1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí"

Zdenka Černá
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn nepamatuje všechny informace, jen ty nejdležitjší. Mnohdy kombinuje své znalosti tak, že z nich odvodí nová tvrzení. Pojem dkazu, který používali již antití filozofové a myslitelé, ovlivnil výrazn rozvoj matematického a vdeckého myšlení, jak jej známe dnes. Na jeho základech je budována matematika jako induktivní vda, která vychází z nkolika axiom a logických pravidel, pomocí kterých pak vytváí dkazy dalších tvrzení. Metodami argumentace, studiem a formalizací tohoto zpracování informací se zabývá logika. Mezi prvotní zakladatele této matematické disciplíny se adí etí filozofové Platon a Sokrates a matematik Euklides. Možnosti a meze logiky se blíže podailo urit až ve 20. století díky významným pracím vdc jako D. Hilberta, K. Gödela, B. Russela a A. Tarského. Již dva tisíce let nazpt je znám výrok krétského myslitele Epistemida: Co íká Kréan, je lež. Jedná se o tzv. Russelv paradox v teorii množin, logice a reprezentaci pirozeného jazyka do jazyka matematické logiky. Napíklad Kurt Gödel ve 30. letech devatenáctého století ukázal, že problém formalizace jisté oblasti myšlení není pouhou otázkou vhodné restrikce jazyka a volby axiom. Gödelova vta upozoruje na to, že nemže existovat žádná konen axiomatizovaná teorie obsahující prostedky pro popis elementární matematiky, v níž by byla odvoditelná všechna pravdivá tvrzení o pirozených íslech. Další Gödelova vta, vta o nedokazatelné a nevyvratitelné formuli, odhaluje marnost hledání úplného axiomatického systému. Dokazuje totiž, že v každé axiomatizovatelné teorii obsahující aritmetiku lze formulovat takové tvrzení, že v dané teorii není dokazatelné ono samo, ani jeho popení (tzv. nerozhodnutelná tvrzení).

2 V dalších kapitolách budou osvtleny základní pojmy a metody matematické logiky, zejména predikátová logika 1. ádu, nebo ta má v matematice výsadní postavení. 1.2 Jazyk predikátové logiky Základní prvky jazyka predikátové logiky 1. konstanty, promnné (konkrétní nebo abstraktní objekty) 2. funkce (složené objekty) 3. predikáty (relace mezi objekty) Objekty jazyka termy jednoduché termy konstanty promnné složené termy aplikace funkcí na termy Vztahy mezi objekty formule atomická formule predikát aplikovaný na termy složená formule libovolné složené formule predikátové logiky 1. ádu vznikají z atomických formulí pomocí logických spojek a kvantifikátor Za základní spojky se obvykle berou: & (konjunkce) (disjunkce) (implikace) (negace) Za základní kvantifikátory se obvykle berou (pro všechna) (existuje)

3 Nech a, b jsou formule, potom následující konstrukce jsou také formule: a, a & b, a b, a b, Xa, Xb (X je lib. promnná) Ekvivalentní úpravy formulí: a b a b a b b a (a b) a & b (a & b) a b a A (a 1 & a 2 ) b a 1 (a 2 b) a (b 1 & b 2 ) (a b 1 ) & (a b 2 ) Peklad z pirozeného jazyka: Všechny ervené houby jsou jedovaté X(ervený(X) & houba(x) jedovatá(x)) X(ervený(X) (houba(x) jedovatá(x))) ím se matematická logika zabývá? Co lze vyjádit? (jazyk) Co lze odvodit? (axiomy, odvozovací pravidla) Co je pravdivé? (platí ve všech modelech sémantický pojem) Výroková logika: výrok, pravdivost, tautologie spojky charakterizace tabulkou Predikátová logika 1. ádu: Mluví o objektech, jejich relacích predikáty Vztah k typm, zobecnní X(P(X)) Význam formule je pesn definován

4 Úlohy 1. Uve te vhodný píklad konstanty, promnné, funkce a predikátu. 2. Uve te vhodný píklad atomické a složené formule. 3. Dokažte užitím pravdivostní tabulky ekvivalenci mezi formulemi a) (a & b) a b, b) (a 1 & a 2 ) b a 1 (a 2 b), c) (a b) a & b. 4. Prove te peklad tvrzení: Houba je jedovatá, jen když je ervená, do jazyku predikátové logiky. 1.3 Formální systém a dkazové prostedky Axiomy: Axiomy výrokové logiky (A1) a (b a) (A2) (a (b c)) ((a b) (a c)) (A3) ( b a) (a b) Odvozovací pravidla: Modus ponens (MP) Dovoluje ze dvou formulí a a a b odvodit formuli b. Pravidlo generalizace (GEN) Pro libovolnou promnnou X odvo z formule a formuli Xa.

5 Dkaz formule ve formálním systému: a1, a2,... an b zápis znaí: formule a 1, a2,... an dokazují formuli b Vta o dedukci: Je-li ϕ uzavená formule, pak T, ϕ ψ práv tehdy, když platí T ϕ ψ. (dkaz indukcí podle délky dkazu formule ψ) Vta o sporu: Abychom dokázali njakou formuli ψ, nutný pedpoklad pro ψ nech je ϕ. Pedpokládáme, že ϕ neplatí, a ukážeme, že tento pedpoklad vede ke sporu tj. ϕ ( ϕ ψ ). (dkaz užitím axiom A1 a A3) Lemna pro formální systém: Nech a, a 1, a 2, a 3, b, b 1, b 2 a c jsou libovolné formule, pak platí tato tvrzení (L1) a & b a a & b b a, b a & b a (a b) (a & b) a b (a & b) a b (L2) a b, b c a c (L3) a & b c, b a c a 1 & a 2 & a 3 b, a 2, a 3 a 1 b (L4) a (b 1 b 2 ), b 2 c a (b 1 c) a 1 b 1, a 2 b 2 (a 1 a 2 ) (b 1 b 2 ) (L5) a b c, a c a b a b, a c b c

6 Úlohy 1. Dokažte užitím pravdivostní tabulky axiom a) A1, b) A2, c) A3. 2. Dokažte vtu o sporu. 3. Dokažte užitím axiom a dkazových prostedk formálního systému tvrzení a) L2, b) L3. Použitá literatura [1] Maík, Štpánková, Lažanský a kol., Umlá inteligence 1, Academia, [2] Kotek, Vysoký, Zdráhal, Kybernetika, SNTL, [3] Demlová, Pondlíek, Matematická logika, skriptum VUT, [4] Stránky pedmtu pednášky

Podobné dokumenty

Výroková a predikátová logika - IX

Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií