Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel"

Erik Soukup
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Lineání lge ) Vekto, lineání záislost nezáislost Def: Číselným ektoem n-ozměného postou nzýáme uspořádnou množinu n čísel,, ) ( n Čísl,, n nzýáme souřdnice ektou, číslo n dimenzí neo ozměem ektou Opece s ektoy : sečítání ektoů, násoení ektou číslem Př: Vypočítejte ekto c, kde (,,), c (,, ) Řešení : (,,) (,,) (,,) (,,) (8,,) Sklání součin ektoů : n n Př: Vypočítejte sklání součin ektoů, kde (,,), (,,), (,,)(,,) ( ) ( ) 7 Užujme ektoy,,, k ) Kždý ekto c c ck k, kde c i jsou konstnty, nzýáme lineání komincí dných k ektoů ) Je-li možné spoň jeden z ektoů,,, k yjádřit jko lineání kominci osttních ektoů, říkáme, že tyto ektoy jsou lineáně záislé c) Není-li možné žádný z ektoů,,, k yjádřit jko lineání kominci osttních ektoů, říkáme, že tyto ektoy jsou lineáně nezáislé Př: Vekto (8,) je lineání komincí ektoů (,) (, ), potože pltí (,) (, ) (,) (, ) ( 8,) Př: Vektoy,), (,), (, ) jsou lineáně záislé, potože jeden z nich je možné yjádřit ( jko lineání kominci osttních : (,) (,) (, ) ) tice Def: ticí typu m/n nzýáme mn eálných čísel, sestených do m řádků n sloupců e tu n n m m mn Pní inde i znčí řádek duhý inde j sloupec, ke kteém pek leží Pky, kteé mjí stejné indey toří hlní digonálu mtice ii

2 Duhy mtic - čtecoá ( m n ) - odélníkoá ( m n ) - tnspononá mtice k mtici (mtice, kteá znikne z mtice záměnou řádků z sloupce při zchoání pořdí), znčíme ji T - jednotkoá (čtecoá mtice, kteá má n hlní digonále smé jedničky šude jinde smé nuly), znčíme ji I - stupňoá (kždý následující řádek má n zčátku lespoň o jednu nulu íce než řádek předchozí) Opece s mticemi Součet mtic (oě mtice musí ýt stejného typu) : Součin čísl k mtice : C B, kde c B k, kde k Součinem mtic B (kde pní mtice je typu m/n duhá mtice je typu n/p) je mtice C typu m/p, kde (jde o sklání součin řádku i mtice sloupce j mtice B) c i j Součin mtic není komuttiní, tedy oecně B B Př: Jsou dány mtice, B Vypočítejte mtici, B I, B Řešení : B I 8 7 B ( ) ( ) Hodnost mtice Def: Hodnost mtice udáá počet lineáně nezáislých řádků této mtice Píšeme h() Dě mtice, kteé mjí stejnou hodnost se nzýjí ekilentní píšeme K učení mtice použíáme následující ětu B Vět : Hodnost mtice e stupňoém tu je on počtu nenuloých řádků této mtice ( počtu řádků, kteé neoshují smé nuly) Při učoání hodnosti je tedy potře mtici nejpe upit n stupňoý t K tomu použíáme tz ekilentní úpy, kteé nemění hodnost mtice Jsou to následující úpy : ) tnsponoání mtice, ) ýměn řádků,

3 c) násoení řádku nenuloým číslem, d) přičtení k-násoku někteého řádku k jinému řádku, e) ynechání řádku, kteý oshuje smé nuly Všechny uedené úpy je možné ez změny hodnosti poádět i se sloupci Př: Učete hodnost mtice Tedy ) ( h Inezní mtice Def: tici nzeme inezní mticí ke čtecoé mtici, jejíž deteminnt, jestliže pltí : I Postup učoání inezní mtice Npíšeme edle see mtici jednotkoou mtici stejného ozměu Tuto dojmtici I) ( přeedeme pomocí ekilentních úp tk, y n místě mtice znikl jednotkoá mtice Npo od ní pk utomticky znikne mtice Tedy ) ( I ) ( I ) Deteminnty Def: Deteminnt řádu je eálné číslo, kteé je přiřzeno čtecoé mtici Píšeme det Př: Vypočítejte hodnotu deteminntu řádu Řešení : ) (

4 Def: Deteminnt řádu je eálné číslo, kteé je přiřzeno čtecoé mtici Př: Vypočítejte hodnotu deteminntu řádu Řešení : ( ) ( ) Def: Deteminnt řádu n je eálné číslo ( ) ( ) ( ) n n n, kteé je n n přiřzeno čtecoé mtici Přitom je deteminnt zniklý z půodního n n nn deteminntu ynecháním řádku i sloupce j Uedený způso yjádření hodnoty deteminntu nzýáme ozoj podle pků pního řádku Rozoj lze poést nlogicky podle lioolného jiného řádku neo sloupce Je hodné k ozoji použít řdu, oshující co nejíce nuloých pků Př: Vypočítejte ozojem hodnotu deteminntu řádu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) Př: Vypočítejte ozojem hodnotu deteminntu řádu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()

5 Vlstnosti deteminntů Při ýpočtu hodnoty deteminntů yšších řádů je možné použít následující pidl, kteá nám umožní ytořit nuloé pky n zolených místech ) Hodnot deteminntu se nezmění, překlopíme-li jej kolem hlní digonály ) Vyměníme-li d řádky deteminntu, hodnot deteminntu změní znménko ) Je-li někteý řádek k-násokem jiného řádku, je hodnot deteminntu on nule ) Hodnot deteminntu se nezmění, přičteme-li k někteému řádku k-násoek jiného řádku ) á-li deteminnt někteém řádku smé nuly, je jeho hodnot on nule ) Násoit deteminnt číslem k znmená násoit tímto číslem šechny pky jednoho (lioolného) řádku neo sloupce Vzhledem k pnímu pidlu je zřejmé, že uedené lstnosti deteminntů pltí i po sloupce ) Řešení soust lineáních onic Soustou m lineáních onic o n neznámých,, n ozumíme soustu : m m n n mn n n n m Řešením sousty ozumíme kždý ekto (,, n ), kteý yhouje šem onicím sousty Dě sousty lineáních onic se stejným počtem neznámých, kteé mjí stejné řešení, se nzýjí ekilentní Následující ekilentní úpy sousty nemjí li n řešení sousty : ) ýměn pořdí onic, ) násoení onice nenuloým číslem, c) přičtení k-násoku někteého onice k jiné onici tice sousty : Rozšířená mtice sousty : m m n n mn R m m n n mn m Ekilentním úpám sousty tedy odpoídjí příslušné úpy její ozšířené mtice Soustu poto řešíme tk, že její ozšířenou mtici přeedeme n stupňoý t Tomuto tu odpoídá soust, ze kteého zpětným doszoání sndno učíme řešení sousty Uedený postup se nzýá Gusso eliminční metod

6 Pomocí získné stupňoité mtice můžeme níc ozhodnout o řešitelnosti sousty n zákldě Foenioy ěty : Vět : Soust lineáních onic má řešení páě tehdy, když mtice sousty ozšířená mtice sousty mjí stejnou hodnost Př: Soust odpoídjící ozšířené mtici má páě jedno řešení potože h( ) h( R ) n Př: Soust odpoídjící ozšířené mtici má nekonečně mnoho řešení, záislých n jednom pmetu, potože ( ) h( ), n, tedy n h( ) h R

Podobné dokumenty

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme