Internetová matematická olympiáda listopadu 2011

Transkript

1 Internetová matematická olmpiáda - 9. listopadu 0 4. ročník. Uvažujme rovinný mechanismus, který je tvořen třemi tuhými tčemi AB, BC a CD. Délk tčí jsou AB = CD = a, BC = a. Ve všech bodech A, B, C, D je rotační kloub, který umožňuje rovinný pohb tří tčí. Bod A = [ a, 0] a D = [a, 0] (a > 0) zůstávají při pohbu mechanismu na místě. Uprostřed tče BC uvažujme bod E. Bod E může při pohbu mechanismu opisovat dvě křivk. a) Sestavíme-li mechanismus podle Obrázku, pak bod E bude opisovat křivku, která je velmi jednoduchá. Hledanou křivku nakreslete a napište její rovnici. B a E C a A D -a a Obrázek : K zadání příkladu a) b) Sestavíme-li mechanismus podle Obrázku, pak bod E bude opisovat křivku, která již tak známá není. B a a A E D -a a -a C Obrázek : K zadání příkladu b) Napovíme vám, že pro bod této křivk platí: Součin vzdáleností od dvou pevných bodů (=ohnisek) je roven konstantě. Tato ohniska se nacházejí na přímce AD. I tuto složitější křivku nakreslete a určete její rovnici.

2 Řešení příkladu : ad a) Sledujme pohb bodu E v případě, že se obě ramena AB, resp. DC začnou otáčet kolem nehbných bodů A, resp. D stejným směrem (např. v kladném smslu, tj. proti směru oběhu hodinových ručiček). Vzhledem k tomu, že délka centrálního segmentu BC je totožná se vzdáleností AD, tč BC pak vkonává jen posuvný pohb daný polohou bodů B a C, které se otáčejí po kružnicích s poloměrem r = a. Bod E se ted pohbuje po kružnici se středem S = [0, 0] a poloměrem r = a. Středový tvar rovnice kružnice, po které se pohbuje bod E je ( 0) + ( 0) = ( a), ted po úpravě ad b) + = a. Druhá křivka již na první pohled tak zřejmá není. Po úvaze o možném pohbu bodu E dojdeme k závěru, že křivka, po které se pohbuje bod E vpadá jako ležatá osmička smetrická podle os. Ze zadání víme, že bod hledané křivk (ležaté osmičk) mají konstatní součin vzdáleností od dvou pevných bodů (=ohnisek). Tuto konstantu označme c (c > 0). Dále víme, že ohniska leží na přímce AD, ted mají -ovou souřadnici rovnu 0. Vužijeme zmíněné smetrie podle os a označíme ohniska F = [ e, 0] a G[e, 0] (e > 0). Situace je znázorněna na Obrázku 3. E v v F G -e e Obrázek 3: K řešení příkladu Napišme rovnice, které z uvedených informací vplývají. v v = c, v v = c, ted (( + e) + ) (( e) + ) = c. () Je zřejmé, že hledaná křivka prochází bodem O = [0, 0]. Dosazením bodu O do rovnice () získáme vztah mezi c a e, ted c = e 4. () Dále je zřejmé, že bod [ a, 0] leží na hledané křivce. Dosazením tohoto bodu do rovnice () a vužitím

3 vztahu () získáme vazbu mezi e a a, ted Podle předpokladů platí a > 0, proto musí platit (( a + e) + 0 ) (( a e) + 0 ) = e 4 ( a + e) ( a e) = e 4 ( a + e)( a e) ( a + e)( a e) = e 4 (a e )(a e ) = e 4 (a e ) = e 4 4a 4 4a e + e 4 = e 4 4a 4 4a e = 0 4a (a e ) = 0. (a e ) = 0, ted e = ±a. (3) Dosadíme (3) do rovnice () a obdržíme (( + a) + ) (( a) + ) = a 4. Další úprav vedou již jen k finálnímu tvaru rovnice hledané křivk, kterou je Bernoulliova lemniskáta. (( + a) + ) (( a) + ) = a 4 ( + a) ( a) + ( + a) + ( a) + 4 = a 4 ( a ) + ( + a + a ) + ( a + a ) + 4 = a 4 4 a + a 4 + ( + a ) + 4 = a 4 a ( ) = 0 a ( ) = ( + ) a ( ) = ( + ) E A=F -a=-e v v D=G a=e Obrázek 4: K řešení příkladu 3

4 . Mějme nekonečně velký čtverečkovaný papír se vzdáleností linek ve vodorovném i svislém směru rovnou. Mějme kulatou minci o poloměru r = 4, kterou náhodně házíme na čtverečkovaný papír (na každé místo může dopadnout se stejnou pravděpodobností). a) Jaká je pravděpodobnost, že mince leží na dvou různých linkách? b) Jaká je pravděpodobnost, že mince leží alespoň na jedné lince? c) Jaká je pravděpodobnost, že mince leží na průsečíku dvou linek? Řešení příkladu : Nejdříve je třeba si uvědomit, že všechn čtverečk mají stejný tvar, a ted je možno uvažovat situaci pouze v jednom čtverci pod podmínkou, že střed mince může dopadnout na každé místo ve čtverci se stejnou pravděpodobností. Ze znalosti, kam dopadl střed mince, můžeme okamžitě usoudit, zda-li zadání bude splněno či ne. Proto je výhodné zabývat se pouze úvahami, kam musí dopadnout střed mince, ab zadání blo splněno, a poté spočítat pravděpodobnost tohoto jevu. Pravděpodobnosti budeme určovat jako podíl obsahů dvou ploch, tj. P (A) = S S, kde S je obsah takové ploch, že pokud na ni dopadne střed mince, tak je zadání splněno, S je obsah ploch všech možných dopadů středů mince. Protože střed mince může dopadnout kamkoliv do čtverce, jehož hrana má délku, je S =. a) Vzhledem k rozměrům mince není možné, ab ležela na dvou různých vodorovných nebo dvou různých svislých linkách. Jedinou možností ted je, že mince leží na jedné vodorovné a jedné svislé lince. Ab mince mohla ležet na lince, tak nesmí její střed padnout dále než do vzdálenosti 4 od dané link. Místa, která mají vzdálenost menší nebo rovnu 4 od vodorovných a zároveň od svislých linek, jsou vznačena šedě na Obrázku 5 vlevo. Plocha čtverce je rovna, plocha šedých částí je 4. Je ted zřejmé, že pravděpodobnost, že střed mince dopadne do vznačených oblastí, a tím splní zadání, je 4. b) Ab mince mohla ležet alespoň na jedné lince, musí její střed ležet ve vzdálenosti menší nebo rovné 4 alespoň od jedné link. Všechna místa mající tuto vlastnost jsou na Obrázku 5 uprostřed. Jejich plocha je 3 4, a ted i výsledná pravděpodobnost je 3 4. c) Mince leží na průsečíku dvou linek tehd, pokud její střed neleží dále než 4 od průsečíku. Tato místa jsou vznačena na Obrázku 5 vpravo. Jejich obsah i hodnota výsledné pravděpodobnosti jsou rovn π ( ), 4 což je π Obrázek 5: K řešení příkladu a), b), c) 4

5 3. Hudební oktáva se skládá z půltónů, které se potom v další oktávě opakují. Každý půltón má na klavíru svoji klávesu. Celá klaviatura má 88 kláves. V současnosti se v evropské hudbě používá nejčastěji tzv. rovnoměrně temperované ladění. Tzn. tón, který leží o oktávu výše než druhý tón, má oproti němu dvojnásobnou frekvenci. Ostatní půltón vznikl rozdělením oktáv na stejných intervalů - tj. frekvence dvou sousedních půltónů jsou v poměru dvanáctá odmocnina ze dvou ku jedné. Vpočítejte frekvenci nejnižšího a nejvššího tónu klavíru, kdž víte, že základní tón a (ted komorní a) má od roku 939 frekvenci 440,00 Hz a je to 49. klávesa klaviatur počítáno od nejnižší. Řešení příkladu 3: Shrňme si informace získané ze zadání a zaveďme vhodné značení. Klaviatura má 88 kláves, označme frekvence příslušných půltónů,,..., 88. Poměr dvou sousedních půltónů je. Frekvence tónu a je 440,00 Hz. Tón a je 49. klávesa, ted 49 =440,00 Hz. Frekvence půltónů tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = =. 49. člen této posloupnosti je 49 =440,00 Hz. Pro n-tý člen geometrické posloupnosti platí n = q n. Proto frekvenci nejnižšího tónu určíme vztahem = n q n = , 00 = q49 ( ) 48 = 7, 50 Hz a frekvenci nejvššího tónu vztahem ( 88 = q n = q 88 = 7, 50 ) 87. = 486, 0 Hz. 4. Magický čtverec je čtvercové schéma o n řádcích a n sloupcích, do kterého jsou vepsána libovolná (předem pevně daná) přirozená čísla a, a,..., a n. Pravidlo pro vepsání čísel a, a,..., a n je takové, že součet čísel v každém řádku, každém sloupci i na obou hlavních diagonálách je stejný. Tomuto součtu říkáme konstanta čtverce a značíme ho S. Pro n liché musí být S dělitelné n. Ukažte, že pro pevně dané n = 3 a pevně danou konstantu čtverce S, je prostřední prvek čtverce pevně určený. První varianta řešení příkladu 4: Označme si prvk v magickém čtverci podle Obrázku 6. a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 Obrázek 6: Magický čtverec pro n = 3 Zapišme vztah, které musí platit, ab šlo o magický čtverec. a + a + a 3 = S a 4 + a 5 + a 6 = S a 7 + a 8 + a 9 = S (4) a + a 4 + a 7 = S a + a 5 + a 8 = S a 3 + a 6 + a 9 = S (5) a + a 5 + a 9 = S (6) 5

6 a 3 + a 5 + a 7 = S (7) Rovnice (4) popisují součt v řádcích, rovnice (5) popisují součt ve sloupcích a poslední dvě rovnice (6), (7) součt na hlavních diagonálách. Sečtením všech tří rovnic (4) (případně všech tří rovnic (5)) dostaneme rovnici a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 = 3S. (8) Mnohem zajímavější je ale sečtení posledních dvou rovnic, ted rovnice (6) a (7). Tak dostaneme vztah Odečtením rovnice (9) od rovnice (8) dostaneme a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = S. (9) a + a 4 a 5 + a 6 + a 8 = S. (0) Tím se nám podařilo snížit počet neznámých a,..., a 9, na kterých je závislá konstanta S. Ve snižování počtu neznámých můžeme dále pokračovat. Prvk a a a 8 můžeme eliminovat, odečteme-li od rovnice (0) druhou z trojice rovnic (5). Dostaneme tak a 4 a 5 + a 6 = 0. () Zbývá poslední krok, ted eliminace prvků a 4 a a 6 tím, že od rovnice () odečteme druhou rovnici z trojice rovnic (4) a obdržíme 3a 5 = S, () což znamená, že a 5 = S 3. Ted prostřední člen a 5 magického čtverce o devíti polích je pevně daný, máme-li zadanou konstantu S čtverce. Druhá varianta řešení příkladu 4: Označme prvk magického čtverce jako a ij, kde i je řádkový inde a j sloupcový inde prvku. Dále označme prostřední prvek magického čtverce a =. Napišme, co platí pro součt prvků na diagonálách a pro prostřední sloupec. Platí Sečtením těchto tří rovnic dostáváme a + + a 33 = S, a a 3 = S, a + + a 3 = S. a + a + a a 3 + a 3 + a 33 = 3S, kde vidíme také součt prvků prvního a třetího řádku. Ted S S = 3S, odkud jasně vidíme, že pro prvek uprostřed daného magického čtverce platí = S 3. 6

7 5. Matematickou indukcí dokažte, že pro všechna přirozená čísla n =,,... eistuje n-ciferné číslo, jehož všechn cifr jsou liché a jež je dělitelné 5 n. Řešení příkladu 5: Abchom si uvědomili jak vést důkaz, je užitečné si několik prvních čísel, která požadavek splňují, ukázat konkrétně. Prvních pět z nich je vpsáno v následující tabulce. n 5 n Hledané n-ciferné číslo Podle této tabulk vslovíme domněnku, že hledané n-ciferné číslo má vžd všechn cifr na pozici jednotek, desítek,... stejné jako číslo předchozí, jen je před něj předřazena nějaká lichá číslice. Tohoto poznatku vužijeme při důkazu. Nejprve však zaveďme jednodušší zápis pro n-ciferné číslo N(n) = a + a 0 + a a n 0 n ve tvaru N(n) = [a n a n... a 3 a a ]. Nní přistupme k samotnému důkazu matematickou indukcí.. Dokážeme platnost tvrzení pro nejmenší přípustné n: Pro n = je hledaným číslem číslo 5, které je skutečně dělitelné 5.. Vslovíme indukční předpoklad pro n = k: Předpokládejme, že k-ciferné číslo N(k) = [a k a k... a 3 a a ], kde a,..., a k jsou lichá čísla, je dělitelné 5 k. Ted že platí N(k) = [a k a k... a 3 a a ] = 5 k c, kde c N. 3. Dokážeme platnost tvrzení pro n = k + : Dokážeme, že mezi čísl, která mají k + cifer, eistuje takové, které je dělitelné 5 k+ a jehož cifr jsou liché. Z počáteční úvah víme, že (k + )-ciferné číslo má tvar N(k+) = a +a 0+a a k 0 k +a k+ 0 k = [a k+ a k a k... a 3 a a ], kde a k+ je liché. Takových čísel je pět. Jsou to N (k + ) = [ a k... a 3 a a ]= 0 k + N(k) = 0 k + 5 k c= 5 k ( k + c), N 3 (k + ) = [3 a k... a 3 a a ]= 3 0 k + N(k) = 3 0 k + 5 k c= 5 k (3 k + c), N 5 (k + ) = [5 a k... a 3 a a ]= 5 0 k + N(k) = 5 0 k + 5 k c= 5 k (5 k + c), N 7 (k + ) = [7 a k... a 3 a a ]= 7 0 k + N(k) = 7 0 k + 5 k c= 5 k (7 k + c), N 9 (k + ) = [9 a k... a 3 a a ]= 9 0 k + N(k) = 9 0 k + 5 k c= 5 k (9 k + c). Musíme ted ukázat, že některé z čísel N (k+), N 3 (k+), N 5 (k+), N 7 (k+), N 9 (k+) je dělitelné číslem 5 k+. Ted stačí dokázat, že některé z čísel ( k + c), (3 k + c), (5 k + c), (7 k + c) a (9 k + c) je dělitelné číslem 5. Uvedená čísla mají rozdílné zbtk po dělení číslem 5 (stačí si uvědomit, že rozdíl každých dvou z nich není dělitelný pěti). Znamená to, že právě jedno z uvedených čísel je dělitelné pěti. Dokázali jsme, že pokud eistuje n-ciferné číslo dělitelné 5 n, pak eistuje (n + )-ciferné číslo dělitelné 5 n+. Vzhledem k tomu, že víme, že pro n = takové číslo eistuje, tak jsme dokázali celé tvrzení. 7

8 6. Karel má kouzelnou fiu a kouzelnou truhlu, která má všechn hran červené, což znamená, že je zamčená. Truhla má tvar pravidelného šestibokého hranolu. Kouzlo fi spočívá v tomto: Pokud s ní Karel přejede po hraně truhl, tak se hrana přebarví podle následujícího schématu. Červená hrana se změní na zelenou, zelená na žlutou a žlutá se změní na červenou. Pokud se Karlovi podaří přebarvit všechn hran truhl z červené na zelenou, aniž b fia opustila hranu truhl, pak se truhla odemkne. Je možné truhlu tímto způsobem odemknout? Zdůvodněte. Řešení příkladu 6: Ano, zamčenou kouzelnou truhlu s červenými hranami je možné kouzelnou fiou otevřít, tj. přebarvit všechn hran na zeleno bez zvednutí fi z hran truhl. Karel si uvědomil: Fiou se může přesouvat z jednoho vrcholu do libovolného sousedního vrcholu, aniž b změnil barvu hran. Stačí přejet po hraně třikrát (tam, zpátk, tam). Fiou může přebarvit libovolnou červenou hranu na zelenou, a přitom skončit ve stejném vrcholu, ve kterém začal. Stačí pouze po hraně přejet čtřikrát (tam, zpátk, tam, zpátk). Z toho ted plne, že fiou můžeme cestovat po hranách bez nějakého konkrétního plánu. Stačí si pokaždé jen uvědomit, zda chceme následující hranu přebarvit z červené na zelenou, nebo zachovat již zelenou barvu a jen se po hraně přesunout do dalšího vrcholu. 7. Uvažujme všechn pravoúhlé trojúhelník s přeponami kolmými k ose a s vrchol na parabole = p, kde p > 0. Dokažte, že výška na přeponu je u všech těchto trojúhelníků shodná. (Výškou zde rozumíme vzdálenost mezi vrcholem a patou kolmice, která tímto vrcholem prochází.) Řešení příkladu 7: C v B k S[a,0] A Obrázek 7: Parabola Uvažujme situaci načrtnutou na Obrázku 7. Označme bod, ve kterém přepona AB pravoúhlého trojúhelníka ABC protíná osu parabol jako bod S[a, 0]. Poznamenejme, že osa parabol je totožná s osou. Přepona AB leží na přímce dané rovnicí = a, kde a p. (3) Spočtěme průnik přepon AB s parabolou, tj. dosadíme rovnici (3) do rovnice parabol = p, ted = pa, odkud = ± pa. Vrchol A a B mají ted souřadnice [a, pa] a [a, pa]. 8

9 Množina všech vrcholů pravých úhlů sestrojených nad přeponou AB bude Thaletova kružnice k se středem S[a, 0] a poloměrem r. Rovnice kružnice k je ted Pro poloměr r = SA kružnice k ted platí k : ( a) + = r. (4) r = pa. (5) Dosazením rovnice (5) a rovnice parabol = p do rovnice (4) dostáváme Jde o kvadratickou rovnici, která má po úpravě tvar ( a) + p = pa. Diskriminant kvadratické rovnice (6) je roven + (p a) + a pa = 0. (6) D = 4(p a) 4(a pa) = 4p. Vidíme, že diskriminant je vžd kladný, rovnice (6) má ted dva reálné kořen, jimiž jsou = a a = a p. První z kořenů odpovídá -ovým souřadnicím bodů A, B přepon, druhý kořen je pak -ová souřadnice vcholu C, u kterého je pravý úhel. Nní nám zbývá určit vztah pro určení výšk v pravoúhlého trojúhelníku ABC, který splňuje požadované vlastnosti. Výška v, kterou hledáme, je vzdálenost bodu C od přepon. Vzhledem k situaci stačí zjistit rozdíl -ových souřadnic jejích krajních bodů, ted v = a (a p) = p. Hledaná výška v závisí pouze na parametru p parabol, a proto bude stejná pro všechn pravoúhlé trojúhleník s přeponou kolmou k ose pevně dané parabol a s vrchol na této parabole. 8. Určete pravděpodobnost, že dvě náhodně vbraná přirozená čísla jsou nesoudělná. Předpokládejme přitom, že pravděpodobnost, že vbereme sudé číslo je. Pravděpodobnost stačí zapsat ve formě vzorce. Řešení příkladu 8: Dvě přirozená čísla jsou nesoudělná, jestliže jejich největší společný dělitel je číslo. Základní věta aritmetik nám říká, že každé přirozené číslo větší než lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel. Odtud plne, že dvě přirozená čísla jsou nesoudělná právě tehd, kdž obě zároveň nejsou dělitelná žádným stejným prvočíslem. Pravděpodobnost, že libovolné přirozené číslo je dělitelné prvočíslem p je p (např. každé páté přirozené číslo je dělitelné číslem 5). Odtud plne, že pravděpodobnost, že dvě náhodně vbraná přirozená čísla jsou obě dělitelná tímto prvočíslem, je p. Pravděpodobnost, že alespoň jedno ze dvou přirozených čísel není dělitelné prvočíslem p je ted p (jedná se o pravděpodobnost opačného jevu). Nní je důležité si uvědomit, že dělitelnost různými prvočísl tvoří nezávislé jev. Proto lze pravděpodobnost, že dvě náhodně vbraná přirozená čísla jsou nesoudělná, zapsat jako součin jednotlivých pravděpodobností pro všechna možná prvočísla: ( p ), P je množina všech prvočísel. p P 9

10 Tento výraz lze dále upravit za použití tzv. Riemannov zeta funkce ζ(s), která je definovaná jako: ζ(s) = n = s p. Hledanou pravděpodobnost je ted možné vjádřit následovně: s n= p P ( p ) = ( ) p = p p P p P p P = ζ() = 6 π 6%. 9. Jeden dělník vkope jámu za jednu hodinu. Dva stejně zdatní dělníci b ji ted teoretick vkopali za půl hodin, ovšem jáma je natolik malá, že si navzájem zavazí. Uvažujme ted, že příchodem druhého dělníka se efektivita prvního dělníka sníží na polovinu. Třetí dělník sníží efektivitu oběma předchozím dělníkům opět na polovinu a tak dále. Příchodem každého dalšího dělníka se efektivita všech předchozích sníží na polovinu oproti stavu, který je před příchodem tohoho dělníka. Rádi bchom měli jámu vkopanou co nejdříve, proto si pozveme nekonečně mnoho dělníků. Za jak dlouho těchto nekonečně mnoho dělníků jámu vkope? Řešení příkladu 9: Efektivita posledního z nekonečně mnoha dělníků je. Dělník před ním má efektivitu. Další před ním = ( ). A tak dále. Zřejmě dostaneme řadu,, ( ( ), 3 ),..., jejíž člen vjadřují efektivitu jednotlivých kopáčů. Jde o nekonečnou geometrickou řadu, kde a n = ( ) n a kvocient q =. Ted platí, že q <. Pro součet nekonečné řad platí, že je roven Vpočteme ted požadovanou limitu ( lim a q n n q = lim n lim s q n n, kde s n = a n q. ( ) n ) Efektivita nekonečně mnoha dělníků je celkově rovna. = lim n ( ( ) n + ) =. Víme, že pro dělníka s efektivitou je vkopání jám práce na 60 minut. Pro nekonečně mnoho dělníků s celkovou efektivitou to bude práce na minut. K výpočtu času použijeme nepřímou úměrnost, protože platí, že čím větší efektivita výkonu, tím kratší čas na výkop potřebujeme. efektivita minut efektivita... minut = 60 = 30 Nekonečně mnoho dělníků b jámu vkopalo za 30 minut. 0

11 0. Načrtněte graf funkce = e sin. Poznámka: e je základ přirozeného logaritmu. = je funkce dolní celá část čísla, která každému reálnému číslu přiřazuje největší celé číslo, které je menší nebo rovno číslu. Graf funkce = je na Obrázku Obrázek 8: Graf funkce = Řešení příkladu 0: Stačí si uvědomit, jakých hodnot nabývá funkce sin. Platí pro = (k + ) π, k Z, sin = pro ((k + )π, (k + )π), k Z, 0 jinak. Potom e sin nabývá hodnot a graf je na Obrázku 9. e sin = e pro = (k + ) π, k Z, e pro ((k + )π, (k + )π), k Z, jinak ± e - e -± -± ± ± ± -- 3± ± ± sin Obrázek 9: Graf funkce = e Internetovou matematickou olmpiádu pro Vás oragnizuje Ústav matematik FSI VUT v Brně. Na přípravě zadání a celé realizaci se nemalou měrou podílejí studenti bakalářského a magisterského oboru Matematické inženýrství a doktorského oboru Aplikovaná matematika na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně. hoderova@fme.vutbr.cz