Základy matematickej štatistiky. Matematická štatistika p. 1/75

Transkript

1 Základy matematickej štatistiky Matematická štatistika p. 1/75

2 1. Úvod do teórie pravdepodobnosti Matematická štatistika p. 2/75

3 Náhodné udalosti Uvažujme pokus, výsledok ktorého závisí od náhode Elementárny jav je jednotlivý výsledok pokusu Priestor elementárnych Å javov je množina všetkých elementárnych udalostí Náhodné javy sú l ubovol né Å podmnožiny Istý jav je jav čo nastane vždy Nemožný jav je jav čo nenastane nikdy Náhodné javy sú množiny µ Ì Ë Ò Matematická štatistika p. 3/75

4 Pravdepodobnost javu je číselné vyjadrenie miery Pravdepodobnost È jeho náhodnosti. Existujú rôzne spôsoby definovania pravdepodobnosti (geometricky, štatisticky, axiomaticky, klasicky,... ) Klasická definícia pravdepodobnosti Elementárne udalosti sú nedelitel né a vzájomne sa vylučujúce Elementárne udalosti sú rovnako možné Pre Å ½ ¾ Ò platí pre každú dvojicu rôznych indexov a a È ½ Ò Matematická štatistika p. 4/75

5 Vlastnosti pravdepodobnosti Pravdepodobnost je funkcia (náhodného javu) s nasledujúcimi vlastnost ami (nezávislými od definície): 1. ¼ È ½ 2. ÈÅ ½ 3. È ½ ¾ Ò È ½ È ¾ È Ò, ak Ďalšie vlastnosti sa z nich dajú odvodit, napr. 1. È ½ È È ¼ 2. È Ò È È 3. È È È È Matematická štatistika p. 5/75

6 È È Nezávislost a podmienená pravdepodobnost Nezávislost náhodných javov je jeden z najdôležitejších pojmov v pravdepodobnosti a štatistike a znamená, že sa dva javy navzájom neovplyvňujú Dva náhodné javy sa nazývajú nezávislé ak È ÈÈ Ovplyvnenie jedného náhodného javu iným určuje podmienená pravdepodobnost Pravdepodobnost javu za podmienky, že jav určite nastane sa označuje È a platí È Matematická štatistika p. 6/75

7 µ Ü Náhodná veličina Matematicky je výhodné náhodné javy nahradit (náhodnými) číselnými hodnotami Náhodná ( veličina ) je zobrazenie (funkcia), ktorá každému elementárnemu javu priradí číselnú hodnotu: Matematická štatistika p. 7/75

8 Distribučná funkcia náhodnej veličiny Pre presné určenie náhodnej veličiny potrebujeme okrem Ü hodnôt aj pravdepodobnosti, s ktorými sú tieto hodnoty nadobúdané Distribučná funkcia ܵ ܵ náhodnej veličiny je funkcia È Üµ Ü ¾ Ê Ü, Vlastnosti distribučnej funkcie: ÐÑ 1. ܵ ¼ ÐÑ Ü ½ ܵ ½ Ü ½ ܵ 2. je neklesajúca funkcia 3. ܵ je v každom bode Ü zl ava spojitá funkcia, t.j. ÐÑ ÞÜ Þµ ܵ Matematická štatistika p. 8/75

9 Distribučná funkcia náhodnej veličiny Ďalšie potrebné vzt ahy: È Ü ÐÑ 1. ÞÜ È Ü ÐÑ 2. ÞÜ Þµ 3. È µ µ Þµ ܵ È µ ÐÑ 4. Þ È ÐÑ 5. Þ È ÐÑ 6. Þ Þµ Þµ Þµ ÐÑ Þ µ Þµ Matematická štatistika p. 9/75

10 Typy náhodných veličín Podl a nadobúdaných hodnôt sa náhodné veličiny najčastejšie delia na: diskrétne náhodné veličiny nadobúdajúce konečný alebo spočítatel ný počet hodnôt zadaných tabul kou alebo vzorcom spojité náhodné veličiny nadobúdajúce hodnoty z nejakého intervalu zadávaných obyčajne hustotou rozdelenia, nezápornou Ô funkciou ܵ Matematická štatistika p. 10/75

11 È Ü µ µ Hustota rozdelenia spojitej náhodnej veličiny Náhodná veličina sa nazýva spojitou, ak existuje nezáporná funkcia Ô Üµ Ô Üµ taká, že ܵ ÜÊ Užitočné vzt ahy: 1. Ô Üµ ¼ ܵ Ô ØµØ ½ 2. ½ Ê Ô ØµØ ½ ½ 3. È Ü È Ü È Ü Matematická štatistika p. 11/75

12 Číselné charakteristiky náhodných veličín Popisujú niektoré základné vlastnosti náhodných veličín a sú l ahko dostupné Najpoužívanejšie charakteristiky sú: Stredná hodnota náhodnej veličiny je číslo, z okolia ktorého nadobúda najpravdepodobnejšie svoje hodnoty Rozptyl náhodnej veličiny je číslo, ktoré určuje mieru rozptýlenosti hodnôt veličiny okolo, odmocnina z rozptylu je smerodajná odchýlka Koeficient ± korelácie ± určuje vzájomný lineárny vzt ah dvoch náhodných veličín a Matematická štatistika p. 12/75

13 ½ È ½ ½ È ½ Ü Ô µ ¾ Ê ½ Definície strednej hodnoty a rozptylu diskrétna n. v. spojitá n. v. Ô È Ü Ô Üµ je hustota rozdelenia ½ ÜÔ ÜµÜ ½ È ½ Ü µ ¾ Ô ½ Ê Ü µ ¾ Ô ÜµÜ ½ Ak ܵ je funkcia a je náhodná veličina, tak µ je tiež náhodná veličina a platí Ü µô, resp. ½ Ê ÜµÔ ÜµÜ ½ Matematická štatistika p. 13/75

14 µ ¾ ¾ ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò ¾ Ò Základné vlastnosti strednej hodnoty a rozptylu Pre l ubovol nú náhodnú veličinu s Ñ, ¾ a reálne čísla, platí Štandardizácia n. v.: Ñ ¼, ½ Pre l ubovol né náhodné veličiny, ½ ¾ Ò platí µ Ñ ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò Ak sú nezávislé, platí ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò Ak naviac Ñ, ¾ a ½ ¾ Ò Ò, tak Ñ Matematická štatistika p. 14/75

15 µ µµ Ô Definícia a základné vlastnosti korelačného koeficientu Koeficient korelácie ± dvoch n. v. a sa definuje vzt ahom Základné vlastnosti: ± 1. ± ½, ± ½ 2. Ak, tak ± ±. T.j. lineárna transformácia nemení korelačný koeficient Matematická štatistika p. 15/75

16 Ô Ô ½ Ôµ Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Alternatívne rozdelenie Parametre a Ô ¾ ¼ ½µ vzorec ½ Ô È ¼ ½ Ô È Použitie Ak má iba dva výsledky: jav bud nastane (s pravdepodobnost ou Ô) alebo nenastane (s pravdepodobnost ou ½ Ô) Charakteristiky Matematická štatistika p. 16/75

17 Ò ½ ÒÔ ÒÔ ½ Ôµ Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Binomické rozdelenie Parametre a Ô ¾ ¼ ½µ vzorec È Ò Použitie Pre Ò nezávislých rovnakých pokusov, v ktorých jav nastane s pravdepodobnost ou Ô, n. v. určuje počet výskytov javu v týchto Ò pokusoch Charakteristiky Ô ½ Ôµ Ò ¼ ½ Ò Matematická štatistika p. 17/75

18 Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Binomické rozdelenie pravdepodobnosti Ô ¼º ¼º½ Ò ½ Ô ¼¾ Ò ¼ Ô ¼ ¼º½¾ ¼º ¼º¼ ¼º¾ ¼º¼ ¼º½ ¼º¼ ¼ ¼ ¼ ½¾ ½ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ Matematická štatistika p. 18/75

19 Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Poissonovo rozdelenie Parametre a ¼ vzorec È Ø Øµ ¼ Ø e Ø ¼ ½ Použitie Pre sledovanie počtu výskytov javu za čas Ø (počet porúch, obslúh,... ) Charakteristiky Ø Ø Relácie Poissonovo rozdelenie môže nahradit binomické ak Ò ½, Ô ½ a ÒÔ Matematická štatistika p. 19/75

20 Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti Ô ¼º¾ ¼º¾ Ø Ø ½¼ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ Matematická štatistika p. 20/75

21 ¼ ak Ü ¾ Á ½ ܵ ak Ü ¼ Ü Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Rovnomerné rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Á Interval Ô Üµ ak Ü ¾ Á Použitie Generátor náhodných čísel Charakteristiky µ¾ ½¾ ¾ ak Ü ¾ Á ½ ak Ü Matematická štatistika p. 21/75

22 ½ Æ ¾ Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Exponenciálne rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Æ ¼ Ô Üµ ¼ ak Ü ¼ Æe ÆÜ ak Ü ¼ Použitie Vyjadruje dobu medzi dvoma výskytmi javu (dobu životnosti, dobu obsluhy,... ) Charakteristiky ½ Æ Üµ ¼ ak Ü ¼ e ÆÜ ak Ü ¼ ½ Matematická štatistika p. 22/75

23 Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Exponenciálne rozdelenie hustota rozdelenia ¾ ½º ½ Æ ¾ ¼º Æ ½ Æ ¼ ¼ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 23/75

24 ܵ ¾ ¾ Ø Æ ¼ ½µ ¼ ½ ܵ ܵ Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Normálne rozdelenie Parametre a hustota Ñ ¾ Ê rozdelenia ¼µ ¾ ¾ Ô Üµ Ô e Ü Ñµ ¾ ¾ ½ ¾ Použitie Vyjadruje chybu pri meraní, výšku l udí,... Charakteristiky Ñ ¾, (zápis: Æ Ñ ¾ µ) Ü Ñ Ñµ¾ Ê Ô ¾ e Ø Ô ½ ¾ e ¾ Ü Ñ ¾ ÜÊ ½ µ Štandardné normálne rozdelenie (tabelované) ½ ½ Matematická štatistika p. 24/75

25 Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Normálne rozdelenie hustota rozdelenia ¼º ½ Ñ ¼ ¼º Ñ ¼ Ñ ¼ Ñ ¾ ¼º ½ ¼º¾ ¾ ¼ ¹ ¹¾ ¼ ¾ ¹ ¹¾ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 25/75

26 Tabul ka hodnôt ܵ distribučnej funkcie Æ ¼ ½µ ¼ ½µ Æ Matematická štatistika p. 26/75

27 2. Úvod do matematickej štatistiky Matematická štatistika p. 27/75

28 Úvod V matematickej štatistike skúmame vlastnosti hromadných náhodných javov na základe empirických údajov Základným nástrojom na zist ovanie informácií o náhodných javoch je teória pravdepodobnosti Otázky kladené štatistikou: 1. Aká náhodná veličina je použitá v dátach a aké sú jej parametre? (Odhadnime jej typ rozdelenia aj jeho parametre, ktoré nepoznáme!) 2. Aké údaje máme k dispozícii? (Urobme meranie, či experiment a zaregistrujme hodnoty!) 3. Ako analyzujeme a interpretujeme namerané údaje? (Použime teóriu 1. na prax 2.!) Matematická štatistika p. 28/75

29 Náhodný výber a štatistický súbor Náhodný výber (so základného súboru) rozsahom Ò je postupnost nezávislých náhodných veličín ¾ Ò ½ s rovnakým rozdelením (s distribučnou funkciou ܵ) Štatistický súbor chápeme bud ako súbor objektov alebo ako súbor dát, teda realizáciu náhodného výberu Základný súbor objektov alebo dát je potom množina všetkých možných objektov alebo hodnôt, ktoré dáta nadobúdajú Matematická štatistika p. 29/75

30 Ý ½ Ý ¾ Ý ½ Ý ½½ Ý ½¾ Ý ½ Ò Ý Ò½ Ý Ò¾ Ý Ò Zápis merania a jeho analýza Štatistické tabul ky Prvotná tabul ka Zobrazenie všetkých meraní a nameraných hodnôt jednotlivých Ý premenných Ý ¾ Ý Ò ½... Ý ¾½ Ý ¾¾ Ý ¾ ¾.... Matematická štatistika p. 30/75

31 Zápis merania a jeho analýza Štatistické tabul ky Frekvenčná tabul ka Rozdelenie nameraných hodnôt jednej premennej do klasifikačných tried ¾ Ñ ½ Triedy ¾ Ñ ½ Ò Početnosti Ò ¾ Ò Ñ ½ Ciel Získat prehl adnú tabul ku o rozdelení nameraných hodnôt a pripravit dáta pre niektoré špeciálne štatistické metódy Matematická štatistika p. 31/75

32 Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Výberové charakteristiky Ì (štatistiky) chápeme bud ako funkcie náhodných veličín ¾ Ò ½ Ì Ì ½ ¾ Ò µ alebo ako funkcie ich hodnôt Ü ½ Ü ¾ Ü Ò získaných realizáciou náhodného výberu Ì Ì Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ V prvom prípade Ì chápeme ako náhodnú veličinu (teoretická interpretácia), v druhom prípade ako číslo (praktická interpretácia) Matematická štatistika p. 32/75

33 ½ Ò Výberový rozptyl Ë ¾ Ë ¾ Ò ½ ½ ÒÈ ÑÈ Ò Ü Ò Ü µ ¾ Ò Ý Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Základné štatistiky Štatistika Prvotná tabul ka Frekvenčná tabul ka Výberový priemer ÒÈ ÑÈ ½ Ü ½ Ò ½ Výberový koeficient korelácie Ö ÒÈ ½ Ü µ Ý µ ÑÈ ½ Ò Ü µ Ý µ Ò ½ ½ ½ Ü µ ¾ Ë ¾ Ò ½ Ò Ö Ò È Ü µ ¾ Ò Ö È Ý µ ¾ ½ ½ Ñ È Ò Ü µ ¾ Ñ È µ ¾ ½ ½ Matematická štatistika p. 33/75

34 Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Základné štatistiky Pre analýzu rozdelenia, rozptýlenosti hodnôt: Výberový dolný kvartil je hodnota, vl avo od ktorej sa nachádza 25% všetkých údajov Výberový medián je hodnota, vl avo (ale aj vpravo) od ktorej sa nachádza 50% všetkých údajov Výberový horný kvartil je hodnota, vl avo od ktorej sa nachádza 75% všetkých údajov Matematická štatistika p. 34/75

35 Ò Ò Ò Ò ¾ Ò Ò ½ Ò ½ ¾ Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná grafická analýza Histogram je graf zodpovedajúci frekvenčnej tabul ke, ktorý obdĺžnikmi zázorňuje početnosti v jednotlivých triedach Matematická štatistika p. 35/75

36 Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná grafická analýza Graf empirickej distribučnej funkcie ܵ, ktorá je definovaná vzt ahom ܵ ½ Ò Æ Ü Ü ½ ¼º ¼º ¼º ¼º¾ ¼ Matematická štatistika p. 36/75 ¼ ¾

37 ¾ Òµ Ò ¾ Òµ Ò ¾ µ Základné štatistické rozdelenia Normálne rozdelenie skutočný základ Nech ¾ Ò Ò ½ ½ sú nezávislé náhodné veličiny s rozdelením Æ ¼ ½µ. Hovoríme, že rozdelenie s Ò stupňami vol nosti má náhodná veličina ¾ (píšeme ¾ Òµ), ak ¾ ¾ ¾ ¾ Ò ½ Studentovo Ø-rozdelenie s Ò stupňami vol nosti má náhodná veličina (píšeme Ø Òµ), ak Ò ½ Õ Fisherovo -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti má náhodná veličina (píšeme Ò µ), ak, pričom náhodné veličiny ¾ Òµ a ¾ µ sú nezávislé Matematická štatistika p. 37/75

38 Grafy štatistických rozdelení ¾ rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò ¼º¾ Ò ¼º½ Ò ½¼ ¼º½ Ò ¾¼ ¼º¼ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ Matematická štatistika p. 38/75

39 Grafy štatistických rozdelení Studentovo Ø-rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò ¼º Æ ¼ ½µ ¼º ¼º¾ Ò ¾ ¼º½ Ò ¾¼ Ò ¼ Pre vel ké Ò je Ø Òµ Æ ¼ ½µ ¹ ¹¾ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 39/75

40 Ò ½¼ Ò Ò ½¼ Ò Grafy štatistických rozdelení Fisherovo rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò a ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º Ò ¾¼ Ò ¾¼ ¼º¾ ¼º¾ ¼ ¼ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ Matematická štatistika p. 40/75

41 Æ ¼ ½µ Ü Æ Ù Æ ¾ Òµ Ü Æ ¾ Æ Òµ Ø Òµ Ü Æ Ø Æ Òµ Kvantily štatistických rozdelení Kvantilom Æ úrovne náhodnej veličiny nazývame Ü číslo Æ, pre ktoré Ü platí µ È Ü Æ Æ Æ ¼ Æ ½ Zrejme Ü a ½ Ƶ Æ Označenie: Ò µ Ü Æ Æ Ò µ Ak má symetrické rozdelenie (ak jeho hustota rozdelenia je párna funkcia), tak Ü ½ Æ Ü Æ Normálne rozdelenie aj Studentovo Ø-rozdelenie sú symetrické Matematická štatistika p. 41/75

42 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò stupňami vol nosti ¾ Æ Òµ ¾ Æ Ò Matematická štatistika p. 42/75

43 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení Ø-rozdelenie s Ò stupňami vol nosti Æ Òµ Æ Ø Ò Matematická štatistika p. 43/75

44 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò Matematická štatistika p. 44/75

45 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò Matematická štatistika p. 45/75

46 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò Matematická štatistika p. 46/75

47 Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò Matematická štatistika p. 47/75

48 Ô Ò Æ ¼ ½µ Ë ¾ ½ Základná veta matematickej štatistiky Nech Ü ½ Ü ¾ Ü Ò je náhodný výber zo základného súboru s Æ Ñ rozdelením µ a nech je jeho výberový priemer a Ë ¾ ¾ ½ Ò jeho výberový rozptyl. Potom náhodné veličiny a Ë ¾ Ò ½ sú nezávislé a µ, Ñ ¾ Ò ½ Ò ¾ Ë ¾ Ò ½ ½µ. ¾ Ò Æ Dôležité dôsledky: 1. Ñ 2. ÑÔ Ò Ø Ò ½µ ½ Ò Ë 3. Ak Ý ½ Ý ¾ Ý Ñ je náhodný výber zo základného súboru s rozdelením Æ Ñ ¾ ¾ µ nazávislý od náhodného výberu Ü s výberovým rozptylom Ë ¾ ½, tak ˾ Ò ½ Ò ½ ½µ Matematická štatistika p. 48/75

49 3. Odhady a hypotézy Matematická štatistika p. 49/75

50 Bodové odhady parametrov rozdelení Odhadom parametra rozdelenia ܵ s ¾ nazývame takú štatistiku Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ náhodného výberu ½ Ü ¾ Ü Ò, pre ktorú ¾ Ü Vlastnosti odhadov Nestrannost Efektívnost pre všetky nestranné odhady Ñ Odhady a Ak ¾ Ñ, resp. ¾, tak výberový priemer, resp. výberový rozptyl Ë ¾ Ò ½ sú nestranné odhady Ñ, resp. ¾ Parametre normálneho rozdelenia nemajú efektívne odhady, iného rozdelenia však áno, napr. pre Poissonovo Matematická štatistika p. 50/75

51 Intervalové odhady parametrov rozdelení Interval spol ahlivosti je taký interval, ktorý pokryje skutočnú hodnotu parametra rozdelenia ܵ so zadanou pravdepodobnost ou koeficientom spol ahlivosti Typy Jednostranné ½ ½µ È ½ Dvojstranné ¾ À¾ µ È ½ À¾ ½ À½ µ È ½ Matematická štatistika p. 51/75

52 Ø Ò ½µ Ë Ò ½ Ô Ñ Ø Ò ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò ¾ ½ ¾ ¾ Ò ½µ Ò ½µË ¾ Ò ½ ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò ¾ ½ ¾ ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò Intervalové odhady parametrov rozdelení Interval spol ahlivosti pre parametre normálneho rozdelenia Jednostranný ½ ¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ ¾ ½ À½ Ò ½µ Dvojstranný Ñ Ø ½ ¾ ¾ ¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ Ø ½ ¾ À¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ Ò ½µ Ò ½µ Matematická štatistika p. 52/75

53 À ¼ nezamietame oproti À ½ À ¼ zamietame oproti À ½ Testovanie štatistických hypotéz Štatistická hypotéza je tvrdenie o rozdelení pravdepodobnosti skúmanej náhodnej veličiny, o parametroch týchto veličín... Nulová À hypotéza ¼ je hypotéza, platnost ktorej overujeme Alternatívna hypotéza À ½ je hypotéza kladená oproti À ¼ Testujeme vždy hypotézu À ¼ oproti hypotéze À ½ s použitím testovacej štatistiky Ì Ì Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ a kritického oboru à takto: Ì ¾ à µ Ì ¾ à µ Matematická štatistika p. 53/75

54 Testovanie štatistických hypotéz Dvojaké chyby pri vyhodnotení testu Chyba prvého druhu zamietneme À ¼ (Ì ¾ Ã) aj ked je správna, hladina významnosti testu «je pravdepodobnost tejto chyby, t.j. ÈÌ ¾ ÃÀ ¼ «Chyba druhého druhu nezamietneme À ¼ (Ì ¾ Ã) aj ked je nesprávna Postup pri testovaní: 1. Formulácia hypotéz À ¼ a À ½ 2. Vol ba hladiny významnosti «(najčastejšie 0.01, 0.05) 3. Určenie testovacej štatistiky Ì a kritického oboru à 4. Výpočet (výberových charakteristík a testu) 5. Vyhodnotenie výsledkov (prijatie či neprijatie À ¼ ) Matematická štatistika p. 54/75

55 À ½ ÑÑ ¼ À ½ ÑÑ ¼ À ½ ÑÑ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ Testy parametrov normálneho rozdelenia Jednovýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( ¾ -test) Testovacia štatistika Ì Ñ Ñ ¼ Kritický obor Ô ½ Ë Ò Ò, resp. Ò ½ Ì ¾ ¾ ¼ Ë ¾ Ò ½ ¼ ÑÑ ¼ Ì Ñ Ø ½ «Ò ½µ Ì Ñ Ø ½ «Ò ½µ Ì Ñ Ø ½ «¾ À Ò ½µ ¼ ¾ ¾ Ì ¾ ¾ ¾ ¾ «Ò ½µ ½ Ì ¾ ¾ ¾ «Ò ½µ Ì ½µ «Ò ½ ¼ À Ò ½µ ¾ ¾ «Ì ¾ Matematická štatistika p. 55/75

56 Þ Ü Ý, za podmienky, že Þ Æ Ñ Ü À ¼ Ñ Þ Ñ Ü Ñ Ý ¼ Testy parametrov normálneho rozdelenia Párová analýza parametrov normálneho rozdelenia Daný párový výber Ü ½ Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ transformáciou Ñ Ý ¾ µ možno podrobit jednovýberovému testu pre výber Þ ½ Þ ¾ Þ Ò Najčastejšie sa testuje hypotéza À ¼ o rovnosti stredných hodnôt Matematická štatistika p. 56/75

57 Ò ¾ Ò ¾ À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý ¼ Ü Ñ Ý Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «µ Ì Ø «½ ¾ µ Ñ À Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový Ø-test za predpokladu ¾ Ü ¾ Ý Testovacia štatistika Ì, Ô ½Ò ½ Ë pričom Ë ¾ Ò ½µË¾ Ò ½ Ü ½µË¾ ½ Ý Kritický obor Matematická štatistika p. 57/75

58 ¾ Ò ½ Ü Ë Ò Ë ¾ Ý ½ À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý Ë ¾ Ò Ë ¾ ¾ Ý ½ ¾ Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový Ø-test za predpokladu ¾ Ü ¾ Ý Testovacia štatistika Ì, Ö s vol bou ¾ Ò ½ Ü Ë Ò ¾ ˾ ½ Ý ½ Ü Ò Kritický obor Ò ½ ½ ¼ Ñ Ü Ñ Ý Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «¾ µ À Matematická štatistika p. 58/75

59 Kritický Ì obor «½ Ò ÑÜ ½ Ò ÑÒ ½µ ¾ Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový -test o rovnosti rozptylov ¾ Ü, ¾ Ý, Testovacia ÑÜ štatistika, Ì Ë¾ À ½ ¾ ÑÜ ¾ ÑÒ ¾ ÑÒ Ë pričom indexy ÑÜ, ÑÒ resp. sú určené hodnotami výberových rozptylov: Ë ¾ ÑÜ ÑÜ˾ Ò ½ Ü Ë ¾ ½ Ý, Ë ¾ ÑÒ ÑÒ˾ Ò ½ Ü Ë ¾ ½ Ý, tiež Ò ÑÜ je číslo Ò alebo od výberu s vyšším rozptylom À ¼ ¾ ÑÜ ¾ ÑÒ Matematická štatistika p. 59/75

60 Testy dobrej zhody -test dobrej zhody univerzálny test vhodný pre diskrétne aj spojité ¾ rozdelenia Frekvenčná tabul ka ½ ¾ Ñ Ñ½ È Ò Ò (napr. µ) Ñ Ò ¾ Ò ½ Ò Hypotéza À ¼ má rozdelenie s ܵ ( obsahuje parametrov) Testovacia Ñ štatistika ½ Ì È Ò Ò Ô µ ¾ Ò Ô, kde Ô È ¾ µ µ ak parametrov v musíme odhadovat Ô ako (na základe frekvenčnej tabul ky) µ µ ak parametre sú známe, vtedy ¼ Ô Kritický Ì obor ¾ «Ñ ½µ ½ Matematická štatistika p. 60/75

61 4. Korelačná a regresná analýza Matematická štatistika p. 61/75

62 Korelačná analýza Skúmanie vzájomného lineárneho vzt ahu medzi experimentálnymi dátami korelačná závislost Náhodný výber Ò objektov s dvoma meranými vlastnost ami Ü ½ Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ Pearsonov korelačný koeficient je štatistika, ktorá zodpovedá koeficientu korelácie ± dvoch náhodných veličín Základné vlastnosti (podobne ako pre ±): 1. Ö ÜÝ ½ 2. Číselná hodnota vyjadruje silu lineárnej závislosti a znamienko indikuje sklon závislosti 3. Ak hodnoty Ü zmeníme na Ü a Ý na Ý, pričom znamienka a sú rovnaké, tak Ö ÜÝ sa nezmení Matematická štatistika p. 62/75

63 Miera lineárnosti vzt ahu Pearsonov koeficient korelácie a miera rozptýlenia hodnôt Ö ¼ Ö ¼¼ Ö ¼ Ö ¼ Ö ¼¼ Ö ¼ Matematická štatistika p. 63/75

64 Ò ¾µ Test korelačnej závislosti Párový náhodný Ü výber Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ ½ k páru náhodných µ veličín s normálnym rozdelením Test: À 1. ± ¼ À ¼, ± ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ Ì Ô Ò, ¾ Ã Ô Ì Ø ½ «¾ ÜÝ Ö ½ ¾ ÖÜÝ 4. Výpočet Ö ÜÝ, Ì, Pri zamietnutí hypotézy À ¼ existuje štatisticky významná lineárna závislost medzi Ü a Ý Matematická štatistika p. 64/75

65 Ü Ý Ü Ò Ò Ü ¾ Ò Ü Ò Ò Ü Ý Regresná analýza Korelačná analýza zistí prítomnost lineárnej závislosti medzi meranými dátami Ü, Ý, regresná analýza určí parametre, lineárnej Ý Ü závislosti, prípadne ich štatisticky vyhodnotí Určenie parametrov pomocou metódy najmenších štvorcov ½ ½ ½ Ý Ý Ý Ü Ò ½ ½ Úpravou: Ö ÜÝË Ò ½ Ý Ò ½ Ü Ë Matematická štatistika p. 65/75

66 µ ¾ Analýza chýb Chyba v linearizácii dát Ë súčet štvorcov odchýliek meraných hodnôt od regresných dát ÒÈ Ë Ý Ü µ ¾ Ò ½µ Ë ¾ Ò ½ Ý ¾ Ë ¾ Ò ½ Ü ½ Základný vzt ah lineárnej regresie ÒÈ ÒÈ ÒÈ ½ Ý µ ¾ ½ Ý Ý µ ¾ ½ Ý celkový súčet nezávisí na modeli chyba lineárneho modelu to, čo lineárny model nevysvetl uje súčet modelu odchýlky vysvetlené lieárnym modelom ËÌ Ë ËÅ Kvadrát Pearsonovho koeficientu korelácie významnost lineárneho modelu ¾ ÜÝ ËÅ ËÌ Ö Matematická štatistika p. 66/75

67 Bodové odhady parametrov lineárnej regresie Ý náhodné veličiny s normálnym rozdelením Ý Æ Ü ¾ µ deterministickej premennej Ü Štatistiky a sú nestranné odhady parametrov a, s rozdeleniami Ò ½ Æ ¾ µ, Æ ¾ ½ ¾ Ò ½ Ü Ë Ò ½ ½ Ò ¾ Ò µ Štatistika je nestranný odhad, pričom ¾ Ë Ë ¾ ¾ Ò ¾µ ¾ Ò nezávislé od a ¾ Ò ½ Ü Ë Matematická štatistika p. 67/75

68 Ò ¾µ Ô Ö ¾ ÜÝ ½ ¼ Ò ¾µ Ò ¾µ Ô Ö ¾ ÜÝ ½ Analýza parametrov lineárnej regresie Test o sklone regresnej priamky: À 1. ¼ ¼ À, ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ Ì ¾µ ÜÝ Ò Ö ½, ¾ Ã Ô Ì Ø ½ «¾ ÜÝ Ö ½ Ô 4. Výpočet Ë Ò ½ Ü, Ë Ò ½ Ý,,, Ö ÜÝ, Ì, Prijatím hypotézy À ¼ uznávame sklon určený číslom ¼ Dvojstranný interval spol ahlivosti s koeficientom pre sklon regresnej priamky: Ø ½ ½ ¾ Ø ½ ½ ¾ Ö ÜÝ Ô Ò ¾ Ö ÜÝ Ô Ò ¾ Matematická štatistika p. 68/75

69 ½ Ø ¾ Ò ¾µ Ü ¾ Ü ¾ Ò ¾µ Analýza parametrov lineárnej regresie Test o posunutí regresnej priamky: À 1. ¼ ¼ À, ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ Ì Ò ¾µ Ö ÜÝ ¼ µ Ö Ò È Ã Ì Ø, «½ ¾ Ô ½ Ô ½ Ö ¾ ÜÝ 4. Ë Výpočet ½ Ü Ò Ë, ½ Ý Ò,,, Ö ÜÝ, Ì,... Ò 5. Prijatím hypotézy À ¼ uznávame posunutie ¼ Dvojstranný interval spol ahlivosti s koeficientom pre posunutie regresnej priamky: Ô ¾ ÒÈ Ö ½ Ö Ô ÜÝ ¾ Ò ÜÝ Ö ½ Ø ½ Ò ¾µ ¾ Ô ¾ ÒÈ Ü ¾ Ö ½ ÜÝ Ö ½ Ô ¾ Ò ÜÝ Ö Ò Ò Matematická štatistika p. 69/75

70 Linearizácia nelineárnej závislosti Predpoklady 1. Body Ü Ý µ ½ ¾ Ò sa nachádzajú v okolí Postup grafu známej funkcie 2. Závislost medzi premennými Ü a Ý sa dá vyjadrit pomocou dvoch parametrov, : Ý Ü µ 1. Nakreslíme a pospájame body Ü Ý µ 2. Vyberieme vhodnú závislost Ý Ü µ a transformujeme dáta tak, aby 3. Vypočítame Ö a otestujeme jeho významnost 4. Pre štatisticky významný Ö určíme lineárnou regresiou koeficienty a určujúce pôvodné parametre, Matematická štatistika p. 70/75

71 Ý e Ü Ý Ü Príklady linearizácie závislosti Nelineárny model Transformácia Transformovaný model ÐÒ Ý Ü ÐÒ Ý Ý ½ Ü ½ µ ¾ Ü ÐÒ Ü µ Ý ÐÒ Ý ÐÒ Ü ½ Ý Ü Ô ½ Ü Ý ÐÒ e Ý Ü Ý ÐÒ Ü Ý ÐÒ Ü Ý Ô Ü Ý Ô Ü Matematická štatistika p. 71/75

72 Ý ÐÒ Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü ÐÒ Ü Ü Matematická štatistika p. 72/75

73 Ý ÐÒ Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü Ü Ü Matematická štatistika p. 73/75

74 Ý Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü ÐÒ Ü Ü Matematická štatistika p. 74/75

75 Veselé a radostné prípravy na previerky Matematická štatistika p. 75/75