Obsah. Pouºité zna ení 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obsah. Pouºité zna ení 1"

Transkript

1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod Opera ní výzkum a jeho disciplíny Úlohy matematického programování Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování Gracké e²ení úloh se dv ma prom nnými Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP i

2

3 Pouºité zna ení Typogracké rozli²ení názv podle typu objektu a, f, x, i (malá písmena) skaláry ( ísla), funkce, prom nné, indexy X, N, B (velká písmena) mnoºiny (krom speciálních, viz níºe) x, b (malá tu ná písmena) vektory (vºdy sloupcové), reálné n-tice A, B (velká tu ná písmena) matice Speciální mnoºiny N p irozená ísla Z celá ísla Z + nezáporná celá ísla R reálná ísla R + nezáporná reálná ísla R ++ kladná reálná ísla R n mnoºina v²ech reálných n-tic (tj. n-rozm rný euklidovský prostor) Matice, vektory A m n matice A typu m n (pouºito v p ípad, ºe je t eba zd raznit typ matice) 0 m n nulová matice typu m n (tj. matice tvo ená samými nulami) I n jednotková matice typu n n A transpozice matice A A determinant matice A Zkratky Zkratky jsou vºdy zavedeny ve vlastním textu, tento seznam pouze slouºí pro rychlej²í orientaci. DP ESR LP MILP O P ÚLP Z dopravní problém ekvivalentní soustava rovnic lineární programování smí²ené celo íselné programování (mixed integer linear programming) optimální e²ení p ípustné e²ení úloha linaárního programování základní e²ení

4

5 Kapitola 1 Úvod 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny Nástroje studované a vyuºívané v rámci opera ního výzkumu: optimalizace, pravd podobnost a statistika, teorie graf, teorie front, simula ní modely. N které typické aplika ní oblasti: optimalizace produk ních systém, optimalizace v logistice, podpora rozhodování p i ízení projekt, modely ízení zásob, modely hromadné obsluhy. 1.2 Úlohy matematického programování Denice 1.1 (úloha matematického programování). Nech jsou dány: mnoºina X, ozna ovaná jako mnoºina p ípustných e²ení, funkce f : X R, ozna ovaná jako ú elová funkce. Úlohou matematického programování (ÚMP) pak ozna ujeme problém nalezení bu minima nebo maxima funkce f na mnoºin X. Mluvíme pak o minimaliza ní, resp. maximaliza ní ÚMP. P edchozí denice je trochu moc obecná, jako úlohu matematického programování lze v této podob formulovat i problémy, které jsou zavedeny velmi podivným zp sobem. Nap íklad úloha hledání královny krásy. V tomto p ípad máme mnoºinu X = ºeny, a funkci f : ºena krása R. Zpravidla proto vyºadujeme, aby X byla... podmnoºina n-rozm rného euklidovského prostoru, tj. X R n, vymezená pomocí soustavy rovnic a/nebo nerovností. P íklad 1.2 (koktejly). Cílem je namíchat co nejvíce koktejl podle recept z tabulky níºe. Záleºí pouze na celkovém po tu namíchaných koktejl, je nám zcela lhostejné, kolik z nich bude Mojito a kolik Cuba Libre.

6 4 Úvod Mojito Cuba libre 4 cl kubánského rumu 8 cl kubánského rumu 1 dl vody 2 dl Coca-coly 8 kostek ledu (t í² ) 2 kostky ledu 1 /2 limetky 1 /4 limetky 1 lºi ka cukru (t tinového) 3 lístky erstvé máty Disponibilní mnoºství surovin jsou následující: 100 cl kubánského rumu, 20 dl Coca-coly, 120 kostek ledu a 8 limetek; vody, cukru a máty je dostatek (nehrozí, ºe dojdou). Celkem vzato, m ºeme úlohu popsat následujícím zp sobem: maximalizovat Mojito + Cuba Libre za podmínek 4 Mojito + 8 Cuba Libre 100, 2 Cuba Libre 20, 8 Mojito + 2 Cuba Libre 120, 1 /2 Mojito + 1 /4 Cuba Libre 8, Mojito, Cuba Libre 0. V tomto p ípad je X mnoºina v²ech kombinací po t koktejl Mojito a Cuba Libre, které jsme schopni p i daných zásobách namíchat ( ili kombinací hodnot prom nných Mojito a Cuba Libre, které sou asn spl ují v²echny vý²e uvedené omezující podmínky). Formáln je tedy X R 2, vymezená pomocí soustavy lineárních nerovnic o dvou prom nných. Denice 1.3 (standardní ÚMP). Nech jsou dána reálná ísla b 1,..., b m a reálné funkce f, g 1,..., g m : R n R. Standardní úlohou matematického programování rozumíme úlohu ve tvaru maximalizovat f(x 1,..., x n ) za podmínek g 1 (x 1,..., x n ) b 1, g 2 (x 1,..., x n ) b 2,. g m (x 1,..., x n ) b m, (x 1,..., x n ) R n, kde p edstavuje zástupný symbol za jedno z rela ních znamének, = nebo. Poznámka (ke zna ení). Matematik m zpravidla p ipadá obecný zápis ÚMP v podob (1.1) p íli² upovídaný. Nabízí se psát: maximalizovat f(x 1,..., x n ) za podmínek g i (x 1,..., x n ) b i, i = 1,..., m, (x 1,..., x n ) R n. Lze také zavést vektor ( i chcete-li, n-tici) x = (x 1,..., x n ) a psát maximalizovat f(x) za podmínek g i (x) b i, i = 1,..., m, x R n. nebo nejstru n ji (ale pon kud mén p ehledn ) max{f(x) x R n, g i (x) b i, i = 1,..., m}. Poznámka (klasikace ÚMP). Podle toho, jaké dodate né poºadavky klademe na funkce f a g i, rozli²ujeme r zné t ídy ÚMP, které se zna n li²í co do sloºitosti pouºívaných výpo etních technik: lineární programování, (1.1)

7 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování 5 kvadratické programování, konvexní programování, nelineární programování,... a dal²í. Zdaleka nejjednodu²²í t ídou je lineární programování; spadá sem nap. matematický model pro p íklad Koktejly. Denice 1.4 (lineární reálná funkce). M jme reálnou funkci f : R n R. ekneme, ºe f je lineární, pokud lze f vyjád it na R n p edpisem pro n jaká reálná ísla c 1,..., c n. f(x 1,..., x n ) = c 1 x c n x n Denice 1.5 (úloha lineárního programování). Úlohu ve tvaru (1.1), ve které jsou navíc v²echny funkce f, g 1,..., g m lineární, nazveme (maximaliza ní) úlohou lineárního programování (ÚLP). 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování Denice 1.6 (standardní maximaliza ní ÚLP). M jme dány reálné koecienty a ij, b i a c j a prom nné x j pro i = 1,..., m a j = 1,..., n, které budeme p ípadn zapisovat do matice A a vektor b, c a x ve tvaru a 11 a 12 a 1n b 1 c 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A =......, b = b 2., c = c 2., x = x 2.. a m1 a m2 a mn b m c n x n Standardní maximaliza ní úlohou lineárního programování rozumíme problém maximalizovat c 1 x 1 + c 2 x c n x n za podmínek a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, x j 0, j = 1,..., n, (1.2) kde x 1, x 2,..., x n jsou reálné prom nné. Za pouºití suma ního operátoru a indexace omezení lze (1.2) vyjád it ekvivalentn jako maximalizovat za podmínek n j=1 c j x j n j=1 a ij x j b i, i = 1,..., m, x j 0, j = 1,..., n, (1.3) p ípadn v maticovém zápisu je²t úsporn ji jako p íp. zcela krátce jako problém nalezení maximalizovat c x za podmínek Ax b, x 0, (1.4) max{c x Ax b, x 0}.

8 6 Úvod P íklad 1.7. V p íkladu Koktejly bychom zapsali [ ] A = , b = , c =, x = 1 1/2 1/4 8 [ ] Mojito. Cuba Libre P íklad 1.8. K úloze minimalizovat 2u + v 4w za podmínek 5(u v) 2(v w) 6v + 1, 2u + v 2w 2, 3u v + 2w = 3, u, v 0, w R najdeme ekvivalentní ÚLP ve standardním maximaliza ním tvaru. Jedno z moºných e²ení vypadá následovn : maximalizovat 2x 1 x 2 + 4x 3 4x 4 za podmínek 5x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 1, 2x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 2, 3x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 3, 3x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 3, x j 0 pro j = 1,..., 4, p i emº mezi prom nnými obou model je následující vztah: u = x 1, v = x 2 a w = x 3 x 4. Lemma 1.9 (o univerzálnosti standardní maximaliza ní ÚLP). Ke kaºdé ÚLP lze najít ekvivalentní úlohu ve tvaru standardní maximaliza ní ÚLP, tj. úlohu, která je maximaliza ní, má v²echna omezení typu a v²echny její prom nné jsou nezáporné. 1.4 Gracké e²ení úloh se dv ma prom nnými Viz p edná²ky. 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP Denice 1.10 (konvexní kombinace v R n ). který lze vyjád it ve tvaru Konvexní kombinací bod x 1,..., x k v R n je bod, α 1 x α k x k, kde α 1,..., α k jsou nezáporná reálná ísla spl ující α α k = 1. P íklad Konvexní kombinaci dvou bod x, y m ºeme zapsat ve tvaru αx + (1 α)y pro n jaké α [0, 1]. Geometricky vzato, konvexní kombinace dvou bod v euklidovském prostoru je bod na úse ce mezi nimi. Obrázek 1.1 ilustruje výsledek r zné hodnoty α. Denice 1.12 (konvexní mnoºina). ekneme, ºe mnoºina X R n je konvexní, je-li uzav ená na konvexní kombinace, tj. pokud libovolná konvexní kombinace libovolných bod x 1,..., x k X leºí v X. P íklad P íkladem konvexních mnoºin v rovin jsou nap íklad tverec, kruh, nebo úse ka. P íklady nekonvexních mnoºin ukazuje obrázek 1.2.

9 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP 7 α = 1 x α = 0.75 α = 0.5 α = 0.25 α = 0 y Obrázek 1.1 R zné konvexní kombinace bod x, y. x 1 x 2 X Y Z Obrázek 1.2 P íklady nekonvexních mnoºin X, Y, Z. Úse ka mezi body x 1, x 2 X není obsaºena v mnoºin X, tedy existuje konvexní kombinace t chto bod, která nenáleºí X. Mnoºina Z je tvo ena p ti izolovanými body. Denice 1.14 (konvexní obal). Konvexním obalem mnoºiny X R n rozumíme mnoºinu v²ech konvexních kombinací kone ných podmnoºin X, neboli mnoºinu conv(x) = { k i=1 α ix i xi X, α i 0 pro i = 1,..., k, k i=1 α i = 1, k N }. Poznámka. Snadno nahlédneme, ºe konvexní obal mnoºiny X je nejmen²í konvexní mnoºina, která obsahuje X. (D kaz tohoto tvrzení p enechávám tená i jako cvi ení.) V p ípad, ºe X je konvexní mnoºina, je z ejm conv(x) = X. P íklady konvexních obal nekonvexních mnoºin zachycuje obrázek 1.3. conv(y ) conv(z) Obrázek 1.3 Konvexní obaly mnoºin X, Y, Z z obrázku 1.2. Denice 1.15 (konvexní polyedr, omezený). ekneme, ºe mnoºina X R n je omezený konvexní polyedr (nebo téº polytop), lze-li X vyjád it jako konvexní obal kone né mnoºiny bod z R. Denice 1.16 (krajní bod). Bod x X R n nazveme krajním bodem mnoºiny X, pokud x není konvexní kombinací dvou jiných bod z X, tj. pokud neexistují y 1, y 2 X a α (0, 1) takové, ºe y 1 x y 2 a αy 1 + (1 α)y 2 = x. P íklad Ur ete krajní body p ticípé hv zdy, tverce a kruhu. Které z t chto mnoºin jsou omezené konvexní polyedry?

10 8 Úvod Lemma 1.18 (o extrému lineární funkce na omezeném konvexním polyedru). Lineární funkce nabývá svého extrému na omezeném konvexním polyedru v n kterém z jeho krajních bod. Denice 1.19 (uzav ený poloprostor v R n ). ekneme, ºe mnoºina X R n je uzav ený poloprostor v R n, lze-li X vyjád it jako mnoºinu v²ech e²ení n jaké (netriviální) lineární nerovnice, tj. existují-li reálná ísla a 1,..., a n, ne v²echna nulová, a íslo b, pro n º platí X = { (x 1,..., x n ) R n a1 x a n x n b }. Denice 1.20 (konvexní polyedr, ne nutn omezený). ekneme, ºe mnoºina X R n je konvexní polyedr, lze-li X vyjád it jako pr nik kone n mnoha uzav ených poloprostor. Zdánliv se tato denice velmi li²í od denice omezeného konvexního polyedru uvedené vý²e. Jak ale postupn ukáºeme, mezi ob ma denicemi je t sná souvislost. Zatímco omezený konvexní polyedr lze vyjád it jako konvexní obal jeho vrchol, neomezený kovexní polyedr m ºeme podobn popsat pomocí jeho vrchol a p ípustných sm r (viz níºe). Budeme k tomu ale pot ebovat je²t n kolik pojm. Poznámka (o geometrické interpretaci reálných n-tic). Reálnou n-tici m ºeme chápat bu jako bod v euklidovském prostoru, který pro nás zachycuje n jaký údaj o poloze, nebo jako sm r, který nese informaci o posunu; viz obrázek 1.4. (0, 0) y x y (0, 0) x Obrázek 1.4 Reálné dvojice x = (3, 1) a y = (1, 2) interpretovány jako body (vlevo) a sm ry (vpravo). Denice 1.21 (kónická kombinace, kónický obal). sm r, který lze vyjád it ve tvaru β 1 x β k x k, Kónickou kombinací sm r x 1,..., x k v R n je kde β 1,..., β k jsou nezáporná reálná ísla. Kónickým obalem mnoºiny X R n rozumíme mno- ºinu v²ech kónických kombinací kone ných podmnoºin X, neboli mnoºinu con(x) = { k i=1 β ix i xi X, β i 0 pro i = 1,..., k, k N }. P íklad Obrázek 1.5 ilustruje pojem kónického obalu na p íkladu t í sm r v R 2. x 2 x 3 (0, 0) x 1 (0, 0) Obrázek 1.5 T i sm ry x 1, x 1, x 3 R 2 (vlevo) a jejich kónický obal (vpravo).

11 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP 9 V ta 1.23 (o reprezentaci konvexního polyedru pomocí vrchol a krajních p ípustných sm r ). Konvexní polyedr X R n lze reprezentovat pomocí kone né mnoºiny bod V = {v 1,..., v k } R n a mnoºiny sm r S = {s 1,..., s l } R n v tom smyslu, ºe libovolný bod z X lze vyjád it jako sou et konvexní kombinace prvk V a kónické kombinace prvk S, tj. X = { k i=1 α iv i + l j=1 β j s j αi 0, β j 0, k i=1 α i = 1 }. Navíc platí, ºe za V lze volit mnoºinu krajních bod (vrchol ) X, a podobn kaºdá mnoºina V spl ující vý²e uvedené tvrzení nutn obsahuje mnoºinu vrchol. Dále, z kaºdé mnoºiny S spl ující vý²e uvedené tvrzení lze vybrat mnoºinu s nejmen²ím po tem prvk (krajní p ípustné sm ry), která je ur ena jednozna n aº na kladné násobky.

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011 Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Digitální modely terénu.

Digitální modely terénu. Digitální modely terénu. Polyedrický model. Rastrový model. Plátový model. Plátování. Tomá² Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartograe. P írodov decká fakulta UK. Tomá²

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Základní praktikum laserové techniky

Základní praktikum laserové techniky Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce ƒeské Bud jovice, 2014 Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod..................................

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor:

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor: FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Modely operačního výzkumu 1 Vypracoval: Studijní obor: Emailová adresa: Datum vypracování: Jana Pospíšilová IM2-KF Jana.Pospisilova@uhk.cz

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 2 Pouºití výukových modul

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ

Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky

Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky ást A Kompetence O ekávané v domosti a dovednosti pro maturitní zkoušku z matematiky v rámci spole né

Více

Specifikace systému ESHOP

Specifikace systému ESHOP Nabídka: Specifikace systému ESHOP březen 2009 Obsah 1 Strana zákazníka 1 1.1 Nabídka produkt, strom kategorií..................... 1 1.2 Objednávka a ko²ík.............................. 1 1.3 Registrace

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,

Více

KEA 2009/2010. pr m rný percentil ADGHV. sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika. T_G3_MA Po et respondent : 31/278

KEA 2009/2010. pr m rný percentil ADGHV. sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika. T_G3_MA Po et respondent : 31/278 KEA 29/21 sekunda Analýza dovedností a tematických ástí - matematika t ída 7. ro níky gymnázií 1 9 8 86 83 78 79 77 83 pr m rný percentil 7 6 5 4 63 3 2 1 81 78 59 75 72 78 74 Celek aritmetika geometrie

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

4. Připoutejte se, začínáme!

4. Připoutejte se, začínáme! 4. Připoutejte se, začínáme! Pojďme si nyní zrekapitulovat základní principy spreadů, které jsme si vysvětlili v předcházejících kapitolách. Řekli jsme si, že klasický spreadový obchod se skládá ze dvou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201 .. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali

Více

IPCorder KNR-100 Instala ní p íru ka

IPCorder KNR-100 Instala ní p íru ka IPCorder KNR-100 Instala ní p íru ka 12. srpna 2007 2 Obsah 1 Instalace 5 1.1 Obsah balení....................................... 5 1.2 Instalace pevného disku................................. 5 1.3 Zapojení

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ. lineárních rovnic (prove te zkou²ku dosazením):

2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ. lineárních rovnic (prove te zkou²ku dosazením): ZÁKLADY MATEMATIKY 2 2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ P ípravní úlohy. V této sérii se p edpokládá, ºe uº umíte ur it v²echna e²ení jednoduchých soustav lineárních rovnic. Otestujte se

Více

Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet -> sériová linka ES01

Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet -> sériová linka ES01 KMB systems, s. r. o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 130 314, fax +420 482 736 896 E-mail: kmb@kmb.cz, Web: www.kmb.cz Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet ->

Více

ST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev]

ST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev] ST1 - Úkol 1 P íklad 1 Myslivecký spolek po ádá sv j tradi ní ples. Mimo jiné bylo nakoupeno lahvové víno podle rozpisu v Tabulce 1.1. P edpokládá se (podle historických zku²eností), ºe v²echny láhve budou

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení Charakteristika vyučovacího předmětu 1.-2. ročník 4 hodiny týdně 3.-5. ročník 5 hodin týdně Vzdělávací obsah

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

PO ÁRNÍ ZPRÁVA. K projektu na akci: "Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o."

PO ÁRNÍ ZPRÁVA. K projektu na akci: Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o. PROPOS Slabyhoud Sokolská 3720, Chomutov PO ÁRNÍ ZPRÁVA K projektu na akci: "Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o." Chomutov, kv ten 2005 Vypracoval: Ing. P. Slabyhoud Sokolská 3720 Chomutov

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Lineární a Celo íselné Programování

Lineární a Celo íselné Programování Lineární a Celo íselné Programování text k p edná²kám Obsah 1 Lineární a celo íselné programování 4 1.1 Obecná formulace.................................... 4 1.2 Algebraický model...................................

Více

ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE

ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot

Více

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Plánování výroby elekt iny a ízení rizik na liberalizovaném trhu

Plánování výroby elekt iny a ízení rizik na liberalizovaném trhu Plánování výroby elekt iny a ízení rizik na liberalizovaném trhu 23. listopadu 2011 prezentace k lánku Power Generation Planning and Risk Managment in a Liberalised Market Thor Bjorkvoll, Stein-Erik Fleten,

Více

KAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2

KAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2 KAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2 POZNÁMKA: Požadavky této kapitoly neplatí pro obaly, které budou používány dle 4.1.4.1, pokynu pro balení

Více

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 Informační systémy 2 Data v počítači EIS MIS TPS strategické řízení taktické řízení operativní řízení a provozu Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 18.3.2014

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 - Prostředí programu WORD 2007

1 - Prostředí programu WORD 2007 1 - Prostředí programu WORD 2007 Program WORD 2007 slouží k psaní textů, do kterých je možné vkládat různé obrázky, tabulky a grafy. Vytvořené texty se ukládají jako dokumenty s příponou docx (formát Word

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu cv.

Operační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu cv. Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu cv. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 9.

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 9. Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 9. Výstupy dle RVP Školní výstupy Učivo Žák: - matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určí hodnotu

Více

Obsah. Obsah. Úvod... 7

Obsah. Obsah. Úvod... 7 Obsah Obsah Úvod... 7 1. Digitální fotografie... 10 1.1 Prohlížení obrázků pomocí Nero PhotoSnap Viewer... 10 1.1.1 Zobrazení na celou obrazovku...12 1.1.2 Jak zjednodušit přechod do jiné složky...13 1.1.3

Více

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti TÉMATICKÝ PLÁN MA 1.ročník Očekávaný výstup /dle RVP/ Žák: Konkretizace výstupu, učivo, návrh realizace výstupu PT Číslo a početní operace používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

STONOŽKA 2010/2011, modul KEA

STONOŽKA 2010/2011, modul KEA STONOŽKA 21/211, modul KEA Analýza dovedností a tematických ástí - matematika t ída základní školy 1 9 8 7 pr m rný percentil 6 5 4 32 35 39 32 2 1 47 46 43 46 43 46 46 Celek aritmetika funkce, rovnice,

Více

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506 3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,

Více

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace

Více

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení. 7/2000 V Y H L Á K A.7/2000 Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení Obecní zastupitelstvo v Plavsku schválilo dne 21.7.2000 tuto obecn závaznou

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

Databázové a informační systémy

Databázové a informační systémy Databázové a informační systémy 1. Teorie normálních forem Pojem normálních forem se používá ve spojitosti s dobře navrženými tabulkami. Správně vytvořené tabulky splňují 4 základní normální formy, které

Více

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,

Více

ŠVP - učební osnovy - Vzdělání pro život - rozšířená výuka matematiky, přírodovědných předmětů a informatiky

ŠVP - učební osnovy - Vzdělání pro život - rozšířená výuka matematiky, přírodovědných předmětů a informatiky 1 Učební osnovy 1.1 Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými

Více

POPIS VÝROBKU A ZAMÝŠLENÉ POUŽITÍ

POPIS VÝROBKU A ZAMÝŠLENÉ POUŽITÍ Návod ON POPIS VÝROBKU A ZAMÝŠLENÉ POUŽITÍ Tento vysílač patří do řady výrobků NiceOne, vyráběných firmou Nice. Vysílače v této řadě jsou určeny pro řízení automatických otvíračů dveří, otvíračů bran a

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně

Více

Reklamační řád. Uplatnění reklamace

Reklamační řád. Uplatnění reklamace Reklamační řád Obchodní společnosti t - italy s.r.o., se sídlem, Slovenská 891/5, Vinohrady, 120 00, Praha 2, IČO: 28943619, DIČ: CZ28943619, zapsaná v obchodním rejstříku vedeném Městským soudem v Praze

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M9101 provádí početní operace

Více

HLEDÁNÍ WIEFERICHOVÝCH PRVOČÍSEL. 1. Úvod

HLEDÁNÍ WIEFERICHOVÝCH PRVOČÍSEL. 1. Úvod Kvaternion 2/2013, 103 109 103 HLEDÁNÍ WIEFERICHOVÝCH PRVOČÍSEL PETR LEŽÁK Abstrakt. Článek pojednává o současném stavu hledání Wieferichových prvočísel. Jsou zde navrženy metody, jak toto hledání urychlit,

Více

Graf 21: Rozvody v ČR a podíl rozvodů cizinců v letech 1995 2008 (Pramen: ČSÚ) 36 000 6,0 28 000 3,0

Graf 21: Rozvody v ČR a podíl rozvodů cizinců v letech 1995 2008 (Pramen: ČSÚ) 36 000 6,0 28 000 3,0 4.Rozvody cizinců Třetím analyzovaným procesem je rozvodovost. Zatímco se počet sňatků pohyboval na úrovni minimálně 5 tis. ročně, z grafu 21 je patrné, že počet rozvodů je nižší. Ročně dojde k rozvodu

Více

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická

Více

B, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: (a j b k a k b j ) 2

B, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: (a j b k a k b j ) 2 1. A, e²te rekurenci Q 0 = 2 Q n = 2Q n 1 + (n + 2) 2, pro n > 0. B, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: Q 0 = 1 Q n = nq n 1 + n!, pro n > 0. 2. A, e²te následující rekurenci

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

1 Pracovní úkoly. 2 Vypracování. Datum m ení: 24.3.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace:

1 Pracovní úkoly. 2 Vypracování. Datum m ení: 24.3.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM II FJFI ƒvut v Praze Úloha #11 Termické emise elektron Datum m ení: 24.3.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: 1 Pracovní

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................

Více

Návrh znaku a vlajky pro obec PERNAREC

Návrh znaku a vlajky pro obec PERNAREC Návrh znaku a vlajky pro obec PERNAREC autor: Mgr. Jan Tejkal HERALDICKÁ TVORBA, Záblatská 23/25, 713 00 Ostrava-Heřmanice tel.602953832 e-pošta: j.tejkal@volny.cz Tvorba nových obecních (městských) symbolů:

Více

Trh kapitálu a půdy. formování poptávky po kapitálu (kapitálových. formování nabídky úspor. příležitosti, investice a úspory Trh půdy

Trh kapitálu a půdy. formování poptávky po kapitálu (kapitálových. formování nabídky úspor. příležitosti, investice a úspory Trh půdy Trh kapitálu a půdy formování poptávky po kapitálu (kapitálových statcích) odvození poptávky po investicích formování nabídky úspor Kapitálový trh, investiční prostředky a příležitosti, investice a úspory

Více