VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VLASTISLAV SALAJKA PETR HRADIL ALEŠ NEVAŘIL PRUŽNOST A PEVNOST MODUL BD02-MO2 TEORIE NAMÁHÁNÍ PRUTŮ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VLASTISLAV SALAJKA PETR HRADIL ALEŠ NEVAŘIL PRUŽNOST A PEVNOST MODUL BD02-MO2 TEORIE NAMÁHÁNÍ PRUTŮ"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FKULT STVEBNÍ VLSTISLV SLJK PETR HRDIL LEŠ NEVŘIL PRUŽNOST PEVNOST ODUL BD0-O TEORIE NÁHÁNÍ PRUTŮ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRY S KOBINOVNOU FOROU STUDI

2 Teorie namáhání prutů VLSTISLV SLJK, PETR HRDIL, LEŠ NEVŘIL

3 Obsah OBSH Úvod Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova... 5 Přehled probrané látk potřebné pro další studium Úvod Průřezové charakteristik Statické moment ploch - první moment ploch oment setrvačnosti druhé moment ploch Transformace momentů setrvačnosti při pootočení souřadnic Poloměr setrvačnosti Vnitřní síl a jejich průběh Diferenciální podmínk rovnováh Výslednice napětí Základní případ namáhání prutu... Tah a tlak.... Napětí při osovém tahu a tlaku.... Přetvoření podélně namáhaného prutu.... Dimenzování prutu namáhaného prostým tahem a tlakem Kontrolní otázk Prostý smk Napětí při prostém smku Smkové deformace Poznámka k dimenzování šroubových a nýtových spojů Kontrolní otázk Ohb nosníků Napětí v ohýbaných nosnících Normálová napětí při ohbu Návrh a posouzení ohýbaného nosníku Smková napětí při ohbu masivní průřez Smková napětí při ohbu v tenkostěnných nosnících Střed smku Průhb ohýbaných nosníků a pootočení průřezů Diferenciální rovnice ohbové čár Integrace diferenciální rovnice ohbové čár ohrova analogie pro výpočet průhbů a pootočení průřezů 5 5. Kontrolní otázk Kroucení Kroucení prutů kruhového a mezikruhového průřezu Kroucení prutů masivního nekruhového průřezu (64) -

4 Teorie namáhání prutů 6. Volné kroucení tenkostěnných prutů otevřených průřezů Volné kroucení prutů tenkostěnných uzavřených průřezů Kontrolní otázk Závěr Shrnutí Studijní pramen Seznam použité literatur Seznam doplňkové studijní literatur Odkaz na další studijní zdroje a pramen (64) -

5 Úvod Úvod. Cíle Tento modul věnovaný teorii namáhání prutů navazuje na první modul z tříčlené řad věnované předmětu Pružnost a pevnost. Cílem tohoto modulu teorie namáhání prutů je seznámit student se čtřmi základními případ namáhání přímého prutu. Jedná se o tah a tlak, smk, ohb a kroucení. Na inženýrských předpokladech odvozené základní vztah pro napětí, poměrnou deformaci, posun a pootočení průřezu, slouží pro návrh a posouzení průřezu prutu. Student získá představu o namáhání prutů, kterou uplatní v odborných předmětech při návrhu a posouzení konstrukcí z různých materiálů. Získané znalosti jsou nezbtné pro studium třetího modulu, který je věnován složeným případům namáhání prutů, včetně stabilit.. Požadované znalosti Pro zdárné pochopení uvedené látk je nutno vcházet ze znalostí získaných v předmětu Základ stavební mechanik. Je nezbtné ovládat řešení statick určitých nosníků, tj. stanovení podporových reakcí a průběhů vnitřních sil, včetně korektního stanovení jejich smslu a sestavení obrazců jejich průběhů. Dále je nutno ovládat výpočet těžiště, stanovení hlavních centrálních momentů setrvačnosti a poloměrů setrvačnosti. Umět aplikovat znalosti na výpočet průřezových charakteristik jednoduchých a složených průřezů. S jistotou se orientovat v tabulkách (rozlišovat správně veličin k příslušným osám, korektně převádět rozměr atd.). Doba potřebná ke studiu Studijní tet faktick v rozsahu padesáti stran je rozdělen na čtři základní kapitol, které se liší jak rozsahem, tak hlavně náročností. Kapitolu věnovanou tahu a tlaku může dobře připavený student (čtenář) samostatně nastudovat během hodin studia. Kapitolu věnovanou smku zvládne praktick během 6 hodin. Studium nejrozsáhlejší a současně teoretick nejnáročnější kapitol věnované ohbu mu zabere přibližně 64 hodin. Čas potřebný pro studium kapitol věnované kroucení je asi 6 hodin. Doba potřebná pro samostatné studium doplňkové literatur není započtena..4 Klíčová slova Tah, tlak, smk, ohb, kroucení, napětí, deformace, zkosení, posunutí, průhb, pootočení, dimenzování, průřezový modul, průřezové charakteristik v kroucení. - 5 (64) -

6 Teorie namáhání prutů Přehled probrané látk potřebné pro další studium. Úvod Velké množství inženýrských konstrukcí obsahuje části (komponent, prvk konstrukcí) jejichž rozměr ve dvou směrech jsou výrazně menší ve srovnání s rozměr ve třetím směru. Tto komponent jsou nazýván obecně prut, ačkoliv jsou dále pojmenován podle způsobu přenášení zatížení nebo podle konstrukčního uspořádání. Například jsou-li tto prut namáhán na tah, potom je nazýváme táhla, jsou-li namáhán na tlak, potom hovoříme o vzpěrách nebo o sloupech. Příčně namáhaný prut se nazývá nosník atd. V případě uspořádání například spojením táhel a vzpěr lze vtvořit příhradovou konstrukci. Nosník vetknutý na jedné straně příčně zatížený se nazývá konzolou a tentýž prut namáhaný na tlak sloupem (je-li orientován svisle). Konstrukce kompletně sestavené z nosníků se nazývají rám a t se dále člení podle dimenze na rovinné a prostorové. Tato část (modul) bude pojednávat pouze o přímých prutech, viz obr... Obr.. - Prut v prostoru. Průřezové charakteristik Obr.. Hlavní centrální os průřezu - 6 (64) -

7 Přehled probrané látk potřebné pro další studium.. Statické moment ploch - první moment ploch Uvažujme libovolný průřez prutu a dvě ortogonální os a z procházející těžištěm. Směr os může být libovolný, avšak vodorovný směr os a svislý směr os z dolů přináší dvě výhod při analýze prutů: () průhb prutu jsou většinou orientován směrem dolů, a jsou kladné ve směru os z; () kladný moment kolem os vvolává tah ve spodních vláknech prutu, a ted kladné hodnot napětí v bodech s kladnou souřadnicí z. Statický moment ploch průřezu k ose, respektive k ose z, je definován těmito vztah U = zd, z = U d. (.) Výraz pro výpočet souřadnic těžiště C( t, z t ) průřezu lze zapsat takto: t = U z, U zt =. (.).. oment setrvačnosti druhé moment ploch oment setrvačnosti se dělí na moment setrvačnosti vztažené k osám - osové moment setrvačnosti a k bodu (pólu) polární moment setrvačnosti. oment setrvačnosti I k ose z je definován jako součet členů získaných násobením jednotlivých elementů d ploch a jim odpovídajícím vzdálenostem z v druhé mocnině od os. Ted: Obdobně I I z = = z d. (.) d. (.4) oment setrvačnosti I z k ose a zároveň k ose z je nazýván deviačním momentem setrvačnosti a definován takto: I = zd, (.5) z kde a z jsou vzdálenosti jednotlivých elementů d ploch od os z a. Polární moment setrvačnosti I p k bodu os průřezu je definován takto: I p = r d. (.6) Vzhledem ke vztahu r = ( +z ) p ( z ) d = I I z I = + +. (.7) Je-li osa paralelní s těžištní osou a od ní vzdálená o c, potom I ' = I + c. (.8) Uvedená rovnice je známa pod názvem teorém o paralelních osách nebo také Steinerova věta. Tento teorém dovoluje včíslovat moment setrvačnosti prů- - 7 (64) -

8 Teorie namáhání prutů řezů složitého tvaru, a to tak, že průřez se rozdělí na řadu jednoduchých ploch e jejichž vlastní moment setrvačnosti jsou znám. Je-li c e vzdálenost těžišť jednotlivých ploch od os, potom platí: I ( I c ) = + e e e. (.9) e.. Transformace momentů setrvačnosti při pootočení souřadnic Uvažujme nový pootočený těžištní sstém os, který je pootočen proti směru hodinových ručiček vůči původnímu sstému o úhel α, viz obr... I = ( I + I ) + ( I I ) cos( α ) I sin( α ), (.0) z z z ( I + I z ) ( ) cos( α ) sin( α ) I I z I z ( I I ) sin( α ) I cos( α ) I = +, (.) I = +. (.) z z Pro jistou orientaci os a z je deviační moment setrvačnosti z roven nule. Při označení těchto souřadnic Y a Z, potom I Y a I Z se nazývají hlavními moment setrvačnosti průřezu a os Y a Z jsou hlavními osami. Poznámka: oment setrvačnosti rovinného obrazce k hlavním osám procházejícím těžištěm průřezu se nazývají hlavními centrálními moment setrvačnosti a příslušné os hlavními centrálními osami setrvačnosti. z z I Obr.. Kladný souřadný sstém a kladný směr pootáčení souřadnic..4 Poloměr setrvačnosti Poloměr setrvačnosti k ose i, resp. k ose z i z rovinného obrazce se určí pomocí momentů setrvačnosti k příslušným osám I, I z a ploch průřezu ze vztahů I I i =, i = z z. (.) - 8 (64) -

9 Přehled probrané látk potřebné pro další studium. Vnitřní síl a jejich průběh Obr..4 - Kladný sstém vnitřních sil Obr..5 Průběh vnitřních sil v rovině a příčinkové čár.4 Diferenciální podmínk rovnováh Obr..6 Diferenciální podmínk rovnováh Diferenciální podmínk rovnováh přímého prutu v rovině z, které platí mezi složkami vnitřních sil a vnějším spojitým zatížením nosníku, lze zapsat ve tvaru dn d dv d = n, = q, = V + m. (.4) d d - 9 (64) -

10 Teorie namáhání prutů V případě prostorově zatíženého přímého prutu, který je umístěn v pravotočivé soustavě souřadnic z, kde osa je totožná se střednicí prutu a os resp. z jsou centrálními osami setrvačnosti průřezu, tj. těžištní os průřezu, lze diferenciální podmínk rovnováh zapsat ve tvaru dn = n d dv = q d dvz = qz d dt = t d d = Vz. (.5) d d z = V d.5 Výslednice napětí Obr..7 Složk napětí Napětí působící v libovolném průřezu silově namáhaného prutu je občejně reprezentováno jejich výslednicemi, viz níže uvedená tabulka. Výslednice Osová síla N Ohbový moment kolem os Ohbový moment kolem os z z Příčná síla ve směru os V Definující rovnice N = σ d. (.6) = σ zd. (.7) = σ d. (.8) z V = τ d. (.9) Příčná síla ve směru os z V z z = zd Krouticí moment T T = ( z τ z) V τ. (.0) τ d. (.) Uvedené vztah vjadřují podmínk statické ekvivalence vnitřních sil v průřezu prutu. - 0 (64) -

11 Přehled probrané látk potřebné pro další studium.6 Základní případ namáhání prutu Chování prutu je ovlivněno průběhem vnitřních sil měnících se podél prutu. V obecném případě lze silové působení popsat průběh šesti vnitřních sil. V závislosti na působícím zatížení a uložení prutu mohou některé vnitřní síl namáhat prut výrazně více než ostatní vnitřní síl. Potom síl mající malý vliv na namáhání prutu mohou být zanedbán. V krajním případě lze namáhání prutu rozdělit na čtři základní případ namáhání, a to podle jediné převládající vnitřní síl. Podle povah působení lze namáhání prutu rozdělit na: prostý tah a tlak vznikající při působení normálové síl N, prostý smk vznikající při působení posouvající síl V, prostý ohb vznikající při působení ohbového momentu, prosté kroucení vzniká při působení kroutícího momentu T. Uvedené případ lze nazvat základními a jejich kombinací vznikají některé speciálně definované případ složeného namáhání. O těchto kombinacích bude pojednáno v modulu. - (64) -

12 Teorie namáhání prutů Tah a tlak. Napětí při osovém tahu a tlaku Prostý tah resp. tlak nastane u přímého prutu pouze tehd, kdž jedinou nenulovou složkou vnitřních sil prutu je normálová síla N, ted N 0 a všechn ostatní složk výslednice vnitřních sil jsou rovn nule. Je-li normálová síla N > 0, podle zavedené konvence se jedná o tah, v opačném případě je-li N < 0 o tlak. Obr.. Tažený prut a normálové napětí v prutu Vzhledem k smetrii soustav v určité vzdálenosti od místa přiloženého zatížení lze předpokládat:. že průřez se nekřiví, zůstávají rovinné a kolmé ke střednicové ose i po deformaci prutu (Bernoulliova hpotéza). že podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí. Z prvního předpokladu vplývá, že nedochází ke zkosení průřezu γ = γ z = 0 a ted smková napětí τ a τ z jsou rovna nule. V důsledku rovnoběžnosti jednotlivých průřezů lze popsat jejich podélné přemístění jedinou funkcí posunutí u(). Vzhledem k tomu, že průřez jsou rovinné, potom i poměrné deformace v každém bodě řezu jsou konstantní. Vlastnost materiálu prutu je popisována modulem pružnosti materiálu E. Vztah mezi napětím a deformací lze vjádřit pomocí fzikální rovnice σ = Eε, kde σ je normálové napětí a v tomto případě opět konstantní v průřezu. Na základě předpokladu, že podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí, je možné definovat, že normálová napětí σ a σ z, tj. napětí v rovinách kolmých k prutu se rovnají nule. Z výše uvedeného vplývá, že v případě prostého tlaku ze šesti složek vektoru napětí se uplatní pouze normálové napětí σ 0. Tento stav napjatosti bývá nazýván jednoosou (přímkovou) napjatostí. Napětí v průřezu prutu musí splňovat podmínk statické ekvivalence vnitřních sil. Podmínk, které obsahují smková napětí (jež jsou rovna nule), jsou splněn identick, neboť výslednice V = V z = T = 0. Zbývající tři rovnice, ve kterých se vsktuje normálové napětí, lze zapsat ve tvaru N = d = σ d = σ σ, zd = σ zd = = σ 0, - (64) -

13 Tah a tlak d = σ d = = σ 0. z Vzhledem k tomu, že statické moment U a U z k těžištním osám a z jsou rovn nule, potom ve výše uvedených rovnicích ohbové moment a z jsou taktéž rovn nule, neboť výraz zd a d v uvedených rovnicích představují statické moment k těžištním osám a z. Vztah pro výpočet normálového napětí σ v průřezu prutu v poloze lze určit z první rovnice N σ =. (.) Poznámk k výpočtu normálového napětí od ohbu Prut proměnného průřezu: V případě pozvolné změn průřezu platí a lze použít pro výpočet normálového napětí σ výše uvedené vztah. Vlastní rozdělení normálového napětí po průřezu se blíží konstantnímu rozdělení. Dochází však ke vzniku smkových napětí, která nenabývají velkých hodnot. Prut s náhlou změnou průřezu V případě náhlé změn průřezu (otvor, vrub, zúžení) již neplatí Bernoulliho předpoklad o zachování rovinnosti průřezu. V nejvíce oslabených místech je napětí rozděleno silně nerovnoměrně. Výpočet maimální hodnot napětí lze provést pomocí součinitele koncentrace napětí k (závisí na geometrii prvku) a oslabené ploch průřezu osl.. Přetvoření podélně namáhaného prutu Obr.. Protažení prutu - (64) -

14 Teorie namáhání prutů Funkce posunutí průřezu a její derivace Známe-li funkci posunutí průřezu u() tahem namáhaného nosníku, potom můžeme dopočítat jak deformace, tak i napětí v prutu, známe-li patřičné závislosti. Je důležité definovat vztah mezi funkcí posunutí u() a funkcemi poměrné deformace ε, ε a ε z. (γ =γ z = γ z = 0). Je-li v místě funkce posunutí u(), potom v místě +d je funkce u(+d) = u() + du(), viz obr... Délka původní elementární části prutu d se změní na d =d+du. Poměrná deformace d, d d + du d du ε = = =. (.) d d d Derivací funkce posunutí u() získáme poměrnou deformaci ε () = konst. Vzhledem ke vztahu σ = Eε můžeme pro proměnný průřez zapsat du d σ ( ) N( ) = ε = =. (.) E E( ) ( ) Tato rovnice se nazývá diferenciální rovnice taženého prutu. Integrací rovnice získáme rovnici pro výpočet posunutí N( ) u( ) = d + C, (.4) E( ) ( ) kde C je integrační konstanta, kterou lze určit z okrajových podmínek. V případě zatížení prutu stálého průřezu osovou silou N dochází k délkovému prodloužení všech jeho elementů d, což se projevuje posunutím jednotlivých průřezů. Relativní vzájemnou změnu poloh průřezů v souřadném sstému lze vjádřit takto σ N N( ) u( ) u( ) = ε d = d = d =. (.5) E E E Pro prut délk l, kde počátek prutu odpovídá souřadnici = 0 a konec prutu souřadnici =l, potom platí vztah vjadřující jeho celkové prodloužení, či zkrácení Nl l = u( ) u( ) =. (.6) E V tomto vztahu se výraz l d = (.7) E nazývá poddajnost prutu v tahu respektive v tlaku a inverzní hodnota k prutová tuhost prutu v tahu respektive v tlaku. E k =. (.8) l Tuhost prutu v tahu, resp.tlaku k lze definovat jako sílu potřebnou k protažení nebo zkrácení prutu o jednotkovou délku. Vraťme se opět k obrázku., ze kterého je patrné, že vlivem působící normálové síl nastane změna příčných rozměrů. - 4 (64) -

15 Tah a tlak Koeficient vjadřující poměr příčné deformace k podélné se nazývá součinitel příčné kontrakce, nebo také Poissonův součinitel ν. Ted platí ε ε z ν =, ν =. (.9) ε ε Příčné zkrácení ve svislém směru obdélníkového průřezu při tahu se dá včíslit ze vztahu σ Nh h = h h = h ε z = h ν = ν. (.0) E E Obdobně ve vodorovném směru σ Nb b = b b = b ε z = b ν = ν. (.) E E Je známo, že změna teplot vvolává změnu rozměrů těles. V případě, že se teplota změní v celém prutu stejně (rovnoměrné oteplení či ochlazení), potom celkové prodloužení prutu se dá vjádřit ze vztahu l l l = ε d = α Td = α Tl, (.) 0 T 0 T T kde, α T je součinitel teplotní roztažnosti materiálu a T rovnoměrná změna teplot.. Dimenzování prutu namáhaného prostým tahem a tlakem Posouzení konstrukcí se provádí na základě teorie mezních stavů, a to z hlediska mezních stavů únosnosti a z hlediska mezních stavů použitelnosti. U prutů namáhaných tahem resp. tlakem se provádí zejména posouzení na únosnost. Posouzení na použitelnost není ve většině případů nutné provádět, jelikož délkové změn prutů jsou zpravidla menší než maimální přípustné hodnot. V případě prutů namáhaných tlakovou silou je nutné při výpočtu předpokládat, že ztráta únosnosti je vvolána ztrátou stabilit, a proto je nutné tto prut posuzovat na vzpěr. Posouzení na prostý tlak bez zahrnutí vzpěru lze provést pouze u masivních relativně krátkých prutů. Posouzení spočívá v porovnání vpočtených napětí s přípustnými napětími popř. vpočtených normálových sil s normálovými silami na mezi únosnosti. Jedním z kritérií mezního stavu únosnosti je překročení pevnosti materiálu. V tomto případě je nutno posoudit (například u oceli) zda napětí nepřekračuje návrhovou pevnost materiálu. Hodnota návrhové pevnosti f d se určuje ze vztahu f d = f k /γ, (.) kde f k je charakteristická hodnota pevnostní veličin (meze kluzu f nebo pevnosti v tahu f u ) a γ je dílčí součinitel spolehlivosti materiálu. Například u dře- - 5 (64) -

16 Teorie namáhání prutů va se zavádí ještě součinitel zahrnující délku trvání zatížení a vlhkosti dřeva k mod, kterým se hodnota návrhové pevnosti obvkle snižuje. Z hlediska spolehlivosti při mezním stavu únosnosti musí být konstrukce navržena tak, ab bla splněna podmínka γ n S d Rd, (.4) kde S d je účinek etrémního návrhového zatížení, R d je návrhová únosnost a γ n je součinitel účelu konstrukce. Z hlediska lepšího pochopení bude návrh a posouzení jednotlivých prvků konstrukcí vcházet z hodnot napětí a ne, jak se převážně u stavebních konstrukcí provádí, z hodnot vnitřních sil (.4), a to ještě zjednodušeně. Návrh a posouzení taženého (tlačeného) prutu Při návrhu definujeme, z jakého materiálu bude konstrukce zhotovena a určíme minimální průřezovou plochu ze vztahu N min, (.5) f d kde f d je hodnota návrhové pevnosti v tahu (tlaku). Na základě získané minimální ploch min navrhneme praktick přípustné rozměr průřezu a provedeme posouzení. Při posouzení použijeme vztah Příklad: N σ = f d. (.6) Navrhněte průřez prutů konstrukce zvedáku (prut a ) umožňující zvedat břemeno P = 0 kn. Prut představuje ocelové táhlo kruhového průřezu a prut dřevěnou vzpěru čtvercového průřezu. Dále určete pro uvedené zatížení posuv bodu b. Obr.. Schéma jednoduché konstrukce Obr..4 Statické výpočtové schéma - 6 (64) -

17 Tah a tlak ateriálové vlastnosti konstrukce: Ocel f k = 5 Pa, γ =,5, E o =, 0 Pa = 0 GPa. Pro ocel návrhová pevnost f 5 fd = = = 04, Pa. γ,5 Dřevo rostlé (borovice, tříd SI) charakteristická pevnost v tlaku f c,0,k = 0 0 Pa, γ =,45, k mod = 0,8, E 0 = 0 Pa = 0 GPa. Potom návrhová pevnost dřeva v tlaku fc,0, k 0 fc, 0, d = kmod = 0,8 =,0 Pa. γ,45 Řešení: Statická určitost: Zavedení kloubu v místě uchcení a vchází z úvah, že ocelová tč přenáší účink pouze v tahu, ohbově je měkká a ted není schopna přenášet moment. Obdobně i v místě b. Dřevěná opěra v místě c je evidentně kloubově uložená. Tímto získáme statické schéma, viz obr..4, odpovídající jednoduché příhradovině. Statická určitost se určí např. 4 = 0. Konstrukce je statick určitá. Výpočet osových sil: S vužitím dvou podmínek rovnováh F ξ = 0 N sinα + P = 0, F η = 0 N sinα P cosα = 0 získáme osové síl N = P, P N =. sinα Po dosazení číselných hodnot P N = P = 40 kn, N = = 56,57 kn sinα a osová síla v závěsu N = P 40 kn. = Návrh průřezu prutu S vužitím návrhového vzorce tažená ocelová tč N σ f d = N 40 0 Obr..5 Vnitřní síl v prutech 4 = =,957 0 m = 95,79 mm. 6 f d 04, 0 πd 4 Kruhový průřez = d = =5,78 mm, 4 π Navrhneme d = 6 mm ( = 0,06 mm ). náv S - 7 (64) -

18 Teorie namáhání prutů Posouzení průřezu prutu σ = =,989 0 = 98,9 Pa < 04, Pa. 6 0,06 0 Návrh průřezu prutu N 56,57 0 = = 5,8 0 m = 58,7 mm. 6,0 0 f c,0, d Čtvercový průřez a = = 7,6 mm, a = 80 mm, s = 6400 mm, náv 56, σ = = 8, Pa <, Pa l Protože poměr 7, 7 < 0, lze zanedbat vzpěr u tlačeného dřevěného prutu. a Výpočet posunutí bodu b Obr..6 - Prodloužení prutů a Prodloužení prutu v závislosti na složkách posunutí Prodloužení prutu v závislosti na složkách posunutí Obr..7 Posunutí bodu b l = u l = u cosα u sinα z Řešením výše uvedených rovnic získáme složk posunutí u = l a u z = ( l cosα l ). sinα Nl l = = = 9,47 0 m = 0,947 mm, 6 E, 0 0,06 0 N l 56,57 0,44 l = = =,5 0 m = -,5 mm, 0 6 E Vodorovné posunutí u = 0,947 mm. u z =,74 mm. o sin 45 Svislé posunutí 0,947 (,5) = - 8 (64) -

19 Tah a tlak Obr..8 - Zobrazení plánu posunutí uzlu b v závislosti na prodloužení uzlů Celkové posunutí u u + u z = =,874 mm..4 Kontrolní otázk. Za jakých podmínek je prut namáhán prostým tahem nebo tlakem?. Jaké je rozdělení napětí po průřezu při namáhání prostým tahem nebo tlakem?. Na kterých veličinách závisí tuhost prutu v tahu, resp. v tlaku? - 9 (64) -

20 Prostý smk 4 Prostý smk 4. Napětí při prostém smku Prostý smk prutu je charakterizován tím, že v jeho libovolném průřezu působí pouze posouvající síla (ostatní složk vnitřních sil jsou nulové), což u reálných konstrukcí je případem zcela výjimečným. Z hlediska napjatosti v bodě, o prostém či čistém smku hovoříme tehd, kdž v tomto bodě proložíme tři navzájem kolmé rovin tak, ab na nich nepůsobila žádná složka normálových napětí, ale pouze složk smkových napětí. Obvkle vstačíme s rovinnou úlohou, kd je nenulová jen jedna z dvojic vzájemně si rovných smkových napětí. Při prostém (čistém) smku nevznikají podélné (objemové) deformace, ale tvarové deformace změna úhlů mezi rovinami zkosení, řídící se Hookovým zákonem. bchom získali v celém nosníku (viz. obr. 4.) pouze smkové napětí, je nutno tento nosník zatížit tečným zatížením na všech okrajích nosníku. Jedná se o rze teoretický případ zatížení. Obr. 4. Prostý nosník zatížený pouze smkovým zatížením Z momentové podmínk rovnováh např. k bodu b získáme R a l qlh + qhl = 0, že R = 0. Potom i R = 0 a H = 0. b a Posouvající síla a ohbový moment v průřezu je potom dán vztah V z ( ) = qh = V, z a h = ( ) = qh + q = 0. V tomto případě v příčných řezech nevznikají normálová napětí a ve všech bodech nosníku eistuje stav prostého (čistého) smku. Hodnota smkového napětí je dána vztahem V z z = τ, (4.) kde = bh je plocha průřezu. Napětí po průřezu je konstantní. S výše uvedeným způsobem zatížení se praktick u běžně zatížených nosníků nesetkáváme. V běžných případech se praktick vžd současně vsktuje - 0 (64) -

21 Prostý smk i normálové napětí, buď od tahu (tlaku), či ohbu. V případě ohýbaných prutů se jedná o smk za ohbu, u kterého se průběh smkového napětí po průřezu řídí jiným přesnějším vztahem. V důsledku smkového namáhání může u konstrukčních prvků dojít k porušení usmknutím (střihem). Ted hovoříme o namáhání na střih, při kterém se rozdělení napětí ve sledovaném průřezu počítá zjednodušeně podle vztahu (4.). Jde především o návrh a posouzení spojů u ocelových a dřevěných konstrukcí. U ocelových konstrukcí se uvedené teorie vužívá při návrhu a posouzení nýtovaných, šroubovaných a svařovaných spojů. Obdobně jako u ocelových konstrukcí se u dřevěných konstrukcí posuzují spoje zhlaví trámů, hmoždík, atd. i betonových a zděných konstrukcí. Zjednodušeně lze i posoudit únosnost smkově namáhaných zděných a betonových konstrukcí. Příklad: Obr Spojení prvků krovu Navrhněte a posuďte spojení prvků krovu, viz obr. 4.. Osová síla N = 60 kn a úhel α = 0 o. Dřevo použité na konstrukci je borovice. Návrhová pevnost pro smkové spoje při zatížení působícím ve směru vláken f v, k,4 f v, d = kmod = 0,8 =, Pa a návrhová pevnost v tlaku f c,0,d = γ,45, Pa. Postup řešení: Ze statických podmínek rovnováh získáme N = N cosα 5,96 kn. = V = N sinα = 0 kn. Konec vaznice je namáhán vodorovnou silou N = 5,96 kn. Délku definující oblast možného usmknutí určíme úpravou vztahu Obr Statické schéma Obr Plocha usmknutí - (64) -

22 Teorie namáhání prutů N N τ ma = = f v, d =, Pa. b odst N 5,96 0 Potom = bf v, d 0,, 0 navrhneme = 00 mm. 6 = 0,96 m 00 mm, Dále je nutno určit hloubku zářezu, tak ab nedošlo k vmáčknutí v místě vodorovného působení vzpěr. Nutnou plochu vzdorující otlačení určíme ze vztahu N N σ = f. f c,0, d otl otl c,0, d 5,96 0 Po číselném dosazení = otl 4,7 0 m = 470 mm. 6,0 0 Šířka průřezu je dána, potom hloubka zářezu otl 470 = = =,6 mm. b 00 Navrhneme = 0 mm. 4. Smkové deformace Při výpočtu řad prvků konstrukcí se velmi často setkáváme s případem rovinné napjatosti, kd na čtřech stranách pravoúhlého elementárního prvku působí pouze smkové napětí, viz obr Jak blo uvedeno výše, jedná se o prostý (čistý) smk v rovině. Sledujme deformaci prvku abcd, obr Protože na prvek nepůsobí normálové napětí, potom se prvek podél stran nemění. Z obrázku je patrno, že diagonála ac ve směru se prodlužuje a diagonála db ve směru se zkracuje. Potom se čtverec mění na kosočtverec. Obr. 4.5 Rovinný případ smku na elementárním prvku Obr. 4.6 Deformace elementárního prvku Deformace vznikající od prostého smku je tak charakterizovaná změnou úhlů. Lepší představu o deformaci prvku lze získat, kdž jednu ze stran prvku uch- - (64) -

23 Prostý smk tíme neposuvně, viz obr alý úhel γ = bab, o který je změněn původní pravý úhel je nazýván úhlem smku neboli relativním smkem. Platí vztah d tg γ =. (4.) d Pro malý úhel γ lze zapsat tg γ γ. Potom d γ =. (4.) d Pro úplnost uvedeme Hookeův zákona ve smku τ γ = nebo τ = Gγ, (4.4) G kde G je modul pružnosti ve smku. V případě izotropního materiálu je materiál popsán dvěmi konstantami E, ν, potom třetí materiálová konstanta G musí být kombinací těchto konstant. Na základě obecných vztahů mezi napětím a deformacemi, z geometrických vztahů, lze nalézt tuto závislost E G =. (4.5) ( +ν ) Dále uveďme vztah pro přemístění stran vzhledem k protilehlé od působení prostého smku. Označme plochu stěn d a výslednici smkové síl dv = τ d a vzdálenost mezi uvedenými stranami d, potom platí Obr. 4.7 Smkové deformace na prvku konečných rozměrů τ dvd d = γ d = d =. (4.6) G Gd Pro prvek konečných rozměrů, viz obr. 4.7, můžeme zapsat vztah Va s =, (4.7) G nazývaný Hookeův zákon pro absolutní smk. 4. Poznámka k dimenzování šroubových a nýtových spojů Podle počtu rovin, ve kterých je dřík šroubu (nýtu) namáhán smkem, se rozlišují spoje: a) jednostřižné, b) dvojstřižné, - (64) -

24 Teorie namáhání prutů c) vícestřižné. Návrh a posouzení šroubu. únosnost šroubu Při výpočtech se předpokládá, že všechn šroub se podílejí stejnou měrou na přenosu vnější působící síl F. Potom smková síla V b připadající na průřezovou plochu jednoho šroubu je F V b =, (4.8) nk kde k je počet šroubů a n je počet smkových rovin jednoho šroubu. Smkové napětí v dříku šroubu o průměru D b je rovno V b 4F τ b = =. (4.9) nkπd b b Je-li známa pevnost šroubu ve smku τ n, potom únosnost jednoho šroubu na smkovou sílu V d,b lze určit ze vztahu V d, b = nbτ n. (4.0). posouzení na otlačení Síl působící na dřík šroubu se přenášejí tlakem na stěn otvoru a opačně. Protože pevnost materiálu šroubu je vžd uvažována všší než pevnost spojovaného materiálu, je nutno posoudit tento materiál na otlačení. Pod otlačením si představujeme plastickou deformaci v místech kontaktu. Při výpočtech se nerovnoměrné rozdělení namáhání na otlačení nahrazuje rovnoměrným normálovým napětím působícím na náhradní ploše o = D o t, kde D o je průměr válcové oblasti kontaktu (lze uvažovat D o = D b ) a t je tloušťka plechu. Potom vztah pro výpočet napětí na otlačení má tvar F σ otl =, (4.) kd t b i kde Σt i je součet tlouštěk plechů (spojovacích materiálů), které jsou otlačován v jednom směru.. posouzení na tah v místě oslabeného průřezu Normálové napětí ve spojovacích prvcích se určuje v řezu, v místě oslabení otvor pro šroub. Toto napětí se určí ze vztahu F F σ osl = =, (4.) t osl ( b md ) b kde m je počet šroubových otvorů v řadě. Únosnost prvku v místě oslabení otvor je N u osl osl osl ( b md ) = σ = σ t. (4.4) V případě svarů se opět provádí posouzení na střih. Určuje se smková plocha a tímto odpovídající únosnost spoje. b - 4 (64) -

25 Prostý smk 4.4 Kontrolní otázk. Jakých hodnot dosahují normálová napětí při prostém smku?. Jaké je rozdělení smkových napětí na obdélníkovém průřezu při namáhání prostým smkem?. Vsvětlete, jaký je vztah mezi modulem pružnosti v tahu a ve smku? - 5 (64) -

26 Teorie namáhání prutů 5 Ohb nosníků 5. Napětí v ohýbaných nosnících 5.. Normálová napětí při ohbu Je-li prut příčně zatížen, vznikají v něm ohbové moment a obvkle také posouvající síl. Současně dochází také k jeho ohbu. Střednice prutu se křiví a má při rovinném ohbu tvar rovinné křivk, při prostorovém ohbu tvar prostorové křivk. Takovýto prut je velmi často nazýván ohýbaným nosníkem, zkráceně nosníkem. Obr. 5. Rovinnost průřezu při prostém ohbu V dalším tetu je pozornost soustředěna na rovinný ohb. V případě rovinného ohbu působící zatížení včetně reakcí leží v jedné z hlavních rovin prutu tj. rovin, které jsou určen centrálními osami průřezu a osou prutu nebo jsou k ní smetrické. Pro rovinný případ ohbu v rovině z platí N = V = 0 a = z = 0. (5.) Ještě jednoduší případ představuje prostý (čistý) ohb, kd posouvající síl V z = 0, a jedinou složkou působící v průřezu je ohbový moment, viz obr. 5., kde je vznačena oblast prostého ohbu. Obr. 5. Ohýbaný nosník s oblastí prostého (čistého) ohbu - 6 (64) -

27 Ohb nosníků Při odvození rovnic pro výpočet normálového napětí σ v průřezu předpokládáme, že v průřezech nosníku působí pouze ohbový moment a dále - podobně jako u osového namáhání - vcházíme ze dvou základních předpokladů:. průřez prutu rovinné a kolmé k ose prutu před deformací zůstávají rovinnými kolmými i po deformaci (Bernoulliho hpotéza),. podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí. Na základě předpokladu, že podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí, je možné definovat, že normálové napětí σ a σ z, tj. napětí v rovinách kolmých k prutu se rovnají nule. Na základě prvního předpokladu je zřejmé, že v případě prostého ohbu se příčné rovinné průřez pootáčí a zůstávají kolmé k ohnuté ose nosníku. ěříme-li vzdálenosti mezi dvěma analogickými bod libovolných průřezů na obrsu prutu, je zřejmé, že tto vzdálenosti se při zatěžování mění, viz obr. 5.. Horní vlákna se zkracují a spodní protahují. Lze najít vlákna, jejichž délka se při ohbu nemění. Skupina těchto vláken se nazývá neutrální vrstvou. Vlákna v této vrstvě před deformací leží v jedné rovině a po deformaci vtváří válcovou plochu. Přesto každý průřez je protínán neutrální vrstvou po přímce. Tato přímka se nazývá neutrální osa průřezu. Obr. 5. Ohb nosníku V případě rovinného ohbu je neutrální osa kolmá k rovině zatížení. Pro další odvození předpokládáme, že neutrální osa je ztotožněna s osou. Uvažujeme elementární prvek o délce d ohraničený příčnými řez m-m a n-n, viz obr. 5.. Na základě hpotéz o rovinnosti průřezů se po deformaci průřez pootočí o úhel dϕ. Úsečka B neutrální vrstv se zkřiví ve tvaru části kružnice B o poloměru r. Přímé vlákno CD ve vzdálenosti z od neutrální vrstv se mění v zakřivené C D s poloměrem křivosti r + z. Relativní prodloužení tohoto vlákna C, D, - CD ( r + z) dϕ d z ε = = =. (5.) CD d r Délka vláken neutrální vrstv před deformací a po deformaci od působení ohbového momentu se nemění. Takže úsečka B = d je stejně dlouhá jako část kružnice B = rdϕ. Ted d = rdϕ (5.) Po dosazení do rovnice (5.) obdržíme důležitý vztah z ε =. (5.4) r - 7 (64) -

28 Teorie namáhání prutů Z uvedeného vztahu je patrné, že podélná deformace ε je proporcionální vzdálenost vlákna od neutrální os, nebo jinak poměrná protažení probíhají lineárně po výšce průřezu. bchom odtud odvodili rozložení napětí, použijeme pro lineárně pružný materiál Hookův zákon. Dříve blo definováno, že σ = σ z = 0. Zbývající normálové napětí z σ = Eε = E. (5.5) r V této rovnici neznáme poloměr křivosti r. Vužijeme nní statické podmínk ekvivalence vnitřních sil v průřezu a to t, které obsahují normálové napětí, (.6) až (.8). Za zmíněné napětí dosadíme vztah (5.5). Potom E E N = σ d = zd = U = 0, r r E E = σ zd = z d = I, r r E E z = σ d = zd = I z = 0 r r (5.6) V první rovnici U představuje statický moment průřezové ploch k ose. Ten je roven nule, neboť osa prochází těžištěm. Osa je současně neutrální osou průřezu, na které σ = 0. Třetí rovnice je rovněž splněna, neboť deviační moment I z je roven nule, protože os a z jsou hlavními centrálními osami průřezu. Ze druhé rovnice získáme hledaný vztah mezi poloměrem křivosti a ohbovým momentem ve tvaru r = EI. (5.7) Po dosazení vztahu pro výpočet poloměru křivosti r do vztahu (5.5) pro výpočet normálového napětí σ se získáme konečný vztah pro výpočet normálového napětí ve tvaru σ = z. (5.8) I Z této rovnice vplývá, že průběh normálového napětí po výšce průřezu je lineární a etrémní hodnot vznikají ve vláknech nejvíce vzdálených od střednice prutu. Ze srovnání rovnice (5.8) a rovnice (5.5) vplývá, že průběh poměrných délkových deformací ε po výšce průřezu kopíruje průběh napětí σ dělený modulem pružnosti E. Zcela analogickým postupem jaký bl užit při odvození vztahů pro ohb v rovině z lze získat vztah pro výpočet napětí od ohbu v rovině. z σ =. (5.9) I z - 8 (64) -

29 Ohb nosníků Záporné znaménko odpovídá znaménkové konvenci podle obr Účinek kladného momentu z vvolává v první polorovině průřezu (při > 0) tlakové napětí. Obr. 5.4 Ohb nosníku a průběh napětí Uvedený vztah (5.8) (5.9) lze uplatnit v případě ohýbaných prutů, kd mimo ohbového momentu působí i posouvající síla. Přesto, že uvedené vztah se stávají přibližnými, chba ve výpočtu napětí a deformací u štíhlých prutů (l > 5h) není velká. U krátkých prutů a stěn chba může být již významná, viz obr Obr. 5.5 Průběh napětí v průřezu nosníku a stěn 5.. Návrh a posouzení ohýbaného nosníku Posuzujeme-li prut ohýbaný v rovině z, vcházíme z rovnice (5.8) nebo v rovině z rovnice (5.9). Etrémní napětí vznikají v krajních bodech průřezu a při ohbu v rovině z jsou rovna σ, σ = z, (5.0) I = z I kde z z jsou souřadnice krajních bodů průřezu od těžištní os nebo také od neutrální os. Uvedené vztah lze použít pro posouzení napětí v prutech od ohbu srovnáním s mezním (přípustným) napětím. Při návrhu použití vztahu (5.9) se jeví jako problematické, neboť v tomto vztahu vstupují dvě neznámé proměnné I a z. b návrh bl jednodušší, zavádí se veličina, kterou nazýváme průřezový modul a označujeme W. Průřezový modul je vjádřen jako poměr momentu setrvačnosti ke vzdálenosti od neutrální os do krajních vláken. Vzhledem k rovnicím (5.0) W I =, z W I = (5.) z - 9 (64) -

30 Teorie namáhání prutů Ted σ =, W σ =. (5.) W Rozměr průřezového modulu je L a u obecného průřezu rozlišujeme dva průřezové modul ke každé hlavní ose, vzorec (5.). Pokud je však průřez smetrický, jsou průřezové modul k oběma krajním vláknům shodné a není je třeba odlišovat inde. Pro obdélníkový průřez výšk h a šířk b se moment setrvačnosti k ose určí ze vztahu I = bh. Vzdálenost do krajních vláken ve svislém směru je h z = z =. Potom průřezový modul k ose, respektive z W bh 6 = W = W =, W hb 6 z = W z = W z =. (5.) Pro plný kruhový průřez o průměru d získáme průřezové modul stejným postupem. V tomto případě moment setrvačnosti I I π 4 64 d = z = a vzdálenosti d do krajních vláken z = z =. Potom W π d W = z =. (5.4) Vztah pro výpočet průřezových modulů jiných průřezů se dají odvodit analogick. Číselné hodnot průřezových modulů jsou tabelován stejným způsobem jako moment setrvačnosti. Tvar průřezu Průřezové modul W, W z W = Wz = bh 6 hb 6 W = W z π d = W = π = W z = 4 4 [ d ( d t) ] W = [ bh 6h b t h t ( )( ) ] w Wz = [t f b 6h + h t ( ) ] f t w f + Tab. 5. Průřezové modul jednoduchých obrazců - 0 (64) -

31 Ohb nosníků Dimenzování prutu namáhaného prostým ohbem Posouzení prutu namáhaného prostým ohbem v pružném oboru spočívá v porovnání vpočtených napětí s výpočtovými hodnotami pevnosti (f d ), popř. vpočtených ohbových momentů s ohbovými moment na mezi únosnosti. Nejprve včíslíme průřezový modul ze vztahů (5.). U homogenních průřezů rozhoduje vžd menší průřezový modul k uvažované ose ( W W ) W = min,. (5.5) Podle velikosti průřezového modulu dohledáme nebo vpočteme geometrické rozměr průřezu. Je-li třeba, tto veličin upravíme a zpětně dohledáme nebo včíslíme potřebné průřezové charakteristik a provedeme posouzení podle obecných vztahů (5.8) a (5.9) nebo praktičtěji podle vztahů (5.) s doplněním, že nebo σ f d (5.6), d, (5.7) kde,d je mezní moment, který je průřez prutu schopen přenést. Ve výpočtech se předpokládá, že nemůže dojít ke ztrátě stabilit v ohbu. Příklad: Navrhněte a posuďte jednotlivé průřez nosníku. Vkreslete průběh napětí v průřezech, dále etrémní napětí po délce nosníku. Nosník má být vroben z oceli tříd S5. Návrhová pevnost f d = 04, Pa. Nechť průřez - je tenkostěnná trubka a průřez B- B je I-profil. Postup řešení: Z obr. 5.6 je patrné, že musíme uvažovat úsek pro návrh a posouzení. První úsek pro od 0 po 0,8, druhý úsek pro od 0,8 po,6 a třetí úsek od,6 po, m. Úsek : V úseku působí moment = 0 knm, řez B-B (tažena horní vlákna). I-profil smetrie k ose, z (těžiště je v ose průřezu) Obr Geometrie konstrukce, průběh vnitřních sil a napětí - (64) -

32 Teorie namáhání prutů σ = f d, a = f d Wd Wh σ průřez je smetrický, potom Wd, h = = 4,894 0 m = 48,94 0 mm. 6 f d 04, 0 Dle Technického průvodce 5, str. 4 a 5 (I ČSN ) W d,k = W = 48,94 0 mm profil I0, W = 54,5 0 mm, I =,7 0 6 mm σ = z, 6,7 0 σ 0 =, ,06 = 8 0 Pa < 04, Pa, 0 σ =, ( 0,06) = 8 0 Pa < 04, Pa. Obr Průběh napětí po výšce Obr Průběh napětí po výšce průřezu I0 v úseku průřezu I0 v úseku Úsek : = 5 knm, (tažena dolní vlákna) I-profil smetrie k ose, z (těžiště je v ose průřezu) + 0 σ =, ,06 = + 9, σ = 6,7 0 Úsek : = 5 knm, řez -, (tažena dolní vlákna) σ = f, a = f d Wd Wh Pa = 9 Pa < 04, Pa, ( 0,06) = 9,7 0 Pa = - 9 Pa < 04, Pa. σ profil má průřez smetrický k ose, z, potom 5 0 W d, h = W = =, m =,45 0 mm. 6 R 04, 0 d Dle Technického průvodce 5, str. 5 až 58, má nejbližší průřezový modul trubka 76/8, W = 6,4 0 mm, I = mm 4. - (64) -

33 Ohb nosníků Napětí v horních vláknech σ = 0,08 = 90 0 Pa = 90 Pa < , Pa, v dolních vláknech σ = ( 0,08) = 90 0 Pa = = 90 Pa < 04, Pa , Napětí v bodech, (obr. 5.9) σ ± ( 0,00) = 9 = m 50 Pa. Obr Průběh napětí ve svislém řezu po výšce průřezu trubk v oblasti Na obr. 5.6 je dále zobrazeno normálové napětí v dolních a horních vláknech podél celé konzol. 5.. Smková napětí při ohbu masivní průřez V praktických případech není nosník namáhán pouze prostým ohbem, ale v příčných průřezech posouvajícími silami. V důsledku účinků posouvajících sil vznikají smková napětí. Velikost smkových napětí nelze odvodit z Bernoulliho hpotéz o rovinnosti průřezů, protože tento předpoklad vlučuje smkové deformace a z Hookeova zákona ve smku rovnice (4.4). Z tohoto důvodu se při odvozování smkových napětí při ohbu vchází z podmínk rovnováh a z vět o vzájemnosti smkových napětí (smková napětí ve vodorovném a svislém řezu jsou totožná), viz obr Nosník konstantního průřezu Je uvažován nosník stálého průřezu, který je smetrický podle rovin z. Základní přibližné předpoklad, ze kterých se při výpočtu vchází, formuloval Grashof: a) podél rovnoběžk s neutrální osou (podél přímk z = konst.) je svislá složka smkového napětí konstantní; τ z = konst. b) vektor výsledných smkových napětí podél této přímk vžd směřují do společného bodu P průsečíku tečen k obrsu průřezu. Obr. 5.0 Vzájemnost složek smkových napětí τ z a τ z. - (64) -

34 Teorie namáhání prutů Smková napětí na okraji průřezu musí mít směr tečn k obrsu při jakémkoli namáhání prutu, za předpokladu nezatížení povrchu tangenciálním zatížením. Obr. 5. K odvození smkových napětí v masivních průřezech Oba zavedené předpoklad jsou znázorněn na obr. 5.. Sledujme nní elementární úsek nosníku o délce d. Ohbový moment v řezu zprava je obecně odlišný od momentu v řezu zleva, takže jím vvolaná normálová napětí σ, jejichž lineární průběh po výšce se řídí rovnicí 5.9, jsou rovněž různá v obou řezech vzdálených navzájem o d. Uvolníme-li nní z mšleného elementu nosníku jeho spodní část omezenou rovinou z = konst., pak výslednice normálových napětí na obou protilehlých ploškách budou rovněž rozdílné: v průřezu je to N od, v souběžném průřezu +d pak N od + dn od, viz. obr. 5.. Označíme-li jako část ploch pod úsečkou B (tj. přímkou z = konst.), pak integrací napětí σ, daných vztahem (5.9) po této ploše dostáváme sílu N od a její diferenciál dn od ve tvaru dn od N od = σ d = σ d = zd = U od,, (5.8) I I od od dn d d U U od od, od, = = U od, d = d = Vz d. (5.9) d d I d I I Zde znamená U od, statický moment oddělené části průřezu k ose. Protože je průřez nosníku konstantní, uplatnila se derivace jen u ohbového momentu a podle Schwedlerov vět vede na posouvající sílu V z. od - 4 (64) -

35 Ohb nosníků d = Vz. (5.0) d Na vodorovné ploše BDC vtknuté vodorovným řezem o souřadnici z působí rovnoměrně rozdělená smková napětí τ z, jejichž výslednice je dq = τ b z ( z)d. (5.) Z podmínk rovnováh oddělené části ve směru ( N + dn ) = 0 dq N +. (5.) od Spojením rovnic (5.9) a (5.) získáme od od U dq =τ z b( z) d = dn = Vz d. (5.) I Smkového napětí τ z = τ z VzU τ z =τ z =, (5.4) I b ( z) kde V z je posouvající síla, U je statický moment oddělené části průřezu k těžišti celého průřezu, I je moment setrvačnosti celého průřezu a b(z) šířka průřezu v uvažovaném místě. Pro ilustraci je zde uvedeno odvození funkce popisující rozdělení smkového napětí po výšce obdélníkového průřezu s rozměr b a h. V průřezu působí smková síla V z, viz obr. 5.. Hledanou funkci smkového napětí získáme ze vztahu (5.4). Kde statický moment odříznuté ploch U v závislosti na souřadnici z určíme ze vztahu U ( h 4z ) h h b = b z + z =. (5.5) 8 Obr. 5. aimální smkové napětí u obdélníkového průřezu oment setrvačnosti obdélníku k jeho těžištní ose bh I =. Po dosazení výše uvedených vztahů do rovnice (5.4) obdržíme - 5 (64) -

36 Teorie namáhání prutů ( h 4z ) b V = z 8 V = z 4z V = z 4z τ z. (5.6) { bh h h bh b Smkové napětí probíhá po výšce podle kvadratické parabol. Na horním i spodním okraji pro z = h/ je smkové napětí nulové. aimální hodnotu má v úrovni neutrální os, os V V τ z, ma = =. (5.7) bh Z výše odvozeného vztahu vplývá, že smkové napětí odvozené na základě výše uvedených předpokladů převšuje v maimální hodnotě o 50% napětí při prostém smku. Příklad: Určete průběh smkových napětí ve stojině a pásnici smetrického průřezu T, viz obr. 5.. V průřezu působí příčná síla V z o velikosti kn. Postup řešení: Obr. 5. K příkladu T průřez zatížený silou V Nejprve včíslíme obvklým způsobem moment setrvačnosti k ose T průřezu. I = 60,5 mm 4. Dále zvolme pro výpočet a vkreslení průběhu smkových napětí následující významné bod. Rozdělení smkových napětí po výšce obdélníkového průřezu, jak blo ukázáno výše, viz (5.6), je parabola. Průřez se skládá ze dvou obdélníků, proto volíme bod až 5 na stojině a dále 6 a 7 na pásnici, viz. obr Výpočet provádíme pro jednotlivé úrovně (řez) vztahující se k jednotlivým bodům. ) Úroveň horního okraje pásnice - bod Napětí τ z = 0, protože U = 0. ) Úroveň dolního okraje pásnice - bod - 6 (64) -

37 Ohb nosníků Napětí τ z ( 9,405 ) 9 6 = =, ,7 0 Pa =, Pa. Obr. 5.4 Průběh smkových napětí na T průřezu ) Úroveň odpovídá řezu stojin těsně pod dolním okrajem pásnice - bod ( 9,405 ) Napětí τ z = = 4,75 0 Pa = 4,75 Pa. 0 86,7 0 Výpočet velikosti smkového napětí v těžišti T průřezu: 4) Úroveň odpovídá řezu stojinou v úrovni těžiště průřezu - bod 4 9, ( 9,405 ) + ( 9,405 4) 0 4 Napětí = τ z 0 86,7 0 = 5, Pa = 5,84 Pa. nebo z druhé stran ( 0 9,405) ,5 0 6 Napětí τ z = = 5,84 0 Pa = 5,84 Pa. 0 86,7 0 5) Úroveň dolního okraje profilu - bod 5 Napětí 5 τ z = 0, protože U = 0. 6) Svislý řez pásnicí v místě před stkem se stojinou - bod 6 a 6 ( 9,405 ) , τ z = = 6,6 0 Pa = 6,6 Pa. 0 86,7 0 Výpočet velikosti smkového napětí na okraji pásnice na její ose: 7) Svislé okraje pásnice - bod 7 a 7 Napětí 6 τ z = 0, protože U = 0. 9 = - 7 (64) -

38 Teorie namáhání prutů Průběh smkových napětí na pásnici i stojině zadaného T profilu je vkreslen na obr Smková napětí při ohbu v tenkostěnných nosnících Tenkostěnné nazýváme nosník (prut) tehd, je-li tloušťka t jednotlivých částí např. stojin t w nebo pásnice t f značně menší než rozměr průřezu jako celku (obr. 5.5). Často se uvádí poměr :0, přijatelné výsledk však získáme i při méně výrazných poměrech. Rozeznáváme pak prut otevřeného průřezu, jejichž střednice (čára půlící tloušťku) netvoří uzavřenou křivku např. tvaru U, I, T, C, Z apod. a uzavřeného průřezu - O, apod. V dalším výkladu se zaměříme především na nosník s otevřeným průřezem.. Smková napětí v tenkostěnných nosnících otevřeného průřezu Budeme vcházet ze základních předpokladů: a) Smková napětí jsou konstantní v řezu kolmo k dílčí stěně. b) Smková napětí jsou rovnoběžná s obrsem průřezu. Základní vzorec (5.4) přepíšeme takto: VzU od, z τ =, (5.8) I t kde t je tloušťka ve všetřovaném místě, U od, je statický moment ploch oddělené řezem kolmým na obrs průřezu. Označení τ napovídá, že jde o výsledné napětí v rovině kolmo k ose (na svislých částech je to τ z, na vodorovných τ ). Průběh smkových napětí v tenkostěnných otevřených profilech tvarů I, L a U je zobrazen na obr. 5.5 a 5.6. Obr. 5.5 Smkové napětí ve stojině a přírubách I profilu - 8 (64) -

39 Ohb nosníků Obr Smkové napětí v L a U profilu a střed smku B. Smková napětí v tenkostěnných nosnících uzavřeného průřezu U tenkostěnných nosníků uzavřeného průřezu je úloha určení smkového napětí statick neurčitá. K výpočtu je nutné definovat deformační podmínk. Výjimkou jsou jednokomůrkové nosník s osou smetrie, zatížené v této rovině. Smková napětí v této rovině jsou rovna nule a jejich průběh po výšce je stejný jako u průřezu otevřeného, který vznikl rozdělením uzavřeného průřezu na dvě polovin. Obr Smkové napětí v uzavřeném tenkostěnném profilu tvaru Na obrázku 5.7 je vkreslen průběh smkových napětí v uzavřeném tenkostěnném profilu. Povšimněte si podobnosti s průběhem smkových napětí v tenkostěnném otevřeném U profilu, viz. obr (64) -

40 Teorie namáhání prutů 5..5 Střed smku Z předpokladů, které bl uveden výše, a z rovnice (5.8) se dají včíslit u prutů otevřeného průřezu jednoznačně smková napětí od posouvající síl v libovolném místě. Jejich integrací podél jednotlivých stěn můžeme odvodit výsledné smkové síl Q, jež jsou statick ekvivalentní posouvající síle V z. á-li průřez dvě os smetrie, prochází výsledná síla těžištěm. Jinak tomu však je u nesmetrických průřezů, pokud rovina zatížení (budeme ji uvažovat svislou) není rovinou smetrie prutu. Tak např. u rovnoramenného úhelníku při orientaci podle obr. 5.6 není průřez smetrický vůči ose z. Výslednice smkových sil na obou přírubách Q f jsou shodné (a rovné V z / ) a protínají se v průsečíku os, tj. v bodě, takže výsledná posouvající síla neprochází těžištěm, ale tzv. středem smku, jímž musí proto též procházet rovina zatížení, pokud nemá být prut kroucen. Odvození poloh středu smku (středu ohbu) u obecného průřezu je součástí teorie kroucení tenkostěnných prutů otevřeného průřezu; v našem výkladu se omezíme jen na jednodušší průřez s jednou osou smetrie. Délk jednotlivých stěn budeme zjednodušeně zavádět jako délk střednic, což u tenkostěnných průřezů nevede k závažným nepřesnostem. ějme jednoose smetrický U-profil, viz obr Zavedeme-li pomocnou souřadnici s jako vzdálenost od volného konce přírub, je statický moment oddělené části U od, a smkové napětí pak podle rovnice (5.8) h0 U od, = t f s = t f hs, (5.9) VzU od, Vzh0 τ = = s. (5.0) I t I f Průběh napětí je lineární obr Výsledné smkové síl na přírubách získáme integrací Q f b b 0 b0 0 Vz h V z zt f b h 0 V h0 s 0 0 τ t f ds = t f s ds = t f = I I 4I. (5.) = Průběh smkových napětí na stojině odvodíme analogick jako u tenkého obdélníkového průřezu. Při zavedeném označení vjde [ 4t b h + t ( h z )] Vz τ = f 0 0 w 0 4. (5.) 8I t w Jeho výslednici nemusíme odvozovat integrací, neboť jediná svislá složka musí být shodná s posouvající silou: Q w = V z. Smkové síl na přírubách tvoří dvojici sil, jejíž momentový účinek je Q f h 0. Složíme-li ji se silou Q w = V z procházející osou stojin, obdržíme výslednou sílu V z odsunutou od stojin o vzdálenost Q f h t f b0 h0 a = 0 =. (5.) V 4I z - 40 (64) -

41 Ohb nosníků Touto vzdáleností je definována poloha středu smku ; leží na opačné straně od stojin než těžiště. Pokud nemá být prut kroucen, musí ted výslednice vnějších sil procházet tímto středem smku (středem ohbu), viz obr 5.8. Obr. 5.8 Střed smku ohb U průřezu Pro válcované ocelové nosník průřezu U, UE, UPE jsou poloh středu smku uveden ve Statických tabulkách. Vzhledem k tomu, že jejich dílčí stěn nemají tvar obdélníků (zaoblení koutů, příp. sklon hran), liší se poněkud od hodnot daných vzorcem (5.). U tenkostěnných nosníků uzavřeného průřezu je úloha určení smkového napětí statick neurčitá. K výpočtu je nutné definovat deformační podmínk. Výjimkou jsou jednokomůrkové nosník s osou smetrie, zatížené v této rovině. Smková napětí v této rovině jsou rovna nule a jejich průběh po výšce je stejný jako u průřezu otevřeného, který vznikl rozdělením uzavřeného průřezu na dvě polovin. Střed smku leží u těchto nosníků na ose smetrie průřezu. 5. Průhb ohýbaných nosníků a pootočení průřezů 5.. Diferenciální rovnice ohbové čár Přemístění ohýbaných nosníků je třeba zjišťovat z důvodu posouzení podle mezního stavu použitelnosti, tj. zda-li hodnot průhbu a pootočení průřezu jsou v požadovaných mezích. Dále výpočet posunutí a pootočení je nezbtný pro výpočet statick neurčitých konstrukcí. Obr. 5.9 Ohbová čára nosníku - 4 (64) -

42 Teorie namáhání prutů Je-li nosník (prut) dostatečně štíhlý, je jeho stav po deformaci určen tvarem ohbové čár, křivk do níž přejde původně přímá osa nosníku pod vlivem zatížení. ějme rovinnou úlohu, kd sledujeme posun os nosníku za ohbu. Osa nosníku pod vlivem zatížení ležícím v jedné z hlavních rovin setrvačnosti, např. v rovině z, se křiví ve stejné rovině, viz obr Funkci průhbu budeme označovat w. Hodnota této funkce je kladná, jestliže posunutí odpovídajícího bodu bude ve směru os z. Pootočení průřezu ϕ je úhel, o který se každý průřez potočí vzhledem ke své počáteční poloze. Úhel pootočení průřezu ϕ budeme předpokládat kladným, kdž toto pootočení bude ve směru od os k ose z. Vzhledem k tomu, že se jedná o úhl malých hodnot, lze předpokládat, že dw tgϕ =, (5.4) d potom s dostatečnou úrovní přesnosti lze říci, že úhel pootočení ϕ je ve sledovaném průřezu roven derivaci funkce průhbu w() podle souřadnice dw ϕ. (5.5) d Z fzikální představ o ohbu os nosníku je zřejmé, že ohbová čára musí být spojitá a hladká křivka. Požaduje se, ab po délce os nosníku bla funkce průhbu w() spojitá, včetně její derivace. Průhb a úhl pootočení jsou přemístěními průřezů nosníku. Deformace každé části nosníku je dána zkřivením ohýbané os, tj. křivostí. Vliv posouvajících sil na zakřivení tenkých prutů je malý. V obecném případě příčného ohbu, ted vužijeme rovnici (5.7) ve tvaru r ( ) = EI ( ) ( ). (5.7) Z kurzu všší matematik je znám výraz pro křivost rovinné čár ve tvaru r d w = ± d dw + d ( ), (5.8) kde r je poloměr křivosti v rovině z. Je nutno definovat, které znaménko bude pro uvedený případ souřadného sstému vhodné. V případě tažených dolních vláken, viz obr. 5.9, přijmeme znaménko mínus, protože křivost je záporná. Spojením rovnic (5.7) a (5.8) obdržíme d w d dw + d = EI ( ) ( ). (5.9) - 4 (64) -

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Normálová napětí v prutech namáhaných na ohb Základní vtah a předpoklad řešení Výpočet normálového napětí Dimenování nosníků namáhaných na ohb Složené

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Předpjatý beton Přednáška 9. Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování.

Předpjatý beton Přednáška 9. Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování. Předpjatý beton Přednáška 9 Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování. Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Analýza napjatosti namáhání předpjatých prvků Ohybový

Více

Sada 2 Dřevěné a ocelové konstrukce

Sada 2 Dřevěné a ocelové konstrukce Stř ední škola stavební Jihlava Sada 2 Dřevěné a ocelové konstrukce 20. Prostý ohb Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablon registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2

Více

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška Mezní stavy únosnosti - zásady výpočtu, předpoklady řešení. Navrhování ohýbaných železobetonových prvků - modelování, chování a způsob porušení. Dimenzování

Více

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016 Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 12 přednáška. Prvky namáhané kroutícím momentem Prvky z prostého betonu Řešení prvků při místním namáhání

Prvky betonových konstrukcí BL01 12 přednáška. Prvky namáhané kroutícím momentem Prvky z prostého betonu Řešení prvků při místním namáhání Prvky betonových konstrukcí BL01 12 přednáška Prvky namáhané kroutícím momentem Prvky z prostého betonu Řešení prvků při místním namáhání Prvky namáhané kroucením Typy kroucených prvků Prvky namáhané kroucením

Více

Šroubovaný přípoj konzoly na sloup

Šroubovaný přípoj konzoly na sloup Šroubovaný přípoj konzoly na sloup Připojení konzoly IPE 180 na sloup HEA 220 je realizováno šroubovým spojem přes čelní desku. Sloup má v místě přípoje vyztuženou stojinu plechy tloušťky 10mm. Pro sloup

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících

Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících Pružnost a plasticita,.ročník bakalářského studia Téma 7 Smková napětí v ohýbaných nosnících Základní vtah a předpoklad řešení Výpočet smkového napětí vbraných průřeů Dimenování nosníků namáhaných na smk

Více

SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ

SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ 2. cvičení SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Na spojování prvků ocelových konstrukcí se obvykle používají spoje šroubové (bez předpětí), spoje třecí a spoje svarové. Šroubové spoje Základní pojmy. Návrh spojovacího

Více

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ

Více

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti.

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti. Stěnové nosníky Stěnový nosník je plošný rovinný prvek uložený na podporách tak, že prvek je namáhán v jeho rovině. Porovnáme-li chování nosníků o výškách h = 0,25 l a h = l, při uvažování lineárně pružného

Více

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování:

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování: 5. cvičení Svarové spoje Obecně o svařování Svařování je technologický proces spojování kovů podmíněného vznikem meziatomových vazeb, a to za působení tepla nebo tepla a tlaku s případným použitím přídavného

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Rovinná napjatost a Mohrova kružnice

Rovinná napjatost a Mohrova kružnice Rovinná napjatost a ohrova kružnice Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

při postupném zatěžování opět rozlišujeme tři stádia (viz ohyb): stádium I prvek není porušen ohybovými ani smykovými trhlinami řešení jako homogenní

při postupném zatěžování opět rozlišujeme tři stádia (viz ohyb): stádium I prvek není porušen ohybovými ani smykovými trhlinami řešení jako homogenní při postupném zatěžování opět rozlišujeme tři stádia (viz ohyb): stádium I prvek není porušen ohybovými ani smykovými trhlinami řešení jako homogenní prvek, stádium II dříve vznikají trhliny ohybové a

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

K výsečovým souřadnicím

K výsečovým souřadnicím 3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové

Více

Rovinná a prostorová napjatost

Rovinná a prostorová napjatost Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových

Více

Řešený příklad: Prostě uložený nosník s mezilehlým příčným podepřením

Řešený příklad: Prostě uložený nosník s mezilehlým příčným podepřením Dokument č. SX003a-CZ-EU Strana 1 z 8 Eurokód :200 Řešený příklad: Prostě uložený nosník s mezilehlým příčným podepřením Tento příklad podrobně popisuje posouzení prostého nosníku s rovnoměrným zatížením.

Více

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice Vaznice bude přenášet pouze zatížení působící kolmo k rovině střechy. Přenos zatížení působícího rovnoběžně se střešní rovinou bude popsán v poslední

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

10.1. Spoje pomocí pera, klínu. hranolového tvaru (u klínů se skosením na jedné z ploch) kombinaci s jinými druhy spojů a uložení tak, aby

10.1. Spoje pomocí pera, klínu. hranolového tvaru (u klínů se skosením na jedné z ploch) kombinaci s jinými druhy spojů a uložení tak, aby Cvičení 10. - Spoje pro přenos kroutícího momentu z hřídele na náboj 1 Spoje pro přenos kroutícího momentu z hřídele na náboj Zahrnuje širokou škálu typů a konstrukcí. Slouží k přenosu kroutícího momentu

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 5. přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 5. přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 5. přednáška Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou. Chování a modelování prvků před a po vzniku trhlin, způsob porušení. Prvky bez smykové výztuže. Prvky se

Více

1.3.1 Výpočet vnitřních sil a reakcí pro nejnepříznivější kombinaci sil

1.3.1 Výpočet vnitřních sil a reakcí pro nejnepříznivější kombinaci sil OHYB NOSNÍKU - SVAŘOVANÝ PROFIL TVARU Ι SE ŠTÍHLOU STĚNOU (Posouzení podle ČSN 0-8) Poznámka: Dále psaný text je lze rozlišit podle tpu písma. Tpem písma Times Ne Roman normální nebo tučné jsou psané poznámk,

Více

Statika 1. Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 1. Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. reálných 3. přednáška Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 21. března 2016 Dřevěný trámový strop - Anežský klášter

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

1 Švédská proužková metoda (Pettersonova / Felleniova metoda; 1927)

1 Švédská proužková metoda (Pettersonova / Felleniova metoda; 1927) Teorie K sesuvu svahu dochází často podél tenké smykové plochy, která odděluje sesouvající se těleso sesuvu nad smykovou plochou od nepohybujícího se podkladu. Obecně lze říct, že v nesoudržných zeminách

Více

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ KONSTRUKČNÍ ZÁSADY, kotvení výztuže Minimální vnitřní průměr zakřivení prutu Průměr prutu Minimální průměr pro ohyby, háky a smyčky (pro pruty a dráty) φ 16 mm 4 φ φ > 16 mm 7 φ Minimální vnitřní průměr

Více

Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje)

Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje) Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje) Kolíky, klíny, pera, pojistné a stavěcí kroužky, drážkování, svěrné spoje, nalisování aj. Nýty, nýtování, příhradové ocelové konstrukce. Ovládací

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015 Použitá

Více

13. Zděné konstrukce. h min... nejmenší tloušťka prvku bez omítky

13. Zděné konstrukce. h min... nejmenší tloušťka prvku bez omítky 13. Zděné konstrukce Navrhování zděných konstrukcí Zděné konstrukce mají široké uplatnění v nejrůznějších oblastech stavebnictví. Mají dobrou pevnost, menší objemová hmotnost, dobrá tepelně izolační schopnost

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí

4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí 4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí 4.1 Statické systémy Tab. 4.1 Statické systémy podle namáhání Namáhání hlavního nosného systému Prostorové uspořádání Statický systém Schéma Charakteristické

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1 Použité značky a symboly

1 Použité značky a symboly 1 Použité značky a symboly A průřezová plocha stěny nebo pilíře A b úložná plocha soustředěného zatížení (osamělého břemene) A ef účinná průřezová plocha stěny (pilíře) A s průřezová plocha výztuže A s,req

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Sylabus přednášek OCELOVÉ KONSTRUKCE. Vzpěrná pevnost skutečného prutu. Obsah přednášky. Únosnost tlačeného prutu. Výsledky zkoušek tlačených prutů

Sylabus přednášek OCELOVÉ KONSTRUKCE. Vzpěrná pevnost skutečného prutu. Obsah přednášky. Únosnost tlačeného prutu. Výsledky zkoušek tlačených prutů Sylabus přednášek OCELOVÉ KONSTRUKCE Studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ pro bakalářské studium Kód předmětu: K134OK1 4 kredity (2 + 2), zápočet, zkouška Pro. Ing. František ald, CSc., místnost B 632

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Vnitřní síly na nosnících Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW:

Více

15. ŽB TRÁMOVÉ STROPY

15. ŽB TRÁMOVÉ STROPY 15. ŽB TRÁMOVÉ STROPY Samostatné Společně s deskou trámového stropu Zásady vyztužování h = l/10 až l/20 b = h/2 až h/3 V každém rohu průřezu musí být jedna vyztužená ploška Nosnou výztuž tvoří 3-5 vložek

Více

Smyková napětí v ohýbaných nosnících

Smyková napětí v ohýbaných nosnících Pružnost a plasticita, 2.ročník kominovaného studia Smková napětí v ohýaných nosnících Základní vtah a předpoklad řešení ýpočet smkového napětí odélníkového průřeu Dimenování nosníků namáhaných na smk

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Návrh a posouzení plošného základu podle mezního stavu porušení ULS dle ČSN EN 1997-1

Návrh a posouzení plošného základu podle mezního stavu porušení ULS dle ČSN EN 1997-1 Návrh a posouzení plošného základu podle mezního stavu porušení ULS dle ČSN EN 1997-1 1. Návrhové hodnoty účinků zatížení Účinky zatížení v mezním stavu porušení ((STR) a (GEO) jsou dány návrhovou kombinací

Více

Obsah: 1. Technická zpráva ke statickému výpočtu 2. Seznam použité literatury 3. Návrh a posouzení monolitického věnce nad okenním otvorem

Obsah: 1. Technická zpráva ke statickému výpočtu 2. Seznam použité literatury 3. Návrh a posouzení monolitického věnce nad okenním otvorem Stavba: Stavební úpravy skladovací haly v areálu firmy Strana: 1 Obsah: PROSTAB 1. Technická zpráva ke statickému výpočtu 2 2. Seznam použité literatury 2 3. Návrh a posouzení monolitického věnce nad okenním

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace

Více

Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška

Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška Prvky betonových konstrukcí BL01 11 přednáška Mezní stavy použitelnosti (MSP) Použitelnost a trvanlivost Obecně Kombinace zatížení pro MSP Stádia působení ŽB prvků Mezní stav omezení napětí Mezní stav

Více

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Petr Frantík Obsah 1 Vytvoření modelu 2 2 Styčníkové vektory modelu

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Témata profilové části ústní maturitní zkoušky z odborných předmětů

Témata profilové části ústní maturitní zkoušky z odborných předmětů Střední průmyslová škola stavební, Liberec 1, Sokolovské náměstí 14, příspěvková organizace Témata profilové části ústní maturitní zkoušky z odborných předmětů Stavební konstrukce Adresa.: Střední průmyslová

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

3. Tenkostěnné za studena tvarované OK Výroba, zvláštnosti návrhu, základní případy namáhání, spoje, přístup podle Eurokódu.

3. Tenkostěnné za studena tvarované OK Výroba, zvláštnosti návrhu, základní případy namáhání, spoje, přístup podle Eurokódu. 3. Tenkostěnné za studena tvarované O Výroba, zvláštnosti návrhu, základní případy namáhání, spoje, přístup podle Eurokódu. Tloušťka plechu 0,45-15 mm (ČSN EN 1993-1-3, 2007) Profily: otevřené uzavřené

Více

Uplatnění prostého betonu

Uplatnění prostého betonu Prostý beton -Uplatnění prostého betonu - Charakteristické pevnosti - Mezní únosnost v tlaku - Smyková únosnost - Obdélníkový průřez -Konstrukční ustanovení - Základová patka -Příklad Uplatnění prostého

Více

BO04 KOVOVÉ KONSTRUKCE I

BO04 KOVOVÉ KONSTRUKCE I BO04 KOVOVÉ KONSTRUKCE I PODKLADY DO CVIČENÍ Tento materiál slouží výhradně jako pomůcka do cvičení a v žádném případě objemem ani typem informací nenahrazuje náplň přednášek. Obsah VNITŘNÍ SÍLY PRÍHRADOVÉ

Více

Betonové konstrukce (S)

Betonové konstrukce (S) Betonové konstrukce (S) Přednáška 10 Obsah Navrhování betonových konstrukcí na účinky požáru Tabulkové údaje - nosníky Tabulkové údaje - desky Tabulkové údaje - sloupy (metoda A, metoda B, štíhlé sloupy

Více

BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1. Dimenzování - Deska

BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1. Dimenzování - Deska BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1 Dimenzování - Deska Dimenzování - Deska Postup ve statickém výpočtu (pro BEK1): 1. Nakreslit navrhovaný průřez 2. Určit charakteristické hodnoty betonu 3. Určit charakteristické

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více