LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Stanovení Boltzmannovy konst. pomocí VA char. PN přechodu

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: etr Česák Datum měřeí: Studjí rok: 00000, Ročík: Datum odevzdáí: Studjí skua: 5 Laboratorí skua: 4 Klasfkace: Číslo úlohy: Název úlohy: Staoveí Boltzmaovy kost. omocí VA char. N řechodu

2 Úkol měřeí:. Staoveí Boltzmaovy kostaty omocí voltamérové charakterstky N řechodu.. Určete závěrý roud N řechodu ro tř růzé teloty. 3. omocí vztahu ro os voltamérové charakterstky N řechodu a aměřeých hodot vyeste do grafu ro tř růzé racoví teloty vyočteé voltamérové charakterstky měřeého řechodu. 4. Určete chybu měřeí Boltzmaovy kostaty a orovejte výsledek s tabulkovou hodotou. Obecá část: Ke staoveí Boltzmaovy kostaty oužjeme secfckých vlastostí olovodčů. olovodče jsou evé krystalcké látky, jejchž elektrckou vodvost lze výrazě ovlvt vějším účky. Šířka zakázaého ásu je u ch meší ež ev a ř ízkých telotách je jejch elektrcká vodvost téměř ulová jako u dalektrk. ř okojových telotách má však část elektroů valečího ásu vlvem teelého ohybu dostatečou eerg, aby mohla řekoat zakázaý ás a dostat se do vodvostího, v ěmž se stávají ostele elektrckého roudu. Čsté olovodče u chž dochází ke zvýšeí elektrcké vodvost vějším vlvy jako je ohřátí atd., se azývají vlastí olovodče. Dalším, v ra užívaým tyem olovodčů jsou evlastí (říměsové) olovodče. U chž se zvýšeí elektrcké vodvost dosahuje uměle vytvářeím oruch krystalové struktury řmíseím czích rvků. říkladem může být krystal křemíku, v ěmž je jede mřížkový atom ahraze atomem arzéu. rotože atom arzéu je ětmocý a atom křemíku je čtyřmocý, eúčastí se átý valečí elektro arzéu kovaletí vazby a je ke svému atomu ouze slabě vázá, a tak může být sado vějším vlvy ectová do vodvostího ásu. Atom arzéu se v krystalové mříž stává dárcem jedoho elektrou (tzv. door). olovodče obsahující doory jsou ozačováy jako olovodče tyu N. Nahradímel v mřížce krystalu jede atom atomem gala, který je trojmocý, zůstae jede valečí elektro sousedího křemíku bez kovaletí vazby. Dodáím malé eerge jede z valečích atomů křemíku byl řevzat galem. Tak vzke v místě czího atomu záorý ot a z atomu křemíku vzke odtržeím elektro ot kladý. Oba tyto oty jsou evě vázáy a svá místa v krystalové mřížce a emohou se tak účastt vedeí elektrckého roudu. Na rázdé místo elektrou atomu křemíku může řejít ěkterý valečí elektro ze sousedího atomu křemíku, čímž se rázdé místo řeese a sousedí atom křemíku. Na rázdém místě o elektrou vzká řevaha kladého áboje, a roto můžeme rázdá místa ovažovat za kladě abté díry, které s v říadě vějšího elektrckého ole ohybují ve směru tezty. Takový olovodč má tzv. děrovou vodvost a atří k olovodčům tyu. říměsové atomy azýváme akcetory, rotože řjímají a vážou valečí elektroy. Z teore eergetckých ásů krystalů evých látek, jež vychází z aromace téměř volého elektrou vylívá, že ketcká eerge téměř volého elektrou v závslost a jeho vlovém čísle k má ásledující tvar Na základě de Broglova koruskulárě vlového dualsmu můžeme a elektro ohlížet jako a částcovou vlu s říslušým vlovým číslem k ro volý elektro samostatého atomu latí, že E( k)! k / me, kde m e je hmotost elektrou etr Česák

3 ! k E( k) () m * kde m* je efektví hmotost a! h / π, kde h je lackova kostata. Obsahujel daý krystal N atomů, ak vlové číslo abývá ásledujících hodot : k π Na,,, 3,..., kde a je tzv. mřížková kostata. Vzhledem k tomu, že N je velm velké, řekěme 0 0, můžeme vlová čísla ovažovat za téměř sojtá. Avšak ro hodoty vlového čísla k ± ( π / a), kde je celé číslo, je ketcká eerge téměř volého elektrou esojtá, tj. těmto hodotám vlového čísla odovídají zakázaé eergetcké ásy. Zakřveí tohoto růběhu je dáo druhou dervací fukce ( ), tj. E ( k)!. () k m * Ze vztahu () je zřejmé, že míra zakřveí růběhu E(k) efektví hmotost m* elektroů. Vlastí olovodče ro vysvětleé mechasmu elektrcké vodvost olovodčů mají zásadí výzam valečí a vodvostí eergetcký ás. Jel mez m šířka zakázaého ásu E, ak ro vlastí olovodče můžeme určt ro kocetrac téměř volých elektroů a děr ásledující vztah : 3 3 * * 4 ( m m ) k T π! E e k T kde k je Boltzmaova kostata, T je absolutí telota, m res. m je efektví hmotost elektrou ve vodvostím ásu, res. efektví hmotost díry ve valečím ásu. Nevlastí olovodče V evlastích olovodčích je očet elektroů a děr rove NdNa, kde Nd a Na je očet doorů a akcetorů v daém olovodčovém krystalu. řechod N ř styku olovodčů tyu s olovodčem tyu N, které díky říměsím mají rozdílé Fermho hlady 3 E F dochází k dfůz elektroů z olovodče tyu N do olovodče tyu. Dfůze robíhá dokud se evyrovají Fermho hlady obou tyů olovodčů, tj. avodí se ustáleý stav. Dfůze elektroů z olovodče tyu N ( má vyšší Fermho hladu ) zaříčí vzk ovrchové vrstvy evykomezovaého áboje otů, v olovodč tyu N kladých otů a v olovodč tyu záorých otů. Tímto a rozhraí obou olovodčů vzke rostorový áboj, který vytvoří elektrcké ole ( otecálovou baréru ), jež ozačíme E k, které zabráí dfudováí dalších elektroů. Vzklá řechodová oblast má odstatě meší kocetrac volých osčů áboje, a roto odstatě větší elektrcký odor, ež zbytek olovodče. jakmle a N řechod řložíme vější elektrcké aětí, můžeme očekávat, že se raktcky celé soustředí a tuto řechodovou oblast. V říadě, že má olartu shodou s olartou ole E k, elektroy a 3 Fermho hlada u vlastích olovodčů se achází v olově zakázaého eergetckého ásu mez valečím a vodvostím ásem. etr Česák

4 díry jsou ještě slěj vytlačováy od středu N řechodu k okrajům. Šířka oblast zvětšeého odoru se tak ještě zvětší a elektrcký odor vzroste, takže N řechodem může téct je eatrý roud. Říkáme, že v tomto říadě jde o eroustý směr. Vější ole s oačou olartou zeslabuje E k a o dosažeí určté krtcké hodoty ho úlě vykomezuje. Volé osče áboje oět vylí rostor N řechodu, Takže jeho odor klese a úroveň ostatích oblastí olovodče. ř takovéto olartě řechod N roouští el. roud (roustý směr). Ek I rostorový áboj N řechodu U VA charakterstka N řechodu Na rví ohled se může zdát, že čím větší je závěré aětí, tím meší roud může N řechodem rotékat. Je tomu skutečě tak, okud máme a mysl je elektroy v oblast N a díry v oblast, tj. majortí osče áboje. V olovodč tyu N je však vždy řítomá určtá kocetrace volých děr a aoak, v olovodč tyu určtá kocetrace volých elektroů. Tyto mortí osče áboje se v oblast N řechodu chovají oačě ež osče majortí. Jakmle je ro majortí osče řechod olarzovaý v eroustém (závěrém) směru, je ro ě uzavřeý, avšak ro mortí osče je aoak úlě otevřeý. Už ř oměrě malém závěrém aětí řecházejí všechy mortí osče ře N řechod a vytváří v ěm určtý asyceý závěrý roud. Tyto kvaltatví úvahy lustruje graf VA charakterstky N řechodu. Některá výše uvedeá tvrzeí můžeme, za jstých zjedodušujících ředokladů, osat omocí jedoduché teore. oměr kocetrací v daém místě můžeme omocí MawellovyBoltzmaovy rozdělovací fukce vyjádřt ásledově 0 0 eϕ e, (3) 0 0 kt kde ϕ ϕ ϕ je otecál Noblast vzhledem k oblast ( otecálová baréra ). odle vztahu (3) je v bodě, který leží a hrac N řechodu v oblast olovodče tyu, kocetrace elektroů vyjádřeá vztahem e 0 0 e ϕ. (4) kt V říadě že má levá straa N řechodu vzhledem k bodu otecál ϕ, tedy teto bod vzhledem k levé straě má otecál ϕ, je v ěm kocetrace elektroů e( eϕ / kt) krát větší ež kocetrace elektroů v vlevo od N řechodu. roto když vějším zdrojem změíme otecál levé stray N řechodu z hodoty ϕ a hodotu ϕ U, kde U je aětí vějšího zdroje, změí se v bodě kocetrace elektroů z hodoty o ( ) a hodotu ( ), kterou určuje vzorec : e( ϕ U) 0.e, (5) kt. etr Česák

5 který o vyloučeí otecálu ϕ omocí vztahu (3) má ásledující tvar : eu 0.e kt, (6). V dostatečé vzdáleost od N řechodu se však už kocetrace elektroů vlvem vějšího aětí eměí, roto latí odmíka : ( ) 0. ř hledáí roudu, jež teče N řechodem, vyjdeme z ásledujících zjedodušujících ředokladů, které jsou v ra slěy : ) Uvtř N řechodu osče áboje vzájemě erekombují, roto celkovou hustotu roudu řes N řechod můžeme vyjádřt vztahem : j j j (7) ) V oblast a je už elektrcké ole oměrě slabé, rotože vzhledem a odstatě větší odor N řechodu se celé vější aětí soustředí v ěm. Gradety kocetrací osčů áboje jsou však v těchto oblastech začé, roto můžeme ohmcké složky roudů vzhledem a dfúzí zaedbat. 3) olarta ole E k je taková, že okud U je větší ěž ϕ, zemožňuje řechod osčů áboje řes N řechod, roto raktcky celý roud řes řechod je tvoře je elektroy z oblast olovodče tyu a díram z oblast tyu N. Za těchto ředokladů lze rozložeí kocetrace (ař. elektroů) v oblast tyu lze vyjádřt ásledově : d d L 0 0, (8) kde velča L (U.k.t.T)/e) /, ve které t začí dobu žvota elektrou (dobu, za kterou zrekombuje), se azývá dfuzí vzdáleost. Řešeím rovce (8) dostaeme ásledující fukc : eu 0 0. e..e (9) kt. kt. odle které ro hustotu elektroového roudu v bodě latí : j ( ) u kt d ukt 0 eu d L e kt (0) Aalogcký výraz bychom odvodl ro děrovou vodvost roudu v bodě. Takže ro celkový roud řes řechod N je určeý vztahem : j ( ) u kt d ukt 0 eu d L e kt () kde L (U.k.t.T)/e) / a t je doba žvota děr. Itegrací vztahu řes lochu rotékaou roudem dostaeme výraz ro celkový roud : eu I I0 e kt () který můžeme dále zjedodušt, vezmemel v úvahu, že roud Io ředstavuje velm malou hodotu : eu I I0 e (3) kt etr Česák

6 ostu měřeí: K měřeí Boltzmaovy kostaty oužjeme vztahu ro voltamérovou charakterstku N řechodu (3). Zlogartmováím tohoto vztahu dostaeme : l I e l I l kt U I su 0 0 (4) Tato rovce ředstavuje rovc římky v říadě, že řrozeý logartmus roudu li cháeme jako fukčí hodotu leárí fukce eu/ktlio, lio ředstavuje kostatu a se/kt směrc této římky. Zámel směrc římky a telotu, ke které se vztahuje, ak sado můžeme určt Boltzmaovu kostatu ke/ts. K tomu, abychom mohl staovt směrc římky, je uté změřt VA charakterstku N řechodu ř daé telotě T. Samoté měřeí je možé uskutečt dvěma zůsoby :. Měřeí VA charakterstky je možé rovést římo a zvoleé dodě. K měřeí aětí U a dodě je uto oužít voltmetru s dostatečě velkým vtřím odorem.. Další z možostí jak měřt VA charakterstku je oužtí trazstoru v zaojeí se solečou bází, vz. obrázek. ř malém úbytku aětí a oužtém amérmetru je aětí mez kolektorem a bází U KB 0. ak zbytkový roud I KB0 0 a ro kolektorový roud Ik lze sát β0 IK IE β0 kde β 0 je zeslovací čtel a I E je emtorový roud. V říadě, že je slěa odmíka β 0 je mohem větší ež, ak I K I E. Emtorový roud tedy rochází měřeým N řechodem bázeemtor, avšak z oblast báze okračuje dále do kolektoru, kde je měře. Amérmetr tak eí zaoje v sér s měřeým řechodem a eovlvňuje aětí aměřeé a řechodu. Vlastí ostu měřeí : 3. Měřeí rovedeme ro tř růzé teloty N řechodu (trazstoru), které budou od sebe dostatečě vzdáley. Zvoleé racoví teloty N řechodu budou zajštěy omocí teelých lází, do kterých bude měřeý N řechod vlože. 4. Zaojíme měřeý N řechod odle říslušého schématu a vložíme do telotí lázě. 5. o vyrováí teloty mez oužtým N řechodem a telotí lází odečteme omocí teloměru telotu lázě a zaočeme s vlastím měřeím VA charakterstky. Na koc měřeí oět odečteme telotu lázě a z obou telot určíme artmetcký růměr. 6. Naměřeé hodoty zracujeme omocí metody ejmeších čtverců a z alezeé směrce s římky určíme hodotu Boltzmaovy kostaty k. Rověž omocí této metody určíme hodotu závěrého roudu Io. 7. Měřeí oakujeme stejým zůsobem ro další dvě teloty 8. Ze získaých tří hodot Boltzmaovy kostaty staovíme artmetcký růměr, který orováme s tabulkovou hodotou. etr Česák

7 9. omocí vztahu (.) a aměřeých velč zaeseme do grafu růběhy VA charakterstk ( ro závěrý směr) měřeého N řechodu ro všechy tř oužté racoví teloty řechodu a avzájem je orováme. Ie Ik V Ib A Sezam oužtých řístrojů a omůcek: Amérmetr, voltmetr, trazstor, teloměr, telotí lázeň. Tabulky aměřeých hodot a zracovaých výsledků: oužjeme metodu ejmeších čtverců ro ejjedodušší ty závslost: leárí závslost, která je ro ám zvoleý říad jedé ezávslé a jedé závslé roměé rerezetováa rovcí římky l I e l I U l I su a b kt 0 0. Ozačme : li 0 b, sa, liy, U. Metoda ejmeších čtverců sočívá v tom, že hledáme takové arametry fukce f, ro které je součet čtverců odchylek vyočteých hodot od aměřeých hodot mmálí. latí tedy výraz : [ ] q y f Dosadímel aší římkovou závslost do tohoto vztahu dostaeme výraz : [ ] q y a b Hodoty ro která a a b abývají svého mma zjstíme, když oložíme arcálí dervace q odle regresích arametrů a a b rovy ule : g a y a b 0 g ( y a b) 0 b Jejch úravou získáme dvojc tzv. ormálích rovc. b a y b a y etr Česák

8 etr Česák S této soustavy rovc sado získáme hodoty regresvích arametrů : a y y b y a Vzhledem k defc artmetckého růměru : můžeme oba vztahy zasat : a y b y a řesost určeí regresích arametrů závsí a jejch výběrových směrodatých odchylkách. Ty lze vyočíst z ásledujících vztahů : s a a s s b s y b y a y Z aměřeých hodot jsem dostal hodoty regresích arametrů a, b a jejch směrodatých odchylek s a, s b a to celkem třkrát (ro tř měřeí ř růzé telotě). o zadefováí l l l I I e kt U I su a b 0 0 a li 0 b, sa, liy, U. dostáváme výraz ke/ta odle kterého lze vyočítat Boltzmaovu kostatu. Hodotu teloty T budeme brát jako artmetcký růměr z hodot a začátku a a koc měřeí. Ze získaých tří hodot Boltzmaovy kostaty staovíme artmetcký růměr, který orováme s tabulkovou hodotou.

9 3 T 8,5 C T 3,5 C T 53,5 C Tk 8,5 C Tk 3,5 C Tk 53 C Tar 8,5 C Tar 3,5 C Tar 53,5 C I [ma] U [V] li I [ma] U [V] li [ma] I [ma] U [V] li [ma] 0,040 0,436 0,7 0,040 0,397 0,7 0,040 0,334 0,7 0,560 0,500 7,488 0,30 0,44 8,377 0,90 0,378 8,568,080 0,56 6,83 0,490 0,46 7,6 0,550 0,407 7,506,940 0,53 6,45,090 0,48 6,8,00 0,47 6,8 4,060 0,550 5,507,00 0,498 6,05,900 0,443 6,66 6,040 0,56 5,09 4,0 0,58 5,494 3,940 0,464 5,537 7,70 0,567 4,865 5,950 0,58 5,4 5,950 0,476 5,4 0,30 0,575 4,58 8,40 0,537 4,8 8,030 0,485 4,85,970 0,579 4,45 0,90 0,543 4,577 0,450 0,493 4,56 4,0 0,584 4,60,470 0,549 4,384,90 0,498 4,407 5,80 0,587 4,47 4,40 0,553 4,40 4,450 0,503 4,37 8,50 0,59 4,009 6,00 0,556 4,35 5,750 0,507 4,5 0,400 0,594 3,89 8,0 0,560 4,006 0,900 0,54 3,868,400 0,596 3,799 0,700 0,563 3,878,500 0,57 3,794 3,900 0,598 3,734 4,00 0,568 3,7 4,400 0,50 3,73 a b a b a b 39,06 7,05 37,0 4,80 34,45,56 0,30 0,7 0,3 0, 0,0 0,09 Sa Sb Sa Sb Sa Sb k k 9 e, ,406.0 J K Ta 9,65.39,06 9 e, ,409.0 J K Ta 305,65.37, I0 e 0, b 9 I0 e 0,07. 0 b 9 A A 9 e, ,45.0 J K 3 T3a3 36,4.34,45 b 9 k I e 0,43. A 03 0 k k k k, J. K 3 3 ϑ 3 0, J. K 3 ( ) etr Česák

10 Kotrolí otázky:. Co je to vlastí a evlastí olovodč?? Vlastí olovodče eobsahují ve své krystalové mřížce žádé elektrcky aktví říměsy. Volé osče áboje (elektroy ve vodvostím ásu) jsou geerováy ůsobeím růzých forem eergí (teelé, světelé) a olovodč. ř telotě absolutí uly jsou všechy elektroy vázáy ke svým atomům, vodvostí ás eobsahuje volé elektroy a olovodč se chová jako deálí zolat. ř vyšších telotách mohou ěkteré valečí elektroy získat dostatečou eerg ro uvolěí z vazby a staou se volým osč áboje a řemístí se do vodvostího ásu. U říměsových (evlastích) olovodčů se zvýšeí elektrcké vodvost dosahuje uměle vytvářeím oruch krystalové struktury řmíseím czích rvků. oruchy lze rozdělt a elektrcky aktví a eaktví. Elektrcky aktví oruchy zůsobují změu velkost oř. tyu elektrcké vodvost. Rozezáváme olovodče tyu a N (vz. Obecá část).. Jaký je vztah mez Avogadrovým číslem, uverzálí lyovou kostatou a Boltzmaovou kostatou? R k k Boltzmaova kostata R uverzálí lyová kostata N A Avogadrova kostata 3. Co je to Fermho hlada? Hladu Fermho eerge lze určt a základě vztahu : * E E m C V 3 EF kt l * 4 m, ze kterého je atré, že hlada Fermho eerge se ro vlastí olovodče achází ř telotě 0 K urostřed zakázaého ásu. řčemž E V : horí hlada valečího ásu E C : dolí hlada vodvostího ásu m * : efektví hmotost děr m * : efektví hmotost elektroů k Boltzmaova kostata T termodyamcká telota 4. Co je to závěrý roud N řechodu? ro vysvětleí mějme N řechod olarzovaý v závěrém směru. Na rví ohled se může zdát, že čím větší je závěré aětí, tím meší roud může N řechodem rotékat. Je tomu skutečě tak, okud máme a mysl je elektroy v oblast N a díry v oblast, tj. majortí osče áboje. V olovodč tyu N je však vždy řítomá určtá kocetrace volých děr a aoak, v olovodč tyu určtá kocetrace volých elektroů. Tyto mortí osče áboje se v oblast N řechodu chovají oačě ež osče majortí. Jakmle je ro majortí osče řechod olarzovaý v eroustém (závěrém ) směru, je ro ě uzavřeý, N A etr Česák

11 avšak ro mortí osče je aoak úlě otevřeý. Už ř oměrě malém závěrém aětí řecházejí všechy mortí osče ře N řechod a vytváří v ěm určtý asyceý závěrý roud. Tyto kvaltatví úvahy lustruje graf VA charakterstky N řechodu. Vyjdemel z těchto úvah, lze za závěrý roud ovažovat hodotu roudu I 0 z výrazu : eu I I0 e kt Závěrý roud závsí a fyzkálích a techologckých kostatách. 5. Závsí kocetrace volých osčů áboje u vlastích olovodčů a telotě? Volé osče áboje (elektroy ve vodvostím ásu) jsou geerováy ůsobeím růzých forem eergí (teelé, světelé) a olovodč. ř telotě absolutí uly jsou všechy elektroy vázáy ke svým atomům, vodvostí ás eobsahuje volé elektroy a olovodč se chová jako deálí zolat. ř vyšších telotách mohou ěkteré valečí elektroy získat dostatečou eerg ro uvolěí z vazby a staou se volým osč áboje a řemístí se do vodvostího ásu. Z toho lze vdět, že kocetrace volých osčů áboje u vlastích olovodčů a telotě závsí. Kocetrac volých osčů áboje (elektroů a děr) můžeme staovt za ředokladu, že záme hustotu kvatových stavů v ásech a ravděodobost obsazeí eergetckých stavů. Lze odvodt vztahy udávající kocetrac: Závěr: mkt EC EV π * e h kt : kocetrace volých elektroů : kocetrace volých děr mkt E π * h e E kt F V Měřeím voltamérové charakterstky N řechodu a a základě vztahů uvedeých v obecé část jsme určl hodotu Boltzmaovy kostaty k(,433 ± 0,0039).0 3 J.K. V orováí s tabulkovou hodotou k(,38066 ± 0,000044).0 3 J.K elze áš výsledek měřeí ovažovat za dobrý, eboť tabulková hodota eleží v mezích udaých vyočteou chybou. Měřeí voltamérové charakterstky N řechodu jsme rovedl ro tř růzé teloty a ro každou telotu jsme určl hodotu závěrého roudu I o. I 0 (T8,5 C),8A, I 0 (T3,5 C)7A, I 03 (T53,5 C)430A Sezam rostudovaé lteratury: [] Bedařík, Koíček, Jříček: FYZIKA I A II Fyzkálí raktkum. raha, skrtum FEL ČVUT 999 [] Blatt, F. J.: Moder hyscs, McGRAWHILL, INC., New York 99 [3] Kremaský, J.: Fyzka, ALFA, Bratslava, 988 [4] Kruka, Kalvoda: Fyzka. Raha, SNTL 989 [5] Hel, A.,R.: Molekulová fyska hmoty, SNTL, raha, 963 etr Česák