Vícečlenné kinematické řetězce (šesti-, osmi-, desetičlenné-)

Transkript

1 Vícečleé kematcké řetězce (šest-, osm-, desetčleé-) Zpracoval: Jří Mrázek, Mart Bílek Pracovště: Techcká uverzta v Lberc katedra textlích a jedoúčelových strojů

2 I-TECH, ozačuje společý projekt Techcké uverzty v Lberc a jejích parterů - Škoda Auto a.s. a Deso Maufacturg Czech s.r.o. Cílem projektu, který je v rámc Operačího programu Vzděláváí pro kokureceschopost (OP VK) facová prostředctvím MŠMT z Evropského socálího fodu (ESF) a ze státího rozpočtu ČR, je ovace studjího programu ve smyslu progresvích metod řízeí ovačího procesu se zaměřeím a rozvoj tvůrčího potecálu studetů. Teto projekt je uté realzovat zejméa proto, že a trhu dochází ke zrychlováí ovačího cyklu a zkvaltěí jeho výstupů. ČR emůže a tyto změy reagovat bez osvojeí ejovějších žeýrských metod v oblast ovatvího a kreatvího kostrukčího řešeí strojíreských výrobků. Majortí cílovou skupou jsou studet oborů Iovačí žeýrství a Kostrukce strojů a zařízeí. Cíle budou dosažey ovací VŠ předášek a semářů, vytvořeím ových učebích pomůcek a realzací studetských projektů podporovaých experty z parterských průmyslových podků. Délka projektu:

3 1. TEORIE SLOŽENÍ MECHANISMŮ Mechasmem azýváme každou soustavu avzájem pohyblvě spojeých těles. Jedotlvá tělesa azýváme čley mechasmu. Čley mechasmu mohou být tělesa dokoale tuhá (lze zaedbat deformace od působících sl), pružá, tj. tělesa s omezeou tuhostí, ohebá jako laa, dráty, řetězy, provazy, řemey. Čleem mechasmu může být rověž kapala ebo ply. Prvky spojeí dvou sousedích čleů mechasmu azýváme ketckou dvojcí. Ketcké dvojce třídíme podle: a) charakteru relatvího pohybu, b) uspořádáí styku těles, c) druhu vedeí, d) vlastostí relatvího pohybu př záměě základího tělesa a) Charakter relatvího pohybu Relatví pohyblvost tělesa jako čleu mechasmu omezujeme tím, že jej vážeme k základímu tělesu (čleu mechasmu) podle jstých vazbových podmíek. Stupěm pohyblvost (volost) máme a mysl počet a sobě ezávslých souřadc, utých k určeí tělesa v prostoru. Počet takových souřadc je shodý s počtem a sobě ezávslých dílčích pohybů, ve které lze pohyb tělesa rozložt (stupeň volost ozačujeme písmeem ). Volému tělesu v prostoru přísluší šest stupňů pohyblvost, a to tř ezávslé posuvy ve směrech souřadcových os zvoleého pravoúhlého souřadcového systému a tř ezávslé rotace kolem týchž os. Relatví pohyblvost vzhledem ke zvoleému základímu tělesu omezujeme vazbam (geometrckým ebo slovým). Ozačíme-l počet vazeb m, platí pro těleso v prostoru vazbová závslost + m =6 (m 6) Z uvedeého hledska se dělí kematcká dvojce podle pohyblvost, kterou přpouští v relatvím pohybu. Mluvíme o třídě kematcké dvojce. Kematcká dvojce 1.třídy přpouští jede stupeň pohyblvost; kematcká dvojce 5.třídy pět stupňů pohyblvost. Základí skupu kematckých dvojc tvoří tzv. žší dvojce: R rotačí (Revolute par ) =1 (a) P posuvá (Prsmatc par) =1 (b) S šroubová (Screw par ) =1 (c) G sfércká (Spherc par ) =3 (d) C válcová (Cylder par) = (a) F plošá (Plaar par) =3 (f) Obr. 1

4 Na obr. 1 jsou uvedey případy uspořádáí základích kematckých dvojc R, P, S, G, C, F. a) Relatví pohyb je rotačí pohyb kolem osy čepu defovaý souřadcí ψ. b) Relatví pohyb je posuvý ve směru osy čepu defovaý souřadcí s. c) Relatví pohyb je šroubový defovaý souřadcí ψ rotačího pohybu kolem osy šroubu ebo souřadcí s posuvého pohybu ve směru osy šroubu. Souřadce ψ, h a s jsou vázáy vztahem s h, kde h je zdvh šroubu př jedé otáčce. d) Relatví pohyb je sfércký defovaý třem souřadcem: dvě souřadce α, φ určují směr osy o rotace a souřadce ψ rotac kolem osy o. e) Relatví pohyb je kombace rotačího pohybu kolem osy válce a posuvého ve směru osy válce; příslušé souřadce jsou ψ, s. f) Relatví pohyb je složeý ze dvou posuvů x, y a rotace ψ kolem osy kolmé a rovu pohybu. b) Uspořádáí styku tělesa V deálím případě, euvažujeme-l deformac těles, je styk v bodě, křvce ebo ploše. Z hledska měrých tlaků je ejvýhodější plošý styk. Kematcké dvojce a obr. 1 realzují plošý styk. V případě vazby tělesa k základímu tělesu přímkovou dvojcí, dochází ke styku obou těles v přímce / površce válce). Jedá se o kematckou dvojc 4. třídy; =4 (obr.a). K vazbě s bodovým stykem dochází u bodové kematcké dvojce, která přísluší do 5. třídy; =5 (obr. b). V obou případech vylučujeme případ valvého pohybu. Kematcké dvojce, u chž se sousedí čley stýkají v křvce ebo v bodě azýváme vyšší kematcké dvojce. Obr. c) Druh vedeí Těleso může být v relatvím pohybu z hledska geometrckého vedeo jedostraě ebo dvoustraě. Případ jedostraého vedeí představuje plošé kematcké dvojce v uspořádáí podle obr.1f. Kostrukčě lze sado zajstt v tomto případě oboustraé vedeí. Př oboustraém vedeí hovoříme o uceém styku a př jedostraém vedeí o slovém okruhu. d) Vlastost relatvího pohybu př záměě základího tělesa V případě podle obr. 1 jsme sledoval relatví pohyb tělesa 1 vzhledem k tělesu. Relatví pohyb tělesa vzhledem k tělesu 1 azýváme recprokým pohybem. Nedojde-l př záměě základího tělesa ke změě charakteru drah (trajektorí) tělesa, mluvíme o recproké kematcké dvojc. Mez kematcké dvojce této vlastost patří

5 všechy kematcké dvojce s plošým stykem; tedy žší kematcké dvojce podle obr.1. Kematcké řetězce Spojeím ěkolka těles kematckým dvojcem získáme tzv. kematcký řetězec. Každé těleso řetězce azýváme čle ebo čláek řetězce. Kematcké řetězce dělíme podle uspořádáí a: a) uzavřeé ebo otevřeé, b) jedoduché ebo složeé c) volé ebo vázaé d) rové ebo prostorové Uzavřeý je takový kematcký řetězec, u ěhož je každý čle vázá ejméě dvěma kematckým dvojcem s ostatím čley. V otevřeém kematckém řetězc exstují rověž čley s jedou kematckou dvojcí. Uzavřeý kematcký řetězec je azače a obr. 3a; otevřeý pak a obr.3b. Charakterstckým zakem uzavřeých kematckých řetězců jsou uzavřeé mohoúhelíky (polygoy), z chž je řetězec vytvoře. Obr. 3 Řetězec a obr.3a obsahuje jede čtyřúhelík a jede pětúhelík; pokud euvažujeme polygoy tvarově eproměé, které představují čley řetězce (šrafovaé trojúhelíky). V případě, že kematcký řetězec je vytvoře jak uzavřeým, tak otevřeým polygoy, mluvíme o kombovaém řetězc (obr.3c). Exstuje-l v kematckém řetězc alespoň jede čle, který je spoje v řetězc s větším počtem kematckých dvojc ež dvě, mluvíme o složeém kematckém řetězc (obr. 3a,c). Kroužky symbolcky vyjadřují žší kematcké dvojce typu R ebo P. Kematcký řetězec, u ěhož eí žádý čle součástí ehybého rámu, azýváme volý kematcký řetězec; v opačém případě vázaý kematcký řetězec (obr. 3d). Kematcké řetězce dělíme a rové ebo prostorové podle toho, jsou-l trajektore bodů př relatvím pohybu dvou čleů křvky rové ebo prostorové.

6 Grüblerova-Čebyševova vazbová závslost Mějme rový, volý a uzavřeý kematcký řetězec s žšm kematckým dvojcem o geometrcky eproměých čleech. Nechť řetězec obsahuje čleů s dvěma elemety kematckých dvojc (bárích čleů), 3 čleů s třem elemety kematckých dvojc (terárích čleů), 4 čleů se čtyřm elemety kematckých dvojc (kvaterárích čleů), počet čleů s elemety. Počet čleů kematckého řetězce je (1.1) Je-l j počet žších kematckých dvojc v řetězc, pak celkový počet e elemetů kematckých dvojc je e j eboť každé kematcké dvojc přísluší dva elemety. Celkový počet elemetů v řetězc je urče vztahem (1.) e j (1.3) Předpokládejme v dalším, že řetězec obsahuje vesměs rotačí kematcké dvojce. Bárímu čleu řetězce přísluší jeda podmíka tuhost (stálá vzdáleost středu obou kloubů), terárímu čleu přísluší tř podmíky tuhost (stálé vzdáleost středů tří kloubů). Obecě přísluší čleu řetězec s elemety 3 podmíek tuhost tvaru x x y y M MN (1.4) N M Kde M,N začí dva z elemetů a x N, y N, x M, y M pak pravoúhlé souřadce těchto bodů vzhledem k souřadcovému systému O xy. Obsahuje-l kematcký řetězec čleů s elemety je celkový počet podmíek tuhost rove ( 3) celému kematckému řetězc pak přísluší počet podmíek tuhost dle rovce 1.5. N ( 3) (1.5) Podmíkám tuhost (1.5) musí vyhovovat všechy možé (vrtuálí) pohyby, které lze kematckému řetězc udělt. Volý střed kloubu má dva stupě volost, j kloubů, j stupňů volost. Mez j vrtuálí pohyby δ X, δ Y musí být splěo ( 3) rovc tvaru x y y 0 x (1.6) M N XM XN M Kde δ XM, δ YM, δ XN, δ YN jsou vrtuálí posuvy bodů M, N ve směrech od x, y. Rovce (1.6) plye z podmíky tuhost úsečky M N bodů M (xm + δ XM, ym + δ YM), N (xn + δ XN, yn + δ YN), u íž položíme M N = MN podle vztahu (1.4) a zaedbáme čley (δ XM - δ XN), (δ YM - δ YN). Mějme a mysl kematcký řetězec, u ěhož pohyblvost všech středů klubů vzhledem k zvoleému ehybému čleu kematckého řetězce je zcela určtá. Takový řetězec azýváme kematcký řetězec uceého pohybu 1. Pak volbou čtyř z celkového počtu j posuvů δ X, δ Y jsou všechy ostatí, tj. j 4 posuvů určeo z rovc (1.6). N YM YN 1 V ěmecké lteratuře Zwaglauf, v aglosaské Costraed moto

7 Tudíž platí ( 3) j 4 (1.7) Srováím rozepsaé levé stray vztahu (1.7) se vztahy (1.7) a (1.3) máme Nebol A odtud e 3 j 4 4 j 3 j 4 3 j 4 0 (1.8) Což je Grüblerova-Čebyševova závslost, pro uzavřeý kematcký řetězec uceého pohybu o čleech a j rotačích kematckých dvojcích. Grüblerova závslost ám umoží sledovat ěkteré strukturálí otázky kematckých řetězců. Ze vztahu (1,8) plye 3 4 j (1.9) Aby j bylo celé číslo, musí 3-4 být číslo sudé, tedy počet čleů řetězce je vždy sudý. Ježto mmálí počet čleů je čtyř a počet kematckých dvojc rověž čtyř, bude základí řetězec s uceým pohybem čtyřčleý kloubový, jedoduchý a uzavřeý řetězec (obr.4). Obr. 4 Kematcký řetězec uceého pohybu pro > 4 musí obsahovat složtější čley (terárí, kvaterárí atd.). K určeí počtu bárích čleů v kematckém řetězc vyjdeme ze vztahu (1.8), v ěmž položíme Čímž obdržíme 3 3 j Z čehož plye (1.10) Počet bárích čleů v uzavřeém kematckém řetězc uceého pohybu je ezávslý a počtu terárích čleů.

8 Dále s dokážeme, že počet kematckých elemetů jedoho čleu uzavřeého kematckého řetězce s uceým pohybem je ejvýše rove /. Obsahuje-l řetězec čley bárí, terárí a je jedý čle s větším počtem elemetů ež 3, plye počet elemetů takového čleu ze vztahu (1.10) Počet čleů takového mechasmu je pak tedy Ježto k čleu o elemetech mohu přpojt - terárích čleů (obr.5), platí tedy Obr. 5 3 max (1.11) Šestčleý kematcký řetězec Podle vztahu (1.11) emůže šestčleý řetězec obsahovat čle s větším počtem elemetů ež 3. K určeí počtu čleů a 3 vycházíme ze vztahů (1.1), (1.3) a (1.9), tj. z vazbových rovc 3 6 j 33 Z chž plye =4, 3=. podle uspořádáí terárích čleů máme dvě varaty šestčleého kematckého řetězce. 14 Obr. 6 Řetězec, u ěhož jsou oba terárí čley sousedím, azýváme Wattův (obr. 6a), v opačém případě Stephesoův (obr. 6b).

9 Osmčleý kematcký řetězec Podle vztahu (1.11) emůže osmčleý řetězec obsahovat čle s větším počtem elemetů ež 4. Vztahy (1.1) a ( 1.3) mají v tomto případě tvary j 3 4 Pro = 8 je ze vztahu (1.9) j = 0, dostaeme tedy dvě vazbové rovce ve tvaru (1.1) Soustavu (1.1) tvoří dvě leárí ehomogeí rovce pro tř ezámé. Soustavu upravíme Řešeí soustavy (1.13) (1.14) Ježto čísla, 3, 4 mohou abývat je kladých celých hodot, musí být př volbě proměé splěo 6 4 (1.15) Podmíce (1.15) vyhovují pro čísla 4, 5, 6. Podle počtu bárích čleů exstují tedy tř skupy uspořádáí osmčleých kematckých řetězců (vz.tabulka 1). Tabulka Prví skupa typu je složea z devít varat. Druhá skupa typu je složea z pět varat a třetí skupa typu pak ze dvou varat. Jedotlvé skupy a varaty uspořádáí osmčleých kematckých řetězců jsou uvedey a obr.7.

10 Obr. 7

11 Desetčleý kematcký řetězec Podle vztahu (1.11) emůže desetčleý řetězec obsahovat čle s větším počtem elemetů ež 5. Pro = 10 je j = 6. Vazbové rovce jsou: (1.16) Soustavu (1.16) tvoří dvě leárí ehomogeí rovce pro čtyř ezámé. Soustavu upravíme Řešeí soustavy (1.17) (1.18) Ježto proměé mohou abývat je kladých celých čísel, musí být př volbě proměých 4, 5 splěa podmíka 4 5 Podmíku (1.19) splňují volby proměých 4, 5 dle tab (1.19) Tabulka Exstuje celkem sedm skup desetčleých kematckých řetězců, z chž lze vytvořt další varaty. Obdobě bychom postupoval př vytvářeí skup řetězců s větším počtem čleů ež 10. Uvedeé varaty jsou shruty v tab. 3 Tabulka 3 I II III IV V VI VII Př odvozováí Grüblerova Čebyševova vztahu jsme předpokládal, že kematcké dvojce jsou vesměs rotačí. Stae-l se osa rotace úběžou, přejde v relatvím pohybu rotačí pohyb a posuvý. Pro R kematckých dvojc rotačích a P posuvých je j = R + P a Grüblerova Čebyševova závslost (1.8) má tvar 3 ( R P) 4 0 (1.0)

12 Lteratura: 1. CHARVÁT, J.: Teore mechasmů. Vybraé stat. /Skrpta VŠST/. Lberec, VŠST LUCK, K. - MODLER, H.: Getrebetechk - Aalyse, Sythese, Optmerug. Berl, Akademe Verlag CHARVÁT, J.: Teore kloubových mechasmů. Úřad pro patety a vyálezy, Praha CHARVÁT, J. : Sytéza mechasmů. /skrptavšst/ Lberec 1966