Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření"

Transkript

1 Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy z aměřeých dat pomocí histogramu. V tomto díle se zaměříme a odhadovaí středí hodoty a rozptylu z aměřeých dat. Proč je dobré z aměřeých dat odhadovat středí hodotu, případě rozptyl áhodé veličiy, ze které aměřeá data pocházejí? Odpověď je jedoduchá: protože to je přesě to, o co fyzikovi při experimetu především jde. Toto potřebuje trochu hlubší vysvětleí. Fyzikálí iterpretace V tomto odstavci uvedeme základí matematický model, který se při fyzikálích měřeích používá. Představme si, že měříme ějakou fyzikálí veličiu apř. dobu kyvu kyvadla a pro růzá měřeí dostaeme růzé hodoty měřeé fyzikálí veličiy v ašem příkladě růzé hodoty aměřeého času. Jak toto iterpretovat? Je to aprosto jedoduché, v základím modelu uvažujeme, že oa fyzikálí veličia, kterou měříme, je po celou dobu eměá a při použití dokoalých měřících přístrojů a dokoalého postupu měřeí bychom vždy aměřili právě tuto jedu eměou hodotu. Vlivem růzých epřesostí edokoalý měřící přístroj, edokoalá měřící aparatura, vější vlivy prostředí, lidský faktor atd., ale tohoto ejsme schopi dosáhout a při každém měřeí aměříme trochu odlišou hodotu. V základím modelu můžeme považovat výsledek měřeí za áhodou veličiu protože dopředu evíme, jakou hodotu aměříme, podobě jako u hodu kostkou. Při ásledém statistickém zpracováí aměřeých dat se potom sažíme pomocí aměřeých dat tedy vlastě realizací áhodé veličiy zjistit co ejvíce iformací o skutečé hodotě měřeé fyzikálí veličiy. Uděláme další důležitý předpoklad o tom, jaké mohou být ty vlivy, které způsobují, že ejsme schopi měřeou fyzikálí veličiu měřit přesě. V ašem základím modelu budeme uvažovat, že eexistuje žádý systematický posu aměřeých hodot oproti skutečé hodotě. Jiými slovy měříme sice epřesé hodoty, ale tyto hodoty ejsou systematicky větší ebo meší ež skutečá hodota, kterou chceme měřit. V ašem příkladu při měřeí doby kyvu kyvadla může uvažovat poryvy okolího vzduchu, které způsobí epřesosti měřeí, ale budeme předpokládat, že efouká vítr jedím směrem ale všemi směry přibližě stejě. Podobě pro ostatí zdroje epřesostí. Je potom odpovědostí experimetátora, aby zajistil platost tohoto předpokladu při samotém měřeí pokud toho experimetátor eí schope dosáhout, což se ěkdy stává, je potřeba tyto epřesosti řešit zvlášť, o tom více a koci tohoto dílu seriálu. Díky tomuto předpokladu můžeme tvrdit, že hodota fyzikálí veličiy, kterou chceme aměřit, se rová středí hodotě áhodé veličiy představující výsledek jedoho měřeí. Jediý problém je, že tuto středí hodotu ezáme, budeme ji tedy muset odhadovat z aměřeých dat. Už dopředu se musíme připravit a to, že z aměřeých dat ikdy ebudeme schopi přesě zjistit hodotu měřeé fyzikálí veličiy. 1

2 Pokud si vzpomeeme, jaký výzam má rozptyl áhodé veličiy míra rozptýleosti okolo středí hodoty, uvědomíme si, že rozptyl áhodé veličiy představující výsledek jedoho měřeí vlastě vypovídá o přesosti ašeho měřeí o tom jak moc jsou aměřeé hodoty rozptýley kolem skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy. Další předpoklad, který si zavedeme je, že jedotlivá měřeí jsou a sobě ezávislá. Ituitiví představa, co to zameá, je, že výsledek jedoho měřeí ijak eovliví výsledky ostatích měřeí. Experimetátor opět musí zajistit, že teto předpoklad bude splě. Odhadováí parametrů ormálího rozděleí z aměřeých dat V tomto díle seriálu se budeme zabývat pouze případem, kdy áhodá veličia představující výsledek jedoho měřeí má ormálí rozděleí. Teto předpoklad je téměř vždy splě, ormálí rozděleí se vyskytuje opravdu téměř všude. Jak postupovat v případě, že je teto předpoklad poruše, si rozebereme v příštím díle seriálu. Na tomto místě je v rychlosti připomeeme, že ormálí rozděleí, které začíme Nµ, σ, je spojité rozděleí určeé dvěma parametry µ, σ, jehož hustota má tvar fx = 1 x µ e σ. πσ Dále platí, že středí hodota tohoto rozděleí je rova µ a rozptyl tohoto rozděleí je rove σ. Často se avíc defiuje ještě tzv. směrodatá odchylka jako odmocia z rozptylu, tedy v případě ormálího rozděleí platí, že směrodatá odchylka je rova σ. Naším cílem bude z aměřeých dat odhadovat skutečé hodoty středí hodoty, rozptylu a směrodaté odchylky. Jak už bylo uvedeo dříve, musíme se smířit s faktem, že ikdy emůžeme tyto hodoty z aměřeých dat odhadout přesě o tom více později. Ve zbytku seriálu budeme skutečé při měřeí ezámé hodoty začit řeckými písmey µ, σ, σ a z aměřeých dat odhaduté hodoty budeme začit stejými písmey se stříškou a dolím idexem uvádějícím z kolika měřeí jsme tuto hodotu odhadli tedy µ, σ, σ. Odhaduté hodoty budeme azývat jako výběrová středí hodota, výběrová směrodatá odchylka a výběrový rozptyl. Odhad středí hodoty Uvažujme, že máme k dispozici výsledky ašeho měřeí x 1,..., x, o kterých budeme předpokládat, že jsou vzájemě ezávislé a že pocházejí z ormálího rozděleí Nµ, σ s ezámými parametry. Odhadem středí hodoty bude výběrová středí hodota defiovaá jako µ = 1 x i, kde výraz a pravé straě často zkráceě zapisujeme je jako x. Nyí se zaměříme a aalýzu vlastostí výběrového průměru. Musíme si uvědomit, že jedotlivá měřeí jsou áhodé veličiy eí dopředu záme, jakým výsledkem dopadou jakou hodotu aměříme a v důsledku toho je i výběrová středí hodota áhodá veličia také eí dopředu zámé, jaké číslo ám vyjde. Při aalýze vlastostí výběrové středí hodoty i=1

3 ás bude zajímat zejméa její rozděleí. Na výběrovou středí hodotu se můžeme dívat jako a součet ezávislých áhodých veliči vyděleých číslem. Nyí si musíme odvodit, jaké bude rozděleí součtu dvou ezávislých áhodých veliči. Pozameejme, že zde je velice důležité, že áhodé veličiy jsou opravdu ezávislé, jiak by ásledující odvozeí ebylo správé. Nechť máme áhodou veličiu X se zámým rozděleím a druhou áhodou veličiu Y se zámým rozděleím a tyto dvě áhodé veličiy jsou ezávislé. Nyí ás zajímá, jaké bude rozděleí áhodé veličiy Z = X + Y. Uvažujme ejprve jedodušší případ, kdy mají obě áhodé veličiy diskrétí rozděleí. Například X představuje výsledek hodu kostkou a Y představuje výsledek hodu jiou kostkou a ás zajímá, jaké má rozděleí součet hodů a obou kostkách, tedy áhodá veličia Z = X + Y. V tomto jedoduchém případě stačí rozepsat si pravděpodobosti, že astaou všechy možé dvojice výsledků a sečíst pravděpodobosti těch dvojic, které vedou a stejý součet, a toto bude pravděpodobost, že áhodá veličia X + Y abyde právě této hodoty. Matematicky zapsáo PZ = k = = PX =, Y = k = = PX = PY = k, kde v prostředím výrazu PX =, Y = k začí pravděpodobost, že astaou oba případy zároveň tedy že bude platit X = a zároveň Y = k. Teto výraz lze rozepsat a souči dvou dílčích pravděpodobostí díky ezávislosti áhodých veliči X a Y. Výraz a pravé straě si potom lze představovat jako součet pravděpodobostí těch případů, kdy je součet áhodých veliči X a Y rove k to astae právě tehdy, když bude pro ějaké bude platit X = a zároveň Y = k. Ač teto vzorec vypadá složitě, je dobré si uvědomit, že je vlastě triviálí. V ašem příkladě se součtem hodů a dvou kostkách je dosazeí do tohoto vzorce velmi jedoduché, eboť pro eležící v možiě {1,, 3, 4, 5, 6} platí PX = = 0 a také víme, že za k má smysl dosazovat je čísla z možiy {,..., 1}, eboť jiých hodot emůže áhodá veličia Z abývat. Když si dosadíme opravdu vyjde správý výsledek. Pro případ, že X a Y jsou spojité áhodé veličiy s hustotami f a g, platí obdoba předchozího vzorce, je je potřeba ahradit sumy pomocí itegrálů 1. Bude tedy platit hz = fxgz xdx, kde h bude hustota áhodé veličiy Z. Této operaci se říká kovoluce fukcí f a g a začí se f g. Je důležité vědět, že součet dvou ezávislých áhodých veliči s ormálím rozděleím řekěme X s rozděleím Nµ 1, σ 1 a Y s rozděleím Nµ, σ má opět ormálí rozděleí s parametry, které se rovají součtu původích parametrů tedy Z = X + Y má rozděleí Nµ 1 + µ, σ 1 + σ. Teto fakt plye z pouhého dosazeí do vzorce a kovoluci. Zdatější čteáři si mohou platost tohoto faktu sami ověřit výpočtem, méě zdatí čteáři mohou pro ověřeí tohoto faktu využít ějaký matematický software ebo tomu prostě věřit. 1 Pokud evíte, co je to itegrál, ezoufejte. Stačí pouze přijmout ěkolik zde uvedeých faktů, pro pochopeí vykládaé látky eí uté zát dokoale itegrálí počet. 3

4 Další důležitá věc je uvědomit si, co se stae s rozděleím áhodé veličiy, pokud tuto veličiu vyásobíme kostatou. Ze vzorců a středí hodotu a rozptyl viz miulý díl seriálu ihed plyou ásledující vztahy zdatější čteáři si opět mohou teto fakto ověřit výpočtem EaX = aex, varax = a varx. Jako posledí si musíme rozmyslet, že pokud áhodou veličiu s ormálím rozděleím vyásobíme kostatou, její rozděleí bude opět ormálí samozřejmě s jiými paramatry. Toto eí úplě jedoduché. Ituitiví představa může být taková, že po vyásobeí áhodé veličiy s ormálím rozděleím kostatou se pouze atáhe ebo smrske fukce hustoty, ale zůstae zachová typ rozděleí. Potom, co jsme si uvedli těchto pár tvrzeí, můžeme jejich jedoduchým zkombiováím dostat důsledek, že za předpokladu, že aše aměřeá data pocházejí z ormálího rozděleí Nµ, σ, má výběrová středí hodota ormálí rozděleí Nµ, σ /. Nyí si musíme uvědomit, co to vlastě zameá. S větším počtem aměřeých dat tedy s větším se výběrové středí hodotě sižuje rozptyl, ale středí hodota zůstává pořád stejá a to sice ta, kterou mají také jedotlivé áhodé veličiy tedy vlastě hodota měřeé fyzikálí veličiy. To zameá, že pro velký počet měřeí bude výběrová středí hodota s ejvětší pravděpodobostí čím dál blíže ke středí hodotě, kterou chceme odhadovat důsledek toho, že rozptyl výběrové středí hodoty bude čím dál meší, tedy výběrová středí hodota bude čím dál méě rozptýlea okolo své středí hodoty µ. Na závěr tohoto odstavce je uveďme, že výběrová středí hodota se ěkdy také ozačuje jako výběrový průměr, ale v tomto seriálu se budeme držet ozačeí výběrová středí hodota. Odhad rozptylu Podobě jako výběrová středí hodota odhaduje středí hodotu budeme odhadovat rozptyl pomocí výběrového rozptylu. Výběrový rozptyl je defiovaý jako S = 1 1 x i x. Ve fyzice se také často potkáme s výběrovou směrodatou odchylkou = 1 x i x 1, i=1 která odhaduje směrodatou odchylku. Je důležité si uvědomit, že výběrový průměr i výběrová směrodatá odchylka jsou opět áhodé veličiy dopředu ezáme jejich hodotu. Podobě jako u výběrové středí hodoty by se dalo ukázat, že výběrový rozptyl resp. výběrová směrodatá odchylka má takové rozděleí, že pro velký počet měřeí je jeho hodota s ejvětší pravděpodobostí čím dál bližší Na prví pohled se může zdát trochu divé, proč dělíme číslem 1 a ikoliv číslem. Je to z toho důvodu, aby teto odhad byl estraý tz. aby středí hodota výběrového rozptylu opět připomíáme, že výběrový rozptyl je áhodá veličia byla rova skutečému rozptylu. Pokud bychom dělili pouze číslem, teto odhad by ebyl estraý. i=1 4

5 skutečému rozptylu resp. skutečé směrodaté odchylce. Ukázat tuto vlastost už je ovšem v tomto případě o dost složitější, proto to a tomto místě dělat ebudeme, pouze to uvedeme jako fakt. Iterval spolehlivosti Nyí jsme si popsali, jak z aměřeých dat odhadovat středí hodotu o tu ám ve fyzikálí aplikaci jde především a rozptyl áhodé veličiy, ze které aměřeá data pocházejí. Odvodili jsme si, že aše odhady výběrová středí hodota, výběrová směrodatá odchylka a výběrový rozptyl mají tu vlastost, že pro velký počet měřeí jsou čím dál přesější tj. jsou s ejvětší pravděpodobostí čím dál blíže skutečým hodotám středí hodoty, resp. směrodaté odchylky, resp. rozptylu. Je sice hezké, že víme, že pro velký počet měřeí bude áš odhad velmi přesý, ale v praxi obvykle emáme moc měřeí velký počet může zameat třeba měřeí ebo i více. Pokud chceme odhadovat středí hodotu z relativě malého počtu měřeí tato situace astae prakticky u každého fyzikálího experimetu budeme postupovat tak, že zkostruujeme iterval spolehlivosti, který ám bude říkat, v jakém itervalu se s ejvětší pravděpodobostí achází skutečá hodota středí hodoty. Vyjdeme z toho, že si určíme, jaké rozděleí má ásledující trasformace ašich aměřeých dat opět si uvědomme, že se jedá o áhodou veličiu, eboť dopředu ezáme její hodotu x µ, kde µ je skutečá ale pro ás ezámá hodota středí hodoty rozděleí, ze kterého pochází aměřeá data připomíáme předpoklad, že se jedá o ormálí rozděleí a je počet aměřeých dat. Bez důkazu a tomto místě uvedeme, že rozděleí takovéto áhodé veličiy je tzv. Studetovo rozděleí o 1 stupích volosti začíme t 1. Studetovo rozděleí má poměrě složitou hustotu, jejíž přesý předpis je zde zbytečé uvádět zájemci si mohou tuto hustotu vykreslit v matematickém softwaru. Je dobré si povšimout, že pro velké je studetovo rozděleí o stupích volosti čím dál více podobé rozděleí N0, 1 tohoto faktu budeme později využívat. Další důležitou vlastostí hustoty studetova rozděleí je, že je symetrické okolo uly. Když yí víme, že aše trasformovaá data mají Studetovo rozděleí o 1 stupích volosti, můžeme si pro toto rozděleí určit tzv. kvatily. Pokud si zvolíme číslo α z itervalu 0, 1, potom α-kvatilem Studetova rozděleí o stupích volosti začíme ho t,α bude takové číslo, které splňuje podmíku, že pravděpodobost, že aše áhodá veličia řídící se rozděleím t bude meší ež t,α, bude rova α. Matematicky zapsáo PX < t,α = α. Dobře je výzam toho, co zameá kvatil, vidět z obrázku 1. Na tomto místě pozameejme, že přesé hodoty kvatilů Studetova rozděleí pro růzé kombiace parametrů a α lze ajít v každých lepších matematických tabulkách ebo a iteretu. Celý postup kostrukce itervalového odhadu pro středí hodotu bude ásledují. Nejprve si zvolíme tzv. hladiu spolehlivosti, která musí ležet v itervalu 0, 1. Následě určíme takové 5

6 P X < t,α1 = α 1 P X < t,α = α t,α1 0 t,α Obr. 1: Grafický výzam kvatilů spojité áhodé veličiy. číslo α 0, 1, aby aše hladia spolehlivosti byla rova 1 α. Naším cílem bude zkostruovat iterval s vlastostí, že pravděpodobost pokrytí skutečé středí hodoty itervalem spolehlivosti bude právě 1 α. Tedy α lze iterpretovat jako pravděpodobost omylu. Samotý iterval spolehlivosti budeme kostruovat ásledujícím způsobem. Díky zalosti rozděleí ašich trasformovaých dat a vlastostí kvatilů Studetova t 1 rozděleí musí platit P t 1, α < x µ < t 1,1 α S = 1 α. Nyí už jeom ekvivaletími úpravami upravujeme erovosti uvitř pravděpodobosti. 3 3 Uvědomme si, že takto opravdu lze postupovat, eboť pokud eměíme možiu řešeí dvojice erovostí uvitř pravděpodobosti což ekvivaletími úpravami eměíme, eměí se ai hodota samoté pravděpodobosti. 6

7 1 α = P t 1, α < x µ < t 1,1 α S = P = P t 1, α t 1, α = P x t 1, α = P x + t 1,1 α = P < x µ < t 1,1 α = = x < µ < t 1,1 α x = x t 1,1 α > µ > x t 1,1 α > µ > x t 1,1 α < µ < x + t 1,1 α = =. Všechy úpravy byly víceméě triviálí, úprava mezi 4. a 5. řádkem spočívala v ahrazeí kvatilu t 1, α pomocí kvatilu t 1,1 α, což lze udělat díky symetrii hustoty Studetova rozděleí rozmyslete si sami. Nyí si musíme uvědomit, co jsme vlastě dostali. 1 α = P x t 1,1 α < µ < x + t 1,1 α. Teto výraz vlastě říká, že pravděpodobost, že iterval x t,1 α, x + t,1 α pokrývá skutečou středí hodotu áhodé veličiy, ze které pocházejí aměřeá data tedy vlastě měřeou fyzikálí veličiu, je přesě 1 α. Toto je iterval spolehlivosti ěkdy se také říká itervalový odhad pro měřeou fyzikálí veličiu. Teto iterval se ěkdy zkráceě zapisuje jako x ± t 1,1 α. Protože fyzikové mají rádi co ejkratší zápisy a i teto zápis jim přijde moc dlouhý, většiou píšou je x ±, tedy vyechají v itervalovém odhadu hodotu kvatilu t 1,1 α, takže to už eí zápis itervalového odhadu v obecém tvaru, ale velice sadým způsobem je doplěím příslušého kvatilu Studetova rozděleí ho lze zpětě zrekostruovat. Hodota se často ozačuje pouze s a říká se jí výběrová směrodatá odchylka průměru protože odhaduje směrodatou odchylku výběrového průměru. Toto je to, co se u fyzikálího 7

8 experimetu vyžaduje, tedy spočítat hodotu výběrové středí hodoty x a hodotu výběrové směrodaté odchylky průměru s. Výsledek se zapíše ve tvaru x ± s a jedoduchým doplěím hodoty příslušého kvatilu se z tohoto zápisu echá vyrobit itervalový odhad pro měřeou fyzikálí veličiu. Výběrová směrodatá odchylka průměru se používá jako měřítko toho, jak přesě jsme fyzikálí veličiu změřili, eboť udává, jak široké budou příslušé itervaly spolehlivosti. Při fyzikálích experimetech se vždy požaduje, aby byla hodota výběrové směrodaté odchylky průměru co možá ejmeší. Někdy se také o výběrové směrodaté odchylce průměru mluví jako o ejistotě měřeí typu A. Názvosloví a typy ejistot Nyí už máme zcela popsaý základí model statistického zpracováí aměřeých dat a akoec si ho zasadíme do širšího kotextu. Obecě se defiují typy ejistot měřeí a sice ejistota typu A a ejistota typu B. Nejistota typu A je ejistota určeí měřeé fyzikálí veličiy, která prameí z áhodosti aměřeých dat. Tuto ejistotu získáme statistickým zpracováím dat, o tom se psalo a předchozích 7 8 strákách a umíme se s tím vypořádat. Nejistota typu B je ejistota určeí měřeé fyzikálí veličiy, která prameí z jiých důvodů ež ejistota typu A. Zejméa se jedá o ějaký systematický posu měřeých hodot vůči skutečé hodotě o tomto se psalo a začátku tohoto dílu seriálu v odstavci Fyzikálí iterpretace. ejistotou typu B se vypořádáme tak, že ji buď připočteme k ejistotě typu A to se dělá hlavě v případě ejistoty vyplývající z epřesosti měřidla 4 ebo ji pouze zmííme v diskuzi to se dělá ve většiě ostatích případů. Pro připočítáí ejistoty typu B k ejistotě typu A se používá vzorce s K = s A + s B, kde s A je ejistota typu A a s B je ejistota typu B. Dále se pracuje s kombiovaou ejistotou s K stejě jako jsme předtím pracovali s ejistotou typu A. Ve všech itervalových odhadech i ve fiálím zápisu aměřeých hodot tedy musíme místo hodoty s uvádět hodotu s K, čímž tyto itervalové odhady rozšíříme, abychom vzali v úvahu také ostatí zdroje epřesostí. Kombiovaá ejistota měřeí tedy vyjadřuje, jak přesě jsme fyzikálí veličiu určili. Ve fyzikálích experimetech je cílem dosáhout co možá ejmeší kombiovaé ejistoty měřeí tj. určit měřeou fyzikálí veličiu co možá ejpřesěji. Na závěr tohoto odstavce uvedeme, že jsme v textu seriálu záměrě používali pouze slovo ejistota a vyhýbali jsme se použití slova chyba. Na tomto místě objasíme proč. Chyba měřeí je defiováa jako absolutí hodota rozdílu odhaduté hodoty a skutečé hodoty měřeé fyzikálí veličiy, tedy jako e = x µ. 4 Nepřesost měřidla bývá často uvedeá a použitém měřidlu a její výzam je takový, že měřidlo může způsobovat systematický posu zobrazovaých hodot vůči skutečým hodotám až do uvedeé míry. Pokud eí a měřidle ic uvedeo, uvažuje se za epřesost měřidla obvykle polovia ejmešího dílku a stuici, a které měřidlo zobrazuje hodoty. 8

9 Chyba měřeí vyjadřuje o kolik se ámi odhadutá hodota měřeé fyzikálí veličiy tedy x liší od její skutečé hodoty tedy µ. Je ale aprosto uté si uvědomit, že chybu měřeí v praxi ikdy zát ebudeme k tomu bychom totiž potřebovali zát skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy. Naeštěstí se ale často můžeme potkat s tím, že se výzam slov ejistota a chyba zaměňuje ebo se považují za ekvivaletí ozačeí. V tomto textu seriálu se ale budeme držet správého začeí a stejě to dělejte i vy při řešeí úloh. Důležité pozámky a závěr Na závěr tohoto dílu seriálu uvedeme ěkolik důležitých pozámek k odhadům měřeé fyzikálí veličiy za předpokladu ormálího rozděleí áhodé veličiy popisující výsledek jedoho měřeí. 1. V tomto dílu seriálu se vyskytlo začé možství ových pojmů, z ichž ěkteré mají velmi podobá ozačeí. Pro správé pochopeí této problematiky je ale uté mezi těmito pojmy důsledě rozlišovat apř. chyba vs. ejistota, středí hodota vs. výběrová středí hodota atd.. Proto bychom a tomto místě chtěli upozorit, abyste v řešeí seriálové úlohy a ve všech budoucích zpracováích experimetů věovali zvláští pozorost jazykovým formulacím, které mohou způsobovat zbytečá edorozuměí.. Je aprosto uté pochopit účel itervalu spolehlivosti a jeho vztah k odhadům parametrů µ a σ. Účelem odhadů parametrů je odhadout z aměřeých dat skutečou hodotu středí hodoty případě rozptylu ebo směrodaté odchylky a je proto sám áhodou veličiou. Tato áhodá veličia má tu vlastost, že při velkém počtu pozorováí bude její hodota s velkou pravděpodobostí velmi blízká skutečé hodotě středí hodoty resp. rozptylu ebo směrodaté odchylky. Pro opravdu velký počet měřeí je takovýto odhad dostačující. V praxi ovšem skoro ikdy emáme velký počet měřeí, proto kostruujeme itervalové odhady. Itervalový odhad je vlastě možia iterval, kde bude s určitou předem libovolě zvoleou pravděpodobostí s pravděpodobostí 1 α skutečá hodota středí hodoty ležet. 3. Fyzikové s oblibou říkávají ásledující: Pravděpodobost, že skutečá hodota měřeé veličiy leží v itervalu x ± t,1 α s K, je 1 α. Toto je v podstatě pravdivé tvrzeí, ale je poěkud ešťastě a zmatečě formulovaé. Je uté si uvědomit, že skutečá hodota měřeé fyzikálí veličiy je determiistická eí áhodá, jeom ji většiou ezáme. To, co je áhodé, jsou meze itervalu spolehlivosti vzpomeňte si, že x a s jsou áhodé veličiy. Lepší formulace je proto ásledující: Pravděpodobost, že iterval spolehlivosti pokrývá skutečou hodotu měřeé fyzikálí veličiy, je 1 α. V tomto seriálu se budeme držet této přesější formulace, stejě to dělejte i vy v řešeí úloh. 4. Všiměme si, co ovlivňuje podobu zejméa šířku itervalu spolehlivosti. Výběrový průměr x odhaduje středí hodotu a výběrový rozptyl odhaduje rozptyl. Obě tyto áhodé veličiy budou při velkém počtu pozorováí velice pravděpodobě abývat pouze hodot blízkých skutečým hodotám středí hodoty, resp. rozptylu. Jedié, co potom bude ovlivňovat šířku ašeho itervalu spolehlivosti tedy vlastě přesost, se kterou jsme požadovaou fyzikálí veličiu aměřili, bude čle ve jmeovateli zlomku. Tedy pokud chceme mít aměřeou fyzikálí veličiu co ejpřesěji, můžeme postupovat dvěma 9

10 způsoby. Buď co ejvíce sížit rozptyl měřeých dat tedy sížit čle, čehož dosáheme lepším postupem měřeí přesější přístroje, omezeí vějších vlivu prostředí atd., ebo můžeme provést více měřeí tedy zvětšíme. 5. Speciálí volbou parametru α dostaeme poměrě jedoduše zajímavé výsledky. Pokud zvolíme α = 0,3 tedy budeme mít itervalový odhad o spolehlivosti 0,68 a budeme mít dostatečě velké více ež 30, potom budou kvatily t 1,1 α vycházet velmi blízko 1 ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet měřeí více ež 30 je iterval x ± s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,68. Podobě pro volbu α = 0,05, tedy pro spolehlivost 0,95 budou kvatily t 1,1 α pro dostatečě velké více ež 30 vycházet blízko ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet pozorováí více ež 30 je iterval x ± s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,95. Podobě pro volbu α = 0,003, tedy pro spolehlivost 0,997 budou kvatily t 1,1 α pro dostatečě velké více ež 30 vycházet blízko 3 ověřte si v tabulkách. Můžeme tedy říci, že pro dostatečě velký počet pozorováí více ež 30 je iterval x ± 3s K itervalem spolehlivosti o spolehlivosti přibližě 0,997. Fyzikálí korespodečí semiář je orgaizová studety MFF UK. Je zastřeše Odděleím pro vější vztahy a propagaci MFF UK a podporová Ústavem teoretické fyziky MFF UK, jeho zaměstaci a Jedotou českých matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeo pod licecí Creative Commos Attributio-Share Alike 3.0 Uported. Pro zobrazeí kopie této licece avštivte 10

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity v Brě KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 9. ročík 2002/2003 Vzorové řešeí prví série úloh (25 bodů) Vzorové řešeí úlohy č. 1 Voda (7 bodů) Z daých

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:

Geometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí: Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více