Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

Transkript

1 4 Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce Předpoklady: 40 Př : Najdi všechny úhly x 0;π ), pro které platí sin x = Postřeh: Obrácená úloha než dosud Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických π funkcí, teď hledáme k hodnotám úhly stačí si pamatovat tabulku a víme, že sin = π Hledané číslo je x = Je to jediná možnost? sin x je y-ová hodnota souřadnice bodu na jednotkové kružnici, vyznačíme ji na y-ové ose - S - S - - Vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice je vodorovná přímka y = Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech existují dva úhly, pro které platí sin x = x - S x -

2 π Již víme, že x = (protože je malá tabulková hodnota funkce sinus, musí být x π 5 šestinová hodnota) Z obrázku je vidět, že platí x = π π 5 V intervalu 0;π ) existují dvě čísl, pro které platí sin x = : x = Př : Najdi všechny úhly x 0;π ) pro které platí cos x = cos x je x-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji n-ové ose - S - S - - Vyznačíme všechny body, jejichž x-ová souřadnice je svislá přímk = Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech existují dva úhly, pro které platí cos x = x x - S -

3 je střední tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x čtvrtinové 5 hodnoty Z obrázku je vidět, že platí x = π 4 4 V intervalu 0;π ) existují dvě čísl, pro které platí 5 cos x = : x = π 4 4 Př : Najdi všechny úhly, pro které platí sin x = Postřeh: Nehledáme hodnoty pouze v intervalu 0;π ), ale v celém Stejně jako v předchozích příkladech najdeme nejdříve hodnoty v intervalu 0;π ) a pak využijeme periodicitu funkce sin x a určíme všechny možné hodnoty x sin x je y-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji na y-ové ose - S - S - - Vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice je vodorovná přímku y = Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech existují dva úhly, pro které platí sin x =

4 - S x x - je velká tabulková hodnota funkce sinus, musí být x třetinové hodnoty 4 5 Z obrázku je vidět, že platí x = π 4 5 V intervalu 0;π ) existují dvě čísl, pro které platí sin x = : x = π Hledáme všechn, pro která platí sin x = Funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou π hodnoty funkce pro x jsou stejné jako hodnoty funkce pro x + k π, k Z Požadovanou vlastnost mají všechna čísla 4 π + k π a 5 π + k π, kde k Z ato 4 5 množina čísel se většinou zapisuje = π + k π; π + k π Př 4: Najdi všechny úhly x, pro které platí cos x = sin x < 0 Příklad vyřešíme nejdříve v intervalu 0;π ) a pak najdeme ostatní řešení z Jako první hledáme x splňující podmínku cos x = cos x je x-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji n-ové ose 4

5 - S - S - - Vyznačíme všechny body, jejichž x-ová souřadnice je svislá přímka x = Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech existují dva úhly, pro které platí cos x = - S x x - je velká tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x šestinové π hodnoty Z obrázku je vidět, že platí x = π V intervalu 0;π ) existují dvě čísl, pro které platí cos x = : x = eď splníme druhou podmínku sin x < 0 Dokreslíme do obrázku hodnoty funkce sin x pro oba úhly 5

6 - S x x - π Z obrázku je zřejmé, že platí sin x = sin > 0 a sin x = sin π < 0 Zadání příkladu cos x = sin x < 0 splňuje v intervalu 0;π ) pouze úhel x Obě funkce jsou periodické s nejmenší periodou π řešením příkladu jsou všechn z množiny: = π + k π Všechny předchozí příklady je možné řešit nejen pomocí jednotkové kružnice, ale i pomocí grafů funkcí y = sin x a y = cos x Př 5: Najdi všechny úhly x, pro které platí y = sin x sin x = Při řešení využij graf funkce V obrázku s grafem funkce (hodnota funkce y = sin x ) je y = sin x vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice přímka y = x x -

7 Vyznačená přímka se v intervalu 0;π ) protíná s grafem ve dvou bodech existují dva úhly z intervalu 0;π ), pro které platí sin x = je střední tabulková hodnota funkce sinus, musí být x čtvrtinové 5 7 hodnoty Z obrázku je vidět, že platí x = π 4 4 Funkce sinus je periodická s nejmenší periodou π hledaná čísla tvoří množinu 5 7 = π + k π; π + k π 4 4 Př : Najdi všechny úhly x, pro které platí grafy funkcí sinus a cosinus cos x = sin x < 0 Při řešení využij V obrázku s grafy funkcí y = cos x vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice (hodnota funkce y = cos x ) je přímka y = x x - Vyznačená přímka se v intervalu 0;π ) protíná s grafem ve dvou bodech existují dva úhly z intervalu 0;π ), pro které platí funkce cos x =, pouze pro druhou hodnotu x je hodnota y = sin x záporná je malá tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x třetinové hodnoty 4 Z obrázku je vidět, že platí x = π (hodnot = π nás nezájímá) Funkce conus je periodická s nejmenší periodou π hledaná čísla tvoří množinu 5 = π + k π 7

8 Př 7: Najdi všechny úhly x, pro které platí cos x = 0 sin x > 0 x x - Z obrázku s grafy funkcí y = sin x a y = cos x je vidět, že jediným úhlem v intervalu 0;π ) π pro který platí podmínky ze zadání je úhel hledaná čísla tvoří množinu π = + k π Př 8: Najdi všechny úhly x, pro které platí cos x = 0, Při řešení využij jednotkovou kružnici Nalezené hodnoty vyjádři ve stupních s přesností na minuty Hodnota 0, nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce cos x Použijeme tlačítko cos cos 0, = 7 Zakreslíme situaci do jednotkové kružnice kalkulačce Platí: ( ) na - S x x - Z obrázku vidíme, že platí: x = 7, x = 0 x = 0 7 = 87 7 = 7 + k 0 ; k 0 Hledaná čísla tvoří množinu { } 8

9 Př 9: Najdi všechny úhly x, pro které platí sin x = 0, Při řešení využij graf funkce y = sin x Nalezené hodnoty vyjádři ve stupních s přesností na minuty Hodnota -0, nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce sin x Použijeme tlačítko sin na sin 0, = (tento úhel není základní velikostí) Zakreslíme kalkulačce Platí: ( ) situaci do grafu x x x - Z obrázku vidíme, že platí: x = 80 x = 80 ( ) = 9, x = 0 + x = 0 + ( ) = 48 8 Hledaná čísla tvoří množinu = { 9 + k 0 ; k 0 } Př 0: Petáková: strana 4/cvičení 0 b) c) strana 4/cvičení c) strana 4/cvičení b) strana 4/cvičení c) strana 4/cvičení 4 c) Shrnutí: 9