Matematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem"

Transkript

1 Matematika 3. Ing. Marek Nikodým, Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležité a mají obrovské využití hlavně ve fyzice. Je to proto, že většina fyzikálních zákonů je popsána právě diferenciálními rovnicemi. Např. Newtonův pohybový zákon F=ma je vlastně diferenciální rovnicí. Pokud na těleso o hmotnosti m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem je zjistit dráhu y, popřípadě rychlost v tohoto tělesa a to znamená matematicky řešit příslušnou diferenciální rovnici. Hledáme tedy funkci y(t), kde t je čas, popřípadě v(t).. VOLNÝ PÁD TĚLESA.. Bez odporu prostředí Uvažujme těleso, které padá k zemi, pak na něho působí tíhová síla F G = mg, kde g je tíhové zrychlení přibližně rovno. Pokud zanedbáme odpor prostředí, dosadíme do Newtonova zákona a upravíme. Víme z matematiky, že rychlost je derivací dráhy v(t) = s (t) a zrychlení je derivací rychlosti nebo druhou derivací dráhy a(t) = v (t) = s (t). F = m a F G = m a(t) m g = m y (t) y (t) = y (t) = dt y (t) = t + C y(t) = t + C dt y(t) = 5t + C t + C Je vidět, že pokud zanedbáme odpor prostředí, pak pohyb tělesa nezávisí na jeho hmotnosti a výslednou funkci pro dráhu dosteneme jednoduše dvojnásobnou integrací. neznáme konstatnty C a C určíme z počátečních podmínek. Jestliže počátek souřadného systému dáme do počáteční polohy tělesa, pak y()=, kladný směr osy y dáme dolů ve směru pohybu tělesa. Jestliže těleso padá z klidu, pak v() = y () =. y() = : 5 + C + C = C = y () = : + C = C =

2 Tedy dráha tělesa je y(t) = 5t, rychlost v(t) = y (t) = t a zrychleni a(t) = v (t) = y (t) =. Grafy POKUD NEBUDE UVEDENO JINAK, PAK DRÁHA JE ZAKRESLENA VŽDY ČERNĚ, RYCHLOST MODŘE A ZRYCHLENÍ ČERVENĚ t.. S odporem prostředí Uvažujme nyní i odpor prostředí. Z fyziky je známo, že odporová síla F o je přímo úměrná rychlosti, to znamená, že čím je těleso rychlejší, tím je odporová síla vyšší. Tedy F o (t) = k o v(t) = k o y (t), mínus je tam proto, protože síla působí proti směru pohybu. Odvod me nyní tvar diferenciální rovnice pro tento pohyb. Zvolme pak k o =. Počáteční podmínky zůstavají stejné. F = m a

3 F G + F o = m a(t) m g k o y (t) = m y (t) y (t) + k o m y (t) = g y (t) + y (t) = Tady už tuto diferenciální rovnici takto lehce nevyřešíme jako minule, zavazí nám tam totiž ta první derivace. Tato diferenciální rovnice je speciálním případem obecné lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty...3 Obecné řešení lineární diferenciální rovnice. řádu s konstantními koeficienty Uvažujme tedy následující rovnici: a y (x) + b y (x) + c y(x) = f(x), a,b,c R Nejdříve si ukážeme jak vyřešit tuto rovnici obecně a pak se vrátíme a už jednoduše vyřešíme náš příklad. Postupujme ve dvou krocích. Nejdříve budeme hledat řešení naší diferenciální rovnice s nulovou pravou stranou, taková diferenciální rovnice se nazývá homogenní. Až to budeme mít, ukážeme si potom, jak řešit naši diferenciální rovnici obecně s nenulovou pravou stranou, taková diferenciální rovnice se nazývá nehomogenní. Mějme tedy homogenní diferenciální rovnici. Řešme tedy nejdříve homogenní rovnici, její řešení označme y (x). a y (x) + b y (x) + c y (x) = Předpokládejme, že řešení je ve tvaru y (x) = e rx, kde r je nějaká neznámá konstatnta. Spočítejme první a druhou derivaci a dosad me do naší diferenciální rovnice. y (x) = r e rx, y (x) = r e rx. a r e rx + b r e rx + c e rx = e rx (a r + b r + c) = a r + b r + c = Toto je kvadratická rovnice, kterou vyřešíme. Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Jak známo, můžou nastat tři případy: ) existují dva různé reálné kořeny, označmš je r, r. Pak máme dvě různá řešení naší diferenciální rovnice y = e r x, y = e r x ) existuje jeden dvojnásobný reálný kořen, označme ho r, pak se dá odvodit, že dvě různá řešení vypadají takto y = e rx, y = x e rx 3) existují dva komplexně sdružené kořeny, označme je r = m + ni, r = m ni, pak se dá odvodit, že dvě různá řešení vypadají takto y = e mx sin(nx), y = e mx cos(nx). Celkové obecné řešení homogenní diferenciální rovnice je y (x) = C y (x) + C y (x), C,C R 3

4 Nyní si ukážeme, jak vyřešit obecnou rovnici s nenulovou pravou stranou. Potřebuje získat jedno konkrétní řešení této rovnice, takové konkrétní řešení se nazývá partikulární řešení, označme ho y p (x). Není to tedy obecné řešení, nevyskytují se tam žádné obecné konstaty C,C apod. Důležité je, že obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice se dá zapsat jako součet nějakého partikulárního řešení y p (x) a obecného řešení homogenní diferenciální rovnice y (x). y(x) = y p (x) + y (x) Partikulární řešení budeme hledat v tzv. neurčitém tvaru podle pravé strany f(x). Ukážeme si pouze dvě nedůležitější varianty a to když je f(x) polynom nebo kombinace sinu a kosinu. ) Jestliže např. f(x) = x 3 x+5, pak y p hledáme ve tvaru y p = Ax 3 +Bx +Cx+D, pokud ale není kořenem charakteristické rovnice. Pokud je kořenem charakteristické rovnice, pak y p hledáme ve tvaru y p = x(ax 3 +Bx +Cx+D), pokud je dvojnásobným kořenem, pak je y p = x (Ax 3 +Bx +Cx+D) a metodou neurčitých koeficientů najdeme neznámé konstatny. ) Jestliže f(x) = sin(3x), pak y p hledáme ve tvaru y p = A sin(3x) + B cos(3x), pokud ale 3i není kořenem charakteristické rovnice. Pokud je 3i kořenem charakteristické rovnice, pak yp hledáme ve tvaru y p = x(a sin(3x) + B cos(3x)), a metodou neurčitých koeficientů najdeme neznámé konstatny...4 S odporem prostředí - pokračování Nyní se můžeme vrátit k naší diferenciální rovnici, kterou jsme dostali při řešení volného pádu s odporem prostředí a vyřešit ji. Rovnice vypadala takto: y (t) +.5y (t) = Tedy jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu, kde a=, b=.5, c=, f(x)=. Řešme nejdříve homogenní rovnici y (t) +.5y (t) = Charakteristická rovnice má tvar r +.5r = a má dva reálné kořeny r =, r =.5. Řešení homogenní rovnice má tedy tvar y (t) = C e t + C e.5t = C + C e.5t Najdeme nyní partikulární řešení y p. Pravá strana f(x) je v našem případě polynom nultého stupně, ale je kořen charakteristické rovnice, y p hledáme tedy ve tvaru y p = t A. Dosadíme toto řešení do naší diferenciální rovnice, k tomu si ještě vypočteme y p = A a y p =. y p(t) +.5y p(t) = +.5A = A = Partikulární řešení je ve tvaru y p (t) = t 4

5 Obecné řešení naší diferenciální rovnice y je součtem řešení y a y p. y(t) = y p (t) + y (t) y(t) = t + C + C e.5t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y() = : + C + C e.5 = y () = : y (t) =.5C e.5t.5c e.5 = C + C = C = 4.5C = C = 4 Celkové řešení naší diferenciální rovnice, tj. dráha tělesa vypadá takto: y(t) = t 4 + 4e.5t derivací dráhy dostaneme rychlost tělesa v(t) = y (t) = e.5t a derivací rychlosti dostaneme zrychlení tělesa a(t) = v (t) = y (t) = e.5t Grafy 5

6 t..5 S odporem prostředí - jiné počáteční podmínky Řešme nyní stejný příklad volného pádu tělesa o hmotnosti m= kg v prostředí s koeficientem odporu ko=, ale nyní uvažujme situaci, že těleso se nachází metrů nad zemí a padá. Časovou osu umístěme do úrovně země a kladný směr osy y nahoru k tělesu. jak bude nyní vypadat pohybová diferenciální rovnice, počáteční podmínky a její řešení? Odporová síla F o nyní působí v kladném směru osy y, tedy bude s kladným znaménkem F o (t) = k o v(t) = k o y (t), naopak tíhova síla F G působí v záporném směru osy y a bude se znaménkem mínus F G = mg. F = m a F G + F o = m a(t) m g + k o y (t) = m y (t) y (t) k o m y (t) = g y (t).5y (t) = Počáteční podmínky se ale změní y() =, y =. Jedná se o lineární diferenciální 6

7 rovnici. řádu, kde a=, b=-.5, c=, f(x)=-. Řešme nejdříve homogenní rovnici y (t).5y (t) = Charakteristická rovnice má tvar r.5r = a má dva reálné kořeny r =, r =.5. Řešení homogenní rovnice má tedy tvar y (t) = C e t + C e.5t = C + C e.5t Najdeme nyní partikulární řešení y p. Pravá strana f(x) je v našem případě polynom nultého stupně, ale je kořen charakteristické rovnice, y p hledáme tedy ve tvaru y p = t A. Dosadíme toto řešení do naší diferenciální rovnice, k tomu si ještě vypočteme y p = A a y p =. y p(t) +.5y p(t) = +.5A = A = Partikulární řešení je ve tvaru y p (t) = t Obecné řešení naší diferenciální rovnice y je součtem řešení y a y p. y(t) = y p (t) + y (t) y(t) = t + C + C e.5t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y() = : + C + C e.5 = y () = : y (t) = +.5C e.5t +.5C e.5 = C + C = C = 4 +.5C = C = 4 Celkové řešení naší diferenciální rovnice, tj. dráha tělesa vypadá takto: y(t) = t + 4 4e.5t derivací dráhy dostaneme rychlost tělesa v(t) = y (t) = e.5t a derivací rychlosti dostaneme zrychlení tělesa a(t) = v (t) = y (t) = e.5t Grafy 7

8 t Zajímavé by bylo zjistit, kdy těleso dopadne na zem a s jakou rychlostí a zrychlením. To znamená najít t, pro které je y(t)=, to znamená řešit rovnici: t + 4 4e.5t = Toto je ale nelineární rovnice, která se nedá řešit nějakým vzorcem nebo logaritmováním, ale pouze přibližně numericky. Udělejme tabulku hodnot dráhy y(t), kde hodnoty přecházejí z + do - a pak to upřesníme. t y(t) Je vidět z tabulky, že v čase t=8. bylo těleso 5.3 metru nad zemí a v čase t=8. bylo těleso teoreticky 5.5 metrů pod zemí. Takže řešení naší rovnice je určitš z intervalu 8.,8.. Jako aproximaci vezmeme t=8.5. Takže zhruba za 8 sekund těleso dopadne na zem a dopadne s rychlostí v(8.5) = e = 8.m s a se zrychlením a(8.5) = e = 55.m s. Znamánka - tam jsou proto, protože jak rychlost, tak zrychlení směřují ve směru záporné osy y. 8

9 . HARMONICKÉ KMITÁNÍ-KMITÁNÍ TĚLESA NA PRUŽINĚ.. Kmitání bez odporu prostředí - nulová počáteční rychlost Budeme nyní uvažovat jiný fyzikální případ, který taky vede na lineární diferenciální rovnici druhého řádu. Máme těleso o hmotnosti m zavěšené na pružině o tuhosti k p, necháme těleso ustálit do rovnovážné polohy a pak ho vychýlíme z této rovnovážné polohy o hodnotu y a pustíme, aniž bychom udělili tomuto tělesu nějakou počáteční rychlost, to znamená, že do něho nedrcneme, ale pouze pustíme. Jak známo, těleso začne kmitat kolem rovnovážné polohy. My budeme chtít zjistit dráhu tohoto tělesa v čase t tj. funkci y(t), pomocí derivace už z této funkce odvodíme rychlost tělesa v(t) a zrychlení tělesa a(t). Na těleso působí pružina silou F p = kp y. Pokud zanedbáme sílu odporu prostředí je F p jedinou silou, která na těleso působí. Dosadíme do Newtonova zákonu a upravíme. F = m a F p (t) = m a(t) k p y(t) = m y (t) y (t) + k p m y(t) = Uvažujme konkrétní příklad: těleso o hmotnosti kg a tuhost pružiny k p =, těleso z rovnovážné polohy vychýlíme o 3 m dolů. Pokud zvolíme kladný směr osy y nahoru, jak je běžné, pak y = 3, těleso pustíme z klidu, pak počáteční rychlost je nulová, tj. v = y () =. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.5y(t) = y() = 3, y () = Je to naše diferenciální rovnice, kde a=, b=, c=.5, f(x)=. tedy je to přímo homogenní rovnice. Charakteristická rovnice vypadá takto: r +.5 = Řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla r =.5. =.7i, r. =.7i tedy m=, n=.7. a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C sin(.7t) + C cos(.7t) Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C sin(.7 ) + C cos(.7 ) = 3 y () = : y (t) =.7C cos(.7t).7c sin(.7t) =.7C cos(.7 ).7C sin(.7 ) = C + C = 3 C = 3.7C.7C = C = 9

10 Dráha tělesa je dána takto y(t) = 3 cos(.7t) Graf 3 t Rychlost a zrychlení v(t) = y (t) =.3 sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.5 cos(.7t) Grafy

11 3 t Ve fyzice se často používá jiný zápis dráhy-výchylky, který je přehlednější a to ve tvaru y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) kde A je amplituda výchylky, ω je úhlová frakvence ϕ < π,π > je počáteční fáze. V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = 3 sin(ϕ) = 3 sin(ϕ) cos(ϕ) = 3 cot(ϕ) ϕ = π A = 3 sin( π) = 3 = 3 Tedy řešení se dá zapsat ekvivalentně ve tvaru y(t) = 3 sin(.7t.57)

12 v(t) = y (t) =.3 cos(.7t.57) a(t) = y (t) =.5 sin(.7t.57) Otázky: ) Kdy prochází těleso rovnovážnou polohou? ) Kdy má těleso největší výchylky? 3) Kdy má těleso největší rychlost a kdy je rychlost nulová? 4) Kdy má těleso největší tyrychlení a kdy je zrychlení nulové?.. Kmitání bez odporu prostředí - nenulová počáteční rychlost Uvažujme stejný příklad, ale nyní předpokládejme, že jsme do tělesa drncli a udělili mu počáteční rychlost v = y () = ms Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.5y(t) = y() = 3, y () = Obecné řešní je stejné jako minule, ale konstanty C, C budou jiné. Ty určíme z počátečních podmínek y = 3, y () = y(t) = C sin(.7t) + C cos(.7t) y() = 3 : C sin(.7 ) + C cos(.7 ) = 3 y () = : y (t) =.7C cos(.7t).7c sin(.7t) =.7C cos(.7 ).7C sin(.7 ) = C + C = 3 C = 3.7C.7C = C =.5 =.83 Dráha tělesa je dána takto Graf y(t) =.83 sin(.7t) 3 cos(.7t)

13 4 t Rychlost a zrychlení v(t) = y (t) =. cos(.7t) +.3 sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.43 sin(.7t) +.5 cos(.7t) Grafy 3

14 4 t Ekvivalentní zápis vypadá takto: y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).83 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = 3 sin(ϕ).83 = 3 sin(ϕ) cos(ϕ).94 = cot(ϕ) ϕ = (.94) = arctan(.94 ).8 3 A = sin(.8) = 4. y(t) = 4. sin(.7t.8) 4

15 v(t) = y (t) =.9 cos(.7t.57) a(t) = y (t) =.6 sin(.7t.57)..3 Kmitání s odporem prostředí - nulová počáteční rychlost Nyní tedy přibude k síle F p (t) = k p y(t) ještě síla odporu prostředí F o, která je přímo úměrná rychlosti tělesa F o (t) = k o y (t). F = m a F p (t) + F o (t) = m a(t) k p y(t) k o y (t) = m y (t) y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = Uvažujme stejný příklad, tedy těleso o hmotnosti m= kg na pružině s tuhostí k p =, nyní navíc s odporem prostředí k o =.4 s počátečními podmínkami y() = 3, y () =. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.y +.5y(t) = y() = 3, y () = Je to diferenciální rovnice, kde a=, b=., c=.5, f(x)=. Charakteristická rovnice vypadá takto: r +.r +.5 = r, = = =. +.4i Řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla r =. +.7i, r =..7i tedy m=-., n=.7. a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) =.e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C cos(.7t).7c sin(.7t)).e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) + e. (.7C cos(.7 ).7C sin(.7 )) = (C + C ) = 3 C = 3.(C + C ) + (.7C ) =.C +.7C = C = 3..7 =.43 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) Graf 5

16 t Převedeme zase tu goniometrickou část na ekvivalentní tvar, který je výhodnější k výpočtu rychlosti a zrychlení a je vůbec přehlednější y(t) = A sin(ω t + ϕ) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ) V našem případě platí C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).43 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A =.43 cos(ϕ) A =.43 cos(.43) 3 =.43 cos(ϕ) sin(ϕ) A = =.43 tan(ϕ) ϕ = arctan( 3.43 ) ϕ =.43 Tedy výchylka má tento ekvivalentní tvar y(t) = 3.6e.t sin(.7t +.43) 6

17 Z tohoto tvaru je důležitá exponenciála + 3.6e.t, která charakterizuje útlum kmitů, jak je vidět z obrázku: t - -3 Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) v(t) = y (t) = (.)e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) + e.t (.3 cos(.7t) +. sin(.7t)) = e.t (.4 sin(.7t) + cos(.7t)) =.4e.t sin(.7t) a(t) = v (t) = y (t) =.e.t sin(.7t) +.5e.t cos(.7t) = e.t (. sin(.7t) +.5 cos(.7t) =.49e.t sin(.7t.43) Poslední úprava u a(t) je třeba vypočítat konstanty A a ϕ. C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ). = A cos(ϕ),.5 = A sin(ϕ) A =..,.5 = cos(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 7

18 A =. cos(.43) A =.49,.5 =. tan(ϕ) ϕ = arctan(.5. ) ϕ =.43 Grafy t Kmitání s odporem prostředí - nenulová počáteční rychlost Diferenciální rovnice zůstane stejná jako minule, ale změní se pouze druhá počáteční podmínka. Předpokládejme tedy, že jsme udělili tělesu počáteční rychlost ms-. y (t) +.y +.5y(t) = y() = 3, y () = Řešešní zůstane stejné jako minule, jenom se změní konstatnty C a C, ty vypočteme jako obvykle z počátečních podmínek y = 3, y () =. y(t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) 8

19 y() = 3 : e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) =.e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C cos(.7t).7c sin(.7t)).e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) + e. (.7C cos(.7 ).7C sin(.7 )) = (C + C ) = 3 C = 3.(C + C ) + (.7C ) =.C +.7C = C = +.( 3).7 =.43 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = e.t (.43 sin(.7t) 3 cos(.7t)) ekvivalentní tvar y(t) = 3.86e.t sin(.7t.89) C = A cos(ϕ), C = A sin(ϕ).43 = A cos(ϕ), 3 = A sin(ϕ) A = ϕ =.89, A = 3.86 Nejlépe porovnáme kmitání bez počáteční rychlosti - černě a s počáteční rychlostí - zeleně 9

20 t Silně tlumené kmitání - nulová počáteční rychlost Uvažujme pořád stejný případ, ale změńmě jednu věc a to koeficient odporu. Zvyšme koeficient odporu prostředí ko z.4 na 4 tedy desetkrát, ko=. Co se stane? odpor prostředí bude tak velký, že těleso nebude kmitat, pouze se doplazí limitně do rovnovážné polohy. Matematicky tomu bude odpovídat situace, kdy charakteristická rovnice bude mít reálné kořeny, takže se v řešení neobjeví ani funkce sinus ani kosinus. Uvažujme nejdříve nulovou počáteční rychlost. Diferenciální rovnice bude vypadat takto: y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = y (t) + 4 y (t) + y(t) = y (t) + y (t) +.5y(t) = Je to diferenciální rovnice, kde a=, b=, c=.5, f(x)=. Charakteristická rovnice vypadá takto: r + r +.5 =

21 r, = = + Řešením jsou dvě reálná čísla r =.9, r =.7 a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C e.9t + C e.7t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.9 + C e.7 = 3 C + C = 3 y () = : y (t) =.9C e.9t.7c e.7t =.9C.7C = C = 3.6, C =.6 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = 3.6e.9t +.6e.7t Graf t ,5 - -,5 - -,5-3

22 Tedy je vidět, že těleso nekmitá, ale blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení Grafy y(t) = 3.6e.9t +.6e.7t v(t) = = y (t) =.4e.9t.4e.7t a(t) = = y (t) =.3e.9t +.78e.7t t Silně tlumené kmitání - nenulová počáteční rychlost Uvažujme stejný příklad, ale nyní předpokládejme, že jsme do tělesa drncli a udělili mu velkou počáteční rychlost v = y () = ms, aby se těleso přehouplo přes rovnovážnou polohu. Řešení je tedy stejné, jenom budou jiné konstanty C a C, které vypočteme z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.9 + C e.7 = 3 C + C = 3 y () = : y (t) =.9C e.9t.7c e.7t =.9C.7C =

23 C = 3.43, C = 6.43 Výchylka tělesa je dána takto Graf y(t) = 3.43e.9t 6.43e.7t t Tady je vidět, že těleso se přehoupne přes rovnovážnou polohu, ale dále už nepmitá a blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = 3.43e.9t 6.43e.7t v(t) = = y (t) =.99e.9t + e.7t a(t) = = y (t) =.9e.9t 8.8e.7t Grafy 3

24 t Kriticky tlumený pohyb - hraniční případ Víme z předchozích příkladů, že těleso bud kmitá a to tehdy pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny nebo nekmitá, pokud má charakteristická rovnice reálné kořeny. Nás bude ted zajímat ten přechod mezi těmito dvěma stavy. necháme hmotnost stejnou m=, tuhost pružiny taky stejnou k p = a měnit budeme odpor prostředí k o. Víme, že když je k o malý těleso kmitá, když je velký, pak nekmitá. Ale kde je ten přechod? Ten přechod neboli kritická hodnota k o bude tehdy, když diskriminant v charakteristické rovnici bude nulový, pak bude mít charakteristická rovnice dvojnásobný nulový kořen. Diferenciální rovnice bude vypadat takto: Charakteristická rovnice vypadá takto: Diskriminant y (t) +.5k o y (t) +.5y(t) = r +.5k o r +.5 = D = (.5k ) 4.5 = 4

25 .5k o = Hraniční diferenciální rovnice vypadá takto: k = 8 =.83 y (t) + y (t) +.5y(t) = Řešením charakteristické rovnice je dvojnásobný reálný kořen r = =.7 a obecné řešení diferenciální rovnice je y(t) = C e.7t + C te.7t Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () =. y() = 3 : C e.7 + C e.7 = 3 C + = 3 y () = : y (t) =.7C e.7t + C e.7t.7c te.7t =.7C + C = C = 3, C =.3 Výchylka tělesa je dána takto y(t) = 3e.7t.3te.7t Graf t ,5 - -,5 - -,5-3 5

26 Tedy je vidět, že těleso nekmitá, ale blíží se limitně rovnovážné poloze. Výchylka, rychlost a zrychlení y(t) = 3e.7t.3te.7t v(t) = = y (t) =.3e.7t.3e.7t +.5te.7t =.5te.7t a(t) = = y (t) =.5e.7t.7te.7t Grafy t Vynucené kmitání Předpokládejme nyní, že navíc kmitá celá soustava díky vnejší budící síle F B = A B sin(ωt), pak výsledná diferenciální rovnice bude takováto: F = m a F p (t) + F o (t) + F B (t) = m a(t) k p y(t) k o y (t) + A B sin(ωt) = m y (t) 6

27 y (t) + k o m y (t) + k p m y(t) = A B m sin(ωt) Uvažujme náš klasický příklad, tedy těleso o hmotnosti m= kg na pružině s tuhostí k p =, s odporem prostředí k o =.4 s počátečními podmínkami y() = 3, y () =, nyní navíc celá soustava kmitá díky vnější budící síle s amplitudou A B = 4 a frekvencí Ω = 3. Naše úloha tedy vypadá takto: y (t) +.y +.5y(t) = sin(3t) y() = 3, y () = Je to diferenciální rovnice, kde a =, b =., c =.5, f(t) = sin(3t). Nyní musíme postupovat ve dvou krocích. Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici s f(t)= a najdeme řešení y (t) a potom najdeme partikulární řešení y p (t) podle pravé strany f(t). ) Řešíme rovnici y (t) +.y +.5y (t) = Toto už máme vyřešené z minula y (t) = e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) ) Protože 3i není kořenem charakteristické rovnice, budeme partikulární řešení hledat ve tvaru y p (t) = A sin(3t) + B cos(3t) a neznámé konstanty A a B nalezneme metodou neurčitých koeficientů. Nejdříve si spočítáme první a druhou derivaci y p (t) = A sin(3t) + B cos(3t) y p(t) = 3A cos(3t) 3B sin(3t) y p(t) = 9A sin(3t) 9B cos(3t) a dosadíme do diferenciální rovnice. y p(t) +.y p(t) +.5y p (t) = sin(3t) ( 9A sin(3t) 9B cos(3t)) +.(3A cos(3t) 3B sin(3t))+ +.5(A sin(3t) + B cos(3t)) = sin(3t) ( 9A.6B +.5A) sin(3t) + ( 9B +.6A +.5B) cos(3t) = sin(3t) ( 8.5A.6B) sin(3t) + ( 8.5B +.6A) cos(3t) = sin(3t) + cos(3t) 8.5A.6B =, 8.5B +.6A = A =.34, B =.7 Partikulární řešení tedy vypadá takto: y p (t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) Celkové řešení je součtem partikulárního řešení a řešení homogenní rovnice: y(t) = y p (t) + y (t) y(t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) + e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) 7

28 . Nyní zbývá určit neznámé konstanty C, C z počátečních podmínek y = 3, y () = y() = 3 :.34 sin(3 ).7 cos(3 ) + e. (C sin(.7 ) + C cos(.7 )) = 3 y () = : y (t) = 7. cos(3t) +.5 sin(3t).e.t (C sin(.7t) + C cos(.7t)) + e.t (.7C (C + C ).7 = 3.( + C ) + (.7C ) 7. + = C = 9.6, C =.83 Výchylka tělesa je dána takto y(t) =.34 sin(3t).7 cos(3t) + e.t (9.6 sin(.7t).83 cos(.7t)) Zase se dá převést na ekvivalentní tvar.34 sin(3t).7 cos(3t).35 sin(3t +.7) 9.6 sin(.7t).83 cos(.7t).4 sin(.7t.9) Graf y(t) =.35 sin(3t +.7) +.4e.t sin(.7t.9) 8

29 t -4 Pro čas jdoucí k nekonečnu druhý člen půjde k nule a převládne první člen, jak je vidět u obrázku, takže už od zhruba 5 sekundy celá soustava kmitá pravidelně podle budící vnější síly. 9

30 t Rezonance Pokud frekvence vnější budící síly Ω bude mít určitou hodnotu, pak se celá soustava rozkmitá v obrovských výchylkách. Tato hodnota frekvence se nazývá rezonanční frekvence Ω R a v našem případě je Ω R = k p m ( ) ko =.5. m =.69 Např. pro F B = 4 sin(.69t) je výchylka dána takto: y(t) = 4.37 sin(.69t) 4.7 cos(.69t) + e.t ( 4.35 sin(.7t) cos(.7t)) Na obrázku je pro zajímavost srovnání původního kmitání s budící silou F B = 4 sin(3t) - černě a rezonančního kmitání s budící silou F B = 4 sin(.69t) - zeleně. Zatímco původní soustava kmitá maximálně s výchylkou kolem, pak rezonanční kmitání má výchylky více než! 3

31 t - NEKONEČNÉ ŘADY. POSLOUPNOSTI A ŘADY ČÍSEL.. Posloupnost čísel Příklad posloupnosti čísel je takový,, 4, 8, 6, Důležitým úkolem je umět vyjádřit obecně n-tý člen posloupnosti a n. V našem případě zjistíme, že platí tedy odtud a =, a =, a =, a 3 = 3, a n = n Obecně posloupnost zapisujeme do složených závorek { n } 3 n=

32 pokud číslujeme od, nebo pokud číslujeme od, vypadá zápis takto { n } n= Je vidět, že čísla se postupně zmenšují a blíží se k, tuto situaci matematicky popíšeme pomocí limity,.5,.5,.5,.65, lim n = n Jiná důležitá posloupnost čísel, která se blíží(konverguje) k důležitému číslu e=.78..., nazývané Eulerovo číslo, vypadá takto ( + ), ( + ), ( + 3 )3, ( + 4 )4,,.5,.373,.444, n-tý člen této posloupnosti je ( a n = + ) n n ( lim + n = e = n n) Jestliže se posloupnost čísel blíží k nekonečnu + nebo -, pak se říká, že daná posloupnost diverguje. Pokud se daná posloupnost neblíží žádnému číslu a ani nekonečnu, pak se říká, že daná posloupnost osciluje, např. tato posloupnost osciluje:.. Řada čísel,,,,, 3, 3, Utvořme z naší první posloupnosti řadu čísel tak, že je jednoduše sečteme: a zajímá nás, zda tato řada má konečný součet a když ano, pak jaký. Co ale budeme chápat součtem nekonečně mnoha čísel? Převedeme tento pojem součtu nekonečné řady na pojem limity posloupnosti, což už víme, co je. Vytvořme tedy takovouto posloupnost částečných součtů, kdy vezmeme první člen, pak součet prvních dvou členů, pak součet prvních tří člení atd.- dostaneme posloupnost čísel. Jestliže tato posloupnost bude konečnou limitu, pak prohlásíme tuto limitu za součet naší nekonečné řady. s = s = + =.5 s = =.75 s 3 = =.875 s = =

33 ,.5,.75,.875,.9993, = n= n = Máme tedy posloupnost částečných součtů, která, jak je vidět, se blíží k číslu, proto součet naší řady je roven. Toto ale není matematický důkaz. Důkaz plyne z toho, že tato řada je totiž speciálním případem Geometrické řady, což je asi nejdůležitější typ řady, u které známe vzorec pro její součet. Obecný geometrická řada vypadá takto a + a q + a q + a q 3 + = a, q (, ) q kde a je první člen a q je kvocient. Pokud q neleží v intervalu (-,), pak geometrická řada nekonverguje. Tedy v našem případě je a= a q =, proto řada musí konvergovat, mít konečný součet = = Obecně, když máme nekonečnou řadu a n = a + a + a + a 3 + n= pak je jasné, že aby součet této řady byl konečné číslo, musíme přičítat stále menší a menší hodnoty, které se musí blížit. Tedy NUTNÁ podmínka toho, aby součet nekonečné řady byl konečný je lim a n = n což v našem příkladě bylo zaručeno lim n =. Ale tato podmínka není obecně n POSTAČUJÍCÍ. Příkladem řady, která má nekonečný součet a při tom je splněna nutná podmínka konvergence je tzv. Harmonická řada = Tady je n-tý člen a n =, pokud číslujeme od. A lim n n =. Přesto je součet n nekonečný. Důkaz toho, že součet je opravdu nekonečný si uvedeme později pomocí integrálního kritéria. Ale např. tato podobná řada už má konečný součet a to ln(). Důkaz tohoto faktu si uvedeme později pomocí Mocninných řad = ln() = Taková to řada je příkladem tzv. Alternující řady ( ) n a n = a a a + a 3 n= U těchto řad platí důležitá věc a to, že ta podmínka lim n a n =, která je pouze NUTNOU podmínou pro konvergenci obecné řady, je nyní v případě Alternující řady i podmínkou POSTAČUJÍCÍ. Odtud tedy plyne konvergence naší řady, určit ale její součet je úloha mnohem obtížnější. Obecně platí, že určit, zda řada konverguje nebo 33

34 ne je většinou snadný úkol. Ale určit její součet přesně je úkol velice obtížný a většinou neznáme jeho řešení. Pak je třeba spočítat součet alespoň přibližně sečtením dostatečně velkého množství členů. Uved me si ještě dva zajímavé příklady alternujících řad, u nichž známe přesně jejich součet a toto odvození si ukážeme později pomocí Mocninných řad. U první řady je to alternující součet převrácenných hodnot lichých čísel, u druhé sudých čísel = π 4 = = ln() +! +! + 3! + 4! + = e = = Kritéria konvergence číselných řad Jak už bylo řečeno, zjistit přesně součet nekonečné řady většinou nejde,a le co jde, je zjistit, zda vůbec daná řada má konečný součet. K tomu existuje několik kritérií. Mějme tedy nekonečnou řadu n= a n s kladnými členy. Pro alternující řadu n= ( ) n a n platí jednoduché kriterium, které jsme už uvedli tj. lim n = a a n je klesající posloupnost.. Srovnávací kritérium Mějme dvě nekonečné číselné řady n= a n, n= b n a předpokládejme, že platí a n b n, potom platí: a) jestliže n= b n konverguje, pak konverguje i n= a n b) jestliže n= a n diverguje, pak diverguje i n= b n Příklad Dokažme nyní, že řada n= sin(n) n = sin() + sin() 4 + sin(3) 9 + sin(4) 6 + konverguje. Platí: sin(n) sin(n) n n a protože n= konverguje (dokáže se integrálním kritériem), konverguje i sin(n) n n=. n. Podílové kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu a n= a n, jestliže lim n+ n a n = K, potom platí následující: a) jestliže K <, pak řada konverguje b) jestliže K >, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 3. Odmocninové kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n, jestliže lim n n a n = K, potom platí následující: a) jestliže K <, pak řada konverguje b) jestliže K >, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 34

35 Užitečné vztahy lim n n n =, lim n n a =, lim n ( + k n ) n = e k 4. Raabeovo kriterium Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n, jestliže lim n n( a n+ a n ) = K, potom platí následující: a) jestliže K >, pak řada konverguje - POZOR ZMĚNA OPROTI PODÍLOVÉMU A ODMOCNINOVÉMU KRITÉRIU b) jestliže K <, pak řada diverguje c) jestliže K =, pak nelze rozhodnout 5. Integrální kritérium: Mějme nekonečnou číselnou řadu n= a n. Definujme funkci f(n) = a n, pak řada je konvergentní právě když integrál f(x)dx je konečný. Příklad Dokažme nyní, že harmonická řada n= n = má nekonečný součet. Funkce f(x) =. Spočítejme integrál x t dx = lim dx = lim x t x t [ln(x)]t = lim(ln(t) ln()) = t Tedy podle integrálního kritéria musí mít i Harmonická řada nekonečný součet. 35

36 . POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ.. Posloupnost funkcí Uvažujme posloupnost funkcí, x, x 3, x 4, Jestliže za x dosadíme nějaké číslo, dostaneme posloupnost čísel. Např. pro x=.7:,.7,.7 3,.7 4,.7 =,.7,.49,.343,.8 Zajímá nás, pro která x pak tato posloupnost čísel konečnou limitu, to je, pro která x tato posloupnost konverguje a jak vypadá výslední limitní funkce. Obecně je nalezení výsledné limitní funkce ještě náročnější proces než nalezení součtu číselné řady a většinou je neznámý. V tomto našem příkladu ale limitní funkci nalezneme. např. pro konkrétní x máme tyto číselné posloupnosti: x =.7 :,.7,.49,.343,.8, x =.7 :,.7,.49,.343,.8, pro x (, ) je lim n x n = x = :,,,,, x = :,,,,, osciluje x = :,, 4, 8, 4, x = :,, 4, 8, 4, osciluje pro x > je lim n x n =, pro x je lim n x n = osciluje Označme limitní funkci naší posloupnosti F(x). Pak z toho, co jsme ted zjistili máme F(x) definovanou na intervalu (-, takto: F(x)= pro x (, ) a F(x)= pro x=. Grafy členů posloupnosti funkcí: 36

37 y - -,5,5 x Řada funkcí Sečtěme nyní členy v poslopnosti z předchozího odstavce a dostaneme příklad funkční řady + x + x 3 + x 4 + Jestliže za x dosadíme nějaké číslo, dostaneme řadu čísel. Např. pro x=.7: = = Protože se jedná o geometrickou řadu s prvním členem rovným a s kvocientem.7 a její součet je /(-.7)= Obecně můžeme chápat tuto funkční řadu jako řadu geometrickou s kvocientem q=x. Odtud je jasné, že naše funkční řada bude konvergovat pouze na intervalu (-,): + x + x 3 + x 4 + =, x (, ) x Obecně najít součet funkční řady je velice obtížné a většinou neproveditelné. Součet se definuje stejně jako součet řady čísel pomocí limity posloupnosti částečných součtů. V 37

38 našem případě máme tuto posloupnost funkcí: s (x) = s (x) = + x s (x) = + x + x s 3 (x) = + x + x + x 3 s 4 (x) = + x + x + x 3 + x 4 s(x) = x Grafy členů posloupnosti členů posloupnosti částečných součtů - černě a součet řady - červeně: 8 y 6 4,,4,6,8 x..3 Mocninné řady Měli jsme tady Geometrickou funkční řadu + x + x + x 3 + x

39 o které víme, že má na intervalu (-,) konečný součet a dokonce víme, jak vypadá limitní funkce, je to. Zobecněním Geometrické řady je Mocninná řada, která má obecně tento x tvar: a + a (x x ) + a (x x ) + a 3 (x x ) 3 + = a n (x x ) n kde a n jsou koeficienty a x je střed Mocninné řady. Geometrická řada je tedy speciálním případem Mocninné řady pro a n = a x =. Otázka zní, pro která x bude součet Mocninné řady konečný? U Geometrické řady víme že to je pro x z (-,). Obecně to ale bude záviset na koeficientech a n a středu x. Obecně platí, že Mocninná řada konverguje na intervalu (x R,x + R), kde R se nazývá poloměr konvergence a platí: R = lim n a n+ a n lim n n jestliže limita vyjde, pak R = - to znamená, že řada konverguje všude, jestliže vyjde, pak R = - to znamená, že řada konverguje pouze ve svém středu x k hodnotě a. Příklad Zjistěte, pro která x daná mocninná řada konverguje a načrtněte její součet. a n n= + (x ) (x ) (x )3 + Nejdříve je třeba určit n-tý koeficient a n a střed x. Ze zápisu je vidět, že: a n = (n + )5 n, x = Dále spočítáme poloměr konvergence R pomocí podílového vztahu R = lim a n+ n a n koeficienty jsou kladné, takže absolutní hodnotu můžeme vynechat, dále tedy a n+ a n = n++)5 n+ = (n+)5 n R = lim a n+ n a n (n + )5n (n + 3)5 5 = n + n 5 n + 3 = lim odtud R=5. Tedy interval konvergence je n + n n n n = = 5 (x R,x + R) = ( 5, + 5) = ( 3, 7) = 5 + n + 3 n Jestli řada konverguje v krajních bodech intervalu -3, 7 musíme určit zvlášt. V těchto bodech může, ale nemusí konvergovat, záleží vždy na konkrétní řadě. x = 3 : n= (n + )5 n( 3 )n = = ( ) n konverguje n= (n + )5 n( 5)n n= (n + ) ( ) n n= (n + ) = ( 5 + = ) 5 = ln() = x = 7 : n= (n + )5 n(7 )n = = diverguje n= (n + )5 n(5)n n= (n + ) 39

40 Tedy interval konvergence je < 3, 7) Na obrázku jsou nakresleny částečné součty s, s,...s 5 - černě, částečný součet s 6 - červeně: s = s = + (x ) 3 5 s = + (x ) + (x ) s 3 = + (x ) (x ) + (x )3 5 5 s 4 = + (x ) (x ) (x )3 + (x ) s 5 = + (x ) (x ) (x ) (x )4 + s 6 = + (x ) (x ) (x ) (x )4 + + (x ) (x ) (x )5 + 4

41 ,6,,8, Taylorovy řady Nyní nás bude zajímat tento problém: Máme nějakou funkci s(x), chceme najít mocninnou řadu, která bude k funkci s(x) konvergovat. Pokud taková mocninná řada existuje, pak má nutně tento tvar, který se nazývá Taylorova řada, pokud střed x je, pak se té řadě říká Maclaurinova. s(x) = s(x )+ s (x )! (x x )+ s (x ) s (x x ) (x ) + (x x ) 3 + =! 3! 4 x 6 n= s (n) (x ) (x x ) n n! Jak pro danou funkci sestrojit její Taylorovu řadu je jasné, ale problém je v tom, že daná řada nemusí konvergovat k dané funkci na celém jejím definičním oboru. Tedy obor konvergence Taylorovy řady se musí zjistit dodatečně zjištěním poloměru konvergence. 4

42 Dále je uveden seznam Taylorových řad pro elementární funkce i s oborem konvergence: x = + ln()! x + ln ()! x + ln3 () 3! e x = +! x +! x + 3! x3 + a x = + ln(a)! x + ln (a)! sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos(x) = x! + x5 5 x7 7! + x 3 + =.69! x + ln3 (a) x 3 + 3! ln( + x) = x x + x3 3 x4 4 + x (, > ( ) ( ) + x ln = x + x3 x 3 + x5 5 + x7 7 + ( + x) a = + a! a(a ) + x +! x +.48! a(a )(a ) x 3 + x (, ) 3! arcsin(x) = x + x x x7 + x <, > 7 arctan(x) = x x3 3 + x5 5 x7 + x <, > 7 x +.33 x 3 + 3!..5 Aplikace Taylorových řad Příklad sin(x) x dx = = = ( ( [ ( x x (x x3 3! + x5 5! x7 x 3! + x4 5! x6 7! + 7! + ) dx x3 3 3! + x5 5 5! x7 7 7! + = 3 3 3! ! 7 7 7! +. = =.659 ) ] ) dx ( ) 3 3 3! ! 7 7 7! + Obsah DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. VOLNÝ PÁD TĚLESA Bez odporu prostředí S odporem prostředí Obecné řešení lineární diferenciální rovnice. řádu s konstantními koeficienty

43 ..4 S odporem prostředí - pokračování S odporem prostředí - jiné počáteční podmínky HARMONICKÉ KMITÁNÍ-KMITÁNÍ TĚLESA NA PRUŽINĚ Kmitání bez odporu prostředí - nulová počáteční rychlost Kmitání bez odporu prostředí - nenulová počáteční rychlost Kmitání s odporem prostředí - nulová počáteční rychlost Kmitání s odporem prostředí - nenulová počáteční rychlost Silně tlumené kmitání - nulová počáteční rychlost Silně tlumené kmitání - nenulová počáteční rychlost Kriticky tlumený pohyb - hraniční případ Vynucené kmitání Rezonance NEKONEČNÉ ŘADY 3. POSLOUPNOSTI A ŘADY ČÍSEL Posloupnost čísel Řada čísel Kritéria konvergence číselných řad POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Posloupnost funkcí Řada funkcí Mocninné řady Taylorovy řady Aplikace Taylorových řad

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

9.7. Vybrané aplikace

9.7. Vybrané aplikace Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

9. cvičení z Matematické analýzy 2

9. cvičení z Matematické analýzy 2 9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Derivace goniometrických. Jakub Michálek, Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx. Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice

----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

(test version, not revised) 9. prosince 2009

(test version, not revised) 9. prosince 2009 Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2)

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2) Test a. Lučištník vystřelil z hradby vysoké 40 m šíp o hmotnosti 50 g rychlostí 60 m s pod úhlem 5 vzhůru vzhledem k vodorovnému směru. (a V jaké vzdálenosti od hradeb se šíp zabodl do země? (b Jaký úhel

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Harmonický pohyb tělesa na pružině

Harmonický pohyb tělesa na pružině EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Harmonický pohyb tělesa na pružině PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky Posílení vazby teoretických

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

I. část - úvod. Iva Petríková

I. část - úvod. Iva Petríková Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

SERIOVÉ A PARALELNÍ ZAPOJENÍ PRUŽIN

SERIOVÉ A PARALELNÍ ZAPOJENÍ PRUŽIN SERIOVÉ A PARALELNÍ ZAPOJENÍ PRUŽIN ANNA MOTYČKOVÁ 2015/2016, 8. Y Obsah Teoretický rozbor... 3 Zjištění tuhosti pružiny... 3 Sériové zapojení pružin... 3 Paralelní zapojení pružin... 3 Praktická část...

Více

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1 ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více