ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA. Prognostické modely v oblasti modelování finančních časových řad

Transkript

1 ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad diserační práce Auor: Školiel: RNDr. Vladimíra PETRÁŠKOVÁ Doc. RNDr.Bohumil KÁBA,CSc., kaedra saisiky Praha 006

2 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Obsah Obsah Úvod 5. Přehled o současném savu problemaiky 7.. Finanční časové řady. Akciový rh 7... Základní pojmy 7... Vlasnosi finančních časových řad Akciový rh..3.. Základní pojmy..3.. Výpoče indexů Přehled nejznámějších indexů Akciové analýzy Box-Jenkinsova meodologie..... Box-Jenkinsova meodologie: Sacionární procesy..... Základní pojmy a apará Box-Jenkinsovy meodologie..... Lineární proces Proces klouzavých součů MA(q) Auoregresní proces AR(p) Smíšený proces ARMA(p,q) Výsavba modelu ARMA(p,q) Boxova-Jenkinsova meodologie: Nesacionární procesy Inegrovaný smíšený model ARIMA(p,d,q) Modely časových řad s dlouhou paměí ARFIMA(p,d,q) Modely s přenosovou funkcí Základní pojmy Základní charakerisika modelů s přenosovou funkcí Přenosová funkce Koyckův model a množina racionálních modelů Nejčasější vary přenosové funkce Vícenásobný vsup Idenifikace modelu 48

3 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Obsah Předběžné kroky Idenifikace modelu meodou LTF Idenifikace na základě vzájemného vzahu CCF a vah přenosové funkce Odhady paramerů modelu Ověřování modelu Obecná meoda ověřování modelu Obecné zásady výsavby a ověření modelu Předpovědi Modely volailiy Lineární modely volailiy přehled Modely ARCH Modely GARCH Výsavba modelů volailiy. 80. Cíl práce a meodika zpracování Cíl práce Meodika zpracování Určení vhodného modelu, kerý popisuje závislos indexu PX 50 na oborových indexech a modelu popisující závislos indexu PX 50 a indexu eurozóny Určení nejvhodnějšího modelu pro míru zisku indexu PX Určení jednodenní předpovědi volailiy míry zisku a určení předpovědi roční volailiy míry zisku Výsledky diserační práce Index PX 50 versus oborové indexy Index PX 50 versus index Dow Jones EURO STOXX Modelování indexu PX 50 pomocí modelů volailiy Výběrové charakerisiky a rozdělení míry zisku indexu PX Model volailiy Předpověď volailiy pro míru zisku indexu PX 50 a indexu Sandard&Poo rs

4 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Obsah Závěr 38 Příloha. 4 Výsup z programu SCA 4 Výsup z programu MATHEMATICA.. 6 Tabulka č.. 66 Tabulka č.. 69 Lieraura. 7

5 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Úvod Úvod Analýza časových řad se v posledních leech sala velmi dynamicky rozvíjející disciplínou. Vznikla řada nových efekivních a neradičních posupů a meod modelování časových řad. V současnosi není možné provádě důležiá ekonomická a finanční rozhodnuí bez důkladné analýzy vývoje základních ukazaelů. Velký důraz se klade nejen na konsrukci saisicko-ekonomerických modelů charakerizujících základní rysy vývoje celého hospodářsví, ale i na konsrukci modelů finančních časových řad popisujících chování finančního rhu. V současné době časové řady ukazaelů hospodářského vývoje a finančního rhu začínají mí jisou informační schopnos. Správná aplikace současných meod analýzy časových řad může vés k informacím, keré usnadňují rozhodovací činnos na různých úrovních národohospodářského řízení. V 90. leech 0. soleí se začal formova v České republice ržní sysém a jednou z oblasí, kerá se dosala do popředí zájmu, je oblas finančnicví, bankovnicví a burz. Burzovnicví je vysoce specializovanou oblasí, kerá bezesporu hraje základní roli v každé vyspělé ržní ekonomice. Bez dobře fungujících burz by neexisoval kapiálový rh, kerý má za úkol shromažďova volný kapiál a orienova jej am, kde ho lze co možná nejúčelněji využí. Náš kapiálový rh v porevolučních leech vznikal současně s prvními emisemi dluhopisů. Dalším obrovským počinem v omo směru se salo zahájení činnosi Burzy cenných papírů v Praze, kde se začalo obchodova s akciemi akciových společnosí vzešlých z privaizace. Přesože od é doby došlo již k několika významným změnám a překonalo se nespoče překážek, dá se říci, že náš kapiálový rh je oproi kapiálovým rhům západních zemí sále ješě na počáku a bude ješě dlouho rva, než se dosaneme na úroveň vyspělých zemí moderního svěa. Zřejmě nejdůležiějším ukazaelem vývoje celé burzy cenných papírů byl od roku 994 do roku 006 index PX 50. Předkládaná práce se zabývá sledováním různých fakorů, keré mají dopad na vývoj ohoo nejsledovanějšího indexu České republiky. Při modelování indexu PX 50 se vychází ze základních meod modelování finančních časových řad. Základ je vořen Box-Jenkinsovu meodologii výsavby jak sacionárních modelů ARMA, ak nesacionárních modelů ARIMA a ARFIMA, jež voří základ pro další 5

6 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Úvod modelování. Z Box Jenkinsovy meodologie vychází modely s přenosovou funkcí. Tyo modely pokrývají poměrně širokou oblas časových řad. Umožňují sledova závislos mezi časovými řadami a vorbu modelů, keré yo závislosi popisují. Tyo modely jsou v práci využiy při sledování závislosi indexu PX 50 a oborových indexů, popř. indexu Dow Jones EURO STOXX 50. Vzhledem k omu, že užií lineárních modelů při modelování finančních časových řad je značně problemaické, a o z důvodu, že yo modely nejsou schopny zachyi proměnlivosi podmíněného rozpylu, jsou v práci sručně zmíněny základy modelů volailiy. Tyo modely se zdají bý v současnosi nejvhodnějšími modely pro modelování finančních časových řad. S novými směry rozvoje analýzy časových řad dochází aké ke vzniku nového sofware, kerý zpřísupňuje yo meody sále širšímu okruhu zájemců. Je však řeba poznamena, že každý sofware řeší danou problemaiku rochu jinak a není ak neobvyklé, že aplikace sejně nazvaných procedur v různých programových produkech může vés k nesejným výsledkům. V předkládané práci byly použiy program SCA (při vorbě modelů s přenosovou funkcí) a program Eviews 5 (při vorbě modelů volailiy). Další použié programy jsou STATISTICA a MATHEMATICA. 6

7 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh. Přehled o současném savu problemaiky Předkládaná diserační práce se zabývá problemaikou modelování finančních časových řad. Tyo časové řady jsou specifické a ve srovnání s osaními ypy ekonomických časových řad mají určié rysy, keré vyžadují neradiční přísupy k jejich analýze. Analýza finančních časových řad je relaivně nová disciplína Aplikace jejích meod vede k informacím, keré jsou klíčové nejen pro různé finanční analýzy, ale i pro invesiční společnosi či obchodníky s cennými papíry... Finanční časové řady. Akciový rh. Vzhledem k omu, že se ao práce zabývá modelováním burzovního indexu PX 50, kerý od roku 994 do března 006 pařil v České republice mezi nejznámější a nejsledovanější index, je nuné se blíže seznámi se základními pojmy, keré se ýkají obchodování na burze a charakerisiky finančních časových řad.... Základní pojmy Časová řada Časová řada je saisická časová řada,, jejíž chování je zaíženo nejisoou, na rozdíl od deerminisické časové řady, jejíž chování lze srikně popsa maemaickým vzorcem, akže lze např. zkonsruova její přesnou předpověď. Časovou řadu lze chápa jako konkréní realizaci náhodného procesu. Značení Pozorování v časové řadě budeme znači velkými písmeny z konce abecedy (X,Y, Z) a indexova malým písmenem, keré bude předsavova čas. Časovou řadu budeme zapisova ve varu X X,..., nebo analogicky X, kde =,,, n., X n Finanční rh Finanční rh je součás ržního sysému, kerý předsavuje nabídku a popávku peněz a kapiálu. Exisují ři druhy finančních rhů, a o dluhopisové rhy, akciové rhy a devizové rhy. Na dluhopisových rzích se obchoduje s dluhovými cennými papíry, přičemž základní informací ohoo rhu je cena dluhopisu. Na akciovém rhu se obchoduje 7

8 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh s akciemi a základní informací je cena akcie. Na devizovém rhu se obchoduje s peněžními prosředky v různých měnách a směrodaná je cena měny. Finanční časové řady Finanční časové řady jsou řady, keré podávají kvaniaivní informace o finančním rhu. Ceny produků finančního rhu jsou sledovány v určié časové frekvenci a voří ak časovou řadu. Řady, keré vycházejí z cen nebo keré charakerizují ceny a jejich vývoj, se označují jako finanční časové řady. Cenové změny mohou bý definovány různým způsobem, přičemž časo se používá relaivní cenová změna jednoduše označovaná jako míra zisku. Diskréní míra zisku Diskréní míra zisku v čase (značíme R ) je relaivní změna ceny z času - do času (obvykle udávaná v procenech) R = P P P, (..) kde P je náhodná veličina předsavující cenu příslušného finančního akiva v čase, kerý je měřen ve zvolených časových jednokách (dnech, ýdnech, měsících apod.). Logarimická míra zisku Logarimická míra zisku (logarimická cenová změna) v čase (značíme přirozený logarimus úročiele + R odpovídajícího diskréní míře zisku R r ) je P ln( ) ln r = + R = = p p, (..) P kde symbol p označuje logarimus ceny p = ln( P ). (..3) 8

9 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh V praxi diskréní a logarimická míra zisku věšinou nabývají podobných numerických hodno, neboť pro hodnoy ([57]) aproximova R nepříliš vzdálené od nuly lze pomocí Taylorova rozvoje = ln( + R ) Z ohoo důvodu budeme v éo práci jednoně používa symbol míře zisku.... Vlasnosi finančních časových řad r R. (..4) r a mluvi jednoduše o Základní odlišnos finanční časové řady od jiných ekonomických řad je a, že hodnoy finanční časové řady jsou zaznamenávány s vyšší frekvencí denní či dokonce hodinové. Běžné časové řady se sledují věšinou v roční, čvrlení a měsíční frekvencí. Je edy zřejmé, že u finančních časových řad odpadá problém daové nedosaečnosi. Teno problém věšinou nasává u českých makroekonomických časových řad. České makroekonomické řady jsou oiž obecně kráké, v lepším případě obsahují několik desíek pozorování, v horším případě jen několik málo pozorování. Teno fak je dán ím, že řady jsou vesměs sledovány jen posledních le. Předím sice byly yo řady rovněž sledovány, avšak za zcela jiných podmínek (socialisická ekonomika, federace ). Skuečnos, že finanční časové řady jsou sledovány s vyšší frekvencí znamená, že vedle sysemaických fakorů mají na dynamiku časových řad poměrně značný vliv i fakory nesysemaického charakeru. To se projevuje v jejich relaivně vysoké a proměnlivé variabiliě. Mezi ypické rysy finančních časových řad paří (viz např. []) - Podmíněná heeroskedasicia: Finanční časové řady mívají proměnlivou variabiliu. Proo nejlepší výsledky při modelování finančních časových řad dávají modely, keré se snaží dynamicky vysvěli podmíněný rozpyl akových řad (j.rozpyl podmíněný informací o předchozích hodnoách akové řady). Proože kolísání rozpylu ve saisických modelech se označuje jako heeroskedasicia, používá se v omo případě ermín podmíněná heeroskedasicia. 9

10 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh - Lepokurické rozdělení: V eoreických a empirických pracích zabývajících se finančními časovými řadami se časo vychází z oho, že logarimy výnosů mají normální rozdělení s konsanní sřední hodnoou a konsanním rozpylem. Too rozdělení je symerické kolem své sřední hodnoy, zn. jeho šikmos je rovna nule. Další vlasnosí normálního rozdělení je, že koeficien špičaosi je roven řem. V praxi však časo dochází k omu, že rozdělení logarimů denních, ýdenních či črnácidenních výnosů není symerické a je zešikmené. Tao rozdělení mají lusší konce než rozdělení normální, zn. že čenos výskyu exrémně vysokých kladných či záporných výnosů je vyšší než za předpokladu normaliy. Zároveň se ao rozdělení vyznačují enkým pásem, kdy čás hodno uvažované náhodné veličiny leží s vysokou pravděpodobnosí blízko její sřední hodnoě. Pravděpodobnosní rozdělení akového ypu se někdy souhrnně označují jako lepokurická rozdělení. - Výsky segmenů s nízkou a naopak s vysokou volailiou: Typické pro volailiu finančních časových řad je výsky segmenů s nízkou a naopak s vysokou volailiou. Takové segmenování vzniká v důsledku oho, že předchozí vysoká (resp.nízká) volailia vyvolává s velkou pravděpodobnosí aké vysokou (resp.nízkou) volailiu v následujícím čase. - Sacionaria: Časové řady měr zisku obvykle flukuují kolem konsanní (časo nulové) úrovně. Také jejich (nepodmíněný) rozpyl lze považova za konsanní. Too se označuje jako sacionární chování. - Nekorelovanos v časových řadách měr zisku: Dále se v klasických analýzách finančních časových řad předpokládá, že logarimy výnosů jsou nekorelované sejně rozdělené náhodné veličiny s nulovou sřední hodnoou a konsanním rozpylem (jedná se o proces bílého šumu), nebo nezávislé sejně rozdělené náhodné veličiny s nulovou sřední hodnoou a konsanním rozpylem (jedná se o proces srikního bílého šumu). Ve skuečnosi však nemusí bý splněna podmínka nekorelovanosi logarimů výnosů. Nekorelovanos mezi mírami zisku v různých časech však neznamená jejich nezávislos, je o pouze nezávislos lineární, kerá pak lze vyjádři sacionárními lineárními modely ypu ARMA (viz kapiola.). 0

11 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh - Významná korelovanos v časových řadách čverců měr zisku: Časové řady čverců měr zisku, na rozdíl od časových řad měr zisku, se obvykle vyznačují významnou korelovanosí, proo např. úspěšné modely volailiy (kapiola.4) konsruují její předpovědi s využiím čverců měr zisku. - Odlišné reakce volailiy na velké kladné a na velké záporné hodnoy míry zisku: Odlišnos v reakci volailiy podle oho, zda předchází velká kladná nebo velká záporná hodnoa míry zisku, má své ekonomické zdůvodnění a vedla mimo jiné k zobecnění modelů ARCH na GARCH (kapiola.4)...3. Akciový rh Předměem obchodování na akciovém rhu, jak již bylo výše poznamenáno, jsou akcie. Akcie jsou obchodovaelné cenné papíry, s nimiž jsou spojena práva akcionáře jako společníka podíle se na řízení společnosi (právo účasi a hlasování na valné hromadě akcionářů), na zisku společnosi (právo na dividendy) a na likvidačním zůsaku. Akcie fungují na rozdíl od dluhopisů jako dividendové cenné papíry (equiy), jejichž dividendový výnos není předem zaručen. Dokonce i když je společnos zisková, managemen může navrhnou zadržení zisku za účelem vorby fondů pro budoucí invesice Základní pojmy Nominální hodnoa akcie předsavuje podíl na majeku akciové společnosi vyplývající z vlasnicví akcie. Souče nominálních hodno všech akcií je roven výši základního jmění. Dividenda je podíl na zisku společnosi vyplývající z vlasnicví akcie. Výplaa dividend není věšinou předem zaručena a může mí formu peněžní dividendy, akciové dividendy (akcionář získá nové akcie zdarma či za zvýhodněnou cenu) nebo majekové dividendy (např. zdarma výrobky či služby související s danou společnosí). Tržní cena akcie (kurs akcie) je cena, za kerou se akcie obchoduje na kapiálovém rhu.

12 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Volailia je míra průměrné inenziy kolísání kurzů cenných papírů a deviz i úrokových sazeb během určiého časového období (obvykle udáváno jako směrodaná odchylka). Ke každé burze cenných papírů neodmyslielně paří její indexy v roli indikáorů akciového rhu, keré koncenrují pohyby cen mnoha akcií do jediného čísla. Definice akciového indexu zní přibližně ako: jedná se o ukazael (index je lainsky oznamovael) vývoje kurzů akcií příslušného akciového rhu nebo jen určiého odvěví. Základem indexu jsou akcie vybrané podle předem sanoveného klíče, kerým jsou např. základní jmění obchodované společnosi, její ržní kapializace apod., podle čehož se dále odvodí váha vybrané společnosi v sesavovaném indexu. U specializovaných indexů je důležiá příslušnos k vybranému odvěví nebo regionu. Sanovení hodnoy akciového indexu plyne z poměru mezi jeho akuální hodnoou a hodnoou indexu při jeho prvním hisorickém sesavení. Akuální hodnoa indexu se vypočíává v pravidelném inervalu, např. každých 5 veřin, po celou dobu oevření daného akciového rhu. Indexy všeobecně nejsou neměnné, je nezbyné je průběžně akualizova podle oho, jak se mění siuace v ekonomice. Někeré společnosi v indexu obsažené zcela zmizí z rhu, jiné se sloučí, zároveň se mění jejich ržní kapializace, podíl na výkonnosi ekonomiky a edy i váha v indexu. Vývoj akciových indexů je v dlouhodobém výhledu zpravidla růsový, což souvisí s rosoucí výkonnosí ekonomik a celkové živoní úrovně. Exisují ovšem i výjimky, kerou je např. japonský index NIKKEI 5, odrážející již dese le rvající hospodářskou krizi v Japonsku. Krákodobě mohou indexy zaznamena propady až v řádu desíek procen, keré může zapříčini nenadálá událos, jakou byla např. poměrně nedávná Asijská krize, následující finanční krize v Rusku či erorisický úok na World Trade Cener v New Yorku. Kromě denních výkyvů zapříčiněných akuálním vývojem na rzích dále akciové indexy kolísají ve více méně pravidelných inervalech podle oho, v jaké fázi hospodářského cyklu (růs nebo pokles) se nachází příslušná ekonomika či obor (zv. cyklické iuly).

13 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Velmi zajímavý vývoj zaznamenaly svěové indexy od poloviny 90. le minulého soleí, kdy pozvolný růs byl nahrazen růsem spíše rakeovým. Důvodem byla neuvěřielně dobrá výkonnos americké ekonomiky, kerá neměla za posledních několik deseileí obdoby. Svůj podíl si připsal pochopielně i rozvoj elekomunikací a Inerneu (zv. New economy) včeně nereálných očekávání z jeho možného ekonomického přínosu. Na burze se ak obchodovaly společnosi s ržní kapializací v desíkách milionů dolarů, aniž by přiom vyvořily nějaký zisk. Z uvedeného vyplývá, že indexy mají opravdu velmi dobrou vypovídací schopnos a invesorům se jejich sledování vyplaí. Teoreicky ak mohou včas odhali případné přehřáí rhu a odchod do bezpečnějších invesičních insrumenů, nebo naopak dobu vhodnou k navýšení invesic. Skuečnos však bývá rochu jiná kvůli omu, že každý se snaží vyděla a věšinou nevnímá varovné signály Výpoče indexů Tržní indexy jsou běžně sesavovány dvěma základními způsoby. Každý z ěcho způsobů má svá specifika, a proo je důležié zná způsob jejich vorby, aby bylo možné korekně inerpreova vývoj ěcho indexů resp. sav na om či onom rhu. - Podíl konkréního iulu na celkovém indexu je dán ržní kapializací společnosi. Teno výpoče vychází z jednoduché logiky, že věší společnosi by měly mí věší podíl na ržním indexu, proože hospodářské výsledky ěch nejvěších společnosí mají mnohem věší vliv na celkovou ekonomiku než činnos menších společnosí. Tímo způsobem je vořena věšina hlavních svěových indexů jako kupříkladu Sandard & Poor s 500 Index, NASDAQ Composie Index, Wilshire 5000 Index, London FTSE, indexy MSCI a rovněž i český index PX Cenově vážené indexy. Konsrukce akových indexů ignoruje celkové ržní kapializace společnosí a spokojuje se pouze se znalosí akuálních cen jednolivých akcí. To v praxi znamená, že čím vyšší bude cena akcií společnosi, ím vyšší váhu budou mí yo akcie v indexu. 3

14 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Příkladem cenově váženého indexu je jeden z nejznámějších a nejsledovanějších indexů vůbec, americký Dow Jones Indusrial Average. Obdobným způsobem je konsruován i japonský Nikkei 5. Z výše uvedeného je zřejmé, že naproso sejné událosi budou ovlivňova ržní index zcela odlišným způsobem Přehled nejznámějších indexů. Index The Dow Jones Average (DJIA) Index The Dow Jones Indusrial Average (DJIA) je nejznámějším akciovým indexem svěa. Byl vyvořen Charles H. Dowem (respekive Dow Jones Co.) již 6. kvěna 896. Tehdejších dvanác amerických průmyslových akcií vyvořilo index s počáeční hodnoou 40,94 bodů. Od roku 98 má DJIA řice komponen. Těcho 30 amerických průmyslových, mediálních, finančních a echnologických blue-chips v současné době reprezenuje asi pěinu ržní kapializace všech amerických společnosí a asi čvrinu kapializace Newyorské akciové burzy (NYSE). Typy společnosí, keré jsou zahrnuy do ohoo indexu, jsou edy různorodé a pokrývají veškeré hlavní oblasi americké ekonomiky, kromě dopravy a společnosí veřejně prospěšných. Výběr společnosí, keré mají bý zařazeny do báze DJIA, je na úvaze redakorů časopisu The Wall Sree Journal a je v případě pořeby revidován. Původní DJIA byl jednoduše průměr cen akcií. Dnes se užívá cenový vážený sysém. Výhodou ohoo indexu je, že obsál ve zkoušce času. Další výhodou může bý o, že obsahuje 30 nejvýznamnějších společnosí v USA a není považován za volaivní (nesálý) nebo riskanní. Nevýhodou je, že exisuje více než obchodních společnosí v USA a DJIA obsahuje pouze 30 společnosí. Z ohoo důvodu Sandard&Poor s 500 index (S&P 500) začíná přebíra jeho funkci. Kromě oho vážení na základě kapializace rhu (ak je počíán Sandard&Poor s 500 index) je obecně považováno za efekivnější než vážení na základě ceny.. Index The Sandard &Poor s 500 Jak již bylo výše řečeno, hlavní nevýhodou DJIA je, že obsahuje pouze 30 společnosí. Index Sandard&Poor s 500 je v omo ohledu vylepšením DJIA, proože zahrnuje 500 společnosí a navíc se na něj pohlíží jako na základní krierium amerického 4

15 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh akciového rhu. Společnosi, keré jsou zahrnuy do báze ohoo indexu, pokrývají veškeré hlavní oblasi americké ekonomiky. Nejedná se o 500 nejvěších společnosí, ale spíše o 500 společnosí s nejvěším dosahem na rhu vybraných s ohledem na velikos rhu, likvidiu a průmyslový sekor. Společnosi zahrnué do báze indexu S&P 500 vybírá výbor S&P indexu. Každý rok se provádí 5 50 změn v bázi, a o z důvodů vyvoření fúzí nebo úpadků někerých společnosí. V minulosi byly zahrnuy i mezinárodní společnosi, ale v budoucnosi budou přidávány pouze americké společnosi. Index S&P 500 je index vážené ržní kapializace, zn. že každá akcie v indexu je zasoupena v poměru ke své ržní kapializaci. Výhodou ohoo indexu je, jak již bylo uvedeno, že zahrnuje 500 společnosí, zn. nabízí velkou diverzifikaci a zahrnuje přibližně 70% amerického rhu. Naopak nevýhodou je, že 45 špičkových společnosí zahrnuých do indexu obsahuje více než 50% hodnoy indexu. Další nevýhodou je, že je v něm obsažen velmi malý poče zahraničních společnosí. 3. Dow Jones EURO STOXX 50 Index Teno index je jedním z hlavních indexů v Evropě. Zahrnuje 50 evropských bluechips (nejlepších) akcií zemí eurozóny. Ty dohromady voří éměř 60 % souhrnné ržní kapializace zdejších akciových rhů. Index obsahuje například akcie společnosí Nokia, Unilever, Siemens, Deusche Bank, Philips, Allianz, Danone, Ahold nebo Volkswagen. Vznikl v únoru 998 s bází vzaženou k 3. prosince 99 při zahajovací hodnoě 000 bodů. Došlo vlasně ke spojení německé, švýcarské a pařížské burzy. Index obsahuje 4 základní indexy a 9 oborových indexů počíaných pro západní Evropu a země paricipujících v eurozóně. Jsou o: Dow Jones Soxx (všeobecný evropský index), Dow Jones Soxx 50 (evropský blue-chip index 50 blue chips akcií získaných z Dow Jones Soxx), Dow Jones Euro Soxx (všeobecný Euro index, Dow Jones Soxx kromě zemí v EMU), Dow Jones Euro Soxx (50 Euro blue-chips akcií, získaných z Dow Jones Euro Soxx ) a 9 oborových indexů získaných z Dow Jones Soxx a Dow Jones Euro Soxx. Dow Jones Soxx, Dow Jones Euro Soxx a příslušné oborové indexy jsou měříkem výkonnosi akciového rhu, zaímco zbývající dva indexy jsou zaměřeny na deriváové produky. V lednu 999 začalo evropských zemí obchodova na akciovém rhu Evropy 5

16 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh v měně euro Teno index reprezenuje akciový rh Evropy a hlavní burza se nachází ve švýcarském Curychu. Index je indexem vážené ržní kapializace. 4. Index PX 50 a jeho násupce PX Česká burza zavedla svůj oficiální index PX 50 při příležiosi prvního výročí zahájení obchodování. Byl zvolen sandardní výpoče indexu ve shodě s meodologií IFC (Inernaional Finance Corporaion) doporučenou pro vorbu indexů na vznikajících rzích. Na základě rozborů bylo rozhodnuo vyvoři bázi složenou z 50 emisí. Poče bazických emisí byl variabilní. V souladu se Zásadami akualizace báze indexu PX 50 schválenými v prosinci 00 však nemohl převýši padesá. Do báze indexu se nezařazovaly emise oboru č.8 (invesiční fondy) a holdingových společnosí vzniklých ransformací z invesičních fondů, neboť v jejich kursech se již promíaly cenové pohyby bazických emisí. PX 50 Index byl váženým indexem padesái hlavních iulů pražské burzy. V následující abulce (abulka je akuální k únoru 006) jsou uvedeny společnosi, keré se výrazně podílely na vorbě indexu. Tabulka Seznam společnosí podílejících se na vorbě indexu PX 50 k únoru 006 Pořadí Název CP Redukovaný poče CP Redukovaná ržní kapializace (mil.kč) Váha (%) ČEZ ,6,60 ERSTE BANK ,9 9,45 3 ČESKÝ ,7 9,6 TELEKOM 4 KOMERČNÍ ,6 6,9 BANKA 5 UNIPETROL , 6,7 6 ZENTIVA ,6 5,66 7 CETV ,5 5,3 8 PHILIP , 4,39 MORRIS ČR 9 ORCO ,9,54 Celkem ,5 00 6

17 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Za výchozí burzovní den byl zvolen , výchozí hodnoou indexu PX 50 se salo 000 bodů. Index PX 50 byl počíán na základě ržní kapializace. Vzorec pro výpoče indexu PX 50 byl následující: M ( ) PX ( ) = K( ) 000 (..5) M (0) kde M() je ržní kapializace báze v čase, M(0) je ržní kapializace v základním (výchozím) období, K() je fakor zřeězení v čase (zohledňuje změny provedené v bázi indexu). Výpočení vzorec (..5) lze přepsa do varu: kapializace báze v čase PX ( ) = 000 hodnoa báze v če v (..6) Z porovnání vzorců (..5) a (..6) je zřejmé, že hodnoa báze v čase uvedená ve jmenovaeli předchozího zlomku je rovna výrazu M(0)/K(), edy korigované ržní kapializaci báze v základním období. Ke změně hodnoy báze ve vzahu (..6) docházelo nejen při výměně bazické emise, ale i při všech operacích, keré mění ržní kapializaci bazické emise (zvýšení, resp. snížení poču cenných papírů (CP) v emisi, splynuí emisí, emise předkupních práv). Speciální operace výplaa dividendy nezpůsobovala v případě indexu PX 50 změnu hodnoy báze, dividendové výnosy se nezohledňovali. Jednalo se edy o index cenový, nikoliv o "reurn" index. Plané počy CP v bazických emisích vycházel z údajů poskyovaných Sřediskem cenných papírů (SCP). Transformace hodnoy báze byla založena na principu spojiosi indexu v okamžiku změny báze, z něhož plyne následující vzah: kapializace nové báze v čase Nová hodnoa báze = sará hodnoa báze kapializace saré báze v čase. (..7.) 7

18 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Indexy pražské burzy PX 50 a PX-D byly 0.března 006 nahrazeny jediným indexem PX. Výpoče obou indexů byl ukončen 7.března 006. Cílem bylo vyvoři index, kerý by lépe odpovídal požadavkům připravovaného deriváového rhu. Nový index může slouži jako podkladové akivum pro obchodování s fuures na index a zároveň se vyřešil problém s korelací sávajících indexů, keré se vyvíjely éměř oožně. Index PX si uchoval všechny důležié vlasnosi svých předchůdců. Těmi jsou v případě indexu PX 50 jeho velmi cenná, více než dvanácileá hisorie a v případě indexu PX-D, z pohledu likvidiy, opimální složení báze. Pravidla výběru bazických emisí nového indexu oiž zabezpečují, že do báze může bý zařazena pouze likvidní emise. Výchozí báze ak obsahuje emise obchodované v segmenu SPAD, což je charakerisická vlasnos báze indexu PX-D. Index PX edy spojiě navázal na vývoj indexu PX 50 a je rovnocenným násupcem obou sávajících indexů, přičemž slučuje v sobě jejich přednosi. Hodnoa indexu PX-D se po 0. březnu 006 sanovuje za pomoci zv. PX-D koeficienu vynásobeného hodnoou indexu PX. Koeficien pro uo operaci vznikl podílem závěrečných hodno indexů PX-D a PX 50 ze dne a jeho hodnoa byla burzou zveřejněna éhož dne Akciové analýzy Klíč k úspěšnému obchodování na akciovém rhu je velmi jasný a jednoduchý: ve správný okamžik akcie levně koupi a ve správný okamžik je draze se ziskem proda. Problémem je, že kdy nasane en správný okamžik nikdo neví. Proo vznikly akciové analýzy, keré se na základě analýzy různých fakorů snaží naléz y, keré ržní cenu akcií nějakým způsobem ovlivňují. Základní informace o akciových analýzách můžeme nají např. v [70]. Fundamenální analýza Fundamenální analýza se snaží předpovědě jaké fakory působí a ovlivňují pohyby kurzu jednolivých akcií. Posup prognózy se děje ve řech krocích, a o globální analýza, odvěvová analýza a analýza konkréní akcie. Globální analýza zkoumá krákodobé i dlouhodobé vlivy ekonomických makroagregáů na ceny akcií (inflace, hospodářského růs, úrokových sazeb ad.). Odvěvová analýza měří cilivos odvěví na hospodářský 8

19 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh cyklus, rozsah a způsob vládní regulace, sílu odborů, míru inovací v daném odvěví ad. Pomocí finanční analýzy jednolivých iulů se pak sanoví odhad vniřní hodnoy příslušné akcie. Psychologická analýza Psychologická analýza je založena na předpokladu, že na kurz akcií má velký vliv psychologická reakce invesorů zejména v krákodobém časovém horizonu. Zakládá se na předpokladu, že v ekonomii se nedá vše spočía a reakce lidí nejsou založeny na racionálních úvahách. Proo se snaží odhalova změny v psychologickém chování invesorů. Technická analýza Technická analýza je meoda odhadu cen akcií, založená na sudiu chování jednolivých akcií a celkového rhu. Pravděpodobný budoucí vývoj cen se předpovídá na základě vývoje kurzů a objemů obchodů v minulosi ( máme edy k dispozici časové řady ržních cen, objemů obchodů a různých indexů). Přiom se předpokládá, že. Tržní ceny akcií obsahují veškeré relevanní ekonomické, poliické a psychologické informace. Skuečná cena akcie je určena poměrem nabídky a popávky.. Cenový pohyb vždy vyváří určiý rend, ve kerém cena po jisou dobu servává. 3. Vzory ržního chování invesorů se opakují a proo lze z minulého vývoje usuzova na budoucí vývoj. Technický analyik se pokouší rozpozna v pohybu kursu určiý var (formaci) a podle něj časuje nákup a prodej libovolného cenného papíru (iming). K omu používá jednak grafické meody (např. linie podpory a odporu) a jednak echnické indikáory. Technický indikáor je funkce, kerá pro každý den nabývá určié reálné hodnoy, závislé na minulých cenách a objemech konkréní akcie. Technické indikáory jsou součásí obchodních sysémů a generují signály k nákupu (BUY), k prodeji (SELL) anebo k držení (HOLD) akcií. Používané indikáory jsou např. momenum, index relaivní síly, linie růsu a poklesu (AD-Linie), míra změny ad. (viz [83]). 9

20 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Finanční časové řady. Akciový rh Teorie efekivních rhů Teorie efekivních rhů (Efficien marke) je v současnosi nejvýznamnějším proudem v ekonomii. Teorie vrdí, že akciový rh je efekivní a kurzovorné informace v sobě obsahuje éměř okamžiě (rozšíření důležié informace rvá maximálně 30 veřin). Proo selhávají jednolivé obchodní sraegie, proože kurz je vždy objekivní a přizpůsobuje se své vniřní hodnoě a na pohyby kurzu má vliv pouze neočekávaná informace a proo se kurzy pohybují éž neočekávaně. Předpoklady efekivního rhu jsou:. Na akciovém rhu působí obrovské množsví racionálních invesorů, keří průběžně analyzují i obchodují.. Invesoři mají k dispozici dosaek pravdivých, levných a akuálních informací. 3. Invesoři reagují přesně a rychle na nové informace. 4. Transakční náklady jsou nízké. 5. Trh je vysoce likvidní. 6. Žádný účasník nemá monopolní či výsadní posavení. 7. Kvaliní infrasrukura a právní regulace rhu. I přesože eorie efekivních rhů předpokládá, že kurz je vždy objekivní, dochází k pravidelně opakujícím se anomáliím (akvizice a fúze, kóování na burzách, efek malých společnosí, efek nízkého P/E, pondělní efek, lednový efek), keré však lze víceméně spolehlivě vysvěli. 0

21 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie.. Box- Jenkinsova meodologie Nejjednodušší modely popisující chování finančních časových řad jsou lineárně sochasické modely. Základní principy sochasické koncepce vorby lineárních modelů vycházejí z Box Jenkinsovy meodologie, jejíž základy jsou uvedeny v publikaci Boxe a Jenkinse ([4]).... Box -Jenkinsova meodologie : Sacionární procesy V Box Jenkinsově meodologie se za základní prvek konsrukce modelu časové řady bere reziduální složka, kerá může bý vořena korelovanými (závislými) náhodnými veličinami. Box - Jenkinsova meodologie může edy zpracováva časové řady s navzájem závislými pozorováními. Těžišě jejich posupů udíž spočívá ve využií korelační analýzy. Analýza časové řady se v rámci éo meodologie provádí sysemaicky podle předem daného klíče: idenifikace modelu, odhad paramerů modelu, ověřování modelu.... Základní pojmy a apará Box -Jenkinsovy meodologie Jednou z nejdůležiějších vlasnosí časové řady je její sacionaria. Sacionaria časové řady znamená, že chování řady je v jisém smyslu sochasicky usálené. Rozlišujeme. Srikní sacionariu pravděpodobnosní chování příslušného sochasického procesu je invarianní vůči posunům v čase, zn. pravděpodobnosní chování náhodného vekoru ( y, y,..., yk ) (, y y ) y + h + h,..., k + h pro libovolné h. je sejné jako rozdělení vekoru. Slabou sacionariu sochasický proces má konsanní úroveň (j. konsanní sřední hodnou), je rovnoměrně vyvážený kolem své konsanní úrovně (j. má konsanní rozpyl) a kovarianční srukuru druhého řádu je invarianní vůči posunům v čase, j.

22 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie cov( y, ys ) = cov( y+ h, ys+ h ) pro libovolné h. (..) Závislos mezi dvěma libovolnými pozorováními spočívá pouze v jejich vzájemné časové vzdálenosi a ne na jejich skuečném časovém umísění v řadě. Slabá a silná sacionaria splývá v případě normálního procesu. Pokud proces není normální věšinou se předpokládá slabá sacionaia, neboť je méně omezující. Základním prosředkem podávajícím informaci o charakeru sochasického procesu je auokorelační funkce (ACF) a parciální auokorelační funkce (PACF). Na základě chování ěcho funkcí lze idenifikova model konkréních analyzovaných časových řad. Vzhledem k omu, že auokorelační funkce je definována pomocí auokovarianční funkce, definujme nejdříve auokovarianční funkci. Pro sacionární (slabě) časovou řadu y se hodnoa její auokovarianční funkce γ k v bodě k definuje jako γ cov( y, y ) = E( y µ )( y ), =...,0,,... (...) k = + h + h µ k Hodnoa auokorelační funkce ρ k v bodě k se definuje jako γ = k γ ρ = k k, k =...,0,,..., (..3.) γ σ 0 kde µ = Ey je sřední hodnoa a σ y = γ 0 = var( y ) je rozpyl dané sacionární řady. y V případě sacionárního sochasického procesu má auokovarianční a auokorelační funkce následující vlasnosi:. ρ 0 =,. γ k γ 0 ; ρ k, γ k = γ k 3. pro všechna k. ρ = ρ k k Vlasnos 3 znamená, že auokovarianční a auokorelační funkce jsou sudé. Ze sudosi ěcho funkcí vyplývá, že se sačí omezi na k 0. Grafický záznam ρ pro jednolivá k 0 se nazývá korelogram, jednu z jeho forem ukazuje obr.. k

23 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie Obr.: Korelogram Parciální auokorelační koeficien je dalším důležiým pojmem Box Jenkinsovy meodologie. Podává informaci o korelaci veličin y a y očišěnou o vliv veličin ležících mezi nimi y y,..., y. Korelace mezi dvěma náhodnými veličinami je oiž časo způsobena ím, že obě yo veličiny jsou korelovány s veličinou řeí nebo více veličinami. ρ kk, k + k Parciální auokorelační funkce ρ kk je definována jako ρ kk = ρ ρ ρ... ρ... k k ρ ρ ρ ρ... k... k ρ ρ ρ ρ ρ ρ k 3 k ρ ρ ρ ρ k k k k 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ρ k k k.... (..4) Auokorelační (ACF) a parciální auokorelační (PACF) funkce dané řady se v bodě k= shodují. Je edy ρ = ρ (..5) 3

24 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie Pro k = plaí ρ ρ ρ ρ ρ ρ = =. (..6) ρ ρ ρ Při empirické práci s časovými řadami pracujeme ovšem s odhady auokovarianční funkce, auokorelační funkce a parciální auokorelační funkce. Uvažujme-li napozorovanou řadu odhad auokovarianční funkce je odhad auokorelační funkce je c k = n k = y, y,..., y = n n y = y n ( y y)( y y) n. Poom odhad sřední hodnoy je, (..7) + k k =.0,,..., n,, (..8) c r = k k, k = 0,,..., n. (..9) c Aby odhady měly prakický význam požaduje se obvykle n > 50, k < n / 4. 0 Odhady r parciální auokorelační funkce ρ se počíají rekurenně podle kk následujících vzorců r = r kk kde r k k rk, jrk j j= rkk = pro k >, (..0) k r r k, j j j= rkj = rk, j rkkrk, k j pro j=,,, k-. (..) Jak už bylo řečeno, chování auokorelační a parciální auokorelační funkce jsou důležiým ukazaelem, napovídají jaký yp modelu je vhodné pro danou řadu použí. Pro 4

25 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie idenifikaci modelu je důležié urči hodnou k 0 (idenifikační bod), za kerou začínají bý yo funkce nulové. Vzhledem k omu, že míso eoreické auokorelační a parciální auokorelační funkce uvažujeme jejich odhady, bude nás zajíma, jak blízko nule musí bý yo odhady, abychom s předem danou spolehlivosí mohli vrdi, že ρ k = 0, popř. ρ kk = 0. V případě auokorelační funkce ρ k o nulovosi rozhodneme na základě Barleovy aproximace ([9]): je-li = 0 pro k > k, pak ρk 0 k 0 = + σ ( r k ) var( rk ) rj, k > k n 0 (..) j= ( σ r ) je směrodaná odchylka odhadu r auokorelační funkce ρ ). ( k Tesujeme edy k H : = 0 0 ρ k proi (..3) H : ρ k 0 k Je-li rk > σ k, (..4) hypoézu H 0 zamíneme na hladině spolehlivosi 0,05. V případě parciální auokorelační funkce o nulovosi rozhodneme na základě Quenouilleovy aproximace ([69]) pro směrodanou odchylku odhadu pro k > k 0, pak r : je-li = 0 kk ρ kk σ ( rkk ) = var( rkk ), k > k 0. (..5) n (Předpokládá se, že uvažovaný proces vyhovuje zv. auoregresnímu modelu řádu k 0.) Tesujeme H : = 0 0 ρ kk 5

26 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie proi (..6) H : ρ kk 0. Je-li rkk > σ ( rkk ), (..7) hypoézu zamíneme na hladině spolehlivosi 0, Lineární proces Lineárním procesem nazýváme řadu varu y ε + ψ ε + ψ ε..., (..8) = + kde je bílý šum s rozpylem σε a ε ψ j jsou paramery. Časo se využívá operáor zpěného posunuí, kerý je definován jako Při opakovaném použií plaí B By. (..9) = y Lineární proces poom můžeme zapsa ve varu j y = y. (..0) j kde y = ψ ( B) ε, (..) j= ψ ( B) = + ψb + ψ B +... = + ψ jb. (..) Posačující podmínka pro exisenci lineárního procesu (..8) je, že řada v (..) j konverguje podle kvadraického sředu, j. ψ (B) konverguje pro B. Pokud současná hodnoa y lineárního procesu jde vyjádřena pomocí jeho minulých hodno a současné hodnoy bílého šumu, j. y = y + π y + π... ε, (..3) nazývá se eno proces inveribilní. 6

27 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie S využiím operáoru zpěného posunuí lze ekvivalenně psá π B) = ε (, kde π ( B) = π B π B... = π. (..4) y Posačující podmínka pro inveribiliu lineárního procesu ([4]) je Vzah mezi π j a π (B) konverguje pro B. ψ j lze schemaicky zapsa jako j= jb j ψ ( B) π ( B) =. (..5) Vynulováním všech paramerů lineárního procesu až na konečný poče dosaneme procesy, keré mají prakický význam. Jsou o: proces klouzavých součů řádů q ( MA(q)), auoregresní proces řádů p (AR(p)) a smíšený proces řádů p a q (ARMA(p,q) ).... Proces klouzavých součů MA(q) Proces klouzavých součů řádů q značený jako MA(q) má následující var y = ε + θ ε + θε θqε q. (..6) Pokud použijeme symbolu zpěného posunuí, dá se zapsa jako y = θ ( B) ε, kde θ ( ) = + θ. (..7) q B j= Polynom θ (B) je zv. operáor klouzavých součů, ε je bílý šum a θ j jsou paramery. Proces MA(q) má následující vlasnosi: je sacionární pro libovolnou volbu jeho paramerů θ j, proces je inveribilní, jesliže všechny kořeny polynomu θ (B) leží vně jednokového kruhu (v komplexní rovině), sřední hodnoa je nulová, rozpyl σ y je roven σ y = ( + θ θ ) σ ε, (..8) auokorelační funkce ρ k má var q j j B ρ k θ k = + θ θ k + + θ θ θ q k q θ q pro k =,,, q (..9.) 7

28 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie ρk = 0 pro k > q. Idenifikační bod pro auokorelační funkci je k = q. k0 0 parciální auokorelační funkce je omezena buď geomericky klesající posloupnosí nebo sinusoidou s geomericky klesající ampliudou. Nejpoužívanější modely procesu klouzavých součů jsou. a.řádu (MA(), MA()).... Auoregresní proces AR(p) Auoregresní proces řádu p značený jako AR(p) je definován jako y = ϕ y ϕ p y p + ε. (..30) Pomocí symbolu zpěného posunuí B se dá zapsa jako kde B p ) = j= ϕ( ϕ j j B ϕ ( B) = ε, (..3) y je zv.auoregresní operáor. Proces AR(p) má následující vlasnosi: proces je vždy inveribilní (pro libovolnou volbu paramerů ϕ j ), proces je sacionární, jesliže všechny kořeny polynomu ϕ(b) leží vně jednokového kruhu (v komplexní rovině), sřední hodnoa procesu je nulová, rozpyl σ y je roven σ y = σ ε ϕρ... ϕ p ρ p, (..3) auokorelační funkce je lineární kombinací klesajících geomerických posloupnosí a sinusoid různých frekvencí s geomericky klesajícími ampliudami, pro parciální auokorelační funkci procesu AR(p) je idenifikační bod = p, j. k 0 ρ kk = 0 pro k > p. druhého. Podobně jako u procesu klouzavých součů se v praxi používají modely nejvýše řádu 8

29 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie...3. Smíšený proces ARMA(p,q) Smíšený proces řádu p a q značený jako ARMA(p,q) je definován jako y = ϕ y ϕ p y p + ε + θ ε + θε θqε q. (..33) Pokud použijeme symbolu zpěného posunuí B, dá se zapsa jako p ϕ ( B) y = θ ( B) ε, (..34) kde ϕ( ) = ϕ, θ ( ) = + θ. (..35) B j= j j B q B j= j j B Proces ARMA(p,q) má následující vlasnosi: podmínka sacionariy je oožná s podmínkou sacionariy procesu AR(p) a podmínka iveribiliy je oožná s podmínkou inveribiliy procesu MA(q), sřední hodnoa procesu je nulová, auokorelační funkce je ve varu lineární kombinace klesajících geomerických posloupnosí nebo sinusoid s geomericky klesající ampliudou po prvních q-p hodnoách, parciální auokorelační funkce je ve varu lineární kombinace klesajících geomerických posloupnosí nebo sinusoid s geomericky klesající ampliudou po prvních p-q hodnoách. Při prakických aplikacích Box Jenkinsovy meodologie se obvykle vysačí s procesy, pro něž p + q, j.s auoregresními procesy do maximálně druhého řádu a procesy klouzavých součů éž do maximálně druhého řádu Výsavba modelu ARMA(p,q) Výsavbu modelu lze rozděli do ří základních kroků idenifikace modelu, odhad paramerů modelu, ověřování modelu. 9

30 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie Idenifikace modelu Idenifikace modelu je první fází výsavby modelu. Jejím úkolem je rozhodnou, jaký yp modelu vybra, j. zda AR, MA nebo ARMA, a explicině urči řád modelu. Před vlasní idenifikací se obvykle pořídí grafický záznam řady, pomocí něhož se opicky zkonroluje sacionaria dané řady, j. zda charaker řady zůsává v čase sejný včeně udržování konsanní úrovně. V případě, že sřední hodnoa sacionárního procesu je nenulová, je nuné danou řadu cenrova. Po ěcho přípravných operacích lze přisoupi k vlasní idenifikaci, kerá je založena na zkoumání průběhu odhadnué auokorelační funkce r k a parciální auokorelační funkce r kk. Sačí obvykle použí prvních 0 hodno ěcho funkcí. Snažíme se především zjisi exisenci případného idenifikačního bodu k 0 (esy byly uvedeny v kapiole...). Vzhledem k omu, že pracujeme s odhady auokorelační a parciální auokorelační funkce, je vhodné nerva na jednom modelu, ale vzí v úvahu a přezkouše několik alernaiv. Odhad paramerů modelu Po idenifikaci modelu lze přisoupi k druhé fázi výsavby modelu, a o odhadu paramerů modelu. Pokud se rozhodneme pro nějaký yp modelu, určíme počáeční odhady paramerů podle vzorců uvedených v [8]. Tyo hrubé odhady je možné použí jako počáeční hodnoy v ieračních odhadových procedurách. Popis ěcho procedur je značně komplikovaný a v současné době exisují saisické pakey, keré požadovaný odhad paramerů provedou. Odhadování paramerů v modelech časových řad můžeme provádě např. podmíněnou meodou nejmenších nelineárních čverců nebo nepodmíněnou meodou nejmenších nelineárních čverců. Ve sudii [8] bylo ukázáno, že pro řady s délkou v průměru věší než 75 je rozdíl mezi oběma meodami zanedbaelný, akže vzhledem k výpočení jednoduchosi se pak preferuje podmíněný přísup. V sezónních modelech se naopak doporučuje používa vždy přísup nepodmíněný. Ověřování modelu Třeí fáze výsavby modelu v Box Jenkinsově meodologii je ověřování modelu zkonsruovaného v předchozích dvou fázích. Too ověřování má povrdi nebo zamínou adekvános modelu. Jesliže jsou zjišěny nesrovnalosi mezi danou časovou řadou a zkonsruovaným modelem, je řeba celý řífázový posup zopakova. V omo případě by však 30

31 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie zároveň měly bý v rámci ověřování modelu získány informace, jakým způsobem model opravi. Vzhledem k omu, že meody posuzují adekvános modelu z různých hledisek a s různou účinnosí, doporučuje se použí vždy více akových meod současně. Mezi meody ověřování adekvánosi modelu paří např. meoda přeparamerizování modelu, meoda odhadnuých reziduí nebo Pormaneau es. Výše uvedená kriéria můžeme nají v publikaci [0]. Při analýze časové řady můžeme dojí k závěru, že exisuje několik akcepovaelných modelů. Někdy je jednoduché z éo množiny vybra en nejlepší. Může ale nasa siuace, kdy výběr nejlepšího modelu je velice obížný. Pro řešení éo úlohy bylo navrženo několik dodaečných kriérií. Tyo kriéria jsou založena na porovnání reziduí jednolivých modelů prosřednicvím souhrnných saisik. Mezi nejpoužívanější paří (viz např.[7]) Akaikeho kriérium AIC Akaikeho kriérium AIC má následující var kde + AIC( M ) = n ln s M, (..36) s je reziduální rozpyl použiého modelu ARMA(p,q), n je poče pozorování a M = p + q je celkový poče paramerů ohoo modelu. Akaikeho kriérium BIC Bylo dokázáno, že kriérium AIC vede k nadhodnocení řádu auoregrese, udíž Akaike (979) oo kriérium rozšířil do formy = M ( ) s y BIC( M ) nln s n M ln + + M ln n M ln, (..37) n M s kde s je reziduální rozpyl použiého modelu ARMA(p,q), n je poče pozorování, M = p + q je celkový poče paramerů ohoo modelu a zkoumané časové řady. Schwarzovo bayesovské kriérium SBC Schwarzovo bayesovské kriérium SBC má var s y značí výběrový rozpyl 3

32 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie kde SBC(M ) = n ln s + M ln n, (..38) s je reziduální rozpyl použiého modelu ARMA(p,q), n je poče pozorování a M = p + q je celkový poče paramerů ohoo modelu. Ve všech případech se vybírá model, kerý minimalizuje hodnou použiého kriéria.... Box Jenkinsova meodologie: Nesacionární procesy Původní finanční časové řady (kurzy akcií) mají zpravidla nesacionární charaker, ať už z hlediska časově proměnné sřední hodnoy nebo časově proměnného rozpylu. Tyo řady lze v někerých případech modelova pomocí modelů ARIMA. Tyo modely oiž modelují sochasicky vedle náhodných flukuací i rendovou složku. Sacionariy lze v mnohým případech dosáhnou diferencováním původní časové řady. Pro časové řady z praxe se přiom málokdy použije řád diferencování věší než. Určení řádu diferencování můžeme nají např. v [0]. Diferencováním se edy nesacionární řada převede na sacionární a poé lze proces vyjádři pomocí modelů ARMA.... Inegrovaný smíšený model ARIMA (p,d,q) Smíšený model ARIMA (p,d,q) definujeme jako kde je d-á diference modelovaného procesu w ARMA(p,q) pro proces. ϕ ( B) w = θ ( B) ε, (..39) w d = y (..40) y. Model (..39) je sacionární model Je zřejmé, že diferenční operáor lze vyjádři pomocí operáoru zpěného posunuí, neboť y = y y = ( B) y, y = ( y ) = y y + y = ( B) y, (..4). Model ARIMA(p,d,q) lze edy přepsa do varu 3

33 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie d ( B) y θ ( B ε ϕ ( B) = ). (..4) ( ) d Operáor ν ( B) = ϕ( B) B se nazývá zoběcněný auoregresní operáor. Při výsavbě modelu ARIMA(p,d,q) se posupuje následujícím způsobem. Nejdříve se diferencováním analyzované řady y zkonsruuje sacionární řada w. Pro uo řadu se vybuduje proces ARMA(p,q). Vlasní konsrukce modelu ARIMA je ješě obvykle zahájena případným ransformováním časové řady a pak sanovením řádu diferencování d. Účelem ransformace časové řady je linearizova řadu ak, aby ji bylo možné popsa modelem ARIMA nebo jeho speciálními případy AR, MA nebo ARMA. Linearizací se dosáhne především oho, že náhodné šoky generující řadu mají opravdu charaker bílého šumu s konsanním rozpylem a časo navíc s normálním rozdělením. Box a Cox (viz [3]) navrhli ransformaci z z λ y = λ = ln y pro λ 0, (..43) pro λ = 0 kde z označuje ransformovanou řadu a λ ransformační paramer. Odhad parameru λ je však poměrně komplikovaný (opimalizační procedura je založena na principu zv.maximální věrohodnosi), proo se časo používá ransformace (viz např. [54]) z z λ = y = ln y pro λ 0. (..44) pro λ = 0 Prakicky nejvíce používané hodnoy jsou λ = ; 0,5; 0;0,5;. Jednolivým hodnoám parameru λ odpovídají po řadě ransformace y, y,ln y, y, y. Přibližné hodnoy parameru λ lze zjisi ak, že časovou řadu rozdělíme na kráké úseky (zhruba 4- pozorování) a zjisíme odpovídající průměry odchylky s [ ]. Pokud leží body j y j a směrodané y j, s j přibližně na horizonální přímce, ransformace není 33

34 Prognosické modely v oblasi modelování finančních časových řad Box-Jenkinsova meodologie nuná. Leží li yo body přibližně na rosoucí přímce, použije se logarimická ransformace. Po ransformaci řady se přejde k určení řádu diferencování. Přehled meod, keré se doporučují pro určení řádu diferencování je uveden v [0]. Pro časové řady z praxe se přiom málokdy použije řád diferencování d věší než. Nyní se už sesaví model ARMA(p,q) pro řadu w = z. d Nejjednodušším a zároveň prakicky důležiý speciální případ ARIMA(0,,0) je proces náhodné procházky ( B) y = ε Bez operáoru zpěného posunuí lze zapsa jako. (..45) y = + ε. (..46) y Poznamenejme, že modely ARIMA(p,d,q) mohou kromě rendů vyžadujících sochasické modelování zachyi i čisě deerminisické rendy. Model ARIMA(p,d,q) můžeme rozšíři následujícím způsobem ϕ ( B) w = δ + θ ( B) ε, (..47) kde δ je konsana. Téo definici vyhovují procesy varu (plyne z poznaku o diferencování polynomů) kde d d 0 + β + + βd + y, (..48) β... β 0 + β β d je polynomický rend řádu d a y je proces ARIMA(p,d,q) varu ϕ ( B) w = θ ( B) ε. hodnoou. V případě ohoo modelu w předsavuje proces ARMA(p,q) () s nenulovou sřední... Modely časových řad s dlouhou paměí (ARFIMA(p,d,q)) U sacionárních procesů ARMA klesá ACF exponenciálně s rosoucím zpožděním. To znamená, že náhodné veličiny, keré jsou od sebe časově vzdálené, můžeme pokláda za 34