KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od
|
|
- Matyáš Šmíd
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK
2 Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar křivky, explicitní vyjádření, parametrický tvar, tečný vektor, tečna ke křivce křivky v prostoru plochy modelování křivek a ploch aproximace, interpolace interpolační křivky a plochy Fergusonovy kubiky aproximační křivky a plochy Beziérovy křivky a plochy Coonsovy (B-spline) křivky a plochy β-spline křivky a plochy 2/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
3 Matematický popis křivek a ploch MATEMATICKÝ POPIS KŘIVEK A PLOCH 3/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
4 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka:?? kružnice:?? 4/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
5 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 5/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
6 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka:?? 6/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
7 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka: y = kx + q lze vyjádřit všechny křivky?? 7/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
8 Křivky v rovině 1. implicitní tvar křivky rovnice F(x,y) = 0 př. F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kružnice: x 2 + y 2 r 2 = 0 2. explicitní vyjádření křivky jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x body na křivce [x,y(x)] př. přímka: y = kx + q lze vyjádřit všechny křivky?? nelze: uzavřené křivky 8/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
9 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky výhodné pro počítačovou geometrii poloha bodu na křivce vyjádřena parametrem souřadnice bodů závislé na parametru křivka K K = { [x,y]; x = X(t), y = Y(t), t < t min, t max > } X(t) a Y(t) funkce závislosti souřadnic x, y na parametru t počáteční bod: [ X(t min ), Y(t min ) ] koncový bod: [ X(t max ), Y(t max ) ] bod křivky: K(t) = [ X(t), Y(t) ] 9/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
10 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky přímka x =?? y =?? kružnice x =?? y =?? 10/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
11 Křivky v rovině 3. parametrický tvar křivky přímka x = t y = kt + q parametr t R kružnice x = x 0 + r cos(α) y = y 0 + r sin(α) parametr α <0,2π> 11/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
12 Křivky v rovině tečný vektor K = [ X (t), Y (t) ]... vektor parciálních derivací předpoklady X(t) a Y(t) spojité a mají derivace alespoň jedna z derivací X (t) a Y (t) v bodě t nenulová spojitá změna vektoru K křivky hladký půběh křivky nejsou ostré vrcholy tečna křivky v bodě K(t) přímka: T(u) = K(t) + u K (t) 12/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
13 Křivky v rovině tečný vektor K = [ X (t), Y (t) ]... vektor parciálních derivací předpoklady X(t) a Y(t) spojité a mají derivace alespoň jedna z derivací X (t) a Y (t) v bodě t nenulová spojitá změna vektoru K křivky hladký půběh křivky nejsou ostré vrcholy tečna křivky v bodě K(t) přímka: T(u) = K(t) + u K (t) bod křivky K(t) parametr tečný vektor K (t) 13/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
14 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 14/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
15 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice?? 15/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
16 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice?? 16/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
17 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α) tečna ke kružnici v bodě [0,2]... tečna ke kružnici v bodě?? 17/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
18 Křivky v rovině - příklad příklad spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2 řešení rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α) tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α) tečna ke kružnici v bodě [0,2]... tečna ke kružnici v bodě α = π / 2 18/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
19 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x =?? y =?? 19/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
20 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2) po úpravách x =?? y =?? 20/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
21 Křivky v rovině - příklad pokračování řešení: rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2) po úpravách x = 0 2u = 2u y = 2 + 0u = 2 [0,2] přímka y = 2 (x libovolné) 21/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
22 Křivky v prostoru 1. explicitní tvar křivky vyjádření souřadnic y a z v závislosti na souřadnici x y = Y(x), z = Z(x) tento tvar nemusí vždy existovat 2. parametrický tvar křivky nejobvyklejší křivka: K = { [x,y,z] ; x=x(t), y=y(t), z=z(t), t <t min, t max >} tečný vektor v bodě K(t) vektor parciálních derivací K (t) = [X (t),y (t), Z (t)] 22/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
23 Plochy (v prostoru) 1. implicitní tvar plochy rovnice F(x,y,z) = 0 2. explicitní tvar plochy jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y) 3. parametrický tvar plochy nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v P = {[x,y,z]; x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), u <u min, u max >, v <v min, v max >} X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován?? 23/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
24 Plochy (v prostoru) 1. implicitní tvar plochy rovnice F(x,y,z) = 0 2. explicitní tvar plochy jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y) 3. parametrický tvar plochy nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v P = {[x,y,z]; x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), u <u min, u max >, v <v min, v max >} X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován parametrická rovnice křivky na ploše 24/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
25 Modelování křivek a ploch MODELOVÁNÍ KŘIVEK A PLOCH 25/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
26 Modelování křivek a ploch idea nelze zadat všechny body křivky/plochy je jich nekonečně zadají se nejdůležitější jší uzlové body např. body, kde křivka/plocha mění směr, obrací se,... typicky požadavek na hladkost křivky/plochy bez ostrých vrcholů základní metody interpolace křivka/plocha prochází uzlovými body aproximace křivka/plocha nemusí procházet uzlovými body křivka probíhá okolo uzlových bodů a kopíruje je 26/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
27 Modelování křivek a ploch Aproximace Interpolace 27/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
28 Fergusonovy kubiky FERGUSONOVY KUBIKY 28/67 Jana Štanclová,
29 Fergusonovy kubiky interpolační křivka J. C. Ferguson, 1964 Fergusonova kubika dva řídící body P 0 a P 1 krajní body křivky křivka jimi prochází určují polohu křivky dva tečné vektory P 0 a P 1 v řídících bodech P 0 a P 1 směr a velikost tečných vektorů míra vyklenutí křivky větší velikost vektorů křivka se více přimyká k vektoru rovnice křivky P(t) = P 0 F 1 (t) + P 1 F 2 (t) + P 0 F 3 (t) + P 1 F 4 (t) kde F 1,..., F 4 jsou kubické Hermitovské polynomy F 1 (t) = 2t 3 3t F 3 (t) = t 3 2t 2 + t F 2 (t) = -2t 3 + 3t 2 F 4 (t) = t 3 t 2 29/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
30 Fergusonovy kubiky vektor P 0 konstantní... vektor P 1 se mění 30/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
31 Fergusonovy kubiky applet: 31/67 Jana Štanclová,
32 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik?? 32/67 Jana Štanclová,
33 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu hladkost spojených dvou kubik?? 33/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
34 Fergusonovy kubiky výhody snadné navazování Fergusonových kubik poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu hladkost spojených dvou kubik ztotožnění tečných vektorů ztotožněných bodů nevýhody poměrně nesnadná editace tečného vektoru ve 3D 34/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
35 Beziérovy křivky BEZIÉROVY KŘIVKY 35/67 Jana Štanclová,
36 Beziérovy křivky aproximační křivka vlastnosti křivka prochází prvním a posledním uzlem k ostatním bodům se křivka pouze přibližuje úsečky spojující dva krajní uzly se dotýkají křivky v koncových bodech spojnice prvního a druhého bodu, posledního a předposledního bodu jinak průběh křivky zcela hladký n = n rovnice P ( t ) = P B ( t ) i= 0 kde B n i jsou Bernsteinovy polynomy n n i ( ) ( ) n B i i t = t 1 t i i i 36/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
37 Beziérovy křivky applet: win program Paint: kliknout a táhnout počáteční a koncový bod kliknout a táhnout vytváří se oblouk (a ještě jednou zopakovat) 37/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
38 Beziérovy křivky nevýhody křivka určena velkým počtem bodů složitý výpočet bodu na křivce vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech posun jednoho uzlu změna tvaru celé křivky řešení:?? 38/67 Jana Štanclová,
39 Beziérovy křivky nevýhody křivka určena velkým počtem bodů složitý výpočet bodu na křivce vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech posun jednoho uzlu změna tvaru celé křivky řešení: složitější křivky spojení několika kratších křivek lepší výpočet kratších křivek lokální oprava tvaru křivky změna polohy jednoho uzlu změna jednoho úseku křivky ostatní úseky nezměněny 39/67 Jana Štanclová,
40 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek?? 40/67 Jana Štanclová,
41 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek ztotožnění krajních vrcholů spojení křivek nemusí být hladké hladké spojení?? 41/67 Jana Štanclová,
42 Beziérovy křivky spojování dvou Beziérových křivek ztotožnění krajních vrcholů spojení křivek nemusí být hladké hladké spojení 3 krajní body na jedné přímce předposlední uzel křivky Q1 poslední uzel křivky Q1 = první uzel křivky Q2 druhý uzel křivky Q2 42/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
43 Beziérovy křivky v praxi Beziérovy křivky druhého stupně kvadratické křivky definované 3 uzly Beziérovy křivky třetího stupně kubické křivky definované 4 uzly použití definice znakových fontů hladký průběh obrysů písmen jednoduché zadávání možnost libovolně font zvětšovat bez znehodnocení 43/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
44 Beziérovy plochy BEZIÉROVY PLOCHY 44/67 Jana Štanclová,
45 Beziérovy plochy aproximační plochy stejné principy jako Beziérovy křivky zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti rohové uzly poloha rohů plochy okrajové řady/sloupce uzlů okrajové Beziérovy křivky vnitřní uzly tvar uvnitř plochy 45/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
46 Beziérovy plochy editace uzlů 46/67 Jana Štanclová,
47 Beziérovy plochy nevýhody vnitřní bod plochy závisí na všech ostatních uzlech definiční sítě řešení: jako u Beziérových křivek složitější plochy: spojování více plátů dohromady plát = jedna Beziérova plocha typicky bikvadratický Beziérový plát plocha zadaná 3 3 uzly bikubický Beziérový plát výhody plocha zadaná 4 4 uzly lokální oprava komplikované plochy rychlejší výpočet i zobrazení 47/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
48 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů?? 48/67 Jana Štanclová,
49 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů ztotožnění krajních řad/sloupců napojení nemusí být hladké hladké napojení?? 49/67 Jana Štanclová,
50 Beziérových plochy napojení plátů napojení Beziérových plátů ztotožnění krajních řad/sloupců napojení nemusí být hladké hladké napojení vliv dalších řad uzlů sousedících se společným okrajem plátů trojice uzlů na úsečkách úsečky rozděleny prostředními uzly ve stejném poměru 50/67 Jana Štanclová,
51 Speciální Beziérovy pláty speciální plát... záplata degenerace jedné/dvou okrajových křivek okrajová křivka plátu = Beziérova křivka zadaná krajní řadou/sloupcem uzlů spojení těchto uzlů do jediného degenerace křivky do jediného bodu výsledná plocha má méně rohů a okrajových křivek příklad: trojúhelníkový plát jeden dvojitý roh 51/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
52 B-spline křivky COONSOVY (B-SPLINE) KŘIVKY 52/67 Jana Štanclová,
53 B-spline křivky aproximační křivky princip zadání: podobný Beziérovým křivkám bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek zadány posloupností bodů začátek křivky antitěžištěišt trojúhelníka ABC směr křivky v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC 53/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
54 B-spline křivky aproximační křivky princip zadání: podobný Beziérovým křivkám bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek zadány posloupností bodů začátek křivky antitěžištěišt trojúhelníka ABC směr křivky v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC 54/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
55 Prodlužování B-spline křivek první úsek... P 0 P 1 P 2 P 3 druhý úsek... P 1 P 2 P 3 P 4 společný bod... antitěžistě trojúhelníka P 1 P 2 P 3 směr ve společném bodě... rovnoběžný s úsečkou P 1 P 3 společný pro obě křivky hladké spojení 55/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
56 Prodlužování B-spline křivek snadné napojování/prodlužování ování křivek dvě spojené křivky společné 3 definiční uzly prodloužení křivky o jeden úsek přidání jednoho nového uzlu napojování B-spline křivek zopakovány poslední tři uzly na kraj přidán jeden nový uzel 56/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
57 B-spline křivky vliv definičního ního uzlu na maximálně?? úseky křivek 57/67 Jana Štanclová,
58 B-spline křivky vliv definičního ního uzlu na maximálně 4 úseky křivek oprava křivky posun jednotlivých uzlů posun jednoho uzlu lokální oprava křivky změna max. 4 sousedních částí křivek zbytek křivky nezměněn 58/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
59 B-spline plochy COONSOVY (B-SPLINE) PLOCHY 59/67 Jana Štanclová,
60 B-spline plochy aproximační plochy zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů variabilita B-spline plochy konstrukce složitějších tvarů plochy složené z hodně plátů dva sousední pláty společné 3 řady uzlů sestavená plocha vždy hladká lokální opravy plochy posuny definičních uzlů změna jednoho uzlu změna?? sousedních plátů 60/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
61 B-spline plochy aproximační plochy zadány sítí bodů v prostoru obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů variabilita B-spline plochy konstrukce složitějších tvarů plochy složené z hodně plátů dva sousední pláty společné 3 řady uzlů sestavená plocha vždy hladká lokální opravy plochy posuny definičních uzlů změna jednoho uzlu změna 4-16 sousedních plátů speciální pláty pomocí vícenásobných uzlů 61/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
62 B-spline plochy změna tvaru plochy každý obrázek vznikl změnou polohy jediného uzlu 62/67 Jana Štanclová,
63 β-spline křivky β-spline KŘIVKY 63/67 Jana Štanclová,
64 β-spline křivky aproximační křivky zobecnění kubických B-spline křivek variabilnější úsek křivky 4 řídící uzly dva sousední úseky společné 3 uzly sklon β 1 posunutí křivky vzhledem k řídícím uzlům standardně β 1 = 1 β 1 < 1... posun k prvnímu uzlu β 1 > 1... posun k poslednímu uzlu napětí β 2 stupeň přesnosti aproximace jak moc křivka přitahována/odpuzována od uzlů β 2 = 0 klasická B-spline křivka 64/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
65 β-spline křivky změna tvaru křivky při posunutí jednoho řídícího uzlu 65/67 Jana Štanclová,
66 β-spline plochy β-spline PLOCHY 66/67 Jana Štanclová,
67 β-spline plochy aproximační plochy zobecnění bikubických B-spline ploch β-spline plát zadán 16 řídících uzlů sklony β 1u a β 1v sklon plochy v obou směrech napětí plochy β 2 stupeň přesnosti aproximace jak moc plocha přitahována/odpuzována od uzlů 67/67 Jana Štanclová, jana.stanclova@ruk.cuni.cz
Kristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VícePlochy zadané okrajovými křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VícePlochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS
II Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS Konstrukce a zadání plochy hraniční křivky sítí bodů Kinematicky vytvořené křivky
Více5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VícePOČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR 2012037 2014 2015 PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214
PROGRAM PŘEDNÁŠEK Po 9:00-10:30, KN:A-214 1P 16. 2. Křivky definice, analytické vyjádření. Bézierova křivka definice, vlastnosti, odvození Bernsteinových polynomů, de Castejlau algoritmus. 2P 23. 2. Spojitost
VíceKřivky a plochy I. Petr Felkel. Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí
Křivky a plochy I Petr Felkel Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí E-mail: felkel@fel.cvut.cz S použitím materiálů Bohuslava Hudce, Jaroslava Sloupa Poslední
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND
Více15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceKulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
VíceDiplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů
Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů Štěpán Ulman 1 Úvod Motivace: Potřeba plánovače prostorové trajektorie pro výukové účely - TeachRobot Vstup: Zadávání geometrických a kinematických
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceSubdivision křivky a plochy
Subdivision křivky a plochy KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie + KMA/GM1 Geometrické modelování 1 Subdivision křivky a plochy ITG 1 / 46 Plochy volného tvaru opakování Plochy volného
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceFergusnova kubika, která je definována pomocí bodu P1, vektoru P1P2, bodu P3 a vektoru P3P4
Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Zelená c. Modrá d. Červená Úloha 2 Jakým minimálním počtem bodů je jednoznačně určena interpolační křivka 5. řádu? a. 6 b. 3 c. 5 d. 7
VíceMetamorfóza obrázků Josef Pelikán CGG MFF UK Praha
Metamorfóza obrázků 1998-2011 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Morphing 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 21 Metamorfóza obrázků -
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceKMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceDiferenciáln. lní geometrie ploch
Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Více7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
VíceRhino - základní příkazy
Rhino - základní příkazy Příkazy - volíme z hlavní nabídky levým tlačítkem myši - ikonou z nástrojové lišty levým (LTM)/pravým(PTM) tlačítkem myši Příkaz ukončíme pravým tlačítkem myši (Enter) nebo klávesou
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
VíceNURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Karolína Kundrátová NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE Abstrakt Parametrizace křivek jako NURBS (tj. neuniformní racionální B-spliny) patří k moderním postupům
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceHVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť
TVORBA PLOCH Plochy mají oproti 3D drátovým modelům velkou výhodu, pro snadnější vizualizaci modelů můžeme skrýt zadní plochy a vytvořit stínované obrázky. Plochy dále umožňují vytvoření neobvyklých tvarů.
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceZákladní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceZobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování
problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceImplicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?
Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě
VícePROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07
VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Více