KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

Transkript

1 KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK

2 Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar křivky, explicitní vyjádření, parametrický tvar, tečný vektor, tečna ke křivce křivky v prostoru plochy modelování křivek a ploch aproximace, interpolace interpolační křivky a plochy Fergusonovy kubiky aproximační křivky a plochy Beziérovy křivky a plochy Coonsovy (B-spline) křivky a plochy β-spline křivky a plochy 2/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

3 Matematický popis křivek a ploch MATEMATICKÝ POPIS KŘIVEK A PLOCH 3/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

4 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka:?? kružnice:?? 4/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

5 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 5/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

6 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka:?? 6/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

7 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka: y = kx + q lze vyjádřit všechny křivky?? 7/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

8 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka: y = kx + q lze vyjádřit všechny křivky?? nelze: uzavřené křivky 8/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

9 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky výhodné pro počítačovou geometrii poloha bodu na křivce vyjádřena parametrem souřadnice bodů závislé na parametru křivka K K = { [x,y]; x = X(t), y = Y(t), t < t min, t max > } X(t) a Y(t) funkce závislosti souřadnic x, y na parametru t počáteční bod: [ X(t min ), Y(t min ) ] koncový bod: [ X(t max ), Y(t max ) ] bod křivky: K(t) = [ X(t), Y(t) ] 9/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

10 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky přímka x =?? y =?? kružnice x =?? y =?? 10/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

11 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky přímka x = t y = kt + q parametr t R kružnice x = x 0 + r cos(α) y = y 0 + r sin(α) parametr α <0,2π> 11/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

12 Křivky v rovině tečný vektor K = [ X (t), Y (t) ]... vektor parciálních derivací předpoklady X(t) a Y(t) spojité a mají derivace alespoň jedna z derivací X (t) a Y (t) v bodě t nenulová spojitá změna vektoru K křivky hladký půběh křivky nejsou ostré vrcholy tečna křivky v bodě K(t) přímka: T(u) = K(t) + u K (t) 12/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

13 Křivky v rovině tečný vektor K = [ X (t), Y (t) ]... vektor parciálních derivací předpoklady X(t) a Y(t) spojité a mají derivace alespoň jedna z derivací X (t) a Y (t) v bodě t nenulová spojitá změna vektoru K křivky hladký půběh křivky nejsou ostré vrcholy tečna křivky v bodě K(t) přímka: T(u) = K(t) + u K (t) bod křivky K(t) parametr tečný vektor K (t) 13/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

14 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 14/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

15 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice?? 15/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

16 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice?? 16/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

17 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α) tečna ke kružnici v bodě [0,2]... tečna ke kružnici v bodě?? 17/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

18 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α) tečna ke kružnici v bodě [0,2]... tečna ke kružnici v bodě α = π / 2 18/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

19 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x =?? y =?? 19/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

20 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2) po úpravách x =?? y =?? 20/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

21 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2) po úpravách x = 0 2u = 2u y = 2 + 0u = 2 [0,2] přímka y = 2 (x libovolné) 21/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

22 Křivky v prostoru 1. explicitní tvar křivky vyjádření souřadnic y a z v závislosti na souřadnici x y = Y(x), z = Z(x) tento tvar nemusí vždy existovat 2. parametrický tvar křivky nejobvyklejší křivka: K = { [x,y,z] ; x=x(t), y=y(t), z=z(t), t <t min, t max >} tečný vektor v bodě K(t) vektor parciálních derivací K (t) = [X (t),y (t), Z (t)] 22/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

23 Plochy (v prostoru) 1. implicitní tvar plochy rovnice F(x,y,z) = 0 2. explicitní tvar plochy jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y) 3. parametrický tvar plochy nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v P = {[x,y,z]; x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), u <u min, u max >, v <v min, v max >} X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován?? 23/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

24 Plochy (v prostoru) 1. implicitní tvar plochy rovnice F(x,y,z) = 0 2. explicitní tvar plochy jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y) 3. parametrický tvar plochy nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v P = {[x,y,z]; x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), u <u min, u max >, v <v min, v max >} X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován parametrická rovnice křivky na ploše 24/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

25 Modelování křivek a ploch MODELOVÁNÍ KŘIVEK A PLOCH 25/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

26 Modelování křivek a ploch idea nelze zadat všechny body křivky/plochy je jich nekonečně zadají se nejdůležitější jší uzlové body např. body, kde křivka/plocha mění směr, obrací se,... typicky požadavek na hladkost křivky/plochy bez ostrých vrcholů základní metody interpolace křivka/plocha prochází uzlovými body aproximace křivka/plocha nemusí procházet uzlovými body křivka probíhá okolo uzlových bodů a kopíruje je 26/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

27 Modelování křivek a ploch Aproximace Interpolace 27/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

28 Fergusonovy kubiky FERGUSONOVY KUBIKY 28/67 Jana Štanclová,

29 Fergusonovy kubiky interpolační křivka J. C. Ferguson, 1964 Fergusonova kubika dva řídící body P 0 a P 1 krajní body křivky křivka jimi prochází určují polohu křivky dva tečné vektory P 0 a P 1 v řídících bodech P 0 a P 1 směr a velikost tečných vektorů míra vyklenutí křivky větší velikost vektorů křivka se více přimyká k vektoru rovnice křivky P(t) = P 0 F 1 (t) + P 1 F 2 (t) + P 0 F 3 (t) + P 1 F 4 (t) kde F 1,..., F 4 jsou kubické Hermitovské polynomy F 1 (t) = 2t 3 3t F 3 (t) = t 3 2t 2 + t F 2 (t) = -2t 3 + 3t 2 F 4 (t) = t 3 t 2 29/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

30 Fergusonovy kubiky vektor P 0 konstantní... vektor P 1 se mění 30/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

31 Fergusonovy kubiky applet: 31/67 Jana Štanclová,

32 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik?? 32/67 Jana Štanclová,

33 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu hladkost spojených dvou kubik?? 33/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

34 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu hladkost spojených dvou kubik ztotožnění tečných vektorů ztotožněných bodů nevýhody poměrně nesnadná editace tečného vektoru ve 3D 34/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

35 Beziérovy křivky BEZIÉROVY KŘIVKY 35/67 Jana Štanclová,

36 Beziérovy křivky aproximační křivka vlastnosti křivka prochází prvním a posledním uzlem k ostatním bodům se křivka pouze přibližuje úsečky spojující dva krajní uzly se dotýkají křivky v koncových bodech spojnice prvního a druhého bodu, posledního a předposledního bodu jinak průběh křivky zcela hladký n = n rovnice P ( t ) = P B ( t ) i= 0 kde B n i jsou Bernsteinovy polynomy n n i ( ) ( ) n B i i t = t 1 t i i i 36/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

37 Beziérovy křivky applet: win program Paint: kliknout a táhnout počáteční a koncový bod kliknout a táhnout vytváří se oblouk (a ještě jednou zopakovat) 37/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

38 Beziérovy křivky nevýhody křivka určena velkým počtem bodů složitý výpočet bodu na křivce vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech posun jednoho uzlu změna tvaru celé křivky řešení:?? 38/67 Jana Štanclová,

39 Beziérovy křivky nevýhody křivka určena velkým počtem bodů složitý výpočet bodu na křivce vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech posun jednoho uzlu změna tvaru celé křivky řešení: složitější křivky spojení několika kratších křivek lepší výpočet kratších křivek lokální oprava tvaru křivky změna polohy jednoho uzlu změna jednoho úseku křivky ostatní úseky nezměněny 39/67 Jana Štanclová,

40 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek?? 40/67 Jana Štanclová,

41 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek ztotožnění krajních vrcholů spojení křivek nemusí být hladké hladké spojení?? 41/67 Jana Štanclová,

42 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek ztotožnění krajních vrcholů spojení křivek nemusí být hladké hladké spojení 3 krajní body na jedné přímce předposlední uzel křivky Q1 poslední uzel křivky Q1 = první uzel křivky Q2 druhý uzel křivky Q2 42/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

43 Beziérovy křivky v praxi Beziérovy křivky druhého stupně kvadratické křivky definované 3 uzly Beziérovy křivky třetího stupně kubické křivky definované 4 uzly použití definice znakových fontů hladký průběh obrysů písmen jednoduché zadávání možnost libovolně font zvětšovat bez znehodnocení 43/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

44 Beziérovy plochy BEZIÉROVY PLOCHY 44/67 Jana Štanclová,

45 Beziérovy plochy aproximační plochy stejné principy jako Beziérovy křivky zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti rohové uzly poloha rohů plochy okrajové řady/sloupce uzlů okrajové Beziérovy křivky vnitřní uzly tvar uvnitř plochy 45/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

46 Beziérovy plochy editace uzlů 46/67 Jana Štanclová,

47 Beziérovy plochy nevýhody vnitřní bod plochy závisí na všech ostatních uzlech definiční sítě řešení: jako u Beziérových křivek složitější plochy: spojování více plátů dohromady plát = jedna Beziérova plocha typicky bikvadratický Beziérový plát plocha zadaná 3 3 uzly bikubický Beziérový plát výhody plocha zadaná 4 4 uzly lokální oprava komplikované plochy rychlejší výpočet i zobrazení 47/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

48 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů?? 48/67 Jana Štanclová,

49 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů ztotožnění krajních řad/sloupců napojení nemusí být hladké hladké napojení?? 49/67 Jana Štanclová,

50 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů ztotožnění krajních řad/sloupců napojení nemusí být hladké hladké napojení vliv dalších řad uzlů sousedících se společným okrajem plátů trojice uzlů na úsečkách úsečky rozděleny prostředními uzly ve stejném poměru 50/67 Jana Štanclová,

51 Speciální Beziérovy pláty speciální plát... záplata degenerace jedné/dvou okrajových křivek okrajová křivka plátu = Beziérova křivka zadaná krajní řadou/sloupcem uzlů spojení těchto uzlů do jediného degenerace křivky do jediného bodu výsledná plocha má méně rohů a okrajových křivek příklad: trojúhelníkový plát jeden dvojitý roh 51/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

52 B-spline křivky COONSOVY (B-SPLINE) KŘIVKY 52/67 Jana Štanclová,

53 B-spline křivky aproximační křivky princip zadání: podobný Beziérovým křivkám bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek zadány posloupností bodů začátek křivky antitěžištěišt trojúhelníka ABC směr křivky v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC 53/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

54 B-spline křivky aproximační křivky princip zadání: podobný Beziérovým křivkám bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek zadány posloupností bodů začátek křivky antitěžištěišt trojúhelníka ABC směr křivky v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC 54/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

55 Prodlužování B-spline křivek první úsek... P 0 P 1 P 2 P 3 druhý úsek... P 1 P 2 P 3 P 4 společný bod... antitěžistě trojúhelníka P 1 P 2 P 3 směr ve společném bodě... rovnoběžný s úsečkou P 1 P 3 společný pro obě křivky hladké spojení 55/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

56 Prodlužování B-spline křivek snadné napojování/prodlužování ování křivek dvě spojené křivky společné 3 definiční uzly prodloužení křivky o jeden úsek přidání jednoho nového uzlu napojování B-spline křivek zopakovány poslední tři uzly na kraj přidán jeden nový uzel 56/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

57 B-spline křivky vliv definičního ního uzlu na maximálně?? úseky křivek 57/67 Jana Štanclová,

58 B-spline křivky vliv definičního ního uzlu na maximálně 4 úseky křivek oprava křivky posun jednotlivých uzlů posun jednoho uzlu lokální oprava křivky změna max. 4 sousedních částí křivek zbytek křivky nezměněn 58/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

59 B-spline plochy COONSOVY (B-SPLINE) PLOCHY 59/67 Jana Štanclová,

60 B-spline plochy aproximační plochy zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů variabilita B-spline plochy konstrukce složitějších tvarů plochy složené z hodně plátů dva sousední pláty společné 3 řady uzlů sestavená plocha vždy hladká lokální opravy plochy posuny definičních uzlů změna jednoho uzlu změna?? sousedních plátů 60/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

61 B-spline plochy aproximační plochy zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů variabilita B-spline plochy konstrukce složitějších tvarů plochy složené z hodně plátů dva sousední pláty společné 3 řady uzlů sestavená plocha vždy hladká lokální opravy plochy posuny definičních uzlů změna jednoho uzlu změna 4-16 sousedních plátů speciální pláty pomocí vícenásobných uzlů 61/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

62 B-spline plochy změna tvaru plochy každý obrázek vznikl změnou polohy jediného uzlu 62/67 Jana Štanclová,

63 β-spline křivky β-spline KŘIVKY 63/67 Jana Štanclová,

64 β-spline křivky aproximační křivky zobecnění kubických B-spline křivek variabilnější úsek křivky 4 řídící uzly dva sousední úseky společné 3 uzly sklon β 1 posunutí křivky vzhledem k řídícím uzlům standardně β 1 = 1 β 1 < 1... posun k prvnímu uzlu β 1 > 1... posun k poslednímu uzlu napětí β 2 stupeň přesnosti aproximace jak moc křivka přitahována/odpuzována od uzlů β 2 = 0 klasická B-spline křivka 64/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz

65 β-spline křivky změna tvaru křivky při posunutí jednoho řídícího uzlu 65/67 Jana Štanclová,

66 β-spline plochy β-spline PLOCHY 66/67 Jana Štanclová,

67 β-spline plochy aproximační plochy zobecnění bikubických B-spline ploch β-spline plát zadán 16 řídících uzlů sklony β 1u a β 1v sklon plochy v obou směrech napětí plochy β 2 stupeň přesnosti aproximace jak moc plocha přitahována/odpuzována od uzlů 67/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz