Turingovy stroje. Turingovy stroje 1 p.1/28

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Turingovy stroje. Turingovy stroje 1 p.1/28"

Transkript

1 Turingovy stroje Turingovy stroje 1 p.1/28

2 Churchova teze Churchova (Church-Turingova) teze: Turingovy stroje (a jim ekvivalentní systémy) definují svou výpočetní silou to, co intuitivně považujeme za efektivně vyčíslitelné. Churchova teze není teorém, nemůžeme formálně dokazovat, že něco odpovídá našim intuitivním představám, nicméně je podpořena řadou argumentů: Turingovy stroje jsou velmi robustní uvidíme, že jejich různé úpravy nemění jejich výpočetní sílu (determinismus x nedeterminismus, počet pásek,...). Byla navržena řada zcela odlišných výpočetních modelů (λ-kalkulus, parciálně rekurzívní funkce, Minského stroje,...), jejichž síla odpovídá Turingovým strojům. Není znám žádný výpočetní proces, který bychom označili za efektivně vyčíslitelný a který by nebylo možné realizovat na Turingově stroji. a a Existují formalizované výpočetní procesy, realizovatelné např. na TS s orákulem (nápovědou) rozhodujícím atomicky nějaký Turingovsky nerozhodnutelný problém (např. problém zastavení), které ale nepovažujeme za efektivní výpočetní procesy. Turingovy stroje 1 p.2/28

3 Turingův stroj páska: x y z stavové řízení q0 q1 čtecí/zápisová hlava Definice 7.1 Turingův stroj (TS) je šestice tvaru M = (Q,Σ, Γ,δ, q 0, q F ), kde: Q je konečná množina vnitřních (řídicích) stavů, Σ je konečná množina symbolů nazývaná vstupní abeceda, Σ, Γ je konečná množina symbolů, Σ Γ, Γ, nazývaná pásková abeceda, parciální funkce δ : (Q \ {q F }) Γ Q (Γ {L, R}), kde L, R Γ, je přechodová funkce, q 0 je počáteční stav, q 0 Q a q F je koncový stav, q F Q. Turingovy stroje 1 p.3/28

4 Konfigurace Turingova stroje Symbol značí tzv. blank (prázdný symbol), který se vyskytuje na místech pásky, která nebyla ještě použita (může ale být na pásku zapsán i později). Konfigurace pásky je dvojice sestávající z nekonečného řetězce reprezentujícího obsah pásky a pozice hlavy na tomto řetězci přesněji jde o prvek množiny {γ ω γ Γ } N. a Konfiguraci pásky zapisujeme jako xyzz x... (podtržení značí pozici hlavy). Konfigurace stroje je pak dána stavem řízení a konfigurací pásky formálně se jedná o prvek množiny Q {γ ω γ Γ } N. a Pro libovolnou abecedu Σ je Σ ω množina všech nekonečných řetězců nad Σ, tj. nekonečných posloupností symbolů ze Σ. Pro připomenutí: Σ je množina všech konečných řetězců nad Σ. Turingovy stroje 1 p.4/28

5 Přechodová relace TS Pro libovolný řetězec γ Γ ω a číslo n N označme γ n n-tý symbol daného řetězce a označme s n b (γ) řetězec, který vznikne z γ záměnou γ n za b. Krok výpočtu TS M definujeme jako nejmenší binární relaci M takovou, že q 1, q 2 Q γ Γ ω n N b Γ: (q 1, γ,n) M (q 2, γ, n + 1) pro δ(q 1, γ n ) = (q 2,R) operace posuvu doprava při γ n pod hlavou, (q 1, γ,n) M (q 2, γ, n 1) pro δ(q 1, γ n ) = (q 2,L) a n > 0 operace posuvu doleva při γ n pod hlavou a (q 1, γ,n) M (q 2, s n b (γ), n) pro δ(q 1, γ n ) = (q 2,b) operace zápisu b při γ n pod hlavou. Turingovy stroje 1 p.5/28

6 Výpočet TS Výpočet TS M začínající z konfigurace K 0 je posloupnost konfigurací K 0, K 1, K 2,..., ve které K i M K i+1 pro všechna i 0 taková, že K i+1 je v dané posloupnosti, a která je bud nekonečná, a nebo konečná s koncovou konfigurací (q, γ, n), přičemž rozlišujeme následující typy zastavení TS: 1. normální přechodem do koncového stavu, tj. q = q F, a 2. abnormální, kdy q q F a: (a) pro (q, γ n ) není δ definována, nebo (b) hlava je na nejlevější pozici pásky a dojde k posunu doleva, tj. n = 0 a δ(q,γ n ) = (q, L) pro nějaké q Q. Turingovy stroje 1 p.6/28

7 Poznámka alternativní definice TS Používají se i některé alternativní definice TS, u kterých se dá snadno ukázat vzájemná převoditelnost: namísto jediného q F je povolena množina koncových stavů, namísto q F je zavedena dvojice q accept a q reject, na prvním políčku pásky je napevno zapsán symbol konce pásky, z něhož není možný posun doleva, při zavedení obou předchozích bodů je δ obvykle definovaná jako totální funkce, přepis a posuv hlavy jsou spojeny do jedné operace apod. Turingovy stroje 1 p.7/28

8 Grafická reprezentace TS x/s Grafická reprezentace přechodu (x co se čte, s zápis/l/r): p q Grafická reprezentace počátečního a koncového stavu: p q F Příklad 7.1 TS, který posouvá hlavu doprava na první počínaje aktuální pozicí (např. aab... aab...): a/r p / q b/r Turingovy stroje 1 p.8/28

9 Modulární konstrukce TS Modulární konstrukce TS: spojování (kombinace) jednodušších TS ve složitější celky. Příklad 7.2 Uvažme tři následující komponenty: M 1 přesune hlavu o jeden symbol doprava: M 1 : (R) s x/r y/r /R t /R x/r M 2 nalezne první výskyt symbolu x vpravo (od aktuální pozice hlavy): M 2 : (R x ) l y/r /R m x/x n y/r /R x/r M 3 nalezne první výskyt symbolu y vpravo: M 3 : p y/r q y/y r (R y ) /R x/r Turingovy stroje 1 p.9/28

10 Následující kombinací M 1, M 2 a M 3 vznikne TS M, který nalezne druhý výskyt (neblankového) symbolu od počáteční pozice. V pravé části obrázku je T zapsán v podobě tzv. kompozitního diagramu: /R x/x l m n / x/x x/r x/r y/r y/y y/r M: s t / M 1 x M 2 /R y/r /R / x/x y M 3 y/y p q r y/y x/r Turingovy stroje 1 p.10/28

11 Kompozitní diagram TS Konvence pro zjednodušený zápis kompozitního diagramu: 1. Nepodmíněné předání řízení sekvence strojů: A B C, což často zkracujeme na ABC. Odchozí šipky musí navazovat na poslední stroj v sekvenci, příchozí mohou navazovat na kterýkoliv z nich (sekvence se pak provádí od příslušné pozice). ABC 2. Podmíněné předání řízení podmíněná sekvence, větvení: x x A B M 1 y M 2 x M 1 x M 2 M 3 M 3 Na šipce podmíněného předání řízení může být seznam symbolů (x, y,...). Seznamy symbolů podmíněných předání řízení z jednoho bloku musí být disjunktní. Pokud některý symbol není pokryt žádnou šipkou podmíněného předání řízení a vyskytne se pod čtecí hlavou, výsledný stroj automaticky přejde do koncového stavu, tj. přijme (!). Turingovy stroje 1 p.11/28

12 3. Parametrová konvence používá se tehdy, je-li více různých symbolů zpracováváno stejným způsobem. Používá se notace x,y,z ω, kde ω nabývá hodnoty toho symbolu z {x, y, z}, který je pod čtecí hlavou v okamžiku příslušného předání řízení. Zkrácený zápis vytvořený pomocí parametrové konvence je možné rozvinout podobně jako u maker vytvořením samostatné kopie příslušné části stroje pro každý uvažovaný symbol. Příklad 7.3 Při použití parametrové konvence je TS ω x,y ω M 1 M 2 ekvivalentní (je zkratkou) pro následující konstrukci: x M 1 M 2 y x y M 2 Turingovy stroje 1 p.12/28

13 Základní stavební bloky TS Uvažujme Γ = {x, y, }, mezi základní stavební bloky TS obvykle patří následující stroje (lze je snadno upravit pro libovolnou jinou Γ): 1. Stroje L, R, x: x/l x/r x/x L: y/l R: y/r x: y/x /L /R /x doleva doprava na aktuální pozici zapiš x Příklad 7.4 Stroj R y L neboli RyL transformuje pásku xyxyx... na xyxyxy Stroje L x, R x, L x a R x : L x : L y R x : R y L x: L x R x: R x Turingovy stroje 1 p.13/28

14 3. Stroje S R a S L pro posuv (shift) obsahu pásky: Stroj S R posune řetězec neblankových symbolů nacházejících se vlevo od aktuální pozice hlavy o jeden symbol doprava. Stroj S L funguje podobně. S R : L x,y ω L x,y σ RσL R R R ω Příklad 7.5 příkladech: Činnost strojů S R a S L si můžeme přiblížit na následujících xyyxx... S R xyyx... yxy xxy... S R yxy xxy... xy yx... S R xy x... yyxx... S L yxx... Turingovy stroje 1 p.14/28

15 Příklady TS Příklad 7.6 Kopírovací stroj transformuje w na w w : x,y ω R R L L R R R ωr L L ω Příklad 7.7 Generování řetězců: Následující stroj generuje postupně všechny řetězce nad {x, y, z} v uspořádání ε, x, y,z, xx, yx, zx, xy, yy, zy, xz, yz,zz,xxx, yxx,... Předpokládáme, že stroj začíná s konfigurací pásky w..., kde w je řetězec uvedené posloupnosti, od kterého generování započne. x R x y L z y z x Turingovy stroje 1 p.15/28

16 Příklad 7.8 Stroj dekrementující kladné číslo zapsané ve dvojkové soustavě: 0 R L 1 0L R 0 S L 0L Turingovy stroje 1 p.16/28

17 Turingovy stroje jako akceptory jazyků Turingovy stroje 1 p.17/28

18 Jazyk přijímaný TS Definice Řetězec w Σ je přijat TS M = (Q, Σ, Γ,δ,q 0, q F ), jestliže M při aktivaci z počáteční konfigurace pásky w... a počátečního stavu q 0 zastaví přechodem do koncového stavu q F, tj. (q 0, w ω, 0) M (q F, γ, n) pro nějaké γ Γ a n N. 2. Množinu L(M) = {w w je přijat TS M} Σ nazýváme jazyk přijímaný TS M. Příklad 7.9 Pro níže uvedený TS M platí L(M) = {x n y n z n n 0}: # R R y,z x S L x L # y x y S L y z y R R,z,z,x,x z z S L x,y L # Stroj pracuje takto: x n y n z n x n 1 y n z n x n 1 y n 1 z n...ε. Turingovy stroje 1 p.18/28

19 Přijímání zvláštní konfigurací pásky Alternativně můžeme přijetí řetězce TS definovat tak, že TS začíná s konfigurací pásky w... a zastaví s konfigurací pásky Y..., Y Γ \ Σ, (Y značí Yes). Věta 7.1 Máme-li TS M, který přijímá L(M) přechodem do q F, můžeme vždy sestrojit stroj M, který bude přijímat L(M) zastavením s konfigurací pásky Y... Důkaz. (Idea) M : M začíná s páskou # w... R S R R*L L#R M R L * # RYL M sestrojíme doplněním M o přechody, které řeší nájezd na : Při čtení symbolu je třeba zvětšit pracovní prostor aktivujeme podstroj R L. Snadno lze přejít i opačně od přijímání konfigurací pásky Y... k přijímání přes q F. # Turingovy stroje 1 p.19/28

20 Poznámka 7.1 Uvědomme si, že na TS lze také nahlížet jako na výpočetní mechanismy implementující funkce Σ Γ tím, že transformují počáteční neblankový prefix své pásky na jiný neblankový prefix při přechodu do koncového stavu. Vzhledem k tomu, že TS nemusí každý svůj vstup přijmout, jsou funkce jimi implementované obecně parciální. Blíže se budeme vyčíslováním funkcí TS zabývat dále. Turingovy stroje 1 p.20/28

21 Vícepáskové Turingovy stroje Turingovy stroje 1 p.21/28

22 Vícepáskové TS Uvažujme TS, který má k pásek s páskovými abecedami Γ 1, Γ 2,..., Γ k a k odpovídajících hlav s přechodovou funkcí tvaru δ : (Q \ {q F }) Γ 1 Γ 2... Γ k Q [ {i} (Γ i {L, R}), i {1,...,k} kde i značí pásku, na kterou se zapisuje (na které se posouvá hlava). Věta 7.2 Pro každý k-páskový TS M existuje jednopáskový TS M takový, že L(M) = L(M ). Důkaz. (idea) x y x x x y y y x y x x 1 x y y y 1 y y x x y y x x 1 Nový páskový symbol Důkaz pokračuje dále. Turingovy stroje 1 p.22/28

23 Pokračování důkazu. Důkaz provedeme tak, že ukážeme algoritmus převodu na ekvivalentní jednopáskový TS: Předpokládáme, že přijímaný řetězec je u k-páskového stroje na počátku zapsán na první pásce, všechny ostatní pásky jsou prázdné a všechny hlavy jsou na nejlevější pozici. Původních k pásek simulujeme rozšířením páskové abecedy o 2k-tice, v nichž vždy i-tá složka pro liché i reprezentuje obsah ( i+1 )-ní pásky a na pozici i + 1 je 2 nebo 1 podle toho, zda se na ní nachází příslušná hlava či nikoliv. Počet načítaných kombinací symbolů v původním automatu je konečný a tudíž si výše uvedené rozšíření můžeme skutečně dovolit. Při simulaci k-páskového TS pak nejprve převedeme původní obsah první pásky na ekvivalentní obsah zakódovaný v 2k-ticích a pak každý krok simulujeme několika kroky. Při simulaci využíváme stavy ve formě (k + 1)-tic, kde první složka je stav původního TS a ostatní složky jsou aktuálně čtené symboly. Při rozhodování o dalším kroku pak bereme na zřetel především tento stav, aktuální načítaný symbol není důležitý a vždy se při čtení přemístíme na speciální pozici nalevo od užitečného obsahu pásky. Důkaz pokračuje dále. Turingovy stroje 1 p.23/28

24 Pokračování důkazu. Po rozhodnutí o dalším kroku najedeme doprava na pozici, na které je simulovaná hlava pásky, která se má modifikovat, provedeme příslušnou změnu a vrátíme se zpět doleva. Za nový aktuální stav považujeme (k + 1)-tici danou novým stavem simulovaného TS a k-ticí převzatou z původního stavu nového TS modifikovanou na místě modifikované pásky. Navíc je nutné korektně simulovat přepadnutí hlavy na kterékoliv pásce a převod dosud nevyužitých míst pásky s na odpovídající 2k-tici blank symbolů. Při řádné formalizaci popsaného algoritmu pak není těžké ukázat, že výsledný TS skutečně simuluje původní TS. Závěr: Zvětšení pamět ových možností TS nerozšiřuje jejich schopnosti přijímat jazyky! Turingovy stroje 1 p.24/28

25 Nedeterministické Turingovy stroje Turingovy stroje 1 p.25/28

26 Nedeterministické TS Definice 7.3 Nedeterministický TS je šestice M = (Q, Σ,Γ, δ,q 0, q F ), kde význam jednotlivých složek je shodný s deterministickým TS až na δ, jež má tvar: δ : (Q \ {q F }) Γ 2 Q (Γ {L,R}) Definice 7.4 Jazyk L(M) NTS M = (Q,Σ, Γ,δ,q 0, q F ) je množina řetězců w Σ takových, že M při aktivaci z q 0 při počátečním obsahu pásky w... může zastavit přechodem do q F. Věta 7.3 Pro každý NTS M existuje DTS M takový, že L(M) = L(M ). Důkaz. (idea) NTS M budeme simulovat třípáskovým DTS. Význam jednotlivých pásek tohoto stroje je následující: Páska 1 obsahuje přijímaný vstupní řetězec. Páska 2 je pracovní páska. Obsahuje kopii pásky 1 ohraničenou vhodnými speciálními značkami. Po neúspěšném pokusu o přijetí je její obsah smazán a obnoven z první pásky. Páska 3 obsahuje kódovanou volbu posloupností přechodů; při neúspěchu bude její obsah nahrazen jinou posloupností. Důkaz pokračuje dále. Turingovy stroje 1 p.26/28

27 Pokračování důkazu. Zvolená posloupnost přechodů je kódována posloupností čísel přiřazených přechodům simulovaného stoje. Jednotlivé posloupnosti přechodů na pásce 3 je možno generovat modifikovaným TS pro generování posloupnosti řetězců ε, x, y, z,xx,... Vlastní simulace probíhá takto: 1. Okopíruj obsah pásky 1 na pásku Generuj příští posloupnost přechodů na pásce Simuluj provedení posloupnosti z pásky 3 na obsahu pásky Vede-li zkoumaná posloupnost do q F simulovaného stroje, zastav vstupní řetězec je přijat. V opačném případě smaž pásku 2 a vrat se k bodu 1. Není obtížné nahlédnout, že jazyk takto vytvořeného stroje odpovídá jazyku původního NTS. Závěr: Zavedením nedeterminismu do TS se nezvyšují jejich schopnosti přijímat jazyky! Turingovy stroje 1 p.27/28

28 Poznámka ke kompozitním diagramům Vícepáskové a/nebo nedeterministické TS lze také popisovat kompozitními diagramy. U vícepáskových TS: značíme při podmíněném předání řízení horním indexem u symbolu, ze které pásky se příslušný symbol čte (např. x 1, y 2 apod.), lze se odkazovat na symboly na více páskách současně použítím notace x 1 y 2... označující, že na první pásce se čte symbol x, na druhé y atd., základní stavební bloky (R, L,...) indexujeme rovněž horním indexem pro označení, se kterou páskou pracují (tj. R 1, L 1,...). U NTS odpadají omezení na to, aby se různé větve podmíněného či nepodmíněného předání řízení vzájemně vylučovaly. Turingovy stroje 1 p.28/28

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Teoretická informatika Třetí úkol 2 Jan Trávníček . Tato úloha je řešena Turingovým strojem, který je zobrazen na obrázku, který si můžeme

Více

Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,

Více

SIMULÁTOR TURINGOVÝCH STROJŮ POPSANÝCH POMOCÍ KOMPOZITNÍCH DIAGRAMŮ

SIMULÁTOR TURINGOVÝCH STROJŮ POPSANÝCH POMOCÍ KOMPOZITNÍCH DIAGRAMŮ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS SIMULÁTOR TURINGOVÝCH

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně

Více

Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj

Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj 27 Kapitola 4 Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj 4.1 Nedeterministický TS Obdobně jako u konečných automatů zavedeme nedeterminismus. Definice 14. Nedeterministický Turingův

Více

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je 28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Složitost Filip Hlásek

Složitost Filip Hlásek Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

TURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

TURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze TURINGOVY STROJE Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 12 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31

Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31 Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu

Více

Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.

Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost. VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní

Více

Automaty a gramatiky. Uzávěrové vlastnosti v kostce R J BKJ DBKJ. Roman Barták, KTIML. Kvocienty s regulárním jazykem

Automaty a gramatiky. Uzávěrové vlastnosti v kostce R J BKJ DBKJ. Roman Barták, KTIML. Kvocienty s regulárním jazykem 11 Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Uzávěrové vlastnosti v kostce Sjednocení Průnik Průnik s RJ Doplněk Substituce/ homomorfismus Inverzní

Více

Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43

Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43 Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat

Více

Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory

Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory Plán přednášky Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory Obecný algoritmus pro parsování bezkontextových jazyků dynamické programování 1 Zásobníkový

Více

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické

Více

Kapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.

Kapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w

Více

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a

Více

Zásobníkový automat. SlovoaaaabbbbpatřídojazykaL={a i b i i 1} a a a a b b b b

Zásobníkový automat. SlovoaaaabbbbpatřídojazykaL={a i b i i 1} a a a a b b b b ChtělibychomrozpoznávatjazykL={a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení(podobné konečným automatům), které přečte slovo, a sdělí nám, zda toto slovo patřídojazykalčine. Při čtení a-ček si musíme pamatovat

Více

3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA

3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Vyčíslitelné funkce. TIN - Vyčíslitelné funkce p.1/30

Vyčíslitelné funkce. TIN - Vyčíslitelné funkce p.1/30 Vyčíslitelné funkce TIN - Vyčíslitelné funkce p.1/30 Základy teorie rekurzivních funkcí Budeme se snažit identifikovat takové funkce, které jsou spočitatelné, tj. vyčíslitelné v obecném smyslu (bez ohledu

Více

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g). 7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené

Více

Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost

Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není

Více

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma

Více

Automaty a gramatiky(bi-aag) Formální překlady. 5. Překladové konečné automaty. h(ε) = ε, h(xa) = h(x)h(a), x, x T, a T.

Automaty a gramatiky(bi-aag) Formální překlady. 5. Překladové konečné automaty. h(ε) = ε, h(xa) = h(x)h(a), x, x T, a T. BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 2/41 Formální překlady BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 4/41 Automaty a gramatiky(bi-aag) 5. Překladové konečné

Více

Složitost a NP-úplnost

Složitost a NP-úplnost Složitost a NP-úplnost RNDr. Ondřej Čepek, Ph.D. Do formátu TEX převedl Ladislav Strojil Připomínky, dotazy, opravy na emailu: Ladislav@Strojil.cz Verze 1.1.1 Nejnovější verze k nalezení vždy na http://ladislav.strojil.cz/np.php

Více

Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1

Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 7 Přednáška (Výpočetní) problémy, rozhodovací(ano/ne) problémy,... Připomněli jsme si obecné definice a konkrétní problémy, jako např. SAT[problém

Více

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Překladový automat Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Zobecněný překladový automat Překladový automat

Více

Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti. Petr Kučera

Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti. Petr Kučera Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti Petr Kučera 16. září 2014 Obsah Sylabus a literatura Úvod a motivace iv v I Vyčíslitelnost 1 1 Algoritmy a výpočetní modely 2 1.1 Churchova-Turingova

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Separované gramatiky. Kontextové gramatiky. Chomského hierarchie

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Separované gramatiky. Kontextové gramatiky. Chomského hierarchie Chomského hierarchie Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak gramatiky typu 0 (rekurzivně spočetné jazyky L 0 ) pravidla v obecné formě gramatiky

Více

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva:

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva: 1) Syntaktická analýza shora a zdola, derivační strom, kanonická derivace ezkontextová gramatika gramatika typu 2 Nechť G = je gramatika typu 1. Řekneme, že je gramatikou typu 2, platí-li: y

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti. Petr Kučera

Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti. Petr Kučera Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti Petr Kučera 12. února 2016 Obsah I Úvod 1 1 Motivace 2 II Vyčíslitelnost 3 2 Algoritmy a výpočetní modely 4 2.1 Churchova-Turingova teze..............................

Více

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. 9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,

Více

Teoretická informatika - Úkol č.1

Teoretická informatika - Úkol č.1 Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je

Více

YZTI - poznámky ke složitosti

YZTI - poznámky ke složitosti YZTI - poznámky ke složitosti LS 2018 Abstrakt Poznámky k přednášce YZTI zabývající se složitostí algoritmických problémů a teorií NP-úplnosti. Složitost algoritmu a problému Zabýváme se už pouze rekurzivními

Více

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Vyčíslitelnost a složitost 1. Mgr. Viktor PAVLISKA

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Vyčíslitelnost a složitost 1. Mgr. Viktor PAVLISKA UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta Vyčíslitelnost a složitost 1 Mgr. Viktor PAVLISKA Ostravská univerzita 2002 Vyčíslitelnost a složitost 1 KIP/VYSL1 texty pro distanční studium

Více

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28 Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo

Více

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS MASTER S THESIS AUTHOR

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS MASTER S THESIS AUTHOR VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS SYSTÉMY FORMÁLNÍCH

Více

Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických

Více

Minimalizace KA - Úvod

Minimalizace KA - Úvod Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Teoretická informatika TIN 2013/2014

Teoretická informatika TIN 2013/2014 Teoretická informatika TIN 2013/2014 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz doc.ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba Ing. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

Teoretická informatika

Teoretická informatika Teoretická informatika TIN 2017/2018 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz prof. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba dr. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení

Více

Složitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost

Složitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost 1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Gramatiky nad volnými grupami 2005 Petr Blatný Abstrakt Tento dokument zavádí pojmy bezkontextové gramatiky nad volnou grupou a E0L gramatiky

Více

Bezkontextové jazyky 2/3. Bezkontextové jazyky 2 p.1/27

Bezkontextové jazyky 2/3. Bezkontextové jazyky 2 p.1/27 Bezkontextové jazyky 2/3 Bezkontextové jazyky 2 p.1/27 Transformace bezkontextových gramatik Bezkontextové jazyky 2 p.2/27 Ekvivalentní gramatiky Definice 6.1 Necht G 1 a G 2 jsou gramatiky libovolného

Více

Teoretická informatika TIN

Teoretická informatika TIN Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Domény. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta

Domény. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta Domény Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 10 1 Typy programů v čistém Prologu je možné uspořádat podle různých pohledů. Zajímavá je charakteristika podle domén,

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Formalisace intuitivního pojmu algoritmus

Formalisace intuitivního pojmu algoritmus Formalisace intuitivního pojmu algoritmus Studijní materiál, M.Č. 1. Výpočetní krok 1.1. Začněme s následujícím programem: function y(x: natural number) : natural number; begin y := x + 1; end; Jak dlouho

Více

platné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??

platné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/?? Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice

Více

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - V Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský

Více

Vlastnosti Derivační strom Metody Metoda shora dolů Metoda zdola nahoru Pomocné množiny. Syntaktická analýza. Metody a nástroje syntaktické analýzy

Vlastnosti Derivační strom Metody Metoda shora dolů Metoda zdola nahoru Pomocné množiny. Syntaktická analýza. Metody a nástroje syntaktické analýzy Metody a nástroje syntaktické analýzy Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 14. října 2011 Vlastnosti syntaktické analýzy Úkoly syntaktické

Více

Konečný automat Teorie programovacích jazyků

Konečný automat Teorie programovacích jazyků Konečný automat Teorie programovacích jazyků oc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@menelu.cz Automaty v běžném životě Konečný automat Metoy konstrukce konečného automatu

Více

NP-úplnost. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května / 32

NP-úplnost. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května / 32 NP-úplnost M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května 2007 1/ 32 Rozhodovací problémy Definice Rozhodovací problém je takový, kde je množina možných výstupů dvouprvková

Více

Modelování procesů (2) 23.3.2009 Procesní řízení 1

Modelování procesů (2) 23.3.2009 Procesní řízení 1 Modelování procesů (2) 23.3.2009 Procesní řízení 1 Seznam notací Síťové diagramy Notace WfMC Notace Workflow Together Editor Aktivity diagram (UML) FirsStep Designer Procesní mapa Select Prespective (procesní

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty

Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty Petr Osička KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Outline Literatura Obsah J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman Introduction to

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David

Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David Úvod do Prologu Prolog PROgramming in LOGic část predikátové logiky prvního řádu rozvoj začíná po roce 1970 Robert Kowalski teoretické základy Alain Colmerauer, David Warren (Warren Abstract Machine) implementace

Více

Konečný automat. Jan Kybic.

Konečný automat. Jan Kybic. Konečný automat Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2017 1 / 33 Konečný automat finite state machine Konečný automat = výpočetní model, primitivní počítač Řídící jednotka s

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.

Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost. VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení

Více

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - IV Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

5. Sekvenční logické obvody

5. Sekvenční logické obvody 5. Sekvenční logické obvody 3. Sekvenční logické obvody - úvod Sledujme chování jednoduchého logického obvodu se zpětnou vazbou 3. Sekvenční logické obvody - příklad asynchronního sekvenčního obvodu 3.

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

(viztakéslidyktétopřednášce...) Poznámka. Neudělali jsme vše tak podrobně, jak je to v zápisu.

(viztakéslidyktétopřednášce...) Poznámka. Neudělali jsme vše tak podrobně, jak je to v zápisu. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 8 Přednáška- první část (viztakéslidyktétopřednášce...) Poznámka. Neudělali jsme vše tak podrobně, jak je to v zápisu. Turingovy stroje,(výpočetní)

Více