DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Josef Jírů. Úvod 2. 1 Pojem derivace 3. 3 Derivace vektoru 20

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Josef Jírů. Úvod 2. 1 Pojem derivace 3. 3 Derivace vektoru 20"

Transkript

1 DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Josef Jírů Obsah Úvod 2 1 Pojem derivace 3 2 Časová derivace fyzikální veličiny 9 3 Derivace vektoru 20 4 Tečné a normálové zrychlení 27 5 Druhý Newtonův pohybový zákon 34 6 Zákon zachování hybnosti 39 7 Extrémy funkce 42 Výsledky úloh 52 Dodatek procvičování derivací 55

2 Úvod Ve středoškolské fyzice se téměř výhradně při zkoumání pohybu a dalších jevů probíhajících v čase užívají zjednodušující předpoklady. Pohyb se považuje za rovnoměrný, resp. rovnoměrně zrychlený či rovnoměrně zpomalený, kdy je rychlost, resp. zrychlení, konstantní. Existují však kolem nás pohyby, kdy např. zrychlení není konstantní. Tehdy se rychlost se mění jinak než rovnoměrně. Příkladem může být pád tělesa ve vzduchu, pohyb tělesa na svahu s proměnným sklonem, rozjíždění automobilu po rovině s proměnnou velikostí pohybové síly, pohyb kyvadla apod. Běžně lze určovat průměrné hodnoty rychlosti, zrychlení, síly, výkonu, avšak pro detailní popis potřebujeme znát rychlost, zrychlení, sílu, výkon v daném okamžiku, tedy jejich okamžité hodnoty. Tyto a další problémy umožňuje řešit matematická teorie nazývaná diferenciální počet. Vybudování této teorie znamenalo kvalitativní pokrok ve zkoumání závislosti jedné veličiny na veličině druhé. Diferenciální počet vytvořili v 2. polovině 17. století nezávisle na sobě anglický matematik, fyzik a astronom Isaac Newton( ) a německý filozof a matematik Gottfried Wilhelm Leibniz( ). Spojili tak izolované poznatky a objevy řady svých předchůdců, získávané především geometrickými postupy, do ucelené teorie. Tato brožurka seznamuje čtenáře se základy použití diferenciálního počtu ve fyzice. Je určena především studentům 2. ročníku gymnázií, kteří již prošli mechanikou, případně termodynamikou a harmonickým kmitáním, a kteří znají průběhy elementárních funkcí. Z tohoto důvodu zde nejsou zařazena témata z elektřiny a magnetismu, z optiky apod. Též se nepředpokládá znalost diferenciálního počtu z matematiky, kde se probírá obvykle až na konci středoškolského studia. Naopak podstata základů diferenciálního počtu je vyložena výhradně na fyzikálních problémech. 2

3 1 Pojem derivace Ukažme si na příkladu volného pádu problematiku průměrné a okamžité rychlosti. Podle středoškolské terminologie je průměrná rychlost skalární veličina, okamžitá rychlost veličina vektorová. Dráhauraženápřivolnémpádujedánavztahem s= 1 2 gt2. Definičním oborem této funkce jsou vzhledem k fyzikálnímu významu nezáporné časy a grafem část paraboly s vrcholem v počátku umístěná v prvním kvadrantu. Sestavímeproněkolikhodnottabulku(použijeme g=10m s 2 )asestrojíme graf: s m t s s m t s Ukážeme si metodu, jak z funkční závislosti dráhy na čase určit závislost velikostiokamžitérychlostinačase. 1 Vypočítejme okamžitou rychlost např. v čase 2 s. Nejprve určíme průměrnou rychlost,např.mezi2.a5.sekundouvolnéhopádu.dráhavčase2sje s(2)= =20m, včase5spak s(5)=125m.hledanáprůměrnárychlostje v p (2;5)= s(5) s(2) 5s 2s =35m s 1. Obdobněvkratšímčasovémintervaluod2sdo3sjeprůměrnárychlost v p (2;3)= vintervaluod2sdo2,1sje v p (2;2,1)= s(3) s(2) 3s 2s s(2,1) s(2) 2,1s 2s =25m s 1, =20,5m s 1. 1 Z důvodu jednoduššiho vyjadřování budeme v místech, kde nemůže dojít k záměně, používatoznačení rychlost vevýznamu velikostokamžitérychlosti,jakjetoobvyklé v běžné řeči. 3

4 Budeme-li pokračovat dále ve zmenšování časového intervalu, bude se odpovídající průměrná rychlost blížit hodnotě hledané okamžité rychlosti v čase 2 s. Jak však zjistit tuto okamžitou rychlost přesně, když uvedená metoda bude vždy určovat pouze rychlost průměrnou, byť na menším a menším časovém intervalu? Zkusme tento nedostatek obejít obecným vyjádřením průměrné rychlosti od časového okamžiku t do okamžiku t + t. V těchto časech jsou uražené dráhy s(t)= g 2 t2, s(t+ t)= g 2 (t+ t)2. Průměrná rychlost v časovém intervalu t se pak rovná v p (t;t+ t)= s(t+ t) s(t) (t+ t) t = g 2 (t+ t)2 g 2 t2 = g t 2 (2t+ t). Obecný výsledek můžeme použít k výpočtu průměrné rychlosti během času t, ale navíc nám umožňuje udělat úvahu, kterou jsme přeím provést nemohli. Položíme-li totiž časový interval t roven nule, získáme vzorec pro okamžitou rychlostvčase t: v(t) = gt. Znějurčímerychlostvčase2s,tj. v(2) = =20m s 1.Výsledeknásjistěnepřekvapuje,neboťrovniciprookamžitou rychlostvolnéhopádu v= gt známe,avšakpopsanámetodaseukazujejako velice účinná při určení okamžité rychlosti složitějších pohybů než je volný pád. Shrneme-li poznatky o uvedené metodě, můžeme konstatovat, že okamžitou rychlost získáme matematicky přesně, považujeme-li časový interval t za nekonečně malý. Formálně lze tuto skutečnost zapsat s v(t)= lim t 0 t = lim s(t+ t) s(t) = ds t 0 t. (1.1) Symbol lim t 0 čteme limitavýrazupro tblížícíse(neomezeně)knule. Limita je tedy hodnota zlomku, ke které se neomezeně přiblížíme při zmenšování časového intervalu t k nule. Symbol, diferenciál času, představuje nekonečně malý časový interval a symbol ds, diferenciál dráhy, jemu odpovídajícínekonečněmalouzměnudráhy.podíloboudiferenciálů ds nazýváme derivace dráhy podle času. Konečně můžeme zformulovat exaktní definici velikosti okamžité rychlosti: Velikost okamžité rychlosti v čase t je rovna průměrné rychlosti v nekonečně malém časovém intervalu, jehož levou hranicí je čas t. Nebo: Velikost okamžité rychlosti v čase t je rovna derivaci dráhy podlečasuvtomtočase t. 4

5 Podívejme se ještě na grafickou interpretaci derivace. Obrázek představuje detail grafu závislosti dráhy na čase: s s(t+ t) s= 1 2 gt2 s s(t) t α α t t+ t t Z obrázku je patrné, že zmenšováním časového intervalu t se bude dráhovýúsek stéžzmenšovatajejichpodíl s t (průměrnárychlostvčasovém intervalu t) se bude více blížit okamžité rychlosti v čase t. Současně směrnice sečny se bude více blížit směrnici tečny. Průměrná rychlost v časovém intervalu je rovna směrnici sečny protínající graf v krajních bodech intervalu t: v p (t,t+ t)= s t =tg α. Velikost okamžité rychlosti v libovolném čase t je rovna směrnici tečny sestrojenékegrafuvboděodpovídajícímčasu t: v(t)= ds =tg α. Nutno poznamenat, že v uvedených vzorcích platí rovnost s tangentou úhlu pouze v případě, že v příslušném grafickém znázornění úsečka představující jednotkový čas 1 s je shodná s úsečkou znázorňující jednotkovou dráhu 1 m. Vopačnémpřípadětangentaskutečnéhoúhlu α či αvgrafuneodpovídáprůměrné či okamžité rychlosti. V předcházejícím příkladu jsme derivováním dráhy podle času získali novou fyzikálníveličinu,velikostokamžitérychlosti,ispříslušnoujednotkoum s 1. Mohli jsme se však omezit na vyšetření vztahu mezi číselnými hodnotami dráhy ačasu,jakjetoběžnévmatematice. 5

6 Posloučeníkonstanty g = 10 m s 2 sčíslem 1 2 získámejednodušší rovnici s=5m s 2 t 2, resp. {s}=5{t} 2, kdesymboly {s}, {t}rozumíme číselné hodnoty dráhy a času. Z důvodu stručnějšího a přehlednějšího vyjádření budeme složené závorky vynechávat a fyzikální veličiny vystupující v rovnici chápat ve smyslu matematickém, tj. pouze jako číslo bez fyzikální jednotky. Vtomtosmyslumáuvažovanáfunkčnízávislosttvar s=5t 2.Pak s(t)=5t 2, s(t+ t)=5(t+ t) 2. Velikost průměrné rychlost v časovém intervalu t se pak rovná v p (t;t+ t)= s(t+ t) s(t) (t+ t) t = 5(t+ t)2 5t 2 t =5(2t+ t). Položíme-li t = 0, dostaneme vzorec pro číselnou hodnotu okamžité rychlosti včase t: v(t)=10t.znějurčímerychlostvčase2s,tj.podoplněníjednotky v(2)=20m s 1. Takovýto matematický postup,vekterémseomezímejennavztahymezi číselnými hodnotami veličin, budeme ve fyzikálních úlohách používat v případech, kdy se vyšetřovaný výraz dosazením číselných hodnot konstant zjednoduší. Měli bychom však řešení opatřit poznámkou, ve které tuto skutečnost uvedeme(viz příklad 3.1, nebo výsledky úloh 5.2, 5.4). Příklad 1.1: Určete závislost rychlosti na čase v = v(t) pro rovnoměrně zrychlenýpohyb,jehožzávislostdráhynačasejedánafunkcí s= 1 2 at2 + v 0 t+s 0. Řešení: v= ds = lim s(t+ t) s(t) = t 0 t [ ] [ ] a(t+ t)2 + v 0 (t+ t)+s 0 2 at2 + v 0 t+s 0 = lim = t 0 t =lim (at+v ) t 0 2 a t = v 0 + at. Úloha1.1:Určetezávislostrychlostinačase v=v(t)pohybu,pronějžplatí s=at 3 + Bt. Předchozípostup, jakzezávislosti s = s(t) získatzávislost v = v(t), platí obecně, avšak u složitějších funkcí je obtížné, ne-li nemožné, řešení tímto 6

7 způsobem nalézt. Naštěstí máme k dispozici souhrn pravidel a vzorců, kterými můžeme celý postup výrazně zefektivnit. Tento souhrn matematických vět tvoří základ diferenciálního počtu. V následujícím přehledu derivací elementárních funkcí a pravidel pro derivování si čas t jakožto proměnnou fyzikální veličinu nahradíme obecnou proměnnou x bez specifického fyzikálního významu. Místo funkční závislosti rychlosti na čase v(t) užijeme obecné označení funkce f(x), g(x). Derivace elementárních funkcí D1- D10 (D1) (D3) (D5) (D7) (D9) d dx konst=0 dx 2 dx =2x dsinx dx =cosx g x dx = 1 cos 2 x de x dx =ex (D2) dx dx =1 (D4) dx n dx = nxn 1 (D6) (D8) (D10) dcosx dx dcotg x dx dlnx dx =1 x = sinx = 1 sin 2 x Vzorce platí pro taková x, pro která je současně definovaná derivovaná funkceivýsledekjejíderivace.např.v(d10)jevýraz 1 x derivacífunkce lnx pouzepro x >0. Pro x <0 jevýraz 1 x sicedefinován,alenemůžebýtna tomto intervalu derivací funkce ln x, neboť ta zde neexistuje(není definována). Rozmanitý je vzorec(d4), v němž může být n libovolné reálné číslo, nikoliv jen číslo přirozené. Číslu n pak odpovídá definiční obor funkce. Pro n celé záporné nepatří nula do definičního oboru, pro n reálné necelé je definičním d oborem množina kladných reálných čísel. Tedy např. dx x5 =5x 4 platípro d všechna reálná čísla x, dx x 3 = 3x 4 platípro x 0, d a dx x p = px p 1 platípouzepro x >0. 5 d dx x 3 = x 3 7

8 Pravidla pro derivování P1- P5 (P1) Násobenífunkce konstantou d (konst f(x))=konst df(x) dx dx (P2) Součet(rozdíl) funkcí d(f(x) ± g(x)) dx = df(x) dx ±dg(x) dx (P3) Součinfunkcí (P4) Podílfunkcí d(f(x) g(x)) dx d dx ( ) f(x) = g(x) = df(x) dx df(x) dx g(x)+f(x) dg(x) dx g(x) f(x) dg(x) dx (g(x)) 2 (P5) Složenáfunkce df(g(x)) dx = df(g(x)) dg(x) dg(x) dx Složenoufunkcíjenapř.funkce y(t)=sinωt, kde ϕ(t)=ωt jevnitřní funkcea y(ϕ(t))=sinϕ(t)jevnějšífunkce.podlepravidla(p5)jederivace složené funkce rovna součinu derivace vnější funkce podle vnitřní funkce a derivace vnitřní funkce podle proměnné x. V našem případě je dsin(ωt) = dsinϕ(t) dϕ(t) dωt =cosϕ(t) ω. Příklad 1.2: Řešte příklad 1.1 užitím pravidel pro derivování. Řešení: Podle definice okamžité rychlosti je v(t)= ds(t) = d ( ) 1 2 at2 + v 0 t+s 0. Užitím pravidla(p2) můžeme psát v(t)= d ( ) 1 2 at2 + d (v 0t)+ ds 0. Na první dva členy aplikujeme pravidlo(p1), na třetí člen vzorec(d1): v(t)= 1 2 a2 + v Nyníužijemevzorce(D3)a(D2): v(t)=at+v 0. Úloha 1.2: Řešte úlohu 1.1 užitím pravidel pro derivování. Derivování funkcí si můžete procvičit v Dodatku. 8

9 2 Časová derivace fyzikální veličiny Ve středoškolské fyzice se často setkávámesvýrazem x, kde xjeurčitáfyzikální veličina(dráha, rychlost, energie t atd.). Mění-li se veličina x rovnoměrně, tj. x t jeprolibovolnýčasovýinterval t konstantní,vyjadřujeveličina y = x t stálou časovou změnu veličiny x(graf A). O t t 1 t 2 Mění-liseveličina xnerovnoměrně,vyjadřujeveličina y= x t pouzeprůměrnou časovou změnu veličiny x v určitém časovém intervalu(graf B). Okamžitou časovouzměnuveličiny xpakvyjádříme y= dx. Např. a= v t vyjadřujestálouvelikostokamžitéhozrychlenípřímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu nebo průměrné zrychlení přímočarého pohybu nerovnoměrného. Velikost okamžitého zrychlení jakéhokoliv zrychleného přímočaréhopohybupakvyjádříme a= dv.(obecněokamžitézrychleníjakéhokoliv pohybuprotrajektoriilibovolnéhotvaruvyjádříme a= dv,sderivacívektoru se však seznámíme v následující kapitole.) Kromě okamžité rychlosti a okamžitého zrychlení lze stejným způsobem zavést řadu dalších fyzikálních veličin, resp. jejich okamžitých hodnot. Okamžitá časová změna nemusí vystupovat pouze v definici, nýbrž může být součástí fyzikálního zákona. Uveďme několik příkladů: x x 2 x 1 x B A t Okamžitáúhlovárychlost Okamžitéúhlovézrychlení Velikost okamžité síly při zrychleném přímočarém pohybu(p je velikost okamžité hybnosti) Okamžitývýkon Napětíindukovanévcívce ω= dϕ ε= dω F= dp P= dw u= L di 9

10 Příklad 2.1: Určete fyzikální význam veličiny úhlová rychlost ve vztazích ω= ϕ t, ω= ϕ t, ω=dϕ. pro zrychlený otáčivý pohyb kolem pevné osy. Řešení:Vztah ω = ϕ vyjadřuje stálou úhlovou rychlost u rovnoměrného t rotačního pohybu, jestliže v nulovém čase je opsaný úhel nulový. Opsaný úhel ϕjepřímoúměrnýčasu taúhlovárychlost ωjekonstantouúměrnostitéto příméúměrnosti ϕ=ωt. Vztah ω= ϕ může vyjadřovat jednak průměrnou úhlovou rychlost u jakéhokoliv zrychleného rotačního pohybu, kde ϕ je změna úhlu otočení a t t doba, během které k uvažovanému otočení došlo, nebo může vyjadřovat stálou úhlovou rychlost rovnoměrného otáčivého pohybu, přičemž v nulovém čase můžebýtopsánpočátečnínenulovýúhel ϕ 0.Veličina ωjepaksměrnicepřímky vlineárnízávislosti ϕ=ωt+ϕ 0. Vztah ω= dϕ vyjadřuje okamžitou úhlovou rychlost jakéhokoliv zrychleného rotačního pohybu. ϕ ϕ ϕ=ωt ϕ 0 ϕ=ωt+ϕ 0 O t t Příklad2.2:Hmotnýbodkonápodobu8spřímočarýpohyb,jehoždráhaje určena funkcí s(t)= 1 12 t3 +2t 2. Stanovte závislosti rychlosti na čase a zrychlení na čase. Sestrojte grafy s=s(t), v=v(t), a=a(t). Řešení: Rychlost určíme jako časovou derivaci dráhy: v= ds = d ( 1 12 t3 +2t 2 ) = t2 4 +4t. 10

11 Zrychlení určíme jako derivaci rychlosti podle času: a= dv = d ( 1 ) 4 t2 +4t = 0,5t+4. Rozborem rovnic zjistíme následující vlastnosti. Pohyb začíná z klidu, neboť vnulovémčasemáhmotnýbodnulovourychlost.podlerovnicevzadánímátéž nulovou počáteční dráhu. Hmotný bod se začíná uvádět do pohybu s počátečnímzrychlením a(0)=4m s 2.Zrychlenípocelouuvažovanoudobulineárně klesá, tedy rychlost roste stále pomaleji. V čase 8 s dosáhne zrychlení nulové hodnoty a rychlost se ustálí na konečné maximální hodnotě. Pokud by pohyb pokračoval i nadále s nulovým zrychlením, dosažená rychlost by se neměnila a dráha by lineárně rostla. Grafemrychlostiječástparabolysvrcholemvčase8s,grafemdráhyčást kubické paraboly(křivky 3. stupně). Všechny tři závislosti jsou znázorněny v jednom obrázku. s m a m s 2 v m s zrychlení rychlost dráha t s Příklad 2.3: Stanovte závislost a = a(t) přímočarého pohybu daného rovnicí v(t)=v m ( 1 e kt ), kde k >0.Sestrojtegrafy v= v(t), a=a(t). Řešení: Sestrojení grafů funkcí vyžaduje určitou zběhlost. Můžeme postupovat např.tak,žesestrojímezákladnífunkci y=e t, kteroupostupněupravujeme 11

12 nae kt (deformacevevodorovnémsměru),e kt (převráceníkolemsvisléosy), e kt (převráceníkolemvodorovnéosy), ( 1 e kt (posunutíojednotkunahoru), v ) m 1 e kt (deformacevesvislémsměru).včase t=0 jerychlost nulová,grafprocházípočátkem.provelmivelkéčasyjdevýraz e kt knule, atímrychlost vkhodnotě v m.říkáme,želimitafunkce v(t)pro tjdoucí knekonečnujerovnahodnotě v m,cožzapíšeme lim v ( ) m 1 e kt = v m. t v e kt e kt e t v m v m ( 1 e kt ) 1 0 e kt 1 1 e kt t Zrychlení určíme jako časovou derivaci rychlosti: a= dv = d v ( ) m 1 e kt d = v m ( 1 e kt ) = v m ( 0 d e kt )= = v m ( e kt ) d ( kt)=v m ( e kt ) ( k)=kv m e kt. Grafsestrojímepodlefunkce e kt, kteroujižznáme,vynásobenímkonstantou kv m.včase t=0jezrychlení kv m,včase trostoucímnadevšechnymeze je zrychlení nulové, neboť lim kv me kt =0. t V obrázku jsou pro porovnání sestrojeny graf zrychlení i předchozí graf rychlosti. 12

13 a, v kv m v m v= v m ( 1 e kt ) O a=kv m e kt t Uvedený pohyb koná těleso urychlované konstantní silou, kde proti pohybu působí síla odporu prostředí, která je v každém okamžiku přímo úměrná rychlosti. Takto např. padá v tíhovém poli vodní kapička, pokud její obtékání částicemi vzduchu můžeme považovat za laminární. Příklad 2.4: Stanovte závislosti v = v(t), a = a(t) přímočarého pohybu daného rovnicí dráhy s(t)= A2 t At+B, kde A, B >0.Sestrojtegrafy s=s(t), v= v(t), a=a(t). Řešení:Dráhajeurčenalineárnílomenoufunkcítypu y= ax+b cx+d, kterou převedemenatvar y=n+ K x M. Grafempakbudehyperbolasrovnicí y= K x sposunutýmpočátkemsoustavysouřadnicdoboduosouřadnicích [M, N]. Danou rovnici dráhy podle tohoto návodu postupně upravujeme: s(t)= A2 t At+B = A2 t+ab AB A(At+B) AB = At+B At+B = A B t+ B. A Grafemjetedyčásthyperbolydanérovnicí s (t)= B s posunutým počátkem soustavy souřadnic do bodu t [ B ] A,A a větve hyperboly jsou umístěné ve 2. a 4. kvadrantu. Můžeme též postupovat tak, že sestrojíme grafy funkcí 1 t, B t, B t+ B A, B t+ B A, A B t+ B A. 13

14 Vnulovémčasejedráhanulová,pročas tblížícísenekonečnujedráharovna konstantě A. s A B A O t Rychlost určíme jako derivaci dráhy podle času: v= d A B t+ B A = B d ( t+ B 1 ( = B t+ A) B 2 = A) B ( t+ B A ) 2. Grafemječástvětvehyperboly2.stupně.Včase t=0je v(0)= A2 B,pročas t je v(t) 0,tedy lim t v(t)=0. Zrychlení určíme jako derivaci rychlosti podle času: [ a= d ( B t+ B ) ] 2 = B d ( t+ B 2 = A A) 2B ) 3. ( t+ B A Grafemječástvětvehyperboly3.stupně.Včase t=0 je a(0)= 2A3 B 2 <0, pročas t je a(t)=0.výsledekjevkaždémčasovémokamžikuzáporný, neboť velikost rychlosti s časem klesá. Veličina a tedy nevyjadřuje velikost zrychlení, nýbrž jeho souřadnici(více v 3. kapitole). 14

15 v a A 2 B v= B ( t+ B A ) 2 B A O a= 2B ( t+ B A ) 3 t 2A3 B 2 Příklad 2.5: Setrvačník se rozbíhá tak, že úhel otočení je přímo úměrný druhé mocniněčasu.prvníotočkabyladokončenavčase t 1 =5s.Určeteokamžitou frekvenciotáčenívčase t 2 =18sapočetprovedenýchotáčekvtomtočaseod začátku pohybu. Řešení:Jelikožproúhelotočeníplatí ϕ=kt 2, jefrekvenceotáčení f= ω 2p = 1 dϕ 2p = 1 d 2p (kt2 )= 1 p kt. Konstantuúměrnosti k lzevyjádřit k = ϕ t 2 = 2p. Podosazeníječasová závislost frekvence f= 1 p 2p t 2 t= 2t 1 t 2. 1 Včase t=t 2 jeokamžitáfrekvence f(t 2 )= 2t 2 =1,44Hz. Početotáček Nvčase tjedánpodílemcelkovéhoúhluotočení ϕ=kt 2 =2p t2 t 2 1 t 2 1 t 2 1 aúhlu2ppřijednéotáčce: N= ϕ 2p = kt2 2p = t2 t 2. 1 Včase t=t 2 je N(t 2 )= t2 2 t 2 1 =12,96. 15

16 Příklad 2.6: Při nafukování pružného balonu tvaru koule roste jeho objem rovnoměrněrychlostí100cm 3 zasekundu.jakourychlostírostejehopoloměr vokamžiku,kdyjehoobjemje1000cm 3? Řešení:Označme v= dr okamžitourychlostzvětšovánípoloměru rbalonu a w= dv okamžitou rychlost zvětšování jeho objemu V. Pak je w= dv(t) = d 4 3 p(r(t))3 = 4 p 3r2 dr(t) =4pr 3 2 v, zčehož v= w 3 3V 4pr2.Poloměrvyjádřenýpomocíobjemuje r= 4p. w Po dosazení je hledaná rychlost v = = 9V 2 4p 3 16p 2 w 3 36pV 2. Číselněpro w=100cm 3 s 1 a V=1000cm 3 dostaneme v=0,21cm s 1. Příklad 2.7: Sestrojte pro přímočarý pohyb rovnoměrně zrychlený a pro přímočarý pohyb se stálým výkonem urychlující síly grafy závislostí a) rychlosti na čase b) zrychlení na čase c) kinetické energie na čase d)výkonunačase. Těleso se začíná pohybovat z klidu. Řešení: a) Rychlost je u rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu přímo úměrná času v=at, kde a=konst. U pohybu se stálým výkonem roste kinetická energie pohybu rovnoměrně s časem podle vztahu 1 2 mv2 = Pt,kde P= konst. 2Pt Rychlostpakje v= m, grafemječástparaboly. b) Zrychlení a je u rovnoměrně zrychleného pohybu nezávislé na čase, tj. a=konst. U pohybu se stálým výkonem dostaneme zrychlení jako derivaci rychlosti podle času: 16

17 a= dv = d 2Pt P m = 2mt, grafemjevětevhyperboly2.stupně. Zrychlení pohybu se stálým výkonem lze též odvodit bez derivace: a= F m = P mv = P P = 2Pt 2mt. m m c)propohybrovnoměrnězrychlenýje E k = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 t 2. Propohybsestálýmvýkonemje E k = W= Pt. v a=konst a a=konst P= konst P= konst O t O t E k a=konst P P= konst P= konst a=konst O t O t d) Závislost okamžitého výkonu na čase určíme jako časovou derivaci kinetické energie nebo práce. Pro pohyb rovnoměrně zrychlený pak užitím kinetické energie je P= de k tedy P= d 1 2 ma2 t 2 = ma 2 t. Užitím práce obdobně dostaneme P= dw = d 1 2 mv2, kde v= at, = d (Fs)= d ( ma 1 2 at2 ) = ma 2 t. 17

18 Aleobejdemeseibezderivace: P= Fv= mav= ma 2 t. Výkonjepřímo úměrný času. Upohybusestálýmvýkonemjevýkonkonstantní P= konst. Příklad 2.8:Tělesoohmotnosti m = 0,40 kgzavěšenénapružiněkmitá speriodou T =0,25saamplitudouvýchylky y m =0,050m.Určetemaximálnívelikost p m okamžitéhovýkonu p,skterýmseměnípotenciálníenergie oscilátoru na kinetickou a naopak. Řešení: Během kmitů oscilátoru roste(klesá) potenciální energie E p (t)= 1 2 ky2 (t)= 1 2 ky2 m sin2 ωt se stejným výkonem, s nímž klesá(roste) kinetická energie E k (t)= 1 2 mv2 (t)= 1 2 mω2 y 2 mcos 2 ωt, tedy de p = de k. Zvolmenapř. p= de p = 1 2 ky2 m 2sinωt cosωt ω=1 2 kωy2 m sin2ωt. Dostalijsmesinusoidusamplitudou p m = 1 m 2 kωy2 m. Zevztahu T =2p k vyjádřímetuhost k= 4p2 2 m, užijeme ω=2p T T adosadíme.maximálnívýkon pakje p m = 4p3 T 3 my2 m =7,9W. Ktémužvýsledkubychomdospělivolbou p= de k. Úloha2.1:Dráhahmotnéhobodujeurčenarovnicí s(t)=a t 3.Stanovtezávislosti rychlosti na čase a zrychlení na čase. Po nastudování řešeného příkladu 2.7 rozhodněte, o jaký typ pohybu jde. Úloha2.2:Nádržmátvarkuželeopoloměru Ravýšce h 0.Kuželješpičkou dolů,osajesvislá.donádrževtékávodasestálýmobjemovýmtokem Q V. ([Q V ]=m 3 s 1.) 18

19 a) Určete závislost výšky h hladiny na čase. b) Určete závislost rychlosti stoupání hladiny na čase. c) Určete závislost zrychlení stoupání hladiny na čase. Čas měříme od okamžiku, kdy začíná voda vtékat do prázdné nádrže. Úloha2.3:Kapkavodytvarukouleopočátečnímpoloměru r 0 seodpařuje tak,žejejípoloměrserovnoměrnězmenšujepodlerovnice r=r 0 kt.na každoumolekuluvkapcepřipadáobjem V 1. a) Určete okamžitou rychlost změny poloměru kapky. b) Určete okamžitou rychlost změny povrchu kapky. c)určetezávislostpočtunmolekulvkapcenačase. d) Určete okamžitou rychlost vypařování, tj. časovou změnu počtu molekul vkapce. Úloha 2.4: Matematické kyvadlo délky l a hmotnosti m kmitá s maximální výchylkou y m.určetemaximálnívýkon p m,sjakýmseměníkinetickáenergiena potenciálníanaopak.řešteobecně,pakprohodnoty l=1,20m, m=0,20kg, y m =5,0cm. 19

20 3 Derivace vektoru Polohu bodu A v prostoru můžeme určit v kartézské soustavě trojicí souřadnic x, y, z,cožzapisujeme A[x,y,z]. Jinoumožnostíurčenípolohyjeužitítzv. polohového vektoru. Polohovým vektorem r určujícím polohubodu Arozumímevektorspočátečním bodem v počátku soustavy souřadnicaskoncovýmbodem A.Zaveďme nyní i, j, kjakojednotkovévektory,tj. i = j = k =1,vesměrusouřadnicovýchos x, y, z.pakpolohovývektor r můžeme získat složením násobků těchto vektorů souřadnicemi x, y, z: r= xi+ y j+ zk. x xi i z zk k r A[x, y,z] O yj j y Obráceněmůžemetéžvektor rrozložitnasložky xi, y j, zkdosměrůsouřadnicových os. Přitom trojicí x, y, z rozumíme nejen souřadnice bodu A, nýbrž též souřadnice polohového vektoru r, což zapisujeme r=(x,y,z). Velikost polohového vektoru můžeme vyjádřit Pythagorovou větou zobecněnou pro třírozměrný prostor: r= r = x 2 + y 2 + z 2. Vúvodnímčlánkujsmesiukázali,žederivacedráhypodlečasu ds mávýznam velikosti okamžité rychlosti. Zkoumejme nyní fyzikální význam derivace, jestliže skalární veličinu dráha nahradíme polohovým vektorem. Předpokládejme, že během času t přejde s hmotnýbodpokřivcezbodu Adobodu B,tj. A B urazí dráhu s. Jeho původní polohový vektor r(t) r setakzměnínapolohovývektor r(t+ t).pak z hlediska skládání vektorů můžeme psát r(t)+ r= r(t+ t) r(t) r(t+ t) nebo též r= r(t+ t) r(t). O 20

21 Vydělíme-li poslední rovnici časovým intervalem t, dostaneme výraz udávající jakousi průměrnou časovou změnu vektoru r během doby t: r t = r(t+ t) r(t) t Budeme-li časový interval t zkracovat, bude se hodnota výrazu více blížit jakési okamžité časové změně vektoru r. Pro nekonečně malou změnu můžeme v analogii s rovnicí(1.1) psát r lim t 0 t = lim r(t+ t) r(t) = dr t 0 t. Uvážíme-li, že velikost diferenciálu změny polohového vektoru dr je rovna diferenciáludráhydsaževektordrmásměrtečnyktrajektoriivuvažovaném bodě A,mápodíldiferenciálů dr významvektoruokamžitérychlosti v= dr. Proveďmenynítutonaznačenouderivacivektoru r= xi+ y j+ zkpodle času.souřadnice x, y, zjsouobecněfunkcemičasu,jednotkovévektory i, j, k jsou konstanty. Užitím pravidel(p2) a(p1) postupně dostáváme v= dr(x,y,z) = d (xi+ y j+ zk)= d (xi)+ d (y j)+ d (zk)= = i dx + jdy + kdz = v xi+ v y j+ v z k=(v x,v y,v z ). Význam právě provedeného odvození spočívá v tom, že derivaci vektoru můžeme nahradit derivacemi jeho složek, čehož běžně využíváme při řešení úloh. Je tedy rovnice v= dr ekvivalentní trojici rovnic v x = dx, v y= dy,. v z= dz. Shrneme-li naše úvahy, můžeme pro vektor okamžité rychlosti psát a pro jeho velikost v= v x i+ v y j+ v z k= dx i+dy j+dz k 21

22 (dx ) 2 v= v = vx 2+ v2 y + v2 z = + ( ) 2 dy + ( ) 2 dz. Analogicky můžeme psát pro vektor okamžitého zrychlení a pro vektor okamžité síly rovnice nebo v souřadnicích a= dv, F=dp = d (mv), a x = dv x, a y= dv y, a z= dv z, F x = dp x = d (mv x), F y = dp y = d (mv y), F z = dp z = d (mv z). Příklad 3.1: Pohyb bodu v rovině je dán parametrickými rovnicemi x=15t 2, y=30 20t 2. Určete tvar trajektorie, velikost rychlosti a velikost zrychlení pohybu. Poznámka: Dané parametrické rovnice popisují vztahy mezi číselnými hodnotami veličin, jak je to obvyklé v matematice. Stejný charakter mají proto i rovnice v řešení. Řešení: Rovnici trajektorie získáme vyloučením časového parametru t: y=30 4 x, cožjerovnicepřímky. 3 Každásouřadnicerychlosti v x, v y jedánaderivacípříslušnésouřadnicepolohového vektoru podle času: v x = dx =30t, Výslednou rychlost určíme jako vektorový součet v y= dy = 40t. v= v x i+ v y j=30t i 40t j, její velikost vypočítáme podle Pythagorovy věty: v= vx 2+ v2 y = (30t) 2 +( 40t) 2 =50t. Obdobně je 22

23 a x = dv x =30, a y= dv y = 40, a=a xi+ a y j=30i 40j, a= a 2 x + a2 y =50. Pohybjepřímočarýrovnoměrnězrychlenýsezrychlenímovelikosti50m s 2 azačínajícízkliduvbodě[0,30]. Příklad 3.2: Těleso bylo v homogenním tíhovém poli vrženo šikmo vzhůru podelevačnímúhlem α.místovrhumásouřadnice[x 0,y 0 ].Napišterovnicepro souřadnicepolohovéhovektorujakofunkcečasu x=x(t), y= y(t)apomocí derivaceodvoďtezávislostisouřadnicrychlosti v x, v y asouřadniczrychlení a x, a y načase.určetedálezávislostvelikostiokamžitérychlostiavelikosti okamžitého zrychlení na čase. Řešení: Šikmý vrh můžeme rozložit na dva nezávislé pohyby konané současně narovnoměrnýpřímočarýpohybvevodorovnémsměrustálourychlostí v 0 cosα anasvislývrhvzhůruspočátečnírychlostí v 0 sinα.prosouřadnicepolohového vektoru platí: x(t)=x 0 + v 0 tcosα, y(t)=y 0 + v 0 tsinα 1 2 gt2. Souřadnice vektoru rychlosti dostaneme jako derivace příslušných souřadnic polohového vektoru: v x (t)= dx = v 0cosα, Obdobně dostaneme souřadnice vektoru zrychlení: a x (t)= dv x =0, v y (t)= dy = v 0sinα gt. a y(t)= dv y = g. Velikost okamžité rychlosti získáme z jejích složek: v= vx 2+ v2 y = v0 2cos2 α+(v 0 sinα gt) 2 = v0 2 2v 0gtsinα+g 2 t 2. Analogicky dostaneme velikost okamžitého zrychlení, řešení je triviální, neboť a x =0: a= a 2 x + a2 y = g. 23

24 Příklad3.3:Automobilsepohybujepřímočařestálourychlostíovelikosti v 0 po vodorovné silnici. V dezénu pneumatiky o poloměru R se zachytil kamínek. Zvolme počátek vztažné soustavy pevně spojené s vozovkou v místě, kde se nacházístředpneumatikyvčase t=0,směrosy xshodněsesměrempohybu automobiluasměrosy yvzhůru.včase t=0sekamínekdotýkávozovky. a)určetesouřadnice x, ypolohovéhovektorukamínku,souřadnice v x, v y jeho rychlostiasouřadnice a x, a y jehozrychleníjakofunkcečasu. b) V téže vztažné soustavě určete velikost v rychlosti a velikost a zrychlení kamínku jako funkce času. c) Určete největší a nejmenší velikost rychlosti kamínku vzhledem k vozovce. Řešení: a) Kamínek koná vzhledem k vozovce dva na sobě nezávislé pohyby, společně sautomobilempohybposuvnýrovnoměrnývesměruosy xavzhledemkautomobilu rovnoměrný pohyb po kružnici. Souřadnice kamínku ve zvolené soustavě souřadnic splňují rovnice x=v 0 t Rsin v 0 R t, y= Rcos v 0 R t. Postupným derivováním dostaneme v x v y = dx = v 0 v 0 cos v 0 R t=v 0 = dy = v 0sin v 0 R t, ( 1 cos v ) 0 R t, a x a y = dv x = v2 0 R sin v 0 R t, = dv y = v2 0 R cos v 0 R t. b) Pro velikosti rychlosti a zrychlení platí: ( v= vx+ 2 vy= 2 v0 2 1 cos v ) 2 0 t + v 2 v 0 R 0 sin2 t= R = v 0 1 2cos v 0 t+cos 2 v ( 0 t+sin 2 v 0 t=v R R R cos v ) 0 t, R v a= a 2 x + a2 y = 4 0 v 0 R 2sin2 t+ v4 0 v R R 2cos2 0 t= v2 0. R R c) Podle výsledku úlohy b) je velikost rychlosti minimální pro 24

25 cos v 0 R t=1, kdy v min =0amaximálnípro cos v 0 R t= 1, v 0 R t=2kp, v 0 R t=(2k+1)p, t=k 2pR v 0 = kt, t=(2k+1) pr v 0 = kt+ T 2, kdy v max =2v 0. Minimumnastanevždypřidotykukamínkusvozovkou, maximum vždy v nejvyšší poloze kamínku. T je perioda otáčení kola. Úloha 3.1: Harmonický pohyb hmotného bodu získáme jako kolmý průmět rovnoměrného pohybu tohoto bodu po kružnici do přímky ležící v rovině této kružnice. Zvolíme-li na uvažované přímce souřadnicovou osu y s počátkem v průmětu středu kružnice, je okamžitá výchylka harmonických kmitů dána rovnicí y= y m sin(ωt+ϕ 0 ). Určetezávislosti v y = v y (t), a y = a y (t). Dojednohoobrázkusestrojtegrafy všechtřízávislostípro ϕ 0 =0, ω = p 2 rad s 1, y m =0,20mvčasovém intervalu 0, 5 s. Úloha 3.2*: Okamžitá výchylka tlumených harmonických kmitů s nulovou počáteční fází je dána rovnicí y= y m e bt sinωt. Určetezávislosti v y = v y (t), a y = a y (t).pomocípočítačesestrojtegrafyvšech třízávislostípro y m =5,0cm, ω=10rad s 1, b=2,0s 1 včasovémintervalu 0,1s. Úloha 3.3: Koncový bod A velké ručičky věžních hodin je ve vzdálenosti r = = 2,0 m od osy otáčení. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic v rovině ciferníkuspočátkemvestředuciferníkutak,žeosa xsměřujekhodnotě3haosa ykhodnotě12h.započátečníokamžikpovažujmečas12:00h. a) Určete souřadnice x, y polohového vektoru bodu A a pomocí derivace souřadnice rychlosti a souřadnice zrychlení bodu A jako funkce času. 25

26 b) Ze souřadnic odvoďte velikosti okamžité rychlosti a okamžitého zrychlení bodu A. Řešte též číselně. Úloha 3.4: Pohyb hmotného bodu v prostoru je popsán časovými rovnicemi x=rcosωt, y= rsinωt, z= v 0 t. a)určetesouřadnice v x, v y, v z rychlosti vajejívelikost v. b)určetesouřadnice a x, a y, a z zrychlení aajehovelikost a. c)vysvětlete,pročpři v=konstje a 0. d) Popište slovně tvar trajektorie a způsob pohybu hmotného bodu po ní. Úloha3.5:Řeštepříklad3.3proventilekvevzdálenosti r < Rodosyotáčení, který se v nulovém čase nachází nad osou otáčení kola. Ostatní podmínky úlohy zůstávají. Úloha 3.6: Pohyb tělesa je popsán časovou závislostí polohového vektoru: r(t)=v 0 t i y m cosωt j+ (h 0 1 ) 2 gt2 k. a) Popište slovně daný pohyb. b) Napište rovnici pro rychlost v(t). c) Napište rovnici pro zrychlení a(t). d) Vyjádřete závislost velikosti rychlosti na čase v(t). e) Vyjádřete závislost velikosti zrychlení na čase a(t). f)určetemaximálnívelikost a max aminimálnívelikost a min zrychleníběhem pohybu. Úloha 3.7*: Ojnici pístu spalovacího motoru lze modelovat úsečkou délky l, jejížkoncovýbod Asepohybujepokružniciopoloměru r < ladruhýkoncový bod Bpoose xspočátkemvestředu Stétokružnice.Pohybbodu Apovažujte za rovnoměrný s konstantní úhlovou rychlostí ω. V nulovém čase leží bod A na ose x mezi body S, B. Najděte funkce vyjadřující závislosti souřadnice x polohyasouřadnice v x okamžitérychlosti vbodu Bnačase t. 26

27 4 Tečné a normálové zrychlení Nejprve si připomeneme rovnoměrný pohyb po kružnici a odvodíme vztah pro jeho dostředivé zrychlení. U rovnoměrného pohybu po kružnici zůstává velikost okamžité rychlosti konstantní, avšak směr vektoru rychlosti se neustále mění, a to rovnoměrně. B v v C ϕ v S r A v s r ϕ A v Předpokládejme, že během velmi malého časového intervalu t se hmotný bod posune po kruhovém oblouku velmi malé délky s zbodu Adobodu A,přičemžjehoprůvodičopíševelmimalýúhel ϕ.vektor vtak přejdenavektor v,přičemž v = v. Přenesme vektor v tak, aby oba vektory v, v měly společnýpočáteční bod. Orientovaná spojnice koncových bodů vektorů v a v,tedyvektor v= v v, pak udává změnu vektoru rychlosti. Vektor v tvoří základnu rovnoramenného trojúhelníka A BC,svíráprotosesvýmirameny úhel90 ϕ 2.Popřenesenívektoru vdo bodu Asvírásúsečkou ASúhel ϕ 2. Budeme-li uvažovat namísto velmi malého časového intervalu t nekonečně malýinterval,čímžvelmimalézměny s, ϕ, vpřejdounanekonečně malézměnyds,dϕ,dv,mávektordvodúsečky ASnekonečněmalouodchylku dϕ 2,čímžlimitněsměřujedostředu S.Podíl dv = a pakurčujevektornazývanýdostředivézrychlení.velikostdostředivéhozrychleníje a d = dv, kde dv =v dϕ. 2 Podosazenímáme a d = v dϕ asuvážením v= rω pak je a d = rω 2 = v2 r. Dostředivé zrychlení rovnoměrného pohybu po kružnici lze též odvodit derivováním polohového vektoru 2 Ukřivočarýchpohybůnutnorozlišovatvelikostzměnyvektorurychlosti dv = v v azměnuvelikostirychlostidv=v v,kterájeurovnoměrnéhopohybupokružnicinulová. 27

28 r=(rcosωt,rsinωt), zvolíme-li počátek soustavy souřadnic ve středu kružnice. Postupně dostaneme: ( ) dx v=,dy =( rωsinωt,rωcosωt), ( ) dvx a=,dv y = =( rω 2 cosωt, rω 2 sinωt)= ω 2 r. Z výsledku je zřejmé, že zrychlení hmotného bodu při rovnoměrném pohybu po kružnici má opačný směr než polohový vektor r, míří tedy do středu trajektorie, ajehovelikostje a=rω 2. y rsinωt O r v a ωt rcosωt Nyní se zaměříme na obecný křivočarý nerovnoměrný pohyb. Předpokládejme, že se hmotný bod pohybuje po křivce nerovnoměrným pohybem. V každém bodě trajektorie můžeme velmi malý úsek křivky přibližně nahradit obloukem kružnice o jistém poloměru. Zmenšováním délky tohoto úseku křivky nahrazuje kruhový oblouk úsek křivky přesněji. V limitním případě, tj. v případě nekonečně malé délky úseku křivky, existuje právě jedna kružnice, jejíž oblouk nekonečně malé délky kopíruje přesně zakřivení trajektorie v daném bodě A. Tato kružnice se nazývá oskulační kružnice. Předpokládejme,ževbodě Amáhmotnýbodrychlost v,vbodě A,kam dorazíovelmimalýčasovýinterval tpozději,márychlost v.vektory v a v svírajíúhel ϕ.vektor vpřenesemetak,abyjehopočátečníbodsplýval spočátečnímbodemvektoru v.vektor v= v vpakurčujezměnuvektoru rychlosti v během časového intervalu t. x A A v ϕ v v v t v B v n C r ϕ 28

29 Vektor vlzerozložitnadvanavzájemkolmévektory,natečnývektor v t, kterýurčujezměnu vvelikostirychlosti v,ananormálovývektor v n,který určuje změnu ϕ směru rychlosti v. Ztrojúhelníku A BCplyne cos ϕ= v+ v t. Uzrychlenéhopohybu majívektory v a v t stejnýsměr,uzpomalenéhovzájemněopačný.proto je možnérovniciupravitnatvar v t = v cos ϕ v. Prozrychlenýpohybje v t >0, prozpomalený v t <0. Povydělenídobou t dostaneme v t t = v cos ϕ v. Blíží-lise t knule,blížíse cos ϕ kjednéačitatel t v vseblížíkdv,čímždostávámetečnézrychlení a t ovelikosti a t = v v Samotné a t představujesouřadnicitečného zrychlení měřenou v tečně (pro zrychlenýpohybje a t > 0, prozpomalený a t <0).Tečnézrychleníjako vektorlzezapsat a t = a t,kde = v v je jednotkový vektor ve směru okamžité rychlosti. v = dv. A Z trojúhelníku A BC dále plyne sin ϕ = v n, z čehož dostaneme v n t = v sin ϕ. Pro tblížícíseknulelzepsát dv n t v n a n v a a t = v dϕ,neboť pronekonečněmalýúheljesindϕ=dϕ.dálejedϕ= v,kde vjenekonečněmalýpřírůstekdráhy.podosazenídostaneme dv r n = v v r. Vzhledem krovnosti v = v pronekonečněmalýčasovýintervalmámehledanénormálovézrychlení a n ovelikosti a n = dv n = v2 r. Normálovézrychleníjakovektorlzeanalogickyzapsat a n = a n n, kde nje jednotkový vektor směřující od bodu A do středu oskulační kružnice. Složením tečného a normálového zrychlení dostaneme celkové zrychlení, které můžeme též zapsat jako derivací vektoru rychlosti: a=a t + a n = dv t +dv n =dv t+dv n = dv. 29

30 Normálové zrychlení má směr do středu oskulační kružnice, tečné zrychlení má v případě zrychleného pohybu směr okamžité rychlosti, v případě zpomaleného pohybu směr opačný. Na obrázku je směr vektorů okamžité rychlosti a tečného zrychlení shodný, znázorněný pohyb je v daném okamžiku zrychlený. Vzhledem ke kolmosti tečného a normálového vektoru platí pro velikost zrychlení a= (dv ) 2 a 2 t+ a 2 n= + v4 r 2. Speciálně pro přímočarý nerovnoměrný pohyb, kdy v libovolném bodě trajektoriejenulovézakřivení,tedy r,azrychlenímápouzetečnousložku, platí a= a t = dv. Naopak speciálně pro rovnoměrný křivočarý pohyb, kdy časová změna velikostirychlostivlibovolnémbodětrajektoriejenulová,tedy dv =0,azrychlenímápouzesložkunormálovou(dostředivou),platí a=a n = v2 r. Poloměr zakřivení trajektorie se během pohybu může měnit. Příklad4.1:VůzF1ocelkovéhmotnosti m=600kgsepohybujesúčinným výkonem motoru(s výkonem spotřebovávaným pouze na zrychlování vozu) P =200kW zatáčkoutvarukruhovéhoobloukuopoloměru r=100m ve vodorovnéroviněokamžitourychlostíovelikosti v=150km h 1. g=9,81m s 2. a) Určete velikosti tečného, normálového a celkového zrychlení. b) Určete přetížení pilota, tj. poměr velikostí výsledné síly působící na pilota a jeho tíhové síly. Řešení: a)provýkonplatí P= Fv=m dv v,zčehožurčímetečnézrychlení a t = dv = P mv =8,0m s 2. Normálovézrychleníje a n = v2 r =17,4m s 2. Celkovézrychleníje a= a 2 t+ a 2 n=19,1m s 2. b)vevztažnésoustavěspojenésautomobilempůsobínapilotaohmotnosti m 1 vevodorovnéroviněsetrvačnásíla F s = ma akolmoknítíhovásíla F G = mg.jejichvýslednicemávelikost F= F 2 s + F2 G.Hledanýpoměrje 30

31 F F 2 = s + FG 2 a2 + g = 2 =2,2. F G F G g Příklad4.2:Hmotnýbodjevrženpodelevačnímúhlem α 0 rychlostí v 0 tak, že koná šikmý vrh. Určete závislosti a) okamžité rychlosti na čase, b) a t a a n načase. Řešení: a) Z obrázku pro souřadnice okamžité rychlosti plyne v x = v 0 cosα 0, v y = v 0 sinα 0 gt. Velikost okamžité rychlosti pak je v= vx+ 2 vy= 2 v0 2 2v 0gtsinα 0 + g 2 t 2. b) Každý vektor lze rozložit do dvou různých směrů. Z hlediska vlastní příčiny je vhodné(a navíc jednoduché) rozložit vektor okamžitého zrychlení do směrůsouřadnicovýchos(př.3.2): a x =0, a y = g.okamžitézrychlenílze však také rozložit do směru tečného a kolmého k trajektorii. Fyzikální význam těchto složek je okamžitá časová změna velikosti rychlosti a okamžitá časová změna směru rychlosti. y v y v a t α α v x α v y α v v x a t v y0 v 0 a n a n O α 0 v x0 a=g a=g x Souřadnici a t tečnéhozrychleníurčímezevztahu a t = dv = d v 2 0 2v 0 gtsinα 0 + g 2 t 2 g(gt v = 0 sinα 0 ) v 2 0 2v 0 gtsinα 0 + g 2 t. 2 Uvážíme-li,žezávorkavčitatelivyjadřujesouřadnicirychlosti v y ajmenovatelvelikostrychlosti v,lzepsát a t = g v y v.vdoběvýstupuje v y >0, 31

32 a t < 0.Tečnézrychlenímáopačnýsměrnežvektorokamžitérychlosti, pohyb je zpomalený. V době sestupu je tomu naopak. Provelikostnormálovéhozrychlenínelzepoužítvztah a n = v2 r, neboť neznáme poloměr oskulační kružnice v jednotlivých bodech trajektorie. Známevšakcelkovézrychlenípohybu a=g, zčehož a n = g 2 a 2 t. Po dosazení a úpravě dostaneme gv a n = v 0 cosα v 0 gtsinα 0 + g 2 t. 2 Výrazmožnotéžzjednodušitnatvar a n = g v x v. Vzhledemkekonstantní souřadnici v x je normálovézrychlenínepřímoúměrné velikostiokamžité rychlosti. Zrovnosti a n = v2 r = gv x lzeurčitzávislostpoloměrukřivostitrajektorie na rychlosti v r= v3 v = 3. gv x gv 0 cosα 0 Vzorce a t = g v y v, a n=g v x lzesnadnoověřitbezpoužitíderivace. v Proúhel α,kterýsvírávektorokamžitérychlosti vsosou x,totižplatí: sinα= v y v = a t g, cosα= v x v = a n g. Příklad 4.3: Rovnoměrně zrychlený pohyb hmotného bodu po kružnici je popsán parametrickými rovnicemi x=rcos 1 2 εt2, y= rsin 1 2 εt2, kde r je poloměr kružnice a ε stálé úhlové zrychlení. Odvoďte závislost tečného, normálového a celkového zrychlení na čase. Řešení: Souřadnice rychlosti ve směrech x a y jsou v x = dx = rεtsin1 2 εt2, v y = dy = rεtcos1 2 εt2. Pro velikost okamžité rychlosti platí ( v= vx+ 2 vy= 2 rεtsin 1 ) 2 ( 2 εt2 + rεtcos 1 ) 2 2 εt2 = rεt. Tečnézrychlení a t vyjadřujeokamžitoučasovouzměnuvelikostirychlostia urovnoměrnězrychlenéhopohybujekonstantouúměrnostivevztahu v=a t t. Porovnánímspředchozírovnicídostáváme a t = rε. 32

33 Souřadnice zrychlení ve směrech x a y jsou a x = dv x = rεsin1 2 εt2 rε 2 t 2 cos 1 2 εt2, a y = dv y = rεcos1 2 εt2 rε 2 t 2 sin 1 2 εt2. Pro velikost celkového zrychlení platí a= a 2 x+ a 2 y= ( = rεsin 1 2 εt2 rε 2 t 2 cos 1 ) 2 ( 2 εt2 + rεcos 1 2 εt2 rε 2 t 2 sin 1 ) 2 2 εt2. Poumocněnídvojčlenůapoúpravědostáváme a= r 2 ε 2 + r 2 ε 4 t 4.Porovnánímsevzorcem a= a 2 t + a2 n dostáváme,žetečnézrychlení a t= rεjekonstantníanormálovézrychlení a n = rε 2 t 2 rostesčasemkvadraticky.normálové zrychlenílzetéžzískatdosazením v= rεt dovztahu a n = v2 r. Úloha 4.1: Centrifuga s kosmonautem o celkové hmotnosti m se ve vodorovné rovině roztáčí se stálým výkonem P. Poloměr kružnicové trajektorie kosmonautaje r.určetezávislostveličin a, a t, a n načase.kabinuskosmonautem považujte za hmotný bod, hmotnost ramene zanedbejte. 33

34 5 Druhý Newtonův pohybový zákon Pohybovým účinkem síly je časová změna hybnosti tělesa, přičemž se v průběhu času může měnit nejen rychlost tělesa, ale i jeho hmotnost. Pro jednoduchost se omezíme na klasickou fyziku a zanedbáme relativistickou změnu hmotnosti. Hmotnost tělesa se bude měnit zachycováním, uvolňováním nebo vymršťováním hmoty. Působí-li na těleso stálá síla, je vektor této síly F určen poměrem změny vektoruhybnosti padoby t,běhemněhožktétozměněhybnostidošlo: F= p t. Vektor hybnosti se přitom mění rovnoměrně. Není-li síla působící na těleso stálá, udává vzorec průměrnou sílu působící na těleso v časovém intervalu t. Okamžitou sílu vyjádříme podílem nekonečně malé změny hybnosti a nekonečně malého časového intervalu této změně odpovídajícímu, tedy derivací hybnosti podle času: F= dp, nebolipodle3.kap.vesložkách F= i dp x + jdp y + kdp z. Jelikož p = mv, přičemž obecně rychlost i hmotnost mohou být funkcemi času, podle pravidla(p3) pro derivaci součinu funkcí platí: F= dp = d (mv)=mdv + vdm. (5.1) Okamžitou sílu tak tvoří součet dvou členů. První z nich vyjadřuje změnu hybnosti tělesa vlivem změny jeho okamžité rychlosti. Druhý vyjadřuje změnu hybnosti tělesa vlivem změny jeho hmotnosti. V rovnici(5.1) mohou nastat speciální případy: dm a) Nemění-li se během pohybu hmotnost tělesa, tj. =0, platíznámý aběžnývztah F= m dv = ma. Okamžitásílajepřímoúměrnáokamžitému zrychlení. dv b) Nemění-li se během pohybu rychlost tělesa, tj. =0,platí F= vdm. Okamžitá síla je přímo úměrná časové změně hmotnosti. c) Působí-li síla ve směru pohybu tělesa, je pohyb přímočarý a rovnici(5.1) můžeme psát ve skalárním tvaru F= dp = d (mv)=mdv + vdm. 34

35 Úpravou rovnice(5.1) dostaneme diferenciál impulzu dp=f=mdv+ vdm. Znázorníme situaci pro přímočarý zrychlený pohyb při rostoucí hmotnosti tělesa.(těleso při pohybu postupně zachycuje klidnou hmotu.) Tehdy rychlost v a přírůstek rychlosti dv mají shodný směr a pro velikost diferenciálu impulzu platí dp =dp=f=mdv+ vdm. Obsahobdélníkaostranách mavudávávelikosthybnosti ptělesavčase t, obsahobdélníkaostranách m+dmav+dvpakvelikosthybnostitělesavčase t+. Rozdíl obsahů představuje elementární přírůstek velikosti hybnosti dp tělesa neboli velikost elementárního impulzu síly F. Obsah proužku o stranách madvpředstavujevelikostpřírůstkuhybnosti dp 1 = m dv tělesavlivem změny velikosti jeho okamžité rychlosti při dané hmotnosti, obsah proužku ostranách vadmpakznázorňujevelikostpřírůstkuhybnosti dp 2 = v dm tělesavlivemzměnyjehohmotnostipřidanéokamžitérychlosti. Obdélníček o stranách dm a dv je vzhledem k obsahu proužků zanedbatelný. dv dp 1 = m dv dm dv v p=mv dp 2 = v dm m dm Příklad 5.1: Stanovte velikost síly působící na těleso při jeho přímočarém pohybu za podmínek: a) m=konst, v= konst, b) m=konst, v(t)=at, kde a=konst, c) m(t)=m 0 + m 1 m 0 t 1 t, v= konst, kde m 1 > m 0, d) m(t)=m 0 + m 1 m 0 t 1 t, v(t)=at, kde m 1 > m 0, a=konst. Řešení: Pohybjepřímočarý,můžemeprotovevšechpřípadechpsát F= dp. 35

36 a)platí F= dp = d (mv)=0, tedytělesoskonstantníhmotnostísepohybuje rovnoměrně bez působení vnější síly, tj. setrvačností. b) Těleso s konstantní hmotností koná rovnoměrně zrychlený pohyb, pro velikost síly platí F= dp = d (mv(t))=md (at)=ma=konst. c)při stálé rychlosti v hmotnost m lineárně roste. Závislost odpovídá rovnoměrnému nabalování klidnéhmoty při stálé rychlosti tělesa, např. při průjezdu vagonu pod násypkou, z níž rovnoměrně svisle dolů padá sypký materiál. Derivováním dostaneme F= d ( m 0 + m ) 1 m 0 t = t 1 = m 1 m 0 t 1 = konst. K udržení rychlosti vagonu, a tedy k uvádění rovnoměrně padající hmoty do pohybu, je nutná konstantní síla. d) Situace je obdobou případu c), rychlost tělesa však rovnoměrně roste. Pro okamžitou sílu platí F= d [( m 0 + m 1 m 0 t 1 t = d je tedy lineární funkcí času. ) ] at m m 1 m 0 O = ( m 0 at+ m 1 m 0 t 1 at 2 ) t 1 = m 0 a+2a m 1 m 0 t 1 t, Příklad5.2:Lokomotivatáhnevagonohmotnosti m 0 =20tpodnásypkou, znížpadásvisledolůštěrkshmotnostnímtokem dm =600kg s 1. Určete závislost na čase síly, kterou působí lokomotiva na vagon, jestliže se pohybuje a)rovnoměrněstálourychlostí v 0 =0,5m s 1, b)rovnoměrnězrychleněsezrychlením dv =0,2m s 2. Řešení: Jednáseopřímočarýpohyb,prosíluvesměrupohybuplatízákonsílyve skalárním tvaru F= m(t) dv + v(t)dm, 36 t

37 kde rychlost i hmotnost jsou obecně funkcí času. V našem případě hmotnost vagonusnáklademzávisínačasepodlevzorce m=m 0 + dm t. a)přirovnoměrnémpohybuje v=v 0 = konst,tedy dv =0.Prosíluplatí F= v(t) dm = v dm 0 =0,5 600N=300N. Touto konstantní silou je urychlován bezprostředně po svém dopadu pouze přibývající náklad, poté se pohybuje s vagonem konstantní rychlostí. b)přirovnoměrnězrychlenémpohybuje v=at,tedy dv = a.prosíluplatí F= m(t) dv ( + v(t)dm = m 0 + dm ) t a+at dm = = m 0 a+2at dm =4000N+t 240N s 1. Touto lineárně rostoucí silou je urychlován vagon s dosud dopadnutým štěrkemsdanýmzrychlenímauváděndopohybuprávědopadajíštěrknaokamžitou rychlost vagonu. Příklad 5.3: Těleso se pohybuje tak, že jeho rychlost roste podle rovnice v(t) = = Bt 2 ajehohmotnostlineárněklesápodlevztahu m=m 0 At, přičemž hmota se bez silového působení uvolňuje až do zániku tělesa. a) Sestrojte graf závislosti velikosti pohybové síly na čase. b) Určete velikost rychlosti a velikost zrychlení pohybu v okamžiku zániku tělesa.řeštenejprveobecně,pakprohodnoty m 0 =10kg, A=1kg s 1, B=1m s 3. Řešení: a) Jelikož uvolňující se hmota tělesa není do žádného směru odhazována,člen v dm se neuplatňuje. Síla je nutná pouze na požadované urychlování ubývajícího tělesa.prohledanou pohybovou sílu platí F(t)=m dv =(m 0 At) d (Bt2 )= =2Bm 0 t 2ABt 2. Grafem je parabola. F Bm 2 0 2A O m 0 2A m 0 A t 37

38 b)dosazením t = m 0 A = 10 s dostaneme vbt2 = B m2 0 A 2 = 100 m s 1. Zrychlenívtémžečaseje a= dv =2Bt=2Bm 0 A =20m s 2. Úloha 5.1: Na vodorovný dopravníkový pás s jmenovitým přepravním výkonem800kg min 1 arychlostíposuvupásu3m s 1 dopadávesvislém směru sypký materiál. Určete velikost síly, která při plném výkonu působí na dopravník ve vodorovném směru vlivem dopravy materiálu. Úloha 5.2: Lokomotiva táhne po vodorovných kolejích ve směru osy x cisternu, znížvytékávodasestálýmhmotnostnímtokem15kg s 1 výtokovourychlostí ovelikosti6m s 1.Pohybcisternyje 1) rovnoměrný, 2)rovnoměrnězrychlenýsezrychlením0,4m s 2. Voda z cisterny vytéká a) svisle dolů, b)vesměrujízdy, c) proti směru jízdy. Určeteprovšechnykombinacezávislostsložkyokamžitésíly F x,kteroupůsobí lokomotiva na cisternu, na čase. V daném okamžiku je hmotnost cisterny 60 t. Výtokovou rychlost považujte za nezávislou na zrychlení cisterny. Úloha5.3:Vlakohmotnosti400tsepohybujepovodorovnýchkolejíchvdešti sezrychlením0,1m s 2.Zakaždousekundudopadnenapovrchvlaku60kg vody. Předpokládáme, že dešťová voda je urychlována na rychlost vlaku a poté stéká na zem. Určete velikost tahové síly motoru lokomotivy při okamžité rychlosti90km h 1. Úloha5.4:Kropicívůzserozjíždísestálýmzrychlením0,5m s 2 přisoučasnémkropenívesměrujízdyvýtokovourychlostí20m s 1 sestálýmprůtokem 4kg s 1.Počátečníhmotnostvozuje8000kg.Určetezávislostvelikostisíly, kterou se vůz rozjíždí, na čase. Úloha5.5:Vlakopočátečníhmotnosti m 0 sevdeštirozjíždízklidusestálým dm zrychlením a. Dešťová voda padá na vlak rovnoměrně s vydatností = k a v otevřených vagonech zůstává. Určete závislost síly motorů lokomotivy na čase. 38

39 6 Zákon zachování hybnosti Při vzájemném působení dvou těles je podle 3. Newtonova pohybového zákona splněno F 1 = F 2, kde F 1 jesíla,kteroupůsobídruhétělesonaprvníaf 2 jesíla,kteroupůsobí první těleso na druhé. Tyto síly, akce a reakce, mají tedy stejnou velikost, navzájemopačnýsměr.vznikazánikjednésílyjevždyspojensevznikema zánikem síly druhé. Mají-li síly pohybový účinek, způsobí každá z nich během doby změnu hybnosti tělesa, na které působí: F 1 = dp 1, F 2= dp 2 Dosazením do vztahu(6.1) pak dostaneme: z čehož plyne dp 1 = dp 2, dp 1 = dp 2, neboli dp 1 +dp 2 = 0. Tyto rovnice představují zákon zachování hybnosti v diferenciálním tvaru pro dvě tělesa: Změny hybnosti při vzájemném silovém působení dvou těles jsou stejně velké, ale opačného směru. Jinými slovy: Celková hybnost izolované soustavy dvou těles zůstává konstantní. Tento závěr je možné rozšířit na izolovanou soustavu libovolného počtu těles. Pak platí: p 1 + p p n = konst. Uvedená rovnice vyjadřuje zákon zachování hybnosti: Součet hybností těles izolované soustavy je konstantní. Příklad 6.1: Odvoďte vztah pro okamžité zrychlení rakety a) ve volném kosmickém prostoru, b) v gravitačním poli. Řešení: a) Označme v okamžitou rychlost rakety ve volném kosmickém prostoru, u okamžitou rychlost tryskajících plynů vzhledem k raketě, m okamžitou hmotnostrakety,dm (dm <0) změnuhmotnostiraketyzadobu.pak dm vyjadřuje hmotnost vytrysknutých plynů za tutéž dobu. Plyny získají vzhledemkraketěokamžitouhybnostdp 1 = udm, atovlivemsíly 39

40 F 1 = dp 1 = udm kterounaněraketapůsobí.současněvzrostehybnostraketyodp 2 = mdv. Příčinou je síla, F 2 = dp 2 = mdv kterou působí naopak plyny na raketu. Dosazením do 3. Newtonova pohybovéhozákona F 1 = F 2 dostaneme: určujehledanéokamžitézrychlení arakety,kterézrovnicevyjá- dv Podíl dříme: udm = mdv.., a(t)= dv = u dm m(t). (6.1) Okamžité zrychlení rakety tak závisí na její okamžité hmotnosti m, na rychlosti u tryskajících plynů vzhledem k raketě a na časové změně hmotnosti rakety dm dm.jelikožvevektorovérovnicije <0, majívektory aau navzájemopačnýsměr.kladnáveličina Q= dm představuje hmotnostní tok plynů. b)vgravitačnímpolisgravitačnímzrychlením a g jižsoustavaneníizolovaná, neboťjepodvlivemgravitačnísíly F g = ma g, kteráobecnězávisínapolozerakety,atedypřijejímpohybuinačase.kezrychleníraketyvlivem vlastního pohonu vektorově přičteme zrychlení gravitačního pole, tj. a(t)= u dm m(t) + a g(t). Příklad 6.2: Na obrázku je model reaktivního pohonu. Vozík o hmotnosti m 0 =2kgtvořínádobaoobsahuvnitřníhoprůřezu S=1dm 2 postavenána podvozku. U dna nádoby se nachází výtokový otvor o obsahu vnitřního průřezu S 0 =1cm 2.Nádobunaplnímekapalinouhustoty =1000kg m 3.Určete velikost zrychlení vozíku při okamžité výšce hladiny h = 25 cm nad výtokovým otvorem. Vliv setrvačných sil působících na kapalinu na stav hladiny a na tlak ve výtokovém otvoru zanedbejte. 40

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Mechanika - kinematika

Mechanika - kinematika Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu

Více

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Počty testových úloh

Počty testových úloh Počty testových úloh Tematický celek rok 2009 rok 2011 CELKEM Skalární a vektorové veličiny 4 lehké 4 těžké (celkem 8) 4 lehké 2 těžké (celkem 6) 8 lehkých 6 těžkých (celkem 14) Kinematika částice 6 lehkých

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/ Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Řešení úloh 1. kola 52. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D., kde t 1 = s v 1

Řešení úloh 1. kola 52. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D., kde t 1 = s v 1 Řešení úloh kola 5 ročníku fyzikální olympiády Kategorie D Autořiúloh:JJírů(až6),MJarešová(7) a) Označme sdráhumezivesnicemi, t časjízdynakole, t časchůze, t 3 čas běhuav =7km h, v =5km h, v 3 =9km h jednotlivérychlosti

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Derivace goniometrických. Jakub Michálek, Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Kinematika. Tabulka 1: Derivace a integrály elementárních funkcí. Funkce Derivace Integrál konst 0 konst x x n n x n 1 x n 1.

Kinematika. Tabulka 1: Derivace a integrály elementárních funkcí. Funkce Derivace Integrál konst 0 konst x x n n x n 1 x n 1. Kinematika Definice: Známe-li časový průběh polohového vektoru r(t), potom určíme vektor okamžité rychlosti hmotného bodu časovou derivací vektoru r(t), v= d r dt Naopak, známe-li časový průběh vektoru

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2)

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2) Test a. Lučištník vystřelil z hradby vysoké 40 m šíp o hmotnosti 50 g rychlostí 60 m s pod úhlem 5 vzhůru vzhledem k vodorovnému směru. (a V jaké vzdálenosti od hradeb se šíp zabodl do země? (b Jaký úhel

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu Kinematika hmotného bodu (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 17. října 2009 Obsah Hmotný bod, poloha a vztažná soustava Trajektorie. Dráha Polohový vektor. Posunutí Rychlost

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Dynamika Obor mechaniky, který se zabývá příčinami změn pohybového stavu těles, případně jejich deformací dynamis = síla

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

2. Dynamika hmotného bodu

2. Dynamika hmotného bodu . Dynamika hmotného bodu Syllabus:. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. BIOMECHANIKA 4, Kinematika pohybu I. (zákl. pojmy - rovnoměrný přímočarý pohyb, okamžitá a průměrná rychlost, úlohy na pohyb těles, rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb, volný pád) Studijní program,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

n je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně

n je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně Konzultace č. 9 dynamika dostředivá a odstředivá síla Dynamika zkoumá zákonitosti pohybu těles se zřetelem na příčiny (síly, silové účinky), které pohyb vyvolaly. Znalosti dynamiky umožňují řešit kinematické

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

s 1 = d t 2 t 1 t 2 = 71 m. (2) t 3 = d v t t 3 = t 1t 2 t 2 t 1 = 446 s. (3) s = v a t 3. d = m.

s 1 = d t 2 t 1 t 2 = 71 m. (2) t 3 = d v t t 3 = t 1t 2 t 2 t 1 = 446 s. (3) s = v a t 3. d = m. Řešení úloh 1. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů 1.a) Označme v a velikost rychlosti atleta, v t velikost rychlosti trenéra. Trenér do prvního setkání ušel dráhu s 1

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20)

= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20) Tečné zrychlení získáme průmětem vektoru zrychlení a vynásobením jednotkovým vektorem ve směru rychlosti do směru rychlosti a a t v v a v v = (1.19) Podotýkáme, že vektor tečného zrychlení může být souhlasně

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více