Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky"

Transkript

1 Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše k nasměrování, kde odpověď hledat v učebních materiálech. Diferenciální počet. Definujte parciální derivaci funkce f(x, y) podle x a podle y a napište její praktický (geometrický) význam. f x = lim f(x + x, y) f(, y), jedná se o směrnici tečny, x 0 x která leží v rovině kolmé na osu patřící k proměnné, podle níž se nederivuje nebo o poměr rychlosti růstu veličiny podle které se derivuje a funkčních hodnot, za předpokladu konstantnosti veličiny, podle které se nederivuje. 2. Vysvětlete geometrický význam parciální derivace. o můžeme říct o funkci, která splňuje f(2, ) = 3 a f x(2, ) = 6? Vysvětlete pomocí vhodné charakteristiky vhodné přímky. Přímka, která je rovnoběžná s rovinou xz a je v bodě 2, tečná ke grafu funkce z = f(x, y) má směrnici Vysvětlete význam parciální derivace jako míry rychlosti s jakou se mění funkční hodnoty. o můžeme říct o funkci, která splňuje f(2, ) = 3 a f x(2, ) = 6? 8. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce tří proměnných a vypočtěte gradient (totální diferenciál) funkce x 2 + y 2 z Definujte divergenci (rotaci) vektorové funkce a vypočtěte divergenci (rotaci) funkce F = y x x 2 + y 2 i + x 2 + y 2 k., ) 2xy i + (x 2 y 2 ) j + (x 2 y 2 ) k 2xy (x 2 + y 2 ) 2, ( (x 2 + y 2 ) 2 rot F = div F = 0. Vypočtěte (divergenci) rotaci vektorového pole F = (2xy 2 z + xy) i + (2x 2 yz + ax 2 ay 2 ) j + x 2 y 2 k a zjistěte, zda může být pro nějakou hodnotu reálného parametru a nulová. (Pozn: myšleno jako identicky nulová funkce, tj. rovna nula v celém prostoru.) rot F = 0 i + 0 j + (2a )x k, rotace je nulová pro a = 2 div F = 2y 2 z + 2x 2 z + y 2ay, divergence není nulová pro žádnou hodnotu reálného parametru a, Je-li x = 2 a y =, y zůstává konstantní a x se mění v čase, potom se veličina z mění šestkrát rychleji než veličina x. Pro malé h platí f(2 + h, ) 3 + 6h. 4. Pro funkci dvou proměnných z = xye y vypočtěte všechny parciální derivace. viz MAW nebo WolframAlpha 5. Pro funkci tří proměnných u = x 2 + y 2 z 2 vypočtěte všechny parciální derivace. 6. Pro funkci z(x, y) = xy 2 ln(ax + y 2 ) s reálným parametrem a vypočtěte všechny parciální derivace. z x = ln(ax + y 2 ) + ax ax + y 2, z y = 2xy ln(ax + ) + 2xy3 ax + y 2 7. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce dvou proměnných a vypočtěte gradient (totální diferenciál) funkce z = xy a e y, kde a R \ {0} je reálný parametr. f dx + y dy, df = f x ) ( f x, f y f(x, y) =. Napište vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce dvou proměnných f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) a použijte tento vzorec pro nalezení tečné roviny ke grafu funkce z = x 2 + xye y v bodě 2, 0. z = f(x0, y0) + f(x0, y0)(x x0, y y0) 2. Napište vzorec pro lineární aproximaci funkce tří proměnných f(x, y, z) v okolí bodu (x 0, y 0, z 0 ) a použijte tento vzorec pro lineární aproximaci funkce u = x 2 + y 2 z 2 v okolí bodu,,. f(x, y, z) f(x0, y0, z0)+ f(x0, y0, z0)(x x0, y y0, z z0), f(x, y, z) x + y z 3. Zformulujte Schwarzovu větu a ukažte její platnost na funkci z = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y z xy = 2 z yx 4. Najděte vektor, který je v bodě (2, ) kolmý k vrstevnici funkce z = x 2 y xy 3. = (3, 2) x=2 y= = (2xy y 3, x 2 3xy 2 ) x=2 y= (x 2 y xy 3 )

2 5. Najděte tečnu ke grafu funkce dané v okolí bodu (2, ) implicitně rovnicí x 2 y xy 3 2 = 0. (použijte aparát parciálních derivací) (x 2, y ) = 0 = 3x 2y 4 = 0 x=2 y= (x 2 y xy 3 2) 6. Ověřte, zda je výraz x 2 ydx+ (y + 3 ) x3 dy totálním diferenciálem. Pokud ano, nalezněte jeho kmenovou funkci.. Kmenová funkce = x 2 = ( y + 3 x3) x je 3 x3 y + 2. Ano, protože (x2 y) y 7. Zformulujte nutnou a postačující podmínku, která udává, kdy je možno funkci dvou proměnných ϕ(x, y) zapsat ve tvaru ϕ(x, y) = f(x)g(y), kde f a g jsou vhodné funkce jedné proměnné. Naznačte hlavní myšlenku odvození této podmínky a její použití na funkci ϕ(x, y) = x 2 y 2 ϕ 2 x y ln(ϕ) = ϕ 0 = x Je-li ϕ(x, y) nenulová množině, platí, že funkci ϕ(x, y) je ve y) = f(x)g(y) právě tehdy y ϕ = 0. Pokud ϕ = f(x)g(y), potom ln ϕ = ln f(x) + ln g(y) a y ϕ ϕ na konvexní možno zapsat tvaru ϕ(x, ϕ x ϕ když 2 xy ϕ ϕ x x 2 Integrální počet. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x x 2 + y 2 ds po křivce = {(x, y) : x = cos(t), y = sin(t), t 0, π}. 5. Kdy integrál druhého druhu nezávisí na integrační cestě? Vysvětlete, co pojem nezávislost na integrační cestě znamená a napište, které znáte podmínky ekvivalentní tomu, že integrál F d r nezávisí na integrační cestě pro libovolnou křivku ležící v oblasti Ω. Integrál nezávisí na integrační cestě pokud je jeho hodnota stejná podél všech křivek, které mají stejný počáteční i koncový bod. To nastane právě tehdy když integrál po každé uzavřené křivce je roven nule, právě tehdy když k vektorovému poli F existuje kmenová funkce, právě tehdy když je rotace pole F nulová. 6. Rozhodněte, zda křivkový integrál (2x + y)dx + (x + 2y)dy závisí či nezávisí na integrační cestě v R 2. Nezávisí, protože pro P = 2x + y a Q = x + 2y máme P y = Q x, resp. rotace vektoru (2x + y) i + (x + 2y) j je nulová. 7. Rozhodněte, zda křivkový integrál y 2 z 3 dx + 2xyz 2 dy + 3xy 2 z 2 dz závisí či nezávisí na integrační cestě v R Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem prvního a druhého druhu a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů. U křivkového integrálu prvního druhu nezáleží na orientaci křivky a pracujeme se skalární funkcí, u křivkového integrálu druhého druhu záleží na orientaci křivky a pracujeme s vektorovou funkcí. 9. Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem a dvojným integrálem a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů. 2. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu F d r funkce F = x 2 i + y 2 j po křivce = {(x, y) : x = cos(t), y = sin(t), t 0, π}. 3. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu 2 3 y 2 ds po křivce, která je obvodem obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, ), (0, ). 4. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu xdx + ydy po křivce, která je obvodem obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, ), (0, ). Integračním oborem je jednou křivka a jednou množina v rovině. Jeden integrál je tedy vhodný na popis problémů týkajících se dějů podél křivek a jeden na popis dějů v nějaké podoblasti ve 2D. 0. Napište alespoň dvě (tři) fyzikální aplikace křivkového integrálu prvního druhu (křivkového integrálu druhého druhu, dvojného integrálu). Vždy napište, jakou funkci je nutno integrovat a jakou veličinu obdržíme jako výsledek. Viz přednášky. První druh: obsah válcové plochy, hmotnost křivky, lineární moment křivky, moment setrvačnosti křivky. Druhý druh: práce, tok křivkou, obsah množiny ve 2D. Dvojný integrál: obsah množiny, hmotnost množiny, lineární a kvadratický moment množiny ve 2D. Přesné rozepsání příslušných integrálů a vysvětlení veličin které tu figurují je v učebním textu. Dvojný integrál... zapište jako dvojnásobný v polárních souřadnicích. Příklady na výpočet dvojného integrálu je možno brát z písemek 2

3 2. Dvojný integrál... zapište jako dvojnásobný pro obě možná pořadí integrace. 3. Vypočtěte dvojný integrál Vypočtěte střední hodnotu funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na jednotkovém čtverci s vrcholy (0, 0), (0, ), (, 0), (, ). 5. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(x, y) = y na jednotkovém půlkruhu zadaném nerovnicemi y 0 a x 2 + y π 6. Zformulujte Greenovu větu pro převod cirkulace vektorového pole P (x, y) i + Q(x, y) j po uzavřené křivce, tj. napište, jak je možno převést integrál P (x, y)dx + Q(x, y)dy po vhodné uzavřené křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R 2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci. viz přednáška 7. Zformulujte Greenovu větu pro převod toku vektorového pole P (x, y) i + Q(x, y) j uzavřenou křivkou, tj. napište, jak je možno převést integrál Q(x, y)dx + P (x, y)dy po vhodné uzavřené křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R 2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci. 3. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Napište příklad diferenciální rovnice druhého řádu, která je a příklad rovnice, která není lineární. y + p(x)y + q(x)y = f(x), lineární je například y + ln(x)y = 0 a není například y y 3 = Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu a dokažte, že zachovává lineární kombinaci funkcí. Lu = u + a(x)u, Ly + 2 = = Ly + 2L (viz přednášky) 5. Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu Ly. Dokažte, že metoda variace konstanty vede k cíli, tj. ukažte, jak se tento operátor chová vzhledem k součinu dvou funkcí uv, kde u je řešení homogenní rovnice Lu = 0. Dále odvoďte vztah, který musí splňovat funkce v tak, aby součin uv byl řešením rovnice Ly = b(x). b/vdx u v = b, tj. u = b/v a u = Lin. dif. operátor prvního řádu má obecný tvar Lu = u + a(x)u. Je-li Lu = 0, potom Luv = (uv) + auv = u v + uv + auv = v(u + au) + u v = vlu + u v = u v. Má-li platit Luv = b, musí tedy být 6. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y = f(x)g(y). dy/dx = f(x)g(y) a separací: g(y) dy = f(x)dx. K tomu ještě konstantní řešení rovnice g(y) = 0 7. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y + py + qy = Pomocí Greenovy věty vypočtěte ( y 3 + ln(x + 2))dx + (x 3 + y 2 )dy viz přednáška po kladně orientované křivce, která je hranicí množiny {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 6, x 0, y 0}. 3 Diferenciální rovnice. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme rovnice se separovanými proměnnými. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není rovnicí se separovanými proměnnými. Rovnice typu y = f(x)g(y). Například y = xy 6 je a y = sin(xy) není rovnicí se separovanými proměnnými. 2. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není lineární diferenciální rovnicí prvního řádu. Rovnice typu y + a(x)y = b(x), Rovnice y + y = 2 je a rovnice y + x sin(y) = 0 není lineární. Řešíme charakteristickou rovnici λ 2 + pλ + q = 0, rozlišujeme následující tři kvalitativně odlišné případy: (rozepište, viz přednáška) 8. Napište obecné řešení diferenciální rovnice y = a(x)y. y = e a(x)dx 9. Napište stručně, jak hledáme metodou variace konstanty obecné řešení diferenciální rovnice y + a(x)y = b(x). Nalezneme řešení rovnice Lu = 0 a partikulární řešení rovnice Ly = b hledáme ve tvaru y = uv, kde v je vhodná funkce. Funkci y dosadíme do rovnice a zjistíme, co musí funkce v splňovat, aby y bylo opravdu řešením. Tak nalezneme jedno řešení rovnice Ly = b(x). Je-li y jedno řešení rovnice Ly = b a jedno nenulové řešení rovnice Ly = 0, má obecné řešení rovnice Ly = b(x) tvar y = y Napište stručně, jak hledáme metodou integračního faktoru obecné řešení diferenciální rovnice y + a(x)y = b(x). zintegrováním odstraníme derivaci a osamostatníme y. Rovnici vynásobíte výrazem e a(x)dx. Potom je možno ( ) rovnici zapsat ve tvaru ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx,. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + x 2 y 2 = 0. 3

4 2. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + xy = e x. 3. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + 2y + 2y = Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y + 2y + y = x Dokažte, že dvě funkce jsou lineárně závislé (tj. jedna je násobkem druhé) právě tehdy, když je jejich wronskián roven nule. Návod: derivujte vhodný podíl pomocí vzorečku pro derivaci podílu. Jsou-li závislé je jejich podíl roven konstantě a derivace ( ) podílu je nula: = y 2 y yy 2 y 2 = W y,. Poslední zlomek je nula právě tehdy, když je nulový čitatel, tj. wronskián. 6. Horké těleso o teplotě y se v místnosti o konstantní teplotě T ochlazuje podle diferenciální rovnice y = k(y T ) (Newtonův zákon ochlazování říká, že rychlost změny teploty je úměrná teplotnímu rozdílu). Najděte obecné řešení této rovnice. Návod: řešte jako lineární rovnici, jedno řešení uhodněte z fyzikální podstaty problému, každý krok řešení pečlivě zdůvodněte. Jedno řešení je konstantní y = T (těleso o stejné teplotě jako místnost ani nechaldne ani se neohřívá). Řešení asociované homogenní rovnice y = ky je y0 = e kx, celkové obecné řešení je tedy y = e kx + T. 4 Rovnice matematické fyziky. Napište bilanční rovnici pro rychlost změny množství stavové veličiny v množině M, víme-li, že hustota veličiny je u, tok přes hranici je popsán funkcí Φ a vnitřní zdroje v množině M nejsou. 2. Napište rovnici kontinuity v integrálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam. 3. Napište rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam a za jakým podmínek je tento člen nulový. Napište, z čeho je rovince kontinuity odvozena. 4. Z čeho je odvozena difuzní rovnice? Napište toto odvození a vysvětlete všechny kroky. 5. Popište hlavní myšlenku řešení parciální diferenciální rovnice separací a ukažte tento postup na vlnové rovnici 2 u t 2 = 2 u u (na difuzní rovnici x2 t = 2 u x 2 ). Obyčejné diferenciální rovnice, ke kterým se dostanete, již řešit nemusíte. 6. V čem se liší okrajová a počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu? Napište i příklad počáteční úlohy a okrajové úlohy. Uveďte příklad reálné situace, kdy formulujeme počáteční a kdy okrajové úlohy. 5 Dodatek květen 204. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y a y 2 taková, že y a y 2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jejich wronskián roven nule, potom je jedna z funkcí násobkem druhé. a protože v čitateli je wronskián, který je podle předpokladů roven nule, je (y/) = 0 a jedna funkce y, se liší jenom konstantním násobkem. = y y 2 yy 2 2 Stačí ukázat, že podíl funkcí je konstantní, k tomu stačí ukázat, že derivace podílu y/ je rovna nule. Platí ( ) y 2. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y a y 2 taková, že y a y 2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jedna z funkcí násobkem druhé, např. y 2 = ky pro k R, je wronskián funkcí y,2 roven nule, Přímým výpočtem podle definice wronskiánu W y, = yy 2 y y 2 = y(ky) y (ky ) = yky y ky = Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 4. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině poloměru. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru olejové skvrny v čase? aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 5. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem tíhové síly a klesá přímo úměrně druhé mocnině rychlosti vlivem odporové síly vzduchu. Výsledná změna rychlosti je součtem obou faktorů (resp. rozdílem velikostí obou faktorů, které působí proti sobě). Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového volného pádu. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 6. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto růst. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 4

5 7. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel. aplikovana_matematika_204_04_24.pdf 8. o rozumíme pod pojmem okrajová úloha a vlastní čísla okrajové úlohy? Jak se liší Dirichletova a Neumannova okrajová úloha 9. Určete vlastní čísla okrajové úlohy y + λ 2 y = 0, y(0) = 0 = y(). Návod: rovnice y + λ 2 y = 0 má obecné řešení y = cos(λx) + 2 sin(λx). Pro x = 0 a y = 0 dostáváme dosazením do obecného řešení 0 =. Dosazením = 0 do obecného řešení dostáváme y = 2 sin(λx). Dosazením x = a y = 0 do předchozího vztahu dostáváme 0 = 2 sin(λ). Pokud nepovolíme 2 = 0 (zajímají nás nenulová řešení), musí platit sin(λ) = 0 a tedy λ = kπ pro k Z. V okrajové úloze nezadáváme počáteční podmínky (funkční hodnotu a derivaci ve stejném bodě) ale dvě podmínky ve dvou různých bodech, například funkční hodnotu ve dvou bodech (Dirichletova úloha), nebo derivaci ve dvou různých bodech (Neumannova úloha). Diferenciální rovnice při řešení okrajové úlohy zpravidla obsahuje nějaký parametr. Hodnoty parametru, pro které existuje netriviální řešení počáteční úlohy se nazývají vlastní čísla. 5

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

6. [8 bodů] Neurčitý integrál

6. [8 bodů] Neurčitý integrál Zkouška ze Aplikované matematiky pro arboristy, LDF, 9..205, 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Body Známka. [2 bodů] Prostá a inverzní funkce a) Definujte pojmy prostá funkce

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Aplikovaná matematika

Aplikovaná matematika Aplikovaná matematika Robert Mařík 31. března 2014 Obsah 1 Diferenciální počet 1 2 Integrální počet 14 3 Obyčejné diferenciální rovnice 25 4 Rovnice matematické fyziky 35 1 Diferenciální počet 1.1 Euklidovský

Více

Rovnice matematické fyziky

Rovnice matematické fyziky Rovnice matematické fyziky cvičení 1 Rovnice matematické fyziky cvičení Michael Krbek Obsah Opakování ze známé matematické analýzy Parciální diferenciální rovnice metoda charakteristik Okrajová úloha pro

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Funkce více proměnných - úvod

Funkce více proměnných - úvod Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více