ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH GONIOMETRICKÝCH ROVNIC

Transkript

1 ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH GONIOMETRICKÝCH ROVNIC V tomto krátkém pojednání si ukážeme, jak řešit goniometrické rovnice, které lze převést na tvar f () = c, kde c R a f je některá goniometrická funkce. To se však neobejde bez určitých znalostí z dřívějších kapitol. Zejména je třeba: umět řešit lineární a kvadratické rovnice znát princip užití substituce umět počítat ve stupňové i obloukové míře znát průběh základních goniometrických funkcí znát (či umět vyhledat) některé goniometrické vzorce umět pracovat s programem MATMAT (ke stažení v bonusech) a kalkulačkou Shrnutí: Pro každé 0; platí: I. II. III. IV. sin = sin (π ) = sin (π + ) = sin (π ) cos = cos (π ) = cos (π + ) = cos (π ) tg = tg (π ) = tg (π + ) = tg (π ) cotg = cotg (π ) = cotg (π + ) = cotg (π ) Toto shrnutí bude pro naše další bádání zcela zásadní. Jak? To si povíme u konkrétních příkladů. OK, jdeme na to! Zadání: Na množině R řešte rovnice. Zkoušku proveďte použitím programu MATMAT. a) cos 0, Tato rovnice je zadána ve tvaru f () = c, kde c R. Konkrétně f je funkce kosinus, c = 0,. Není tedy třeba žádných dalších úprav a můžeme rovnou přistoupit k samotnému řešení. Než k tomu přikročíme, je třeba si uvědomit, co vlastně počítáme. Co je to vlastně? Je to úhel? Nebo je to číslo? Je to číslo, které ovšem můžeme chápat i jako velikost úhlu v obloukové míře. Zpátky k příkladu. Kosinus je záporný ve II. a III. kvadrantu (viz shrnutí nahoře). Nachystáme si tedy oba kvadranty někam nahoru a na znaménko mínus můžeme v tu ránu zapomenout. Hodnotu určíme na kalkulačce. POZOR! Zadávat bez mínusu! Každá kalkulačka je naprogramovaná tak, že zadáš-li do ní kladnou hodnotu goniometrické funkce, dá ti úhel z prvního kvadrantu, neboť v tomto kvadrantu jsou hodnoty všech čtyř základních goniometrických funkcí kladné (viz shrnutí). Nezapomeň použít tlačítko shift či ndf, zjišťuješ úhel, nikoli hodnotu funkce. Taktéž si zkontroluj, že máš kalkulačku nastavenou na radiány (RAD či R).

2 Hloupější kalkulačka vyplivne,0797, chytřejší kalkulačka. Buď jak buď, v obou případech se jedná o číslo z intervalu 0; resp. úhel z prvního kvadrantu. Jelikož hledaný úhel je z II. resp. III. kvadrantu, označíme si výsledek z kalkulačky třeba * a budeme ho nazývat pomocným úhlem. Ten nyní využijeme při výpočtu kořenů rovnice přesně podle shrnutí v úvodu. Nesmíme zapomenout přidat periodu, jelikož funkce kosinus je periodická s periodou π. * 0; II. III. = π * + πk ; k Z = π + * + πk ; k Z = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale shrnuli jsme je dvěma zápisy. Takže jim přihodíme indey, pro pořádek. k ; k Z k ; k Z Zbývá ověření v MATMATu. Zápis cos 0, můžeme chápat i jako rovnost dvou funkcí. Vlevo goniometrická funkce y cos, vpravo konstantní funkce y 0,. Když jejich grafy vykreslíme do jednoho obrázku, tak tam, kde se protnou, leží hledané kořeny rovnice cos 0,. Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce y cos.

3 b) tg 0 Nejprve je třeba vydělit rovnici třemi. Dostaneme: tg 0 Nyní zavedeme substituci ( 0 ) = y. Dostaneme: tg y Fajn. Toto je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R. Konkrétně f je funkce tangens, c =. Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Tangens je kladný v I. a III. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme. I. III. y = y = Dále bychom měli vědět, že funkce tangens je periodická s periodou. Protože však v zadání figurují stupně (což vidím nerad), použijeme zápis periody ve stupních. I. III. y = + 80 k ; k Z y = + 80 k ; k Z Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. Kalkulačku je před tím třeba přepnout na stupně (DEG či D). y* = Jelikož hledaná hodnota y je z I. a III. kvadrantu, je pomocný úhel y* přímo jedním z řešení. To druhé dopočítáme podle shrnutí v úvodu (číslo π nahradíme hodnotou 80 ). I. III. y = + 80 k ; k Z y = (80 + ) + 80 k ; k Z y = + 80 k ; k Z y = + 80 k ; k Z Teď je třeba přejít k původní proměnné. I. III. 0 = + 80 k ; k Z 0 = + 80 k ; k Z = + 80 k ; k Z = + 80 k ; k Z Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale můžeme je shrnout jen jedním zápisem. Přičteme-li totiž k úhlu jednu periodu (tj. 80 ), dostaneme číslo. Oba výsledky tedy vyjadřují to samé. Tak si vybereme jen jeden z nich. = + 80 k ; k Z Zbývá ověření v MATMATu. Úhlu odpovídá úhel 0,97 rad, tj. číslo 0,97. Úhlu 0 odpovídá úhel 9 rad, tj. číslo 9. (MATMAT to se stupni neumí)

4 Jak je vidět na obrázku, rozestupy všech průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce y tg. c) sin 0 Hodnota funkce sinus (stejně tak kosinus) je vždy číslo z intervalu ; Rovnice nemá řešení., takže smůla. d) sin 0 0, Nejdříve zavedeme substituci + 0 = y. Dostaneme rovnici: sin y 0,. To už je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R. Konkrétně f je funkce sinus, c = 0,. Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Sinus je záporný ve III. a IV. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme. III. IV. y = y = Dále bychom měli vědět, že funkce sinus je periodická s periodou π. Protože však v zadání figurují stupně, použijeme zápis periody ve stupních. III. IV. y = + 0 k ; k Z y = + 0 k ; k Z Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. y* = Nyní dopočítáme hodnoty y podle shrnutí v úvodu. Číslo π nahradíme hodnotou 0. III. IV. y = (80 + ) + 0 k ; k Z y = (0 ) + 0 k ; k Z y = + 0 k ; k Z y = k ; k Z

5 Teď přejdeme k původní proměnné. III. IV. + 0 = + 0 k ; k Z + 0 = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z Zbývá vydělit rovnice dvěma. POZOR, dělíme i periodu!! III. = k ; IV. k Z = + 80 k ; k Z Dovolil jsem si výsledky rovnou indeovat. Je zřejmé, že přičteme-li k úhlu 0 jednu periodu (tj. 80 ), nedostaneme úhel. Rovnice má nekonečně mnoho řešení, které lze shrnout dvěma zápisy. Zbývá ověření v MATMATu. Úhlu 0 odpovídá číslo,80. Úhlu odpovídá číslo,7. Úhlu 0 (pro potřeby MATMATu) odpovídá číslo. 8 Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce y sin. e) sin 0 Nejdříve zavedeme substituci ( ) = y. Dostaneme rovnici sin y = 0. To je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R. Konkrétně f je funkce sinus, c = 0. Jelikož nula není ani kladná, ani záporná, nebudeme tentokrát postupovat přes kvadranty. Stačí si uvědomit, že sinus je roven nule pro všechny celočíselné násobky čísla π. y k ; k Z Zpátky k původní proměnné. k ; k Z k ; k Z Tento výsledek můžeme s klidem zapsat i ve tvaru k; k Z, neboť na znaménku před periodou pramálo záleží. Zbývá kontrola v MATMATu.

6 Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce y jsou skutečně rovny π, i když funkce y sin s osou (graf funkce y = 0) sin je periodická s periodou π.

7 SUBSTITUCE Druhým typem goniometrických rovnic běžně probíraných na střední škole jsou rovnice na užití substituce, ovšem trošku jiné než v předchozích příkladech, takže ji směle označím jako substituce. typu. S tímto označením se pravděpodobně jinde nesetkáte. Celkem si dovoluju, co? f) cos cos 0 Nejdříve je třeba zavést onu substituci. typu. Ta spočívá v tom, že tentokrát nahradíme celou funkci, nikoli jen argument (úhel). SUBST. : y cos y y 0 Toto je jednoduchá kvadratická rovnice. D = 9 D. y, y, y. Teď zpátky k původní proměnné. ) cos Toto je rovnice ve tvaru f () = c, kde c R. Při jejím řešení nebudeme postupovat přes kvadranty, jelikož jednička (stejně tak mínus jednička a nula) je u funkcí sinus a kosinus význačná hodnota a obě funkce tuto hodnotu nabývají někde mezi kvadranty Specielně funkce kosinus ji nabývá ve všech k ; k Z (tj. mezi I. a IV. kvadrantem, dá-li se to tak říct). ) cos Funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu, její perioda je rovna π. II. III. = * k ; k Z = * k ; k Z Pomocný úhel * =. II. III. = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z Tyto dva zápisy nelze sloučit do jednoho. Přidáme-li však řešení z ), už se nám to podaří. 0 k ; k Z + k ; k Z + k ; k Z k ; k Z

8 Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce y cos cos s osou jsou skutečně pravidelné a rovny. g) cos cos cos SUBST. : y cos y y y Kubická rovnice?!!? Ano, ale snadno řešitelná! Stačí umět vytýkat. y y y První řešení je evidentní: y. Abychom se dopracovali k těm ostatním, celou rovnici vydělíme výrazem y +. Dostaneme rovnici: y y,. Nyní se vrátíme k původní proměnné. ) cos Funkce kosinus nabývá hodnotu ve všech kosinus, jestliže jsi sešel z cesty) k ; k Z (mrkni na graf funkce ) cos Pomocný úhel * = a je to přímo jedno z řešení. I. IV. = k ; k Z = k ; k Z = k ; k Z ) cos Pomocný úhel zůstává stejný * =.

9 II. III. = k ; k Z = k ; k Z 7 = k ; k Z = k ; k Z Shrneme-li všechny dosažené výsledky a trochu je seřadíme, dostáváme: k ; k Z k ; k Z 7 k ; k Z k ; k Z k ; k Z Všechny do jednoho zápisu sloučit nelze, lze však sloučit s a s. k ; k Z k ; k Z k ; k Z Jak je vidět na obrázku, rozestupy červených průsečíků jsou pravidelné a rovny π. Rozestupy černých resp. modrých průsečíků jsou taktéž pravidelné, ovšem rovny π.

10 ROZKLAD NA SOUČIN h) sin cos sin Substituce není možná. Nahradíme-li např. sin = y, co pak bude cos? Ví bůh. Takže jinak. Upravíme rovnici tak, aby vpravo zůstala nula. sin cos sin 0 Nyní pomocí vytýkání upravíme rovnici do součinového tvaru. sin cos 0 Levá strana rovnice obsahuje součin dvou výrazů a ten se rovná nule. To znamená, že buď sin = 0 nebo závorka = 0. Tímto získáme dvě rovnice, které jsou snadno řešitelné s využitím předchozích zkušeností. ) sin = 0 Tohle nemá cenu nijak komentovat, řešení je k ; k Z. Rovnou jsem tam šoupnul inde, jelikož věřím, že řešení bude víc. No, uvidíme. ) cos = 0 cos Zavedeme substituci y =. cos y Dostali jsme rovnici ve tvaru f (y) = c, kde pomocný úhel y* = bude součástí řešení. Perioda je rovna π. c R. Kosinus je kladný v I. a IV. kvadrantu, I. IV. y k ; k Z y k ; k Z 7 y k ; k Z Zpátky k původní proměnné. I. IV. 7 k ; k Z /: k ; k Z /: 7 k ; k Z k ; k Z 0 0 Opětovně jsem rovnou indeoval a barvil na žluto, výsledky totiž nelze sloučit do jediného zápisu. O tom se koneckonců přesvědčíme i na následujícím obrázku.

11 Koukám, že obrázky jsou čím dál větší brutus. Každopádně modré průsečíky odpovídají kořenům, zelené kořenům a červené kořenům. Rozestupy modrých průsečíků jsou π, rozestupy zelených resp. červených průsečíků jsou. i) cos tg cos 0 Proč mi to ten tangens píše pořád kurzívou? Nejprve zatkneme cos před závorku. tg 0 cos Opět tu máme součin dvou výrazů roven nule. ) cos = 0 No comment, buddy! k ; k Z ) tg 0 tg Zavedeme substituci y = a dostaneme rovnici: Pomocný úhel y *, perioda je rovna π. tgy. II. IV. y k ; k Z y k ; k Z y k ; k Z y k ; k Z Zpět k původní proměnné.

12 II. IV. k ; k Z /: k ; k Z /: k ; k Z k ; k Z Opět jsem si dovolil rovnou indeovat a žlutit, pozorný čtenář jistě tuší proč. Zbývá obrázek. Žluté průsečíky funkce s osou reprezentují kořeny a skáčou po pí, červené průsečíky reprezentují kořeny a skáčou po pí půl.

13 UŽITÍ ZÁKLADNÍCH GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ Tato kapitola bude pro mé současné žactvo ve většině případů trochu nad rámec, ale kdo ví, třeba se to bude jednou hodit. Tož tak. Eistuje celá řada goniometrických vzorců a my si ukážeme jen užití několika z nich. Taktéž není třeba si je všechny pamatovat, stačí je umět rozpoznat a dohledat. Začneme dvěma nejjednoduššími, které se rozhodně vyplatí znát. i) sin + cos =, R (plyne z Pythagorovy věty) ii) tg cotg =, R (plyne přímo z definicí obou funkcí) j) cos sin Ze vzorce i) plyne: cos = sin. Výraz sin tedy můžeme dosadit do rovnice za cos. Dostaneme: sin sin Tohle už je typická rovnice na užití substituce (. typu). SUBST. : y sin y y y y 0 D = D Můžeme přejít k původní proměnné. ) sin = k ; k Z y, y ; ) sin = 7 k ; k Z, k ; k Z Obrázek vytvořte sami, mně už se nechce. Beztak to mám dobře. k) tg cot g 0 Zas ta kurzíva! A ten kotangens je doslova k nekoukání! Ze vzorce ii) plyne: cot g. Tento fakt aplikujeme na naši rovnici. Dostaneme: tg tg 0 SUBST. : y tg tg y 0 y y + = 0 y ; y Přejdeme zpět k proměnné.

14 ) tg = tg = Nachystáme všechny kvadranty. Pomocný úhel * = a je to součást řešení. Perioda funkce tangens je rovna π. I. II. III. IV. k k k 7 k Toto všechno lze shrnout do jednoho zápisu: ) tg = tg = k ; k Z Nachystáme znovu všechny kvadranty. Pomocný úhel * = a je to součást řešení. Perioda zůstává stejná. I. II. III. IV. k k k k Toto lze pro změnu shrnout do dvou zápisů: k ; k Z, k ; k Z. Černé kuličky odpovídají kořenům a skáčou po pí půl, modré kuličky odpovídají kořenům a skáčou po pí a zelené kuličky odpovídají kořenům a skáčou také po pí. Sakra, úplně jsem teď dostal chuť zahrát si kuličky. A s duhovkama! l) sin cos Ze vzorce i) plyne: cos = sin. To ovšem znamená, že rovnici budeme muset umocnit. Nejdříve však odečteme ten sinus na druhou stranu, jinak by to bylo vo hubu. cos sin Nyní rovnici umocníme (vpravo podle vzorce (a b) ). Nesmíme při tom zapomenout, že provádíme neekvivalentní úpravu rovnice, a proto bude nutné na závěr provést ZKOUŠKU!!

15 cos sin cos sin sin Použijeme větu i). sin sin sin A teď pryč s těmi siny, takže SUBST. : y sin. y y y Dostali jsme jednoduchou kvadratickou rovnici. D = 9 D y ; ) sin = k ; k Z 7 ) sin = k ; k Z, k ; k Z ZK: Kořeny postupně dosadíme do původní rovnice. k ; k Z L = sin k cos k 0 P = L = P A kořen jsem mohl zažlutit. 7 k ; k Z 7 7 L = sin k cos k P = L P Tento kořen neprošel. k ; k Z L = sin k cos k P = L = P Tento kořen prošel (upravil jsem mu rovnou inde z na ). Jak je vidět na obrázku, rozestupy žlutých i červených průsečíků jsou rovny π. Jedničku na pravé straně rovnice reprezentuje konstantní funkce y =.

16 iii) součtové vzorce sin y sin cos y sin y cos, R, y R cos y cos cos y sin sin y, R, y R m) sin sin Použijeme první ze součtových vzorců, zůstává, y =. sin sin cos sin cos cos ; sin sin cos sin Sečteme siny. sin cos Násobíme dvěma. sin cos Vydělíme číslem, uznáme-li za vhodné. sin cos sin cos Nyní rovnici umocníme a pak použijeme vzorec i). sin cos cos sin cos cos cos cos SUBST. : y cos y y y Kvadratická rovnice. D = 9 D y ; ) cos = k ; k Z ) cos = k ; k Z, k ; k Z ZKOUŠKA OPĚT NUTNÁ! L = k sin k k ; k Z P = sin = L = P A kořen jsem zažlutil. 0 k ; k Z L = P = sin k sin k = L P Tento kořen neprošel.

17 k ; k Z L = sin k sin k = 0 P = L = P Kořen OK, upravil jsem mu inde z na. iv) dvojnásobný úhel sin sin cos ; R cos cos sin, R (oba vzorce přímo vyplývají ze součtových vzorců) n) cos tg cot g sin Pěkný příklad. Vybral jsem ho nejen kvůli výrazu cos na pravé straně rovnice, ale i kvůli výrazu tg na straně levé. Jak už jsem uvedl v úvodu tohoto pojednání, při řešení goniometrických rovnic je znalost průběhu základních goniometrických funkcí naprosto nezbytná. Jak jinak bych totiž mohl vědět, že tg = cotg? Ověřte sami. Rovnici nejprve přepíšeme. Zbavíme se tak jedné nepohodlné goniometrické funkce. cos cot g cot g Nyní napravo použijeme druhý ze vzorců iv). sin cos sin cot g cot g Provedeme pár drobných úprav pravé strany. sin cos sin sin cos cot g cot g Využili jsme vzorce i). sin

18 sin cot g cot g sin Krátíme. cot g cot g SUBST. : y cot g y y Opětovně kvadratická rovnice. D = 9 D y ; ) cotg = k ; k Z ) cotg = Tento kořen raději rozeberu. Je-li cotg =, pak z věty ii) plyne tg perioda je rovna π, pomocný úhel * = 0, rad.. Tangens je záporný ve II. a IV. kvadrantu, II. IV. 0, k ; k Z 0, k ; k Z,78 k ; k Z,89 k ; k Z Oba zápisy lze sloučit do jednoho, takže,78 k ; k Z. Pozn. Funkce f není definovaná pro všechna jak tak koukám trochu problémy. k ; k Z. S tím má můj digitální oblíbenec y y v) součet a rozdíl funkcí sin sin y sin cos ; R y y sin sin y cos sin ; R y y cos cos y cos cos ; R y y cos cos y sin sin ; R

19 o) sin sin sin 0 Na krajní členy levé strany rovnice použijeme první z vět v), takže zůstává, y =. sin cos sin 0 Hm, ten mínus se mi tam nelíbí. Tak jinak, =, y =. sin cos sin 0 Gut. sin cos sin 0 sin cos sin 0 Vytkneme sin před závorku. sin cos 0 Dostali jsme rovnici v součinovém tvaru. To už tu bylo, takže pohoda jahoda. ) sin 0 k ; k Z k ; k Z ) cos 0 cos k ; k Z, k ; k Z Jak je vidět na obrázku, rozestupy zelených i červených průsečíků jsou rovny π, kdežto černé průsečíky skáčou po pí půl. vi) poloviční úhel p) sin sin 0 sin cos cos ; cos ; R R

20 Tato rovnice se dá vyřešit i elegantněji a bez použití vzorců vi), ale to je fuk. Nejprve odečteme sin na druhou stranu a pak rovnici umocníme. sin sin sin sin Z první věty vi) plyne: sin cos cos sin Z věty i) plyne sin cos cos cos SUBST. : y cos y y Kvadratická rovnice. Po úpravách vypadá takto: y y 0 D = D y ; ) cos = k ; k Z ) cos = k ; k Z, k ; k Z ZKOUŠKA NUTNÁ!! k k ; k Z L = sin sin k P = 0 L = P A kořen jsem zažlutil k ; k Z k L = sin sin k = sin k Tady je třeba to trochu rozvést. Je-li k = 0, dostaneme L = sin P 7 Je-li k =, dostaneme L = sin sin 0 = P Je-li k =, pak L P. Je-li k =, pak L = P.... I naprostý matematický diletant jistě pochopil, že číslo k musí být liché, jinak zkouška nevyjde. Lichá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. výrazem k, k Z. Platí tedy:

21 7 k ; k Z k ; k Z k ; k Z k ; k Z k L = sin sin k = sin k Opět to celé rozvedeme. Je-li k = 0, dostaneme L = sin 0 = P Je-li k =, dostaneme L = sin sin P Je-li k =, pak L = P. Je-li k =, pak L P.... Aby zkouška vyšla, číslo k musí být sudé. Sudá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. výrazem k, k Z. Platí tedy: k ; k Z k ; k Z Obrázek tentokrát nebude a není to díky mé vrozené lenosti. Perioda π je příliš dlouhá, obrázek bych musel hodně zmenšit a stal by se nečitelným.

22 q) Najdi všechna řešení ; ŘEŠENÍ GONIOMETRICKÝCH ROVNIC NA INTERVALU rovnice cos cos 0. Rovnici vyřešíme jako obvykle a poté dohledám řešení z požadovaného intervalu. cos cos 0 y y 0 D = = SUBST. : y cos = = = D y, y y Pozn. Při výpočtu diskriminantu jsem použil vzorec (a b) = a ab + b, abych se vyhnul odmocnině z odmocniny. A teď zpátky k původní proměnné. ) cos k ; k Z Z těchto nekonečně mnoha řešení je třeba nalézt ta, která spadají do intervalu Evidentně jsou to ta, která přísluší celým číslům k = 0 ( = 0) a k = ( = π). ;. ) cos II. a III. kvadrant, k ; k Z, k ; k Z Opět je třeba nalézt řešení z intervalu ;. Začneme prvním zápisem. k ; k Z k = 0 k = a to už je moc. Tak pojedeme na druhou stranu. k = k = a to už je zase málo. Přibyla tedy dvě řešení.

23 k ; k Z k = 0 a to je moc. k = k = 9 k = a to je málo. Přibyla tedy další dvě řešení. Závěr: Na intervalu ; má rovnice šest řešení: ; ; ;; ; 0; ; r) Najdi všechna řešení ; 0 rovnice sin. Rovnici nejprve odmocníme. Nesmíme zapomenout na absolutní hodnotu! sin = Pomocný argument je a jelikož mám hodnoty kladné i záporné, nachystáme si rovnou všechny čtyři kvadranty. I. II. III. IV. 7 k k k k / 8 k 8 k 8 k 7 8 k Jak tak na to řešení koukám, skáče to po π, takže všechny čtyři zápisy sloučíme do jednoho: např. k Na závěr najdeme všechna řešení z požadovaného intervalu. Jsou dvě (pro k = a k = ). ; Obrázek je na další straně.

24 Pozn. Po dopsání tohoto tetu jsem si s hrůzou uvědomil, že na všech obrázcích chybí popisky souřadnicových os. Takže pro všechny detailisty, šťouraly a kosmické bytosti dodávám: Vodorovná osa je, svislá osa je y. Platí pro všechny obrázky v tomto tetu. Pozn. Ve svých zápisech, které si vedu již hezkou řádku let, jsem objevil i tento, jenž pochází z období, kdy jsem se připravoval na maturitní zkoušku z matematiky: Absolutně nechápu, co mám dělat s touhle rovnicí: sin sin sin sin Trumfni mě!!!