0.1 Úvod do matematické analýzy

Transkript

1 Matematika I (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P ) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n) Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu. Na obrázku popisujeme vztah dvou veličin. Vyjadřujeme, jak hodnoty jedné veličiny (teploty T) závisejí na hodnotách další veličiny (času). Obecně, tento popis vzájemného vztahu probíhá tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv. nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné). Definice Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f) R.

2 2 Matematika I (KMI/PMATE) V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f :x y f :x 2x + 3 y = f(x) y = 2x + 3 f(x) = 2x + 3 f(5) = = 13 Některé často používané funkce mají speciální označení (např. log, sin, cos apod.) Definice Definiční obor funkce Množina čísel, kterou jsme v definici funkce označili D(f), se nazývá definiční obor funkce. Symbol x, označující libovolné číslo z množiny D(f), se nazývá nezávisle proměnná nebo argument funkce. Definice Obor hodnot funkce Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; píšeme y = f(x). Množinu H(f) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f. Definice Graf funkce Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, f(x)], kde x je libovolné číslo z definičního oboru funkce f a f(x) je příslušná funkční hodnota. Obrázek 1: Graf funkce K jednoznačnému určení funkce je třeba zadat: 1. definiční obor funkce, 2. funkční předpis, tj. způsob přiřazení funkčních hodnot k argumentům. Je zvykem, že není-li u funkčního předpisu zároveň uveden definiční obor funkce f, rozumí se jím množina všech čísel x, pro něž existují funkční hodnoty f(x). Funkční předpis nejčastěji mívá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z něhož je patrné, které matematické operace je třeba provést s argumentem x, abychom dostali příslušnou funkční hodnotu. V tom případě se říká, že funkce je zadána analyticky.

3 Matematika I (KMI/PMATE) 3 Někdy je funkční předpis dán několika vzorci, např: 1 + x pro x (0, + ) f(x) = 0 pro x = 0 1 x pro x (, 0). V některých případech může být funkce zadána přímo výčtem funkčních hodnot pro všechny hodnoty argumentu x, např. tzv. Dirichletova funkce je definována následovně: { 1 pro x racionální, f(x) = 0 pro x iracionální. Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakreslením jejího grafu. Základní elementární funkce již známé ze střední školy: Konstantní funkce: y = c, c R, D(f) = R. Lineární funkce: y = kx + q, k, q R, k 0, D(f) = R. Mocninná funkce: y = x n, n N, D(f) = R. n R, n 0, D(f) = R +. Funkce sinus: y = sin x. D(f) = R. Funkce kosinus: y = cos x. D(f) = R. Funkce tangens: y = tg x, D(f) = R\{ kπ+π 2 } k Z. Funkce kotangens: y = cotg x, D(f) = R\{kπ} k Z. Exponenciální funkce: y = a x, a > 0, D(f) = R. Logaritmická funkce: y = log a x, a > 0, a 1, D(f) = R +. Elementárními funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a operací skládání funkcí. Příklady elementárních funkcí: f(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 ( ) sin x g(x) = ln 1+x 2 Příklady neelementárních funkcí: h(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 1 pro x > 0, sgn x = 0 pro x = 0, 1 pro x < Vlastnosti funkce Definice Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x D(f) je f( x) = f(x). Funkce f(x) = x 2 je sudá, nebot x D(f) je f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). Příklady sudých funkcí: f(x) = x n, kde n je sudé číslo, f(x) = cos x. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

4 4 Matematika I (KMI/PMATE) Definice Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x D(f) je f( x) = f(x). Funkce f(x) = x 3 je lichá, nebot x D(f) je f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Příklady lichých funkcí: f(x) = x n, kde n je liché číslo, f(x) = sin x. Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadných os. (a) Graf sudé funkce - všimněte si osové souměrnosti grafu! (b) Graf liché funkce - všimněte si středové souměrnosti! Obrázek 2: Modře jsou vyznačeny grafy sudé a liché funkce s vyznačením souměrností Definice Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 0, že pro všechna x z jejího definičního oboru je f(x + p) = f(x). Číslo p nazýváme periodou funkce f, nejmenší kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základní periodou funkce f. Funkce f(x) = sin x je periodická, nebot jestliže zvolíme p rovno např. hodnotě 2π, tak: x R : f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f(x). Obrázek 3: Graf periodické funkce Definice Rostoucí funkce Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J D(f), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f(x i ) < f(x j ). Funkce y = x 2 je rostoucí v intervalu (0, ), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j je x 2 i < x2 j (např. [3 < 5] [32 < 5 2 ]).

5 Matematika I (KMI/PMATE) 5 Definice Klesající funkce Funkce f se nazývá klesající v intervalu J D(f), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f(x i ) > f(x j ). Funkce y = x 2 je klesající v intervalu (, 0), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j platí x 2 i > x2 j (např. [( 5) < ( 3)] [( 5)2 > ( 3) 2 ]). (a) Graf rostoucí funkce - všimněte si, jak se s rostoucí hodnotou x zvětšuje i hodnota f(x)! (b) Graf klesající funkce - všimněte si, jak se s rostoucí hodnotou x zmenšuje hodnota f(x)! Obrázek 4: Grafy monotónních funkcí Definice Omezená funkce Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J D(f), jestliže existuje takové číslo C, že pro všechna x J platí f(x) C. Funkce y = f(x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot pro všechny zobrazené funkční hodnoty je C < f(x) < C, tedy f(x) < C. Obrázek 5: Graf ohraničené funkce - všimněte si, že pro všechna zobrazená x platí nerovnosti C < f(x) < C Definice Globální minimum Globálním minimem funkce f v intervalu J D(f) nazýváme takovou funkční hodnotu f(x n ), že pro všechna x J platí f(x) f(x n ). Funkce y = f(x) má (nabývá) v bodě x n globální minimum f(x n ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f(x n ) f(x).

6 6 Matematika I (KMI/PMATE) Definice Globální maximum Globálním maximem funkce f v intervalu J D(f) nazýváme takovou funkční hodnotu f(x m ), že pro všechna x J platí f(x) f(x m ). Funkce y = f(x) má (nabývá) v bodě x m globální maximum f(x m ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f(x) f(x m ). (a) Graf funkce, která v bodě x n nabývá své globální minimum (b) Graf funkce, která v bodě x m nabývá své globální maximum Obrázek 6: Globální extrémy funkce Definice Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva různé body z definičního oboru jsou různé i jejich funkční hodnoty. Obrázek 7: Vlevo je graf funkce, která není prostá; vpravo se nachází graf prosté funkce Definice Inverzní funkce Necht funkce y = f(x) je prostá. Potom inverzní funkcí k funkci f (značíme f 1 ) rozumíme funkci, která každému y z oboru hodnot funkce f přiřazuje takové číslo f 1 (y) = x z definičního oboru funkce f, pro které platí f(x) = y.

7 Matematika I (KMI/PMATE) 7 Definice Složená funkce Mějme funkce f a g. Je-li definiční obor funkce f roven oboru hodnot funkce g (tj. D(f) = H(g) ), pak funkci F (x) = f(g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní funkce, funkce f se nazývá vnější funkce. Necht f(x) = sin x, g(x) = x 3. Je vidět, že D(f) = H(g) = (, ). Potom F (x) = f(g(x)) = sin x Operace s funkcemi Rovnost funkcí Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže mají týž definiční obor [D(f) = D(g)] a pro všechna x z této množiny platí f(x) = g(x). Součet funkcí Součtem funkcí f, g s týmž definičním oborem nazýváme takovou funkci h (píšeme h(x) = (f +g)(x)), která přiřadí ke každému číslu x D(f) = D(g) funkční hodnotu h(x) = f(x) + g(x). Zbývající početní operace s funkcemi Obdobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí f, g s týmž definičním oborem, přičemž podíl je definován pouze tehdy, je-li g(x) 0 pro každé x z definičního oboru.