Sestavení diferenciální a diferenční rovnice. Petr Hušek

Transkript

1 Sestavení diferenciální a diferenční rovnice Petr Hušek

2 Sestavení diferenciální a diferenční rovnice Petr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVU v Praze MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice /17

3 Co se dnes dozvíme? Jak popsat dynamický systém Jak vytvořit model mechanického systému pomocí diferenciální a diferenční rovnice Jak převést diferenciální rovnici na diferenční MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 3/17

4 Posuvný (translační pohyb poloha x(t rychlost zrychlení Δx( t xt ( xt ( vt ( Δvt ( vt ( vt ( at ( Δ x( t x( t+ x( t dx( t vt ( lim lim dt Δ t Δ vt ( vt ( + vt ( dvt ( at ( lim lim Δ t dt Otáčivý (rotační pohyb poloha φ(t rychlost zrychlení Δ ( t ( t ( t ω( t ϕ ϕ ϕ Δ ( t ( t ( t ε ( t ω ω ω Δ ϕ( t ϕ( t+ ϕ( t dϕ( t ω( t lim lim Δ t dt Δ ω( t ω( t+ ω( t dω( t ε ( t lim lim Δ t dt MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 4/17

5 5 okamzita rychlost 5 diskretni pohled 4 4 diskretni hodnoty spojity prubeh x[m] 3 x(t x(t - dx/dt x[m] 3 1 t t[s] t t[s].5s.5s t vdx/dt vδx/ t vdx/dt vδx/ MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 5/17

6 Výpočty v diskrétním čase 5 v(t- v(t (x(t-x(t-/ 1.4 a(t- a(t (v(t-v(t-/ 4 x(t x(t- v(t- v(t 1. 1 v(t v(t- a(t- a(t x[m],v[m/s] 3 1 v[m/s],a[m/s ] t[s] t[s] vt ( derivace Δxt ( xt ( x( t Δvt ( vt ( vt ( a( t dx ( t Δ xt ( ( ( xt x t dt dv ( t Δvt ( vt ( ( vt dt diference MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 6/17

7 dv( t d dx( t d x( t Δvt ( Δ Δxt ( Δ at ( at ( dt dt dt dt Δ xt ( Δ( Δxt ( Δ( xt ( xt (.derivace Δxt ( Δxt ( ( xt xt ( xt ( x( t ( xt ( xt ( + x( t x( t (.diference xt ( xt ( x( t x( t v( t vt ( ( xt ( ( at ( x t + xt 5 x(t a x(t- 5 a(t- a(t (x(t-x(t-+x(t-/ x[m] 4 3 x(t x(t- x[m],a[m/s ] 4 3 x(t x(t- x(t- a(t- a(t t[s] t[s] MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 7/17

8 Pohybové zákony 1. Newtonův zákon (o setrvačnosti. Newtonův zákon (o síle posuvný pohyb Σ F Δ( mv mδv m konst.: Σ F ma Isaac Newton ( rotační pohyb Δ( Jω JΔω Σ M J konst.: Σ M Jε J [kgm ] moment setrvačnosti: i i 3. Newtonův zákon (akce a reakce J mr i Jean d Alembert ( MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 8/17

9 Prvky mechanických systémů posuvný pohyb rotační pohyb tlumič v 1 v F F B(v 1 -v ω 1 ω M B(ω 1 - ω M pružina hmota x 1 x F F k(x 1 -x F a F ma φ φ 1 M M k(φ 1 - φ ε M M Jε MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 9/17

10 Popis mechanických systémů volný pád vstupní veličina není m výstupní veličina rychlost v(t v F g parametr hmotnost m pohybová rovnice diferenciální rovnice dv( t g dt diferenční rovnice ma( t Fg dv( t g dt Δvt ( g v( v vt ( vt ( g MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 1/17

11 seskok padákem m v B F g vstupní veličina není výstupní veličina rychlost v(t parametr hmotnost m tlumení B pohybová rovnice diferenciální rovnice dvt ( m + Bvt ( mg dt diferenční rovnice ma( t Fg Bv( t dvt ( m + Bvt ( mg dt Δvt ( m + Bvt ( mg v( v m m vt ( + B vt ( mg MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 11/17

12 cyklistický trenažer r F J ω,v r vstup síla do pedálů F(t výstup obvodová rychlost v(t parametry r, R, J, B R B koeficient viskózního tření M z (t zatěžovací moment (porucha pohybová rovnice Jdvt ( R dt Jdvt ( B + vt ( Ft ( r Mz ( t R dt R diferenciální rovnice diferenční rovnice F( tr Bω( t M( t Jε( t B + vt ( F( t r Mz ( t R Jvt ( ( J B v( t rrft ( RM ( t z z v( v MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 1/17

13 mincíř k vstupní veličina není výstupní veličina x(t x délka pružiny v klidu - x p m mg kx ( x ma p diferenciální rovnice m xt ( + kxt ( mg+ kxp F g Δ xt ( m + kxt ( mg+ kx x( x ; x ( v p ( m 1 diferenční rovnice xt ( xt ( + + k xt ( mg+ kx p Δx( x x x( x; x( x x( x ; v MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 13/17

14 kyvadlo vstupní veličina není výstupní veličina φ(t φ m délka kyvadla l hmotnost závaží - m pohybová rovnice mg sin ϕ ( t mϕ ( t l g diferenciální rovnice ϕ ( t sin ϕ( t ϕ ( ϕ, ϕ ( ω l g ϕ( t ϕ( t + ϕ( t + sin ϕ( t diferenční rovnice l ϕ ( ϕ, ϕ ( ϕ m Δϕ( ϕ ϕ ϕ ( ϕ, ω( MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 14/17

15 kulička na tyči pohybová rovnice diferenciální rovnice r R x F N F g F m φ vstupní veličina φ(t výstupní veličina x(t poloměr kuličky R poloměr odvalování - r at ( ma( t + J k mg sin (, t Jk mr r ϕ 5 g xt ( sin ϕ( t K sin ϕ( t R 1+ 5 r x( x, x ( v diferenční rovnice xt ( xt ( + xt ( K s in ϕ( t x x x( x, x( x x( x, Δ x( v MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 15/17

16 Kontrolní otázky Závislost úhlu na čase rotujícího tělesa je ϕ ( t t. V čase t 5 sekund určete jeho skutečnou úhlovou rychlost a její aproximaci pomocí diference pro.1 a.1 sekundy. Určete hodnoty úhlového zrychlení pro tentýž pohyb jednak z hodnot rychlostí, jednak z hodnot úhlu pro stejné hodnoty. Napište diferenciální a diferenční rovnici pro volný pád, jestliže jako výstupní veličinu budeme uvažovat polohu závaží x(t. m x Napište diferenciální a diferenční rovnici následujícího systému, jestliže jako vstupní veličinu uvažujeme sílu F(t a výstupní polohu závaží x(t. x k F m F g MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 16/17

17 Harddisk, který se v čase t točí úhlovou rychlostí ω, je brzděn momentem M(t. Moment setrvačnosti harddisku je J. Napište diferenciální a diferenční rovnici popisující brzdění harddisku, uvažujeme-li brzdicí moment M(t jako vstupní veličinu a úhlovou rychlost ω(t jako výstupní veličinu. ření zanedbejte. ω M J Krasobruslaři mají při piruetách nejprve ruce upažené a pak je sepnou natažené nad hlavou, čímž se začnou točit rychleji. Proč? MAS 1/13 ČVU v Praze Diferenciální a diferenční rovnice 17/17