4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal

Transkript

1 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, Faktály ve fyzice Oldřich Zmeškal Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, Vysoké učení technické, Pukyňova 118, 612 Bno, Česká epublika mail: zmeskal@fch.vutb.cz Abstakt. Příspěvek se zabývá aplikací faktální geometie při fomulování zákonů popisujících vlastnosti fyzikálních polí. K popisu vlastností takovýchto objektů se používají dva základní paamety: faktální dimenze, kteá chaakteizuje tend opakování motivu objektu v -ozměném postou při změně měřítka a faktální mía K, kteá chaakteizuje počet elementáních objektů, ze kteých je faktální stuktua složena. Výsledky zobecňují známé poznatky popisující inteakce mezi bodovými objekty, tj. objekty s faktální dimenzí = (např. hmotnými body, bodovými elektickými náboji), esp. hmotnými nebo nabitými tělesy ( = = 3) na objekty mající faktální stuktuu,. Odvozené vztahy lze použít také k popisu vlastností jiných duhů polí (akustických, teplotních, atd.) Lze je také aplikovat obecně na -ozměný posto, tj. např. k popisu vlastností časopostou (speciální a obecná teoie elativity). Klíčová slova. faktální stuktuy, faktální dimenze, faktální mía, fyzikální pole, faktální geometie, elektostatické pole, gavitační pole 1. Úvod Většina příodních objektů má faktální chaakte [1, 2]. Jejich vlastnosti mohou být popsány dvěma základními paamety faktální míou K a faktální dimenzí. Faktální mía přitom definuje zaplněnost postou elementání buňkou mající učité vlastnosti (hmotnost, elektický náboj, obecně enegii), faktální dimenze pak tend změny zaplněnosti postou při změně měřítka (jeho velikost může být menší nebo větší než je velikost měřící buňky). Faktální dimenze se může měnit mezi dvěmi limitními hodnotami: - po = bude změna faktální stuktuy při změně měřítka maximální (v eálném světě tomu odpovídají idealizované objekty, např. hmotný bod, bodový elektický náboj), 1

2 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, po =, kde = 3 je euklidovská dimenze postou, nebude změna vlastností stuktuy na velikosti měřítka záviset (v eálném světě to může být např. tuhé těleso, ideální plyn, homogenně ozložený elektický náboj atd.). 2. Zaplněnost postou faktální stuktuou Faktální míu K lze definovat ovnicí [3, 4] ( ε ) = m K = N ε (1/ ), (1) kde ε je velikost měřítka, N(ε) je počet objektů o velikosti ε, kteé pokývají danou stuktuu, esp. m je počet opakování zmenšeného objektu v síti o velikosti a 1/ je změna měřítka. Faktální dimenzi stuktuy lze potom učit deivací (1) podle velikosti (esp. změny) měřítka d ln N = d lnε ( ε ) ln( m) ln(). (2) Faktální dimenze 2 (plošných) objektů může být učena numeicky např. pomocí předcházejících ovnic užitím počítačů např. metodou počítání čtveců ( box counting method ) nebo mass method. Obě metody jsou navzájem komplementání ( ε =1, N ( ε ) = m ) a dávají stejné výsledky faktální dimenze. Pokytí plochy faktálním objektem může být tedy popsáno ovnicí ( ) m 2 N S () = = = K. (3) 2 2 Rovnice (3) může být zobecněna po -dimenzionální posto na tva F () ( ) m N = = = K, (4) kde je topologická dimenze postou. Hodnotu F() si nazveme zaplněnost (pokytí) postou. Poslední ovnice vyjadřuje závislost zaplněnosti postou na jeho velikosti (učeném např. délkou hany v -ozměném postou), ale také na paametech K a. Faktální dimenze se tedy může měnit v intevalu,. Limitní případy jsou - zaplněnost postou fyzikální veličinou se po = (t.j. když množství veličiny je nezávislé na velikosti postou, N ( ) = K ) snižuje s jeho velikostí podle vztahu F() = K (po > 1). - zaplněnost postou je nezávislá na velikosti postou po = (t.j. posto je homogenně zaplněn) a je ovno faktální míře F() = K. Počet objektů v ohaničené oblasti (po > 1) se zvyšuje s jeho velikostí podle N = K. () ob. 1 Pokytí (zaplněnost) dvoudimenzionálního postou 2

3 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, Situace po 2 posto je znázoněna na ob. 1; ozdílné konstanty K a K * jsou způsobeny adiálním ohaničením postou (čtvecová oblast byla nahazena kuhovou) 3. Intenzita a potenciál fyzikálního pole Hustotu faktální fyzikální veličiny ρ ( ) (např. hustotu elektického náboje nebo hustotu hmotnosti) v - ozměném euklidovském postou můžeme definovat vztahem ρ( ) = ef( ) = ek, (5) kde je polomě elementání buňky, e je kvantum fyzikální veličiny, K faktální mía a faktální dimenze. Z tohoto vztahu můžeme také učit množství fyzikální veličiny Q() (např. hmotnosti nebo elektického náboje) v postou o objemu V * * Q() = en( ) = ρ dv = ek = ρ(), (6) V* kde dv * = d( ) je elementání objem -ozměného postou. Intenzitu fyzikálního pole můžeme učit užitím Gauss-Ostogadského věty po adiální pole pomocí vztahu ( ) div = k ρ, (7) d = k ρ + 1 d (), (8) kde konstanta k je úměná příslušné fyzikální konstantě (např. pemitivitě nebo gavitační konstantě). Intenzita elektického pole a potenciál V souvisí navzájem vztahem = gadv, (9) takže obě veličiny souvisí s hustotou faktální veličiny ρ ( ) pomocí vztahu ( ) V = div = k ρ, (1) kde je Laplaceův opeáto. Tato ovnice může být po adiální ozdělení faktální veličiny ρ () přepsána do tvau 2 d V = k ρ d (). (11) Z těchto vztahů lze vypočítat závislost intenzity a potenciálu adiálního fyzikálního pole 3

4 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, = k( ek), V = k( ek). (12) ( + 2) na velikosti elementání buňky. Závislost adiálních složek hustoty fyzikální veličiny, intenzity a potenciálu fyzikálního pole po ůzné hodnoty faktální dimenze jsou znázoněny na ob. 2 a ob. 3. Z hustoty fyzikální veličiny ρ ( ) dané vztahem (5) lze učit adiální složku intenzity a také odpovídající potenciál V fyzikálního (např. elektického nebo gavitačního) pole. V následující části je tento, čistě matematický apaát použit po popis vlastností elektostatického a gavitačního pole. a) b) c) ob. 2 Závislost fyzikální veličiny na vzdálenosti a na faktální dimenzi a) adiální hustota fyzikální veličiny ρ(, ), b) adiální intenzita pole fyzikální veličiny (, ) a c) adiální potenciál fyzikálního pole V (, ) po topologickou dimenzi = 3 a) b) c) ob. 3 Závislost fyzikální veličiny na topologické dimenzi a faktální dimenzi a) adiální hustoty fyzikální veličiny ρ(, ), b) adiální intenzity fyzikálního pole (, ) a c) adiálního potenciálu V (, ) po ozmě = 2 4. lektostatické a gavitační pole Hustota faktální fyzikální veličiny ρ ( ) ve tojdimenzionálním postou ( = 3) lze přepsat podle (5) do tvau 3 ( ) = ρ ρ, (13) kde ρ = ek a e je kvantum fyzikální veličiny. Pomocí ovnice (7) lze učit také množství fyzikální veličiny Q() (např. hmotnosti nebo elektického náboje) ve 3 postou 4

5 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, = ρ, (14) () = Q Q kde Q = 3ρ / je hmotnost (elektický náboj) v postou o velikosti = 1. Intenzita a potenciál fyzikálního pole pak může být zapsána jako (12) 2 1 = kρ, V = kρ. (15) ( 1) Konstanta k v těchto vztazích má ůzný význam po jednotlivé typy polí a po ůzné faktální dimenze (viz Tabulka I). Tabulka I Typické faktální dimenze v -ozměném postou nezávislá veličina typ pole objem kρ (elstat) kρ (gav) Q, M = konst. bodový objekt/sféické V* = 4π 3 /3 Q /4πε GM 2 V = konst. ekvipotenciální/cylindické V* = 2π 3 τ /2πε 2Gτ 1 = konst. homogenní/ovinné V* = 8 3 σ /ε 4πGσ ρ = konst. homogenní hustota ρ /ε 4πGρ Veličiny popsané v předcházející části byly užity po popis vlastností elektostatického pole s definovaným ozdělením elektického náboje. V následující části budou diskutovány speciální případy, např. intenzita a potenciál pole v okolí homogenně nabité ovinné desky ( = 1 = 2), esp. homogenně nabité tyče ( = 2 = 1). Jsou zde uvedeny také vztahy popisující vlastnosti elektostatického pole v okolí bodového náboje ( = ), esp. v homogenně nabitém tělese ( = = 3) (viz ob. 4) ob. 4 Speciální geometie po a) ovinné, b) cylindické,c) sféické pole ve 3 postou Po faktální dimenzi = a euklidovskou dimenzi = 3, tj. po adiální intenzitu a potenciál V elektického pole ve vzdálenosti od bodového elektického náboje Q lze ovnici (16) přepsat do tvau 1 Q 1 Q =, V 2 =, (16) 4πε ε 4πε ε 5

6 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, kde ε ε je pemitivita postředí, k = 3 (4πε ε ) a 4π 3 je koeficient po tansfomaci z kychle na kouli Po = představuje ovnice (16) ve 3 postou ( = 3) např. intenzitu a potenciál elektického pole uvnitř homogenně nabitého tělesa s konstantní hustotou elektického náboje ρ ρ ρ 2 =, V =, (17) 3ε ε 6ε ε kde k = 1 ε ε. Po = 1 = 2 definuje ovnice (16) ve 3 postou ( = 3) např. intenzitu a potenciál elektostatického pole v okolí homogenně nabité desky s konstantní plošnou hustotou náboje σ σ = = const., V 2ε ε σ =, (18) 2ε ε kde k = 1 ε ε. Po = 2 = 1 epesentuje (16) ve 3 postou ( = 3) elektické pole a potenciál v okolí homogenně nabité tyče s konstantní lineání hustotou náboje τ τ τ ln ( ) =, V =, (19) 2πε ε 2πε ε kde k = 1 2πε ε, π je koeficient po tansfomaci z kychle na válec a je vzdálenost tyče od místa s nulovým potenciálem (např. ). Závislosti adiální složky intenzity elektostatického pole po ůzné hodnoty faktální dimenze je znázoněna na ob. 5. Stmost závislostí souhlasí s poznatky známými po speciální případy. Po homogenní těleso, esp. homogenně nabité těleso je stmost závislosti lineáně ostoucí m ~ ( = 3, = 3); po homogenní gavitační, esp. elektostatické pole je m ~ konst. ( = 3, = 2) a po homogenní, esp. homogenně nabitou tyč je m ~ 1/ ( = 3, = 1). Po bodový elektický náboj (Coulombův zákon) nebo hmotný bod (Newtonův zákon) bude se závislost limitně blížit hodnotě m ~ 1/ 2 ( = 3, ). Závislost po =,1, což je hodnota blízká ideálnímu případu je znázoněna na obázku. 6

7 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, (a.u.) 3, 2,5 2, 1,5 1,,5, ~ 1/ 1.9 ~ 1. ~. ~ 1/ 1. =.1 = 1. = 2. = 3. 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, (a.u.) ob. 5 Závislosti adiální složky intenzity fyzikálního pole () po topologickou dimenzi = 3 a ůzné faktální dimenze V (a.u.) ~ 1/.1 ~ 1/.9 ~ 2. ~ 1. = 3, = 2, =,9 =,1 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, (a.u.) ob. 6 Závislosti adiální složky potenciálu fyzikálního pole V () po topologickou dimenzi = 3 a ůzné faktální dimenze Závislost adiální složky potenciálu po ůzné hodnoty faktální dimenze jsou zobazeny na ob. 6. Po homogenní těleso, esp. homogenně nabité těleso bude stmost potenciálu na vzdálenosti ůst paabolicky m ~ 2 ( = 3, = 3), po homogenní pole v okolí ovinných těles, esp. plošně nabitých desek bude závislost lineání m ~ ( = 3, = 2). Po lineání tyč, esp. lineáně nabitou tyč bude situace složitější. Stmost se bude (po = 3, 1) limitně blížit konstantě m ~ konst., ale po = 1 nebude závislost definována. Na obázku je uvedena závislost po =.9, 7

8 4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, což je hodnota blízká diskontinuitě. Po bodový náboj (Coulombův zákon) nebo hmotný bod (Newtonův gavitační zákon) bude stmost potenciálu m ~ 1/ ( = 3, ). Na obázku je uvedena závislost po =,1, což je hodnota blízká ideálnímu případu. 5. Závě Příspěvek se zabývá komplexním popisem konzevativních polí v okolí faktálních objektů v euklidovském postou. Jsou definovány fyzikální veličiny použité k popisu ůzných vlastností fyzikálních polí (elektického a gavitačního). Použitý matematický apaát byl aplikován také na popis elektických vlastností polovodičů, tepelných vlastností ideálního plynu [5] ale také k popisu vlastností elementáních částic [6, 7, 8]. 6. Liteatua 1. B. B. Mandelbot, Factal geomety of natue. New Yok: W.H. Feeman and Co. (1983) 2. M. F. Bansley, Factals veywhee. Boston: Academic Pess (1988) 3. O. Zmeskal, M. Nezadal, M. Buchnicek, Chaos, Solitons & Factals 17, 113 (23) 4. O. Zmeskal, M. Nezadal, M. Buchnicek, Chaos, Solitons & Factals; 19, 113 (24) 5. O. Zmeskal, M. Buchnicek, M. Vala, Chaos, Solitons & Factals 25, 941 (25) 6. M. S. l Naschie, Chaos, Solitons & Factals, 19, 29 (24) 7. M. S. l Naschie, Chaos, Solitons & Factals, 2, 437 ( 24) 8. O. Zmeskal, M. Buchnicek, P. Bedna, Chaos, Solitons & Factals 19, 113 (24) 8