F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

Transkript

1 F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační síle existuje potenciální enegie taková, že gavitační síla je minus gadientem této enegie Equation Chapte (Next) Section 1 Gavitační zákon Dvě tělesa se vždy vzájemně přitahují silou, kteá je přímo úměná součinu jejich gavitačních hmotností Tento fakt plyne přímo z definice gavitační hmotnosti jakožto schopnosti těles se vzájemně přitahovat: F m1m (51) Gavitační síla je, jak objevil Isaac Newton v 17 století, nepřímo úměná duhé mocnině vzdálenosti mezi tělesy, tedy 1 F (5) Oba dva vztahy můžeme sloučit do jednoho jediného zákona mm 1 F G, (5) kde G je koeficient úměnosti, kteý nazýváme gavitační konstanta Její pvní měření pochází od Henyho Cavendishe z oku 1798 Na vodoovném ameni zavěšeném na vlákně mel dvě olověné koule o hmotnostech přibližně 0,75 kg K těm střídavě přibližoval velké olověné koule o hmotnosti 158 kilogamů a za pomoci zcátka umístěného na svislém závěsu pozooval zkoucení tohoto závěsu vlivem přitahování Současná hodnota gavitační konstanty je G = (6,674 ± 0,0010) m s kg 1 Gavitační konstanta je nejméně přesně změřenou fundamentální konstantou Z komunistické éy přetvalo v někteých textech značení gavitační konstanty řeckým písmenem kapa (ϰ) Často je uspořádání takové, že jedno z těles má výazně větší hmotnost než ostatní (například sledujeme pohyb planet kolem Slunce nebo pohyb dužic kolem Země) Hmotnější těleso pak umístíme do středu souřadnicové soustavy a předpokládáme, že menší těleso jeho pohyb ovlivní minimálně: V silovém předpisu je nyní vzdálenost testovacího tělesa do počátku souřadnic Vzhledem k tomu, že síla má být deivací potenciální enegie, musí být potenciální enegie úměná ±1/ Znaménko učíme tak, aby síla působila ve směu menších, tj bude platit modá křivka ; F G Wp G (54) F5-

3 Povšimněte si, že gavitační enegie je záponá a se vzdalováním těles oste To je na pvní pohled divné, očekávali bychom, že gavitační enegie bude se vzdalováním slábnout Pokud si ale povšimneme, že W p sice oste, ale k nule, je vše v pořádku V absolutní hodnotě skutečně gavitační potenciální enegie slábne Pokud budeme chtít opavdu řešit pohyb těles, nestačí nám jen znalost velikosti gavitační síly, ale musíme znát její jednotlivé složky Vypočtěme z potenciální enegie například x-ovou složku síly: W p 1/ Fx G G x y z x x x y z x / G ( x)( 1/) x y z G x Analogicky učíme ostatní složky: Fx G x, Fy G y, Fz G z Pokud chceme sledovat pohyb tělesa o hmotnosti m, musíme řešit pohybové ovnice (55) mx G x, my G y, (56) mz G z Nezapomeňme, že = (x +y +z ) 1/, soustava je tedy nelineání a nejvhodnější je numeické řešení Povšimněte si, že hmotnost testovacího tělesa se na obou stanách pohybové ovnice vykátí (pokud je jeho setvačná hmotnost ovna gavitační) a výsledný pohyb nebude na hmotnosti tělesa záviset Matka uvolněná z kosmické lodi se kolem Slunce bude pohybovat po stejné dáze jako celá planeta Nalezněme velikost síly odpovídající složkám (55): G m M G m M x y z 6 4 F FF F F F x y z G Velikost síly tedy vyjde tak, jak ji známe z gavitačního zákona Vztah po sílu (55) můžeme zapsat také ve tvau F G (57) Síla má velikost G/ a míří ve směu jednotkového vektou /, tedy směem ke středu souřadnic F5-

4 Gavitační síla je v poli centálního tělesa dána předpisem F G ; F G Potenciální enegie má tva (je záponá a s ostoucí vzdáleností oste k nule) W G p Sílu můžete vždy získat jako záponě vzatý gadient potenciální enegie Tíže Pokud pobíhá pohyb v těsné blízkosti povchu Země, nevyužijeme z gavitačního zákona celou křivku Pohybujeme se maximálně několik kilometů nad zemí nebo pod zemí Po takovéto pohyby postačí nahadit skutečnou závislost pouhou tečnou K tomu využijeme Lagangeovu větu o příůstku zapsanou po potenciální enegii: Wp Wp ( R) R (58) Wp W0 Wp ( R) RW0 G R R Konstanta W 0 je nepodstatná, potenciální enegii můžeme posunout o jakoukoli konstantu a síla působící na těleso se nezmění (je deivací potenciální enegie) Rozdíl R má význam výšky nad povchem Po lineání závislost máme finální vztah M Wp W0 mgh; g G (59) R Jde o tíži, tíhové zychlení na povchu můžeme učit z hmotnosti a ozměu tělesa Jiné nám vyjde na Zemi, jiné na Měsíci a jiné při povchu Slunce Tíže je lineání apoximací gavitace u povchu tělesa Tíže oste lineáně se vzdáleností V nekonečnu by tíhová enegie měla nekonečnou hodnotu, ale tam již tato apoximace neplatí U otujícího tělesa se do tíhového zychlení zahnují i odstředivé jevy F5-4

5 Coulombův zákon Vzájemné působení dvou nábojů je velmi podobné gavitaci Síla je úměná nábojům obou těles a nepřímo úměná duhé mocnině jejich vzdálenosti Potenciální enegie je opět nepřímo úměná vzdálenosti obou těles: qq qq F ; 4 (510) 1 1 W p Po ůzné znaménko nábojů vyjde potenciální enegie záponá, tedy přitažlivá, jako tomu bylo u gavitace Po opačná znaménka nábojů vyjde potenciální enegie kladná a náboje se budou odpuzovat Z histoických důvodů je konstanta úměnosti označena v soustavě SI jako 1/4πε 0, kde ε 0 se nazývá pemitivita vakua , C N m (511) Pokud je jeden náboj výazně větší než duhý, můžeme ho opět umístit do počátku souřadnicové soustavy, potom bude mít význam vzdálenosti testovacího náboje q od počátku souřadnic, kde je náboj Q Vztah (510) přejde na qq qq qq F ; F ; Wp (51) Zkontolujte si, že síla má po dva souhlasné náboje spávný smě (tedy od počátku souřadnicové soustavy) 0 Coulombova síla je odpudivá po shodné náboje a přitažlivá po náboje opačných znamének Tomu odpovídá vyjádření potenciální enegie a síly po centální náboj: qq qq qq F ; F ; Wp F5-5