13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách"

Transkript

1 13 Regrese Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních hodnot parametrů těchto zvolených funkcí. V dalších sekcích se zaměříme na funkce tvaru k y = β j φ j (x) j=0 kde funkce φ j (x) jsou známé funkce neobsahující neznámé parametry a φ 0 (x) = 1. Častou volbou je φ j (x) = x j, j = 0, 1,..., k Přímka procházející počátkem Nejprve se zaměříme na φ 0 (x) = 0 a φ 1 (x) = x. Nechť platí Y i = βx i + e i, i = 1..., n. V tomto případě X = (x 1,..., x n ), takže X X = ( x2 i ). Odhad ˆβ = x i Y i / x 2 i. Odhad pro σ 2 je s 2 = ( Y 2 i ˆβ ) x i Y i /(n 1). Příklad 13.1 Mějme měděnou trubku o délce L 0 = 1000 mm při teplotě t 0 = 20 C. Bylo naměřeno, o kolik milimetrů se tato trubka prodlouží, stoupne-li její teplota o C. Je známo, že pro délkovou roztažnost platí vzorec L = αl 0 t, kde α je tzv. koeficient tepelné roztažnosti. Změna teploty t: Prodloužení trubky L: 0,18 0,35 0,48 0,65 0,84 0,97 129

2 Je třeba odhadnout koeficient α. Proto provedeme úpravu dat z tabulky s cílem přejít na model Y i = βx i + e i, i = 1..., n, kde x i je hodnota výrazu L 0 t v i-tém měření, Y i je prodloužení trubky, β píšeme místo α a e i jsou chyby měření. x i : Y i : 0,18 0,35 0,48 0,65 0,84 0,97 Vyjde n = 6, ˆβ = 1, , s 2 = 3, Příklad 13.2 (mravenec průzkumník) Mravenec průzkumník se probouzí při teplotě okolo 5 C, při teplotě 10 C už může dosáhnout rychlosti 18 m/hod., při teplotě 15 C vyvine rychlost 54 m/hod., při teplotě 20 C běží rychlostí 126 m/hod., při teplotě 25 C uhání rychlostí 210 m/hod., při teplotě 28 C jeho rychlost klesá na 190 m/hod. Bernard Werber: Mravenci, KK, 2005 Najděte regresní přímku ˆβ 0 + ˆβ 1 x pro závislost rychlosti y mravence průzkumníka na teplotě okolí x. Určete index determinace. Zkonstruujte pás spolehlivosti pro regresní přímku a okolo regresní přímky. Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 130

3 XIII.3 Věta. V modelu lineární regrese jsou odhadem parametrů regresní funkce β 0 + β 1 x odhady ˆβ 0 = Y i x2 i x i x iy i n x2 i ( x, (1) i) 2 ˆβ 1 = n x iy i x i Y i n x2 i ( x, (2) i) 2 S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = Y 2 i ˆβ 0 Y i ˆβ 1 x i Y i. (3) Data lze také vztáhnout k těžišti a pro výpočet odhadů regresních parametrů lze použít tyto vztahy ˆβ 1 = (x i x)y i (x i x) 2, ˆβ0 = Y ˆβ 1 x, Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = Y + ˆβ 1 (x x). Odchylky e i = Y i Ŷi = Y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i = Y i Y ˆβ 1 (x i x), i = 1,..., n, se nazývají rezidua Statistika S e = S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = e 2 i = (Y i Ŷi) 2 = [Y i Y ˆβ 1 (x i x)] 2, se nazývá reziduální součet čtverců resp. součet čtverců reziduí. XIII Regrese 131

4 Výsledky uvádí tabulka i x i Y i x 2 i x i Y i Yi 2 Ŷ i e i e 2 i = ˆβ 0 = Y i x2 i x i x iy i n x2 i ( x = i) = = ˆβ 1 = n x iy i x i Y i n x2 i ( x = i) = = = S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = Y 2 i ˆβ 0 Y i ˆβ 1 x i Y i = = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 132

5 S e = , S 2 = S e n 2 = = , S = Výpočet lze realizovat pomocí těžiště x = 19.6, Y = 119.6: i x i Y i x i x (x i x) Y i (x i x) 2 Ŷ i e i e 2 i ˆβ 1 = (x i x)y i (x i x) 2 = = ˆβ 0 = Y ˆβ 1 x = = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x S e = , S 2 = S e n 2 = = , 5 2 S = Kvalitu s jakou jsou data popsána regresní přímkou, udává index determinace. I = n (Ŷi Y ) n (Y i Y ) = = i x i Y i Y i Y (Y i Y ) 2 Ŷ i Y (Ŷi Y ) Výpočtem zjistíme, že ( X n n X = x i n x i (X X) 1 = V našem případě 1 n x2 i ( x i) 2 X X = x2 i ( ) 5 98, ), ( x2 i x ) i x. i n XIII Regrese 133

6 (X X) 1 = Proto ( ) = 98 5 ( ) var( ˆβ) = var[(x X) 1 X Y] = (X X) 1 X [var(y)]x(x X) 1 var( ˆβ 0 ) = σ 2ˆβ0 = = (X X) 1 X (σ 2 I))X(X X) 1 = σ 2 (X X) 1. σ 2 n [ ] x2 i 1 n x2 i ( x i) = 2 σ2 n + (x) 2 n (x = i x) 2 = = var( ˆβ nσ 2 1 ) = σ 2ˆβ1 = n x2 i ( x i) = σ2 2 n (x i x) = 2 = = Při aplikacích se mnohdy také zajímáme o hodnotu β 0 + β 1 x, kde x je nějaké dané číslo, x min x i, max x i. Lze ukázat, že kde P(T d β 0 + β 1 x T h ) = 1 α, T d = ˆβ 0 + ˆβ 1 x t n 2,1 α 2 S T h = ˆβ 0 + ˆβ 1 x + t n 2,1 α 2 S 1 n (x x)2 + (xi x), (4) 2 1 (x x)2 + n (xi x). (5) 2 Oboustranný intervalový odhad hodnoty parametrické funkce β 0 +β 1 x pro dané x tvoří uspořádana dvojice statistik (T d, T h ). Dosazujeme-li do T d, T h různé hodnoty x min x i, max x i, dostaneme při spojitě se měnícím x tzv.pás spolehlivosti kolem regresní přímky. Tento pás má nejmenší šířku pro x = x, vzdaluje-li se x od x, šířka pásu roste. Určeme interval spolehlivosti pro x = 20. T d = ˆβ 0 + ˆβ 1 x t n 2,1 α 2 S 1 n T h = ˆβ 0 + ˆβ 1 x + t n 2,1 α 2 S (x x)2 + (xi x) = 2 + ( ) (x x)2 + n (xi x) = 2 = Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 134

7 ( ) = Dosazujeme-li do T d, T h různé hodnoty x min x i, max x i, dostaneme při spojitě se měnícím x tzv.pás spolehlivosti kolem regresní přímky. Příklad 13.4 (mravenec průzkumník a vyšší teplota) Přepočtěte předchozí úlohu, když navíc uvažujte šesté měření při teplotě 30 C s naměřenou rychlostí mravence průzkumníka 140 m/hod. Najděte regresní přímku ˆβ 0 + ˆβ 1 x pro závislost rychlosti y mravence průzkumníka na teplotě okolí x. Určete index determinace. Zkonstruujte pás spolehlivosti pro regresní přímku a okolo regresní přímky. Při výpočtu užijte tabulek z předchozího příkladu. XIII Regrese 135

8 Příklad 13.5 (měření délky jednoho stupně zeměpisné délky) Okolo roku 1750 byla zorganizována měření délky oblouku poledníku s cílem potvrdit či vyvrátit hypotézy o tvaru Země jako rotačního elipsoidu. (Na měření v Římě se podílí Roger Joseph Boškovič na objednávku papeže Benedikta XIV.) Výsledky uvádí tabulka (délky oblouku jsou uváděny v toisích): i zem. poloha zem. šířka L x = sin 2 L délka oblouku y 1 Quito 0 0 0, Mys Dobré Naděje , Řím , Paříž , Laponsko , Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 136

9 Výsledky uvádí tabulka i x i Y i x 2 i x i Y i Yi 2 Ŷ i e i e 2 i e e e e e e e = ˆβ 0 = Y i x2 i x i x iy i n x2 i ( x = i) = = ˆβ 1 = n x iy i x i Y i n x2 i ( x = i) == S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = Y 2 i ˆβ Y i ˆβ 1 x i Y i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x S e = e+004, S 2 = S e e = n = e+003, S = XIII Regrese 137

10 Příklad: měření poledníku Test H 0 : β 1 = 0 proti H a : β 1 0 je založen na statistice T 1 = b 1 x2 i nx2 /s = / = Statistika T 1 > t n 3,1 α/2 = t 5 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu zamítáme. Příklad 13.6 (mravenec průzkumník a vyšší teplota) Přepočtěte předchozí úlohu, když navíc uvažujte šesté měření při teplotě 30 C s naměřenou rychlostí mravence průzkumníka 140 m/hod. Najděte regresní přímku ˆβ 0 + ˆβ 1 x pro závislost rychlosti y mravence průzkumníka na teplotě okolí x. Určete index determinace. Zkonstruujte pás spolehlivosti pro regresní přímku a okolo regresní přímky. Při výpočtu užijte tabulek z předchozího příkladu. Výsledky uvádí tabulka i x i Y i x 2 i x i Y i Yi 2 Ŷ i e i e 2 i = ˆβ 0 = Y i x2 i x i x iy i n x2 i ( x = i) = = ˆβ 1 = n x iy i x i Y i n x2 i ( x = i) = = S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = Y 2 i ˆβ 0 Y i ˆβ 1 x i Y i = = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 138

11 S e = , S 2 = S e n 2 = = , S = Kvadratická regrese XIII.7 Věta. V modelu kvadratické regrese Y i = β 0 +β 1 +β 2 x 2 1+ɛ i lze odhad ˆβ získat opět z maticového vztahu ˆβ = (X X) 1 X Y, (6) 1 x 1 x 2 1 X = 1 x 2 x , X X = n xi x 2 i xi x 2 i x 3 i, (7) x 1 x n x 2 2 i x 3 i x 4 i n Yi X Y = xi Y i. x 2 i Y i Příklad 13.8 Uvažujme příklad mravenec průzkumník a vyšší teplota. Najděme kvadratickou aproximaci. XIII Regrese 139

12 V našem případě dostáváme X =, X X = , (8) X Y = ˆβ = 248, , ,5450 Pro reziduální součet čtverců platí S e = S(b 0, b 1, b 3 ) = e 2 i = Yi 2 b 0 Y i b 1 Pro odhad disperze pak platí s 2 = Se. n 3 V našem případě dostáváme Ŷ = x i Y i b 2 x 2 i Y i., S e = , s 2 = S e 6 3 = Proveďte také testy: a) H 0 : β 1 = 0 proti H a : β 1 0 b) H 0 : β 2 = 0 proti H a : β 2 0, c) H 0 : (β 1, β 2 ) = 0 proti H a : (β 1, β 2 ) 0. Test H 0 : β 2 = 0 proti H a : β 2 0 (test linearity regrese proti alternativě kvadratické regrese) je založen na statistice T 2 = b 2 = s 2 v = Statistika T 2 > t n 3,1 α/2 = t 6 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu zamítáme. Test H 0 : (β 1, β 2 ) = 0 proti H a : (β 1, β 2 ) 0 je založen na statistice Z = 1 ( ) 1 ( ) 2s (b v11 v 1, b 2 2 ) 12 b1,. v 21 v 22 b 2 Statistika Z = > F 2,n 3,1 α = F 2,3, = Nulovou hypotézu zamítáme. Závěr: zamítáme hypotézu H 0 : (β 1, β 2 ) = 0. Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 140

13 13.4. Regrese se dvěma nezávislými proměnnými Najděte odhady parametry β 0, β 1 a β 2 tak, aby platilo Y i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i + ˆβ 2 z i + ε i. XIII.9 Věta. V uvedeném modelu regrese se dvěma nezávisle proměnnými lze odhad ˆβ získat opět z maticového vztahu ˆβ = (X X) 1 X Y, (9) 1 x 1 z 1 X = 1 x 2 z 2..., X X = n xi zi xi x 2 i xi z i, (10) zi xi z 1 x n z i z 2 i n Yi X Y = xi Y i. zi Y i Příklad (savci) XIII Regrese 141

14 V našem případě dostáváme Pokusíme se u savců popsat závislost podílu tělesné vahy potomků po narození a váhy matky (ozn. Y, v %) na délce těla matky (ozn. x, v metrech) a době březosti (ozn. z, v měsících). i savec Y i x i z i 1. hraboš 53,00% 0,14 0,66 2. malý pes 30,00% 0,50 2,07 3. antilopa 10,00% 1,90 10,50 4. šimpanz 4,25% 1,30 8,30 5. plejtvák 1,00% 25,00 12,00 1 0,14 0,66 1 0,50 2,07 5,00 28,84 33,53 X = 1 1,90 10,50 1 1,30 8,30, X X = 28,84 630,57 331,87, (11) 33,53 331,87 327, ,00 12,00 X Y = 98,25 71,95 ˆβ = 49,9601 0, ,36 4,2448 prvky matice(x X) 1 ozn.v ij Pro reziduální součet čtverců platí S e = S( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = e 2 i = Y 2 i β 1 x i Y 2 i β 2 z i Y 2 i. Pro odhad disperze pak platí s 2 = V našem případě dostáváme S e n Ŷ = , S e = , s 2 = S e 5 3 = Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 142

15 Y = ˆβ 0 + ˆβ 1 x + ˆβ 2 z = 49, ,2003x 4,2448z. U ženy s výškou 165 cm, dostáváme odhad Ŷ = 49,9601+0, , = 12.08%, což je velký podíl tělesné váhy matky a dítěte odhad nasvědčuje na dvojčata. Pozn.: Při hledání odhadů neznámých parametrů regresni přímky je třeba vždy posoudit, zda lze opravdu závislost zvoleným modelem aproximovat. Realita může být mnohem složitější, závislá proměnná může být závislá na dalších faktorech. Snaha vše popsat vzorcem může vést k tragikomickým závěrům. Vhodnost modelu je možné ověřit pomocí vhodných testů. a) Test H 0 : β 1 = 0 proti H a : β 1 0 je založen na statistice T 1 = β 1 = s 2 v = Statistika T 1 < t n 3,1 α/2 = t 5 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu nezamítáme. b) Test H 0 : β 2 = 0 proti H a : β 2 0 je založen na statistice T 2 = β 2 = 4,2448 s 2 v = Statistika T 2 < t n 3,1 α/2 = t 5 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu nezamítáme. c) Test H 0 : (β 1, β 2 ) = 0 proti H a : (β 1, β 2 ) 0 je založen na statistice Z = 1 ( ) 1 ( ) 2s ( ˆβ 2 1, ˆβ v11 v 2 ) 12 ˆβ1,. v 21 v 22 ˆβ 2 Statistika Z = < F 2,n 3,1 α = F 2,2, = 19. Nulovou hypotézu nezamítáme. Závěr: nelze zamítnout hypotézu H 0 : (β 1, β 2 ) = 0. XIII Regrese 143

16 13.5. Regrese periodická funkce Příklad V tabulce jsou uvedeny průměrné měsíční teploty Y v Dunaji v Bratislavě. X i Y i Najděte aproximaci trigonometrickým polynomem prvního stupně ve tvaru Y i = β 0 + β 1 sin( π 6 x i) + β 2 cos( π 6 x i) + ɛ i i = 1,..., 12 Úlohu převedeme ne regresi se dvěma nezávislými proměnnými. Zavedeme substituci t i = sin( π 6 x i) a z i = cos( π 6 x i). V uvedeném modelu regrese se dvěma nezávisle proměnnými lze odhad ˆβ získat opět z maticového vztahu ˆβ = (X X) 1 X Y, (12) 1 t 1 z 1 1 sin( π X = 1 t 2 z 2... = ) cos( π) sin( π ) cos( π) t n z n 1 sin(2π) cos(2π) V našem případě X X = , X Y = (X X) 1 = , X Y = Odtud po dosazení dostáváme ˆβ = 10,3333 4,7704 7,6093 s 2 = S e n 3 = Y 2 i b 0 Y i b 1 t iy i b 2 z iy i n 3 = Marek, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika 144

17 Regresní funkce je Y = sin( π 6 x) cos(π 6 x). a) Test H 0 : β 1 = 0 proti H a : β 1 0 je založen na statistice T 1 = β 1 = s 2 v 11 Statistika T 1 > t n 3,1 α/2 = t 12 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu zamítáme. b) Test H 0 : β 2 = 0 proti H a : β 2 0 je založen na statistice T 2 = β 2 = s 2 v 22 Statistika T 2 > t n 3,1 α/2 = t 12 3,1 0.05/2 = Nulovou hypotézu zamítáme. c) Test H 0 : (β 1, β 2 ) = 0 proti H a : (β 1, β 2 ) 0 je založen na statistice Z = 1 ( ) 1 ( ) 2s ( ˆβ 2 1, ˆβ v11 v 2 ) 12 ˆβ1,. v 21 v 22 ˆβ 2 Statistika Z = > F 2,n 3,1 α = F 2,9, = Nulovou hypotézu zamítáme. Závěr: nelze zamítnout hypotézu H 0 : (β 1, β 2 ) = 0. XIII Regrese 145

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnávání Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Periodicita v časových

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Vícenásobná regresní a korelační analýza 1 1 Tto materiál bl vtvořen za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. O vícenásobné závislosti mluvíme tehd, jestliže je závisle proměnná závislá na více nezávislých

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Základy fyzikální geodézie 3/19 Legendreovy přidružené funkce

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Téma 9: Vícenásobná regrese

Téma 9: Vícenásobná regrese Téma 9: Vícenásobná regrese 1) Vytvoření modelu V menu Statistika zvolíme nabídku Vícerozměrná regrese. Aktivujeme kartu Detailní nastavení viz obr.1. Nastavíme Proměnné tak, že v příslušném okně viz.

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU

EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU Klára Hrůzová 1,2, Karel Hron 1,2 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci 2 Katedra

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených

Více

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely )

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Úloha M608 Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Zadání : Při kvantitativní analýze lidského krevního séra ovlivňují hodnotu obsahu vysokohustotního

Více

Regresní analýza. Eva Jarošová

Regresní analýza. Eva Jarošová Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Určete na hladině významnosti 5 % na základě dat zjištěných v rámci dotazníkového šetření ve Šluknově, zda existuje závislost mezi pohlavím respondenta a

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Analýza časových řad. John Watters: Jak se stát milionářem.

Analýza časových řad. John Watters: Jak se stát milionářem. 5.2 Analýza časových řad Nechal jsem si udělat prognózu růstu své firmy od třech nezávislých odborníků. Jejich analýzy se shodovaly snad pouze v jediném - nekřesťanské ceně, kterou jsem za ně zaplatil.

Více