Analytická geometrie lineárních útvarů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytická geometrie lineárních útvarů"

Transkript

1 ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod má pouze jednu souřadnici. Souřadnice bodů:a [3] ; B [-3] b) Vzdálenost dvou bodů na přímce: Je-li A [ A] ; B [ B], pak jejich vzdálenost AB A - B Na přímce jsou dán bod A [ -4 ] ; B [ 3 ]. Určete jejich vzdálenost. AB c) Střed úsečk na přímce: Je-li A [ A] ; B [ B], pak jejich střed má souřadnici S [ S] a platí: s A Určete střed úsečk AB s krajními bod A [-] ; B [ 8]. 8 Střed S [ S ] S 3 S [ 3 ] B )V rovině: V rovině je dán souřadný sstém s dvěma kolmými osami,. Jejich průsečík nazveme počátek. Souřadnice bodu v rovině: Každý bod má v rovině dvě souřadnice -. - ovou ;. - ovou A [ 3,4 ], B [ -, ], C [ -3,-4 ], D [,-3 ]

2 Vzdálenost dvou bodů v rovině: Je dán bod A [ A, A ] a bod B [ B, B ]. Jejich vzdálenost určíme z obrázku: Platí Pthagorova věta c a b a A - B b A - B A B A B AB ( ) ( ) V rovině jsou dán bod X [ 5,- ], Y [ -, 4 ]. Určete jejich vzdálenost. ( ) ( ) XY Cvičení:. Je dán trojúhelník ABC : A [,- ] ; B [ -3, ] ; C [ 4, ]. Dokažte, že je rovnoramenný a pravoúhlý.. Vpočtěte velikost obvodu trojúhelníku ABC : A [ -,5;-6 ] ; B [ 5; 0,5 ] ; C [ 9 ; -8,]. [ 3,0 ] Střed úsečk v rovině: Je dána úsečka s krajními bod A [ A, A ] a B [ B, B ]. Jejím středem je bod S [ S, S ] a platí: s A B Vpočtěte souřadnice středu úsečk CD, je-li C [ 5,4 ], D [ -3,- ] S S S [, ]. s A B

3 Cvičení:. Určete velikosti středních příček trojúhelníku ABC,kde A [ -4, ] ; B [ 4,-4 ] ; C [,5 ]. [ 5 ; 4,6098 ; 3,354 ]. K bodu A [,5 ] určete bod B souměrně sdružený podle os. [ B [,-5 ] ] 3. Najděte střed kružnice opsané trojúhelníku ABC : A [,- ], B [ 5,- ] ; C [0,3 ]. [ S [ 5,3 ] ] Vektor v rovině: Vektor orientovaná úsečka ( ve fzice např. síla, rchlost) vektor AB - A - počáteční bod ; B - koncový bod Souřadnice vektoru: Na obrázku jsou zobrazen čtři vektor. Jsou rovnoběžné, stejně velké a stejně orientované - říkáme, že se jedná o různá umístění téhož vektoru. Jedná se ted o jeden vektor v umístěný v různých bodech. Souřadnice vektoru určíme tak, že jeho počáteční bod umístíme do počátku souřadného sstému a souřadnice vektoru budou souřadnicemi koncového bodu. v ( 3, ) Je -li vektor v umístěn do bodů A [ A, A ] a B [ B, B ] kde A je bod počáteční a B bod koncový, pak jeho souřadnice určíme takto: v (v,v ) ( B - A, B - A ) Určete souřadnice vektoru v AB, kde A [,6 ] a B [8, ]. v (8 -, - 6) (6, -4) Příklad : Rozhodněte, zda orientované úsečk AB, CD jsou umístěním téhož vektoru : a) A [ -5; 3], B [ ; -], C [ -3; ],D [ 4; -3] Návod : Vpočteme souřadnice jednotlivých vektorů a zjistíme, zda jsou shodné. AB ( 7, - 4 ), CD ( 7, -4) ano b) [ -;-6], B [ -3 : - ], C [ -3;- ], D [-;-6]

4 AB ( -, 5 ), CD (, - 5 ) ne Příklad : Určete souřadnice bodu D tak, ab orientované úsečk AB, CD představoval týž vektor : A [ -7; ], B [ ; 7 ] ; C [ -;-3], D [?;? ] Návod : Napíšeme smbolické rovnice pro rovnost vektorů a dosadíme. AB CD B A D C (- 7 ) d ( -) 7 d ( 3) 8 d 6 d 3 d 6 d 3 D [ 6 ; 3 ] Velikost vektoru: Je -li dán vektor v (v, v ), pak jeho velikost určíme následujícím způsobem: v v v Určete velikost vektoru v ( 4,3). v Příklad : Zakreslete vektor AB, CD, EF, určete jejich souřadnice a velikost : A [ ; ], B [ 5 ; 4 ], C [ ; - 3 ], D [ ; ], E [ 5 ; 0 ], F [ - ; - 3 ] v B A 5 4 v -l - -3 v v B C 4 v ( -3) 5 v v( 4, ) v ( - 3, -5) v ( - 7, - 3) v v v 4 0 v v Operace s vektor: a) Součet vektorů: Je dán vektor v (v,v ) a vektor u (u,u ). Jejich součtem u v je vektor w (v u, v u ). b) Součin čísla a vektoru: Je dán vektor v (v,v ) a reálné číslo k. Jejich součinem k.v je vektor w ( k.v, k.v ). c) Skalární součin vektorů: Je dán vektor v (v,v ) a vektor u (u,u ). Jejich skalárním součinem u ο v je číslo : u ο v u. v u. v Skalární součin vektorů nelze zobrazit.

5 Jsou dán vektor v (,-3), u ( 5,6 ). Určete u v, 4.v, u ο v. w u v ( 5, -36 ) ( 7, 3) 4.v ( 4., 4. (-3) ) (8, - ) u ο v.5 (-3) Úhel dvou vektorů: Úhel dvou vektorů určíme z tohoto vzorce u v cosα u. v cosα u u. v u u. v. v v ted po dosazení Určete úhel vektoru u ( -4,) a vektoru v (, 3) Dosadíme do vzorce : cos α α ,4034 Je - li u ο v 0 pak vektor u a v jsou navzájem kolmé! Určete velikosti úhlů. které svírají úhlopříčk čtřúhelníku ABCD : A [-3; ], B [ ; -4 ], C [ 7 ; - ], D [ 5 ; 4 ] Vpočteme např. úhel vektorů AC, BD ( určíme souřadnice těchto vektorů, jejich velikosti a dosadíme do vzorce ) : AC C A ( 0, -3 ) AC BD D B ( 3, 8 ) BD cos ϕ 0,0676 ϕ ε Zjistěte, zda vektor AB, CD jsou navzájem kolmé ( A [ 4; 0], B [-6;4], C { ;7], D [ -3;-3] Určíme souřadnice vektorů AB B-A ( -0, 4), CD D C ( -4, - 0) a dosadíme do podmínk pro kolmost vektorů : -0. ( -4) 4.( -0) jsou kolmé Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý ( pravý úhel u vrcholu C ) A[ -;6],B[;-],C[-3;] Návod: zjistíme, zda vektor CA, CB jsou navzájem kolmé CA A C ( -, -5 ), CB B-C ( 5, -) ( -).5 ( -5). ( -) ano

6 Lineární závislost a nezávislost vektorů: a) Dva vektor Vektor u a v jsou lineárně závislé, právě kdž eistuje reálné číslo k tak že platí u k.v Příklad závislých vektorů: u ( -, ) v (, -4 ) - platí u (-0,5).v číslo k - b) Tři vektor Vektor u, v, w jsou lineárně závislé právě kdž eistují reálná čísla m, n tak, že platí w m.u n.v Příklad závislých vektorů: u ( -, ) v (3, -4 ) w ( 7, -8) platí: 7 -.m 3.n /. - 8.m (-4)n 4 -.m 6.n - 8.m - 4.n rovnice sečteme 6.n n 3 m 3.n Vektor jsou lineárně závislé a platí: w.u 3.v Vektor w nazýváme lineární kombinací vektorů u a v. Studovat závislost a nezávislost 3 vektorů můžeme pouze v prostoru. V rovině platí, že 3 vektor jsou vžd závislé. Cvičení:. Rozhodněte, zda orientované úsečk AB,CD, jsou umístěním téhož vektoru, jestliže a) A[ ; ], B [ -3; - ], C [ ; - ], D [ 7 ; -4] ( ano ) b) A [ 3; - ], B [ -5; -4 ], C [ -; 5 ], D [ -3; 7] ( ne ). Určete souřadnice bodu D tak, ab orientované úsečk AB, CD bl umístěním téhož vektoru : a) A [ -;], B [ 3; -5 ], C [ 5; -7] D [ 9; - 4] b) A [ -5;-7], B [ -3;-4], C [ ;] D [ 3 ; 5 ] 3. Určete velikosti úhlů, které svírají úhlopříčk čtřúhelníku ABCD : a) A [ -3;], B [ 3 ; 9 ], C [ 7 ; 6 ], D [-; 6 ] , b) A [ ; ], B [ -3 ; - ], C [ 7 ; 4 ], D [ ; -] 8 0 7, Dokažte, že trojúhelník ABC je pravoúhlý : ( zjistěte, zda vektor CA,CB jsou navzájem kolmé : a) A [ 4; -], B [ 3; 4], C [ ; ] ano b) A [ - ; 6 ], B [ 0; 7 ], C [ 5; ] ano 5. Určete souřadnice vektoru v AB, kde A [,-3 ] ; B [ 6,7 ]. [ v ( 4,0) ] 3 6. V soustavě souřadnic jsou dán bod A [,7 ] ; B [ -4, ]; C ;. D ; 5. Jsou vektor AB; CD umístěním téhož vektoru? [ ano ] 5 7. V soustavě souřadnic jsou dán bod A [ -,0 ]; B [,4 ]; C 3 ; ; D 3 ; ; E [,- ] ; F 3 [ 6, ]. Zjistěte, zda jsou si rovn vektor a) AB; CD ; b) AB; EF ; c) CD; EF [ a) ne; b) ano; c) ne ] 8. Jsou dán bod A [4,0 ] ; B [ 5,- ]; D 4 5 ; 5. Určete bod C tak, ab vektor AC a BD bl umístěním téhož vektoru u. [ C [ -0,;-5,5 ] ] 9. Určete skalární součin vektorů u (-, 6 ) ; v ( 3,-5 ). [ -36 ]

7 0. Určete úhel vektorů u (-6,8 ) v (, -4). [69 4 ]. Je dán vektor v (-,3) a vektor u AB, A [ 7, ], B [-,3 ]. Určete jejich úhel. [ 4 7 ]. Rozhodněte, zda jsou kolmé vektor u ( -5,3 ); v ( -6, -0 ) [ ano ] 3. Určete koeficient lineární závislosti vektorů u ( -,6 ) ; v ( 3, -6 ) a w ( 8, -8 ). [ - ; ] 4. Rozhodněte, zda jsou kolmé vektor a (6,-6) ; b ( 8, 8). [ ano ] 5. Najděte alespoň jeden vektor v tak, ab s vektorem u (,- ) bl kolmé. 6. Trojúhelník ABC má vrchol A [-5, ] ; B [,5 ]. Určete souřadnici vrcholu C, jestliže vektor u AC ( 3,-4 ). Dále určete velikosti vektorů u AC ; v AB ; w BC. [ C [-,- ], u 5; v 3. 5; w 58 ] 7. Rovnoběžník ABCD má vrchol A [ 0,0 ] ; B [8,- ] ; C [,4 ]. Určete souřadnice vrcholu D. [ D [ 4,6 ] ] 8. Vektor v AB, A [-, ]; B [,5 ], vektor u AC, C [7,-3]. Určete úhel α vektorů u a v. [ α ] 9. Je dán trojúhelník ABC : A [7,-3] ; B [-, ]; C [,5 ]. Určete úhel β. [ β ] 0. Je dán rovnoběžník ABCD, A [3,3] ; B [,7 ]; C [7,5 ]. Určete souřadnice vrcholu D a úhel jeho úhlopříček. [ D [8,], γ 7 34 ]. Jsou dán bod : A [0,3] ; B [-3,-3 ]; C [4, ]. Leží tto bod v jedné přímce? [ ano ] Parametrické vjádření přímk v rovině Přímka je jednoznačně určena dvěma různými bod. K nalezení parametrické rovnice přímk potřebujeme mít dán jeden bod a vektor ( směrový vektor přímk ). Přímka je množina bodů X. Každý bod X [,] na přímce p dostaneme tak, že k bodu A [a,a ] přičteme t násobek vektoru v. Ted X A t. v po rozepsání do souřadnic dostaneme parametrickou rovnici přímk: p : a t.v a t.v kde t je parametr Napište parametrickou rovnici přímk, určené bodem A [3,4] a vektorem v (,5). p: 3.t 4 5.t Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem A [5,6] a bodem B [7,7].

8 Z dvojice bodů A,B nejprve určíme vektor AB u (,). p: 5.t 6 t Je dána přímka p: 5.t ; 6 t. Určete zda na této přímce leží bod K [,4 ] a bod M [ 3,6 ]. Leží-li bod na přímce, pak jeho souřadnice musí vhovovat rovnici přímk. K : 5.t t t t - Protože všlo v obou rovnicích stejné t, bod K leží na přímce p. M: 3 5.t t t t 0 Protože všlo v obou rovnicích různé t, bod M neleží na přímce p. Cvičení:. Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem P [ 3, -8 ] a směrovým vektorem v ( 3, 4 ). [ 33t, -84t ]. Napište parametrickou rovnici přímk určené bodem A [ 6, 3 ]a bodem B [ 3,- ] [ 6-3t, 3-5t ] 3. Jsou dán tři bod A [ -4, ], B [, 0 ], C [, 6 ]. Tto bod tvoří trojúhelník.napište parametrické rovnice těžnic trojúhelníku ABC. 7 4 t; t k; 4k m; 6 5m 4. Jsou dán bod A [ -3, 0 ], B [, 4 ]. Určete vzájemnou polohu přímk určené bod A a B s přímkou p: -4t, -4t. Obecná rovnice přímk Obecná rovnice přímk v rovině má tvar: a b c 0 kde a, b, c jsou reálná čísla. Vektor n ( a, b ) je vektor kolmý k přímce, říkáme mu vektor normálový. Obecnou rovnici přímk získáme z parametrické rovnice tak, že obě rovnice vnásobíme takovými čísl, ab po jejich sečtení vpadl parametr t. Přímku p : 5.t ; 6 t převeďte na obecný tvar. p : 5.t 6 t /.(-) 5 t - --t - -7 p: rovnice sečteme Máme-li dán dva bod a chceme sestavit obecnou rovnici přímk určené těmito bod, můžeme postupovat dvěma způsob: ) Sestavíme nejprve parametrickou rovnici přímk a postupem z předchozího příkladu přejdeme na rovnici obecnou ) Najdeme normálový vektor přímk a postupujeme podle následujícího příkladu: Napište obecnou rovnici přímk určené bodem A [ -,6 ] a bodem B [ 4,-3 ].

9 Nejprve najdeme vektor v AB ( 6,-9). K němu kolmý vektor ( normálový vektor přímk ) n ( 9, 6 ). Máme již první koeficient obecné rovnice a 9, b 6. Rovnice přímk bude mít tento tvar: 9 6 c 0 Zbývá nalézt koeficient c. Ten najdeme tak, že dosadíme jeden z bodů A nebo B za a do rovnice: A p : 9.(-) 6.6 c c 0 c -8 Celá rovnice bude mít tvar: můžeme ji ještě dělit 3 p: Vzdálenost bodu od přímk Vzdálenost bodu A [ 0, 0 ] od přímk p : a b c 0 Vpočteme podle vzorce d a 0 a b 0 b c Je dána přímka p : Vpočtěte vzdálenost bodu K [ -, ] od této přímk. a0 b0 c Vpočteme podle vzorce d 0,77 a b Úhel dvou přímek : Vpočteme buď jako úhel dvou směrových nebo dvou normálových vektorů takto: cosα u v u. v cosα u u. v u u. v. v v Určete úhel přímek: p: q: n p ( -, 3 ) ; n q ( 3, -4 ) n p. nq n p. nq 6 8 cosα α 3 0 n n. n n p q p q

10 Vzájemná poloha přímek v rovině Vzájemnou polohu určíme pomocí směrových vektorů obou přímek. Jsou -li přímk zadán obecnou rovnicí, je lepší místo směrových vektorů použít normálové. a) rovnoběžné - totožné - směrové vektor lineárně závislé, všechn bod společné - různé - směrové vektor lineárně závislé, žádný společný bod b) různoběžné - směrové vektor lineárně nezávislé, jeden společný bod - průsečík Průsečík obou přímek najdeme, řešíme-li soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Určete vzájemnou polohu přímek p: - 3.t q: - 3.k - t -3 k u p ( 3, - ) ; v q ( - 3, ) Pro směrové vektor obou přímek platí : u p - v q Přímk mohou být buď totožné nebo rovnoběžné. Na přímce zvolíme libovolný bod C : volíme např. t 5 ; 0 C [ 5, 0 ] Ověříme, zda tento bod leží i na přímce q : - 3.k 5-3.k k - -3 k 0-3 k k 3 Protože hodnota k je různá, bod C na q neleží a přímk jsou rovnoběžné různé. Určete vzájemnou polohu přímek p: q: n p ( -, 3 ) ; n q ( 3, -4 ) - tto vektor jsou lineárně nezávislé - přímk jsou různoběžné Určíme jejich průsečík P: / / obě rovnice sečteme P [ - 43, -3 ] Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek určíme tak, že na jedné z nich zvolíme libovolný bod a podle vzorce vpočteme jeho vzdálenost od druhé přímk. Je dána přímka p : q :

11 Určete jejich vzdálenost. n p ( -, 3 ) ; n q ( -4, 6 ) - tto vektor jsou lineárně závislé, ale koeficient c v druhé rovnici není dvojnásobkem c v první rovnici - přímk jsou rovnoběžné Na p zvolíme libovolný bod : - ( volíme libovolně ) vjde z rovnice - -3 A [ -, - 3 ] d a 0 a b 0 b c d ,9707 Cvičení: 5. Napište obecnou rovnici přímk určené bodem A [, ] a B [, ]. [ ] 6. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s osou. [ ] 7. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s osou. [ -3 ] 8. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ -3, ] a je rovnoběžná s přímkou [ ] 9. Určete vzájemnou polohu dvou přímek p: 33t, -84t q Určete případný průsečík, úhel nebo vzdálenost. [ různob.; P [ 4 6 ; ]; α 3 0 ] Vpočtěte odchlku přímek p: ; q: 8 0 [ 45 ]. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A [ 4,3] a má od přímk 7 0 odchlku 45. [ nebo ]. Najděte průsečík přímek p: 3 0, q: 3 0. [ P [, - ] ] Směrnicový tvar rovnice přímk Je to rovnice v tomto tvaru: k q Proměnnou k nazýváme směrnice přímk a platí: k tg α, kde α je úhel přímk p s osou p α q Proměnná q se označuje úsek přímk na ose. Přímka ve tvaru k q ted vžd prochází bodem [ 0,q ]. Pro přímku určenou dvěma bod A [, ]; B [, ] platí vzorec:

12 A α B k k tgα Napište směrnicovou rovnici přímk p, která je určena bod A [ 6, ]; B [ 9,0]. 0 9 Z daného vztahu určíme k: k Rovnice má tvar 3 q Neznámou q zjistíme dosazením libovolného bodu do rovnice: Rovnice má tvar q q -7 Tento tvar rovnice přímk připomíná lineární funkci. Cvičení:.) Určete směrnicový tvar rovnice přímk, dané bodem A [ 4; ] a směrovým úhlem α [ 3 ( 4 3 ) ] π. 3 4.) Určete směrnicový tvar rovnice přímk, dané bodem A [ -3;0 ] a bodem B [ ; -] [ ] ) Jsou dán bod A [ -5;4 ] a B [ m ; -3]. Určete číslo m tak, ab přímka daná bod A,B měla směrnici 3 k. Napište její rovnici v směrnicovém tvaru [ m ; - ] ) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem a je rovnoběžná s přímkou danou bod A [ -;-4 ] a B [ 4 ; 7 ] 3 [ ] ) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem bodem A [ 3;0 ] a její úsek na 5 ose je q 5 5 [ ] 6 6.) Napište ve směrnicovém tvaru rovnici přímk, která prochází počátkem bodem A [ 4;6 ] a je kolmá k přímce o rovnici [ ] ) Určete směrnici a úsek q přímk dané rovnicí [k,5; q 3]

13 8.) Přímka p má rovnici Napište obecnou rovnici přímk. [ 0 5 0]

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů

15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů 5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků. FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].

Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3]. Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více