1 Úvod - jazyk matematiky Co je to matematika Co je algebra Jazyk matematiky... 6

Transkript

1 Obsah 1 Úvod - jazyk matematiky 2 11 Co je to matematika 2 12 Co je algebra 3 13 Jazyk matematiky 6 2 Polynomy Co to je polynom? Operace s polynomy Hornerovo schema Kořeny polynomu Cvičení Výsledky 36 3 Matice Základní pojmy Operace s maticemi Elementární transformační matice Cvičení Výsledky 58 4 Determinanty Permutace Determinant matice Vlastnosti determinantů Výpočet determinantu Cvičení Výsledky 90 5 Inversní matice Definice a výpočet Základní vlastnosti Maticové rovnice 99 Rejstřík 104 Anna Kalousová: Úvod do algebry 1 1 října 2007

2 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky Velkou knihu přírody mohou číst jen ti, kteří rozumějí jazyku, jímž byla napsána A tímto jazykem je matematika (Galileo Galilei Na otázku: Co je to matematika? většina lidí asi odpoví, že matematika jsou vlastně počty Ti, kteří se budou chtít trochu blýsknout, možná řeknou, že se jedná o vědu o číslech Ale je to tak doopravdy? Zkusme se nejprve zamyslet nad tím, 11 Co je to matematika Na počátku určitě bylo počítání a tedy i čísla No, na úplném počátku byl smysl pro počet, tedy schopnost vyjádřit počet pomocí slov V primitivních společnostech byla tato slova jen pro jeden a dva Větší počty se označovaly slovem mnoho Pozůstatky toho nacházíme i v indoevropských jazycích, kde slovo tři má podobný základ jako slovo označující mnoho, přes, či za Dalším dokladem je existence zvláštního duálního čísla podstatných jmen I v hodinách českého jazyka jste se jistě setkali s pozůstatky duálu, který současná čeština používá už jen pro slova označující části těla vyskytující se po dvou (oči, uši, V těchto primitivních společnostech se ještě nepočítalo Počítání totiž předpokládá uvědomění si jakýchsi vztahů mezi jednotlivými počty Pak ale lidé objevili snadný způsob zaznamenávání větších počtů (pomocí prstů na rukou a případně i na nohou, tyčinek, kamínků, škeblí, a lidstvo začalo počítat První známý početní systém pochází ze Středního východu Organizované zemědělství potřebovalo nějak zaznamenávat stav zásob, sestavovat plán, uzavírat obchody, Používali k tomu asi jeden centimetr velké pečlivě tvarované hliněné předměty (válce, disky, kužely, Každý tvar zřejmě označoval něco jiného (zvíře, objemovou či délkovou míru,, později i vyráběné předměty Tyto předměty byly pro potřeby účetnictví ukládány do hliněných pouzder, která pak byla zapečetěna To nebylo moc praktické, protože když chtěl někdo prozkoumat obsah pouzdra, musel nejprve odstranit pečeť Sumerští účetní proto začali na pouzdra vyrývat symbolické značky označující počet kusů uvnitř Tím se samotný obsah pouzder stal zbytečným, protože všechny důležité informace už byly na vnější straně pouzdra Dost dlouho ale ještě trvalo, než si to uvědomili a než začali používat hliněné tabulky s vyrytými znaky To byl obrovský krok v dějinách matematiky Byl to vlastně přechod od fyzických předmětů k abstraktním symbolům K tomu, aby lidé mohli počítat, byl důležitý také zápis čísel Představte si třeba, že máte sečíst dvě čísla zapsaná římskými číslicemi A co teprve, kdybyste je měli vynásobit K počítání je vhodný poziční zápis čísla, tak jak ho běžně používáme Starověké civilizace používaly tento zápis v desítkové (Indové, Číňané, dvacítkové (Mayové, Kelti nebo dokonce v šedesátkové (Sumerové soustavě Ve starověku se počítání (aritmetika používalo k ryze praktickým účelům (výpočty plochy, úrody, rozměrů oltářů, pyramid, Používala se pouze kladná celá čísla a jejich zlomky V dochovaných textech jsou i snahy popsat postupy výpočtu, ale vždy jen pro konkrétní čísla I když je leckdy zřejmé, že tato čísla slouží jen jako příklady a dají se nahradit jakýmikoli jinými Je také zajímavé, s jakou přesností dokázali spočítat přibližné hodnoty některých iracionálních čísel Třeba v Indii spočítali hodnotu 2, která se od skutečné liší zhruba o dvě miliontiny Babyloňané se lišili dokonce o méně než jednu miliontinu (a to prosim v šedesátkové soustavě Anna Kalousová: Úvod do algebry 2 1 října 2007

3 12 Co je algebra 3 V Řecku stála v popředí geometrie, čísla měla význam určitých vzdáleností, objemů Řekové byli první, kdo přestali matematiku chápat jako jakousi kuchařku, jak něco změřit, spočítat,, a začali ji studovat Thalés zavedl myšlenku matematického důkazu, Aristoteles položil základy logiky, Eukleides formuloval základní postuláty geometrie V 17 století nezávisle na sobě Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz zavedli koncepci diferenciálního a integrálního počtu Tím se matematika stala také naukou o pohybu a změnách Ale právě diferenciální a integrální počet vedl matematiky k zamyšlení nad základy matematiky, vznikla teorie množin a spolu s ní se znovu začala rozvíjet matematická logika Ve 20 století došlo k ohromnému rozvoji matematiky, původní obory jako třeba aritmetika, geometrie, algebra, se rozdělily na různé podobory, vznikly také nové obory, třeba teorie výpočetní složitosti, Jak tedy odpovědět na otázku, kterou jsme si položili na úvod? V poslední době se matematika definuje jako věda o strukturách Zkoumá struktury numerické, struktury tvarů, pravděpodobnostní struktury, struktury reálné nebo vymyšlené, statické i dynamické Podle zkoumaných struktur pak vznikla různá odvětví matematiky Otázkou je, jak moc matematika souvisí s reálným světem Jistě jste i vy sami několikrát matematiku pro řešení nějakých praktických problémů (jako např kolik rohlíků můžu denně sníst, když mám na tři dny padesát korun nebo kolik zaplatím za nový koberec, když jsem starý zničil nebo jakou rychlostí by musel jet autobus městské dopravy, abych stihnul aspoň závěr cvičení, které končí za deset minut apod použili Ve škole jste různé děje ve světě popisovali pomocí matematických vzorců Snad v každé vědecké práci se nějaký ten matematický vztah objevuje Je to tedy tak, že svět kolem nás se chová podle nějakých matematických vztahů a úkolem vědy je tyto vztahy objevovat? Máme vlastně dva různé světy Ten skutečný svět věcí a vztahů mezi nimi a ten matematický, pomocí kterého ten skutečný svět popisujeme Cesta ze skutečného světa do světa matematiky se nazývá abstrakce (odhlédneme od nepodstatných věcí, jako třeba že z těch pěti jablek na stole je jedno shnilé a dvě nezralá, cesta v opačném směru se nazývá specifikace Když tedy řešíme nějaký problém v reálném světě, pomocí abstrakce ho převedeme do matematického světa (popíšeme ho nějakými rovnicemi,, tam ho vyřešíme a to řešení zase pomocí specifikace převedeme do reálného světa Když se vrátíme k těm jablkům na stole - je jich pět, nás je taky pět, matematicky je to jasné, každý si vezme jedno jablko No, radši si to své půjdu rychle vybrat 12 Co je algebra Již od nejstarších dob se při řešení konkrétních příkladů objevovaly úlohy, které bychom dnes označili jako řešení lineárních nebo kvadratických rovnic, případně jejich soustav Ve starověku byly tyto úlohy formulovány slovně, nepoužívala se žádná symbolika (první pokusy o jakousi algebraickou symboliku nacházíme až v Diofantově Aritmetice, často byla využívána geometrická terminologie (neznámá byla označována jako strana, její druhá mocnina jako čtverec, pokud byly neznámé dvě, byly označovány jako délka a šířka, Při řešení byla někdy formulována nějaká pravidla, ta ale nebyla nijak zdůvodňována Na egyptských papyrech nacházíme úlohy, které vedou na řešení rovnic typu x + ax = b a x + ax + cx = b Egypťané je řešili metodou falešného předpokladu Rovnice řešili také v Číně Nejstarším zachovaným dílem je Jiu zhang suan shu, česky Matematika v devíti knihách nebo také Devět kapitol o matematickém umění, stručně Devět kapitol Doba jeho vzniku je nejasná, ale určitě to bylo před naším letopočtem Shrnuje poznatky z předchozích dob Na konkrétních příkladech jsou zde ukázány metody výpočtů, které Číňané používali Poznáváme, že znali zlomky, počítali druhé a třetí odmocniny, obsah kruhu (ale používali π = 3, Zajímavá je 8 kapitola, kde je popsána metoda řešení soustav lineárních rovnic nazývaná fang čcheng Jde o jakousi obdobou Gaussovy eliminace, o které bude v těchto skriptech ještě řeč Koeficienty jednotlivých rovnic Číňané zapisovali do sloupců a následně prováděli eliminaci elementárními sloupcovými úpravami Číňané čísla v pravém slova smyslu nezapisovali Na počítací desce je znázorňovali pomocí tyčinek Měli znaky (určité uspořádání tyčinek pro číslice od jedné do devíti a ty byly dvojího druhu (pro sudé a liché řády Čísla pak zapisovali v desítkové soustavě Samostatný znak pro nulu neměli, pokud se v desítkovém zápisu čísla někde nula objevila, prostě tam žádnou tyčinku nepoložili Při manipulaci se v tabulce někdy objevovala i záporná čísla, ta byla na desce odlišena červenou barvou tyčinek Záporná řešení rovnic Číňané neznali Ve středověku zaujímala významné místo arabská matematika V roce 850 vydal arabský matematik Abou Jafar Muhammad Ibn Musa al-khwarizmi knihu Kitab al-jabr wa l muqabalah Kniha v šesti krátkých kapitolách popisovala způsoby řešení šesti typů lineárních a kvadratických rovnic (řešením byla stále jen kladná čísla K tomu, aby se rovnice upravila na jeden z probíraných typů, se používaly dva kroky Jeden se nazýval al-jabr Anna Kalousová: Úvod do algebry 3 1 října 2007

4 4 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky a odpovídal převedení členu z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem Tedy z rovnice x + 3 = y odvodíme rovnici x = y 3 Druhým krokem byl al-muqabalah, kterému odpovídala eliminace stejných nebo opačných členů, např z rovnice y + 3 = x + 3 odvodíme rovnici y = x nebo z rovnice a + y a = x odvodíme rovnici y = x Tato kniha byla ve 12 století přeložena do latiny a vydána pod názvem Liber algebrae et almucabola (překladatel Robert de Chester si nedal moc práce s překladem názvu a odtud pochází název algebra Jméno autora bylo do latiny přepsáno jako Algorismi a časem z něho vzniklo slovo algoritmus Další arabský matematik al Karadží jako první vymezil algebru jako vědu, která učí, jak vypočítat neznámé veličiny pomocí veličin známých Až do 17 století lze algebru charakterizovat jako zobecnění a rozšíření aritmetiky Zabývala se především řešením polynomiálních rovnic Zavedla také symbolické znaky pro operace a začala označovat neznámou písmeny V 16 století italští matematici odvodili vzorce pro výpočet kořenů polynomů 3 a 4 stupně Při výpočtech se ale pod druhou odmocninou objevovala i záporná čísla Docházelo k tomu dokonce i v případech, kdy kořeny byly reálné To vedlo k zavedení nových čísel označovaných trochu hanlivě jako čísla imaginární (pomyslná, vymyšlená, nebo dokonce impossible Ne všichni matematici totiž byli ochotni je přijmout Až o dvě století později se velcí matematici jako d Alembert, Gauss nebo Euler zasadili o jejich přijetí V 19 století irský matematik William Hamilton vytvořil algebraickou teorii komplexních čísel (pohled na komplexní čísla jako na uspořádanou dvojici čísel reálných Pokusil se komplexní čísla rozšířit a vytvořil teorii kvaternionů V 19 století se v algebře stále zkoumala otázka řešitelnosti polynomiálních rovnic vyšších řádů pomocí radikálů, tedy užitím algebraických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování Při zkoumání této otázky francouzský matematik Evariste Galois zavedl pojem grupy a to už byl počátek moderní algebry þ Krátký život Evariste Galoise je jako román Narodil se 25 října 1811 v Bourg-la-Reine nedaleko Paříže Jeho otec byl starostou městečka, matka dcerou soudce Ve dvanácti letech (do této doby byl vyučován matkou vtoupil Evariste do lycea Ludvíka Velikého Zpočátku studoval velmi úspěšně, pak ale zlenivěl, takže musel jeden ročník opakovat Začal navštěvovat lekce matematiky ve třídě M Verniera Školní matematika mu nestačila, a tak četl práce matematiků tehdejší doby V roce 1828 se sám připravoval na přijímací zkoušky na pařížskou Polytechniku Neuspěl Vrátil se na lyceum V té době publikoval svůj první matematický článek Také napsal první pojednání o rovnicích a poslal je na Akademii věd Cauchy ale tuto práci ztratil 2 července 1829 spáchal Galoisův otec sebevraždu kvůli pomluvám, které o něm začal rozšiřovat nový místní kněz O pár dní později Galois podruhé neuspěl u přijímacích zkoušek na Polytechniku Traduje se, že při zkoušce rozhořčený Galois hodil po examinátorovi hadr na mazání tabule Začal studovat na École Normale Napsal další pojednání o polynomiálních rovnicích a poslal je znovu do Akademie věd Fourier si vzal rukopis domů, ale o něco později zemřel, takže rukopis byl zase ztracen Před a po revoluci v roce 1830 se politika stala důležitou součástí Galoisova života Pro své dva články byl vyloučen ze školy V květnu 1831 byl uvězněn, v červnu propuštěn, v červenci znovu zadržen a v říjnu odsouzen na 6 měsíců jako recidivista V březnu následujícího roku byli vězni kvůli epidemii cholery přestěhováni do nemocnice s policejním dozorem Tady se asi seznámil s femme fatale svého života Okolnosti jsou nejasné, ale 30 května 1831 měl Galois duel, při kterém byl zraněn a opuštěn jak soupeřem tak vlastními sekundanty Našel ho vesničan a dopravil do nemocnice, kde následující den zemřel v náručí svého mladšího bratra Bylo mu dvacet let Tak svět přichází o matematiky Jeho práce byly znovuobjeveny až po více než deseti letech V září 1843 Joseph Liouville v Akademii oznámil, že v Galoisových pracech našel odpověď na otázku řešitelnosti polynomiálních rovnic pomocí radikálů O dva roky později tyto práce vydal bez jakýchkoli vlastních komentářů Grupa je základní algebraická struktura Příkladem může být třeba množina celých čísel s operací sčítání Nebo množina nenulových racionálních čísel s operací násobení Množina reálných čísel s operací sčítání, Ve všech těchto případech jsou splněny následující podmínky: 1 Operace je asociativní Když třeba sčítáme ( , dostaneme stejný výsledek, jako když sčítáme 1 + (2 + 3 Když násobíme (1 2 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme 1 (2 3 Zřejmě to platí i v ostatních případech 2 Existuje vždycky výjimečný prvek, který má tu vlastnost, že když vstoupí do operace s jakýmkoli číslem, výsledek je to číslo U sčítání má tuto vlastnost nula, vždycky a + 0 = a a také 0 + a = a Pro násobení je tímto číslem jednička, zase a 1 = a a 1 a = a Takovémuto číslu říkáme neutrální prvek, někdy také jednotkový (násobení nebo nulový (sčítání 3 Ke každému číslu můžeme najít takové číslo, že výsledek operace provedené s těmito dvěma čísly je roven příslušnému neutrálnímu prvku Tak třeba v případě sčítání celých čísel je 3 + ( 3 = 0, 5 + ( 5 = 0, = 0, obecně a + ( a = 0 V případě násobení nenulových racionálních čísel máme = 1, ( ( 4 = 1, obecně a a = 1 Takovému číslu pak říkáme opačný (v případě sčítání nebo inversní (v případě násobení prvek 4 Asi také všichni víte, že tyto operace jsou komutativní (např když sčítáme 2+3, dostaneme stejný výsledek jako když sečteme 3 + 2, nebo když násobíme 2 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme října Anna Kalousová: Úvod do algebry

5 12 Co je algebra 5 Ale to v případě grup není pravidlem Pokud má grupa navíc tuto vlastnost, říkáme jí komutativní nebo také Abelova grupa Co je těmto příkladům společné? Vždy jsme měli nějakou množinu s nějakou binární operací Raději nebudeme rozebírat, co to je množina, a spokojíme se s intuitivní představou nějakého souboru prvků Slovo operace se také běžně používá Co si pod tím ale představit? Vezměme třeba to sčítání celých čísel K čemu při něm vlastně dochází? To vezmeme nějaká dvě celá čísla a přiřadíme jim jejich součet, tedy zase nějaké celé číslo Při násobení je to podobné, vezmeme nějaká dvě čísla a přiřadíme jim jejich součin, zase nějaké číslo Mohli bychom se tedy na operaci obecně dívat jako na nějaké zobrazení, které každé dvojici (raději uspořádané, ne všechny operace jsou komutativní prvků přiřadí nějaký prvek (někdy jiný, někdy stejný jeko jeden z nich A musí do operace vždycky vstupovat dva prvky? Co brání, aby byly tři, čtyři, nebo jen jeden? Nebrání tomu nic Počet prvků, které do operace vstupují, se nazývá četnost nebo také arita operace Jsou potom operace unární, třeba taková, která číslu přiřadí jeho převrácenou hodnotu, binární, to jsou známé operace sčítání, odčítání, násobení nebo dělení, ternární,, obecně n-ární Důležité je, že to zobrazení musí přiřazovat výsledek každé uspořádané n-tici prvků z množiny V tomto smyslu například dělení reálných čísel není operací, protože nelze dělit nulou Když ale vezmeme množinu nenulových reálných čísel, dělení operací je Definujme si nyní grupu 121 Definice Grupa je neprázdná množina G s jednou binární operací, která splňuje následující podmínky 1 pro všechny prvky a, b, c z množiny G platí a (b c = (a b c (asociativita operace 2 V množině G existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny G je a j = j a = a (existence neutrálního prvku 3 ke každému prvku a z množiny G existuje prvek a 1 takový, že a a 1 = a 1 a = j (existence inversního prvku Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny G platí, že a b = b a (komutativita operace, nazveme tuto grupu komutativní nebo Abelovou Je vidět, že podle této definice jsou grupami také množina racionálních čísel s operací sčítání, množina nenulových reálných čísel s operací násobení, množina komplexních čísel s operací sčítání, množina nenulových komplexních čísel s operací násobení, množina všech polynomů s operací sčítání, Grupou ale není množina přirozených čísel s operací sčítání, protože zde nemáme opačné prvky Taky třeba množina všech racionálních čísel s operací násobení, protože k nule neexistuje inversní prvek Na reálných číslech ale známe dvě operace - sčítání a násobení Spolu s operací sčítání tvoří tato množina grupu, dokonce komutativní Když odebereme nulu a uvažujeme operaci násobení, máme opět komutativní grupu Navíc víme, že obě tyto operace jsou spojeny distributivními zákony Existuje nějaké pojmenování takovéto struktury? Ano, říkáme jí těleso (v tomto případě dokonce komutativní těleso Uveďme si ještě definici tělesa, protože lineární prostory, což je hlavní téma těchto skript, se obecně budují právě nad komutativními tělesy My se budeme omezovat pouze na lineární prostory nad reálnými čísly, ale často budeme používat vlastnosti reálných čísel, které plynou právě z toho, že reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso 122 Definice Těleso je alespoň dvouprvková množina T s dvěma binárními operacemi + a, která splňuje následující podmínky 1 pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a + b = b + a (komutativita operace + 2 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a + (b + c = (a + b + c (asociativita operace + 3 v množině T existuje prvek o takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a + o = o + a = a (existence nulového prvku 4 ke každému prvku a z množiny T existuje prvek ( a takový, že a + ( a = ( a + a = o (existence opačného prvku 5 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a (b c = (a b c (asociativita operace Anna Kalousová: Úvod do algebry 5 1 října 2007

6 6 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky 6 v množině T existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a j = j a = a (existence jednotkového prvku 7 ke každému prvku a z množiny T \ {o} existuje prvek a 1 takový, že a a 1 = a 1 a = j (existence inversního prvku 8 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a (b + c = (a b + (a c 9 pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí (a + b c = (a c + (b c Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a b = b a (komutativita operace, nazveme toto těleso komutativní 1 Příklady těles, se kterými jste se již setkali, jsou (kromě reálných čísel s obvyklým sčítáním a násobením ještě také komplexní nebo racionální čísla vždy s obvyklými operacemi Pokud znáte operaci modulo (zbytek po dělení čísla a číslem b, může pro vás být příkladem tělesa také množina Z p = {0, 1, 2,, p 1}, kde p je prvočíslo a kde sčítáme a násobíme právě modulo p Ve všech těchto příkladech byla tělesa dokonce komutativní Příkladem nekomutativního tělesa jsou již zmiňované kvaterniony Zase nás může napadnout, proč by tyto operace musely být jen dvě A proč obě binární? Samozřejmě to není nezbytné Můžeme mít množiny s konečně i nekonečně operacemi různých arit, které zase splňují nějaké podmínky Pro většinu z nich už nemáme speciální název, obecně je označujeme jako (univerzální algebry Dál už tento námět zkoumat nebudeme, protože by šel daleko nad rámec skript Chtěla jsem jen naznačit, co zkoumá dnešní algebra Předmětem jejího studia jsou algebraické struktury, tedy neprázdné množiny, na kterých jsou definovány určité algebraické operace Z algebry se vydělilo další odvětví matematiky a to lineární algebra Lineární algebra zkoumá lineární (také se říká vektorové prostory a vše, co s nimi souvisí, např lineární zobrazení, lineární formy, ale také soustavy lineárních rovnic, matice, Počátky lineární algebry najdeme v 17 století, kdy René Descartes jako první popsal geometrické problémy (jako třeba průsečík přímek formou lineárních rovnic Více se rozvíjet začala až v 19 století, jsou s ní spjata jména jako Gauss, Jordan, Grassmann nebo Hamilton, který zavedl označení vektor Zpočátku lineární algebra studovala prostory dimense dvě a tři Pak se ale rozšířila na prostory libovolné konečné i nekonečné dimense S pojmem lineární prostor se setkáte téměř ve všech oblastech matematiky 13 Jazyk matematiky 131 Příklad Plocha čtverce přidaná k jeho straně je rovna 3 4 Řešení: Vezmi 1 Rozděl 1 na polovinu, dostaneš 1 2 Výsledek umocni na druhou a dostaneš 1 4 Přičti 3 4 a dostaneš 1 To je odmocnina z 1 Odečti 1 2, kterou jsi dostal dělením 1 dvěma Získal jsi stranu čtverce Takto nějak vypadalo řešení příkladů ve starověku Šlo o příklad, který bychom dneska popsali jako řešení kvadratické rovnice x 2 + x = 3 4 Když použijeme dnes dobře známou formulku, obdržíme dvě řešení, jednak 1 2, tedy řešení, které získali i starověcí matematici, a pak také 3 2, což je řešení, které ve starověku neznali a také neuznávali, protože délka strany samozřejmě nemůže být záporná Z uvedeného jsou snad vidět nejméně dvě výhody, které matematická symbolika přináší 1 Příklad lze zapsat stručně a jasně 2 Lze popsat obecné řešení, které je použitelné pro větší množství případů Na druhé straně se nic nesmí přehánět Pokud by se v zápisu používaly jen symboly, text by byl nesrozumitelný Např S(f, x 0 ε δ(ε > 0 δ > 0 x( x x 0 < δ f(x f(x 0 < ε je vám jistě známá definice spojitosti funkce f v bodě x 0 (to označujeme S(f, x 0 Nevím, jaký dojem ve vás vznikl, když jste tento zápis viděli poprvé, a to (předpokládám vám předem vysvětlili, co ten pojem znamená, 1 V literatuře se často nerozlišuje mezi tělesem a komutativním tělesem 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry

7 13 Jazyk matematiky 7 ale myslím, že asi nebyl úplně příjemný A představa, že matematický text se bude skládat jen z takovýchto formulek řazených jedna za druhou, je asi dost hrůzná Nabízí se analogie s hudbou Ta používá také speciální symbolický jazyk - notový zápis Kdyby notový zápis neexistoval, bylo by velmi obtížné reprodukovat slyšenou skladbu, snad jen nějakou jednoduchou píseň Naproti tomu, když člověk dostane do ruky notový zápis, nemusí být schopný zapsanou melodii slyšet, snad jen tu jednoduchou Záleží jistě na zkušenosti a hudebním sluchu Ale je to namáhavé Podobně i v matematice je pro nás symbolický text výhodný, jak bylo naznačeno v úvodu této podkapitoly, ale i pro člověka s velkou zkušeností se symbolickými znaky je velmi namáhavé číst jen samé formulky Proto je v matematice dobré využívat symboliky, ale je třeba ji také prokládat normálním nesymbolickým textem Protože tato skripta jsou určena pro matematiky-začátečníky, bude v nich jen málo neznámých matematických symbolů Výhodou symbolů je také jejich jednoznačnost Příkladem může být spojka nebo, kterou používáme ve dvojím významu - vylučovacím a nevylučovacím Když řekneme Přijde tam Petr nebo Pavel, může to znamenat, že tam přijde právě jeden z nich (vylučovací nebo také že přijde aspoň jeden z nich, možná i oba (nevylučovací V matematice bychom v prvním případě použili symbol a ve druhém Význam těchto dvou symbolů je jednoznačně dán a není tedy potřeba nějak složitě popisovat, co se tím vlastně myslí Význam (sémantika jednotlivých logických spojek je dán pravdivostními tabulkami pro jednotlivé spojky, s nimiž jste se již pravděpodobně setkali na střední škole Pro zopakování uvedeme pravdivostní tabulky základních logických spojek, tedy negace(, konjunkce (, disjunkce (, implikace ( a ekvivalence( a a a b a b a b a b a b V matematickém textu se také můžeme setkat s kvantifikátory Jeden se nazývá všeobecný, zapisuje se a znamená, že tvrzení platí pro všechny hodnoty proměnné, která je za kvantifikátorem uvedena Druhý se nazývá existenční, zapisuje se a znamená, že tvrzení platí alespoň pro jednu hodnotu proměnné, která je za ním uvedena Opatrní musíme být při negování tvrzení s kvantifikátory Pokud totiž není pravda, že pro všechna x platí P (x, znamená to, že aspoň pro jedno x neplatí P (x, a ne že P (x pro všechna x neplatí Analogicky, pokud neplatí, že existuje x, pro které P (x platí, znamená to, že P (x neplatí pro žádné x Když to zapíšeme symbolicky, máme xp (x odpovídá x P (x xp (x odpovídá x P (x Ale matematický text se nevyznačuje jen speciálními symboly Často se v něm objevují slova definice, věta, důkaz Je možné, že jste se s těmito pojmy ještě nesetkali, proto si trochu objasníme, co znamenají Možná se vám někdy stalo, že jste se s rodiči domluvili, že se vrátíte večer, ale při vašem návratu pak došlo k jakémusi nedorozumění vyvolanému tím, že vaše představa o tom, co je večer, byla jiná, než představa vašich rodičů Podobně když vám někdo v zimě řekne, že je venku docela teplo, může tam být chladněji, než když se v létě dozvíte, že dnes tam moc teplo není Je vidět, že v běžném jazyce používaná slova nemají obvykle přesně vymezený význam Občas díky tomu člověk narazí, ale většinou se lidé nějak domluví V matematice je situace poněkud jiná Protože se pohybujeme v abstraktním světě, je potřeba používané pojmy přesně definovat (vymezit, popsat Definice je tedy jakási úmluva, že něčemu, co jsme tady na spoustě řádek pečlivě a přesně popsali, budeme říkat několika málo (obvykle jedním či dvěma slovy Například večer můžeme definovat jako období od 18 do 22 hodin zeměpisné šířce odpovídajícího času A teplo může být, když je více než 20 Celsiových stupňů V definici by zřejmě měly vystupovat pouze pojmy již dříve definované (pomineme-li spojovací slovíčka z běžného jazyka To se ale obvykle nevyžaduje, spíše se uvedou na začátku pojmy, jejichž znalost se předpokládá Pokud je někdo nezná, musí si je najít v jiné literatuře Kdybychom totiž chtěli všechno definovat od základů, příliš by narostl počet stránek a než by se čtenář prokousal k tomu novému, co mu chceme sdělit, asi by text odložil V definici tedy zavádíme nějaký nový pojem prostřednictvím pojmů známých (definovaných již dříve nebo těch, jejichž znalost se předpokládá Ve větách pak popisujeme vztahy mezi pojmy Matematická věta je většinou ve tvaru implikace Dá se tedy rozdělit na dvě části - předpoklady a závěr Předpoklady jsou uvozeny slovy nechť, pokud, jestliže, buďte, mějme, Závěr následuje za slovy potom či pak Někdy ta první část (předpoklady chybí Takové tvrzení má prázdnou množinu předpokladů, platí vždy Anna Kalousová: Úvod do algebry 7 1 října 2007

8 8 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky Každá matematická věta musí být dokázána, to znamená, že musí být ověřena její platnost V důkazu se obvykle používají některé vlastnosti pojmu, které vypreparujeme z jeho definice, a také některé předchozí (již dokázané věty Používáme při tom postupy, které matematika považuje za správné O tom, které to jsou, se dozvídáme z matematické logiky Kromě těchto tří pojmů se v matematických textech objevují ještě různá tvrzení, pozorování, důsledky, lemmata, Jsou to v podstatě také věty, ale těmito označeními rozlišujeme jakousi důležitost nebo složitost Třeba tvrzení je obvykle nějaká menší věta, jejíž důkaz je jednoduchý Pozorování je něco, čeho si lze všimnout bez nějakého velkého studování Důkaz je natolik jednoduchý, že se často vůbec neuvádí Důsledek je věta, která přímo (snadno plyne z jiné věty Lemma je pomocné tvrzení Používá se většinou tam, kde je důkaz věty obtížný a dlouhý Zformuluje se několik pomocných tvrzení (lemmat, která sama o sobě nemusí být zrovna moc zajímavá a jejichž důkazy většinou nejsou lehké Když se jimi ale člověk prokouše, je důkaz věty naprostá hračka (no, to je trochu nadnesené, ale význam lemmat je opravdu v tom, aby z nich ta krásná věta vyplývala jednoduše I na střední škole jste se setkali se základními typy důkazů Jak už bylo řečeno, je matematická věta většinou ve tvaru implikace, tedy P Z, kde P jsou předpoklady a Z je závěr Můžeme postupovat přímo, tedy použijeme postupně předpoklady a pomocí správných úsudků odvodíme závěr, nebo nepřímo, kdy vlastně dokazujeme ekvivalentní implikaci, totiž Z P 132 Příklady Ilustrujme si tento typ důkazu na několika příkladech 1 Druhá mocnina sudého čísla je opět sudé číslo Přesněji bychom měli napsat: Pro všechna celá čísla z platí: Je-li z sudé číslo, pak také z 2 je sudé číslo Všeobecný kvantifikátor se ale v textu často vynechává Také údaj, o jaká čísla se jedná, může v textu chybět, myslí se pak největší možná množina těch čísel, pro která má daná vlastnost (sudost smysl V našem případě je to množina celých čísel Tvrzení platí také pro libovolnou podmnožinu, tedy i pro množinu přirozených čísel Než začneme větu dokazovat, musíme si ujasnit, co znamená, že je nějaké číslo sudé Pravděpodobně víte, že sudá čísla jsou násobky dvou Jak to ale matematicky zachytit? Většinou se používá následující definice: Celé číslo z nazveme sudé, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 a Přistupme nyní k dokazování Předpokladem věty je, že z je sudé číslo, vlastní tvrzení pak říká, že také z 2 je sudé číslo Přepíšeme si (podle definice, co to znamená, že z je sudé Existuje takové celé číslo a, že z = 2 a Spočítáme z 2 a potřebujeme ukázat, že i toto číslo je sudé, tedy že ho můžeme napsat ve tvaru 2 b, kde b je nějaké celé číslo z 2 = (2 a 2 = 4 a 2 = 2 (2a 2 Položíme-li b = 2a 2, pak opravdu můžeme psát z = 2 b, kde b je celé číslo, protože vzniklo z celého čísla a operacemi (umocněním a vynásobením dvěma, na které jsou celá čísla uzavřená Tím je tvrzení dokázáno 2 Je-li z 2 liché číslo, je také z liché číslo Uvědomme si nejprve, co znamená, že je nějaké číslo liché Pravděpodobně každý ví, že toto číslo není sudé Uvedená věta se tedy dá přeformulovat ve tvaru Jestliže z 2 není sudé číslo, pak také z není sudé číslo To je ale ekvivalentní s předchozím, námi již dokázaným tvrzením, jak se můžeme přesvědčit z následující pravdivostní tabulky, kde P označuje tvrzení z je sudé a Z tvrzení z 2 je sudé P Z P Z P Z Z P října Anna Kalousová: Úvod do algebry

9 13 Jazyk matematiky 9 3 Druhá mocnina lichého čísla je opět liché číslo Opět si nejprve musíme ujasnit, co znamená, že je číslo liché Asi nám moc nepomůže to, co jsme použili v předchozím důkazu, totiž že není sudé Dokonce ani když to přepíšeme ve tvaru Celé číslo z nazveme liché, jestliže nexistuje takové celé číslo a, že z = 2 a neboli celé číslo z nazveme liché, jestliže pro všechna celá čísla a je z 2 a Potřebujeme nějaké pozitivní vyjádření Třeba Celé číslo z nazveme liché, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 a + 1 A teď už budeme postupovat podobně jako v prvním důkazu Spočítáme druhou mocninu a přepíšeme ji ve tvaru 2 b + 1 jestliže položíme b = 2a 2 + 2a 4 Je-li z 2 sudé číslo, je také z sudé číslo z 2 = (2 a = 4a 2 + 4a + 1 = 2 (2a 2 + 2a + 1 = 2 b + 1, Využijeme-li opět toho, že celá čísla jsou buď sudá nebo lichá, tedy že být sudý znamená nebýt lichý, je zřejmé, že toto tvrzení je ekvivalentní s předchozím, které již bylo dokázáno Další způsob důkazu, se kterým jste se již setkali, je důkaz sporem Ten využívá pravidlo o vyloučení třetího, což je jedno z pravidel platných v matematické logice Říká vlastně, že vždycky musí platit tvrzení nebo jeho negace, nemůže nastat situace, kdy neplatí ani jedno z nich (jakási třetí možnost Důkaz pak provádíme tak, že předpokládáme, že uvedené tvrzení neplatí (tedy platí jeho negace, a z tohoto předpokladu dále něco vyvozujeme Naším cílem je odvodit nějaký nesmysl, něco, co určitě není pravda Pokud se nám to podaří (ovšem ne díky nějakým našim špatným úsudkům - to by se to dokazovalo, označíme tento nesmysl jako spor (se zdravým rozumem, s nějakou obecně známou pravdou, s tím nesprávným předpokladem, Jestliže jsme tedy z předpokladu, že tvrzení neplatí, odvodili spor, znamená to, že tento předpoklad byl nesprávný, nepravdivý, a tedy (podle pravidla o vyloučení třetího musí být pravdivé to původní tvrzení Důkaz sporem se velmi často užívá v případě tvrzení ve tvaru Neplatí, že a také při důkazech jednoznačnosti, tj Existuje jediný, kdy předpokládáme, že existuje více (tedy dva objektů s uvedenou vlastností, a dostaneme se ke sporu Na ukázku si uvedeme jeden příklad důkazu sporem 133 Příklad 2 není racionální číslo Důkaz provádíme sporem, proto předpokládáme, že 2 je racionální číslo (negace dokazovaného tvrzení Zase si nejprve musíme uvědomit, co je to racionální číslo Jedna z definic (pro nás výhodná říká: Číslo a nazveme racionálním, jestliže existují nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že a = p q Kdyby tedy 2 bylo racionální číslo, musela by existovat nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že 2 = p q Tento výraz umocníme na druhou (tím se rovnost neporuší a máme 2 = ( 2 p = p2 q q 2, tedy p2 = 2 q 2 To ale znamená, že p 2 je sudé Podle posledního příkladu v minulé části víme, že musí být sudé také číslo p Můžeme ho proto zapsat jako 2 a, kde a je nějaké celé číslo Nyní do předchozího vztahu dosadíme za p = 2 a p 2 = (2 a 2 = 4 a 2 = 2 q 2, tedy q 2 = 2 a 2 To ovšem znamená, že q 2 je sudé a tedy i q je sudé A tím jsme u cíle Proč? No přece p i q jsou sudá čísla, jejich společným dělitelem je číslo 2 A přitom podle předpokladu měla být nesoudělná! Možná ještě někdo váhá na tím, co znamená, že jsou čísla nesoudělná To definujeme tak, že jejich jediný společný dělitel je číslo 1 A my jsme našli jiného společného dělitele To je samozřejmě kýžený spor Takže předpoklad, že 2 je racionální číslo, je špatný Musí platit jeho negace, tj 2 není racionální číslo Anna Kalousová: Úvod do algebry 9 1 října 2007

10 10 Kapitola 1 Úvod - jazyk matematiky þ Možná jste se s tímto důkazem již setkali Velice často se používá jako příklad důkazu sporem Já jsem si ho vybrala proto, že je hezký (nepoužívají se žádné složité pojmy a úpravy, taky jsme využili toho, co jsme dokázali v předchozí části, a navíc se k němu pojí zajímavá historka Tento důkaz je tradičně připisován Hippasovi z Metapontu Patřil mezi pythagorejce, žáky Pythagora, o kterém jste už jistě slyšeli Pythagorejci viděli v číslech obraz pravé podoby vesmíru, znali však pouze čísla přirozená a jejich zlomky (jak by také vzdálenost mohla být třeba záporná Tím, že Hippasos objevil, že takovou přirozenou věc, jakou je úhlopříčka jednotkového čtverce, nelze vyjádřit v uznávaném tvaru, velmi otřásl základy jejich filosofie Za trest byl ze společenství vyloučen a pythagorejci mu dokonce zřídili hrob, aby bylo jasné, že je pro ně mrtvý Traduje se, že ho dokonce vyvezli na širé moře a tam ho hodili do vody, aby se utopil Jak vidíte, nebylo vždy lehké být matematikem a objevovat nové věci Objev iracionality 2 se pak pythagorejci snažili držet v tajnosti Posledním typem důkazu, o kterém se zmíníme, je důkaz matematickou indukcí Je to jedna z nejsilnějších zbraní matematiky, protože nám umožňuje dokázat tvrzení pro všechna přirozená čísla (kterých je nekonečně mnoho, pokud dokážeme platnost pouze dvou tvrzení Můžeme si to znázornit na tzv dominovém efektu Představte si, že máte řadu dominových kostek a chcete, aby spadly všechny, když strčíte do jedné z nich Co k tomu budete potřebovat? Jedním požadavkem bude, aby ty kostky stály tak blízko u sebe, aby každá padající kostka porazila i tu následující, tedy aby pád n-té kostky vyvolal pád (n + 1-ní kostky No a potom ještě potřebujeme vybrat kostku, do které strčíme Zřejmě to musí být první kostka, protože kdybychom strčili do druhé, třetí,, spadly by jen ty za nimi, ty před nimi by zůstaly stát Řada dominových kostek je ve skutečnosti jen konečná (takže bychom mohli třeba strčit i do poslední kostky a požadovat, aby každá kostka shodila předchozí, ale tento princip můžeme použít i pro abstraktní situaci, kdy řada je nekonečná A stejný princip používá i matematická indukce Chceme-li dokázt, že nějaké tvrzení T (n platí pro všechna přirozená čísla n, stačí ukázat, že platí T (1 (shození první kostky a že z platnosti pro n plyne platnost pro n+1, tedy že pro všechna n N platí T (n T (n+1 (n-tá kostka shodí (n+1-ní kostku Ukážeme si to opět na příkladu 134 Příklad Ukažte, že pro všechna n N platí: n (n + 1 = n n + 1 Důkaz provedeme matematickou indukcí Nejprve dokážeme platnost pro n = = 1 2 = Teď potřebujeme dokázat indukční krok Předpokládáme tedy, že pro libovolně zvolené pevné n platí a chceme dokázat, že potom platí n (n + 1 = n n + 1, n (n (n + 1 (n + 2 = n + 1 n + 2 Vezmeme levou stranu dokazovaného výrazu a budeme ji upravovat, až získáme stranu pravou První úpravou je rozložení upravovaného výrazu na součet součtu prvních n členů a (n + 1-ního členu, abychom mohli využít indukční předpoklad a součet prvních n členů nahradit Potom oba zlomky převedeme na společného jmenovatele a upravíme n (n (n + 1 (n + 2 = ( n (n + 1 = n n (n + 1 (n + 2 = n (n + 2 (n + 1 (n (n + 1 (n + 2 = n2 + 2n + 1 (n + 1 (n + 2 = 1 (n + 1 (n + 2 = Tím je tvrzení dokázáno = (n (n + 1 (n + 2 = n + 1 n října Anna Kalousová: Úvod do algebry

11 13 Jazyk matematiky 11 Někdy se matematická indukce používá v trochu jiném tvaru Můžeme například dokazovat, že nějaké tvrzení platí jen pro přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna nějakému přirozenému číslu n 0 Potom samořejmě ten první krok nedokazujeme pro jedničku, ale pro n Příklad Ukažte, že pro všechna přirozená n 3 platí: Nejprve dokážeme platnost pro n = 3 2 n > 2n = 8 > 7 = Nyní dokážeme indukční krok Předpokládáme, že pro libovolně zvolené pevné n 3 platí a chceme dokázat, že potom platí také 2 n > 2n + 1, 2 n+1 > 2(n = 2n + 3 Opět si levou stranu upravíme, abychom mohli použít indukční předpoklad 2 n+1 = 2 2 n > 2 (2n + 1 = 4n + 2 Zbývá nám dokázat, že 4n + 2 > 2n + 3 Protože n 3, je n > 2 a Tím je tvrzení dokázáno 4n + 2 = 2n + 2n + 2 > 2n = 2n + 6 > 2n + 3 Někdy může být situace ještě složitější Když se zase vrátíme k dominovým kostkám, můžeme si ji znázornit tak, že jsou kostky rozloženy po ploše tak, že každá z nich může bý shozena nějakou kostkou, která je před ní Nevíme ale, která to je Může jich být zapotřebí i víc (jedna nestačí Jak potom zajistíme, aby kostka spadla? Abychom měli jistotu, je potřeba, aby spadly všechny, které jsou před ní Indukce pak probíhá takto: Nejprve zase tvrzení dokážeme pro nějakou nejmenší hodnotu (někdy raději i pro několik malých hodnot - pro jistotu A potom z toho, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla menší než n, dokážeme, že platí i pro n To je indukční krok Pokud toto zvládneme, můžeme směle prohlásit, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla (případně od nějakého počínaje Ač se to možná na první pohled nezdá, jsou oba tyto principy matematické indukce (říká se jim slabý a silný ekvivalentní 136 Příklad Ukažte, že každé přirozené číslo n 2 lze rozložit na součin prvočísel (tj čísel, která lze dělit jen jimi samými a jedničkou Toto tvrzení jistě platí pro malá přirozená čísla 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 2 = 2 2, 5 = 5, 6 = 2 3, Musíme ještě dokázat indukční krok Mějme nějaké přirozené číslo n 2 Mohou nastat dva případy Buď je toto číslo prvočíslo, pak není třeba rozkládat (n = n, nebo prvočíslem není a dá se napsat jako součin dvou čísel (např n = k m, která jsou menší než n Ale každé menší číslo už umíme rozložit na součin prvočísel (indukční předpoklad, proto i číslo n můžeme rozložit tak, že vynásobíme ty dva rozklady n = m k = (m 1 m 2 m s (k 1 k 2 k t Je vidět, že jsme tady nemohli použít ten předchozí slabý princip Tedy mohli, jsou totiž ekvivalentní, ale museli bychom tou ekvivalencí projít, což by bylo zdlouhavé Anna Kalousová: Úvod do algebry 11 1 října 2007

12 Kapitola 2 Polynomy S polynomy jste se pravděpodobně setkali už na střední škole A budete je potkávat i nadále, a to nejen v matematice, ale i v jiných oborech Často se používají k výpočtu přibližné hodnoty funkce v nějakém bodě (možná jste se již setkali s Taylorovým polynomem, používají se i k popisu chování některých veličin (naměřenými hodnotami se prokládá polynomiální křivka V této kapitole shrneme základní poznatky o polynomech 21 Co to je polynom? Jak český název (mnohočlen napovídá, je polynom výraz, který má mnoho členů Mnoho znamená blíže neurčený konečný počet (alespoň jeden, členy jsou výrazy typu číslo krát mocnina proměnné To číslo může být reálné (reálné polynomy nebo komplexní (komplexní polynomy, a říká se mu koeficient Pokud nebude řečeno něco jiného, budeme v rámci těchto skript pod pojmem polynom rozumět vždy reálný polynom Pouze v části věnované kořenům polynomů budeme muset přibrat polynomy komplexní, protože se může stát (jak jistě víte ze střední školy, že polynom s reálnými koeficienty nemá žádné reálné kořeny (má pouze komplexní kořeny Naproti tomu všechny kořeny komplexního polynomu jsou komplexní čísla (nemusíme zavádět nějaká nová Budeme-li potřebovat zdůraznit, že koeficienty polynomu jsou čísla komplexní, reálná, racionální, či celá, budeme mluvit o polynomu s komplexními, reálnými, racionálními, či celočíselnými koeficienty Proměnná se může jmenovat různě (x, y, z, a, b,, α, β,, mluvíme pak o polynomu v proměnné x, y, z,, α, β, Polynom je součtem svých členů Některé koeficienty mohou být nulové, ty nás příliš nezajímají, v zápisu polynomu se zpravidla vynechávají Píšeme x 5 + x 3 2x + 1 místo x 5 + 0x 4 + x 3 + 0x 2 2x + 1 nebo místo 0x 6 + x 5 + 0x 4 + x 3 + 0x 2 2x + 1 Může nás také zajímat, jaká je nejvyšší mocnina proměnné, u níž je nenulový koeficient Tomuto číslu říkáme stupeň polynomu Pokud žádné takové číslo neexistuje, tedy pokud má polynom všechny koeficienty rovny nule (nulový polynom, položíme stupeň roven 1 To, co jsme si tady popsali, teď zformulujeme do několika definic 211 Definice Nechť a 0, a 1,, a n 1, a n jsou reálná čísla Algebraický výraz a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, což stručně zapisujeme a i x i, i=0 nazveme polynom (v proměnné x, čísla a 0, a 1,, a n nazýváme koeficienty polynomu Nulový polynom O(x je polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule 212 Definice Nechť P (x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom Stupeň polynomu P (označujeme st P je největší m N takové, že a m 0 Stupeň nulového polynomu položíme roven 1 Polynom nultého stupně se nazývá konstantní, prvního stupně lineární, druhého stupně kvadratický a třetího stupně kubický 213 Příklady 1 Polynom P 1 (x = 3x má stupeň 2, je to kvadratický polynom Anna Kalousová: Úvod do algebry 12 1 října 2007

13 22 Operace s polynomy 13 2 Polynom P 2 (x = 0x 4 + 0x 3 + 3x má stupeň 2, je to kvadratický polynom 3 Polynom P 3 (x = 3 má stupeň 0, je to konstantní polynom 4 Polynom P 1 (x = 2x 3 + 3x 1 má stupeň 3, je to kubický polynom 214 Definice Řekneme, že se polynomy P (x = a i x i a Q(x = i=0 m b i x i sobě rovnají, jestliže mají stejný stupeň (st P = st Q = k a navíc a i = b i pro všechna i = 0, 1,, k 215 Příklady 1 Polynomy P (x = 2x 3 + x 2 2 a Q(x = 0x 5 + 2x 3 + x 2 + 0x 2 se sobě rovnají, protože mají stejný stupeň (st P = st Q = 3 a koeficienty u jednotlivých mocnin se sobě rovnají 2 Polynomy P (x = 3x 3 x 2 + x a Q(x = 0x 3 + 3x 2 x + 1 se sobě nerovnají (nemají stejný stupeň 216 Poznámka Mějme polynom a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Zřejmě platí následující rovnosti a n x n + + a 1 x + a 0 = 0x n+1 + a n x n + + a 1 x + a 0 = 0x n+2 + 0x n+1 + a n x n + + a 1 x + a 0 = To znamená, že každý polynom můžeme natáhnout na libovolnou délku tím, že přidané koeficienty položíme rovny nule Toho budeme využívat v případech, kdy bude potřeba, aby nějaké dva polynomy byly stejně dlouhé 217 Poznámka V matematice se často můžete setkat i s jiným chápáním termínu polynom, totiž jako polynomiální funkce To je taková (reálná nebo komplexní funkce P (x (reálné nebo komplexní proměnné, že existují (reálná nebo komplexní čísla a 0, a 1,, a n 1, a n taková, že pro všechna x R nebo x C je i=0 P (x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Rovnost polynomů se pak chápe jako rovnost funkcí a ukáže se, že platí to, co jsme my měli jako definici 214 Podobně operace se chápou jako operace s funkcemi a ukáže se, že platí vztahy, které my budeme mít jako definiční 22 Operace s polynomy Polynomy můžeme sčítat (člen po členu, přičemž ten kratší doplníme nulami, aby měl stejnou délku jako ten delší, násobit (reálným číslem (opět člen po členu a také násobit mezi sebou (každý člen s každým členem a následně sečíst koeficienty u stejných mocnin Polynomy můžeme také dělit, ovšem pouze částečně a se zbytkem 221 Definice Součet polynomů: Nechť P (x = a n x n + + a 1 x + a 0 a Q(x = b m x m + + b 1 x + b 0 jsou polynomy a nechť m n Položme b i = 0 pro i = m + 1,, n Součtem polynomů P (x a Q(x nazveme polynom (P + Q(x definovaný (P + Q(x = (a n + b n x n + + (a 1 + b 1 x + (a 0 + b 0 = 222 Příklad P (x = 2x 3 x 2 + 5, Q(x = 3x 2 2x + 1 (a i + b i x i (P + Q(x = (2x 3 x (3x 2 2x + 1 = (2x 3 x 2 + 0x (0x 3 + 3x 2 2x + 1 = = (2 + 0x 3 + ( 1 + 3x 2 + (0 2x + (5 + 1 = 2x 3 + 2x 2 2x + 6 i=0 Anna Kalousová: Úvod do algebry 13 1 října 2007

14 14 Kapitola 2 Polynomy 223 Pozorování Vlastnosti sčítání polynomů 1 Sčítání polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P + Q = Q + P 2 Sčítání polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P + Q + R = P + (Q + R 3 Nulový polynom je neutrální vzhledem ke sčítání, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P +O = P = O+P 4 Ke každému polynomu P existuje opačný polynom P takový, že platí P + ( P = O = ( P + P Důkaz Nechť P (x = a i x i, Q(x = b i x i, R(x = c i x i, i=0 i=0 i=0 pokud byly některé polynomy kratší, doplnili jsme je nulovými koeficienty 1 Sčítání reálných čísel je komutativní (použijeme u druhé rovnosti, proto (P + Q(x = (a i + b i x i = (b i + a i x i = (Q + P (x i=0 i=0 2 Sčítání reálných čísel je asociativní (použijeme u druhé rovnosti, proto ((P + Q + R(x = ((a i + b i + c i x i = (a i + (b i + c i x i = (P + (Q + R(x i=0 i=0 3 Díky komutativitě stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P +O = P Nula je neutrální vzhledem ke sčítání reálných čísel, proto (P + O(x = (a i + 0x i = a i x i = P (x i=0 i=0 4 Položme ( P (x = ( a i x i, kde a i je opačné číslo k číslu a i i=0 Opět stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P + ( P = O Zřejmě (P + ( P (x = (a i + ( a i x i = (a i a i x i = 0 x i = O(x i=0 i=0 i=0 224 Poznámka Tyto čtyři vlastnosti jsou vlastně axiomy komutativní grupy, které byly uvedeny v definici 121 Množina polynomů s obvyklým sčítáním proto tvoří komutativní grupu Díky poslední vlastnosti můžeme také definovat odčítání polynomů jako přičítání opačného polynomu, tedy (P Q(x = (P + ( Q(x 225 Příklad P (x = 2x 3 x 2 + 5, Q(x = 3x 2 2x + 1 (P Q(x = (2x 3 x (3x 2 2x + 1 = (2x 3 x 2 + 0x ( 0x 3 3x 2 ( 2x 1 = = (2 0x 3 + ( 1 3x 2 + (0 + 2x + (5 1 = 2x 3 4x 2 + 2x října Anna Kalousová: Úvod do algebry

15 22 Operace s polynomy Definice Násobení polynomu číslem: Nechť P (x = a n x n + + a 1 x + a 0 je polynom, α (reálné číslo α-násobkem polynomu P (x nazveme polynom (α P (x definovaný 227 Příklad P (x = 2x 3 x (α P (x = α a n x n + + α a 1 x + α a 0 = (α a i x i (3 P (x = 3 (2x 3 x = (3 2x 3 + (3 ( 1x 2 + (3 5 = 6x 3 3x Pozorování Pro jakékoli polynomy P, Q a jakákoli (reálná čísla α, β platí 1 α (β P = (αβ P 2 (α + β P = α P + β P 3 α (P + Q = α P + α Q 4 1 P = P 5 0 P = O Důkaz Nechť P (x = a i x i, Q(x = i=0 b i x i, pokud byl jeden z nich kratší, doplnili jsme jej nulovými koeficienty 1 Násobení reálných čísel je asociativní, proto (α (β P (x = (α(βa i x i = i=0 i=0 i=0 ((αβa i x i = (αβ 2 Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání, proto ((α+β P (x = ((α+β a i x i = i=0 i=0 (α a i +β a i x i = 3 Opět využijeme distributivity násobení reálnýchch čísel vzhledem ke sčítání (α (P +Q(x = (α (a i +b i x i = i=0 i=0 (α a i +α b i x i = i=0 4 Číslo 1 je neutrální vzhledem k násobení, proto (1 P (x = (1 a i x i = 5 Součin jakéhokoli reálného čísla s nulou je roven nule, proto (0 P (x = i=0 (0 a i x i = i=0 i=0 a i x i = (αβ P (x i=0 (α a i x i + (β a i x i = (α P +β P (x i=0 i=0 (α a i x i + (α b i x i = (α P +α Q(x i=0 a i x i = P (x i=0 0 x i = O(x i=0 Anna Kalousová: Úvod do algebry 15 1 října 2007

16 16 Kapitola 2 Polynomy 229 Definice Součin polynomů: Nechť P (x = a n x n + + a 1 x + a 0 a Q(x = b m x m + + b 1 x + b 0 jsou polynomy Položme a i = 0 pro i = n + 1,, n + m a b i = 0 pro i = m + 1,, m + n Součinem polynomů P (x a Q(x nazveme polynom (P Q(x definovaný kde pro k = 0, 1, 2,, m + n je 2210 Příklad P (x = 2x 2 + 5, Q(x = x 2 (P Q(x = c m+n x m+n + + c 1 x + c 0 = c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 = c i x i, i=0 k a i b k i (P Q(x = (2x (x 2 = (2x 3 + 5x + ( 4x 2 10 = 2x 3 4x 2 + 5x 10 To odpovídá i vzorci pro koeficienty c k, které jsou uvedeny v definici, neboť P (x = 0x 3 + 2x 2 + 0x + 5, Q(x = 0x 3 + 0x 2 + x 2 a tedy 2211 Pozorování Vlastnosti násobení polynomů i=0 c 0 = 5 ( 2 = 10 c 1 = ( 2 = 5 c 2 = ( 2 = 4 c 3 = ( 2 = 2 1 Násobení polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P Q = Q P 2 Násobení polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P Q R = P (Q R 3 Polynom E(x = 1 (konstantní jednička je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P E = P = E P 4 Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (a P (Q + R = P Q + P R (b (P + Q R = P R + Q R Důkaz Opět budeme využívat známých vlastností operací s reálnými čísly 1 Mějme polynomy označme potom platí m P (x = a i x i a Q(x = b i x i, i=0 i=0 S = P Q a T = Q P, s k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 = b 0 a k + b 1 a k b k 1 a 1 + b k a 0 = t k pro všechna k = 0, 1, 2,, m + n 2 Mějme polynomy označme m p P (x = a i x i, Q(x = b i x i a R(x = c i x i, i=0 i=0 i=0 U = P Q, V = Q R, S = (P Q R = U R a T = P (Q R = P V, 1 října Anna Kalousová: Úvod do algebry