Modelování montážní linky

Transkript

1 Modelování montážní linky Geza Dohnal 1. Montážní linka S rozvoem hromadné výroby e velice těsně spoen rozvo a automatizace výrobních a montážních linek. Tyto linky se od sebe obecně liší ednak topologií (uspořádáním pracovních stanic a pohybem výrobků mezi nimi), ednak okruhem činností, které linka vykonává. Společným prvkem e zpravidla transportní systém (dopravník, vozíky), propouící ednotlivé pracovní stanice. Montážní linka má eden vstupní uzel, kterým vstupuí základní prvky pro montáž, montážní ednotky. V průběhu montážního procesu sou tyto ednotky doplňovány a upravovány tak, aby na konci linky vystupoval hotový výrobek. Jedna montážní linka obecně umožňue montáž několika typů výrobků, které se od sebe mohou více či méně lišit. Podle toho, zda e linka určena pro ediný typ výrobků nebo pro několik typů zároveň, označueme montážní linky ako a) linky s ednoduchým programem (single model assembly line, SMAL), na nichž sou montovány pouze výrobky ediného typu b) linky se smíšeným programem (mixed model assembly line, MMAL), umožňuící montáž několika typů výrobků bez nutnosti změny parametrů linky, přenastavení nástroů či automatů c) linky s různými programy (multiple model assembly line), které vyžaduí při změně typu montovaného výrobku změnu nastavení parametrů, výměnu nástroů či přeprogramování automatů. Každý z uvedených typů montážních linek vyvolává poněkud iný okruh problémů a metod k eich řešení.

2 Obr. 1. Různé typy montážních linek podle skladby montovaných výrobků. Dalším základním prvkem montážní linky sou pracovní stanice. Každá pracovní stanice zaišťue několik operací (činností), při nichž e montážní ednotka doplňována o další komponenty, případně iným způsobem zpracovávána (obráběna, povrchově upravována, seřizována, nastavována, ). Jedna pracovní stanice obvykle působí v určitém vymezeném prostoru, zahrnuícím část dráhy transportního systému, po předem vymezený čas. Některé typy montážních linek (linky typu U, U-shape assembly line) umožňuí působení edné pracovní stanice na dvou různých místech montážní linky (viz obr. 2), čímž může být zvýšena efektivita linky. Obr. 2. Dva typy montážních linek podle prostorového uspořádání: a) přímá, b) linka typu U. Pracovní stanice sou zde vyznačeny čárkovaně, ednotlivé operace ako kroužky. Montážní operace v ednotlivých pracovních stanicích vyžaduí plynulý přísun montovaných komponent. Tyto komponenty sou soustřeďovány kolem transportního systému v průběžně doplňovaných zásobnících. V případě linek se smíšeným programem navíc tyto komponenty museí být v zásobnících řazeny způsobem, odpovídaícím pořadí montovaných typů v transportním systému. Schéma takovéto montážní linky e na obr. 3.

3 Obr. 3. Montážní linka MMAL se třemi typy montovaných výrobků, třemi pracovními stanicemi, zásobníky komponent a sklady pro ednotlivé typy výrobků. 2. Řešené problémy S provozem montážních linek e spoena celá řada problémů, řešených pomocí matematických modelů a optimalizačních metod Problém vyvážení linky (balance problem) První skupina problémů, v literatuře označovaná ako SALBP (Simple Assembly Line Balancing Problem), řeší úlohu rozdělení montážních úkonů (operací) mezi pracovní stanice tak, aby byla zachována návaznost operací (podle předem daného schématu, grafu návazností) a nebyl překročen maximálně povolený čas montáže (délku cyklu) na každé stanici na straně edné a tento čas byl co nelépe využit na straně druhé. Tyto úlohy sleduí některý z následuících cílů: - minimalizaci počtu pracovních stanic při zachování dané délky cyklu - minimalizaci délky cyklu (maximalizaci intenzity produkce) při daném počtu pracovních stanic - současnou minimalizaci délky cyklu a počtu stanic tak, aby byla minimální celková doba prodlevy (nečinnosti pracovních stanic, neefektivita linky)

4 Příklad: Montážní linka zahrnue devět operací, eichž délky (v časových ednotkách) a návaznosti ukazue následuící graf návazností (čísla v oválech označuí číslo operace/délka operace). Linka obsahue pět pracovních stanic S 1, S 2, S 3, S 4 a S 5. 1/6 2/6 7/4 8/2 9/9 3/4 4/5 5/4 6/5 Jedním z možných řešení problému vyvážení této linky e následuící rozdělení operací: S 1 ={1,3}, S 2 ={4,5}, S 3 ={2,7}, S 4 ={6,8}, S 5 ={9}. Minimální délka cyklu e 10 časových ednotek. Obecněší úloha GALBP (General Assembly Line Balancing Problem) zahrnue další omezení (například prostorové) a podmínky (paralelní stanice, seskupování operací, nekompatibilitu operací, specifitu pracovních stanic). Tyto úlohy a eich řešení se liší podle konkrétních podmínek montážních linek, nicméně vždy se edná o optimalizační úlohy Plánování produkce (production planning) a zásobovací strategie (supply policy) V případě linek typu MMAL (obr. 3) se obevuí problémy s optimální strukturou produkce (posloupnost ednotlivých typů montovaných ednotek v čase) a problémy spoené se zaištěním dodávky komponent. První skupina úloh závisí na zvolené strategii výroby na obednávku nebo výroby na sklad. Z matematického hlediska e zaímavěší druhá skupina úloh, hledaící optimílní strategie dodávky komponent do zásobníků montážní linky. Komponenty museí být připraveny k montáži ve správném pořadí tak, aby nedocházelo k prodlevám a k přeplnění zásobníků komponentami určitých typů Optimalizace lidských zdroů Zaímavý okruh úloh se týká stanovení optimálního počtu pracovníků a eich specializace tak, aby při výpadku ednoho pracovníka nedošlo k ohrožení provozu linky. To souvisí s optimalizací nákladů na lidské zdroe (mzda, školení, zástupnost, doažitelnost, )

5 3. Hledání kritických míst V následuící kapitole se budu blíže zabývat edním problémem, spoeným se spolehlivostí linky, s hledáním eích kritických míst. Montážní linku lze v základním tvaru chápat ako tandemovou síť hromadné obsluhy, eíž ednotlivé prvky sou tvořeny systémy, které se v teorii hromadné obsluhy označuí ako G/G/1/k. Předpokládeme, že linka e tvořena L pracovními stanicemi, mezi nimiž e vždy transportní subsystém. Jak pracovní stanice, tak i transportní subsystém, maí předřazený zásobník s konečnou kapacitou, v němž se mohou hromadit montážní ednotky, čekaící na zpracování či na transport. U každé stanice může být navíc kontrolní stanice, která provádí výstupní kontrolu akosti pro tuto pracovní stanici (obr. 4). pracovní stanice transportní subsystém pracovní stanice +1 transportní subsystém +1 Z W C K T Z +1 W +1 C +1 K +1 T +1 Obr. 4. Model montážní linky s omezenými zásobníky a kontrolní stanicí: Z zásob-ník před -tou stanicí, W -tá pracovní stanice, C kontrola výstupu z -té stani-ce, K zásobník -tého transportního subsystému, T -tý transportní subsystém Tento model předpokládá, že montážní ednotky vstupuí do systému pracovní stanice v časových intervalech, eichž délka e obecně chápána ako náhodná veličina A s rozdělením pravděpodobnosti s distribuční funkcí A (t), =1,,L, přičemž na vstupu do montážní linky sou tyto intervaly vzáemně stochasticky nezávislé. Doba montáže v pracovní stanici e opět náhodná veličina B, nezávislá na A s distribuční funkcí B (t), =1,,L. Zavedeme nyní označení, týkaící se charakteristik -tého prvku montážní linky: Nechť λ a,c a - intenzita a variační koeficient vstupního proudu montážních ednotek do pracovní stanice (e to zároveň intenzita a variační koeficient výstupu z prvku -1)

6 λ d d,c - intenzita a variační koeficient výstupního proudu montážních ednotek z pracovní stanice (intenzita a variační koeficient vstupu do kontrolního stanoviště ) λ b,c b - intenzita a variační koeficient výstupního proudu z kontrolní stanice (intenzita a variační koeficient vstupu do transportního subsystému ) λ c c,c - intenzita a variační koeficient výstupního proudu z transportního subsystému (e to zároveň intenzita a variační koeficient vstupu do prvku +1 linky) µ, ˆ µ - intenzita obsluhy pracovní stanice a transportního subsystému n,m - počet ednotek v zásobníku pracovní stanice a transportního subsystému N, M - kapacity zásobníku pracovní stanice a transportního subsystému λ a c a W n, N µ λ d c d p q λ b c b V m, M ˆ µ λ c c c W,V - doba čekání na zpracování v zásobníku pracovní stanice a transportního subsystému p - pravděpodobnost nalezení neopravitelného výrobku kontrolní stanicí q - pravděpodobnost nalezení opravitelného výrobku kontrolní stanicí Označme dále d, d ˆ - náklady na ednotku obemu zásobníku pracovní stanice a transportního subsystému α,β - přípustné pravděpodobnosti překročení kapacity zásobníku pracovní stanice a transportního subsystému Cílem optimalizační úlohy e potom nalézt minimum funkce za splnění podmínek L ( d N + d ˆ M ) =1

7 P(n = N +1) α, =1,K,L, (1) P(m = M +1) β, =1,K,L. To znamená, že hledáme nemenší přípustné kapacity zásobníků, při kterých s předem danou pravděpodobností nedode k přeplnění zásobníků a tím k zablokování linky. Prvek, který za těchto podmínek vyžadue nevětší kapacitu zásobníků, e neslabším článkem v lince (bottleneck). c a Mezi výstupní itenzitou λ L a vstupní intenzitou λ L platí následuící vztah λ a = Za předpokladu, že pravděpodobnosti přeplnění zásobníků sou nulové, bude λ a = L =1 c λ L L =1 (1 p ) Optimalizační algoritmus potom může probíhat v následuících krocích: 1) Načti vstupní údae o lince: L, λ a,c a, p, q, µ, ˆ µ,α, β. Polož λ a 1 = λ a,c a 1 = c a. 2) Pro =1,,L postupně 2a) minimalizu d N za podmínky P( n = N +1) α 2b) minimalizu d ˆ M za podmínky P(m = M +1) β 3) Pro =1,,L spočti charakteristiky stanic (průměrný počet ednotek v zásobnících N,M, průměrné doby čekání W,V, intenzitu provozu ρ. Hlavní problém spočívá v kroku 2. Pro výpočet pravděpodobností v (1) bychom potřebovali znát rozdělení pravděpodobnosti dob mezi vstupy ednotek do stanice (= výstupy ze stanice -1) a eich stochastickou nezávislost. To však lze předpokládat pouze v případě systémů M/M/1/k. V obecném případě G/G/1/k sou doby mezi výstupy ze systému závislé a eich rozdělení pravděpodobnosti nelze rozumným způsobem vyádřit. Druhý problém lze obeít aproximací rozdělení doby mezi příchody a doby montáže rozděleními fázového typu PH(α,T) a PH(β,S). Rozdělení dob mezi výstupy e potom opět rozdělení fázového typu se známými parametry. Závislost dob mezi odchody v systému G/G/1 e λ L c (1 α )(1 β )(1 p )

8 způsobena tím, že systém může být ve stavu, kdy čeká na příchod montážní ednotky. Pokud by nečekal, potom bude rozdělení dob mezi výstupy shodné s rozdělením dob montáže a tyto doby budou stochasticky nezávislé. V našem případě nás zaímá situace, kdy e systém blízko přeplnění, tedy má naplněný zásobník a čekání na příchod montážní ednotky nehrozí. V takovém případě můžeme závislost zanedbat a předpokládat, že doby mezi odchody ednotek ze stanice sou nezávislé, neboli že doby mezi vstupy do následuící stanice sou nezávislé. Potom můžeme použít následuící postup: Ad 2a) Minimalizace výrazu d N znamená nalezení nemenšího N takového, že e eště splněna uvedená podmínka. Splnění této podmínky lze převést na podmínku a d λ λ α. (2) a λ K tomu e třeba spočítat hodnotu intenzity výstupního proudu λ d. Obecně lze tuto hodnotu spočítat spolu s variačním koeficientem z obecného vztahu pomocí derivací Laplace-Stieltetsovy transformace F*(t) distribuční funkce F(t) dob mezi odchody: 2 [ ]. 1/ 2 *' 1 *'' *' [ F ( 0) ], c = λ F (0) ( F (0)) λ =. (3) V některých případech lze vztah (3) nahradit analytickým výrazem, ak e tomu například při předpokladu rozdělení fázového typu (viz dále). Prakticky tento krok probíhá tak, že začneme od N = 1, pomocí (3) spočteme λ d d,c a zistíme splnění podmínky (2). Není-li splněna, zvýšíme N o 1 a vše opakueme, dokud nebude (2) splněno. Ad 2b) Po ukončení kroku 2a) spočteme λ b,c b ze vztahů d 2 [ p + (1 p )( c ) ] 1/ 2 b d b λ = (1 p ) λ, c = c c a postupným výpočtem λ, c a zvyšováním hodnoty M od 1, dokud nebude platit nerovnost analogická (3): b c λ λ β. b λ Za předpokladu například useknutého normálního rozdělení doby montáže, rovnoměrného rozdělení a řady iných, e velmi proble- d c

9 matické vyádření distribuční funkce F(t) a eí L-S transformace. Poněkud ednodušší situace e při použití rozdělení fázového typu. 4. Aproximace rozdělením fázového typu Definice: Náhodná veličina Y má rozdělení fázového typu (PH rozdělení) s reprezentací (α,t) řádu p, dá-li se interpretovat ako doba do absorpce Markovova procesu s p+1 stavy, z nichž stav (p+1) e absorpční, s počátečním rozdělením (α, α 0 ) a maticí intenzit 0 T T přechodů. 0 0 Poznámka: Je-li matice T regulární, potom sou stavy 1,, p přechodné a veličina Y e s pravděpodobností 1 konečná (viz [1]). Charakteristiky PH rozdělení: Označme e vektor samých edniček. (i) (ii) (iii) (iv) Distribuční funkce náhodné veličiny Y má tvar F( y) = 1 α exp( Ty) e y 0 F( y) = 0 y < 0 Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny Y e rovna 0 f ( y) = α exp( Ty) T e y 0 f ( y) = 0 y < 0 Budeme-li interpretovat Y ako dobu do poruchy, potom intenzitu poruchy lze vyádřit vztahem 0 f ( y) α exp( Ty) T r ( y) = = 1 F( y) α exp( Ty) e Je-li T regulární, potom Laplaceova transformace PH rozdělení má tvar e sy 0 F 1 0 ( dy) = α( si T) T (v) k k! Je-li T regulární, má náhodná veličina Y všechny momen- k k ty konečné a m = E X = ( 1) k αt e k N Lze ukázat, že množina rozdělení fázového typu e hustá v množině všech spoitých rozdělení na intervalu 0, ). To znamená, že libo-

10 volné spoité rozdělení na 0, ) lze aproximovat libovolně přesně něakým rozdělením fázového typu. Tato aproximace ovšem není ednoznačná a v některých případech může být konvergence k limitnímu rozdělení velmi pomalá. Nicméně, pro řadu obvyklých rozdělení lze tuto aproximaci nalézt poměrně dobře (viz [2]). 5. Závěr V případě montážní linky s ne-exponenciálními rozděleními doby montáže a dob mezi vstupy montážních ednotek do linky lze nalézt kritická místa pomocí algoritmu, naznačeného v kapitole 3. Tento algoritmus lze zednodušit aproximací rozdělení doby montáže a doby mezi příchody ednotek do systému rozdělením fázového typu. Literatura [1] Neuts, M. F. (1981). Matrix geometric solutions in stochastic models. Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD [2] Johnson, M. A., Taaffe, M. R., The denseness of phase distributions. Research Memorandum No , School of Industrial Engeneering, Purdue University [3] Asmussen, S., Olsson, M., Nerman, O., Fitting Phase-type Distributions via the EM Algorithm. Scandinavian Journal of Statistics 23 [4] Dohnal G., Meca M.: Fitting Distribution of Nonnegative Random Variable with PH-distribution. Workshop CTU 2002 [5] Dohnal G., Meca M.: Aproximace obecných systémů hromadné obsluhy pomocí EM algoritmu. ROBUST 2002, JČMF, Adresa autora: Doc. RNDr. Geza Dohnal, CSc., České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stroní, Ústav technické matematiky, Karlovo nám. 13, Praha 2 geza. dohnal@fs.cvut.cz Tato práce byla vytvořena za podpory proektu MŠMT 1M CQR