4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE"

Transkript

1 FBI VŠB-TUO 28. března 2014

2 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y = f (x) a jejími derivacemi do řádu n. Definice 4.2. Řádem diferenciální rovnice nazýváme řád nejvyšší derivace hledané funkce v dané rovnici. Definice 4.3. Řešením diferenciální rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Definice 4.4. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka.

3 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y = f (x) a jejími derivacemi do řádu n. Definice 4.2. Řádem diferenciální rovnice nazýváme řád nejvyšší derivace hledané funkce v dané rovnici. Definice 4.3. Řešením diferenciální rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Definice 4.4. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka.

4 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y = f (x) a jejími derivacemi do řádu n. Definice 4.2. Řádem diferenciální rovnice nazýváme řád nejvyšší derivace hledané funkce v dané rovnici. Definice 4.3. Řešením diferenciální rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Definice 4.4. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka.

5 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y = f (x) a jejími derivacemi do řádu n. Definice 4.2. Řádem diferenciální rovnice nazýváme řád nejvyšší derivace hledané funkce v dané rovnici. Definice 4.3. Řešením diferenciální rovnice nazýváme každou funkci, která vyhovuje dané rovnici. Definice 4.4. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka.

6 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Mějme obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu ve tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. 1 Obecným řešením diferenciální rovnice nazýváme funkci, která může být v implicitním tvaru φ(x, y, C 1, C 2,..., C n) = 0 nebo explicitním tvaru y = ϕ(x, C 1, C 2,..., C n). Čísla C 1, C 2,..., C n jsou obecné integrační konstanty. 2 Partikulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme řešení, které dostaneme z obecného, jestliže za konstanty dosadíme určitá reálná čísla nebo když všechny konstanty vypočteme z daných podmínek, tzv. počáteční (Cauchyho) úlohy. 3 Singulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme takové řešení rovnice, které není obsaženo v obecném řešení, i když za konstanty C 1, C 2,..., C n dosadíme jakákoli čísla.

7 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Mějme obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu ve tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. 1 Obecným řešením diferenciální rovnice nazýváme funkci, která může být v implicitním tvaru φ(x, y, C 1, C 2,..., C n) = 0 nebo explicitním tvaru y = ϕ(x, C 1, C 2,..., C n). Čísla C 1, C 2,..., C n jsou obecné integrační konstanty. 2 Partikulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme řešení, které dostaneme z obecného, jestliže za konstanty dosadíme určitá reálná čísla nebo když všechny konstanty vypočteme z daných podmínek, tzv. počáteční (Cauchyho) úlohy. 3 Singulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme takové řešení rovnice, které není obsaženo v obecném řešení, i když za konstanty C 1, C 2,..., C n dosadíme jakákoli čísla.

8 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Mějme obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu ve tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. 1 Obecným řešením diferenciální rovnice nazýváme funkci, která může být v implicitním tvaru φ(x, y, C 1, C 2,..., C n) = 0 nebo explicitním tvaru y = ϕ(x, C 1, C 2,..., C n). Čísla C 1, C 2,..., C n jsou obecné integrační konstanty. 2 Partikulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme řešení, které dostaneme z obecného, jestliže za konstanty dosadíme určitá reálná čísla nebo když všechny konstanty vypočteme z daných podmínek, tzv. počáteční (Cauchyho) úlohy. 3 Singulárním řešením diferenciální rovnice nazýváme takové řešení rovnice, které není obsaženo v obecném řešení, i když za konstanty C 1, C 2,..., C n dosadíme jakákoli čísla.

9 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Příklad 4.1. Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = x. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y = x za podmínky y(0) = 0, y (0) = 10. Řešte diferenciální rovnici (y x)y = (y x) sin x. V našem kurzu se budeme zabývat pouze obecným a partikulárním řešením diferenciálních rovnic.

10 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Příklad 4.1. Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = x. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y = x za podmínky y(0) = 0, y (0) = 10. Řešte diferenciální rovnici (y x)y = (y x) sin x. V našem kurzu se budeme zabývat pouze obecným a partikulárním řešením diferenciálních rovnic.

11 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Příklad 4.1. Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = x. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y = x za podmínky y(0) = 0, y (0) = 10. Řešte diferenciální rovnici (y x)y = (y x) sin x. V našem kurzu se budeme zabývat pouze obecným a partikulárním řešením diferenciálních rovnic.

12 Druhy řešení diferenciální rovnice n-tého řádu Příklad 4.1. Určete obecné řešení diferenciální rovnice y = x. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y = x za podmínky y(0) = 0, y (0) = 10. Řešte diferenciální rovnici (y x)y = (y x) sin x. V našem kurzu se budeme zabývat pouze obecným a partikulárním řešením diferenciálních rovnic.

13 4.2. Diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice prvního řádu má tvar F (x, y, y ) = 0 nebo y = f (x, y). Obecné řešení: funkce jedné proměnné v explicitním tvaru y = φ(x, C) nebo implicitně φ(x, y, C) = 0. Graficky je řešením systém integrálních křivek. Volbou za konstantu C dostáváme konkrétní integrální křivku. Příklad 4.2. Určete systém integrálních křivek diferenciální rovnice y = 2x a partikulární řešení při počáteční podmínce y(1) = 2.

14 4.2. Diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice prvního řádu má tvar F (x, y, y ) = 0 nebo y = f (x, y). Obecné řešení: funkce jedné proměnné v explicitním tvaru y = φ(x, C) nebo implicitně φ(x, y, C) = 0. Graficky je řešením systém integrálních křivek. Volbou za konstantu C dostáváme konkrétní integrální křivku. Příklad 4.2. Určete systém integrálních křivek diferenciální rovnice y = 2x a partikulární řešení při počáteční podmínce y(1) = 2.

15 4.2. Diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice prvního řádu má tvar F (x, y, y ) = 0 nebo y = f (x, y). Obecné řešení: funkce jedné proměnné v explicitním tvaru y = φ(x, C) nebo implicitně φ(x, y, C) = 0. Graficky je řešením systém integrálních křivek. Volbou za konstantu C dostáváme konkrétní integrální křivku. Příklad 4.2. Určete systém integrálních křivek diferenciální rovnice y = 2x a partikulární řešení při počáteční podmínce y(1) = 2.

16 4.2. Diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice prvního řádu má tvar F (x, y, y ) = 0 nebo y = f (x, y). Obecné řešení: funkce jedné proměnné v explicitním tvaru y = φ(x, C) nebo implicitně φ(x, y, C) = 0. Graficky je řešením systém integrálních křivek. Volbou za konstantu C dostáváme konkrétní integrální křivku. Příklad 4.2. Určete systém integrálních křivek diferenciální rovnice y = 2x a partikulární řešení při počáteční podmínce y(1) = 2.

17 4.3. Separovatelná diferenciální rovnice Definice 4.5. Diferenciální rovnice ve tvaru P(x) + Q(y)y = 0 se nazývá separovatelná diferenciální rovnice. Separovatelná diferenciální rovnice se často píše ve tvaru P(x)dx + Q(y)dy = 0. Věta 4.1. Necht P(x), Q(y) jsou spojité funkce. Potom každé řešení separovatelné rovnice má tvar P(x)dx + Q(y)dy = C. Poznámka Vypočítané obecné řešení někdy upravujeme, zejména když integrací vznikla logaritmická funkce. Integrační konstantu často uvažujeme ve tvaru ln C.

18 4.3. Separovatelná diferenciální rovnice Definice 4.5. Diferenciální rovnice ve tvaru P(x) + Q(y)y = 0 se nazývá separovatelná diferenciální rovnice. Separovatelná diferenciální rovnice se často píše ve tvaru P(x)dx + Q(y)dy = 0. Věta 4.1. Necht P(x), Q(y) jsou spojité funkce. Potom každé řešení separovatelné rovnice má tvar P(x)dx + Q(y)dy = C. Poznámka Vypočítané obecné řešení někdy upravujeme, zejména když integrací vznikla logaritmická funkce. Integrační konstantu často uvažujeme ve tvaru ln C.

19 4.3. Separovatelná diferenciální rovnice Příklad 4.3. Určete obecné řešení diferenciální rovnice x y cos y = 0. Určete obecné řešení diferenciální rovnice 1 y 2 2xyy = 0. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y + y cotg x = 0 za podmínky y( π 2 ) = 1.

20 4.3. Separovatelná diferenciální rovnice Příklad 4.3. Určete obecné řešení diferenciální rovnice x y cos y = 0. Určete obecné řešení diferenciální rovnice 1 y 2 2xyy = 0. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y + y cotg x = 0 za podmínky y( π 2 ) = 1.

21 4.3. Separovatelná diferenciální rovnice Příklad 4.3. Určete obecné řešení diferenciální rovnice x y cos y = 0. Určete obecné řešení diferenciální rovnice 1 y 2 2xyy = 0. Určete partikulární řešení diferenciální rovnice y + y cotg x = 0 za podmínky y( π 2 ) = 1.

22 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Definice 4.6. Necht je dána funkce dvou proměnných f (x, y). Tuto funkci nazýváme homogenní funkcí k-tého stupně, jestliže pro ni platí f (tx, ty) = t k f (x, y). Příklad 4.4. Zjistěte, zda jsou homogenní funkce: f (x, y) = x 3 + xy 2, f (x, y) = x 2 + y. Definice 4.7. Diferenciální rovnici ve tvaru M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 nazýváme homogenní diferenciální rovnicí, jestliže M(x, y), N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Poznámka Homogenní rovnici můžeme vidět i ve tvaru y = F (x,y) G(x,y), kde F (x, y), G(x, y) jsou homogenní funkce, nebo y = f ( y x ).

23 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Definice 4.6. Necht je dána funkce dvou proměnných f (x, y). Tuto funkci nazýváme homogenní funkcí k-tého stupně, jestliže pro ni platí f (tx, ty) = t k f (x, y). Příklad 4.4. Zjistěte, zda jsou homogenní funkce: f (x, y) = x 3 + xy 2, f (x, y) = x 2 + y. Definice 4.7. Diferenciální rovnici ve tvaru M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 nazýváme homogenní diferenciální rovnicí, jestliže M(x, y), N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Poznámka Homogenní rovnici můžeme vidět i ve tvaru y = F (x,y) G(x,y), kde F (x, y), G(x, y) jsou homogenní funkce, nebo y = f ( y x ).

24 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Definice 4.6. Necht je dána funkce dvou proměnných f (x, y). Tuto funkci nazýváme homogenní funkcí k-tého stupně, jestliže pro ni platí f (tx, ty) = t k f (x, y). Příklad 4.4. Zjistěte, zda jsou homogenní funkce: f (x, y) = x 3 + xy 2, f (x, y) = x 2 + y. Definice 4.7. Diferenciální rovnici ve tvaru M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 nazýváme homogenní diferenciální rovnicí, jestliže M(x, y), N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Poznámka Homogenní rovnici můžeme vidět i ve tvaru y = F (x,y) G(x,y), kde F (x, y), G(x, y) jsou homogenní funkce, nebo y = f ( y x ).

25 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Definice 4.6. Necht je dána funkce dvou proměnných f (x, y). Tuto funkci nazýváme homogenní funkcí k-tého stupně, jestliže pro ni platí f (tx, ty) = t k f (x, y). Příklad 4.4. Zjistěte, zda jsou homogenní funkce: f (x, y) = x 3 + xy 2, f (x, y) = x 2 + y. Definice 4.7. Diferenciální rovnici ve tvaru M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 nazýváme homogenní diferenciální rovnicí, jestliže M(x, y), N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Poznámka Homogenní rovnici můžeme vidět i ve tvaru y = F (x,y) G(x,y), kde F (x, y), G(x, y) jsou homogenní funkce, nebo y = f ( y x ).

26 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Řešení: Homogenní diferenciální rovnici řešíme substitucí. Zavádíme novou funkci z = y x y = zx y = z x + z. Po dosazení dostaneme rovnici pro neznámou funkci z(x), která je separovatelná. Po vyřešení rovnice a nalezení obecného řešení separovatelné rovnice dosadíme zpět podíl z = y x a dopočítáme. Příklad 4.5. Určete obecné řešení diferenciálních rovnic: xy = y ln y x, y = 2xy x 2 y 2.

27 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Řešení: Homogenní diferenciální rovnici řešíme substitucí. Zavádíme novou funkci z = y x y = zx y = z x + z. Po dosazení dostaneme rovnici pro neznámou funkci z(x), která je separovatelná. Po vyřešení rovnice a nalezení obecného řešení separovatelné rovnice dosadíme zpět podíl z = y x a dopočítáme. Příklad 4.5. Určete obecné řešení diferenciálních rovnic: xy = y ln y x, y = 2xy x 2 y 2.

28 4.4. Homogenní diferenciální rovnice Řešení: Homogenní diferenciální rovnici řešíme substitucí. Zavádíme novou funkci z = y x y = zx y = z x + z. Po dosazení dostaneme rovnici pro neznámou funkci z(x), která je separovatelná. Po vyřešení rovnice a nalezení obecného řešení separovatelné rovnice dosadíme zpět podíl z = y x a dopočítáme. Příklad 4.5. Určete obecné řešení diferenciálních rovnic: xy = y ln y x, y = 2xy x 2 y 2.

29 4.5. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Definice 4.8. Lineární diferenciální rovnicí 1. řádu nazýváme rovnici tvaru y + p(x)y = q(x), kde p(x), q(x) jsou spojité funkce proměnné x na intervalu I. Je-li q(x) = 0, pak rovnici y + p(x)y = 0 nazýváme zkrácenou lineární diferenciální rovnicí 1. řádu.

30 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

31 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

32 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

33 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

34 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

35 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

36 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

37 Postup řešení - metoda variace konstanty 1 Řešíme zkrácenou rovnici, která je vždy rovnicí separovatelnou a řešení napíšeme ve tvaru y = Cu(x), kde u(x) = e p(x)dx. 2 Ve funkci y = Cu(x) provedeme změnu (variaci) konstanty C na funkci C(x) proměnné x a obecné řešení hledáme ve tvaru y = C(x)u(x). 3 Dosazením funkce y = C(x)u(x) a její derivace y = C (x)u(x) + C(x)u (x) do zadané lineární diferenciální rovnice získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce C (x). Členy obsahující C(x) se vzájemně odečtou. 4 Integrujeme a vypočítanou funkci C(x) dosadíme do řešení zkrácené rovnice. Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice. Příklad 4.6. Určete obecné řešení rovnice (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2. Určete obecné řešení rovnice xy 3y = x 2. Určete partikulární řešení rovnice 1 y xy = x při počáteční podmínce 2 y(0) = 7. Určete partikulární řešení rovnice y y tg x = 1 při počáteční cos x podmínce y(0) = 0.

38 4.6. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Definice 4.9. Lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty nazýváme rovnici ve tvaru a 2 y + a 1 y + a 0 y = f (x), kde a 2, a 1, a 0 jsou konstanty a funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Je-li f (x) = 0, mluvíme o zkrácené lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty.

39 4.6. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Definice 4.9. Lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty nazýváme rovnici ve tvaru a 2 y + a 1 y + a 0 y = f (x), kde a 2, a 1, a 0 jsou konstanty a funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Je-li f (x) = 0, mluvíme o zkrácené lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty.

40 Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice Algebraickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí zkrácené lineární diferenciální rovnice. Věta 4.2. Necht zkrácená lineární diferenciální rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 má charakteristickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0, jejíž kořeny jsou k 1, k 2. Pak obecné řešení zkrácené diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 y = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x, jestliže k 1, k 2 jsou reálné různé kořeny, 2 y = C 1 e kx + C 2 xe kx, jestliže k = k 1 = k 2 je dvojnásobný reálný kořen, 3 y = e ax (C 1 cos bx + C 2 sin bx), jestliže k 1, k 2 jsou komplexně sdružená čísla k 1,2 = a ± ib. Příklad 4.7. Určete obecné řešení rovnice y y 6y = 0, y 4y + 4y = 0, y + 6y + 13y = 0.

41 Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice Algebraickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí zkrácené lineární diferenciální rovnice. Věta 4.2. Necht zkrácená lineární diferenciální rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 má charakteristickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0, jejíž kořeny jsou k 1, k 2. Pak obecné řešení zkrácené diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 y = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x, jestliže k 1, k 2 jsou reálné různé kořeny, 2 y = C 1 e kx + C 2 xe kx, jestliže k = k 1 = k 2 je dvojnásobný reálný kořen, 3 y = e ax (C 1 cos bx + C 2 sin bx), jestliže k 1, k 2 jsou komplexně sdružená čísla k 1,2 = a ± ib. Příklad 4.7. Určete obecné řešení rovnice y y 6y = 0, y 4y + 4y = 0, y + 6y + 13y = 0.

42 Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice Algebraickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí zkrácené lineární diferenciální rovnice. Věta 4.2. Necht zkrácená lineární diferenciální rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 má charakteristickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0, jejíž kořeny jsou k 1, k 2. Pak obecné řešení zkrácené diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 y = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x, jestliže k 1, k 2 jsou reálné různé kořeny, 2 y = C 1 e kx + C 2 xe kx, jestliže k = k 1 = k 2 je dvojnásobný reálný kořen, 3 y = e ax (C 1 cos bx + C 2 sin bx), jestliže k 1, k 2 jsou komplexně sdružená čísla k 1,2 = a ± ib. Příklad 4.7. Určete obecné řešení rovnice y y 6y = 0, y 4y + 4y = 0, y + 6y + 13y = 0.

43 Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice Algebraickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí zkrácené lineární diferenciální rovnice. Věta 4.2. Necht zkrácená lineární diferenciální rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 má charakteristickou rovnici a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0, jejíž kořeny jsou k 1, k 2. Pak obecné řešení zkrácené diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 y = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x, jestliže k 1, k 2 jsou reálné různé kořeny, 2 y = C 1 e kx + C 2 xe kx, jestliže k = k 1 = k 2 je dvojnásobný reálný kořen, 3 y = e ax (C 1 cos bx + C 2 sin bx), jestliže k 1, k 2 jsou komplexně sdružená čísla k 1,2 = a ± ib. Příklad 4.7. Určete obecné řešení rovnice y y 6y = 0, y 4y + 4y = 0, y + 6y + 13y = 0.

44 Řešení úplné lineární diferenciální rovnice 2. řádu Věta 4.3. Obecné řešení rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = f (x) lze psát ve tvaru y = y 0 + ŷ, kde y 0 je obecné řešení zkrácené rovnice a ŷ(x) je partikulární řešení úplné rovnice příslušné pravé straně f (x). Poznámka Tvar partikulárního řešení ŷ(x) závisí na funkci f (x) a na kořenech charakteristické rovnice.

45 Řešení úplné lineární diferenciální rovnice 2. řádu Věta 4.3. Obecné řešení rovnice a 2 y + a 1 y + a 0 y = f (x) lze psát ve tvaru y = y 0 + ŷ, kde y 0 je obecné řešení zkrácené rovnice a ŷ(x) je partikulární řešení úplné rovnice příslušné pravé straně f (x). Poznámka Tvar partikulárního řešení ŷ(x) závisí na funkci f (x) a na kořenech charakteristické rovnice.

46 Speciální případy: 1. funkce f (x) = P(x) je polynom n-tého stupně 1 Pokud číslo p = 0 není kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení je ŷ = Q(x). 2 Je-li číslo p = 0 r-násobným (r = 1, 2) kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení je ŷ = x r Q(x). Funkce Q(x) = A 0 x n + A 1 x n 1 + A 2 x n A n je polynom n-tého stupně. Koeficienty A 0, A 1, A 2,..., A n vypočteme po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice a porovnáním koeficientů u mocnin x. Příklad 4.8. Určete obecné řešení rovnice y + y 2y = 6x 2, y + 3y = 9x.

47 Speciální případy: 1. funkce f (x) = P(x) je polynom n-tého stupně 1 Pokud číslo p = 0 není kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení je ŷ = Q(x). 2 Je-li číslo p = 0 r-násobným (r = 1, 2) kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení je ŷ = x r Q(x). Funkce Q(x) = A 0 x n + A 1 x n 1 + A 2 x n A n je polynom n-tého stupně. Koeficienty A 0, A 1, A 2,..., A n vypočteme po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice a porovnáním koeficientů u mocnin x. Příklad 4.8. Určete obecné řešení rovnice y + y 2y = 6x 2, y + 3y = 9x.

48 Speciální případy: 2. funkce f (x) = me px, kde m, p jsou konstanty 1 Není-li číslo p kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení má tvar ŷ = Ae px. 2 Je-li číslo p kořenem charakteristické rovnice s násobností r = 1, 2, pak partikulární řešení má tvar ŷ = Ax r e px. Konstantu A vypočteme po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice. Příklad 4.9. Určete obecné řešení rovnice y 2y + y = e x, y y = e x.

49 Speciální případy: 2. funkce f (x) = me px, kde m, p jsou konstanty 1 Není-li číslo p kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární řešení má tvar ŷ = Ae px. 2 Je-li číslo p kořenem charakteristické rovnice s násobností r = 1, 2, pak partikulární řešení má tvar ŷ = Ax r e px. Konstantu A vypočteme po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice. Příklad 4.9. Určete obecné řešení rovnice y 2y + y = e x, y y = e x.

50 Speciální případy: 3. funkce f (x) = m cos qx + n sin qx, kde m, n, q jsou konstanty 1 Není-li číslo qi komplexním kořenem charakteristické rovnice, pak ŷ = A cos qx + B sin qx. 2 Je-li číslo qi komplexním kořenem charakteristické rovnice, pak ŷ = x(a cos qx + B sin qx). Podobně jako v předchozích situacích určíme konstanty A, B po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice porovnáním koeficientů u členů cos qx, sin qx. Příklad Určete obecné řešení rovnice y 3y + 2y = 5 sin 2x, y + y = 4 cos x 2 sin x.

51 Speciální případy: 3. funkce f (x) = m cos qx + n sin qx, kde m, n, q jsou konstanty 1 Není-li číslo qi komplexním kořenem charakteristické rovnice, pak ŷ = A cos qx + B sin qx. 2 Je-li číslo qi komplexním kořenem charakteristické rovnice, pak ŷ = x(a cos qx + B sin qx). Podobně jako v předchozích situacích určíme konstanty A, B po dosazení partikulárního řešení ŷ a jeho derivací ŷ, ŷ do dané rovnice porovnáním koeficientů u členů cos qx, sin qx. Příklad Určete obecné řešení rovnice y 3y + 2y = 5 sin 2x, y + y = 4 cos x 2 sin x.

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015)

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015) Diferenciální rovnice součást předmětu Matematická analýza 3 Pavel Řehák (verze 10. června 2015) 2 Pár slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza 3 (partie týkající se diferenciálních

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Zlín, 2015 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky FAI UTB ve Zlíně

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika.

Více

z matematické analýzy II

z matematické analýzy II CZ.1.07/.3.00/30.0009 Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké excelenci Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Hasil hasil@math.muni.cz http://www.math.muni.cz/~hasil Ústav

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

13. Kvadratické rovnice 2 body

13. Kvadratické rovnice 2 body 13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

II. 3. Speciální integrační metody

II. 3. Speciální integrační metody 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok. DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Matematická analýza 2 1

Matematická analýza 2 1 Matematická analýza 2 Obsah Diferenciální rovnice 3. Motivace....................... 3.2 Diferenciální rovnice. řádu............ 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu... 7.3. Ortogonální systémy

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více