Interpretace klauzule Atomy v klauzulích Prázdný antecedent/konsekvent Konjunkce/disjunkce atomů. Klauzulární logika. Interpretace klauzule
|
|
|
- Eliška Bednářová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Klauzulární logika Interpretace klauzule Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008
2 Jak na klauzuli p 1, p 2,..., p m q 1, q 2,..., q n p 1 &p 2 &... &p m q 1 q 2 ċ ċ ċ q n A K A K Nepravdivá (0): p 1 &p 2 &... &p m 1 q 1 q 2 ċ ċ ċ q n 0 Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při valuaci e, pokud zároveň všechny atomy antecedentu jsou pravdivé, všechny atomy konsekventu jsou nepravdivé.
3 Jak na klauzuli p 1, p 2,..., p m q 1, q 2,..., q n p 1 &p 2 &... &p m q 1 q 2 ċ ċ ċ q n A K A K Nepravdivá (0): p 1 &p 2 &... &p m 1 q 1 q 2 ċ ċ ċ q n 0 Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při valuaci e, pokud zároveň všechny atomy antecedentu jsou pravdivé, všechny atomy konsekventu jsou nepravdivé.
4 Jak na klauzuli p 1, p 2,..., p m q 1, q 2,..., q n p 1 &p 2 &... &p m q 1 q 2 ċ ċ ċ q n A K A K Nepravdivá (0): p 1 &p 2 &... &p m 1 q 1 q 2 ċ ċ ċ q n 0 Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při valuaci e, pokud zároveň všechny atomy antecedentu jsou pravdivé, všechny atomy konsekventu jsou nepravdivé.
5 Pravdivost klauzule Definice Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při ohodnocení e, jestliže v tomto ohodnocení je její antecedent pravdivý a konsekvent nepravdivý, tedy když jsou všechny atomy antecedentu interpretovány jako true a všechny atomy konsekventu jako f alse. V opačném případě je klauzule pravdivá ve struktuře. Proč? A K A K Z definice vyplývá, že klauzule je pravdivá v dané struktuře a ohodnocení, pokud je alespoň jeden atom v antecedentu nepravdivý nebo alespoň jeden atom v konsekventu pravdivý.
6 Pravdivost klauzule Definice Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při ohodnocení e, jestliže v tomto ohodnocení je její antecedent pravdivý a konsekvent nepravdivý, tedy když jsou všechny atomy antecedentu interpretovány jako true a všechny atomy konsekventu jako f alse. V opačném případě je klauzule pravdivá ve struktuře. Proč? A K A K Z definice vyplývá, že klauzule je pravdivá v dané struktuře a ohodnocení, pokud je alespoň jeden atom v antecedentu nepravdivý nebo alespoň jeden atom v konsekventu pravdivý.
7 Pravdivost klauzule Definice Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při ohodnocení e, jestliže v tomto ohodnocení je její antecedent pravdivý a konsekvent nepravdivý, tedy když jsou všechny atomy antecedentu interpretovány jako true a všechny atomy konsekventu jako f alse. V opačném případě je klauzule pravdivá ve struktuře. Proč? A K A K Z definice vyplývá, že klauzule je pravdivá v dané struktuře a ohodnocení, pokud je alespoň jeden atom v antecedentu nepravdivý nebo alespoň jeden atom v konsekventu pravdivý.
8 Definice Platnost klauzule Klauzule je platná (splněna) ve struktuře S, když je splnitelná pro jakoukoliv valuaci aplikovatelnou ve struktuře S. Jestliže klauzule není splnitelná v žádné valuaci aplikovatelné v dané struktuře, pak je nesplnitelná (není platná) v dané struktuře. Klauzule je logicky platná (logický zákon), jestliže je platná v jakékoliv struktuře.
9 Definice Platnost klauzule Klauzule je platná (splněna) ve struktuře S, když je splnitelná pro jakoukoliv valuaci aplikovatelnou ve struktuře S. Jestliže klauzule není splnitelná v žádné valuaci aplikovatelné v dané struktuře, pak je nesplnitelná (není platná) v dané struktuře. Klauzule je logicky platná (logický zákon), jestliže je platná v jakékoliv struktuře.
10 Definice Platnost klauzule Klauzule je platná (splněna) ve struktuře S, když je splnitelná pro jakoukoliv valuaci aplikovatelnou ve struktuře S. Jestliže klauzule není splnitelná v žádné valuaci aplikovatelné v dané struktuře, pak je nesplnitelná (není platná) v dané struktuře. Klauzule je logicky platná (logický zákon), jestliže je platná v jakékoliv struktuře.
11 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Struktura S 1 pro interpretaci: S 1 = (W 1, F 1, R 1 ), kde W 1 = listi, zluta, hneda, zelena, modra, kuratko, jasan, dub, buk F 1 = barva 1 R 1 = strom 1, ma 2, barva listi 2 barva(kuratko) = zluta, barva(nebe) = modra, barva(zeme) = hneda, strom 1 = (jasan), (dub), (buk), ma 2 = (jasan, listi), (buk, listi), barva listi = (jasan, zluta), (dub, hneda), (buk, zelena) D(a) = listi, D(b) = kuratko, D(c) = modra, D(f) = barva, D(p) = strom, D(q) = ma, D(r) = barva listi
12 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, barva(kuratko)), barva listi(x, modra) Funkce barva: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, zluta), barva listi(x, modra)
13 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, barva(kuratko)), barva listi(x, modra) Funkce barva: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, zluta), barva listi(x, modra)
14 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, barva(kuratko)), barva listi(x, modra) Funkce barva: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, zluta), barva listi(x, modra) Interpretujeme se zvolenou valuací e 1 (X) = jasan: I(strom(jasan))[S 1, e 1 ] = true I(ma(jasan, listi))[s 1, e 1 ] = true I(barva listi(jasan, zluta))[s 1, e 1 ] = true I(barva listi(jasan, modra))[s 1, e 1 ] = false I(C)[S 1, e 1 ] = I(true, true true, false) = true
15 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, barva(kuratko)), barva listi(x, modra) Funkce barva: strom(x), ma(x, listi) barva listi(x, zluta), barva listi(x, modra) Interpretujeme se zvolenou valuací e 2 (X) = buk: I(strom(buk))[S 1, e 2 ] = true I(ma(buk, listi))[s 1, e 2 ] = true I(barva listi(buk, zluta))[s 1, e 2 ] = false I(barva listi(buk, modra))[s 1, e 2 ] = false I(C)[S 1, e 2 ] = I(true, true false, false) = false
16 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Struktura S 2 pro interpretaci: S 2 = (W 1, F 2, R 2 ), kde W 2 = skola, index, sesit, student, kladivko, jana, pepa, karel F 2 = prukaz 1 R 2 = je student 1, jde do 2, ma 2 prukaz(student) = index, je student 1 = (pepa), (jana), jde do 2 = (pepa, skola), (jana, kino), (karel, skola), ma 2 = (pepa, sesit), (jana, index), (karel, kladivko) D(a) = skola, D(b) = student, D(c) = sesit, D(f) = prukaz, D(p) = je student, D(q) = jde do, D(r) = ma
17 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, prukaz(student)), ma(x, sesit) Funkce prukaz: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, index), ma(x, sesit) Interpretujeme se zvolenou valuací e 3 (X) = pepa: I(je student(pepa))[s 2, e 3 ] = true I(jde do(pepa, skola))[s 2, e 3 ] = true I(ma(pepa, index))[s 2, e 3 ] = false I(ma(pepa, sesit))[s 2, e 3 ] = true I(C)[S 2, e 3 ] = I(true, true false, true) = true Ve struktuře S 2 je C interpretována vždy jako true, proto I(C)[S 2 ] = true.
18 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, prukaz(student)), ma(x, sesit) Funkce prukaz: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, index), ma(x, sesit) Interpretujeme se zvolenou valuací e 3 (X) = pepa: I(je student(pepa))[s 2, e 3 ] = true I(jde do(pepa, skola))[s 2, e 3 ] = true I(ma(pepa, index))[s 2, e 3 ] = false I(ma(pepa, sesit))[s 2, e 3 ] = true I(C)[S 2, e 3 ] = I(true, true false, true) = true Ve struktuře S 2 je C interpretována vždy jako true, proto I(C)[S 2 ] = true.
19 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, prukaz(student)), ma(x, sesit) Funkce prukaz: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, index), ma(x, sesit) Interpretujeme se zvolenou valuací e 3 (X) = pepa: I(je student(pepa))[s 2, e 3 ] = true I(jde do(pepa, skola))[s 2, e 3 ] = true I(ma(pepa, index))[s 2, e 3 ] = false I(ma(pepa, sesit))[s 2, e 3 ] = true I(C)[S 2, e 3 ] = I(true, true false, true) = true Ve struktuře S 2 je C interpretována vždy jako true, proto I(C)[S 2 ] = true.
20 Příklad - klauzule C = p(x), q(x, a) r(x, f(b)), r(x, c) Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, prukaz(student)), ma(x, sesit) Funkce prukaz: je student(x), jde do(x, skola) ma(x, index), ma(x, sesit) Interpretujeme se zvolenou valuací e 3 (X) = pepa: I(je student(pepa))[s 2, e 3 ] = true I(jde do(pepa, skola))[s 2, e 3 ] = true I(ma(pepa, index))[s 2, e 3 ] = false I(ma(pepa, sesit))[s 2, e 3 ] = true I(C)[S 2, e 3 ] = I(true, true false, true) = true Ve struktuře S 2 je C interpretována vždy jako true, proto I(C)[S 2 ] = true.
21 Přidáváme... Antecedent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m true &p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m A K true, A K Když do množiny antecedentu přidáme atom true, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
22 Přidáváme... Antecedent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m true &p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m A K true, A K Když do množiny antecedentu přidáme atom true, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
23 Přidáváme... Antecedent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m true &p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m A K true, A K Když do množiny antecedentu přidáme atom true, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
24 Přidáváme... Konsekvent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m false A K A K, false Když do množiny konsekventu přidáme atom f alse, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
25 Přidáváme... Konsekvent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m false A K A K, false Když do množiny konsekventu přidáme atom f alse, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
26 Přidáváme... Konsekvent p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m false A K A K, false Když do množiny konsekventu přidáme atom f alse, pravdivostní hodnota klauzule se nezmění.
27 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
28 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
29 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
30 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
31 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
32 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
33 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
34 Prázdná množina antecedentu K true K Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu. Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí. Tento typ klauzule nazýváme fakt. Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě (struktuře) speciální axiomy. kulaty(zeme) pocet nohou(clovek, 2), pocet nohou(clovek, 4) pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi) pocet dni(leden, 31) hraje na(@c, harmonika)
35 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
36 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
37 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
38 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
39 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
40 Prázdná množina konsekventu A A false Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false. Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit. Použití : reprezentace negativních tvrzení. barva(pisek, f ialova) smrtelna zbran(pericko) prezident CR(honza), ma zamestnani(honza, popelar) je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)
41 Prázdné množiny antecedentu i konsekventu true false Jestliže je pravda pravdivá, pak je i nepravda pravdivá. V jakékoliv struktuře při jakémkoliv ohodnocení jde vždy o nepravdivou klauzuli, absolutní kontradikci. Použití : K této klauzuli směřujeme v důkazu sporem.
42 Prázdné množiny antecedentu i konsekventu true false Jestliže je pravda pravdivá, pak je i nepravda pravdivá. V jakékoliv struktuře při jakémkoliv ohodnocení jde vždy o nepravdivou klauzuli, absolutní kontradikci. Použití : K této klauzuli směřujeme v důkazu sporem.
43 Konjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Konjunkci v antecedentu není třeba řešit. Atomy spojené konjunkcemi oddělíme čárkou. Když to má pruhy a kopyta, je to zebra. ma(x, pruhy), ma(x, kopyta) zebra(x) V planimetrii je objekt, jehož strany se rovnají, nazýván čtverec. typ geometrie(planimetrie), cislo(a), cislo(b), = (hodnota(a), hodnota(b)) ctverec(a, B)
44 Konjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Konjunkci v antecedentu není třeba řešit. Atomy spojené konjunkcemi oddělíme čárkou. Když to má pruhy a kopyta, je to zebra. ma(x, pruhy), ma(x, kopyta) zebra(x) V planimetrii je objekt, jehož strany se rovnají, nazýván čtverec. typ geometrie(planimetrie), cislo(a), cislo(b), = (hodnota(a), hodnota(b)) ctverec(a, B)
45 Konjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Konjunkci v antecedentu není třeba řešit. Atomy spojené konjunkcemi oddělíme čárkou. Když to má pruhy a kopyta, je to zebra. ma(x, pruhy), ma(x, kopyta) zebra(x) V planimetrii je objekt, jehož strany se rovnají, nazýván čtverec. typ geometrie(planimetrie), cislo(a), cislo(b), = (hodnota(a), hodnota(b)) ctverec(a, B)
46 Konjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Konjunkci v antecedentu není třeba řešit. Atomy spojené konjunkcemi oddělíme čárkou. Když to má pruhy a kopyta, je to zebra. ma(x, pruhy), ma(x, kopyta) zebra(x) V planimetrii je objekt, jehož strany se rovnají, nazýván čtverec. typ geometrie(planimetrie), cislo(a), cislo(b), = (hodnota(a), hodnota(b)) ctverec(a, B)
47 Disjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A &(F 1 F 2 ) K) (A & F 1 K) & (A & F 2 K)
48 Disjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A &(F 1 F 2 ) K) (A & F 1 K) & (A & F 2 K)
49 Disjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A &(F 1 F 2 ) K) (A & F 1 K) & (A & F 2 K) 1 Jestliže má v tašce skripta nebo index, je to student. ma(x, skripta) student(x) ma(x, index) student(x)
50 Disjunkce atomů v antecedentu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A &(F 1 F 2 ) K) (A & F 1 K) & (A & F 2 K) 2 Když to v létě má listí nebo jehličí, je to strom. obdobi(leto) &(ma(x, listi) ma(x, jehlici)) strom(x) rocni obdobi(leto), ma(x, listi) strom(x) rocni obdobi(leto), ma(x, jehlici) strom(x)
51 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K)
52 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 ))
53 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1)
54 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1) true
55 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1) A 0 ( 0& 0) true
56 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1) A 0 ( 0& 0) true true
57 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1) A A 0 ( 0& 0) (F 1 F 2 ) ( F 1 & F 2 ) true true
58 Disjunkce atomů v antecedentu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A&(F 1 F 2 ) K) (A& F 1 K)&(A& F 2 K) K K (A&(F 1 F 2 )) ( (A&F 1 )& (A&F 2 )) 1 (1&1) A A 0 ( 0& 0) (F 1 F 2 ) ( F 1 & F 2 ) true true true
59 Disjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Disjunkci v konsekventu není třeba řešit. Atomy spojené disjunkcemi oddělíme čárkou. Kdo je v nemocnici, je nemocný nebo přišel někoho navštívit. nemocnice(n), je kde(x, N) nemocny(x), Když prší nebo sněží, nosí Jana deštník nebo pláštěnku. pocasi(prsi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka) pocasi(snezi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)
60 Disjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Disjunkci v konsekventu není třeba řešit. Atomy spojené disjunkcemi oddělíme čárkou. Kdo je v nemocnici, je nemocný nebo přišel někoho navštívit. nemocnice(n), je kde(x, N) nemocny(x), Když prší nebo sněží, nosí Jana deštník nebo pláštěnku. pocasi(prsi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka) pocasi(snezi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)
61 Disjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Disjunkci v konsekventu není třeba řešit. Atomy spojené disjunkcemi oddělíme čárkou. Kdo je v nemocnici, je nemocný nebo přišel někoho navštívit. nemocnice(n), je kde(x, N) nemocny(x), Když prší nebo sněží, nosí Jana deštník nebo pláštěnku. pocasi(prsi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka) pocasi(snezi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)
62 Disjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Disjunkci v konsekventu není třeba řešit. Atomy spojené disjunkcemi oddělíme čárkou. Kdo je v nemocnici, je nemocný nebo přišel někoho navštívit. nemocnice(n), je kde(x, N) nemocny(x), Když prší nebo sněží, nosí Jana deštník nebo pláštěnku. pocasi(prsi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka) pocasi(snezi) nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)
63 Konjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 ) &(A K F 2 ))
64 Konjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 ) &(A K F 2 ))
65 Konjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 ) &(A K F 2 )) 1 Kočky mají ostré zuby, ostré drápy a dobrý zrak. kocka(x) ma(x, ostre zuby) kocka(x) ma(x, ostre drapy) kocka(x) vidi(x, dobre)
66 Konjunkce atomů v konsekventu p 1, p 2,... p n q 1, q 2,..., q m p 1 &p 2 &... &p n q 1 q 2... q m Řešíme podle vzorce: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 ) &(A K F 2 )) 2 Počítač s virem nebo spywarem vyčistíme a zabezpečíme. pocitac(x), zavirovany(x) vycistit(x) pocitac(x), ma spyware(x) vycistit(x) pocitac(x), zavirovany(x) zabezpecit(x) pocitac(x), ma spyware(x) zabezpecit(x)
67 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 ))
68 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A 1 (1&1)
69 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A 1 (1&1) true
70 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A A 1 (1&1) (K (F 1 &F 2 )) ((K F 1 )&(K F 2 ) true
71 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A A 1 (1&1) (K (F 1 &F 2 )) ((K F 1 )&(K F 2 ) K true (F 1 &F 2 ) (F 1 &F 2 )
72 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A A 1 (1&1) (K (F 1 &F 2 )) ((K F 1 )&(K F 2 ) K true (F 1 &F 2 ) (F 1 &F 2 ) true
73 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A A 1 (1&1) (K (F 1 &F 2 )) ((K F 1 )&(K F 2 ) K K true (F 1 &F 2 ) (F 1 &F 2 ) 1 (1&1) true
74 Konjunkce atomů v konsekventu proč to funguje Provedeme důkaz Quinovým algoritmem: (A K (F 1 &F 2 )) ((A K F 1 )&(A K F 2 )) A A 1 (1&1) (K (F 1 &F 2 )) ((K F 1 )&(K F 2 ) K K true (F 1 &F 2 ) (F 1 &F 2 ) 1 (1&1) true true
Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková
Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární
Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava
Klauzulární logika úvod Šárka Vavrečková Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava 20. října 2008 Klauzulární logika Hlavní vlastnosti pracujeme s klauzulemi, které
Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Logika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
přednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
Sémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
Výroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
Klasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
Formální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Kapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
Systém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Marie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však
Hilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
Matematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
Výroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika
Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu
09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Logika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Logika. 1. Úvod, Výroková logika
Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Predikátová logika [Predicate logic]
![Predikátová logika [Predicate logic]](/thumbs/74/70612837.jpg "Predikátová logika [Predicate logic]")
Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza.
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
Základní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
Základy logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David
Úvod do Prologu Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David Warren (Warren Abstract Machine) implementace
Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu
Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu Petr Pudlák Logika prvního řádu (Někdy nepřesně nazývaná predikátová logika.) Výhody Vyšší vyjadřovací schopnost jazyka, V podstatě
Predikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí
Rezoluce: další formální systém vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí pracujeme s formulemi v nkf (též klauzulárním tvaru), ale používáme
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Normální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
Programovací jazyk Prolog
Programovací jazyk Prolog Logické programování Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 1. prosince 2008 Prolog Co je
VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:
ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.
Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
Výroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice
2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [101104-1520] 19 2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.
Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je
4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Výroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
Základy informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Úvod do teoretické informatiky
Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO)
Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice.
1 Výroková logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět základní logické operace
Rezoluce ve výrokové logice
Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Logika. Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci
Logika Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci 1 Úloha logiky v umělé inteligenci převést fakta na formalizované výroky, se kterými se dá automatizovaně operovat
Predikátová logika (logika predikátů)
Predikátová logika (logika predikátů) Ve výrokové logice pracujeme s jednoduchými či složenými výroky, aniž nás zajímá jejich struktura. Příklad. Jestliže Karel je studentem, pak je (Karel) chytřejší než
Výroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých
VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,
Marie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Tabulka Courses, odkaz Mathematical Učební texty, Presentace přednášek kursu Matematická logika, Příklady na cvičení + doplňkové texty.