FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS STATISTICKÁ ANALÝZA SLOŽENÝCH ROZDĚLENÍ STATISTICAL ANALYSIS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS DIPLOMOVÁ PRÁCE DIPLOMA THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. ZDENĚK KONEČNÝ doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 2

2

3 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Akademický rok: 2/2 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE student(ka): Bc. Zdeněk Konečný který/která studuje v magisterském navazujícím studijním programu obor: Matematické inženýrství (9T2) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č./998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: v anglickém jazyce: Statistická analýza složených rozdělení Statistical analysis of compound distributions Stručná charakteristika problematiky úkolu: Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin, které vzniknou jako součet náhodného počtu nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se nazývají složená rozdělení. V praxi se poměrně často vyskytují při analýze pojišťovacích dat nebo při oceňování ceny poškozených prvků v kontrole jakosti a podobně. V současné době se řada autorů věnuje problematice odhadů parametrů složeného rozdělení, pro speciálně vybraná rozdělení sčítanců a speciální diskrétní rozdělení jejich počtu. Studují se různé metody odhadu parametrů těchto rozdělení a jejich vliv na analýzu složeného rozdělení. Cíle diplomové práce: V práci zaveďte složená rozdělení a výpočet jejich charakteristik např. podle [2]. Dále předpokládejte, že jednotliví sčítanci složeného rozdělení mají logaritmicko-normální rozdělení, popište různé přístupy k odhadu jeho parametrů (např. podle [] a [4]) a dále studujte vliv těchto odhadů na shodu odhadnutého složeného rozdělení s teoretickým složeným rozdělením při různých typech rozdělení počtu sčítanců. Pro rozdělení počtu sčítanců můžete volit např. rozdělení Poissonovo nebo negativně binomické (odhady jejich parametrů můžete zpracovat např. podle []). Vliv odhadu parametrů uvažovaného diskrétního rozdělení na shodu odhadnutého a teoretického rozdělení rovněž vyhodnoťte. Získané výsledky můžete demonstrovat pomocí simulací a případně použít pro analýzu reálných dat.

4 Seznam odborné literatury: []Lehmann E.L. and Casella G.: Theory of Point Estimation. Springer. New York, 998 [2]Resnick S.I.: Advantures in Stochastic Processes. Birkhaüser. Boston, 22 [] Shen H. and Zhu Z.: Efficient Estimation in Log-normal Linear Models. Journal of Statistical Planning and Inference.8, p , 28 [4] Shen H., Brown L.D. and Zhi H..: Efficient Estimation of Log-normal Means with application to Pharmacokinetic Data. Statistics in Medicine 25, p.2-8, 26 Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc. Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2/2. V Brně, dne L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. Ředitel ústavu prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty

5 Abstrakt Složeným rozdělením je nazýváno rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která vznikla jako součet náhodného počtu nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin. V této práci je popsáno složené rozdělení spolu s výpočtem jeho charakteristik. Práce se dále zabývá speciálnímu případem složeného rozdělení, jehož jednotlivý sčítanci mají rozdělení logaritmicko-normální (LN) a rozdělení jejich počtu je negativně binomické (NB). Jsou zde popsány i některé přístupy k odhadu parametrů LN a NB rozdělení a dále je studován vliv těchto odhadů na výsledné složené rozdělení. Summary The probability distribution of a random variable created by summing a random number of the independent and identically distributed random variables is called a compound probability distribution. In this work is described a compound distribution as well as a calculation of its characteristics. Especially, the thesis is focused on studying a special case of compound distribution where each addend has the log-normal distribution and their number has the negative binomial distribution. Here are also described some approaches to estimate the parameters of LN and NB distribution. Further, the impact of these estimates on the final compound distribution is analyzed. Klíčová slova Složené rozdělení, vytvořující funkce, charakteristická funkce, inverzní věta Keywords Compound distribution, generating function, characteristic function, inversion theorem KONEČNÝ, Z.Statistická analýza složených rozdělení. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

6 Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Statistická analýza složených rozdělení vypracoval samostatně pod vedením doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc., s použitím materiálů uvedených v seznamu literatury. Bc. Zdeněk Konečný

7 Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi za odborné vedení, cenné rady a připomínky při zpracování mé diplomové práce. Bc. Zdeněk Konečný

8

9 Obsah OBSAH Úvod 2 Základní pojmy a označení 4 2. Náhodná veličina a její charakteristiky Složené rozdělení a jeho charakteristiky 7. Náhodný součet a složené rozdělení Charakteristiky složeného rozdělení Inverzní věta Negativně binomické rozdělení 9 4. Zavedení negativně binomického rozdělení a jeho charakteristiky Způsoby reparametrizace NB rozdělení Odhady parametrů NB rozdělení Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti Bayesovské odhady Logaritmicko-normální rozdělení Zavedení logaritmicko-normálního rozdělení a jeho charakteristiky Metody odhadu parametrů LN rozdělení Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti Konkrétní případ složeného rozdělení 2 6. Určení hustoty složeného rozdělení Vliv odhadu parametrů Vliv odhadu parametrů LN rozdělení Vliv odhadu parametrů NB rozdělení Programy 4 8 Závěr 42 9 Seznam použitých zkratek a symbolů 44

10

11 Úvod Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin, které vzniknou jako součet náhodného počtu nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se nazývají složená rozdělení. Složená rozdělení se v praxi poměrně často vyskytují při analýze pojišťovacích dat, oceňování ceny poškozených prvků v kontrole jakosti nebo při analýze dešťových srážek. Řada statistiků se v současné době věnuje problematice odhadu parametrů složeného rozdělení, pro speciálně vybraná rozdělení sčítanců a speciální diskrétní rozdělení jejich počtu. Studují se různé metody odhadu těchto rozdělení a jejich vliv na analýzu složeného rozdělení. Například v článcích [2] a [] se autoři zabývají srážkovým modelem, ve kterém má výskyt přeháněk Poissonovo rozdělení a množství srážek rozdělení exponenciální. Cílem této práce bylo zavést složené rozdělení a popsat výpočet jeho charakteristik. Dále se práce zabývá speciálním případem složeného rozdělení, jehož sčítanci mají logaritmicko-normální rozdělení a rozdělení jejich počtu je negativně binomické. Práce je rozdělena do osmi kapitol, s jejichž obsahem se nyní podrobněji seznámíme. Po úvodní kapitole následuje druhá kapitola, ve které je uveden stručný přehled charakteristik náhodné veličiny a zavedeno potřebné značení. V třetí kapitole je zavedeno složené rozdělení a jsou zde uvedeny definice vytvořující funkce, charakteristické funkce, momentové vytvořující funkce a vytvořující funkce kumulantů a je zde odvozen výpočet těchto charakteristik pro složené rozdělení. Součástí této kapitoly je i inverzní věta a její důkaz. Čtvrtá kapitola je věnována negativně binomickému rozdělení. Je zde popsáno zavedení negativně binomického rozdělení pomocí Bernoulliovské posloupnosti nezávislých alternativních pokusů. Jsou zde uvedeny různé reparametrizace tohoto rozdělení. Pro všechny reparametrizce byly stanoveny základní chakteristiky (momenty, šikmost, špičatost, charakteristická funkce,... ). Druhá část kapitoly je zaměřena na odhad parametrů NB rozdělení. Nejdříve jsou zde popsány klasické metody odhadu parametrů, tedy metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti. Odhady pomocí těchto metod jsou určeny pro všechny reparametrizace. Na závěr je zde uveden bayesovský přístup k odhadu parametrů NB rozdělení. Logaritmicko-normálnímu rozdělení je věnována celá pátá kapitola. Jsou zde uvedeny jeho základní charakteristiky a určeny momentové a maximálně věrohodné odhady jeho parametrů. Stěžejní částí této práce je šestá kapitola. Je věnována složenému rozdělení, jehož sčítanci mají logaritmicko-normální rozdělení a rozdělení jejich počtu je negativně binomické. Nejdříve je zde odvozen způsob, jakým lze přibližně určit hustotu zkoumaného složeného rozdělení, známe-li parametry rozdělení sčítanců a jejich počtu. Pomocí simulací náhodného výběru velkého rozsahu z konkrétního složeného rozdělení je posouzena přesnost určené hustoty. Dále je zde pomocí simulací studován vliv odhadu parametrů dílčích rozdělení na shodu odhadnutého složeného rozdělení s teoretickým. Parametry rozdělení sčítanců jsou odhadovány metodou maximální věrohodnosti. Pro odhad parametrů rozdělení počtu sčítanců je volen bayesovský přístup a metoda maximální věrohodnosti. V sedmé kapitole je uveden přehled a stručný popis funkcí, které byly naprogramovány v softwaru MATLAB. Těchto funkcí bylo užito v šesté kapitole. Osmá kapitola Závěr obsahuje shrnutí dosažených cílů.

12 2 Základní pojmy a označení V této kapitole budou připomenuty základní pojmy, kterých bude dále v práci použito. Uvedeme zde základní charakteristiky rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Dále zde budou uvedeny některé důležitě věty, na které se budeme v další části odvolávat. Odstavec je zpracován podle [],[2],[4],[8] a []. Věty jsou v této kapitole uvedeny bez důkazů. Jejich důkazy je možno nalézt v citované literatuře. V této práci se předpokládá, že je čtenář obeznámen se základy komplexní analýzy a se základními příklady rozdělení diskrétního a spojitého typu. 2. Náhodná veličina a její charakteristiky Pravděpodobnostní prostor je trojice (Ω, A, P), kde Ω je prostor elementárních jevů, A je nějaká množinová σ-algebra podmnožin prostoru Ω. Dvojice (Ω, A) tvoří jevové pole a P je pravděpodobnost na tomto jevovém poli. Nechť R značí množinu všech reálných čísel, a B systém borelovských podmnožin R. Nechť X(ω) je měřitelná funkce z (Ω, A) do (R, B). Pak se X(ω) nazývá náhodná veličina a značí se stručně X. Náhodné veličiny budemem značit velkými písmeny z konce abecedy. Označíme-li dále [X B] = {ω Ω : X(ω) B} pro libovolnou množinu B R, potom z měřitelnosti funkce X plyne, že [X B] A pro každou B B a na B můžeme zavést indukovanou pravděpodobnost P X předpisem P X (B) = P(X B), kde pro stručnost píšeme P(X B) místo P([X B]). Indukovaná pravděpodobnost P X se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Položíme-li speciálně B = (, x, dostaneme distribuční funkci F náhodné veličiny X, tedy F (x) = P X (, x ) = P X (X x), x R. Mezi distribuční funkcí F a rozdělením pravděpodobnosti P X je vzájemně jednoznačný vztah, proto můžeme dále při popisu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X pracovat pouze s její distribuční funkcí F. Skutečnost, že náhodná veličina X má rozdělení pravděpodobnosti P X, značíme X P X a za P X dosadíme podle potřeby symbol příslušného rozdělení. V matematické statistice jsou významné především dva typy rozdělení pravděpodobnosti: a) Rozdělení diskrétního typu. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje nejvýše spočetná množina M R taková, že platí P X (M) =. Funkci p(x) = { P(X = x) pro x M pro x R M nazýváme pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X a množinu M oborem hodnot náhodné veličiny X. Pro diskrétní náhodnou veličinu X s oborem hodnot M a pravděpodobnostní funkcí p(x), budeme v dalším textu používat označení X (M, p). 4

13 2. NÁHODNÁ VELIČINA A JEJÍ CHARAKTERISTIKY b) Rozdělení spojitého typu. Náhodná veličina X má spojité rozdělení pravděpodobnosti, existuje-li taková funkce f(x), že platí F (x) = x f(t)dt. V tomto případě je distribuční funkce F absolutně spojitá. Funkce f se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti a je skoro všude (vyhledem k Lebesguově míře) nezáporná. Hustotu příslušnou k dané distribuční funkci budeme značit odpovídajícím stejným malým písmenem. Informace o rozdělení pravděpodobnosti lze popsat pomocí charakteristik. Jednou z nejvýznamnějších a nejčastěji používaných charakteristik je střední hodnota náhodné veličiny X, budeme ji značit EX. Střední hodnota je definována vztahem EX = Ω X(ω)dP(ω), pokud integrál absolutně konvrguje. Pro výpočetní účely se užívá vzorec EX = + xdf (x), kde integrál napravo je chápán jako Lebesgue-Stieltjesův integrál vzhledem k Lebesgue- Stieltjesově míře µ F, která je vytvořena distribuční funkcí F. Věta 2. (O střední hodnotě transformované náhodné veličiny) Nechť X je náhodná veličina a F (x) její distribuční funkce. Dále nechť g : R R je borelovská funkce. Pak platí Eg(X) = + g(x)df (x), pokud jeden z integrálů existuje. Má-li náhodná veličina X diskrétní rozdělení (M, p), pak Eg(X) = g(x)p(x), x M pokud jedna ze stran rovnosti existuje. Má-li náhodná veličina X spojité rozdělení s hustotou f, potom pokud jeden z integrálů existuje. Eg(X) = + g(x)f(x)dx, Další často užívanou charakteristikou rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X je rozptyl. Rozptyl budeme značit DX a je definován vztahem pokud uvedená střední hodnota existuje. DX = E(X EX) 2, 5

14 2. NÁHODNÁ VELIČINA A JEJÍ CHARAKTERISTIKY Střední hodnota i rozptyl jsou speciálním případem momentů. Pro libovolné přirozené číslo r definujeme r-tý obecný moment µ r náhodné veličiny X vztahem µ r = EX r. Dále r-té centrální momenty náhodné veličiny X zavádíme vztahem µ r = E(X EX) r, pro r =,, 2,.... V případě, že některý z výše uvedených integrálů neexistuje, řekneme, že i odpovídající moment neexistuje. Mezi obecnými a centrálními momenty platí následující vztahy: µ 2 =µ 2 µ 2, µ =µ µ µ 2 + 2µ, (2.) µ 4 =µ 4 4µ µ + 6µ 2 µ 2 µ 4. Pomocí centrálních momentů závádíme charakteristiky šikmost γ a špičatost γ 2 vztahy γ = µ, γ µ 2 = µ 4. 2 µ

15 Složené rozdělení a jeho charakteristiky Na začátku této kapitoly zavedeme náhodný součet se složeným rozdělením. Následně se budeme zabývat charakteristikami rozdělení, jež rozdělení jednoznačně určují, což ke konci kapitoly také dokážeme. Uvedeme definice vytvořující funkce, chrakteristické funkce, momentové vytvořující funkce a vytvořující funkce kumulantů. Ukážeme, jak určit tyto charakteristiky náhodného součtu se složeným rozdělením pro případ, kdy známe příslušné charakteristiky jednotlivých sčítanců náhodného součtu.. Náhodný součet a složené rozdělení Definice. Nechť X, X 2,... je posloupnost stejně rozdělených náhodných veličin definovaných na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Nechť N (M, p N ) je nezáporná celočíselná náhodná veličina a nechť N spolu s X, X 2,... tvoří posloupnost nezávislých náhodných veličin. Položme S N = X + + X N a pro N = klademe S =. Potom S N nazveme náhodným součtem a jeho rozdělení se nazývá složené..2 Charakteristiky složeného rozdělení Definice.2 Nechť X (M, p) je nezáporná celočíselná náhodná veličina. Pak mocninnou řadu G X (s) = p(x)s x, s C, s, x M nazveme vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Tvrzení. Nechť X (M, p) je nezáporná celočíselná náhodná veličina. Pak G X (s) = Es X. (.) Důkaz: Plyne z věty 2.. Příklad. Vytvořující funkce Poissonova rozdělení. Nechť X Po(λ), potom G X (s) = p(k)s k = k= k= λ k k! e λ s k = e λ (λs) k k= k! = e λ(s ). Příklad.2 Vytvořující funkce geometrického rozdělení. Nechť X Ge(Θ), potom G X (s) = p(k)s k = (( Θ) k Θ)s k = Θ (( Θ)s) k = k= k= k= 7 Θ ( Θ)s.

16 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Z definice vytvořující funkce vyplývá, že vytvořující funkcí je rozdělení náhodné veličiny určeno jednoznačně. Platí totiž p() = G X (), p(x) = G(x) X () x! pro x =, 2,..., kde G (x) X (s) je x-tá derivace vytvořující funkce G X (s). Existence derivací vytvořující funkce G X (s) plyne z vlastností mocninné řady. K určení vytvořující funkce náhodného součtu se složeným rozdělením, je zapotřebí nejdříve vědět, jak spočítat vytvořující funkci součtu nezávislých náhodných veličin. To uvádí následující věta. Věta. Nechť X,..., X n jsou nezávislé nezáporné celočíselné náhodné veličiny, G Xj (s) je vytvořující funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Pak náhodná veličina S = n j= X j má vytvořující funkci n G S (s) = G Xj (s). Důkaz: Přímým výpočtem dostáváme G S (s) = E(s S n ) = E(s j= X j ) = E ( n ) s X n j = E(s X j ) = j= j= j= n G Xj (s). j= Důsledek. Nechť X,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené nezáporné celočíselné náhodné veličiny. Nechť G X je vytvořující funkce náhodné veličiny X. Pak náhodná veličina S = n j= X j má vytvořující funkci G S (s) = (G X (s)) n. Důkaz: Vytvořující funkce součtu n nezávislých nezáporných celočíselných náhodných veličin je podle věty. tvaru n G S (s) = G Xj (s), j= kde G Xj je vytvořující funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Jelikož jsou náhodné veličiny X,..., X n navíc stejně rozdělené, jsou si jejich vytvořující funkce rovny. Tedy Odtud G X (s) = G X2 (s) =... = G Xn (s). n G S (s) = G X (s) = (G X (s)) n. j= Věta.2 Nechť X, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené nezáporné celočíselné náhodné veličiny a nechť G X (s) je jejich vytvořující funkce. Dále nechť N (M, p N ) je nezáporná celočíselná náhodná veličina, G N (s) její vytvořující funkce, a nechť N, X, X 2,... je posloupnost nezávislých náhodných veličin. Potom náhodný součet S N = X + + X N má vytvořující funkci G SN (s) = G N (G X (s)). 8

17 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Důkaz: Pro určení vytvořující funkce náhodného součtu vyjdeme ze vztahu (.) G SN (s) = Es S N = E(Es S N N). Užitím důsledku. obdržíme G SN (s) = E(G X (s)) N = G N (G X (s)). Příklad. Vytvořující funkce složeného rozdělení. Nechť N Po(λ) a X i Ge(Θ), i =, 2,.... V předchozích příkladech byly určeny vytvořující funkce náhodných veličin s Poissonovým a geometrickým rozdělením. Tedy G N (s) = e λ(s ), G X (s) = Θ ( Θ)s, kde G X (s) je vytvořující funkce náhodných veličin X, X 2,.... Potom podle věty.2 má náhodný součet S N = X + + X N vytvořující funkci ( ) Θ G SN (s) = G N (G X (s)) = G N = e λ( Θ ) ( Θ)s. ( Θ)s Ve zbylé části odstavce se budeme zabývat dalšími charakteristikami náhodných veličin, jimiž lze složené rozdělení rovněž jednoznačně popsat. Dříve než zavedeme pojem charakteristické funkce, musíme se nejdříve zabývat komplexními náhodnými veličinami, neboť charakteristická funkce náhodné veličiny X je definovaná jako střední hodnota komplexní náhodné veličiny e itx. Definice. Nechť X, Y jsou reálné náhodné veličiny definované na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P), pak veličinu Z = X + iy nazveme komplexní náhodnou veličinou. Distribuční funkcí náhodné veličiny Z rozumíme distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y ). Střední hodnota náhodné veličiny Z = X + iy je definována vztahem EZ = EX + iey, pokud střední hodnoty EX a EY existují. Řekneme, že komplexní náhodnné veličiny Z = X + iy, Z 2 = X 2 + iy 2 jsou nezávislé, jestliže náhodné vektory (X, Y ), (X 2, Y 2 ) jsou nezávislé. Poznámka. Vlastnosti komplexních náhodných veličin jsou analogické vlastnostem (reálných) náhodných veličin. Definice.4. Charakteristickou funkcí náhodné veličiny X rozumíme funkci ψ X (t) = E(e itx ) = E(cos(tX)) + ie(sin(tx)), t R. (.2) 9

18 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Má-li náhodná veličina X distribuční funkci F (x), pak podle věty 2. pro pro charakteristickou funkci ψ X dostáváme vztah ψ X (t) = + Věta. (vlastnosti charakteristické funkce). ψ() = a ψ(t). 2. ψ(t) je stejnoměrně spojitá.. Pro každé reálné t platí e itx df (x). ψ( t) = ψ(t), kde ψ(t) značí číslo komplexně sdružené k ψ(t). 4. Nechť ψ X (t) je charakteristická funkce náhodné veličiny X. Pak náhodná veličina Y = ax + b, kde a, b jsou konstanty, má charakteristickou funkci Důkaz: Viz [] (str. 264). ψ Y (t) = e ibt ψ X (at). Definice.5 Existuje-li pro nějaký interval hodnot z, obsahující počatek, střední hodnota M X (z) = E(e zx ), (.) pak tuto funkci nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Definice.6 Vytvořující funkci kumulantů náhodné veličiny X definujeme vztahem K X (t) = ln(ψ X (t)), t R. (.4) Podobně jako u vytvořující funkce uvedeme i nyní věty, pomocí nichž můžeme určit charakteristickou funkci (resp. momentovou vytvořující funkci, vytvořující funkci kumulantů) náhodného součtu, jestliže známe charakteristickou funkci (resp. momentovou vytvořující funkci, vytvořující funkci kumulantů) jednotlivých sčítanců náhodného součtu. Věta.4 Nechť X,..., X n jsou nezávislé náhodné veličiny, ψ Xj (t) je charakteristická funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Pak náhodná veličina S = n j= X j má charakteristickou funkci n ψ S (t) = ψ Xj (t). Důkaz: Přímým výpočtem dostáváme j= ψ S (t) = E(e its ) = E(e it n j= X n n n n j ) = E(e j= itx j ) = E( e itx j ) = E(e itx j ) = ψ Xj (t). j= j= j=

19 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Důsledek.2 Nechť X,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Nechť ψ X (t) je charakteristická funkce náhodné veličiny X. Pak náhodná veličina S = n j= X j má charakteristickou funkci ψ S (t) = (ψ X (t)) n. Důkaz: Charakteristická funkce součtu n nezávislých náhodných veličin je podle věty.4 tvaru n ψ S (t) = ψ Xj (t), j= kde ψ Xj je charakteristická funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Jelikož jsou náhodné veličiny X,..., X n navíc stejně rozdělené, jsou si jejich charakteristické funkce rovny. Tedy ψ X (t) = ψ X2 (t) =... = ψ Xn (t). Odtud n ψ S (t) = ψ X (t) = (ψ X (t)) n. j= Věta.5 Nechť X, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny a nechť ψ X (t) je jejich charakteristická funkce. Dále nechť N (M, p N ) je nezáporná celočíselná náhodná veličina, G N (s) její vytvořující funkce, a nechť N, X, X 2,... je posloupnost nezávislých náhodných veličin. Potom náhodný součet S N = X + +X N má charakteristickou funkci ψ SN (t) = G N (ψ X (t)). Důkaz: Vyjdeme ze vztahu (.2) ψ SN (t) = E(e its N ) = E(Ee its N N). Sčítanci náhodného součtu jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Pomocí důsledku.2 dostáváme ψ SN (t) = E(ψ X (t)) N = G N (ψ X (t)). Věta.6 Nechť X,..., X n jsou nezávislé náhodné veličiny, M Xj (z) je momentová vytvořující funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Pak náhodná veličina S = n j= X j má momentovou vytvořující funkci Důkaz: Přímým výpočtem dostáváme n M S (z) = M Xj (z). j= M S (z) = E(e zs ) = E(e z n j= X n n n n j ) = E(e j= zx j ) = E( e zx j ) = E(e zx j ) = M Xj (z). j= j= j= Důsledek. Nechť X,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Nechť M X (z) je momentová vytvořující funkce náhodné veličiny X. Pak náhodná veličina S = nj= X j má momentovou vytvořující funkci M S (z) = (M X (z)) n.

20 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Důkaz: Momentová vytvořující funkce součtu n nezávislých náhodných veličin je podle věty.6 tvaru n M S (z) = M Xj (z), j= kde M Xj je momentová vytvořující funkce náhodné veličiny X j, j =,..., n. Jelikož jsou náhodné veličiny X,..., X n navíc stejně rozdělené, jsou si jejich momentové vytvořující funkce rovny. Tedy M X (z) = M X2 (z) =... = M Xn (z). Odtud n M S (z) = M X (z) = (M X (z)) n. j= Věta.7 Nechť X, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny a nechť M X (z) je jejich momentová vytvořující funkce. Dále nechť N (M, p N ) je nezáporná celočíselná náhodná veličina, G N (s) její vytvořující funkce, a nechť N, X, X 2,... je posloupnost nezávislých náhodných veličin. Potom náhodný součet S N = X + +X N má momentovou vytvořující funkci M SN (z) = G N (M X (z)). Důkaz: Vyjdeme ze vztahu (.) M SN (z) = E(e zs N ) = E(Ee zs N N). Sčítanci náhodného součtu jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Pomocí důsledku. dostáváme M SN (z) = E(M X (z)) N = G N (M X (z)). Věta.8 Nechť X,..., X n jsou nezávislé náhodné veličiny, K Xj (t) je vytvořující funkce kumulantů náhodné veličiny X j, j =,..., n. Pak náhodná veličina S = n j= X j má vytvořující funkci kumulantů n K S (t) = K Xj (t). Důkaz: Přímým výpočtem dostáváme j= n n n K S (t) = ln(ψ S (t)) = ln( ψ Xj (t)) = ln(ψ Xj (t)) = K Xj (t). j= j= j= Důsledek.4 Nechť X,..., X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Nechť K X (t) je vytvořující funkce kumulantů náhodné veličiny X. Pak náhodná veličina S = nj= X j má vytvořující funkci kumulantů K S (t) = n K X (t). 2

21 .2 CHARAKTERISTIKY SLOŽENÉHO ROZDĚLENÍ Důkaz: Vytvořující funkce kumulantů součtu n nezávislých náhodných veličin je podle věty.8 rovna n K S (t) = K Xj (t), j= kde K Xj je vytvořující funkce kumulantů náhodné veličiny X j, j =,..., n. Jelikož jsou náhodné veličiny X,..., X n navíc stejně rozdělené, jsou si jejich vytvořující funkce kumulantů rovny. Tedy K X (t) = K X2 (t) =... = K Xn (t). Odtud n K S (t) = K X (t) = n K X (t). j= Věta.9 Nechť X, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny a nechť K X (t) je vytvořující funkce kumulantů. Dále nechť N (M, p N ) je nezáporná celočíselná náhodná veličina, G N (s) její vytvořující funkce, a nechť N, X, X 2,... tvoří posloupnost nezávislých náhodných veličin. Potom náhodný součet S N = X + +X N má vytvořující funkci kumulantů. ( ) K SN (t) = K N i K X(t). Důkaz: Označme ψ X (t) charakteristickou funkci náhodných veličin X, X 2,.... Vyjdeme ze vztahu (.4) K SN (t) = ln ψ SN (t) = ln E(e its N ) = ln E(Ee its N N) = ln E(ψ X (t)) N = ( ) = ln E(e ln(ψ X(t)) N ) = ln E(e N ln ψx(t) ) = ln E(e NKX(t) ) = ln E(e ik X (t)n i ) = K N i K X(t). Příklad.4 Nechť N Po(λ) a X i Ex(τ), i =, 2,.... Pro určení charakteristik náhodného součtu S N je zapotřebí nejprve vypočíst dílčí charakteristiky náhodných veličin N, X, X 2,.... Charakteristiky příslušící k náhodným veličinám X, X 2,... budou značeny indexem X. G N (s) = e λ(s ), viz příklad.. ψ N (t) = Ee itn = p N (k)e itk = k= k= = e λ e λeit = e λ(eit ) K N (t) = ln ψ N (t) = ln e λ(eit ) = λ(e it ) ψ X (t) = Ee itx = + e itx f X (x)dx = = [ ] + τ it e x( τ +it) = τ τ x= K X (t) = ln ψ X (t) = ln itτ M X (z) = Ee zx = + e zx f X (x)dx = λ k k! e λ e itk = e λ + x τ e ( ) it τ + x τ e (λe it ) k = k! k= τ e itx dx = τ = itτ τ e zx dx = τ + + e x( τ +it) dx = e x( τ +z) dx =

22 = τ [ ] + z e x( τ +z) = τ τ ( z τ ) = zτ. INVERZNÍ VĚTA Potom pro náhodný součet S N = X X N platí ( ) ψ SN (t) = G N (ψ X (t)) = G N itτ ( ) M SN (z) = G N (M X (z)) = G N zτ ( ) ( KX (t) ln itτ K SN (t) = K N = K N i i ( ) = λ itτ. = e λ( itτ ), = e λ( zτ ), ) = λ(e i ln itτ i ) = λ(e ln itτ ) =. Inverzní věta V definici.4 jsme zavedli pojem charakteristické funkce. Známe-li distribuční funkci F (x) náhodné veličiny X, pak její odpovídající charakteristická funkce je určena vztahem ψ X (t) = + e itx df (x). V tomto odstavci ukážeme, že mezi distribuční a charakteristickou funkcí platí i obrácený vztah. Dokážeme tedy, že každá distribuční funkce je svou charakteristickou funkcí jednoznačně určena. To ovšem znamená, že charakteristickou funkcí je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X jednoznačně zadáno. V následující větě uvedeme inverzní vzorec, který nám umožňuje při znalosti charakteristické funkce ψ(t) určit přírůstek distribuční funkce F (x) v každém intervalu, jehož koncové body jsou body spojitosti funkce F (x). Věta. Nechť ψ(t) je charakteristická funkce distribuční funkce F (x) (tj. ψ(t) je charakteristická funkce náhodné veličiny X, která má distribuční funkci F (x) a nechť a, b R, a < b, jsou body spojitosti distribuční funkce F (x), pak F (b) F (a) = 2π ( + ψ(t) e ita e itb 2it ψ( t) eita e itb ) dt. (.5) 2it Důkaz předešlé věty je zpracován podle []. K důkazu budeme potřebovat dvě pomocná lemmata. Lemma. Položme S(α, T ) = 2 T sin(αt) dt. (.6) π t Pak pro každé reálné α a každé kladné T platí nerovnost S(α, T ) 2. (.7) 4

23 . INVERZNÍ VĚTA Dále platí lim S(α, T ) = 2 + T + π sin(αt) dt = t pro α >, pro α =, pro α <, přičemž konvergence je pro libovolné δ > stejnoměrná vzhledem k α δ. (.8) Důkaz: Označme Pro x = αt dostáváme a po substituci u = αt obdržíme Tedy Označme dále Substitucí u = v nπ dostáváme c n = 2 π π sin(u + nπ) du = 2 π u + nπ π S(x) = 2 π S(αT ) = 2 π S(αT ) = 2 π x αt T sin u u du. sin u u du sin(αt) dt. t S(α, T ) = S(αT ). (.9) c n = 2 π (n+)π nπ sin v v dv. sin u cos(nπ) du = ( ) n 2 π u + nπ π sin u du, n =,, 2,..., u + nπ takže členy posloupnosti c n pravidelně střídají znaménko a v absolutní hodnotě klesají. Nyní můžeme S(x) zapsat ve tvaru Platí tedy n S(x) = c k + 2 k= π x nπ sin u du pro nπ x (n + )π. (.) u n n c k S(x) c k pro sudé n a nπ x (n + )π, (.) k= k= n n c k S(x) c k pro liché n a nπ x (n + )π. (.2) k= k= Z vlastností čísel c n plyne, že S(x) c pro x. (.) Dále hodnotu c ohraničíme shora. Použijeme zde rozvoje funkce sin u v mocninnou řadu. u c = 2 π sin u π u du = 2 ( ) π u2 π! + u4 5! du 2 π du = 2. (.4) π 5

24 . INVERZNÍ VĚTA Dosazením (.4) do vztahu (.) obdržíme a jelikož S(x) je lichá funkce, platí S(x) 2 pro x, (.5) S(x) 2 pro x R. (.6) Ze vztahů (.9) a (.6) dostáváme (.7). Vztah (.8) plyne z (.9) a ze známého vzorce matematické analýzy lim S(x) = 2 + sin u du =. x + π u Stejnoměrná konvergence plyne rovněž z (.9). Lemma.2 Položme pro libovolné T >, z, a, b R a dále D(T, z, a, b) = +T 2π T D(z, a, b) = D(+, z, a, b) = + 2π Pak pro libovolná z, a, b R a libovolné kladné T platí sin (t(z a)) sin (t(z b)) dt (.7) t sin (t(z a)) sin (t(z b)) dt. (.8) t D(T, z, a, b) 2. (.9) Jestliže a < b, pak lim D(T, z, a, b) = D(z, a, b) = T + pro a < z < b, 2 pro z = a nebo z = b, pro z < a nebo z > b, (.2) přičemž konvergence je pro libovolné δ > stejnoměrná vzhledem k z a δ a z b δ. Důkaz: Lemma.2 je přímým důsledkem lemmatu.. Existuje totiž vztah mezi D(T, z, a, b) a funkcí S(α, T ) z lemmatu.. Zřejmě platí, že D(T, z, a, b) = [S(z a, T ) S(z b, T )]. 2 Nyní se už můžeme zabývat důkazem hlavní věty tohoto odstavce. Důkaz věty.: Pro charakteristickou funkci ψ(t) platí, že ψ( t) = ψ(t), a podobně pro funkci e ita e itb máme e ita e itb = e ita e itb. Pomocí těchto vztahů můžeme vzorec (.5) upravit na tvar 2π = 2π ( + ( + ψ(t) e ita e itb 2it ψ(t) e ita e itb 2it 6 ψ( t) eita e itb ) dt = 2it ) ψ(t) e ita e itb 2it dt =

25 . INVERZNÍ VĚTA = { + Re ψ(t) e ita e itb } dt, (.2) 2π it kde symbol Re{z} značí reálnou část komplexního čísla z. Dosazením za do vztahu (.2) obdržíme 2π = 2π = 2π = 2π + + {( + Re Re { + + ( + + ( + ψ(t) = + ) e e itz ita e itb df (z) it e itz df (z) } dt = } cos( ta) + i sin( ta) (cos( tb) + i sin( tb)) (cos(zt) + i sin(zt)) df (z)dt = it { } ) sin(t(z a)) sin(t(z b)) cos(t(z a)) cos(t(z b)) Re + df (z) dt = t it ) dt. (.22) sin(t(z a)) sin(t(z b)) df (z) t Pokud by bylo možné v integrálu (.22) zaměnit pořadí integrace, dostali bychom s pomocí lemmatu.2 2π + ( + sin(t(z a)) sin(t(z b)) t = + ) dt df (z) = D(z, a, b)df (z) = b a df (z) = F (b) F (a). (.2) Odtud vidíme, že k dokončení důkazu stačí ukázat, že lze v integrálu (.22) záměnu pořadí integrace provést. Jelikož integrál (.8) není absolutně konvergentní, není možnost záměny integrace zřejmá. Užitím lemmatu 2..2 dostáváme, že rozdíl D(T, z, a, b) D(z, a, b) pro T konverguje k nule stejnoměrně vzhledem ke všem reálným z s výjimkou intervalů a δ < z < a + δ a b δ < z < b + δ, kde δ je libovolné kladné reálné číslo. Současně všude platí nerovnost D(T, z, a, b) 2. Jelikož předpokládáme, že a a b jsou body spojitosti distribuční funkce F (x), platí Dále + F (b) F (a) = + D(T, z, a, b)df (z) = = 2π D(z, a, b)df (z) = + ( +T 2π T ( +T + T + lim D(T, z, a, b)df (z). T + ) sin (t(z a)) sin (t(z b)) dt df (z) = t sin (t(z a)) sin (t(z b)) df (z) t ) dt. (.24) Záměnu integrace v (.24) bylo možné provést, jelikož je poslední integrál v oblasti z R, t T absolutně konvergentní. Shrneme-li tyto výsledky, pak limitním přechodem pro T + dostaneme 7

26 . INVERZNÍ VĚTA 2π = lim ( T + ( + + = 2π což zbývalo dokázat. ) sin(t(z a)) sin(t(z b)) df (z) dt = t D(T, z, a, b)df (z) = Následující věta je důsledkem věty.. + D(z, a, b)df (z) = ) sin(t(z a)) sin(t(z b)) dt t df (z), Věta. Každá distribuční funkce je svou charakteristickou funkcí jednoznačně určena. Důkaz: Ve větě. je uvedeno, že pomocí charakteristické funkce ψ(t) je určen přírůstek distribuční funkce F (b) F (a) ve všech bodech spojitosti a, b distribuční funkce F (x), a < b. Jelikož každá distribuční funkce má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti, lze vybrat posloupnost bodů spojitosti a n, n =, 2,... takovou, že a n < a n, lim a n =. n Vzhledem k tomu, že F (x) je neklesající funkce, platí lim F (a n) = lim F (t) =. n t Tímto limitním přechodem získáme hodnotu F (b) v libovolném bodě spojitosti b distribuční funkce F (x). Protože každá distribuční funkce je zprava spojitá, můžeme její hodnoty v bodech nespojitosti jednoznačně určit tím způsobem, že ji limitním přechodem doplníme na funkci zprava spojitou. 8

27 4 Negativně binomické rozdělení V závěrěčné části práce se budeme zabývat složeným rozdělením, jehož sčítanci mají logaritmicko-normální rozdělení a rozdělení jejich počtu je negativně binomické, proto bude tato kapitola věnována právě negativně binomickému rozdělení. 4. Zavedení negativně binomického rozdělení a jeho charakteristiky Negativně binomické rozdělení je jedno ze základních rozdělení pravděpodobnosti diskrétního typu. Nejčastější způsob zavedení NB rozdělení vychází z Bernoulliovské posloupnosti nezávislých alternativních pokusů, kdy pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je π (, ). Rozdělení náhodné veličiny X, která udává počet neúspěšných pokusů předcházejících κ-tému úspěchu, κ {, 2,...}, se nazývá negativně binomické rozdělení s parametry π a κ. Pro jeho pravděpodobnostní funkci (hustotu vzhledem k čítací míře) tedy platí: ( ) x + κ f(x; π, κ) = ( π) x π κ pro x =,,... (4.) x = jinak. Výše popsané rozdělení se v některé literatuře nazývá Pascalovo a jako NB rozdělení pak bývá označováno zobecnění tohoto rozdělení pro κ >. V této práci budeme předpokládat, že pro parametry NB rozdělení platí < π < a κ >. Je-li κ =, pak dostáváme geometrické rozdělení. V dalším textu budeme pro náhodnou veličinu X mající negativně binomické rozdělení tvaru (4.) používat označení X NB(π, κ). Příklady hustot NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů π a κ jsou na obr. 4.. Hustotu (4.) lze snadno přepsat do tvaru ( ) κ f(x; π, κ) = π κ (π ) x pro x =,,... x = jinak, který připomíná pravděpodobnostní funkci binomického rozdělení. Právě z této podobnosti pochází název NB rozdělení. Pro střední hodnotu µ a rozptyl σ 2 platí µ = EX = κ π π a σ 2 = DX =κ π π 2. (4.2) 9

28 4. ZAVEDENÍ NEGATIVNĚ BINOMICKÉHO ROZDĚLENÍ A JEHO CHARAKTERISTIKY (a) κ =, π postupně, ;, 45;, 6;, 75;, (b) π =, 6, κ postupně, 5; ; ; 7; 5 Obrázek 4.: Pravděpodobnostní funkce NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů π a κ. Přestože se jedná o rozdělení diskretního typu, jsou pro větší názornost hustoty zakresleny jako spojité funkce. Pomocí hustoty (4.) a vzorců (.),(.2),(.) a (.4) lze snadno určit, že vytvořující funkce G(s), charakteristická funkce ψ(t), momentová vyvořující funkce M(z) a vytvořující funkce kumulantů K(t) negativně binomického rozdělení jsou tvaru ( ) κ π G(s) =, ( π)s ( ) κ π ψ(t) =, ( π)e it ( ) κ π M(z) =, ( π)e z π K(t) = κ ln ( π)e. it (4.) Dále uvedeme vzorce pro obecné momenty až do čtvrtého řádu (viz []). Obecné momenty: µ κ( π) =EX =, π µ 2 =EX 2 κ( π) = [κ( π) + ], π 2 µ =EX κ( π) = [κ 2 ( π) 2 + κ( π) + 2 π], µ 4 =EX 4 = π κ( π) π 4 [κ ( π) + 6κ 2 ( π) 2 + κ( π)( 4π) + π 2 6π + 6]. 2

29 4.2 ZPŮSOBY REPARAMETRIZACE NB ROZDĚLENÍ Pomocí vzorců (2.) lze snadno určit centrální momenty µ 2, µ a µ 4. Známe-li tyto momenty, lze pak nalézt šikmost a špičatost. Jejich výpočty zde nebudeme uvádět, uvedem pouze výsledné vzorce. Centrální momenty: µ 2 =E(X EX) 2 κ( π) = DX =, π 2 µ =E(X EX) κ( π)(2 π) =, π µ 4 =E(X EX) 4 = κ( π)[κ( π) + π2 6π + 6] π 4. Šikmost: Špičatost: γ = µ µ 2 2 = 2 π κ( π). γ 2 = µ 4 µ 2 2 = π2 6π + 6. κ( π) Na zápis hustoty NB rozdělení pomocí parametrů κ a π bude v dalším textu odkazováno jako na parametrizaci. 4.2 Způsoby reparametrizace NB rozdělení V analýzach je velmi často zapotřebí testovat hypotézy, jež se týkají střední hodnoty. Proto se velmi často používá reparametrizace s parametry µ = EX a κ. Ze vzorce pro střední hodnotu NB rozdělení o parametrech κ a π, lze vyjádřit parametr π ve tvaru π = κ κ + µ. Dosazením do vztahu pro hustotu (4.) získáme vyjádřní hustoty v nových parametrch µ a κ. ( ) ( ) x ( ) κ x + κ µ κ f(x; µ, κ) = pro x =,,... x κ + µ κ + µ = jinak. Pokud v předchozím vyjádření hustoty navíc zapíšeme binomický koeficient pomocí gama funkce, dostaneme pravděpodobnostní funkci negativně binomického rozdělení ve tvatu f(x; µ, κ) = ( ) x ( ) κ Γ(x + κ) µ κ pro x =,,... Γ(x + )Γ(κ) κ + µ κ + µ = jinak. Pro náhodnou veličinu X mající negativně binomické rozdělení s parametry µ a κ budeme dále použivat označení X NB(µ, κ). 2

30 4.2 ZPŮSOBY REPARAMETRIZACE NB ROZDĚLENÍ (a) κ = 5, µ postupně ; ; 5; ; (b) µ =, κ postupně, 5; ; 5; ; 5 Obrázek 4.2: Pravděpodobnostní funkce NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a κ. Přestože se jedná o rozdělení diskretního typu, jsou pro větší názornost hustoty zakresleny jako spojité funkce. Na obrázku 4.2 jsou příklady hustot NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a κ. Z obrázků je patrné, že s rostoucím parametrem µ roste i rozptyl a rozdělení se stává plošší, s rostoucím parametrem κ se mění tvar rozdělení- rozdělení se stává symetričtější. V této parametrizaci NB rozdělení je EX = µ a DX = µ + µ2. Ze vzorce pro rozptyl κ je patrné, že při daném κ je rozptyl kvadratickou funkcí střední hodnoty µ. Pro tuto parametrizaci dostáváme užitím vzorců (.),(.2),(.) a (.4) vytvořující funkci, charakteristickou funkci, momentovou vyvořující funkci a vytvořující funkci kumulantů ve tvaru ( ) κ κ G(s) =, κ + µ( s) ( ) κ κ ψ(t) =, κ + µ( e it ) ( ) κ κ M(z) =, κ + µ( e z ) κ K(t) = κ ln κ + µ( e it ). 22

31 Obecné momenty dostaneme ve tvaru µ =µ, µ 2 =µ + µ 2 + µ2 κ, µ =µ + µ 2 + µ2 κ + µ + µ κ + 2µ κ 2, 4.2 ZPŮSOBY REPARAMETRIZACE NB ROZDĚLENÍ µ 4 =µ + 7µ µ2 κ + 6µ + 8 µ κ + 2µ κ + 2 µ4 + 6 µ4 κ + µ4 κ + 2 6µ4 κ a pro centrální momenty platí µ(κ + µ) µ 2 =, κ µ(κ + µ)(κ + 2µ) µ =, κ 2 µ 4 = µ(κ + µ)(κ2 + 6κµ + 6µ 2 ) κ. Dále pro šikmost a špičatost dostaneme vztahy γ = κ + 2µ κµ(κ + µ), γ 2 = κ2 + 6κµ + 6µ 2. κµ(κ + µ) Na zápis hustoty NB rozdělení pomocí parametrů µ a κ bude v dalším textu odkazováno jako na parametrizaci 2. V některých situacích je obtížné nálézt odhad parametru κ (zejména pro velké κ a malé µ), proto se zavádí reparametrizace µ, c, kde c =. Pravděpodobnostní funkce je κ potom tvaru f(x; µ, κ) = Γ(x + ( ) x ( ) c ) cµ c Γ(x + )Γ(c ) + cµ + cµ = jinak. pro x =,,... Pro náhodnou veličinu X mající negativně binomické rozdělení s parametry µ a c budeme v dalším textu použivat označení X NB(µ, c). Příklady hustot NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a c jsou na obr

32 4.2 ZPŮSOBY REPARAMETRIZACE NB ROZDĚLENÍ (a) c =, 5, µ postupně ; ; 5; ; (b) µ =, c postupně, ;, 5; ; 2; 4 Obrázek 4.: Pravděpodobnostní funkce NB rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a c. Přestože se jedná o rozdělení diskretního typu, jsou pro větší názornost hustoty zakresleny jako spojité funkce. Vytvořující funkce, charakteristická funkce, momentová vyvořující funkce a vytvořující funkce kumulantů jsou potom tvaru ( G(s) = + cµ( s) ( ψ(t) = + cµ( e it ) ( M(z) = + cµ( e z ) ) c, ) c, ) c, K(t) = c ln + cµ( e it ). Pro obecné momenty platí µ =µ, µ 2 =µ + µ 2 + µ 2 c, µ =µ + µ 2 + µ 2 c + µ + µ c + 2µ c 2, µ 4 =µ + 7µ 2 + 7µ 2 c + 6µ + 8µ c + 2µ c 2 + µ 4 + 6µ 4 c + µ 4 c 2 + 6µ 4 c. Pro příslušné centrální momenty dostáváme vztahy µ 2 =µ( + cµ), µ =µ( + cµ)( + 2cµ), µ 4 =µ( + cµ)( + 6cµ + 6c 2 µ 2 ). 24

33 4. ODHADY PARAMETRŮ NB ROZDĚLENÍ Šikmost a špičatost dostáváme ve tvaru γ = + 2cµ µ( + cµ), γ 2 = + 6cµ + 6c2 µ 2. µ( + cµ) Na zápis hustoty NB rozdělení pomocí parametrů µ a c bude v dalším textu odkazováno jako na parametrizaci. 4. Odhady parametrů NB rozdělení V tomto odstavci popíšeme různé přístupy k odhadu parametrů negativně binomického rozdělení. Nejdříve budou uvedeny klasické metody odhadu parametrů NB rozdělení- metoda momentů (MM) a metoda maximální věrohodnosti (MMV). Na závěr bude uveden Bayesovský přístup k odhadu parametrů, který je vhodné použít zejména v případech, kdy klasické metody odhadu selhávají. 4.. Metoda momentů Předpokládejme, že je dán náhodný výběr X,..., X n z NB rozdělení. Metoda momentů spočívá v porovnání teoretických a výběrových obecných momentů. Hledané odhady tak snadno získáme řešením momentových rovnic µ k = M k, kde M k = n Xi k. n i= Nechť X i NB(π, κ). Pro tuto parametrizaci obdržímeme momentové rovnice ve tvaru Jejich řešením dostáváme odhady κ( π) = X π κ( π) [κ( π) + ] = n X π 2 i 2. n i= ˆπ = X M 2 ˆκ = X2 M 2 X, kde M 2 = n ni= (X i X) 2 je druhý centrální výběrový moment. Nyní uvedeme odhady parametrů NB rozdělení metodou momentů pro ostatní parametrizace. 25

34 4. ODHADY PARAMETRŮ NB ROZDĚLENÍ Nechť X i NB(µ, κ), pak ˆµ = X ˆκ = X2 M 2 X. Nechť X i NB(µ, c), pak ˆµ = X ĉ = M 2 X X 2. Odhady získané touto metodou bývají často používány jako počáteční odhady při iterativním řešení nelineárních rovnic, které často vycházejí při hledání maximálně věrohodných odhadů. Z výrazů pro odhady ˆκ a ĉ je patrné, že pro M 2 < X tyto odhady vycházejí záporné, což může působit interpretační a především numerické problémy, například při automatickém použití těchto odhadů jako počátečních odhadů při iterativním hledání řešení věrohodnostních rovnic Metoda maximální věrohodnosti Metoda maximální věrohodnosti je pravděpodobně nejpoužívanější metodou určování bodových odhadů. Cílem MMV je odhadnou vektor parametrů θ tak, aby při každé hodnotě náhodného výběru X = x,..., X n = x n byla maximalizována věrohodnostní funkce L(θ, x), kde x = (x,..., x n ), jako funkce θ. Věrohodnostní funkce L(θ, x) je rovna sdružené hustotě náhodného výběru X,..., X n. K hledání maximálně věrohodných odhadů se obvyklé místo věrohodnostní funkce používá logaritmická věrohodnostní funkce l(θ, x) = ln L(θ, x), která nabývá svého maxima ve stejném bodě jako L(θ, x). Nyní stanovíme maximálně věrohodné odhady pro všechny tři parametrizace negativně binomického rozdělení. Nechť X i NB(π, κ), pak příslušná věrohodnostní funkce je tvaru [ ] n Γ(x i + κ) L(π, κ; x) = i= Γ(x i + )Γ(κ) ( π)x i π κ. Logaritmováním věrohodnostní funkce dostaneme logaritimickou věrohodnostní funkci n l(π, κ; x) = [x i ln( π) + κ ln π + ln Γ(x i + κ) ln Γ(κ) ln Γ(x i + )]. i= Derivace logaritmické věrohodnostní funkce podle jednotlivých parametrů položíme rovny nule a dostaneme tak systém věrohodnostních rovnic pro hledané odhady l ni= π = x i π + nκ π = 26

35 4. ODHADY PARAMETRŮ NB ROZDĚLENÍ l n κ = n ln π + Ψ(x i + κ) nψ(κ) =, i= kde Ψ(z) je digama funkce (derivace logaritmu gama funkce). Z první rovnice snadno získáme odhad ˆπ = κ κ + X, druhá rovnice se řeší iterativně. Nechť X i NB(µ, κ), pak pro logaritmickou věrohodnostní funkci platí [ n l(µ, κ; x) = x i ln i= µ κ + µ + κ ln ] κ κ + µ + ln Γ(x i + κ) ln Γ(κ) ln Γ(x i + ). Derivováním logaritmické věrohodností funkce obdržíme věrohodnostní rovnice l µ = κ (κ + µ) [ l κ = n i= n x i n κ i= κ + µ = x i κ + µ + ln κ κ + µ + µ κ + µ + Ψ(x i + κ) Ψ(κ) ] =. Z první rovnice lze jednoduše výjádřit parametr µ, tím dostaneme maximálně věrohodný odhad ˆµ = X. Odhad parametru κ je nutno hledat numericky. Nechť X i NB(µ, c), pak logaritmická věrohodnostní funkce je tvaru [ n cµ l(µ, c; x) = x i ln i= + cµ + ] c ln + cµ + ln Γ(x i + c ) ln Γ(c ) ln Γ(x i + ). Příslušné věrohodnostní rovnice jsou tvaru l µ = l c = n n x i n ( + cµ) i= + cµ = [ xi µ i= c( + cµ) + c ln( + cµ) 2 c Ψ(x 2 i + c ) + ] c 2 Ψ(c ) =. Z první rovnice opět dostaneme, že maximálně věrohodným odhadem parametru µ je výběrový průměr. Druhou rovnici je nutno řešit numerickou iterací. Odhady parametrů κ a c získané metodou maximální věrohodnosti bývají většinou rovnocenné. V běžných případech dávají po přepočtu stejný výsledek. MMV ovšem selhává u výběrů, kdy κ je velké a µ současně malé (řešení buď není nalezeno, nebo je nalezen odhad ˆκ = ). V takovém případě je vhodné použít jiné metody odhadu- například bayesovský přístup, jež bude popsán v následujícím odstavci. 27

36 4.. Bayesovské odhady 4. ODHADY PARAMETRŮ NB ROZDĚLENÍ V tomto odstavci uvedeme bayesovský přístup k odhadu parametrů µ a κ negativně binomického rozdělení. Podrobnější postup určení bayesovský odhadů těchto parametrů je uveden v []. Zde uvedeme pouze stěžejní kroky výpočtu odhadů. Podmíněná apriorní hustota parametru µ při daném σ 2 = s 2 je zavedena vztahem f µ σ 2(m s 2 ) = /s 2 pro m < s 2 a rovna jinak. Dále pro apriorní hustotu σ 2 platí f σ 2(s 2 ) = /s 2 pro s 2 >. Pak sdružená apriorní hustota f µ,σ 2(m, s 2 ) = /s 4 pro m < s 2 <. Pro stanovení aposteriorní hustoty f µ,σ 2 X(m, s 2 x) je použita aproximace hustoty náhodného výběru X,..., X n normálním rozdělením na základě centrální limitní věty. Nechť X i NB(π, κ), pak pro přirozené κ můžeme psát X i = κ j= Y j, kde Y j NB(π, ) jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny. Podle centrální limitní věty má X i pro velké hodnoty κ asymptoticky normální rozdělení N(µ, σ 2 ), < µ < σ 2. Podle Bayesovy věty lze aposteriorní hustotu zapsat ve tvaru f µ,σ 2 X(m, s 2 f µ,σ 2(m, s 2 )f X µ,σ 2(x m, s 2 ) x) = s 2 f µ,σ 2(m, s2 )f X µ,σ 2(x m, s 2 )dm ds. (4.4) 2 Hustotu f X µ,σ 2(x m, s 2 ) můžeme na základě výše uvedené aproximace zapsat ve tvaru ( f X µ,σ 2(x m, s 2 ) = (2π) n 2 (s 2 ) n 2 exp n (x i m) 2 ) 2 s 2 a po dosazení do (4.4) a následné úpravě pro aproximovanou aposteriorní hustotu dostaneme f µ,σ 2 X(m, s 2 (s 2 ) n 2 2 e n 2s x) = 2 i= (x i m) 2 s 2 (s2 ) n 2 2 e n 2s 2 i= (x i m) 2 dm ds. 2 Pomocí této hustoty lze stanovit bayesovský ohad µ ˆµ = E(µ x) = s 2 i= mf µ,σ 2 X(m, s 2 x)dm ds 2, který lze aproximovat výrazem E(µ x) = x E [ ( ( n σ φ (σ 2 x) ) ( n σ φ x ))] n σ E [ Φ ( (σ 2 x) ) ( n σ Φ x )], n σ kde φ(z) je hustota standardizovaného normálního rozdělení a Φ je její distribuční funkce. Podobně pro odhad σ 2 dostáváme ˆσ 2 = E(σ 2 x) = E [ ( ( σ 2 Φ (σ 2 x) ) ( n σ Φ x ))] n σ E [ Φ ( (σ 2 x) ) ( n σ Φ x )] n σ a bayesovský odhad parametru κ je pak tvaru ˆκ = ˆµ2 ˆσ 2 ˆµ. Protože ˆµ ˆσ 2, je vždy ˆκ >. Přestože je odvození tohoto odhadu založeno na aproximaci NB rozdělení normálním rozdělením, tedy pro situaci kdy je κ velké přirozené, fungují tyto odhady dobře i pro ostatní situace. 28

37 5 Logaritmicko-normální rozdělení V kapitole 6 budeme analyzovat složené rozdělení, jehož sčítanci mají logaritmickonormální rozdělení. Proto bude tato kapitola věnována logaritmicko-narmálnímu rozdělení. Na začátku této kapitoly zavedeme LN rozdělení a uvedeme jeho základní charakteristiky. Dále popíšeme různé metody odhadu parametrů LN rozdělení. 5. Zavedení logaritmicko-normálního rozdělení a jeho charakteristiky Logaritmicko-normální rozdělení je rozdělení spojitého typu. Náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení s parametry µ >, σ 2 >, jestliže transformovaná náhodná veličina Y = ln X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Logaritmicko-normální rozdělení má tedy hustotu f(x) = (ln x µ)2 e 2σ 2 pro x > 2πσx = pro x. Pro náhodnou veličinu X mající logaritmicko-normální rozdělení s parametry µ a σ 2 budeme v dalším textu použivat označení X LN(µ, σ 2 ). Na obrázku 5. jsou příklady hustot logaritmicko-normálního rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a σ (a) µ =, σ 2 postupně, 5;, 2;, 5; ; (b) σ 2 =, 5, µ postupně, 5; ;, 5; 2; Obrázek 5.: Hustota LN rozdělení pro různé hodnoty parametrů µ a σ 2. Nechť X LN(µ, σ 2 ), pak pro její střední hodnotu a rorptyl platí σ2 µ+ EX = e 2 a DX =e 2µ+σ2 (e σ2 ). 29

38 5.2 METODY ODHADU PARAMETRŮ LN ROZDĚLENÍ Výpočet charakteristické funkce LN rozdělení ψ(t) = Ee itx je značně náročný, proto bývá charakteristická funkce často vyjadřována pomocí rozvoje v Taylorovu řadu (viz [4]). Pro charakteristickou funkci pak platí ψ(t) = (it) k σ2 kµ+k2 e 2. (5.) k! k= Uvedená řada je ovšem divergentní. Nicméně je toto vyjádření postačující pro numerické vyhodnocení charakteristické funkce, pokud horní hranici sumace K zvolíme tak, že max( t, µ ) K 2 σ 2 ln 2 σ 2 a σ 2 <,. (5.2) Pro r-tý obecný moment platí (viz [7]) µ r = e rµ+ r2 2 σ2. Pro první čtyři obecné momenty tedy dostáváme µ σ2 µ+ =e 2, µ 2 =e 2µ+2σ2, µ 9σ2 µ+ =e 2, µ 4 =e 4µ+8σ2. Užitím vztahů mezi centrálními a obecnými momenty (2.) lze po jednoduchém výpočtu určit centrální momenty µ 2, µ a µ 4 ve tvaru µ 2 =e 2µ+σ2 (e σ2 ), σ2 µ+ µ =e 2 (e σ 2 e σ2 + 2), µ 4 =e 4µ+2σ2 (e 6σ2 4e σ2 + 6e σ2 ). Dále pro šikmost a špičatost platí vztahy γ = e σ2 (e σ2 + 2), γ 2 = e 4σ2 + 2e σ2 + e 2σ Metody odhadu parametrů LN rozdělení V tomto odstavci určíme odhady parametrů NB rozdělení metodou momentů a metodou maximální věrohodnosti.

39 5.2. Metoda momentů 5.2 METODY ODHADU PARAMETRŮ LN ROZDĚLENÍ Nechť X,..., X n je náhodný výběr z LN(µ, σ 2 ). Pak momentové rovnice jsou tvaru σ2 µ+ e Z rovnice (5.) vyjádříme parametr µ 2 = X (5.) e 2µ+2σ2 = M 2, kde M 2 = n Xi 2, (5.4) n i= µ = ln X σ2 2. (5.5) Do rovnice (5.4) dosadíme (5.5) a vyjádříme σ 2, tím získáme odhad parametru ˆσ 2 Momentový odhad ˆµ získáme dosazením 5.6 do 5.5 ˆσ 2 = ln M 2 2 ln X. (5.6) ˆµ = 2 ln X ln M 2. 2 Odhady parametrů LN rozdělení získané metodou momentů nejsou funkcí postačující statistiky, proto tyto odhady nejsou příliš kvalitní a je tedy vhodné použít k odhadu parametrů jinou metodu Metoda maximální věrohodnosti Věrohodnostní funkce rozdělení LN(µ, σ 2 ) je tvaru ( n L(µ, σ 2 ; x) = exp (ln x i µ) 2 ) ( n = (2π) n i= 2πσxi 2σ 2 2 σ n n (ln x i µ) 2 ) exp. i= x i i= 2σ 2 Jejím logaritmováním získáme logaritmickou věrohodnostní funkci l(µ, σ 2 ; x) = n n 2 ln(2π) n ln σ n (ln x i µ) 2 ln x i. 2σ 2 Derivace logaritmické věrohodnostní funkce podle jednotlivých parametrů položíme rovny nule a dostaneme tak systém věrohodnostních rovnic pro hledané odhady l µ = n i= l σ 2 = n σ 2 + n i= i= ln x i µ σ 2 = (5.7) i= (ln x i µ) 2 σ 4 =. (5.8) Z rovnice (5.7) vyjádříme parametr µ, tím získáme odhad ni= ln x i ˆµ =. (5.9) n Do rovnice (5.8) dosadííme (5.9) a vyjádříme σ 2. Obdržíme odhad ni (ln x ˆσ 2 i ˆµ) 2 =. n