výraz smysl. Příklad Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) 1+x 2 x Výraz má smysl pro všechna x R taková, že 2 x 0, tj. x 2. Pro x = 2 by nastala nepřípustná operace dělení nulou. Tedy x R 2. b) x x 5 y 2 9 Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit: x 5 0 y První podmínku lze přepsat jako x 5, druhou jako y 2 9, tj. y ±3. První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhá podmínka vylučuje dělení nulou. Tedy x R x 5, y R ±3. c) x 2 +2 y +3 z 6 2 Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. x , tj. x 2 2. Tato podmínka platí pro všechna x R, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule. 2. y + 3 > 0, tj. y > 3. 41
42 3. z 6 2 0, tj. z 6 2, tedy z 4, 8. První podmínka nám zaručí, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou podmínkou vyloučíme pod odmocninou všechna záporná čísla i nulu, abychom neodmocňovali záporné číslo ani nedělili nulou. Třetí podmínka zaručuje, že nebudeme dělit nulou. Tedy x R, y R y > 3, z R 4, 8. Příklad Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných: a) a+5, pro a = 3 4 a a a = = 8 1 = 8 b) x 2 y 2, pro x = 2, y = 6 x 2 y 2 = = 4 4 = 4 2 = 8 c) k 5 l+1 2 k, pro k = 4, l = 2 k 5 l k = = = = 1 18 d) 6 p 2+q, pro p = 5, q = 2 Pro zvolené hodnoty proměnných výraz nemá smysl. Po dosazení za proměnnou q ve jmenovateli by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou. S výrazy se v matematickém textu setkáváme často. Přehledný a snáze srozumitelný výraz totiž nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Srovnej: Podíl 42
43 pětinásobku součtu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu jednoduše zapíšeme jako 5 x+y x y. Příklad Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) součet šestinásobku třetí mocniny prvního čísla a třetiny absolutní hodnoty druhého čísla 6x y b) rozdíl druhé odmocniny dvojnásobku prvního čísla a druhé mocniny čtyřnásobku druhého čísla 2x 4y 2 c) součin dvojnásobku prvního čísla a čtvrtiny druhé odmocniny druhého čísla 2x 1 4 y d) podíl čtvrté mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty dvojnásobku druhého čísla x 4 2y S výrazy se setkáváme také v podobě vzorců, a to nejen v matematice, ale i v dalších vědách fyzice, chemii, zeměpisu (např. vzorec pro objem kvádru, výpočet rychlosti podle dráhy a času, vzdálenost dvou míst na Zemi podle jejich souřadnic). Výrazy nám pomáhají i při zápisu řešení slovních úloh. Příklad Petra má 3 sáčky, v každém z nich je m bonbónů. Tyto bonbóny chce rozdělit mezi svých k spolužáků. Pomocí výrazu napiš, o kolik se zmenší počet bonbónů 43
44 pro každého spolužáka, jestliže Petra chce obdarovat i l kamarádů z vedlejší třídy, a během cesty do školy už 5 % bonbónů snědla. Původní počet bonbonů pro každého spolužáka 3m k Počet spolužáků a kamarádů z vedlejší třídy k + l Počet bonbonů, které má Petra po příchodu do školy 3m 0,05 3m, tj. 0,95 3m Počet bonbonů, které dostane každý spolužák nebo kamarád 0,95 3m Zmenšení počtu bonbonů připadajících na spolužáka 3m k k+l 0,95 3m k+l Pozn. V této kapitole pracujeme s algebraickými výrazy, tj. s výrazy, v nichž za každou proměnnou dosazujeme z číselného oboru. Existují ale i nealgebraické výrazy, jako např. výraz A B. S nealgebraickými výrazy se setkáváme např. ve výrokové logice. Většinou lze z kontextu poznat, kdy výraz je či není algebraický. Proto můžeme slovo algebraický vynechat. Cvičení 3.1 Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) 3x + 5y 4 y Výraz má smysl pro všechna reálná x. Pro y musí platit, že y > 0. Tedy x R, y R y > 0. b) x 2 x+3 y 5 y+4 Výraz má smysl pro y 5 y 4. Pro x nejsou kladeny žádné omezující podmínky. 44
45 Tedy x R, y R 4, 5. c) x x 3 y y +2 Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. x 3 0, tj. x 3, 2. y 0, 3. y + 2 > 0, tj. y > 2. Tedy x R x 3, y R y > 2 y 0. d) x+5 y 2 4 y 2 +5 Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. x + 5 0, tj. x 5, 2. y 2 4 0, tj. y 2 4, tj. y ±2, 3. y > 0, tj. y 2 > 5. Tato podmínka je splněna vždy. Tedy x R x 5, y R ±2. e) x 3 x 4 3 Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. x 3 0. Tato podmínka je splněna vždy. 2. x 4 3 0, tj. x 4 3, tj. x 1, 7. Tedy x R 1, Urči, zda má výraz pro dané hodnoty proměnných smysl: a) b) x 3 x x 2 2, x = 3 x+y y 2 2 x, x = 4, y = 2 OK OK c) 2x 4x + 3y, x = 1, y = 0 OK d) x 5 y+2, x = 5, y = 2 OK e) x 2 x x+4, x = 4 OK 45
46 f) x 7+x, x = 6 OK 3.3 Napiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) součet trojnásobku absolutní hodnoty prvního čísla a dvojnásobku druhé odmocniny druhého čísla 3 x + 2 y b) rozdíl pětiny čtvrté mocniny prvního čísla a třetí mocniny dvojnásobku druhého čísla 1 5 x4 2y 3 c) součin šestiny absolutní hodnoty prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla 1 6 x y d) podíl druhé mocniny čtyřnásobku prvního čísla a trojnásobku absolutní hodnoty druhého čísla 4x 2 3 y 3.4 Slovní úloha Ve třídě, která jela na školní exkurzi, je 24 žáků. Dohromady měli za dopravu zaplatit k Kč. V den exkurze ale 3 žáci nepřišli, protože onemocněli. Zbytek žáků si koupil hromadnou jízdenku, na kterou byla 25% množstevní sleva. Každý žák tak oproti původnímu rozpočtu 9 Kč ušetřil. Jaká byla původní částka, kterou měli dohromady žáci za dopravu zaplatit? Kolik korun měl původně zaplatit za dopravu každý žák? Počet žáků ve třídě 24 Celková cena za dopravu k Kč Původní cena za dopravu na žáka k Kč 24 Celková cena za dopravu po slevě 0,75k Kč 46
47 Skutečná cena za dopravu na žáka 0,75k 21 Kč Rozdíl původní a skutečné ceny za dopravu na žáka 9 Kč, tedy 9 = k 24 0,75k 21 9 = 21k k 504 = 21k 18k 504 = 3k 504 k = = Původní cena na žáka k 24 = = 63 Kč Původní celková cena za dopravu byla Kč. Původní cena za dopravu na žáka byla 63 Kč. 3.5 Slovní úloha Součet dvou přirozených čísel je 64. Trojnásobek prvního čísla je roven druhému číslu. Urči tato čísla. a + b = 64 3a = b a + 3a = 64 4a = 64 a = 16 b = 3a = 3 16 = 48 Zadání vyhovuje dvojice čísel a = 16, b = Slovní úloha Jakub a Jirka měli narozeniny. Na dárek pro Jirku přispělo 6 jeho kamarádů, celkově vybrali k Kč. Na dárek pro Jakuba přispělo o dva kamarády více než na dárek pro Jirku, a částka, kterou shromáždili, byla o 20 % větší než částka určená na dárek pro Jirku. Lucka, která přispívala na dárek pro oba kluky, 47
48 zaplatila dohromady 133 Kč. Kolik korun mají kamarádi k dispozici na koupi dárku pro Jirku? A kolik pro Jakuba? Částka na dárek pro Jirku k Kč Částka na dárek pro Jakuba 1,2k Kč Počet osob skládající se na dárek pro Jirku 6 Počet osob skládající se na dárek pro Jakuba 8 Lucka přispěla na oba dárky 133 Kč, tedy k 6 + 1,2k 8 = = 12 8k k = 8k k 40k + 36k = = 76k = 19k = 19k = 19k k = 420 Částka na dárek pro Jakuba 1,2 420 = 504 Kč. Kamarádi mají k dispozici 420 Kč na dárek pro Jirku a 504 Kč na dárek pro Jakuba. 3.7 Urči součet čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel takových, že: a) největší je rovno 3a 3a + 3a 1 + 3a 2 + 3a 3 = 12a 6 b) nejmenší je rovno 4z 3 4z 3 + 4z z z = 16z 6 48
49 3.8 Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) druhá mocnina podílu pětinásobku druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla 5x 2 y 2 b) druhá odmocnina z podílu třetí mocniny prvního čísla a druhé odmocniny čtyřnásobku druhého čísla x 3 4y c) druhá mocnina podílu druhé odmocniny ze součtu dvou čísel a součtu druhých odmocnin z těchto dvou čísel x + y x + y 2 d) podíl trojnásobku druhé odmocniny ze součtu prvního a druhého čísla a absolutní hodnoty čtyřnásobku prvního čísla 3 x + y 4x 3.2 Početní operace s mnohočleny Nechť je n přirozené číslo nebo nula, a 0, a 1,, a n jsou reálná čísla a x je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) n-tého stupně s jednou proměnnou x je výraz, který můžeme zapsat jako a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0, kde a n 0. Čísla a 0, a 1,, a n se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci a k x k se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování. Člen a 0 se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Člen a 1 x 1 se nazývá lineární člen a člen a 2 x 2 se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. 49
50 proměnná lineární člen a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 koeficienty kvadratický člen absolutní člen Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu exponentu proměnné v mnohočlenu. Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz a 1 x 1 + a 0, také lze zapsat jako ax + b) se nazývá lineární. Mnohočlen 2. stupně (tj. výraz a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0, také lze zapsat jako ax 2 + bx + c) se nazývá kvadratický. Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly. Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme. Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd. Například 4x 2 + 2x + 5 je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen 2. stupně, s proměnnou x. Jedná se o trojčlen (má tři sčítance). Koeficient u kvadratického členu je 4, koeficient u lineárního členu je 2. Absolutní člen je roven 5. Mnohočleny mohou mít obecně i více proměnných. Jako příklad mnohočlenu se dvěma proměnnými lze uvést výrazy 3x 5 + 2y 4 6x 3 y 2 + 7, 12x 2 8y. Příkladem mnohočlenu se třemi proměnnými jsou výrazy 2xy 6 z 4yz 3 + x 2 y, x + y 4 z
51 Sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů Z předcházejících kapitol již víme, že sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. U mnohočlenů bude platit obdobné pravidlo. Součet dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů (přičemž některé koeficienty můžou být rovny nule). Pozn. Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné i se stejnými mocniteli. Příklad Vypočítej: a) 2x 2 3x + 5x 2 + 7x 2x 2 3x + 5x 2 + 7x = 2x 2 + 5x 2 + 3x + 7x = 3x 2 + 4x b) 3x 3 + 2y 3xy x 4 + x 3 5xy 2 3x 3 + 2y 3xy x 4 + x 3 5xy 2 = 3x 3 + 1x 3 + 2y + 0y 3xy 5xy x 4 + 2x 4 = 4x 3 + 2y 8xy x 4 = = 2x 4 + 4x 3 + 2y 8xy + 3 Rozdíl dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že určíme součet prvního mnohočlenu a opačného mnohočlenu k druhému mnohočlenu. Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky (například opačným mnohočlenem k mnohočlenu 4x 5 2x + 3 je mnohočlen 4x 5 + 2x 3). 51
52 Příklad Vypočítej: a) 4x 3 + 5x 6x 3 2x 4x 3 + 5x 6x 3 2x = 4x 3 + 5x + 6x 3 + 2x = = 4x 3 + 6x 3 + 5x + 2x = 2x 3 + 7x b) 4x 2 2y 3 3x 3 y + 5 2x 2 + 3x 6x 3 y 2 4x 2 2y 3 3x 3 y + 5 2x 2 + 3x 6x 3 y 2 = 4x 2 2y 3 3x 3 y x 2 3x + 6x 3 y + 2 = 4x 2 2x 2 2y 3 + 0y 3 3x 3 y + 6x 3 y x 3x = 2x 2 2y 3 + 3x 3 y + 7 3x = 2x 2 3x 2y 3 + 3x 3 y + 7 Součin dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny tyto součiny sečteme. Příklad Vypočítej: a) 3x 2 5 2x 2 + x 3x 2 5 2x 2 + x = 3x 2 2x 2 + 3x 2 x 5 2x 2 5 x = = 6x 4 + 3x 3 10x 2 5x b) 2x 2 xy + 7 x 2y x 2 xy + 7 x 2y = 2x 2 x + 2x 2 2y 3 + 2x xy x + xy 2y 3 + xy x + 7 2y = = 2x 3 4x 2 y 3 + 4x 2 x 2 y + 2xy 4 2xy + 7x 14y = 52
53 = 2x 3 + 4x 2 + 7x 14y 3 4x 2 y 3 x 2 y + 2xy 4 2xy + 14 Počítáme-li součet, rozdíl nebo součin tří a více mnohočlenů, postupujeme obdobně. Pokud umíme mnohočleny násobit, můžeme vypočítat i jejich n-tou mocninu pro všechna n N. Druhou a třetí mocninu dvojčlenu můžeme také určit podle následujících vzorců: Pro všechna a, b R platí: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2, a b 2 = a 2 2ab + b 2, a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, a b 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3. Pozn. Je výhodné si tyto vzorce zapamatovat, neboť jejich použití usnadní mnohé výpočty, což dokládá následující příklad. Příklad Vypočítej: a) x x = x 2 2 2x = x 4 8x Jiný způsob řešení x = x 2 4 x 2 4 = x 2 x 2 + x x = = x 4 4x 2 4x = x 4 8x Součtem, rozdílem a součinem libovolných mnohočlenů je vždy mnohočlen. 53
54 Dělení mnohočlenů Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu a jednotlivé podíly pak sečteme. Příklad Vypočítej za předpokladu, že x R 0 : 3x 3 6x 2 y + 9xy 3x 3x 3 6x 2 y + 9xy 3x = 3x 3 3x + 6x 2 y 3x + 9xy 3x = = x 2 2xy + 3y Podílem mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen. Jestliže podílem mnohočlenů je mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů beze zbytku (viz předchozí příklad). Jestliže podílem mnohočlenů není mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů se zbytkem (viz následující příklad). Vzniklý výraz si můžeme rozdělit na dvě části. První část tvoří výraz, který je mnohočlenem, tzv. neúplný podíl. Druhou částí je výraz, který není mnohočlenem, označujeme jej jako zbytek. Pozn. Terminologie je obdobná jako u dělení čísel. Příkladem dělení čísel beze zbytku je např. výraz 8 = 4. Jako příklad dělení čísel se zbytkem lze uvést výraz = Příklad Vypočítej za předpokladu, že x R 0 : 6x 4 + x 2 8 2x 6x 4 + x 2 8 2x = 6x 4 2x + x 2 2x + 8 2x = 3x x 4 x 54
55 Mnohočlen 3x x je neúplný podíl. Člen 4 je zbytek (mocnina u proměnné 2 x v mnohočlenu může nabývat pouze libovolných kladných hodnot nebo nuly. V tomto členu je však rovna 1, jelikož 4 = x 4x 1, proto tento výraz není mnohočlenem). A jak vypočítáme podíl mnohočlenů? Omezíme se jen na případy mnohočlenů s jednou proměnnou, kdy bude zároveň platit, že stupeň mnohočlenu, který dělíme, je vyšší nebo roven stupni mnohočlenu, který je dělitelem. Postup je pak následující: 1. Nejdříve si členy obou mnohočlenů uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou s nejvyšším exponentem). 2. První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů. 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu. Pozn. Ve výrazu 6 3 = 2 je dělencem číslo 6, dělitelem číslo 3 a číslo 2 je jejich podíl. Příklad Vypočítej a stanov podmínky: a) 2x 3 + 4x x x 4 2x x x 4 x 2 = 4x x 2 x 2 1 = 4x 4 4x 2 4x 4 2x x 4 4x 2 = 2x 3 + 4x
56 Tyto kroky se většinou zapisují následovně: 4x 4 2x x 2 1 = 4x 2 (4x 4 4x 2 ) 2x 3 + 4x x 4 2x x 2 1 = 4x 2 2x (4x 4 4x 2 ) 2x 3 + 4x ( 2x 3 + 2x) 4x 2 2x x 4 2x x 2 1 = 4x 2 2x + 4 (4x 4 4x 2 ) 2x 3 + 4x ( 2x 3 + 2x) 4x 2 2x + 6 (4x 2 4) 2x + 10 V tomto případě je mnohočlen 4x 2 2x + 4 neúplný podíl, výraz 2x + 10 je zbytek. Pro všechna x R, pro které je x 2 1 0, tj. x 1, 1, platí: 4x 4 2x x 2 1 = 4x 2 2x x + 10 x 2 1 O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: 4x 2 2x x + 10 x 2 1 x 2 1 = 4x 4 2x
57 b) x 3 + 5x 3 3x 2 (x 1) x 3 3x 2 + 5x 3 x 1 = x 2 2x + 3 (x 3 x 2 ) 2x 2 + 5x 3 ( 2x 2 + 2x) 3x 3 (3x 3) 0 V tomto případě se jedná o dělení beze zbytku. Pro všechna x R, pro které je x 1 0, tj. x 1, platí: x 3 3x 2 + 5x 3 x 1 = x 2 2x + 3 O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: x 2 2x + 3 x 1 = x 3 3x 2 + 5x 3 Cvičení 3.9 Rozhodni, zda-li jsou následující tvrzení o mnohočlenu 27x 2 6x + 14 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně. OK b) Jedná se o trojčlen. OK c) Absolutní člen je roven 27. OK d) Koeficient u kvadratického členu je roven 27. OK e) Koeficient u lineárního členu je roven -6. OK 3.10 Rozhodni, zda-li jsou následující tvrzení o mnohočlenu 3y 7 12y 5 + 5y 2 8 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně. OK 57
58 b) Jedná se o čtyřčlen. OK c) Absolutní člen je roven -8. OK d) Koeficient u lineárního členu je roven 0. OK e) Koeficient u kvadratického členu je roven -12. OK 3.11 Vypočítej: a) 7x 3 2x 2 11x x 4 6x 3 + 5x 2 + 8x 6 = = 0x 4 + 3x 4 + 7x 3 6x 3 2x 2 + 5x 2 11x + 8x = = 3x 4 + x 3 + 3x 2 3x + 8 b) 3x 3 2x 2 y + 6y 2 5xy + 2x 3 x 2 + 3y xy = = 3x 3 2x 3 2x 2 y + 0x 2 y + 6y 2 + 3y 2 5xy + 10xy + 0x 2 x 2 = = x 3 2x 2 y + 9y 2 + 5xy x 2 c) 5x 4 3x 2 + 2x 6 7x 3 2x 2 + 8x + 3 = 5x 4 3x 2 + 2x 6 + 7x 3 + 2x 2 8x 3 = 5x 4 + 0x 4 3x 2 + 2x 2 + 2x 8x x 3 7x 3 = 5x 4 x 2 6x 9 7x 3 = 5x 4 7x 3 x 2 6x 9 d) 12x 3 y 7xy 2 3x 2 + y 9x 3 y + 2x 2 y 5x 2 3y = = 12x 3 y 7xy 2 3x 2 + y + 9x 3 y 2x 2 y + 5x 2 + 3y = = 12x 3 y 9x 3 y 7xy 2 + 0xy 2 3x 2 + 5x 2 + y + 3y + 0x 2 y 2x 2 y = = 3x 3 y 7xy 2 + 2x 2 + 4y 2x 2 y = 3x 3 y 2x 2 y 7xy 2 + 2x 2 + 4y 3.12 Vypočítej: a) 4x 3 + 2x 1 2x 2 4x + 3 = 4x 3 2x 2 + 4x 3 4x + 4x x 2x 2 + 2x 4x + 2x x x = = 8x 5 16x x 3 + 4x 3 8x 2 + 6x 2x 2 + 4x 3 = = 8x 5 16x x 3 + 4x 3 8x 2 2x 2 + 6x + 4x 3 = = 8x 5 16x x 3 10x x 3 58
59 b) 2x 2 y 3xy + y 2 2 2x + 3y = 2x 2 y 2x + 2x 2 y 3y + 3xy 2x + 3xy 3y + y 2 2x + y 2 3y + 2 2x + 2 3y = = 4x 3 y + 6x 2 y 2 6x 2 y 9xy 2 + 2xy 2 + 3y 3 4x 6y = = 4x 3 y + 6x 2 y 2 6x 2 y 7xy 2 + 3y 3 4x 6y c) (3x + 2y) 2 = (3x) x 2y + (2y) 2 = 9x xy + 4y 2 d) (2x 3) 3 = (2x) 3 3 (2x) x = 8x 3 36x x 27 e) (x 3y) 2 = x 2 2 x 3y + (3y) 2 = x 2 6xy + 9y 2 f) (3 + y) 3 = y y 2 + y 3 = y + 9y 2 + y Vypočítej a stanov podmínky, za kterých má dělení mnohočlenů smysl: a) 4x 3 2x 2 y x 2 y 2x 2 = 4x 3 2x 2 + 2x 2 y 3 2x x 2 y 2x 2 = 2x y 3 + 8y Výpočet platí za podmínky, že x R 0, y R. b) 6x 2 y 12xy + 3x 9 3y = 2x 2 4x + x y 3 y = 2x2 4x + x 3 Výpočet platí za podmínky, že x R, y R 0. y c) 2x 4 3x 3 5x 2 + 6x 2x + 3 = x 3 3x 2 + 2x (2x 4 + 3x 3 ) 6x 3 5x 2 + 6x ( 6x 3 9x 2 ) 4x 2 + 6x (4x 2 + 6x) 0 Pro všechna x R, pro která je 2x + 3 0, tj. x 3 2, platí: 2x 4 3x 3 5x 2 + 6x 2x + 3 = x 3 3x 2 + 2x 59
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1. ČÍSELNÉ OBORY
ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceAlgebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceAlgebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceAlgebraické výrazy pro učební obory
Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy
VíceVariace. Mocniny a odmocniny
Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára
9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára
VíceANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Více2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny
. Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceCelá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.
Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,
VíceCvičení z matematiky - volitelný předmět
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu
VíceVolitelné předměty Matematika a její aplikace
Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky
VícePoznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:
ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceAutoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:
Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceMOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01
matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceTEMATICKÝ PLÁN VÝUKY
TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu
VíceMatematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose
Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více6.1.2 Operace s komplexními čísly
6.. Operace s komplexními čísly Předpoklady: 60 Komplexním číslem nazýváme výraz ve tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro něž platí i =. V komplexním čísle a + bi se nazývá: číslo
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceVariace. Číselné výrazy
Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceLomené výrazy sčítání a odčítání lomených výrazů
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.15 Lomené výrazy sčítání a odčítání lomených výrazů Anotace: Prezentace připomene sčítání a odčítání zlomků. Žák použije poznatky zopakované při počítání se zlomky u zjišťování
VíceNapsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:
Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje
VíceCVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
VíceMatematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou
list 1 / 7 M časová dotace: 4 hod / týden Matematika 8. ročník M 9 1 01 provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu Číslo a proměnná druhá
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceRacionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se
teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceRozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly
Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
Vícevolitelný předmět ročník zodpovídá PŘÍPRAVA NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY 9. MACASOVÁ
Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky provádí operace s celými čísly (sčítání, odčítání, násobení
VícePythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy
Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VícePatří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceObecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceVýfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice
Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceDRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová
DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Vícepracovní listy Výrazy a mnohočleny
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Cvičení z matematiky 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence (Dílčí kompetence) 5 Kompetence k učení vybírat a využívat pro efektivní
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Více