Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod."

Transkript

1 vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x. x. Najděte definiční obor funkce fx, y = arccos x + y. Řešení: Definiční obor je množina všech [x; y] R, pro která platí 1 x x + y 1. Tato množina se skládá ze dvou tupých úhlů omezených přímkami y = a y = x s hranicí, ale bez bodu [; ]. 3. Najděte definiční obor funkce fx, y = x + y 14 x y. Řešení: Definiční obor je množina 1 x + y 4, což je uzavřené mezikruží se středem v počátku, s poloměrem vnitřního kruhu 1 a vnějšího. 4. Najděte definiční obor funkce f 1 x, y = lnxy a f x, y = ln x + ln y. Řešení: Definiční obor funkce f 1 je množina xy >, což je otevřený první a třetí kvadrant, kdežto definiční obor funkce f je množina x > a y >, což je otevřený první kvadrant. 5. Najděte definiční obor funkce fx, y, z = ln 1 x y + z. Řešení: Definiční obor je dán rovnicí 1 x y +z >, což je vnitřek dvojdílného hyperboloidu x + y z = Najděte vrstevnice funkce z = x + y. Řešení: oustředné kružnice x + y = pro > ; bod [; ] pro = ; prázdná množina pro <. 7. Najděte vrstevnice funkce z = 1 x + y. Řešení: Prázdná množina pro ; elipsy x + y = 1 pro >. 8. Najděte vrstevnice pro funkci z = minx, y. Řešení: Přímky y = pro z = < ; přímka y = a polopřímka x =, y pro z = ; polopřímky y =, x a x a x = ±, y pro >. 9. Najděte hladiny konstantní úrovně funkce ux, y, z = x + y z. Řešení: Máme popsat množinu x + y z =, kde je konstanta. Pro > je to množina jednodílných hyperboloidů; pro < je to množina dvojdílných hyperboloidů; pro = je to kužel. Typeset by AM-TEX 1

2 y 1. Najděte funkci fx, jestliže f = x x + y x pro x >. Řešení: Označme u = y x. Pak je y = ux a fu = x + u x fx = 1 + x. 11. Najděte fx, y, jestliže f x + y, y = x y. x Řešení: Označme u = x + y a v = y. Inverzní zobrazení je x = u x Z toho dostaneme fu, v = Tedy fx, y = 1 y 1 + y x. u 1 + v u v 1 + v = 1 v 1 + v u = 1 v 1 + v u. x = 1 + u. Tedy 1 + v a y = uv 1 + v.

3 vičení Metrické prostory. Normované prostory. Prostory se skalárním součinem. Definice 1. Nechť M je množina a ρ : M M R s následujícími vlastnostmi: 1 ρx, y, ρx, y = x = y, ρx, y = ρy, x, 3 ρx, y ρx, z + ρy, z, pro každé x, y, z M. Pak se funkce ρ nazývá metrika a množina M s funkcí ρ se nazývá metrický prostor. Vztah 3 se nazývá trojúhelníková nerovnost. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp. nad, a ν : V R taková, že pro každé x, y V a α R platí: 1 νx, νx = x =, ναx = α νx, 3 νx + y νx + νy. Funkce ν se nazývá norma. Věta 1. Nechť V je vektorový prostor a ν je norma na V. Pak je funkce ρ : V V R definovaná vztahem ρx, y = νx y metrika na V. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Máme ukázat, že pro funkci ρ platí 1 3 z definice 1. Podle 1 z definice platí ρx, y = νx y a ρx, y = νx y = x y = x = y. Tedy platí 1. Podle platí ρx, y = νx y = ν 1 y x = νy x = ρy, x, a tedy platí. Podle 3 z definice je ρx, y = νx y = ν x z+z y νx z+νz y = ρx, z + ρy, z, což je trojúhelníková nerovnost z definice 1. Definice 3. Je-li V vektorový prostor a ν norma na V, pak nazýváme metrický prostor V s metrikou definovanou ve větě. normovaný vektorový prostor. Definice 4. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp.. kalární součin nazýváme funkci, : V V R, resp., která pro každé x, y, z V a α, β R, resp., má následující vlastnosti: 1 αx + βy, z = αx, z + βy, z, x, x, x, x = x =, 3 x, y = y, x. V 3 znamená α komplexně sdružené číslo k α. Obvykle se značí x, x = x. Takový vektorový prostor se nazývá prostor se skalárním součinem. 3

4 Věta. chwarzova nerovnost Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé x, y V platí x, y x y.. Dokažte větu. Řešení: Podle z definice skalárního součinu platí pro každé x, y V a λ nerovnost x λy, x λy. Přitom rovnost platí pouze tehdy, když x λy =, tedy je x násobek y. Když rozepíšeme tuto nerovnost, dostaneme x λy, x λy = x λy, x λx, y + λ y. Jestliže je y = platí v dokazovaném vztahu rovnost. Jestliže je y, položíme x, y y, x λ =. Pak je λ = y y a předchozí vztah dává x y, xx, y x, yy, x x, y y y + y = x x, y y. Odtud již plyne vztah x, y x y, z něhož získáme po odmocnění chwarzovu nerovnost. Povšimněte si, že rovnost nastává pouze tehdy, když x = λy nebo když je y =, tj. právě tehdy, když jsou vektoru x a y lineárně závislé. Věta 3. Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, pak je funkce x = x, x norma na V. 3. Dokažte větu 3. Řešení: Máme ukázat, že funkce νx = x má vlastnosti 1 3 z definice. Protože pro každé x V je x = x, x a x = právě tehdy, když x =, je splněna podmínka 1. plyne z rovnosti ax = ax, ax = a x, x = a x. K důkazu 3 použijeme chwarzovy nerovnosti. Protože pro každé komplexní číslo a platí nerovnost Rea a, dostaneme x + y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y = = x + Rex, y + y x + x, y + y x + x y + y = x + y. Po odmocnění tedy x + y x + y, což je 3 z definice normy. 4. Nechť M je libovolná neprázdná množina. Dokažte, že funkce { pro x y ρx, y = 1 pro x = y 4

5 je metrika na M. Jak vypadají otevřené a uzavřené množiny v tomto metrickém prostoru? Řešení: Musíme ověřit, že daná funkce ρ má vlastnosti 1 3 z definice metriky. Vztahy 1 a jsou zřejmé. Abychom dokázali trojúhelníkovou nerovnost ρx, y ρx, z + ρy, z, stačí uvažovat případy x = y = z, x = y z, x = z y a x y z x. nadno se lze přesvědčit, že 3 je ve všech těchto případech splněno. Nechť je X libovolná podmnožina M a x X. Protože každé okolí U ε x, kde ε < 1 obsahuje jediný bod x a je tedy podmnožinou X. Tedy každý bod x X je vnitřní bod X, a tedy každá podmnožina M je otevřená. Proto je také pro každou množinu X M její doplněk M \ X otevřená množina. Tedy každá podmnožina M je také uzavřená. Věta 4. V prostoru R n je pro každé p 1 funkce resp. n ν p x = xi p i=1 1/p ν x = max x 1, x,..., x n norma v R n. Prostor R n s metrikou ρ p x, y = ν p x y je tedy normovaný prostor. n Norma ν vzniká ze skalárního součinu x, y = x i y i. i=1 5. Dokažte, že lim p ν px = ν x. Řešení: Označme X = max x 1, x,..., x n. Je-li X =, je x k = pro každé k. Nechť X. Pak pro každé i = 1,,..., n platí nerovnost y i = x i 1. Pak X ale pro každé p 1 platí n 1/p n 1/p x i p = X y i p. i=1 i=1 Protože y i 1, dostaneme z této rovnosti nerovnost n 1/p X xi p = ν p x Xn 1/p. i=1 A protože lim p n1/p = 1, dostaneme limitním přechodem p vztah X = ν x = lim ν px. p 5

6 6. V prostoru R 3 jsou dány body A = [1; ; 1], B = [; 4; 5] a = [ 3; ; 3]. Určete vzájemné vzdálenosti těchto bodů v prostorech s metrikami ρ 1, ρ a ρ. Ověřte v těchto případech trojúhelníkovou nerovnost. Řešení: Podle definice je ρ 1 A, B = = 9, ρ 1 A, = = 8, ρ 1 B, = = 17 ; ρ A, B = = 33, ρ A, = = 4, ρ B, = = 15 ; ρ A, B = max 1, 4, 4 = 4, ρ A, = max 4,, 4 = 4, ρ B, = max 5, 4, 8 = 8. Věta 5. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Označme a, b množinu všech spojitých funkcí na a, b. Pak je funkce νf = fx norma na prostoru a, b. sup x a,b 7. V prostoru, 1 najděte vzdálenost funkcí fx = x +x+1 a gx = 1+x. Řešení: Podle definice je ρf, g = sup fx gx = sup x x. x,1 x,1 Tato funkce je spojitá na kompaktním intervalu, 1. Tedy má na tomto intervalu maximum. Pro x, 1 je x x 1 = x x a pro x, 1 platí x x = x x. Protože derivace této funkce je rovna nule pouze v bodě x = 1, může funkce 4 nabývat maximum pouze v bodech x 1 = 1 4, kde je derivace nulová, x = 1, kde derivace neexistuje, x 3 = a x 4 = 1, což jsou krajní body intervalu. Největší hodnota této funkce je 1 v bodě x 4 = 1. Tedy ρf, g = Najděte funkci tvaru fx = ax, která má v prostoru, 1 nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. 6

7 Řešení: Naším úkolem je najít a R tak, aby byla minimální hodnota funkce F a = x ax. Označme Gx, a = x ax = x x a, kde x, 1 a sup x,1 a R. Pro a 1 je Gx, a = xa x. Tato funkce může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = a. Přímým výpočtem se přesvědčíme, že F a = a 1 pro a, a F a = a pro a 1,. 4 Pro a, 1 je Gx, a = xa x pro x, a a Gx, a = xx a pro x a, 1. Tato funkce proměnné x může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = a, x 3 = a a x 4 = 1. rovnáním funkčních hodnot v těchto bodech snadno zjistíme, že F a = a 4 pro a, 1 a F a = 1 a pro,. Pro a < je Gx, a = xx a. Tato funkce proměnné x nabývá maxima F a = 1 a v bodě x = 1. Tedy našli jsme funkci a 1 pro a, F a = ρx a, ax = pro a, 4 1 a pro a, Naším úkolem je najít minimum této funkce. Ta je spojitá a je klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu,. Tedy tato funkce nabývá minimum F min = 3 v bodě a =. Věta 6. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Uvažujme vektorový prostor L všech reálných spojitých funkcí na a, b. Pro každé p 1 je funkce 1/p b ν p f = fx p dx a norma na L. Normovaný prostor L s normou ν p budeme značit L p a, b. b Norma v L a, b vzniká ze skalárního součinu f, g = fxgx dx. a 9. V prostorech L 1, π a L, π najděte f, g a vzdálenost funkcí fx = sin x a gx = cos x. 7

8 Řešení: Podle definice je f 1 = g 1 = π π ρ 1 f, g = = f = π/4 π π sin x dx = sin x dx cos x dx = 4, sin x cos x dx = π π sin x dx = 4, 5π/4 π cos x sin x dx + sin x cos x dx + cos x sin x dx = π/4 5π/4 = 4 ; g = ρ f, g = π π π sin x dx 1/ = π, cos x dx 1/ = π, sin x cos x 1/ = π. 1. Najděte a tak, aby funkce fx = ax měla v prostoru a L 1, 1 ; b v prostoru L, 1, nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. Řešení: Naším úkolem je najít minimum funkce F a = ρx, ax. V případě 1, 1 je F a = x ax dx. L 1 Pro a 1 je Pro a, 1 dostaneme F a = a pro a < je 1 F a = 1 ax x dx = a 1 3. x ax a dx = ax x 1 + x ax dx = a3 3 a F a = 1 x ax dx = 1 3 a. Protože je funkce F a klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu 1,, leží její minimum v intervalu, 1. Protože F a = a 1, může existovat extrém pouze v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = 1. Funkční hodnoty v těchto bodech jsou a 8

9 F = 1 1 3, F ρ x x, = 6 =. 6 V případě prostoru L, 1 je a F 1 = 1 6. Tedy a = 1 a pro toto a je vzdálenost 1 F a = x ax 1/ 1 dx = 5 a + a 3. Tato funkce má derivaci rovnou nule pouze v bodě a = 3 a lze snadno ukázat, že 4 3 funkce F a nabývá v tomto bodě globálního minima F =

10 vičení 3 Limita posloupnosti v metrickém prostoru. auchy Bolzanova podmínka. Úplný prostor. Definice 1. Nechť M je metrický prostor s metrikou ρ a x n je posloupnost v M. Říkáme, že posloupnost x n má limitu x, jestliže lim ρx n, x =. Pak píšeme n lim x n = x. Posloupnost, která má limitu se nazývá konvergentní. Jestliže posloupnost nemá limitu, nazývá se n divergentní. Věta 1. Posloupnost x n v metrickém prostoru M má nejvýše jednu limitu. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Nechť je x y a lim ρx, x n = lim ρy, x n =. Pak ke každému n n ε > existují n x a x y takové, že pro každé n > n x je ρx, x n < ε a pro každé n > n y je ρy, x n < ε. Vezměme ε = 1 3 ρx, y >. Pro příslušná n x a n y položme n = maxn x, n y. Pak pro každé n > n platí ρx, y ρx, x n + ρy, x n < ρx, y. 3 Ale to je spor. Tedy ρx, y =, tj. x = y. Věta. Nechť x n = x 1 n,..., x k n je posloupnost prvků z R k s metrikou ρ p definovanou ve cvičení. Pak je posloupnost konvergentní, právě když jsou konvergentní všechny posloupnosti x i n, i = 1,..., k a platí lim x n = x, kde x i = lim n n xi n, i = 1,..., k. Dokažte větu. Řešení: Nechť je lim x n = x v prostoru s metrikou ρ p. Protože pro každé i = n 1,,..., k a p 1, platí nerovnost je lim x i x i n n k 1/p x i x i n x r x r p n r=1 = pro každé i = 1,,..., k, a tedy lim n xi n = x i. Nechť naopak pro všechna i = 1,,..., k je lim n xi n = x i. Pak ke každému ε > existují n i taková, že pro každé n > n i je x i x i n < ε. Vezměme k1/p n = max n 1, n,..., nk. Pak pro každé n > n platí nerovnost k x i x i p n i=1 k i=1 ε p k = εp. 1

11 Tedy pro n > n je ρ p x, xn < ε. Pro metriku generovanou normou ν x = max x 1, x,..., x n, platí pro každé i nerovnost x i x i n max x i x i n. i=1,,...,k i v této metrice plyne, že z lim x n = x vztah lim n n xi n = x i pro každé i. Abychom dokázali opačnou implikaci zvolíme k danému ε > čísla n i taková, že pro každé n > n i je x i x n i < ε a n = max n 1, n,..., nk. 3. Najděte limitu posloupnosti x n = n n+ + 1 n 4 n,, n + 1 n n, n + 1 π arctg n. Řešení: Podle věty stačí najít limity n n+ + 1 n 4 lim n n, lim, lim n + 1 n n, lim n n + 1 n n π arctg n. První tři limity jsou lim n lim n n + 1 n = + 1 n = ; n+ n 4 = 1 5 n + 1 n + 1 n+ = e 5 ; lim n + 1 n = lim n + 1 n n n n n n n = lim 1 n n n =. Poslední limitu nalezneme tak, že určíme limitu x lim x π arctg x = lim exp x ln π 1 arctg x = x = exp lim x x lnπ 1 arctg x. Pokud tato limita existuje, je rovna hledané limitě posloupnosti. Limitu v exponentu nalezneme pomocí l Hospitalova pravidla. lnarctg x + lnπ 1 lim x x 1 Tedy hledaná limita je lim x n =, e 5,, e /π. n x = lim x 1 + x arctg x = π. 11

12 4. Nechť f n x = x n a < η < 1. Najděte limitu posloupnosti f n v prostoru, η a v prostoru, 1. Řešení: Pro každé pevné x, 1 je lim n xn =. Tedy jestliže posloupnost konverguje, konverguje k funkci fx =. Konvergence posloupnosti funkcí v prostoru M znamená, že lim sup fx fn x =. n x M Protože jsou funkce f n x = x n spojité a intervalu, η, nabývají na tomto intervalu maxima. Protože jsou to rostoucí funkce proměnné x, nabývají maxima v bodě x = η < 1. Tedy stačí ukázat, že lim n ηn =. Nechť je < ε < 1. Pak stačí zvolit n tak, aby η n < ε, tedy n > ln ε ln η. Pak je pro každé n > n je η n < η n < ε, protože ε < 1. Tedy v prostoru, η je lim n xn =. Ale v prostoru, 1 je sup x n = 1. Tedy pro ε < 1 nelze najít n tak, aby x,1 pro n > n bylo x n. Proto v prostoru, 1 limita lim n xn neexistuje. sup x,1 Definice. Konvergence funkcí f n x v prostoru a, b se nazývá stejnoměrná konvergence v a, b. Jestliže posloupnost f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx, píšeme f n x fx. 5. Dokažte, že f n x fx na a, b znamená, že ε > n = n ε ; x a, b, n > n fx fn x < ε. Řešení: Nechť je lim f nx = fx v prostoru a, b. To znamená, že ke každému ε > existuje n takové, že pro každé n > n je fx fn x < ε. n Ale sup x a,b sup x a,b pro toto n splňuje výše zmíněnou podmínku. Nechť pro ε > existuje n takové, že pro každé x a, b platí fx fn x < ε. Ale pak je pro tato n také fx fn x ε < ε, a tedy fx je limitou posloupnosti f n x v prostoru a, b. Kromě stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí f n x lze definovat tzv. bodovou konvergenci. Tu definujeme takto: Máme posloupnost funkcí f n x, x a, b. Vezmeme pevné x a, b a sestrojíme číselnou posloupnost f n x. Pokud posloupnost f n x konverguje k fx pro každé x a, b, říkáme, že funkce posloupnost funkcí f n x konverguje bodově k 1

13 funkci fx nebo, že fx je bodová limita posloupnosti funkcí fx. Obvykle se v takovém případě píše f n x fx na intervalu a, b. Definici bodové konvergence lze zapsat takto: ε > x a, b n = n ε, x ; n > n fx fn x < ε. Tedy n může na rozdíl od stejnoměrné konvergence záviset na bodu x. Věta 3. Jestliže posloupnost funkcí f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx na intervalu a, b, pak konverguje tato posloupnost konverguje také bodově k funkci fx. 6. Dokažte větu 3. Řešení: Tvrzení je zřejmé, protože jestli f n x fx existuje k danému ε > n takové, že pro každé n > n a x a, b je fn x fx < ε a v definici bodové konvergence stačí zvolit toto n. Z věty plyne, že posloupnost funkcí f n x může stejnoměrně konvergovat k funkci fx pouze tehdy, když k ní konverguje bodově Opak obecně neplatí. Ukažte, že posloupnost funkcí f n x =, x 1, nx konverguje bodově, ale nekonverguje stejnoměrně. Řešení: Při zkoumaní bodové konvergence zvolíme nejprve pevní x 1, 1. Je zřejmé, že pro x = je lim f n = 1 a pro x je lim f nx =. Tedy bodově n n je lim f nx = fx, kde fx = pro x 1, 1, x, a f = 1. n Ukážeme z definice, že tato funkce je bodová limita posloupnosti funkcí f n x. Nechť je dáno ε, 1. Pro ε 1 stačí zvolit n = 1. Máme tedy pro každé x 1, 1 najít n takové, aby f n x fx < ε. Pro x = je pro každé n f n f = a 1 stačí zvolit n = 1. Je-li x zvolíme n tak, aby 1 + n x < ε. Pro každé n > n 1 je totiž 1 + nx < n x. Proto stačí zvolit n > 1 ε εx >. Jak je vidět, při zkoumaní bodové konvergence nám stačilo najít n závislé na x. Jestliže budeme nahlížet na n jako na funkci x, vidíme, že není omezená v okolí bodu x =. Proto lze očekávat, že posloupnost funkcí f n x nebude konvergovat k funkci fx stejnoměrně. Dokážeme toto tvrzení. To ale přesněji znamená, že existuje ε > takové, že pro každé n existuje n > n a x 1, 1, pro které je fn x fx 1 ε. Vezměme ε =. Pak přejde dokazovaná nerovnost pro x 1 1 na, neboli x. Tedy ať zvolíme jakékoliv n existuje x 1, 1 n 1 + nx 1 1 takové, že 1 + nx 1. Tím jsme ale dokázali, že posloupnost f nx nekonverguje stejnoměrně k funkci fx. 13

14 Věta 4. Nechť je f n x posloupnost funkcí na množině M R, které na M konvergují stejnoměrně k funkci fx. Nechť pro každé n existuje lim f n x = A n a x a nechť je lim A n = A. Pak existuje lim fx = A. n x a Poznámka: Věta říká, že v takovém případě lze zaměnit limity, tj. že platí lim lim f nx = lim n x a x a lim f nx. n 8. Dokažte větu 4. Řešení: K důkazu použijeme nerovnost fx A = fx fn x + f n x A n + An A fx f n x + f n x A n + A n A, kde x M. Nechť je dáno ε >. Protože posloupnost funkcí f n x konverguje na množině M stejnoměrně k funkci fx, existuje n 1 takové, že pro každé n > n 1 a pro každé x M je fx fn x ε <. Protože je lim n A n = A, existuje n takové, 3 že pro každé n > n je An A ε < 3. Zvolme pevné n > max n 1, n. Protože pro toto n je lim f n x = A n, existuje δ > takové, že pro všechna x M pro která x a je < a x < δ platí nerovnost fn x A n < ε. Ale pak pro všechna taková x 3 platí nerovnost To ale znamená, že lim x a ff = A. fx A < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Důsledek. Jestliže je f n x posloupnost spojitých funkcí na množině M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci fx, je funkce fx spojitá. 1 V příkladu 7 jsme zkoumali posloupnost spojitých funkci f n x = 1 + nx, x 1, 1. Protože bodová limita těchto funkcí byla fx = pro x a f = 1, tedy nespojitá funkce, nemohla posloupnost funkcí f n x konvergovat k funkci fx stejnoměrně na 1, 1. Věta 5. Nechť posloupnost x n v metrickém prostoru M s metrikou ρ konverguje. Pak posloupnost x n splňuje tzv. auchy Bolzanovu podmínku: ε > n ; m, n > n ρx m, x n < ε Dokažte větu 5. 14

15 Řešení: Nechť je lim x n = x. Pak ke každému ε > existuje n takové, že pro n každé m, n > n platí ρx, x m < ε a ρx, x n < ε. Z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že pro taková m a n platí nerovnost ρx m, x n ρx m, x + ρx, x n < ε + ε = ε. Definice 3. Posloupnost, která splňuje podmínku 1 se nazývá auchyovská posloupnost. Obecně není pravda, že je každá auchyovská posloupnost konvergentní 1. Jeden z algoritmů, jakým lze počítat druhé odmocniny je tento: Nechť je x. estrojme následující posloupnost a 1 = 1 a a n+1 = 1 a n + xan. Lze ukázat, že tato posloupnost konverguje a lim a n = x. n Když pomocí tohoto algoritmu počítáte, získáte posloupnost racionálních čísel x n, která je v prostoru racionálních čísel Q auchyovská, ale nemá v tomto prostoru limitu, protože není racionální číslo. Proto se zavádí Definice 4. Metrický prostor M se nazývá úplný, jestliže je každá auchyovská posloupnost v M konvergentní. Pojem úplnosti je v matematice velmi důležitý. Protože množina racionálních čísel není úplný prostor viz příklad 1., zavádí se reálná čísla, která již jsou úplným prostorem. Platí Věta 6. Pokud M je úplný metrický prostor, pak je posloupnost x n v tomto prostoru konvergentní, právě když je auchyovská. Víte-li tedy, že M je úplný metrický prostor, stačí k důkazu konvergence posloupnosti x n ukázat, že je posloupnost auchyovská. Z věty 4 plyne, že prostor a, b je úplný. Naopak prostory L p a, b úplné nejsou. V úplných metrických prostorech platí Věta 7. O pevném bodě v kontrahujícím zobrazení. Nechť M je úplný metrický prostor s metrikou ρ a f : M M, pro které platí: Existuje K, 1 takové, že pro každé x, y M je ρ fx, fy Kρx, y. 15

16 Pak v M existuje právě jedno x, pro které platí x = fx. 11. Dokažte větu 7. Řešení: Vezmeme libovolné x M a sestrojíme posloupnost x 1 = fx, x = fx 1,..., x n+1 = fx n,.... Protože zobrazení fx je kontrahující, je ρx, x 1 = ρ fx 1, fx Kρx 1, x. Indukcí ukážeme, že pro každé N platí nerovnost ρx n+1, x n K n ρx 1, x. 1 Pro n = 1 jsme tento vztah již ukázali. Nechť platí 1 pro n. Pak je ρ x n+, x n+1 = ρ fxn+1, fx n Kρ x x+1, x n K n+1 ρ x 1, x, kde jsme v poslední nerovnosti použili indukční předpoklad. Nyní ukážeme, že posloupnost x n je auchyovská. Nechť m > n. Pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne Protože K, 1 je ρ m 1 x m, x n < lim n r=n ρ m 1 x r+1, x r K r ρ x 1, x = r=n r=n K r ρ x 1, x < K n 1 K ρ x 1, x. K n 1 K ρ x 1, x =, a tedy ke každému ε > existuje n takové, že pro každé m > n > n je ρ x m, x n < ε. Tedy posloupnost xn je auchyovská, a protože jsme předpokládali, že metrický prostor M je úplný, existuje lim n x n = x M. Protože ρ x, fx = lim n ρ x n+1, fx = lim n ρ fx n, fx K lim n ρ x n, x =, dostaneme x = fx. Nakonec dokážeme jednoznačnost řešení rovnice x = fx. Nechť jsou x a y dvě libovolná řešení dané rovnice. Pak platí ρ x, y = ρ fx, fy Kρ x, y. A protože K, 1 plyne z tohoto vztahu ρx, y =, tj. x = y. 1. Ukažte, že rovnice x = 1 + ε sin x, kde ε < 1 má právě jedno řešení. Řešení: Uvažujme funkci f : R R definované vztahem fx = 1 + ε sin x. Protože platí nerovnost fx fy = ε sin x sin y = ε cos x + y sin x y ε sin x y ε x y, 16

17 kde jsme v posledním vztahu použili nerovnost sin x < x, která platí pro x >, dává funkce fx kontrahující zobrazení R do R. Protože je R úplný metrický prostor, plyne existence a jednoznačnost řešení rovnice x = fx = 1 + ε sin x. Pomocí Věty 7. se často dokazuje existence a jednoznačnost řešení rovnic v mnohých případech. 13. Nalezněte funkci f, 1, která splňuje rovnici fx = x + 1 xtft dt. Řešení: Uvažujme zobrazení F :, 1, 1, které je definováno vztahem F fx = x + f g = sup x,1 1 F f F g = xtft dt. Metrika v prostoru, 1 je definována vztahem fx gx. Pak ale je sup x,1 1 t 1 sup x,1 xt ft gt 1 dt = t ft gt dt fx gx dt = f g 1 t dt = 1 f g, a tedy F je kontrahující zobrazení úplného metrického prostoru, 1 do sebe. Existuje tedy právě jedno řešení rovnice fx = x + 1 xtff dt. Toto řešení lze sestrojit postupnými aproximacemi podobně, jak jsme dokázali větu 7. Nechť f x =. Pak f 1 x = F f x = x. f x = F f 1 x = x + f 3 x = x + 1 x xt dt = t dt = x, x. 9 n 1 1 Indukcí se ukáže, že f n x = x, a tedy fx = lim 3r f nx = x n r= r= 1 3 r = 3 x. 17

18 vičení 4. Limita a spojitost funkcí více proměnných Definice. Nechť M R m, f : M R n a a M. Řekneme, že limita funkce f v bodě a je rovna A, tj. lim x a fx = A, jestliže platí následující tvrzení: ε > δ > ; x ; < ρx, a < δ σfx, A < ε, kde ρ a σ jsou příslušné metriky v R m a R n. Ekvivalentní definice je: Pro každé okolí U bodu A existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že pro každý bod x P je fx U. Je-li metrika σ generována některou z norem ν p, 1 p < [vičení ], stačí vyšetřovat limity jednotlivých složek funkce f, neboli stačí uvažovat limity zobrazení f : M R. Pro limitu funkce více proměnných platí podobné věty jako pro limitu funkce jedné proměnné, a to zejména: Nechť existují lim fx = A a lim gx = B. Pak platí x a x a 1 lim αfx = αa, kde α je reálná konstanta. x a [ ] lim fx ± gx = A ± B. x a [ ] 3 lim fx gx = A B. x a 4 Je-li B, pak lim x a fx gx = A B. Dále platí věta o sevření: Nechť na nějakém prstencovém okolí bodu a platí nerovnosti gx fx hx a nechť existují limity Pak existuje lim x a fx = A. pojitost funkcí více proměnných: lim gx = lim hx = A. x a x a Nechť M R m a a M. Pak se funkce f : M R n nazývá spojitá v bodě a, je-li: 1 a izolovaný bod nebo lim x a fx = fa. Funkce, která je spojitá v každém bodě množiny M, se nazývá spojitá na množině M. Limita složené funkce Nechť f : M N a g : N P, kde M R m, N R n a P R p, a lim fx = A, x a gy = B a existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že x P je lim y A fx A, pak 18

19 lim g[ fx ] = B. 1 x a Vztah 1 platí také v případě, že funkce g je spojitá v bodě A. ln x + e y 1. Najděte limitu lim x,y 1, x + y. Řešení: Limitu daného výrazu najdeme jako podíl limit. Limita čitatele je lim ln x + e y = ln, x,y, protože funkce ln x, xa e x jsou spojité funkce. Z podobného důvodu je limita jmenovatele x + y = 1. Tedy hledaná limita je rovna ln. lim x,y, x + y. Najděte limitu lim x,y, 1 + x + y 1. Řešení: Jestliže dosadíme dostaneme vztah /. Jedná se tedy o neurčitý výraz. Ale funkce lze upravit lim x,y, x + y 1 + x + y 1 = lim x,y, x + y 1 + x + y x + y 1 =. x y 3. Najděte limitu lim x,y, x + y. Řešení: Po dosazení dostaneme neurčitý výraz /. Ale protože x y = x xy + y, je x + y xy. Proto platí: A protože lim x,y, x y x + y x x + y x x + y =. x = je hledaná limita rovna. Vztah s dvojnými limitami Existuje-li vlastní limita lim fx, y = q a pro každé x z nějakého prstencového okolí bodu a existuje limita lim fx, y = ϕx, pak existuje také limita x,y a,b y b lim ϕx = q. x a Podobné tvrzení platí také pro lim fx, y = ψy a lim ψy = q. x a y b 19

20 Tedy existuje-li vlastní limita fx, y q pro x, y a, b a vnitřní limity, pak lim x,y a,b [ ] fx, y = lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže fx, y ϕx pro y b v M, tj. funkce konverguje v M stejnoměrně, a pro každé y b existuje lim x a fx, y = ψy, pak platí [ ] lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže lim fx, y = ϕx stejnoměrně v M a existuje-li lim ϕx = q, pak existuje y b x a také limita fx, y = q. lim x,y a,b x y 4. Ukažte, že lim x,y, x + y neexistuje. [ ] Řešení: Protože lim lim fx, y = 1 a lim x y dvojná limita. y [ ] lim fx, y x = 1, nemůže existovat x y 5. Ukažte, že lim x,y, x y neexistuje, ačkoliv + x y [ ] lim lim fx, y = lim x y y [ ] lim fx, y =. x x 4 Řešení: tačí najít limitu po přímce x = y. Ta je lim x x 4 = Najděte limitu lim x,y, x + y sin 1 x sin 1 y. Řešení: Pro žádné x neexistuje limx + y sin 1 y x sin 1. Ale protože je funkce y sin 1 x sin 1 y omezená a rovna nule. sin xy 7. Najděte limitu lim x,y,a x. Řešení: Hledanou limitu lze napsat ve tvaru lim y x,y,a lim x + y =, je hledaná limita rovna nule. limita x,y, sin xy = lim xy y x,y,a lim sin xy x,y,a xy sin xy = a lim. x,y,a xy

21 Protože je funkce F x = sin x x hledaná rovna a. pro x a F = 1 spojitá v bodě x =, je 8. Najděte limitu lim x + y x y x,y, Řešení: Protože je funkce e x spojitá, je lim x + y x y = exp lim x,y, x,y, x y ln x + y. Z rovností x xy + y plyne nerovnost xy x + y. Tedy x y x + y. Z této nerovnosti dostaneme x y ln x + y x + y ln x + y. Pomocí l Hospitalova pravidla se snadno ukáže, že lim x ln x =. A protože pro x + každé x, y, je x + y, je hledaná limita rovna e = Najděte body nespojitosti funkce fx, y = x + y x 3 + y 3. Řešení: Funkce fx, y má body nespojitosti na množině x 3 + y 3 =, tj. na přímce x + y =. Ale x + y x 3 + y 3 = 1 x xy + y. Protože v bodech [a; a], a, existuje lim x,y a, a těchto bodech odstranitelnou nespojitost. Na druhé straně je +, je v bodě [, ] nekonečná nespojitost. x y 1. Najděte lim x,y, x 4 + y. x + y x 3 + y 3 = 1, má funkce v 3a x + y lim x,y, x 3 + y 3 = Řešení: Jestliže budeme hledat limitu po přímkách y = kx, dostaneme lim x kx x + k. Tato limita je pro každé k rovna nule. Také po přímce x = je tato limita nulová. Tedy podél všech přímek jdoucích počátkem je tato limita rovna nule. Ale přesto tato limita není rovna nule a dokonce ani neexistuje, protože na parabole y = x je x y x 4 + y = 1. 1

22 vičení 5. Derivace podle vektoru. Derivace ve směru. Parciální derivace Nechť f : M R, kde M R n, x M a v R n. Definujme funkci F t = fx + vt. Derivací podle vektoru v funkce f v bodě x, značí se f vx, nazýváme derivaci funkce F t v bodě t =, tj. f vx = df. dt t= Obecně platí f αvx = αf vx, ale nemusí platit rovnost f v 1 +v x = f v 1 x + f v x. Je-li v jednotkový vektor, tj. v = v 1 + v + + v n = 1, udává takový vektor směr v R n a derivace podle takového vektoru se nazývá derivace ve směru v. V R 3 se často pro takové vektory používají směrové kosiny v = cos α, cos β, cos γ, kde cos α + cos β + cos γ = 1. Úhly α, β a γ jsou úhlu, které svírá vektor v se souřadnicovými osami Ox, Oy a Oz. Ve speciálním případě, když je směr rovnoběžný s i tou souřadnicovou osou, tj. v = e i, se derivace v tomto směru nazývá parciální derivace podle x i a značí se f ei x = f x i x = f i x. x 1. Pro funkci fx, y = x + y 1 arcsin y najděte f xx, 1. Řešení: Parciální derivaci funkce fx, y podle proměnné x v bodě x, 1 počítáme tak, že nejprve položíme y = 1 a funkci jedné proměnné F x = fx, 1 derivujeme podle x. V našem případě je F x = x, a tedy f xx, 1 = F x = 1.. Najděte derivaci funkce fx, y = x xy + y v bodě M = [1; 1], ve směru v, který svírá s kladným směrem osy Ox úhel α. Ve kterém směru je tato derivace: a největší; b nejmenší; c rovna nule? Řešení: Jak je známo, má v rovině směrový vektor v, který svírá s kladným směrem osy úhel α souřadnice v = cos α, sin α, α, π. Abychom našli derivaci dané funkce v bodě [1; 1] ve směru vektoru v, sestrojíme funkci jedné proměnné F t = f1 + t cos α, 1 + t sin α a najdeme její derivaci v bodě t =. V našem případě je F t = 1 + t cos α 1 + t cos α1 + t sin α t sin α. Protože její derivace v bodě t = je F = f v1, 1 = cos α + sin α. Protože funkce fx, y má na celém R spojité obě parciální derivace má diferenciál. Proto jsme mohli směrovou derivaci počítat podle vztahu f v = f 11, 1 cos α + f 1, 1 sin α = grad f1, 1 v. Protože f 11, 1 = f 1, 1 = 1, dostali bychom opět f v1, 1 = cos α + sin α. V případě a, resp. b, je najím úkolem najít maximum, resp. minimum, funkce F α = cos α + sin α na množině α, π. Protože je F α = sin α + cos α

23 nabývá tato funkce extrém v jednom z bodů α =, α = π, α = π 4 nebo α = 5 4 π. Protože je F = F π = 1, F π/4 = a F 5π/4 = je maximum této funkce ve směru α = π 4 a minimum ve směru α = 5 π. Všimněte si, že jsou to 4 směry rovnoběžné se směrem gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. Derivace je nulová ve směru α = 3 4 π a α = 7 π, což jsou směry kolmé na směr 4 gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. xyx + y 3. Najděte derivaci funkce fx, y = x + y pro x + y a f, = v bodě M = [; ] podle vektorů e 1 = 1,, e =, 1 a v = e 1 + e = 1, 1. Řešení: Podle definice je f x, fx, f, = lim = x x f y, f, y f, lim = y y f v, = lim t ft, t f, t Tedy v tomto případě je f v, v grad f,. t 3 = lim t t 3 = Ukažte, že funkce fx, y = x y 4 x 4 + y 8 pro x + y a f, = není spojitá v bodě M = [; ]. Najděte její derivaci podle vektoru v = v 1, v v bodě M. x y 4 Řešení: Protože lim lim x y x 4 + y 8 =, musí být limita, jestliže existuje, rovna nule. Ale na parabole x = y je fy, y = 1. Proto limita funkce fx, y v bodě M = [; ] neexistuje, a tedy funkce není v bodě M spojitá. Derivaci této funkce podle vektoru v = v 1, v v bodě M = [; ] najdeme podle definice. Podle ní je f v, f v1 t, v t v = lim = lim 1v t 4 6 t t t t v v1 4t4 + v 8 = lim 1v t 4 t8 t v1 4 + =. v8 t4 Tedy daná funkce má v bodě M = [; ] derivace podle každého vektoru. Dokonce platí f v, = v grad f,, ale přesto není tato funkce v bodě M spojitá. Najděte parciální derivace následujících funkcí: 5. u = x x + y 6. u = x y, x > 7. u = arctg y x 8. u = arcsin x x + y 3

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více