MASARYKOVA UNIVERZITA. Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ PŘECHOD PN. Radomír Lenhard

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ PŘECHOD PN Radomír Lenhard Brno 2013

2

3 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav fyziky kondenzovaných látek FYZIKA POLOVODIČŮ PŘECHOD PN Radomír Lenhard Brno 2013

4 Skripta verze května 2013 Sazba do TEXu Mgr. Jiří Liška, ÚTFA, PřF MU Vznik těchto skript byl podpořen z prostředků ESF v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na PřF MU pod OP Vzdělání pro konkurenceschopnost, reg.č. CZ.1.07/2.2.00/

5 Obsah 1 ÚVOD HISTORIE VÝVOJE PLANÁRNÍHO PŘECHODU PN A TRANZISTORU MATERIÁL POLOVODIČŮ FYZIKÁLNÍ MODELY ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ PÁSOVÝ MODEL PEVNÝCH LÁTEK HUSTOTA STAVŮ FERMIHO-DIRACOVA DISTRIBUČNÍ FUNKCE HUSTOTA ELEKTRONŮ A DĚR KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH BOLTZMANNOVA TRANSPORTNÍ ROVNICE ROZPTYL NOSIČŮ NÁBOJE ELEKTRICKÁ VODIVOST POLOVODIČŮ ZÁVISLOST POHYBLIVOSTI NOSIČŮ NÁBOJE NA TEPLOTĚ PŘENOSOVÉ JEVY V SILNÝCH ELEKTRICKÝCH POLÍCH ELEKTRICKÁ VODIVOST V SILNÉM ELEKTRICKÉM POLI NÁRAZOVÁ IONIZACE ZENERŮV JEV (TUNELOVÁNÍ NOSIČŮ) GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE ROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ NOSIČE NÁBOJE SVĚTELNÁ GENERACE NOSIČŮ NÁBOJE BIPOLÁRNÍ GENERACE MONOPOLÁRNÍ GENERACE REKOMBINACE NOSIČŮ NÁBOJE MEZIPÁSOVÁ ZÁŘIVÁ REKOMBINACE MEZIPÁSOVÁ NÁRAZOVÁ (AUGEROVA) REKOMBINACE REKOMBINACE PŘES LOKÁLNÍ CENTRA POVRCHOVÁ REKOMBINACE REKOMBINAČNÍ CENTRA ZÁVISLOST REKOMBINACE PŘES ZÁCHYTNÉ CENTRA NA KON- CENTRACI PŘÍMĚSÍ ZÁCHYTNÁ A REKOMBINAČNÍ CENTRA DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE ROVNICE KONTINUITY DIFÚZNÍ A DRIFTOVÝ PROUD POHYB NEROVNOVÁŽNÝCH MAJORITNÍCH NOSIČŮ NÁBOJE POHYB NEROVNOVÁŽNÝCH MINORITNÍCH NOSIČŮ NÁBOJE OBJEMOVÁ REKOMBINACE POVRCHOVÁ REKOMBINACE POVRCHOVÁ GENERACE A OBJEMOVÁ REKOMBINACE

6 6 PŘECHOD PN SOUVISLOST MEZI PÁSOVÝM MODELEM A ELEKTROSTATICKÝMI VELIČINAMI STRMÝ PŘECHOD PN LINEÁRNÍ PŘECHOD PN CHARAKTERISTIKY KAPACITA-NAPĚTÍ PŘECHODU PN VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN ZÁVĚRNÝ SMĚR GENERAČNÍ PROUD DIFÚZNÍ PROUD PROPUSTNÝ SMĚR DIFÚZNÍ PROUD REKOMBINAČNÍ PROUD VLIV VYSOKÉ INJEKCE PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN ZENERŮV PRŮRAZ (TUNELOVÁNÍ NOSIČŮ) LAVINOVÝ PRŮRAZ DRUHÝ PRŮRAZ OMEZENÍ PRO REÁLNÉ PŘECHODY PN PLANÁRNÍ PŘECHOD EPITAXNÍ DIODA MĚKKÉ PRŮRAZY PŘECHODNÉ DĚJE FOTOVOLTAICKÝ ČLÁNEK PRINCIP ČINNOSTI FOTOVOLTAICKÉHO ČLÁNKU VÝSTUPNÍ PARAMETRY LIMITY ÚČINNOSTI OMEZENÍ I SC OMEZENÍ U OC VLIV TEPLOTY ZTRÁTOVÉ MECHANISMY ZTRÁTY PROUDU NAKRÁTKO ZTRÁTY NAPĚTÍ NAPRÁZDNO ZTRÁTY FAKTORU ZAPLNĚNÍ

7 1 ÚVOD 1.1 HISTORIE VÝVOJE PLANÁRNÍHO PŘECHODU PN A TRANZISTORU V létě 1945 byla v Bellových laboratořích založena výzkumná skupina s cílem porozumět polovodičům. Skupina měla rovněž dlouhodobý cíl vytvořit v pevné látce součástku, která by případně mohla nahradit elektronku a relé. Tuto skupinu vedl William Shockley a Stanley Morgan. Při práci na ověření teorie povrchových stavů kontaktu kov polovodič, navrhl John Bardeen a Walter Brattain důmyslnou strukturu. Součástku tvořily dva proužky zlaté fólie, oddělené mezerou šířky několika desítek mikrometrů a přitlačené na povrch germania n typu klínovým izolátorem (obr. 1.1). S jedním zlatým kontaktem polarizovaným v přímém a s druhým v závěrném směru pak bylo pozorováno zesílení signálu. Tranzistorový jev byl tedy objeven. Došlo k tomu 16. prosince 1947 [1]. Obr. 1.1 První hrotový tranzistor s germaniovou bází, který vynalezli v roce 1947 John Bardeen a Walter Brattain v Bell Laboratories [1].

8 1 ÚVOD 6 Na konci ledna 1948 dokončil Shockley formulaci teorie p-n přechodu včetně úlohy injekce minoritních nositelů v přímém směru a jejich zachytávání ve směru závěrném. Jeho analýza vyústila ve vynález plošného tranzistoru, tedy trojvrstvu, kdy je střední oblast typu n obklopena dvěma vrstvami typu p (pnp), anebo naopak (npn) [2]. V roce 1958 vynalezl Jean Hoerni planární výrobní proces, který měl přinést revoluci v polovodičovém průmyslu. Místo dosavadního nechráněného p-n přechodu, který mohl být snadno znehodnocen nečistotami, byl nyní přechod pokryt ochrannou vrstvou dioxidu křemíku. O několik měsíců později Robert Noyce ukázal, jak lze tento proces využít k výrobě integrovaných obvodů. Ačkoliv integrovaný obvod vynalezl Jack S. Kilby v laboratořích Texas Instruments o šest měsíců dříve (obr. 1.2), planární metoda od Fairchild Semiconductor (obr. 1.3) se ukázala být o tolik lepší, že ji záhy přijal celý polovodičový průmysl jako nejlepší cestu dalšího vývoje [3]. Obr. 1.2 První integrovaný obvod na germaniu, který vynalezl v roce 1958 Jack S. Kilby v laboratořích Texas Instruments [4]. Obr. 1.3 Jeden z prvních integrovaných obvodů, vyrobených v laboratořích Fairchild Semiconductor na základě vynálezu R. Noyce. Klopný obvod se čtyřmi tranzistory [3].

9 1 ÚVOD 7 Dnes jsou prakticky všechny integrované obvody vyráběné v křemíku pod ochrannou oxidovou vrstvou způsobem v mnohém shodným s postupy Hoerniho a Noyce. 1.2 MATERIÁL POLOVODIČŮ Polovodiče křemík a germánium, materiály ze čtvrté skupiny periodického systému prvků (tab. 1.1), mají čtyři valenční elektrony a vytvářejí velmi stabilní krystaly s diamantovou strukturou. Kovalentní vazby mezi atomy tvoří elektronové páry. Dotují-li se tyto krystaly atomy z třetí (např. bór, hliník) nebo páté (např. fosfor, arzén, antimon) skupiny periodického systému, dotující atomy se zabudují do krystalové mřížky téměř dokonalým způsobem. Potom každému příměsovému atomu k uskutečnění kovalentní vazby chybí jeden elektron (u třetí skupiny) nebo má jeden elektron navíc (u atomů páté skupiny). Dotováním základního materiálu atomy příměsí je možné měnit typ vodivosti a elektrický odpor polovodiče v širokém rozsahu. V křemíku může dosáhnout měrný odpor hodnot Ω cm. Tato možnost dotování, kterou je možno experimentálně velmi dobře kontrolovat, je základem pro téměř všechny polovodičové součástky [2]. Tab. 1.1 Segment periodické soustavy prvků. II III IV V VI Be B C N O Mg Al Si P S Zn Ga Ge As Se Cd In Sn Sb Te Hg Tl Pb Bi Po Skupina IV Skupina III-V Skupina II-VI Směsné polovodiče skupiny III-V se používají pro velmi rychlé diskrétní prvky a integrované obvody (GaAs, InP), výkonové polovodiče (GaN) a pro optické komunikační systémy (např. GaN, GaInAsP). Skupina II-VI polovodičů je vhodná pro některé speciální aplikace, např. HgCdTe pro detektory v infračervené oblasti. 1.3 FYZIKÁLNÍ MODELY Při popisu jednotlivých principů v polovodičích jsou v textu v co nejširší míře využívány materiálové a technologické parametry. Tedy na rozdíl od obvodových náhradních schemat a modelů se jedná o parametry, které odpovídají reálným segmentům součástky a jsou obvykle měřitelné. Z takto odvozených fyzikálních zákonitostí přehledněji vyplývá, které reálné parametry mají vliv na analyzovaný jev, jakož i citlivost výstupní proměnné na změny materiálů a technologického procesu.

10 1 ÚVOD 8 Literatura [1] I.M. Ross: Physics Today, Dec. 1997, 34; překlad P. Svoboda v Čs. čas. fyz. 48 (1998), 95 [2] B. Kramer: Phys. Blatter 53 (1997), 1203; překlad Čs. čas. fyz. 48 (1998), 91 [3] M. Riordan, L. Hoddeson: Crystal Fire: The Birth of the Information Age, Norton, New York 1997; překlad P. Svoboda v Čs. čas. fyz. 48 (1998), 102 [4] P. Moreira: Introduction to VLSI Digital Design, Part I, March 2005, CERN Geneva, Switzerland

11 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 2.1 PÁSOVÝ MODEL PEVNÝCH LÁTEK V jednotlivém atomu se mohou elektrony nacházet jen v určitých stavech. Tyto stavy jsou charakterizovány specifickými hodnotami čtyř kvantových čísel. Je to číslo n, které souvisí s celkovou energii elektronu; l označuje orbitální úhlový moment, dále číslo m označuje orientaci v prostoru orbitálního momentu hybnosti a číslo s, které souvisí s orientací v prostoru úhlového momentu elektronového spinu. V každém z těchto dovolených stavů může být v dané soustavě pouze jeden elektron. Tuto vlastnost popisuje Pauliho princip. V tomto případě se soustavou rozumí jeden izolovaný atom. V atomu obsadí elektrony postupně stavy od nejnižší energie ke stavům s energií vyšší. Pokud se dva atomy přiblíží, dojde k rozdělení každé energiové hladiny na dvě. Tento jev se označuje jako štěpení energiové hladiny. V průběhu vzájemného přibližování atomů se nejdříve začnou štěpit vyšší energiové stavy odpovídající elektronům z vnějších drah, pro které se vzájemné působení atomů při přibližování projeví nejdříve. Opět se zde uplatňuje Pauliho princip, ovšem v tomto případě již tvoří soustavu dva atomy. Soustava N atomů vzájemně na sebe působících vytváří seskupení N energetických hladin elektronů na místo jedné hladiny u izolovaného atomu. Toto seskupení blízko sebe umístěných hladin se nazývá energetický pás. Vzdálenost energetických stavů, z nichž se pás skládá, je tak malá, že pro řadu případů se pás považuje za kontinuum dovolených stavů. Pro detailnější studium pásové struktury v pevných látkách je výhodné představit si krystal s počtem atomů N, kde se vzdálenosti jednotlivých atomů mohou měnit v širokém rozsahu. Na obr. 2.1 jsou ve vertikálním směru znázorněny pásy energetických hladin a ve směru horizontálním vzdálenost atomů. Pro větší vzdálenosti můžeme uvažovat systém energetických hladin, který odpovídá izolovanému atomu. Snižují-li se vzdálenosti mezi atomy, nastává štěpení hladin a při dalším přibližování atomů dojde k překryvu pásů. Toto má za následek vznik nových elektronických vlastností krystalů. Od bodu splynutí pásů ve směru stále menších vzdáleností už není možná identifikace stavů v krystalu s původním stavem v izolovaném atomu.

12 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 10 Obr. 2.1 Pásová struktura diamantu jako funkce vzdálenosti atomů. Parametr a je mřížková konstanta diamantové struktury [2]. Jak znázorňuje obr. 2.1, v krystalu vznikne valenční a vodivostní pás, které jsou oddělené tzv. energetickou mezerou (při mřížkové konstantě a). Valenční pás má počet elektronů (4 N) rovný počtu dovolených stavů a je tedy zcela zaplněn, zatímco vodivostní pás je prázdný. Toto platí za podmínek, kdy se elektrony nachází v nejnižších jim dostupných stavech. Prvky IV. skupiny periodické soustavy (tab. 1.1) mohou tvořit krystaly s diamantovou strukturou. Jejich pásové schema je obdobné jako na obr. 2.1 s tím, že se u některých vlastností objevují kvantitativní rozdíly např. u energetické mezery E g. V tab. 2.1 jsou uvedeny hodnoty E g při pokojové teplotě. Tab. 2.1 E g některých prvků IV. skupiny. Krystal Energetická mezera [ev] Diamant 5.5 Křemík 1.11 Germanium 0.72

13 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 11 Má-li být elektron převeden z valenčního do vodivostního pásu, musí mu být dodána energie pro překonání E g. Zdrojem potřebné energie je především teplo. Elektrony obsazující hladiny vodivostního pásu nejsou vázány na jednotlivé atomy látky, umožňují vedení elektrického proudu. U polovodiče je pohyblivé i neobsazené místo ve valenčním pásu díra, která se pohybuje tak, že na toto prázdné místo přeskočí elektron sousedního atomu a tím posune díru do vedlejší polohy. Proto se u polovodičů rozlišuje elektronová a děrová vodivost. Díry se chovají jako částice s kladným elementárním nábojem. Zvyšování energie elektronu odpovídá jeho pohyb nahoru ve vodivostním pásu, zatím co zvyšování energie díry odpovídá její pohyb dolů ve valenčním pásu. Na energie elektronu na nejnižší hladině vodivostního pásu E C a energie díry na nejvyšší hladině valenčního pásu E V je možné pohlížet jako na energie potenciální. Každý přírůstek jejich energie nad tuto úroveň se projevuje jako kinetická energie příslušného nosiče proudu. V absolutně čistém polovodiči vznikají dvojice elektron díra pouze přerušováním kovalentních vazeb mezi atomy. Takový polovodič se nazývá vlastní nebo intrinsický. Koncentrace elektronů i děr je v něm stejná n i = p i (2.1) Hodnota intrinsické koncentrace nosičů je funkcí teploty T a šířky zakázaného pásu E g ( n i exp E ) g 2 (2.2) Tento důležitý vztah odvodíme později. Nevlastní nebo extrinsický polovodič obsahuje záměrně přidávané příměsi. Tyto příměsi mají malou ionizační energii ( 0.05 ev), a proto mohou snadno dodávat elektrony do vodivostního pásu (donory), nebo přijímat elektrony z valenčního pásu (akceptory), t.j. dodávat díry do valenčního pásu (obr. 2.2.). Donory jsou obvykle z páté skupiny a akceptory z třetí skupiny periodické soustavy. V křemíku jsou za normální teploty všechny donory i akceptory ionizovány. Platí n = N D p = N A (2.3) kde n je koncentrace elektronů, p N D N A je koncentrace děr, je koncentrace donorů, je koncentrace akceptorů. Polovodiče s převládajícími (majoritními) nosiči proudu jsou bud typu n majoritní jsou elektrony nebo typu p majoritní jsou díry.

14 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 12 Obr. 2.2 Pásový model nevlastního polovodiče, kde E i je Fermiho intrinsická energie, E D je energie donorů a E A je energie akceptorů. 2.2 HUSTOTA STAVŮ Před tím, než určíme hustotu nosičů v polovodiči, musíme stanovit počet stavů pro každou energii. Potom počet elektronů pro danou energii získáme vynásobením počtu stavů pravděpodobností, že stav je obsazen elektronem. Protože počet energiových hladin je velmi vysoký a závisí na rozměrech polovodiče, budeme zjišt ovat počet stavů na jednotku energie a objemu. Hustotu stavů určíme na základě řešení Schrödingerovy rovnice pro elektron s efektivní hmotností m n. Efektivní hmotnost zohledňuje působení periodického potenciálu mřížky na elektron. Hustota stavů ve vodivostním pásu [4] obdobně platí pro hustotu stavů ve valenčním pásu g C (E) = 4 π (2 m n) 3/2 E E C h 3 (2.4) g V (E) = 4 π (2 m p) 3/2 E V E h 3 (2.5) Pro efektivní hmotnost elektronů a děr v křemíku platí vzájemná relace m n > m p [5]. Z obr. 2.3 je patrné, že hustota stavů g(e) se ve vodivostním pásu zvyšuje s rostoucí energií elektronu a ve valenčním pásu se zvyšuje s rostoucí energií děr.

15 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 13 Obr. 2.3 Hustota stavů ve vodivostním a valenčním pásu. 2.3 FERMIHO-DIRACOVA DISTRIBUČNÍ FUNKCE V předcházejících kapitolách jsme popsali energiové stavy ve vodivostním a valenčním pásu a stavy vytvořené v zakázaném pásu přidáním donorů nebo akceptorů. Nyní určíme pravděpodobnost, že daný energiový pás je obsazený elektronem. Rozložení elektronů a děr po energiových hladinách je dáno Fermiho Diracovou distribuční funkcí, vyjadřující pravděpodobnost, že energiový stav s energií E je obsazen elektronem [1], [2] f(e) = 1 ( ) (2.6) E EF 1 + exp kde E F je Fermiho energie nebo přesněji chemický potenciál elektronů v látce. Odpovídá energiové hladině, pro níž je pravděpodobnost obsazení rovna 1/2. Fermiho Diracova distribuční funkce je znázorněna na obr. 2.4a pro intrinsický polovodič. Průběh distribuční funkce odpovídá pravděpodobnosti obsazení stavu elektronem v závislosti na energii stavu. Ve vodivostním pásu je vysoká hustota stavů, ovšem pravděpodobnost jejich obsazení je malá. Rovněž ve valenčním pásu je vysoká hustota stavů. Většina těchto stavů je obsazena elektronem, protože f(e) 1. Tudíž zde bude pouze málo stavů neobsazených elektronem, resp. obsazených dírou. Fermiho Diracova funkce je symetrická vůči E F a v intrinsickém polovodiči se nachází téměř ve středu zakázaného pásu. Tato intrinsická Fermiho hladina se označuje symbolem E i. V intrinsickém polovodiči je tedy koncentrace elektronů ve vodivostním pásu a děr ve valenčním pásu stejná. V polovodiči typu n je koncentrace elektronů ve vodivostním pásu vyšší než v intrinsickém materiálu. Protože hustota stavů ve vodivostním pásu je stejná jako v intrinsickém polovodiči, znamená to, že Fermiho hladina a s ní i distribuční funkce se posune v pásovém modelu nahoru (obr. 2.4b). Naopak v polovodiči typu p se hladina E F i funkce pravděpodobnosti f(e) posunou směrem dolů (obr. 2.4c).

16 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 14 Obr. 2.4 Fermiho-Diracova distribuční funkce intrinsického polovodiče a polovodiče typu n a typu p. 2.4 HUSTOTA ELEKTRONŮ A DĚR Hustota elektronů n závisí na hustotě stavů g C (E) a pravděpodobnosti obsazení těchto stavů f(e) n = E top E C g C (E) f(e) de (2.7) Obr. 2.5 Hustota elektronů ve vodivostním pásu odpovídá ploše pod křivkou g C (E) f(e) v závislosti na (E E C ) [4]. Pro nedegenerovaný polovodič (E F < E C 3 ) nebo (E F > E V +3 ) z kvantově mechanického odvození hustoty stavů ve vodivostním a valenčním pásu a z pravděpodobnosti obsazení těchto stavů

17 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 15 elektrony a dírami plyne aproximace [4] ( n = N C exp E ) C E F (2.8) p = N V ( exp E ) F E V (2.9) Exponenciální člen v uvedených vztazích určuje pravděpodobnost obsazení hrany vodivostního nebo valenčního pásu a N C a N V jsou efektivní hustoty stavů ve vodivostním a valenčním pásu [1] ( ) 2π m N C = 2 n 3/2 h 2 (2.10) ( 2π m ) p 3/2 N V = 2 h 2 (2.11) Vztahy (2.8) a (2.9) ukazují v souladu s (2.3), že s rostoucí koncentrací elektronů E F E C a s rostoucí koncentrací děr E F E V. Pro degenerovaný polovodič (E F > E C 3 ) nebo (E F < E V + 3 ), tzn. při vyšších koncentracích než at/cm 3, neplatí rovnice (2.8) a (2.9) dostatečně přesně. Pomocí vztahů (2.8) a (2.9) lze odvodit další významné vzorce pro vlastní i nevlastní polovodič v rovnováze. Z rovnosti n i = p i pro intrinsický polovodič plyne Pak ( N C exp E ) ( C E i = N V exp E ) i E V (2.12) ln N C E C E i = ln N V E i E V (2.13) takže E i = E C E i 2 + E V + ( m ) 3/2 2 ln p m (2.14) n a po úpravě E i = E V + E C 2 + ( ) 2 ln NV = E g N C 2 + E V ( m ) p ln m n (2.15)

18 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 16 Intrinsická Fermiho energie tedy leží v blízkosti, ale ne přesně ve středu energiové mezery (2.15). Vyjádříme nyní rovnovážnou koncentraci elektronů v nedegenerovaném polovodiči s využitím (2.8) ve tvaru ( n = N C exp E ) ( C E F = N C exp E ) ( C E i exp E ) i E F = ( ) EF E i = n i exp (2.16) a podobně s využitím (2.9) pro koncentraci děr ( ) Ei E F p = n i exp (2.17) Výpočtem součinu p n pomocí vztahů (2.16) a (2.17) dostaneme základní vztah charakterizující polovodič v rovnováze p n = n 2 i (2.18) Součin p n můžeme vypočítat i přímo z (2.8), (2.9), pak dostaneme p n = N C N V ( exp E ) C E F + E F E V (2.19) p n = n 2 i = N C N V ( exp E ) g (2.20) Z této rovnice je vidět, že závislost n i na teplotě je daná jednak exponenciálním členem a jednak teplotní závislostí N C a N V viz (2.10) a (2.11). Pro polovodič v rovnováze platí dále podmínka nábojové neutrality kde q je absolutní hodnota náboje elektronu. To znamená ϱ = q (p n + N D N A ) = 0 (2.21) p n = N A N D (2.22) Pro polovodič typu n označme koncentraci majoritních nosičů n = n n a minoritních p = p n obdobně pro typ p, koncentraci majoritních nosičů p = p p a minoritních n = n p. Pak bude mít podmínka

19 2 ZÁKLADY FYZIKY POLOVODIČŮ 17 (2.18) tvar n n p n = p p n n = n 2 i (2.23) Pokud koncentrace příměsí jednoho typu výrazně převyšuje druhý, N D N A n i, dostaneme pro majoritní nosiče vztahy a pro koncentraci minoritních nosičů n n = ND N A p p = NA N D (2.24) n p = n 2 i N A N D p n = n 2 i N D N A (2.25) Literatura [1] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [2] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [3] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R [4] D. Schroder: Semiconductor Device Physics, ASU, Fall 2000 [5] K.V. Šalimovová: Fyzika polovodičov, Alfa Bratislava 1978

20 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 3.1 BOLTZMANNOVA TRANSPORTNÍ ROVNICE V termodynamické rovnováze je rozdělení nosičů náboje dané rovnovážnou Fermiho Diracovou rozdělovací funkcí, která ve všeobecnosti závisí na energii částic. Jestliže umístíme krystal do vnějšího pole (elektrického, magnetického, tepelného), potom pohyb nosičů dostane uspořádaný a usměrněný charakter. Jevy, které se v tomto případě v krystalu vyskytují, se nazývají transportní nebo kinetické. Soubor nosičů náboje bude nyní popsaný jinou nerovnovážnou rozdělovací funkcí, která závisí od energie částic, jejich souřadnice a času. Další příčinou změny počtu elektronů v určitém objemovém elementu kromě vnějších polí může být i vzájemná interakce elektronů s lokálními poruchami periodičnosti pole krystalické mřížky. Jestliže vliv této poruchy končí ve vzdálenosti 10 9 m, což představuje několik mřížkových konstant v křemíku a tepelná rychlost elektronu má hodnotu 10 5 m/s, pak vzájemné působení elektronu se strukturními poruchami probíhá v čase s [3]. Toto krátkodobé působení nemůže mít za následek pozorovatelnou změnu souřadnic, může však značně změnit rychlost a kvaziimpuls elektronu. Tento proces se nazývá srážky. Při srážkách nastává změna počtu elektronů, které se pohybují v daném směru. Jevy, které doprovází tyto srážky, se nazývají rozptylové procesy. Výsledná Boltzmannova transportní rovnice má tvar [3] f t = ( ) f + t POLE ( ) f (3.1) t SRÁŽKY f t ( ) f t POLE ( ) f t SRÁŽKY časová změna distribuční funkce, změna distribuční funkce způsobená vnějším polem, které vede k pohybu elektronů v geometrickém a vlnovém prostoru, změna distribuční funkce elektronů v důsledku srážek.

21 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 19 Řešení kinetické rovnice se značně zjednoduší v případech, kdy je možné zavést relaxační konstantu. Rozptylové procesy se dají popsat pomocí relaxační konstanty, jestliže se při srážkách energie nosičů náboje mění velmi málo, přičemž nastává náhodné rozdělení rychlostí. Mějme systém částic, který je popsaný nerovnovážnou rozdělovací funkcí f. Necht v čase t = 0 přestanou na systém působit vnější pole, takže člen charakterizující pole je nulový. Následkem srážkových procesů se systém dostane do rovnovážného stavu, který je charakterizovaný rovnovážnou rozdělovací funkcí f 0. To znamená, že po vypnutí vnějších polí se rozdělovací funkce mění v důsledku srážek elektronů s lokálními poruchami mřížky. Jestliže je odchylka od rovnovážného stavu malá, pak platí [3] Rovnice (3.2) má řešení ve tvaru f t = ( ) f = f f 0 t SRÁŽKY τ(k) (3.2) f f 0 = (f f 0 ) t=0 e t/τ (3.3) Z řešení (3.3) vyplývá, že po přerušení působení vnějších polí rozdíl (f f 0 ) exponenciálně klesá s časovou konstantou τ, kterou nazýváme relaxační konstantou. Veličina τ charakterizuje střední dobu, v průběhu které existuje v systému i po vypnutí pole nerovnovážné rozdělení nosičů náboje. Vytvoření rovnovážného stavu nastává při srážkových procesech, přičemž na jeho dosažení stačí několik srážek. Proto i relaxační konstanty musí být řádově stejné jako časy, které odpovídají volným drahám elektronů. Jestliže přihlédneme k tomuto faktu, můžeme tvrdit, že volná dráha l je určená rychlostí v pohybujícího se elektronu a relaxační konstantou τ. 3.2 ROZPTYL NOSIČŮ NÁBOJE Rozptylovým centrem nazýváme nehomogenitu krystalu, která má za následek poruchu periodického pole mřížky. Typy defektů jsou různé, proto i rozptylové procesy, zapřičiněné těmito defekty, budou mít různý charakter. Rozptylovými centry mohou být např. příměsové ionty a atomy, dislokace, tepelné kmity mřížky, vakance, intersticiály, vrstevné chyby a podobně [3]. V příměsovém polovodiči každý příměsový iont vytváří ve svém okolí elektrické pole, které svým vlivem mění původní směr pohybujícího se nosiče náboje. Nosič náboje se vychýlí z původního směru tím víc, čím pomaleji se pohybuje a čím blíže prochází okolo příměsového iontu. Neutrální rozptylové atomy rozptylují nosiče náboje podstatně méně jako ionizované příměsové centra. Rozptyl na neutrálních příměsových atomech je však rozhodující při nízkých teplotách, kdy koncentrace ionizovaných příměsí je menší než koncentrace neutrálních příměsí. Relaxační konstanta τ A nezávisí na teplotě ani na energii interagující částice, ale je určená jen koncentrací příměsových atomů.

22 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 20 Nosiče náboje mohou být rozptylovány rovněž poruchami mřížky, které vytváří dislokace. Jedná se o typ poruchy, při níž chybí souvislá část atomů a tím dochází k deformaci mřížky v jejím okolí (hranová dislokace). Dislokaci v polovodiči typu n je možné si představit jako čárový záporný náboj, v okolí kterého existuje kladný prostorový náboj. Elektrony, které interagují se záporně nabitou dislokací, jsou jí odpuzovány, což nakonec vede k rozptylu nosičů. Je možné ukázat, že při procesech rozptylu nosičů náboje na dislokacích, relaxační konstanta nezávisí na teplotě krystalu. Její hodnota je nepřímo úměrná plošné hustotě dislokací a rychlosti rozptylovaného elektronu. Tento rozptyl je zanedbatelný při pokojové teplotě, ale při nízkých teplotách může mít rozhodující význam. Následkem tepelného pohybu atomy krystalické mřížky chaoticky kmitají okolo své rovnovážné polohy. Toto narušuje přesnou pravidelnost pole mřížky a vede k rozptylu nosičů náboje na těchto nepravidelnostech. Interakce elektronu (resp. díry) s kmity mřížky se projeví dvojím způsobem. Elektron může odevzdat část své energie mřížce, důsledkem takového rozptylového procesu je vznik fononu nebo při interakci získá elektron část energie od mřížky. V tomto případě fonon zaniká. Tento mechanismus se výrazně projevuje při vysokých teplotách. 3.3 ELEKTRICKÁ VODIVOST POLOVODIČŮ Rychlost elektronů a děr je při nízké intenzitě elektrického pole úměrná intenzitě elektrického pole v = µ E (3.4) Pohyblivost, tedy rychlost nosičů při jednotkové intenzitě elektrického pole, charakterizuje interakce nosičů s mřížkou. Za předpokladu konstantního stejnosměrného elektrického pole v polovodiči platí kde τ je střední hodnota relaxační konstanty. Elektronová hustota proudu je určena µ = q τ m (3.5) J n = q n v (3.6) S využitím (3.4), (3.5) a (3.6) je možné pro elektronovou složku hustoty proudu odvodit vztah J n = q2 n τ e E m n = q n µ n E = σn E (3.7) kde σ n = q n µ n je elektronová složka elektrické vodivosti.

23 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 21 Podobně děrová složka proudové hustoty bude J p = q2 p τ p E m p = q p µ p E = σp E (3.8) σ p = q p µ p je děrová složka elektrické vodivosti. Celková hustota proudu v polovodiči s oběma typy nosičů náboje se rovná [3] J = J n + J p = (σ n + σ p ) E = σ E (3.9) 3.4 ZÁVISLOST POHYBLIVOSTI NOSIČŮ NÁBOJE NA TEPLOTĚ Ze vztahu (3.7) a (3.8) je vidět, že pro výpočet pohyblivosti nosičů náboje je nutné znát střední hodnotu relaxační konstanty. Na relaxační konstantu mají značný vliv typy rozptylových procesů. Proto při srážkách nosičů náboje s různými typy defektů krystalické mřížky, bude i pohyblivost záviset rozdílně na teplotě [3]. Při rozptylu nosičů náboje v atomárních polovodičích na akustických kmitech mřížky je střední volná dráha nosičů nepřímo úměrná absolutní teplotě a pro pohyblivost platí [3] µ L (T ) = 4 q 3 π τ 0 k 1/2 mn 5/2 T 3/2 (3.10) tzn., že v případě převládajícího vlivu tepelných kmitů mřížky na pohyblivost její hodnota klesá s růstem teploty jako µ L (T ) = µ 0 T 3/2 (3.11) Z (3.10) je rovněž vidět, že pohyblivost je nepřímo úměrná efektivní hmotnosti na 5/2. Experimenty dokazují, že pohyblivost elektronů je větší než pohyblivost děr. Při rozptylu na příměsových iontech závisí µ I (T ) na energii a teplotě podle vztahu [3] µ I (T ) = 8 2 ε 2 k 3/2 T 3/2 ( ) 2 π 3/2 Z 2 q 4 mn 1/2 3 ε N I ln 1 + Z q 2 N 1/3 I (3.12) N I ε je koncentrace příměsových iontů, je permitivita krystalu.

24 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 22 Pokud zanedbáme závislost jmenovatele na teplotě (což je možné při dostatečně vysokých teplotách), můžeme (3.12) zjednodušit µ I (T ) = µ 0I T 3/2 (3.13) Pohyblivost nosičů náboje při rozptylu na příměsových iontech roste s teplotou. S růstem teploty narůstá totiž i tepelná rychlost nosičů náboje, co má za následek oslabení vzájemného působení nosičů náboje s ionizovanými příměsemi. Doba vzájemného působení se zkracuje. Při určité teplotě se pohyblivost zmenšuje se vzrůstem koncentrace nosičů, která znásobuje rozptylové procesy. V případě rozptylu nosičů na neutrálních příměsech relaxační konstanta nezávisí ani na teplotě ani na energii nosičů náboje. Proto ani pohyblivost µ A nezávisí na teplotě a má tvar [3] µ A = q3 m n 20 ε h 3 1 N A (3.14) N A je koncentrace neutrálních příměsí. Při rozptylu nosičů náboje na dislokacích τ D E 1/2 a pohyblivost má tvar [3] µ D (T ) = q T 1/2 2 3/2 π 1/2 m 1/2 n R N D (3.15) N D R je koncentrace dislokací, je poloměr dislokace. V reálném atomárním polovodiči se mohou uplatňovat všechny typy poruch periodicity pole mřížky. Za předpokladu, že všechny typy rozptylových procesů jsou navzájem nezávislé, celková volná dráha l je vždy menší než nejkratší parciální dráha S využitím (3.5) a (3.16) výsledná pohyblivost bude 1 l = 1 l L + 1 l I + 1 l A + 1 l D (3.16) 1 µ = (3.17) µ L µ I µ A µ D Ze vztahu (3.17) vyplývá, že pohyblivost zpočátku s teplotou roste úměrně s T 3/2 převládá rozptyl na ionizovaných příměsích, potom prochází maximem a zmenšuje se úměrně s T 3/2 dominuje rozptyl na akustických fononech.

25 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 23 Obr. 3.1 Závislost pohyblivosti nosiče náboje na teplotě v atomárním polovodiči. Vliv koncentrace příměsí na pohyblivost nosičů v křemíku je patrný z obr Obr. 3.2 Pohyblivost elektronů a děr v křemíku při různé koncentraci příměsí a konstantní teplotě. 3.5 PŘENOSOVÉ JEVY V SILNÝCH ELEKTRICKÝCH POLÍCH Při odvození kinetické rovnice jsme předpokládali, že relaxační konstanta τ nezávisí na velikosti pole. Z kinetické rovnice pro nedegenerovaný polovodič vyplývá Ohmův zákon, kde hustota protékajícího proudu je úměrná intenzitě elektrického pole (3.9). V tomto případě se na chaotický tepelný pohyb nosičů superponuje jejich pomalý drift, podmíněný vlivem slabého vnějšího elektrického pole. Rychlost driftu je přitom značně menší než tepelná rychlost.

26 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 24 V silných elektrických polích dochází k odchylkám od Ohmova zákona ze dvou příčin. A) Rychlost driftu se stává porovnatelná s tepelnou rychlostí. Tento jev se projeví na procesech rozptylu a tedy na změně relaxační konstanty τ a pohyblivosti µ. Zde řadíme jev ohřátí elektronděrového plynu a Gunnův jev. B) Silné elektrické pole může způsobovat změnu koncentrace nosičů náboje. Růst koncentrace může být přitom podmíněný více příčinami. K těmto jevům patří nárazová ionizace, Zenerův jev a elektrostatická ionizace ELEKTRICKÁ VODIVOST V SILNÉM ELEKTRICKÉM POLI V silných elektrických polích nestihnou nosiče náboje při srážce s akustickými fonony odevzdat získanou energii. Jejich střední energie se zvyšuje a elektron-děrový plyn se ohřívá. Růst energie nosičů bude pokračovat dotud, dokud se nevytvoří nový stacionární stav [3]. Driftová rychlost se stává porovnatelnou s tepelnou rychlostí v d v 0 a bude se dále zvyšovat s intenzitou elektrického pole v d E 1/2 (3.18) To se projeví na rozptylových procesech změnou relaxační konstanty a pohyblivosti µ = µ 0 E 1/2 (3.19) Při slabých elektrických polích relaxační konstanta ani pohyblivost nezávisí na velikosti pole (jsou konstantní). Při silných elektrických polích se relaxační doba a následně i pohyblivost s rostoucí intenzitou elektrického pole snižují, proto v této oblasti už neplatí Ohmův zákon, ale σ = σ 0 E 1/2 (3.20) J = σ E 1/2 (3.21) Při ještě vyšších elektrických polích nebo při dostatečně vysokých teplotách, se zvyšuje energie nosičů natolik, že je možný jejich rozptyl na optických kmitech. V tomto případě rychlost ztráty energie prudce roste. V důsledku toho vznikne nový stacionární stav, kdy získanou energii nosič za ten samý čas ztrácí. V limitě se hustota proudu přes vzorek blíží k nasycení, kdy proud již nezávisí na intenzitě elektrického pole. Hodnota nasyceného proudu je tzn., že J s = q n v sat (3.22) σ = σ 0 ε 1 (3.23)

27 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 25 Obr. 3.3 Závislost driftové rychlosti nosičů náboje na intenzitě elektrického pole [4] NÁRAZOVÁ IONIZACE V silném elektrickém poli ( 10 5 V/cm ) získá elektron nebo díra dostatečně velkou energii na ionizaci, následkem čehož vznikají páry elektron-díra (obr. 3.4), které se urychlují a generují další volné nosiče náboje. Tento proces tvorby nosičů náboje se nazývá nárazová ionizace. Nárazové ionizace se zúčastňují tři nosiče náboje, které si zhruba rovnoměrně rozdělí energii původního nosiče. Prahová ionizační energie je E th = 2 E g, kde E g je šířka zakázaného pásu [3]. Obr. 3.4 Typy nárazové ionizace [3]. Na obr. 3.5 jsou znázorněny dva způsoby urychlení nosičů náboje na prah ionizace E th. Na ose y je vynesena energie, kterou získá elektron a na ose x střední vzdálenost, kterou elektron projde mezi dvěma ionizačními srážkami. V prvním případě ve velmi silných elektrických polích, elektrony mo-

28 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 26 hou získat dostatečnou energii i přes mnohonásobný rozptyl na fononech, protože relativní ztráta energie při každé této srážce je malá. Ve druhém případě pro slabé pole, nosiče získají potřebnou energii na vzdálenosti odpovídající mnoha násobkům l. Zde existuje jen jedna možnost získání energie E th, a to pokud se nosič až po práh ionizace nesrazí s fonony. Obr. 3.5 Nárazová ionizace Jev je možné pozorovat pouze v p-n přechodech, protože vytvořit pole 10 5 až 10 6 V/cm je při reálných tloušt kách v homogenním polovodiči obtížné ZENERŮV JEV (TUNELOVÁNÍ NOSIČŮ) V polovodiči, který se nachází ve vnějším elektrickém poli, dochází k naklonění energetických pásů. Čím větší je intenzita elektrického pole ε, tím je i výraznější sklon pásu. Na obr. 3.6 je pásová struktura vlastního polovodiče za přítomnosti elektrického pole. Obr. 3.6 Naklonění pásové struktury polovodiče v silném elektrickém poli [3]. V tomto případě je možný přechod elektronu z valenčního pásu do vodivostního tunelových jevem. Pravděpodobnost tunelového přechodu závisí na výšce a šířce potenciálové bariéry. V daném případě výšku potenciálové bariéry představuje šířka zakázaného pásu E g. Efektivní šířku bariéry

29 3 KINETICKÉ JEVY V POLOVODIČÍCH 27 AC = x je možné určit z rozdílu potenciální energie elektronu ve vodivostním pásu v místě C a ve valenčním pásu v místě A [3] E(C) E(A) = q E x = E g (3.24) x = E g q E (3.25) Podle vztahu (3.24) závisí šířka potenciálové bariéry na intenzitě elektrického pole E. Přechod z bodu A do C je spojený s přechodem přes trojúhelníkovou bariéru ABC. Z kvantové mechaniky je známé, že pravděpodobnost přechodu přes trojúhelníkovou bariéru má tvar D = D 0 exp ( ) 2 m Eg 3/2 q h E (3.26) Pravděpodobnost tunelového přechodu je ta samá pro přechod z valenčního pásu do vodivostního, jako pro přechod z vodivostního do valenčního. Protože však ve valenčním pásu je elektronů mnohem více, jako ve vodivostním pásu, dochází hlavně k přechodům elektronů z valenčního pásu do vodivostního. Tunelový jev se pozoruje v polích, kdy intenzita E > 10 6 V/cm. Literatura [1] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [2] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [3] K.V. Šalimovová: Fyzika polovodičov, Alfa Bratislava 1978 [4] D. Schroder: Semiconductor Device Physics, ASU, Fall 2000

30 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 4.1 ROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ NOSIČE NÁBOJE Sledujeme donorový polovodič, který je v termodynamické rovnováze s okolním prostředím. Následkem tepelné generace přechází elektrony příměsových (donorových) hladin do vodivostního pásu. Při dostatečně vysokých teplotách je možný i přechod elektronů z valenčního pásu přímo do vodivostního (obr. 4.1). Obr. 4.1 Tepelná generace volných nosičů náboje a jejich koncentrace v podmínkách termodynamické rovnováhy.

31 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 29 Volné nosiče náboje, které vznikají v důsledku tepelné generace a jsou v tepelné rovnováze s krystalickou mřížkou se nazývají rovnovážné. Na obr. 4.1 je rozdělení hustoty kvantových stavů g(e) ve vodivostním a valenčním pásu a koncentrace rovnovážných elektronů a děr n 0 a p 0, které obsazují stavy v blízkosti okrajů příslušných pásů. Současně s generací volných nosičů náboje probíhá proces rekombinace elektrony se vrací do volných stavů ve valenčním pásu a zaniká volný elektron a volná díra. V termodynamické rovnováze jsou tyto procesy stejně časté. Jestliže počet vytvořených párů elektron-díra v jednotkovém objemu za jednotku času označíme G 0 a počet rekombinovaných párů R 0, pak pro rovnovážný stav platí R 0 = G 0 (4.1) Kromě tepelné generace mohou volné nosiče náboje vznikat např. při ozáření polovodiče světlem, při porušení valenčních vazeb v silných elektrických polích nebo v důsledku injekce přes přechod pn. Ve všech těchto případech vznikne určitá koncentrace nerovnovážných volných elektronů n a děr p, které mohou mít v okamžiku vzniku kinetickou energii mnohem větší jako je střední tepelná energie rovnovážných částic. Přece však v důsledku rozptylu na poruchách krystalické mřížky nosiče náboje dost rychle odevzdají mřížce přebytečnou energii. Střední volná dráha elektronů je přibližně 10 6 cm, tepelná rychlost při pokojové teplotě 10 7 cm/s. Střední doba mezi dvěma srážkami bude τ s. Pro rozptýlení přebytečné energie 1 ev musí nerovnovážné elektrony udělat 1000 srážek. Tzn., už za s dosáhnou teploty krystalické mřížky a nebudou se odlišovat od rovnovážných nosičů náboje. Tento proces vede k tomu, že nerovnovážné elektrony ztrácejí svoji energii a klesají k dolnímu okraji vodivostního pásu a díry stoupají k hornímu okraji valenčního pásu. Jestliže je koncentrace nerovnovážných nosičů náboje malá v porovnání s rovnovážnou koncentrací, energie krystalu se prakticky nemění a tudíž se nemění ani teplota krystalu a koncentrace rovnovážných nosičů náboje. Celkové množství elektronů a děr bude n = n 0 + n (4.2) p = p 0 + p (4.3) n = n 0 + n = E c g c (E) f n (E) de (4.4) f n (E) je rozdělovací funkce pro elektrony, odlišná od rovnovážné rozdělovací funkce f(e), ke které se blíží v případě, že se systém blíží k termodynamické rovnováze. Tento výraz je možné upravit s využitím Fermiho integrálu, jestliže zavedeme Fermiho kvazihladinu pro elektrony v nerovnovážném stavu F n tak, aby byla splněna podmínka ( ) Fn E c n = N C F 1/2 (4.5)

32 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 30 kde F 1/2 je Fermiho integrál řádu 1/2. Pro nedegenerovaný polovodič je pak možné napsat ( ) Fn E C n = N C exp ( ) Fn E F = n 0 exp = n i exp ( ) Fn E i (4.6) a podobně pro díry p = N V ( ) ( ) ( ) EV F p EF F p Ei F p exp = p 0 exp = n i exp (4.7) Takto se Fermiho hladina rozštěpí v nerovnovážném stavu na dvě kvazihladiny. Obr. 4.2 Fermiho kvazihladiny v nerovnovážném stavu. Součin koncentrace elektronů a děr pro nerovnovážný stav se odlišuje od součinu pro rovnovážný stav ( ) ( ) n p = n 2 Fn F p Fn F p i exp = n 0 p 0 exp (4.8) charakterizuje odchylku od stavu termodynamické rov- Vzdálenost Fermiho kvazihladin F n F p nováhy n p = n p n 0 p 0 n 2 = exp F n F p i (4.9)

33 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE SVĚTELNÁ GENERACE NOSIČŮ NÁBOJE BIPOLÁRNÍ GENERACE Generace, při které vznikají oba typy nosičů náboje, se nazývá bipolární. V případě bipolární světelné generace absorpci světelného kvanta doprovází porušení valenční vazby a počet vznikajících nerovnovážných elektronů a děr je stejný n = p (4.10) V tenké vrstvě u povrchu polovodiče, ve které dochází k pohlcování světla, je koncentrace volných elektronů a děr zvýšená, (4.2) a (4.3). Současně s procesem generace probíhá i rekombinace. Ve stacionárním stavu je počet elektronů a děr vytvořených za jednotku času porušením valenčních vazeb stejný, jako počet elektronů a děr, které za ten samý čas zrekombinují. Protože ve velmi krátkém čase jsou nerovnovážné nosiče náboje fyzikálně neodlišitelné od rovnovážných, budou mít stejný koeficient rekombinace γ r jako rovnovážné nosiče. Po vypnutí budícího světla se koncentrace elektronů a děr budou zmenšovat v důsledku rekombinace. Rychlost ubývání volných nosičů je určená rozdílem rychlostí rekombinace a tepelné generace ( ) ( ) dn dp = = γ r n p G 0 (4.11) dt r dt r Pomocí vztahů R 0 = γ r n 0 p 0 a G 0 = R 0 je možné rovnici (4.11) přepsat takto ( ) dn = γ r (n p n 0 p 0 ) = γ r (n 0 p + n p 0 + n p) (4.12) dt r Zaved me označení τ = 1 γ r (n 0 + p 0 ) (4.13) Veličina τ, která má rozměr času, se nazývá doba života nerovnovážných nosičů náboje. Zde je důležité poznamenat, že doba života charakterizuje odlišný proces než relaxační konstanta v (3.3). Po úpravě při malé úrovni injekce n = p (n 0 + p 0 ) bude mít rovnice (4.12) nyní tvar ( ) dn = n n 0 dt r τ = n τ (4.14)

34 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 32 odkud ( n = n(0) exp t ) τ (4.15) Jestliže je nízká úroveň bipolární injekce, koncentrace nerovnovážných nosičů náboje se po přerušení excitace exponenciálně zmenšuje a za čas τ se jejich počet v důsledku rekombinace zmenší e-krát. τ představuje střední dobu existence nadbytečné koncentrace nosičů náboje. Pro vlastní polovodič jsou rychlosti ubývání elektronů a děr stejné a veličina τ určuje dobu života párů elektron-díra. Doba života se v závislosti na materiálu mění v širokém rozsahu s. Protože τ je dostatečně velké v porovnání s relaxační konstantou, přejdou elektrony a díry difúzí z oblasti, kde je jejich koncentrace zvýšená do hloubky polovodiče za dobu svého života značnou vzdálenost. Při bipolární generaci ke vzniku nosičů náboje dochází v jedné oblasti vzorku a rekombinace probíhá ve značné vzdálenosti v druhé části polovodiče. Jestliže je úroveň bipolární injekce vysoká n (n 0 + p 0 ), s využitím (4.13) kde ( ) dn = n (4.16) dt r τ OK τ OK = 1 γ r n závisí na koncentraci nerovnovážných nosičů náboje a je tedy proměnnou veličinou, která má význam okamžité doby života MONOPOLÁRNÍ GENERACE Řešme případ donorového polovodiče, ve kterém nejsou při dané teplotě atomy příměsí úplně ionizované. Tzn., že příměsová hladina leží dostatečně hluboko v zakázaném pásu. Necht ozáření polovodiče světlem vede k přechodu elektronů z donorových hladin do vodivostního pásu. V tomto případě dochází k monopolární světelné generaci, která vede ke vzniku nerovnovážných nosičů náboje jednoho znaménka (v daném případě elektronů). Elektrická neutralita se přitom neporušuje, protože náboj volných elektronů je vykompenzovaný nábojem vytvořených kladných iontů donorové příměsi. Jestliže je koeficient absorpce světla velký, nerovnovážné elektrony se tvoří pouze v tenké povrchové vrstvě, kde bude koncentrace elektronů zvýšená n = n 0 + n, v hloubce vzorku je koncentrace n 0. Nerovnovážné nosiče se budou přemíst ovat do objemu polovodiče. V objemu vznikne záporný náboj vzhledem k povrchu, kde jsou soustředěny kladné ionty. Elektrické pole vytvořené rozdělením nábojů vytváří opačný tok elektronů k povrchu, který kompenzuje difúzní tok a vede prakticky k úplnému odstranění objemového náboje.

35 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 33 Změnu prostorového náboje ϱ následkem protékání proudu získáme řešením rovnice kontinuity ( ϱ = ϱ 0 exp t ) τ µ (4.17) ϱ 0 je velikost náboje v okamžiku t = 0. Maxwellova relaxační konstanta τ µ je τ µ = ε r ε 0 σ (4.18) ε r ε 0 je relativní permitivita polovodiče, je permitivita vakua. Jak vyplývá z (4.17), v případě monopolární generace vzniká objemový náboj, který se exponenciálně zmenšuje s časovou konstantou τ µ. Protože Maxwellova relaxační konstanta je pro polovodič dostatečně malá ( s), elektronový oblak nerovnovážných nosičů se nemůže přesunout do značné vzdálenosti vzhledem k příměsovým iontům. Proto bude koncentrace nerovnovážných nábojů zvýšená v té oblasti, kde nastává generace. K monopolární generaci a rekombinaci nosičů dochází tedy v té samé oblasti příměsového polovodiče. 4.3 REKOMBINACE NOSIČŮ NÁBOJE Podle mechanismu rozlišujeme tři typy rekombinace: mezipásová, přes lokální centra, povrchová. K mezipásové rekombinaci dochází při přechodu volného elektronu z vodivostního pásu do valenčního pásu, což je doprovázeno zánikem volného elektronu a díry. Při těchto procesech platí zákony zachování energie a impulsu. Jestliže energie a kvaziimpuls elektronu ve vodivostním pásu (před rekombinací) byly ε a p, a po rekombinaci jsou ε a p, pak platí ε = ε + ε p = p + Q (4.19) kde Q je impuls odevzdaný krystalické mřížce, ε je energie, která se odevzdá při rekombinaci. Podle toho, jakým způsobem se odevzdá energie ε, rozděluje se mezipásová rekombinace na tři typy. Jestliže se energie uvolněná v procesu rekombinace vyzáří ve formě světelného kvanta jde o zářivou (fotonovou) rekombinaci. Pokud se energie volného elektronu spotřebuje v konečném důsledku na tvorbu fononů, rekombinace se nazývá nezářivá (fononová) a v případě, že se rekombinace zúčastňují tři nosiče, energie ε se odevzdá volnému elektronu nebo díře. Tento typ

36 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 34 rekombinace se nazývá nárazovou nebo Augerovou rekombinací. Pokud v polovodičovém krystalu existují defekty, kterých energetické hladiny se nachází v zakázaném pásu, probíhá proces rekombinace přes lokální centra. Mechanismus tohoto procesu spočívá v tom, že neutrální centrum (past), může zachytit např. elektron z vodivostního pásu, který po určitém čase přejde do valenčního pásu. Podle způsobu odevzdání energie při přechodu elektronu na nižší energetickou úroveň, rekombinace přes záchytné centra může být též zářivá, fononová nebo nárazová. Rekombinace nosičů náboje na povrchu polovodiče se nazývá povrchová rekombinace. Realizuje se přes lokální povrchové hladiny MEZIPÁSOVÁ ZÁŘIVÁ REKOMBINACE Při mezipásové zářivé rekombinaci přechází volný elektron z vodivostního pásu do valenčního pásu, přičemž se vyzáří světelné kvantum, kterého energie je rovna šířce zakázaného pásu. Intenzita procesu zářivé rekombinace je úměrná součinu koncentrace volných elektronů a děr R = γ r n p (4.20) V termodynamické rovnováze (bez ozáření světlem) je rychlost rekombinace stejná jako tepelné buzení (4.12). V nerovnovážném stavu můžeme rychlost rekombinace vyjádřit jako U = ( ) dn = R G 0 = γ r (n p n 0 p 0 ) (4.21) dt r V polovodiči typu n při (n 0 p 0 ) a za podmínky nízké úrovně injekce n = n 0 U = γ r n 0 (p p 0 ) (4.22) τ n = 1 γ r n 0 (4.23) a v polovodiči typu p při (p 0 n 0 ) a p = p 0 U = γ r p 0 (n n 0 ) (4.24) τ p = 1 γ r p 0 (4.25) Ze vztahů (4.23) a (4.25) je vidět, že doba života nerovnovážných nosičů náboje v příměsovém polovodiči se s narůstající koncentrací zmenšuje. Závislost doby života pro zářivou mezipásovou rekombinaci na stupni legování tj. na koncentraci nosičů náboje při konstantní teplotě je na obr. 4.3.

37 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 35 Obr. 4.3 Závislost doby života mezipásové zářivé rekombinace na koncentraci nosičů náboje při konstantní teplotě [1]. Na logaritmickou stupnici koncentrace ( je možné pohlížet jako na lineární stupnici polohy Fermiho hladiny, protože n 0 = N C exp E ) C F, přičemž střední bod stupnice odpovídá Fermiho hladině pro vlastní polovodič. Z uvedených závislostí je patrné, že ve vlastním polovodiči se doba života se vzrůstající úrovní injekce prudce snižuje, v příměsovém se však mění poměrně málo. Vypočítané hodnoty τ i jsou blízké experimentálním jen pro polovodiče s malou šířkou zakázaného pásu. Pro polovodiče s velkou šířkou zakázaného pásu (Ge, Si) existuje značný nesouhlas mezi vypočítanými a naměřenými hodnotami. Tzn., že v těchto materiálech je značná pravděpodobnost nezářivých přechodů. Se zvyšováním stupně dotování se doba života nerovnovážných nosičů náboje zmenšuje. Např. pro silně dotovaný Si, kde n 0 = cm 3 je τ n 10 8 s. Zdálo by se, že se vzrůstem stupně dotování polovodiče by se měla zvětšovat pravděpodobnost mezipásové zářivé rekombinace. Při zvýšení koncentrace se však objevuje velké množství defektů a začíná převládat rekombinace přes lokální centra MEZIPÁSOVÁ NÁRAZOVÁ (AUGEROVA) REKOMBINACE Jestliže dochází ke srážce tří volných nosičů náboje, dva z nich mohou rekombinovat a současně odevzdat energii třetímu. Tento potom přejde na vyšší energetickou hladinu v pásu. Je to jev opačný k procesu nárazové ionizace, při kterém na úkor přechodu volné částice na nižší energetickou hladinu v pásu dochází k vytvoření páru elektron-díra.

38 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 36 Obr. 4.4 Schematické znázornění nárazové rekombinace. Na obr. 4.4 jsou znázorněné procesy nárazové rekombinace, přičemž jako třetí nosič vystupuje elektron a) nebo díra b). Pravděpodobnost srážky páru elektron-díra s volným elektronem je úměrná n 2 p a s dírou p 2 n U = R G 0 (4.26) kde R n = η n n 2 p G n 0 = η n n 2 0 p 0 (4.27) a tedy U = η n (n 2 p n 2 0 p) (4.28) Pro donorový polovodič (n 0 p 0, n 0 n i ) a pro případ nízké injekce dostaneme τ n u = 1 η (n) n 2 0 (4.29) Obdobně pro akceptorový polovodič τ p u = 1 η (p) p 2 0 (4.30) kde η (n), η (p) jsou koeficienty nárazové rekombinace, přičemž třetím nosičem je elektron nebo díra.

39 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 37 Doba života je maximální pro vlastní polovodič. V příměsovém typu polovodiče doba života silně závisí na koncentraci rovnovážných nosičů náboje. Při jejím zvýšení vzroste počet srážek nerovnovážných párů elektron-díra s rovnovážnými a doba života se snižuje. Obr.4.5 Závislost doby života při nárazové rekombinaci na poloze Fermiho hladiny. Při vysoké úrovni injekce je okamžitá doba života při nárazové rekombinaci τ OK = n d dt n = 1 ( η (n) + η (p)) n 2 (4.31) Okamžitá doba života pro nárazovou mezipásovou rekombinaci při vysoké úrovni injekce velmi silně závisí na koncentraci nerovnovážných nosičů náboje REKOMBINACE PŘES LOKÁLNÍ CENTRA Rekombinační přechod elektronu z vodivostního pásu do valenčního a jeho rekombinace s volnou dírou (rekombinace z pásu do pásu) je u křemíku a řady jiných polovodičů při nízké koncentraci příměsí velice nepravděpodobný. Rekombinace nastává především prostřednictvím tzv. rekombinačních (generačních) center. Jsou to různé druhy příměsí nebo poruch krystalové mříže, které vytvářejí energiové hladiny v zakázaném pásu. Tyto hladiny tvoří mezistupně pro přechod elektronů a děr mezi valenčním a vodivostním pásem. Předpokládejme, že rekombinační centra vytvářejí jedinou energiovou hladinu, která může být ve dvou stavech odpovídajících nulovému a zápornému náboji centra. Děje, ke kterým může dojít, znázorňuje obr Určíme jejich rychlosti.

40 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 38 Obr. 4.6 Děje při rekombinaci přes záchytná centra. Rychlost děje a) zachycení elektronu rekombinační hladinou (centrem) je úměrná koncentraci elektronů ve vodivostním pásu (n) a koncentraci center neobsazených elektrony. Je-li koncentrace center N t, počet neobsazených je N t (1 f), kde f = 1 ( ) (4.32) Et F 1 + exp Pro rychlost procesu a) tedy platí úměrnost r a n N t (1 f) (4.33) Konstanta úměrnosti může být vyjádřena součinem v t σ n, takže r a = v t σ n n N t (1 f) (4.34) v t je tepelná rychlost nosičů (v t = 3 /m = 10 7 cm s 1 ), σ n je záchytný průřez centra. Určuje, jak blízko centra musí elektron projít, aby byl zachycen. Pro rychlost emise elektronu z rekombinační hladiny do vodivostního pásu proces b) platí r b = e n N t f (4.35) kde e n je pravděpodobnost emise elektronu do vodivostního pásu, která závisí na hustotě neobsazených stavů ve vodivostním pásu a také na poloze rekombinační hladiny v zakázaném pásu.

41 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 39 Podobným postupem dostaneme pro zachycení a emisi díry procesy c), d) r c = v t σ p p N t f (4.36) r d = e p N t (1 f) (4.37) Pro další výpočty nejprve určíme hodnoty pravděpodobností emise e n, e p. V rovnovážném stavu (G L = 0) zřejmě r a = r b r c = r d (4.38) Protože platí ( n = N C exp E ) ( ) C F n Fn E i = n i exp (4.39) p = N V ( exp F ) ( ) p E V Ei F p = n i exp (4.40) dostáváme po dosazení do (4.38) ( e n = v t σ n N C exp E ) ( ) C E t Et E i = v t σ n n i exp (4.41) ( e p = v t σ p N V exp E ) ( ) t E V Ei E t = v t σ p n i exp (4.42) Z rovnic (4.41) a (4.42) je vidět, že emisní účinnost center roste pro E t E C, resp. E t E V. V ustáleném nerovnovážném stavu s generací G L dn n dt = G L (r a r b ) = 0 (4.43) dp n dt = G L (r c r d ) = 0 (4.44)

42 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 40 Vyloučením G L z obou rovnic Po dosazení za r a, r b, r c, r d z dříve uvedených vztahů plyne r a r b = r c r d (4.45) ( ) Ei E t σ n n + σ p n i exp f = ( )) ( ( )) (4.46) Et E i Ei E t σ n (n + n i exp + σ p p + n i exp Vypočteme-li potom U = r a r b = r c r d, dostaneme U = σ n (n + n i exp σ p σ n v t N t (p n n 2 i ) ( Et E i )) + σ p ( p + n i exp ( )) (4.47) Ei E t Základní informace, kterou tato rovnice poskytuje, je nejlépe patrna pro případ σ n = σ p = σ. Pak p n n 2 i U = σ v t N t ( ) (4.48) Et E i n + p + 2 n i cosh Hybnou silou rekombinace je velikost rozdílu p n n2 i, tedy odchylka koncentrace nosičů od rovnováhy. Proti rekombinaci působí růst součtu n + p. Rychlost rekombinace rovněž klesá, jestliže se E t vzdaluje od E i. ( ) Et E i Pro malé úrovně injekce v polovodiči typu n je n n p n, n n n i exp a pro centra blízko středu zakázaného pásu U = σ p σ n v t N t (n n p n n 2 i ) σ n n n = σ p v t N t (p n p 0 ) (4.49) Porovnáním s dřívějším vztahem U = (p n p n 0 )/τ p dostáváme τ p = 1 σ p v t N t (4.50)

43 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE POVRCHOVÁ REKOMBINACE Podobně můžeme odvodit také vztah pro rychlost povrchové rekombinace. Zapíšeme-li vztah (4.49) pro tenkou povrchovou oblast polovodiče o tloušt ce x 1 U S = σ p v t N t x 1 [ p n(0) p n 0 ] (4.51) pak tok nosičů k povrchu se musí rovnat rychlosti povrchové rekombinace Podle dřívějšího a tedy D p p n x = U S. x=0 U S = S p [ p n(0) p n 0 ] = σ p v t N t x 1 [ p n(0) p n 0 ] kde N st = N t x 1 je počet center na jednotku plochy povrchu. S p = σ p v t N st (4.52) Nesouhlas tohoto popisu se skutečností může nastat, jsou-li na povrchu polovodiče přítomny náboje, které indukují pod povrchem polovodiče opačný náboj (oblast prostorového náboje). Poněvadž rovnice (4.47) byla odvozena bez jakýchkoli omezujících předpokladů o rozložení náboje, musí platit i v tomto případě. Nelze však využít zjednodušení pro malé injekce, protože koncentrace elektronů a děr pod povrchem je ovlivněna povrchovým nábojem. Předpokládejme pro tento případ, že E t = E i a σ p = σ n = σ. Pak U S = σ v t N st kde S 0 je rychlost povrchové rekombinace pro povrch bez náboje. p s n s n 2 i p s n s n 2 i = S 0 (4.53) n s + p s + 2 n i n s + p s + 2 n i 4.4 REKOMBINAČNÍ CENTRA Prvky ze III. a V. skupiny (akceptory a donory) vytvářejí hladiny blízko hranic valenčního a vodivostního pásu. Jiné prvky (zlato, měd,...) blízko středu zakázaného pásu. Ty působí jako rekombinační centra. U křemíku je z tohoto hlediska nejvýznamnější příměsí zlato. V zakázaném pásu tvoří celkem čtyři hladiny, z nichž dvě leží blízko jeho středu. Vnášením zlata do křemíku (např. difúzí) se dá měnit doba života minoritních nosičů. Při změně koncentrace zlata v rozmezí až cm 3 se doba života mění v mezích až s. Záchytný průřez má velikost asi cm 2. Jestliže koncentrace atomů zlata v křemíku vzroste tak, že je srovnatelná s koncentrací donorů nebo akceptorů, odčerpávají jeho hladiny v zakázaném pásu nosiče z vodivostního nebo valenčního pásu, takže odpor polovodiče pro oba typy vodivosti roste.

44 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 42 Radiační poškození, které vytváří hladiny v zakázaném pásu, je dalším způsobem vzniku rekombinačních center. Radiační poškození vzniká při ozáření polovodiče elektrony, protony, γ zářením nebo neutrony. Vysoce energetické částice způsobí posunutí atomu z uzlové polohy a následně vznik vakancí a intersticiálů. Tyto pak vedou ke vzniku komplexů, které tvoří hladiny v zakázaném pásu. Celková koncentrace rekombinačních center N t pak je N t = N t0 + K N e (4.54) kde N t0 je koncentrace generačně-rekombinačních center před ozářením, K je pravděpodobnost, že bombardující elektron vytvoří rekombinační centra, N e celkový počet elektronů (částic), který dopadá na jednotku plochy. Využitím (4.50) a (4.54) dostáváme τ p = τ p0 1 + K N e N t0 (4.55) Doba života klesá z původní hodnoty τ p0 s rostoucí dávkou ozáření. Radiační poškození není možné snadno použít pro kontrolu doby života, protože rekombinační centra se žíhají i při poměrně nízké teplotě. Povrch polovodiče je výrazným porušením periodicity mřížky. Povrchové stavy tedy tvoří třetí skupinu rekombinačních center. Teoretická hustota těchto stavů je asi cm 2. Ve skutečnosti je jich méně. V důsledku samovolné tvorby SiO 2 na povrchu křemíku se jejich hustota snižuje na cm 2, po záměrné termické oxidaci až na cm 2. Rychlost povrchové rekombinace na čistém povrchu Si je asi 10 2 cm/s, po termické oxidaci 1 10 cm/s ZÁVISLOST REKOMBINACE PŘES ZÁCHYTNÉ CENTRA NA KONCENTRACI PŘÍMĚSÍ Na křivce, která zobrazuje závislost ln τ na poloze Fermiho hladiny, je možné určit čtyři základní oblasti. 1) Silně dotovaný polovodič typu n. Fermiho hladina je pod E C, ale nad energetickou hladinou pastí tj. (E C E t ) < F n < E C, přitom platí vztahy n 0 p 0 n 0 n 1 n 0 p 1 kde n 1 je rovnovážná koncentrace elektronů ve vodivostním pásu. Jestliže Fermiho hladina je totožná

45 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 43 Obr. 4.7 Závislost doby života na poloze Fermiho hladiny. s rekombinační, potom τ = τ p0 = 1 σ p v t N t (4.56) V silně legovaném polovodiči typu n je τ = τ p0 konstantní a je určená dobou života děr. Rychlost rekombinace je určená počtem záchytů nerovnovážných děr pastmi, které jsou obsazené elektrony. 2) Polovodič typu n, málo dotovaný. E i < F n < (E C E t ), platí vztahy n 0 p 0 n 0 p 1 n 0 n 1 a τ = τ p0 n 1 n 0 = τ p0 ( ) EC E t F n exp (4.57) Ze vztahu (4.57) vyplývá, že v závislosti na poklesu Fermiho hladiny, doba života τ exponenciálně roste od počáteční hodnoty τ p0. Čím níže klesá Fermiho hladina, tím menší je stupeň zaplnění pastí elektrony, a proto se pravděpodobnost záchytu díry zmenšuje. To vede ke zvětšení doby života nerovnovážných párů elektron-díra. 3) Ve slabě dotovaném polovodiči typu p je poloha F p určená nerovností (E V + E t ) < F p < E t,

46 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 44 přičemž platí p 0 n 0 p 0 p 1 n 1 p 0 τ = τ n0 n 1 p 0 = τ n0 N C N V ( ) Fp E t + E g exp (4.58) Při poklesu F p pozorujeme exponenciální pokles doby života, což se vysvětluje takto: v slabě dotovaném polovodiči typu p jsou téměř všechny pasti prázdné a lehce zachytávají elektrony z vodivostního pásu. Protože koncentrace volných děr je malá, část elektronů z pastí se vrací zpět do vodivostního pásu. S poklesem F p se zvětšuje počet volných děr a roste pravděpodobnost jejich rekombinace s elektrony, které jsou zachycené na pastích. Intenzita procesu ionizace se přitom snižuje a doba života klesá. 4) Pro Fermiho hladinu v silně dotovaném polovodiči typu p platí E V < F p < (E V + E t ) a navíc p 0 n 0 p 0 n 1 p 0 p 1 τ = τ n0 = 1 σ n v t N t (4.59) V takovém polovodiči je τ = τ n0 konstantní. Je určená dobou života elektronů (minoritních nosičů) a nezávisí na poloze Fermiho hladiny. V tomto typu polovodiče nejsou zachycené elektrony na pastích, a proto každý elektron zachycený pastí okamžitě rekombinuje s dírou, kterých počet je ve valenčním pásu velmi vysoký. Proces zpětného přechodu elektronů do vodivostního pásu prakticky neexistuje a neovlivňuje tedy velikost doby života ZÁCHYTNÁ A REKOMBINAČNÍ CENTRA Na obr. 4.8 je pásová struktura polovodiče s lokálními centry, které mají různé hladiny v zakázaném pásu. Jestliže máme stav odlišný od termodynamické rovnováhy, pak koncentrace volných nosičů náboje jsou určené polohou Fermiho kvazihladin. Jestliže je energetická hladina pastí blízko u dna vodivostního pásu, pravděpodobnost tepelné ionizace je velká. Tyto centra si neustále vyměňují elektrony s vodivostním pásem a nepřispívají výrazně k rekombinaci. Nazývají se záchytnými centry elektronů. Analogicky v blízkosti horního okraje valenčního pásu se nachází záchytné hladiny pro díry. Pasti, přes které se odehrává záchyt elektronů a děr a následně rekombinace se nazývají rekombinační centra. U těchto pastí je zpětný tepelný přechod málo pravděpodobný, protože mají energiové hladiny dostatečně hluboko pod dnem vodivostního pásu.

47 4 GENERACE A REKOMBINACE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 45 Obr. 4.8 Polovodič, který obsahuje záchytná i rekombinační centra. Literatura [1] K.V. Šalimovová: Fyzika polovodičov, Alfa Bratislava 1978 [2] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [3] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [4] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 1989

48 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 5.1 ROVNICE KONTINUITY Odvození rovnice kontinuity uděláme pro jednorozměrný vzorek, ve kterém se koncentrace mění jen ve směru osy x. Objem vrstvy dx o jednotkovém průřezu se bude číselně rovnat dx. Obr. 5.1 Objemový element pro analýzu rovnice kontinuity. Jestliže v čase t byla koncentrace elektronů n(x, t), potom počet elektronů v tomto objemu je n(x, t) dx. V čase t+dt jejich počet bude n(x, t+dt) dx a změna počtu elektronů za čas dt v objemu dx je n(x, t + dt) dx n(x, t) dx = n dx dt (5.1) t Tato změna počtu elektronů může vznikat následkem procesu generace, rekombinace, difúze nebo driftu nosičů náboje.

49 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE Pod procesy generace se rozumí všechny procesy, při kterých mohou být elektrony z valenčního pásu, lokálních příměsových hladin nebo záchytných hladin přeneseny do vodivostního pásu. Ve vyšetřovaném případě budeme předpokládat, že generace elektronů vzniká působením světla a že počet párů elektron-díra vytvořený světlem za 1 s v jednotkovém objemu je G. Potom počet světelnou generací vytvořených elektronů v objemu dx za čas dt se rovná G dx dt (5.2) 2. Pokud τ n je doba života nerovnovážných elektronů a jejich koncentrace n = n n 0, potom změna počtu elektronů následkem rekombinace v objemu dx za čas dt bude R dx dt = ( ) dn dt dx = n n 0 dx dt (5.3) dt r τ n 3. Změna počtu nosičů náboje v objemu dx, způsobená procesem difúze a driftu. Označme J n (x, t) počet elektronů, které prochází jednotkovou plochou za 1 s. Pak za čas dt přes rozhraní vrstvy v místě x do vyšetřovaného objemu vejde J n (x, t) dt elektronů a přes rozhraní v místě x + dx vejde J n (x + dx, t) dt elektronů. Tedy změna počtu elektronů v objemu dx daná rozdílem těchto toků se bude rovnat J n (x, t) dt J n (x + dx, t) dt = J n x dx dt (5.4) Celková změna počtu elektronů, daná součtem procesů (5.2), (5.3) a (5.4), představuje hodnotu odkud Tato rovnice se nazývá rovnice spojitosti. Analogicky pro díry n t dx dt = G dx dt J n x dx dt n n 0 τ n dx dt (5.5) n t = G J n x n n 0 τ n (5.6) p t = G J p x p p 0 τ p (5.7) Ve stacionárních podmínkách se koncentrace elektronů a děr s časem nemění tj. n t = p t = 0. Rovnice spojitosti v jednorozměrném tvaru se pak zjednoduší J n x = G n n 0 τ n (5.8)

50 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 48 J p x = G p p 0 τ p (5.9) Rovnice (5.8), (5.9) vyjadřují podmínky zachování počtu nosičů náboje tj. ve stacionárním stavu tok nosičů náboje vytékajících z objemu se rovná počtu nosičů vytvořených vnější generací, zmenšenou o nosiče, které v tomto objemu zrekombinovaly. 5.2 DIFÚZNÍ A DRIFTOVÝ PROUD V polovodiči, ve kterém se koncentrace postupně mění, vznikne difúzní proud elektronů a děr. Tento proud bude daný difúzí nosičů náboje z oblasti, kde je jejich koncentrace vyšší do oblasti s menší koncentrací. Protože rozdíl koncentrací v jednotlivých bodech polovodiče je charakterizovaný gradientem jejich koncentrace, bude i difúzní tok elektronů ve směru osy x úměrný tomuto gradientu φ n = D n dn dx (5.10) kde D n je koeficient difúze elektronů. Analogicky difúzní tok děr je φ p = D p dp dx (5.11) Difúzním tokům nosičů náboje odpovídají difúzní proudy elektronů j n, dif a děr j p, dif j n, dif = q D n dn dx (5.12) j p, dif = q D p dp dx (5.13) Difúzní proud, který vznikne následkem gradientu koncentrace nosičů, způsobí prostorové rozdělení nábojů. Při působení elektrického pole ε nastane usměrněný pohyb elektronů a děr, v důsledku čeho se objeví elektronové a děrové ohmické proudy. Pokud není ε silné, je možné tyto složky s využitím Ohmova zákona zapsat ve tvaru j n, dr = q n µ n ε (5.14) j p, dr = q p µ p ε (5.15)

51 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 49 Celkový proud se bude skládat z difúzního a driftového proudu J = q (n µ n + p µ p ) ε + q ( ) dn D n dx D dp p dx (5.16) Při termodynamické rovnováze se v nehomogenním polovodiči proud rovná nule J = J n + J p = 0. Ohmické proudy, vyvolané vnitřním elektrostatickým polem, způsobeným prostorovým rozdělením nábojů v důsledku difúze, kompenzují proudy difúzní n µ n ε st = D n dn dx (5.17) Protože je v polovodiči pole ε st, elektrony, které se nachází v tomto poli mají potenciální energii U = q ϕ, kde ϕ je elektrostatický potenciál. Proto Jestliže uvážíme, že ε st = dϕ dx ( n = N C exp E ) C F + U ( q ϕ ) = n 0 exp a dosadíme za n a dn dx do (5.17) dostaneme (5.18) µ n n 0 exp ( q ϕ ) dϕ dx = D n q n 0 exp ( q ϕ ) dϕ dx (5.19) Odkud máme pro elektrony a analogicky pro díry D n = µ n q D p = µ p q (5.20) Vztah, který spojuje koeficient difúze nosičů náboje a jejich pohyblivost v podmínkách termodynamické rovnováhy se nazývá Einsteinův vztah. 5.3 POHYB NEROVNOVÁŽNÝCH MAJORITNÍCH NOSIČŮ NÁBOJE Budeme vyšetřovat difúzi a drift nerovnovážných nosičů náboje v případě monopolární vodivosti, kdy volné nosiče vznikají v důsledku jejich vybuzení z příměsových hladin. V osvětlené části polovodiče x < 0 vzniká následkem osvětlení rovnoměrná generace nerovnovážných elektronů přeskokem z E D do E C. Koncentrace v E C bude n 0 + n. Počet nadbytečných elektronů n se rovná počtu kladných iontů donorové příměsi N + D. Nerovnovážné elektrony z osvětlené části budou difundovat do neosvětlené části. Následkem toho se naruší elektrická neutralita a vznikne prostorový náboj a tedy i elektrické pole. V neosvětlené části se vytvoří záporný náboj a v osvětlené části ionizované donory tvoří kladný náboj. Vzniklé elektrické pole je orientované tak, že bude zabraňovat difúzi nerovnovážných elektronů. Pro výs-

52 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 50 Obr. 5.2 Rozložení koncentrace, objemového náboje, intenzity elektrického pole a potenciálu při částečném osvětlení donorového polovodiče. lednou proudovou hustotu pak bude platit J = j dif + j dr = q n µ n ε st + q D n dn dx = 0 (5.21) Řešením (5.21) v neosvětlené části polovodiče je ) n = n(0) exp ( xle (5.22) kde l e = ε r ε 0 q 2 n 0 (5.23) V případě monopolární vodivosti se koncentrace nerovnovážných nosičů náboje v neosvětlené části vzorku se vzdáleností od osvětlené části zmenšuje podle exponenciální funkce s charakteristickou konstantou, která se nazývá stínící délka nebo Debyeova délka l e.

53 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 51 Délka stínění závisí na koncentraci majoritních nosičů, a proto se může měnit v širokém rozsahu. V případě monopolární vodivosti nerovnovážné nosiče náboje difundují do velmi malé vzdálenosti dovnitř materiálu v důsledku přitažlivých elektrostatických sil nepohyblivých iontů, které mají náboj opačného znaménka. Rozložení nosičů náboje na vzdálenosti, která se rovná l e se uskuteční v monopolárním případě za Maxwellův relaxační čas, který je v daném případě efektivním časem ustavení difúzně-driftové rovnováhy. 5.4 POHYB NEROVNOVÁŽNÝCH MINORITNÍCH NOSIČŮ NÁBOJE OBJEMOVÁ REKOMBINACE Mějme rovnoměrně osvětlenou desku polovodiče typu n. Necht energie světla je tak velká, že generuje páry elektron-díra rovnoměrně v celém objemu polovodiče. Pokud jde o malou injekci budou podstatné změny pouze minoritních nosičů. Je-li rychlost generace párů elektron-díra G L, pak pro změnu koncentrace minoritních nosičů (děr) za jednotku času platí dp n dt = G L R (5.24) Z předešlého textu vyplývá, že rychlost rekombinace je úměrná přebytku nosičů R = 1 τ p (p n p n0 ) (5.25) Veličina τ p má rozměr času a jmenuje se doba života minoritních nosičů v polovodiči. Dosazením do (5.25) dostaneme V ustáleném stavu platí dp n dt = G L p n p n0 τ p (5.26) dp n dt = 0 p n = p n0 + τ p G L (5.27) Po zhasnutí světla (G L = 0) klesá koncentrace nerovnovážných nosičů podle vztahu dp n dt = p n p n0 τ p (5.28)

54 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 52 Obr. 5.3 Jednorozměrný model toku minoritních nosičů generovaných světlem. Jeho integrací s počáteční podmínkou p n (0) = p n dostáváme ( p n (t) = p n0 + (p n p n0 ) exp t ) τ p (5.29) POVRCHOVÁ REKOMBINACE U reálných polovodičů nedochází nikdy k rovnoměrné rekombinaci nosičů v celém objemu polovodiče. Zvlášt významná je povrchová rekombinace. Předpokládejme, že v desce z předešlého příkladu nastává zvýšená rekombinace pouze na ploše desky ležící v rovině x = 0 (obr. 5.4). V tomto případě se bude koncentrace děr v určitém místě vzorku měnit s časem také vlivem toku nosičů k ploše x = 0, kde je jejich koncentrace díky zvýšené rekombinaci nižší než v objemu p n t = φ p x + G L U (5.30) Tok děr φ p je způsoben jednak difúzí (důsledek gradientu koncentrace) a jednak elektrickým polem (důsledek nerovnoměrného rozložení nabitých nerovnovážných nosičů) φ p = D p p n x + µ p ε p n (5.31)

55 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 53 Obr. 5.4 Generace nosičů rovnoměrným osvětlením vzorku s povrchovou rekombinací. Driftová složka toku minoritních nosičů vyvolaná elektrickým polem je při malých injekcích zanedbatelná proti toku difúznímu. Rovnice (5.31) se redukuje na tvar φ p = D p p n x (5.32) Dosazením z (5.32) do (5.30) dostáváme difúzní rovnici rozšířenou o generaci a rekombinaci nosičů p n t = D 2 p n p x 2 + G L p n p n0 (5.33) τ p V ustáleném stavu p n t = 0. Rovnici (5.33) řešíme při okrajových podmínkách p n ( ) = p n = p n0 + τ p G L D p p n t = s p [p n (0) p n0 ] (5.34) x=0 Druhá podmínka vyjadřuje tvrzení, že všechny nosiče, které dosáhnou povrchu x = 0, zrekombinují. Stejně jako u objemové rekombinace i v tomto případě předpokládáme, že děj je úměrný přebytku nosičů. Konstanta úměrnosti mezi tokem nosičů k povrchu, kde rekombinace probíhá a koncentrací nadbytečných nosičů, je rychlost povrchové rekombinace s p. Má rozměr cm s 1. Řešením rovnice

56 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 54 (5.33) za použití okrajových podmínek (5.34) tedy máme p n (x) = p n (p n p n0 ) ) s p τ p /L p exp ( xlp 1 + s p τ p /L p (5.35) kde L p = D p τ p je difúzní délka minoritních nosičů. Obr. 5.5 Koncentrace nadbytečných minoritních nosičů pro různé vlastnosti materiálu, dle (5.35) POVRCHOVÁ GENERACE A OBJEMOVÁ REKOMBINACE Podobným postupem můžeme ukázat, jak vypadá rozložení nosičů v polovodiči při jejich generaci v povrchové vrstvě a rekombinaci v objemu (např. fotony s kinetickou energií 3.5 ev mají průnik 10 nm). Tento případ si vyžaduje řešit difúzní rovnici ve tvaru D p 2 p n x 2 p n p n0 τ p = 0 (5.36) za použití okrajových podmínek p n (0) = konst (funkce osvětlení) p n ( ) = p n0 (5.37)

57 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 55 Obr. 5.6 Generace nosičů v povrchové vrstvě. Řešení pak má tvar ) p n (x) = p n0 + [p n (0) p n0 ] exp ( xlp (5.38) Obr. 5.7 Koncentrace nosičů při generaci v povrchové vrstvě pro různou difúzní délku. Jestliže druhá okrajová podmínka (5.37) je změněna tak, že nadbytečné nosiče v místě x = W jsou

58 5 DIFÚZE A DRIFT NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE 56 odsáty nebo p n (W ) = p n0, pak obdržíme nové řešení a proud v místě x = W je dán ( ) W x sinh p n (x) = p n0 + [p n (0) p n0 ] L p ( ) W (5.39) sinh p J p = q D p x = q [p n (0) p n0 ] D p 1 ( ) (5.40) W L p W sinh L p L p Literatura [1] K.V. Šalimovová: Fyzika polovodičov, Alfa Bratislava 1978 [2] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [3] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [4] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 1989

59 6 PŘECHOD PN Polovodičové součástky využívají elektrických vlastností přechodů mezi polovodiči typu p a n. Struktura planární diody a její idealizovaný model jsou na obr Obr. 6.1 Planární dioda a její idealizovaný model. Základní vlastností přechodu pn je usměrňování elektrického proudu. To je znázorněno na obr. 6.2, kde jsou zobrazeny V-A charakteristiky typického přechodu pn (Si). Strukturní parametry jsou stejné jako na obr. 6.1a. Jestliže je přiloženo záporné napětí na n + oblast, proud začne protékat již při velmi malých hodnotách napětí (přední směr). Na rozdíl od případu, kdy je na n + oblast přiloženo kladné napětí a protéká velmi malý proud (závěrný směr). Jestliže kladné napětí bude dále zvětšováno přes jistou hranici začne protékat proud i při této polaritě napětí, protože dojde k tzv. průrazu přechodu pn.

60 6 PŘECHOD PN 58 Obr. 6.2 V-A charakteristika přechodu pn. 6.1 SOUVISLOST MEZI PÁSOVÝM MODELEM A ELEKTROSTATICKÝMI VELIČINAMI Intenzita elektrického pole E je síla působící na jednotkový kladný náboj. Na elektron tedy působí síla q E. Ve všeobecnosti je síla rovná záporně vzaté hodnotě gradientu potenciální energie. V souladu s tím síla působící na elektron je q E = (gradient potenciální energie elektronu) V kapitole 2.1 jsme uvedli, že potenciální energie elektronu je reprezentována dolní hranicí vodivostního pásu, hladinou E C. Pro výpočet gradientu potenciální energie je ovšem možno zvolit jakoukoli hladinu pásového modelu. Nejčastěji se volí E i (E C = E i + const; grad const = 0 pak grad E C = grad E i ) a tedy E = 1 q grad E i (6.1) Pro jeden rozměr pak máme E = 1 q de i dx (6.2)

61 6 PŘECHOD PN 59 Elektrostatický potenciál ϕ je veličina, jejíž záporný gradient je roven intenzitě elektrického pole Srovnáním uvedených vztahů dostáváme E = grad ϕ (6.3) ϕ = E i q (6.4) Poissonova rovnice určuje vztah mezi nábojem a intenzitou elektrického pole (potenciálem) v jeho okolí. Tato rovnice má tvar de dx = ϱ ε 0 ε r respektive d 2 ϕ dx 2 = ϱ (6.5) ε 0 ε r Využitím vztahu (6.4) můžeme Poissonovu rovnici v polovodiči zapsat ve tvaru d 2 E i dx 2 = q ϱ ε 0 ε r (6.6) Z Poissonovy rovnice pak plyne, že intenzita elektrického pole je integrálem rozložení náboje. Dva příklady jsou na obr Obr.6.3 Dva příklady rozložení náboje a odpovídající intenzita elektrického pole.

62 6 PŘECHOD PN 60 Základní rovnice pro popis transportu nosičů v polovodiči v nerovnovážných podmínkách jsou rovnice kontinuity pro elektrony a díry (5.6), (5.7). Vztahy (6.7) a (6.8) vyjadřují bilanci mezi generací (např. tepelná, absorpcí světla), rekombinací a tokem nosičů náboje z elementárního objemu dx, dy, dz. Koncentrace elektronů n v elementárním objemu s časem roste, pokud je více elektronů generováno než rekombinuje a pokud tok přitékajících elektronů přes rozhraní objemu je větší než tok odtékající n t = G n R n + 1 q div J n (6.7) p t = G p R p 1 q div J p (6.8) kde J n a J p jsou proudové hustoty elektronů a děr, G n, G p jsou generační rychlosti elektronů a děr, R n, R p jsou rychlosti rekombinace a výraz div J je divergence proudové hustoty. Řešení těchto rovnic při vhodných okrajových podmínkách dává koncentraci elektronů a děr jako funkci souřadnic a času. V polovodičích se při transportu elektronů a děr uplatňují dva základní mechanismy. Rozdíl koncentrace vede k přesunu částic z místa s vyšší koncentrací do místa s nížší koncentrací a elektrické pole působí na náboj. Proudové hustoty J n a J p jsou tedy součtem difúzní a driftové složky J n = q D n grad n + q n µ n E (6.9) J p = q D p grad p + q p µ p E (6.10) Difúzní koeficienty D n, D p souvisí s pohyblivostí µ n, µ p přes Einsteinův vztah (5.20) D n = µ n q D p = µ p q Pro stanovení intenzity elektrického pole E se použije Poissonova rovnice (6.5) div E = ϱ ε 0 ε r kde ε 0 je permitivita vakua, ε r je relativní permitivita a nábojová hustota ϱ je daná koncentrací elektronů a děr (2.18) ϱ = q (p n + N + D N A )

63 6 PŘECHOD PN STRMÝ PŘECHOD PN Při spojení (metalurgickém) polovodiče typu p s polovodičem typu n přecházejí vlivem gradientu koncentrace elektrony z n do p polovodiče a díry z p do n polovodiče tak dlouho, až vzniklé elektrické pole dalšímu toku zabrání. Přesněji: tok nosičů způsobený difúzí je stejný jako obrácený tok vlivem elektrického pole. Pro tok děr přechodem platí φ p = D p dp dx + µ p E p p (6.11) Vyjádříme-li p jako pak pro dp/dx platí ( ) Ei E F p = n i exp dp dx = p [ dei dx de ] F dx a použitím Einsteinova vztahu µ p = q D p / dostaneme φ p = D p p de F dx = 1 q µ p p de F dx (6.12) Je vidět, že má-li být celkový tok děr přechodem nulový, musí být de F dx hladiny musí tedy být v celém polovodiči konstantní. = 0. Poloha Fermiho Ke stejnému výsledku vedou vztahy pro tok elektronů přechodem pn v rovnováze φ n = D n n de F dx = 1 q µ n n de F dx (6.13) Elektrické pole v přechodu pn urychluje pohyb elektronů a děr přechodovou oblastí ( odsává je z přechodu ). Proto je koncentrace pohyblivých nosičů v přechodu malá. Rozložení náboje v blízkosti rozhraní je dáno rozložením nepohyblivých ionizovaných donorů a akceptorů. Je to tzv. oblast prostorového náboje (depletiční aproximace) (OPN). Jedna z možných idealizací rozložení náboje v přechodu pn je tzv. strmý přechod obr Kromě koncentračního profilu příměsí a nosičů náboje, je na tomto obrázku zakresleno také rozložení náboje, průběh intenzity elektrického pole a potenciálu. Oblast prostorového náboje o celkové šířce W leží částečně v polovodiči typu n (x n ), částečně v polovodiči typu p (x p ).

64 6 PŘECHOD PN 62 Obr. 6.4 Model a elektrostatické veličiny v přechodu pn.

65 6 PŘECHOD PN 63 Poněvadž Fermiho hladina leží v obou polovodičích na stejné úrovni, platí pro Fermiho potenciál v neutrální p a n oblasti ϕ p = E F E i q ϕ n = E F E i q (6.14) Z označení v obr. 6.4 a rovnic (6.13) je zřejmé, že ϕ p > 0, ϕ n < 0. Mimo oblast prostorového náboje je náboj donorů neutralizován nábojem volných elektronů a náboj akceptorů nábojem volných děr. Oblasti jsou neutrální, p = N A, n = N D, viz (2.3). Vztahy (6.14) můžeme s využitím (2.14) a (2.15) přepsat do tvaru ϕ p = q ln N A n i ϕ n = q ln N D n i (6.15) a pro celkový potenciálový rozdíl v přechodu pak platí ϕ T = ϕ p + ϕ n = q ln N A N D n 2 i (6.16) Hodnotu ϕ T v přechodu pn bez napětí označujeme ϕ B difúzní napětí přechodu pn (též U B nebo V bi ). Z podmínky nábojové neutrality plyne, že celkový náboj musí být po obou stranách přechodu stejný Z Poissonovy rovnice (6.5) pro strmý přechod získáme nebo d2 ϕ dx 2 = de dx = ϱ(x) ε 0 ε r = d2 ϕ dx 2 N D x n = N A x p (6.17) q ε 0 ε r ( p(x) n(x) + N + D (x) N A (x)) (6.18) q ε 0 ε r N D pro x n < x < 0 (6.19) d2 ϕ dx 2 q N A pro 0 < x < x p (6.20) ε 0 ε r

66 6 PŘECHOD PN 64 Elektrické pole pak získáme integrací těchto rovnic E(x) = q N A (x x p ) ε 0 ε r pro 0 < x x p (6.21) E(x) = q N D (x + x n ) ε 0 ε r pro x n x < 0 (6.22) Maximální velikost intenzity elektrického pole E max je v bodě x = 0 a je rovna E max = q N A x p ε 0 ε r = q N D x n ε 0 ε r (6.23) Z obr. 6.4 dále plyne ϕ T = 1 2 E max W (6.24) Z rovnic (6.23) a (6.24) můžeme vypočítat celkovou šířku oblasti prostorového náboje strmého přechodu pn jako Využitím (6.17) dostaváme W = 2 ϕ T q N A x p ε 0 ε r (6.25) Navíc pro W platí, viz (obr. 6.4) N A x p = N D x n x p = N D N A x n (6.26) W = x n + x p x n = W 1 + N D N A (6.27) Dosazením (6.26) a (6.27) do (6.25) získáme pro šířku oblasti prostorového náboje W = 2 ϕ T ε 0 ε r q (N A + N D ) N A N D (6.28) Pro nesymetrický přechod, např. n + p, je N D v oblasti n velké proti N A v oblasti p. Pak W = 2 ε0 ε r q N A ϕ T (6.29)

67 6 PŘECHOD PN 65 Přesnější řešení šířky OPN může být získáno z rov. (6.18) s uvážením příspěvku majoritních nosičů ke koncentraci, který je ϱ q [N A p(x)] na p straně a ϱ q [N D n(x)] na n straně. Šířka OPN je v podstatě stejná jako v (6.28), s tím, že ϕ T je nahrazeno (ϕ T 2 /q). Korekční faktor 2 /q vzniká v důsledku tailů majoritních nosičů (v obr. 6.4 ϱ(x) vyznačeno čárkovaně). Každý tail přispívá korekcí /q. Korekce je rozdíl skutečného rozložení nosičů náboje a strmé aproximace. Šířka OPN pro jednostranný strmý přechod pak je resp. W = 2 ε 0 ε r q N B ( ϕ T 2 ) q (6.30) W = l e 2 ( q ϕt 2 ) (6.31) kde l e je Debyeova délka definovaná obdobně jako v (5.23) l e = ε 0 ε r q 2 N B (6.32) Debyeova délka stínění je vzdálenost, na které se intenzita elektrického pole pronikajícího do polovodiče zmenší e-krát. Obr. 6.5 Debyeova délka v křemíku.

68 6 PŘECHOD PN 66 Pro lepší pochopení odvodíme vztahy pro průběh elektrostatických veličin ve strmém nesymetrickém přechodu n + p (obr. 6.6) s koncentracemi N D = cm 3 a N B = N A = cm 3. Obr. 6.6 Elektrostatické veličiny ve strmém nesouměrném přechodu pn. Platí N D x n = N A x p x n = x p x p = 10 5 x n.

69 6 PŘECHOD PN 67 Prakticky celá oblast prostorového náboje tedy leží v polovodiči typu p. Položíme-li počátek souřadnic na hranici mezi polovodičem n + a p, dostaneme v polovodiči typu p integrací Poissonovy rovnice Pro x = W je E(W ) = 0, takže E(x) = E(0) q N A x ε 0 ε r (6.33) E(0) = q N A W ε 0 ε r = E max (6.34) Po dosazení za E(0) dostáváme ( E(x) = E max 1 x ) W (6.35) Další integrací vypočítáme průběh potenciálu Položme pro jednoduchost ϕ(w ) = 0. Pak a po dosazení Podle obr. 6.6 je ( ) ϕ(x) = E max x x2 + konst (6.36) 2 W konst = E max W 2 = ϕ T ( ) [ ] ϕ(x) = E max x x2 2 x ϕ 2 W T = ϕ T W x2 ( W 2 1 = ϕ T 1 x ) 2 (6.37) W ϕ T = E max W 2 = q N A W 2 2 ε r ε 0 (6.38) a také ϕ T = ϕ p + ϕ n = q ( ln N A + ln N ) D n i n i (6.39) Ze vztahů (6.39) a (6.38) vypočteme ϕ T a W pro zadané koncentrace příměsí a z (6.35) a (6.37) hodnoty intenzity a potenciálu v přechodu n + p. Je-li k přechodu pn přiloženo vnější napětí, mohou nastat dva případy. Napětí v závěrném směru oblast n je kladná proti oblasti typu p. Celková změna potenciálu

70 6 PŘECHOD PN 68 na přechodu ϕ je součtem difúzního a vnějšího napětí U R ϕ T = ϕ B + U R (6.40) Dosazením za ϕ T z (6.40) do (6.24) a (6.28) nebo (6.29) zjistíme, jak se působením U R změní W a E max. Z (6.28) nebo (6.29) je zřejmé, že pro U R < ϕ B zůstává W přibližně konstantní, pro U R > ϕ B roste W s odmocninou z U R. Napětí v propustném směru U F oblast n je záporná proti oblasti typu p. ϕ T je menší než v rovnováze bez napětí. Přechodem teče velký proud, depletiční aproximace přestává platit. 6.3 LINEÁRNÍ PŘECHOD PN Představa strmého přechodu vyhovuje pro slitinové, epitaxní nebo mělké přechody vytvořené difúzí. Pro hluboké difúze je vhodná lineární aproximace rozložení náboje v přechodové oblasti má lineární průběh, obr Poissonova rovnice má v této oblasti tvar 2 ϕ x 2 = E x = ϱ(x) ε 0 ε r = q ε 0 ε r (p n + a x) kde a je gradient příměsí [ cm 4]. Integrací (6.41) získáme q ε 0 ε r a x (6.41) E(x) = q a ε 0 ε r ( ) W 2 x (6.42) Pak pro maximální hodnotu E v bodě x = 0 máme E max = q a W 2 8 ε 0 ε r (6.43) V tomto případě dává integrace Poissonovy rovnice parabolickou závislost pro průběh elektrického pole a kubickou závislost pro rozložení potenciálu v přechodu pn. Pro šířku oblasti prostorového náboje platí W = [ 12 ε0 ε r ϕ T q a Pro maximální intenzitu elektrického pole dostáváme ] 1/3 (6.44) E max = 1.5 ϕ T W (6.45)

71 6 PŘECHOD PN 69 Obr. 6.7 Lineární aproximace přechodu pn. a pro difúzní napětí ϕ B = 2 q ln a W 2 n i (6.46) kde W je šířka oblasti prostorového náboje při nulovém vnějším napětí a = dn dx je gradient x=xj koncentrace příměsí v okolí přechodu pn. Nicméně, skutečné přechody se mohou od strmé i lineární aproximace podstatně lišit.

72 6 PŘECHOD PN CHARAKTERISTIKY KAPACITA-NAPĚTÍ PŘECHODU PN Kapacita připadající na jednotku plochy kondenzátoru je dána vztahem C = dq du (6.47) kde dq je přírůstek náboje při změně šířky oblasti prostorového náboje odpovídající přírůstku napětí du. Podle Poissonovy rovnice platí pro přechod pn dε dx = ϱ dε = ϱ dx = dq (6.48) ε 0 ε r ε 0 ε r ε 0 ε r kde dx je přírůstek šířky oblasti prostorového náboje způsobený přírůstkem napětí du. Dále lze přibližně psát du = (de) W, takže C = ε 0 ε r W (6.49) Kapacita přechodu pn odpovídá tedy kapacitě deskového kondenzátoru se vzdáleností desek stejnou jako šířka oblasti prostorového náboje a s dielektrikem o stejné permitivitě jako polovodič. Toto tvrzení platí ovšem pouze pro přechod pn v závěrném směru, kdy napětí (nebo přírůstek napětí) zůstává jenom na oblasti prostorového náboje. V propustném směru přispívají ke kapacitě i pohyblivé nosiče proudu. Dosazením za W z rovnice (6.29) pro nesymetrický strmý přechod pn dostáváme q ε 0 ε r N B C = 2 (U R + ϕ B ) (6.50) kde N B je koncentrace příměsí méně legované oblasti přechodu pn. Úpravou (6.50) snadno nahlédneme, že 1 C 2 = 2 q ε 0 ε r N B (U R + ϕ B ) (6.51) Závislost 1/C 2 na U R je tedy přímka. Její směrnice určuje N B a lze určit i ϕ B. Podobně pro lineární přechod se dá ze závislosti 1/C 3 na U R vypočítat gradient a a ϕ B. U přechodu pn s libovolně zadaným rozložením příměsí změna napětí du změní náboj přechodu polarizovaného v závěrném směru o dq. Platí dq = q N(W ) dw (6.52) kde N(W ) je koncentrace příměsí v místě W odpovídajícím přiloženému napětí U. Navíc můžeme

73 6 PŘECHOD PN 71 (6.52) upravit na tvar Úpravou (6.51) dostaneme Za předpokladu N(W ) const dϕ B získáme přibližný výraz dq q N(W ) dw = (6.53) ε 0 ε r ε 0 ε r d 1 C 2 = 2 q ε 0 ε r N B (du R + dϕ B ) (6.54) du = Pak pro změnu koncentrace dostáváme 0, můžeme (6.54) zjednodušit a pro změnu napětí ( ) 1 q N(W ) ε 0 ε r d C 2 2 (6.55) N(W ) = 2 ( ) 1 q ε 0 ε r d du C 2 (6.56) Měřením závislosti kapacity na napětí lze určovat rozložení příměsí v přechodu pn. Literatura [1] S.M. Sze: Physics of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [2] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [3] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [4] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 1989

74 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN Ideální V-A charakteristiky jsou založeny na následujících předpokladech: 1. Strmé rozhraní mezi OPN a neutrální oblastí, na tomto rozhraní je dipolová vrstva tloušt ky l e. 2. Přiložené napětí je pouze na OPN. 3. Boltzmannova statistika nosičů. 4. Nízká úroveň injekce nosičů, minoritní nosiče majoritní. 7.1 ZÁVĚRNÝ SMĚR V rovnováze vznikají tepelnou generací páry elektron-díra v celém objemu polovodiče. Bez přítomnosti napětí rekombinují, proud polovodičem neteče. Je-li připojeno k přechodu pn napětí v závěrném směru, oddělí oblasti prostorového náboje elektrony od děr, takže nemohou zrekombinovat. Proud tekoucí přechodem má dvě složky. Elektrony a díry generované v oblasti prostorového náboje tvoří generační proud, elektrony a díry generované v neutrálních oblastech polovodiče dosahují hranice oblasti prostorového náboje difúzí tvoří difúzní proud GENERAČNÍ PROUD Je-li na přechodu napětí U R, je koncentrace nosičů v oblasti prostorového náboje mnohem menší než odpovídá rovnováze, protože nosiče jsou z této oblasti odsávány elektrickým polem. Pravděpodobnost rekombinace je velmi malá, uplatňuje se pouze emise nosičů. Výslednou rychlost rekombinace U = R G t jsme definovali jako rozdíl rychlosti rekombinace a tepelné generace G t. Je-li v oblasti prostorového náboje R malá, platí G t = U. Použijeme-li pro U

75 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 73 odvozený vztah (4.47) a předpoklad p, n n i, pak G t = σ n exp ( Et E i σ p σ n v t N t n ) i + σ p exp ( ) = n i (7.1) Ei E t 2 τ 0 kde τ 0 definujeme jako efektivní dobu života nosičů v závěrně polarizované oblasti prostorového náboje ( ) ( ) Et E i Ei E t σ n exp + σ p exp τ 0 = (7.2) 2 σ p σ n v t N t Pro objasnění významu τ 0 položme σ p = σ n = σ. Pak G t = σ v t N t n ( i ) (7.3) Ei E t 2 cosh Poněvadž generační rychlost klesá exponenciálně se vzdáleností hladiny generačních center E t od E i, mají význam hlavně centra s E t = E i. Pak τ 0 = 1 σ v t N t = τ což je v souladu s dříve odvozeným vztahem (4.46). Generované náboje tvoří generační proud J gen = q G t W A j = 1 2 q n i τ 0 W (7.4) Navíc jsou-li generační centra blízko E i, je τ 0 prakticky nezávislá na teplotě a J gen n i DIFÚZNÍ PROUD Náboje generované mimo oblast prostorového náboje mohou přispívat k proudu tekoucímu přechodem pouze tehdy, jestliže difúzí dosáhnou okrajů oblasti prostorového náboje, kde je přítomné elektrické pole urychlí tak, že projdou přechodem pn. Pro elektrony v oblasti p platí rovnice difúze D n d 2 n p dx 2 + G L n p n p0 τ 0 = 0 (7.5) Kromě rekombinace zahrnuje rovnice (7.5) i generaci vnějším vlivem G L např. v osvětleném přechodu. Zvolíme-li počátek souřadnic x = 0 na okraji oblasti prostorového náboje v materiálu

76 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 74 typu p, kde jsou elektrony odčerpávány elektrickým polem, musí být splněny tyto okrajové podmínky n p (0) = 0 n p ( ) = n p0 + τ n G L Pak řešením diferenciální rovnice (7.5) je n p (x) = (n p0 + τ n G L ) ( )) 1 exp ( xln (7.6) kde L n = D n τ n je difúzní délka elektronů. Pro difúzní proud elektronů tedy platí a podobně pro díry ( ) J dif,n = q dn p n p0 + τ n G L D n = q D n (7.7) dx x=0 L n Bez vnějšího zdroje generace dostáváme J dif,p = q D p p n0 + τ p G L L p (7.8) n p0 n 2 i J dif,n = q D n = q D n = q n p0 L n (7.9) L n N A L n τ n J dif,p = q D p p n0 L p = q D p n 2 i N D L p = q p n0 τ p L p (7.10) Odvozené vztahy platí pouze pro U R tzv. nasycený difúzní proud. Teplotní závislost difúzních složek proudu je dána úměrností Pro poměr difúzního a generačního proudu platí při τ n = τ 0 = τ J dif n 2 i (7.11) J dif,n J gen = n p0 L n 1 2 n i τ L n = 2 n i τ W N A W (7.12) Poměr je úměrný intrinsické koncentraci n i. S rostoucí teplotou roste význam difúzního proudu. Celkový proud tekoucí závěrně polarizovaným přechodem pn je dán součtem vypočtených složek (7.4), (7.9) a (7.10).

77 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN PROPUSTNÝ SMĚR Je-li k oblasti typu n připojeno záporné napětí, celkový elektrostatický potenciál na přechodu se proti stavu bez vnějšího napětí zmenší. Rovnováha mezi difúzním proudem a proudem způsobeným elektrickým polem, která se na přechodu bez napětí ustavila, se poruší. Menší potenciálový rozdíl vede k poklesu driftového proudu, celkový proud přechodem již nebude nulový. Při zapojení v propustném směru jsou do oblasti n polovodiče injektovány kontaktem elektrony a do oblasti p díry. V oblastech p i n je součin p n > n 2 i. Elektrony přecházejí do oblasti s přebytkem děr (díry naopak), kde rekombinují. V tomto smyslu je proud v propustném směru rekombinační. Při odvozování vztahů pro přechod pn v propustném směru rozlišíme příspěvky od obou neutrálních oblastí typu p i n a příspěvek oblasti prostorového náboje. Celkový proud v propustném směru je dán tokem elektronů kontaktem k oblasti n. Tedy I F /q = počet elektronů rekombinujících s dírami v neutrální n oblasti (za jednotku času) + počet elektronů rekombinujících s dírami v oblasti prostorového náboje + počet elektronů rekombinujících s dírami v neutrální p oblasti DIFÚZNÍ PROUD Všimneme si nejprve rekombinace v neutrálních oblastech, která určuje difúzní složku proudu v propustném směru. Určíme tok elektronů přechodem do neutrální p oblasti. Pro rozložení elektronů v p oblasti platí D n d 2 n p dx 2 n p n p0 τ 0 = 0 (7.13) Při řešení musí být splněna okrajová podmínka n p ( ) = n p0. Počátek souřadnic necht splývá s okrajem oblasti prostorového náboje v p materiálu, koncentrace elektronů v bodě x = 0 má zatím neurčenou hodnotu n p (0). Řešení je stejné jako v dřívějších odstavcích ) n p (x) = n p0 + [n p (0) n p0 ] exp ( xln (7.14) takže pro tok elektronů vstupujících do p oblasti platí φ n = D n dn p dx n p (0) n p0 = D n (7.15) x=0 L n Podobně v neutrální n oblasti pro každý rekombinující elektron musí do oblasti n přitéci díra.

78 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 76 Celkový tok děr do oblasti n φ p = D p p n (0) p n0 L p (7.16) kde p n (0) je v tomto případě koncentrace děr na hranici oblasti prostorového náboje v n materiálu. Pro úplný výpočet uvedených příspěvků je třeba určit n p (0) a p n (0). Pro jednoduchost předpokládejme, že dojde k ustavení kvazi-rovnováhy, tj. součin p n v oblasti prostorového náboje je konstanta > n 2 i. Této kvazirovnováze odpovídají Fermiho kvazihladiny F n, F p. Fermiho kvazi-energie je veličina, jejíž substitucí za Fermiho energii dostaneme koncentraci nosičů odpovídající kvazirovnováze (podrobněji kap. 4.1). Obr. 7.1 Pásová struktura s modelem Fermiho kvazihladin. Poněvadž pro tok nosičů platí vztahy (5.10), (5.11) a s uvážením (5.20) máme φ n = 1 q µ n n df n dx φ p = 1 q µ p p df p dx (7.17) Porovnáme-li tyto vztahy s výrazy pro driftový tok v elektrickém poli ε φ n = 1 q µ n n ε φ p = 1 q µ p p ε kde ε = de i dx (7.18) je vidět, že v neutrálních oblastech se zavedené Fermiho kvazihladiny chovají stejně jako Fermiho hladina v rovnováze, tj. sledují pásový model. V obrázcích znázorňujících pásový model se změny df n dx, df p nevyznačují, protože jsou malé proti změnám v oblasti prostorového náboje. dx Pro výpočet hodnot n p (0) a p n (0) předpokládejme, že Fermiho kvazihladiny mají konstantní průběh až k hranicím oblasti prostorového náboje v polovodiči opačného typu vodivosti (obr. 7.1), takže

79 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 77 lze psát ( ) ( ) ( ) Fn E i Fp E i + q U F q UF n p (0) = n i exp = n i exp = n p0 exp (7.19) ( ) ( ) ( ) Ei F p Ei F n + q U F q UF p n (0) = n i exp = n i exp = p n0 exp (7.20) To znamená, že koncentrace minoritních nosičů na hranici oblasti prostorového náboje je proti rovnováze exp (q U F / ) krát větší. Srovnání pásových modelů pro přechod pn v propustném a závěrném a směru je na obr Pro propustný směr jsou zakresleny také koncentrace nosičů. Pro polovodič v rovnováze s využitím (2.17) platí n p0 = n 2 i /N A, p n0 = n 2 i /N D. Po dosazení do (7.15) a (7.16) dostaneme pro difúzní složky proudu v propustném směru (rekombinace v neutrálních oblastech) n p (0) n p0 n 2 ( i J dif,n = q φ n = q D n = q D n exp L n N A L n ( q UF ) ) 1 (7.21) J dif,p = q D p n 2 ( i exp N D L p ( q UF ) ) 1 (7.22) Srovnáme-li tyto vztahy s rovnicemi (7.9) a (7.10) ( pro) difúzní proud v závěrném směru, vidíme, q UF že proud v propustném směru je přibližně exp krát větší REKOMBINAČNÍ PROUD Složka proudu v propustném směru způsobená rekombinací v oblasti prostorového náboje je dána rychlostí zániku volných elektronů v této oblasti J rec = q W 0 U dx (7.23) Výpočet integrálu je velmi komplikovaný, protože v reálném přechodu pn se koncentrace elektronů a děr mění významně s x. Pro zjednodušené odvození budeme předpokládat E t = E i, σ p = σ n = σ. Pak podle (4.47) pro rekombinační rychlost U platí U = σ v t N t p n n 2 i n + p + 2 n i (7.24)

80 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 78 Obr. 7.2 Srovnání přechodu pn v propustném a závěrném směru.

81 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 79 Zachováme-li předpoklad, že v oblasti prostorového náboje je součin p n = konst, pak ( ) q p n = n 2 UF i exp (7.25) a pro rychlost rekombinace platí U = σ v t N t n 2 i [ ( ) ] q UF exp 1 (7.26) n + p + 2 n i Pro dané napětí v propustném směru má U svou maximální hodnotu v ( tom místě, kde součet p + n nabývá minima, tj. d(p + n) = 0 při n p = konst to vede k podmínce d p + konst ) = 0 p = n. p Tato podmínka je splněna tam, kde intrinsická Fermiho hladina E i půlí vzdálenost mezi F n a F p. V tomto bodě platí Dosazením do (7.26) pak dostáváme a pro U F n = p = n i exp ( ) q UF 2 [ ( ) q n 2 UF i exp U max = σ v t N t ( q UF 2 n i [exp 2 U max = 1 2 σ v t N t n i exp ] 1 ) + 1 ( ) q UF = 1 ( ) n i q UF exp 2 2 τ 0 2 (7.27) ] (7.28) (7.29) ( ) q UF Srovnáním s rovnicí (7.1) vidíme, že U max je exp krát větší než generační rychlost v oblasti 2 prostorového náboje při polarizaci přechodu v závěrném směru. Pro velikost rekombinačního proudu tedy platí J rec 1 = 2 q n ( ) i q UF W exp τ 0 2 Uvedený vztah byl odvozen za předpokladu U = U max přes OPN. (7.30) Podíl difúzního a rekombinačního proudu tedy je J dif,n J rec = 2 n ( ) i L n q N A W exp UF 2 (7.31)

82 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 80 Jako v případě závěrného směru tento poměr závisí na teplotě a šířce zakázaného pásu stejně jako n i. Obr. 7.3 Voltampérová charakteristika přechodu pn v propustném směru pro různou teplotu měření a polovodičové materiály s různou šířkou mezery v pásovém modelu [2]. Přechod z oblasti rekombinačního do oblasti difúzního proudu závisí na teplotě a materiálu. Přední charakteristiku je možné obecně popsat ve tvaru I F exp ( ) q UF m (7.32) kde empirický faktor m = 1 pro čistě difúzní proud a m = 2 pro čistě rekombinační proud. Jestliže se uplatňují oba mechanismy, pak se m mění od 1 do 2. Celkový proud tekoucí propustně polarizovaným přechodem pn je dán součtem vypočtených složek (7.21), (7.22) a (7.30) VLIV VYSOKÉ INJEKCE V případě, že koncentrace injekovaných nosičů dosahuje koncentrace většinových nosičů není již proud v neutrální oblasti čistě difúzní, ale uplatňuje se i driftová složka. Tzn., že elektrické pole již

83 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 81 není omezeno jen na oblast prostorového náboje. Pro proudové hustoty toku elektronů a děr platí J n = n µ n df n dx (7.33) J p = p µ p df p dx (7.34) kde celkově účinné elektrické pole je definováno gradientem F n a F p. Rozdíl těchto hladin je všude menší nebo nejvýše stejný jako přiložené napětí p n n 2 i exp ( ) q U (7.35) Při vysoké injekci je úbytek napětí na přechodu zanedbatelně malý ve srovnání s úbytkem na méně legované části. Koncentrace elektronů a děr jsou na méně legované části přibližně stejné n = p, proto Proud je pak úměrný exp (q U/2 ) p n (x) x=xn ( ) q U = n i exp 2 (7.36) Obr. 7.4 Voltampérová charakteristika reálného přechodu pn.

84 7 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN 82 Literatura [1] S.M. Sze: Physics of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [2] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [3] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [4] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 1989

85 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 8.1 ZENERŮV PRŮRAZ (TUNELOVÁNÍ NOSIČŮ) Zenerův jev byl analyzován v kap a pravděpodobnost průchodu přes trojúhelníkovou energetickou bariéru je daná (3.26). Proudová hustota nosičů při tunelování je J t = 2 m q 3 V E 4 π 2 h 2 E 1/2 g exp ( 4 2 m Eg 3/2 3 q h E Jestliže intenzita elektrického pole E dosáhne u Si 10 6 V/cm, lze pozorovat tunelový proud přestupem elektronů přes zakázaný pás. Takové pole je možné realizovat bez nárazové ionizace pouze u přechodů s vysokou koncentrací příměsí na obou stranách. Protože E g se s rostoucí teplotou zmenšuje, má průrazné napětí tunelovým jevem záporný teplotní součinitel, tj. průrazné napětí se zmenšuje s rostoucí teplotou. U lavinového průrazu je teplotní závislost obrácená, tj. průrazné napětí je vyšší při vyšší teplotě. To je způsobeno poklesem pohyblivosti nosičů s rostoucí teplotou při rozptylu na akustických kmitech mřížky. ) (8.1) 8.2 LAVINOVÝ PRŮRAZ Předpokládejme, že tepelnou generací vznikne pár elektron-díra (elektron ve vodivostním, díra ve valenčním pásu). Je-li elektrické pole v přechodu dostatečně velké, udělí volným nosičům tak velkou kinetickou energii, že při srážce s neutrálními atomy mřížky vyvolá každý z nich vznik další dvojice elektron-díra. Tomuto procesu se říká lavinové násobení. Obr. 8.1 ukazuje kritické hodnoty intenzity elektrického pole E krit v křemíku. Je vidět, že Zenerův průraz nastává pouze v materiálu s vysokou koncentrací příměsí. Při nižší koncentraci nastane dříve lavinový průraz. Je třeba poznamenat, že k násobení nosičů ionizací dochází i při menších napětích. Označíme-li proud tekoucí přechodem v závěrném směru bez násobení I R0, pak platí I R = M I R0 (8.2)

86 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 84 Obr.8.1 Kritická hodnota elektrického pole pro lavinový Zenerův průraz. kde M je multiplikační faktor. Lavinový průraz vzniká při M. Platí empirická formule M = 1 1 ( UR U BV ) n (8.3) kde U BV je napětí průrazu přechodu pn a 3 < n < 6 podle druhu polovodiče. Vyjdeme-li z předpokladu, že průraz nastává tehdy, když maximální elektrické pole v oblasti prostorového náboje E max dosáhne hodnoty E krit, pak pro strmý nesymetrický přechod pn s využitím (6.25), (6.34), (6.36) a za předpokladu U R ϕ B platí E max = 2 U R + ϕ B W = 2 U R 2 ε0 ε r U R = E krit (8.4) q N B kde N B je koncentrace příměsí. Pro E max = E krit je U R = U BV, takže U BV = ε 0 ε r E krit 2 q N B (8.5) Pro konstantní E krit je průrazné napětí nepřímo úměrné koncentraci příměsí v základním materiálu N B. Podobně pro lineární přechod lze odvodit s využitím vztahů (6.36), (6.39), (6.40) pro případ, kdy

87 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 85 platí U R ϕ B výraz pro kritickou hodnotu elektrického pole E max = 1.5 U R + ϕ B W U R = 1.5 ( ) 12 ε0 ε r U 1/3 = E krit (8.6) R q a a pro průrazné napětí přechodu pn U BV = 32 ε 0 ε r E krit 3 V tomto případě má velký význam koncentrační gradient a = dn dx. Je vidět, že čím je změna x=xj koncentrace menší, tzn. přechod je pozvolnější, tím je jeho průrazné napětí vyšší. 9 q a (8.7) 8.3 DRUHÝ PRŮRAZ První fáze druhého průrazu přechodu pn se projevuje nestabilitou proudu, pak následuje druhá fáze projevující se prudkým poklesem napětí na přechodu pn, potom začíná třetí fáze, kdy se při nízkém napětí zvyšuje protékající proud a ve čtvrté fázi nastává destrukce přechodu. Počáteční nestabilita proudu je vyvolaná hlavně teplotou, která způsobí, že v určitém místě přechodu pn, kde není zajištěn dostatečný odvod tepla, stoupne teplota na teplotu T TR, při které nastane druhý průraz. Bylo zjištěno, že T TR u křemíkových součástek je teplota, při níž je intrinsická koncentrace rovna koncentraci příměsí v méně legované oblasti. Po dosažení proudové nestability se napětí kolektoru prudce snižuje následkem velkého odporu v místě se špatným odvodem tepla. Ve třetí fázi druhého průrazu se polovodič zahřeje na vysokou teplotu a dosáhne v okolí místa průrazu vlastní vodivosti. Protože se proud dále zvyšuje, místo průrazu se roztaví a přechod pn je trvale zničen. Pro proudovou hustotu platí ( J exp E ) g (8.8) Vidíme, že závěrný proud se zvětšuje exponenciálně s teplotou. 8.4 OMEZENÍ PRO REÁLNÉ PŘECHODY PN PLANÁRNÍ PŘECHOD Zatím jsme předpokládali, že přechod pn je dokonalá geometrická rovina (plane junction). Skutečný planární přechod (planar junction) má tvar znázorněný na obr Rozložení elektrického pole a potenciálu je v takovém přechodu jiné než v přechodu rovinném. Průrazné napětí je vždy menší v důsledku zvýšení intenzity elektrického pole v zakřivení.

88 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 86 Obr. 8.2 Druhý (tepelný) průraz přechodu pn. Obr. 8.3 Rovinný a planární přechod pn [1].

89 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 87 Elektrickou intenzitu na hraně difúzní oblasti je možné snížit zdánlivým zvětšením poloměru křivosti difúzní oblasti, a to bud kovovým hradlem (field plate) obr. 8.4 anebo pomocí vhodně navržených prstenců (guard rings) obr Obr. 8.4 Zvětšení poloměru křivosti difúzní oblasti kovovým hradlem [1]. Obr.8.5 Zvětšení poloměru křivosti difúzní oblasti pomocí p + prstenců [1] EPITAXNÍ DIODA U struktur s epitaxní vrstvou (vysoce vodivý materiál u kontaktu) může nastat objemový průraz, jestliže se oblast prostorového náboje rozšíří v epitaxní vrstvě vlivem napětí až do substrátu s vysokou koncentrací (podmínka reach-through). Výpočty vedou v tomto případě ke vztahu U BV = E krit W epi q N A W epi 2 2 ε 0 ε r (8.9)

90 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 88 Obr.8.6 Rozšíření OPN přes epitaxní vrstvu do p + substrátu (podmínka reach-through) MĚKKÉ PRŮRAZY Konečně dalším nepříznivým vlivem, se kterým se při vývoji a výrobě polovodičů setkáváme, jsou tzv. měkké průrazy. Jejich příčinou mohou být povrchové svody nebo poruchy v polovodičovém materiálu (precipitáty kovů, kyslíku,...). Zlepšení lze při znečištění materiálu dosáhnout getrací nečistot a vhodnými úpravami povrchu polovodiče. Obr. 8.7 Měkké průrazy.

91 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN PŘECHODNÉ DĚJE Dosavadní úvahy se týkaly pouze stejnosměrných charakteristik přechodů pn. Pracují-li diody jako spínací prvky, přecházejí přepnutím z propustného do závěrného směru. V tomto případě je důležitý čas t vyp, za který dioda přejde z úplně otevřeného do úplně zavřeného stavu. Je-li přechod pn polarizován v propustném směru, je do základního materiálu injektováno velké množství minoritních nosičů. Jejich koncentrace je jak jsme viděli mnohem vyšší než v polovodiči v rovnováze. Při změně polarity trvá určitou dobu, než jsou tyto nosiče působícím polem odčerpány. Po tuto dobu teče přechodem větší závěrný proud. Celou situaci znázorňuje obr Obr. 8.8 Přepnutí diody z propustného do závěrného směru. Předpokládejme, že při polarizaci přechodu pn v propustném směru můžeme rozložení nosičů v základním materiálu aproximovat trojúhelníkem o základně x. Pro diody s úzkou bází je x vzdálenost přechodu od kontaktu, pro široké báze x = L p. Je-li průměrný proud přechodem během vypínací doby I Rp, platí t vyp = Q p n A j I Rp (8.10) kde Q pn je náboj tvořený minoritními nosiči v základním materiálu. Podle obr. 8.8 máme Pro diody s širokou bází (x = L p ) potom platí Q pn = 1 2 q p n(0) x = x I F L p 2 D p A j (8.11) t vyp = I F I Rp L 2 p 2 D p = 1 2 I F I Rp τ p (8.12)

92 8 PRŮRAZNÉ MECHANISMY PŘECHODU PN 90 a pro úzkou bázi můžeme nahradit W B L p t vyp = 1 2 I F I Rp W 2 B D p (8.13) Z těchto zjednodušených vztahů je vidět, že vypínací doba t vyp je závislá na poměru proudu v propustném a závěrném směru (vliv vnějšího obvodu) a na charakteristických konstantách diody τ p nebo W 2 B D p. Literatura [1] D. Schroder: Semiconductor Device Physics, ASU, Fall 2000 [2] A.S. Grove: Physics and Technology of Semiconductor Devices, John Wiley, N.Y [3] H. Frank, V. Šnejdár: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha 1976 [4] J. Mikušek: Polovodiče a polovodičové součástky ve Fyzika, technologie a konstrukce polovodičových součástek, Aktuality č. 27, Rožnov p. R. 1989

93 9 FOTOVOLTAICKÝ ČLÁNEK Fotovoltaický článek přeměňuje dopadající sluneční záření na elektrickou energii. Tato přeměna je přímá, bez tvorby meziproduktů. Elektromagnetické záření, které vysílá Slunce, se příliš neliší od záření černého tělesa při teplotě 6000 K. Celkový zářivý tok na jednotku plochy ve střední vzdálenosti Země Slunce mimo zemskou atmosféru udává solární konstanta, která má hodnotu kw/m 2. Toto záření, označované jako AM 0, se při průchodu zemskou atmosférou zeslabuje a mění se i jeho spektrální složení. Je-li Slunce v zenitu, procházejí jeho paprsky minimální tlouštkou zemské atmosféry a odpovídající záření se označuje AM 1. Jestliže sluneční paprsek svírá se zenitem úhel ϑ, je poměr mezi skutečnou a minimální dráhou roven x = 1/ cos ϑ a příslušné záření se označuje jako AM x. Nejpoužívanějším definovaným zářivým tokem pro testování slunečních článků je standard AM 1.5 s plošnou hustotou výkonu 1 kw/m 2. Odpovídající plošná hustota spektrálního zářivého toku je znázorněna na obr Obr. 9.1 Závislost plošné hustoty spektrálního zářivého toku Slunce na vlnové délce (podle [5]). Absorpční pásy ve spektru AM 1.5 jsou způsobeny hlavně absorpcí vodními parami, oxidem uhličitým a kyslíkem. Průchodem atmosférou se celkově zeslabuje sluneční záření asi o 30 %.