SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Transkript

1 SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ANTONÍN KEJZLAR 1963 Vydavatel: Vysoká škola strojní a textilní v Liberci Nakladatel: Státní nakladatelství technické literatury Praha Elektronické zpracování: Jan Mizerovský, SPŠ sdělovací techniky v Praze 1, Panská 3

2 Předmluva Deskriptivní geometrie patří mezi nejsnazší předměty pro toho, kdo dokonale porozuměl základním poznatkům; tomu, kdo tyto základní poznatky naprosto bezpečně nezvládl, se bude studium deskriptivní geometrie jevit neobyčejně obtížným. Už od prvních začátků je nutno osvojovat si všechny poznatky na základě plného porozumění. Prostorovou představivost, již má studium deskriptivní geometrie také pěstovat, cvičíme užíváním vhodných modelů, třebas i jen improvizovaných. Pohotovosti a utvrzení představivosti docílíme častým cvikem, tj. vyřešením značného množství úloh. S postupujícím rozvojem prostorové představivosti záměrně omezujeme používání modelů; vymodelování složitějších prostorových situací je ostatně často velmi obtížné a řešení se tu zakládá na dobré představě i správném logickém usuzování. Velmi cenným cvičením je slovní popisování rozboru i postupu řešení. Dovede-li studující úlohu stručně a výstižně vysvětlit, je to velkou zárukou, že věci skutečně rozumí. Výmluvu, že to umím, jen to nedovedu říci nutno zamítnout jako zcela lichou. Délkové rozměry jsou uváděny v centimetrech (v původním textu byly uváděny v milimetrech). Kladné souřadnice x nanášíme na osu x vpravo od počátku, kladné souřadnice y pod osu x a kladné souřadnice z nad osu x. Na konci některých úloh jsou v kulaté závorce uvedena čtyři čísla, jež informují o tom, kolik místa je třeba nad počátkem, kolik nalevo i napravo od počátku a kolik pod počátkem. U příkladů z axonometrie tato čtyři čísla informují o potřebě místa vzhledem k vrcholu X axonometrického stopního trojúhelníka. Některé obtížnější úlohy mají na konci oddílu pokyny k řešení. Takové příklady mají za číslem úlohy. V některých příkladech je poloha bodů určena jen dvěma souřadnicemi, jak je obvyklé při určování polohy bodu v rovině. Antonín Kejzlar, 1959 Sbírka obsahuje velmi kvalitní, metodicky promyšlený výběr úloh. Úloha deskriptivní geometrie pro tvorbu technického myšlení při výchově budoucích techniků je nezastupitelná. Toto jsou důvody, které mne vedly k přepisu sbírky do elektronické podoby. Pan profesor Kejzlar patřil mezi nejlepší učitele, s nimiž jsem se jako žák setkal. Budu rád, pokud jeho práce, i po tolika letech od svého prvého vydání, bude inspirací pro studenty, které baví geometrie. Úlohy sbírky lze využít k obohacení výuky. Kapitoly, které přesahují rámec středoškolské výuky mohou být podnětné pro volbu dlouhodobých seminárních prací. Proti původnímu vydání jsem délkové rozměry převedl z mm na centimetry a upravil jsem číslování (nikoli řazení) úloh. Děkuji svým žákům Jakubu Arnoldovi a Ondřeji Dyrkovi, studentům technického lycea, za pomoc při pečlivém přepisu této sbírky. Jan Mizerovský,

3 A - Geometrické konstrukce I. Planimetrie Příklady uvedené v tomto oddíle je třeba rozřešit všechny a k obtížnějším úlohám se po čase ještě jednou nebo dvakrát vrátit. Vyskytnou se jako součást řešení některých úloh o kružnici, o ploše kulové a j. A - I. 1. Sestrojte různoběžník daný stranami a, b, c a vnitřními úhly α, β. A - I. 2. A - I. 3. A - I. 4. A - I. 5. A - I. 6. Jsou dány různoběžky a, b, c jdoucí bodem D. Sestrojte úsečku AB tak, aby měla délku d, aby bod A ležel na přímce a a bod B na přímce b a aby AB bylo rovnoběžno s přímkou c. Daný trojúhelník proměňte na rovnoplochý trojúhelník rovnostranný. Uvnitř úhlu sevřeného polopřímkami a, b leží bod C. Bodem C veďte přímku tak, aby úsečka vyťatá na ní polopřímkami a, b byla bodem C půlena. Zvolte úsečky a = 5, b = 4 tak, aby se protínaly ve vnitřních bodech a svíraly úhel asi 120. Najděte body, z nichž je viděti úsečku a pod úhlem 60 a úsečku b pod úhlem 105. Jsou dány různoběžky a, b a body C, D ležící uvnitř jednoho úhlu jimi vytvořeného. Narýsujte dráhu světelného paprsku, který vychází z bodu C, odráží se od přímky a i b a prochází bodem D. A - I. 7. Spojte daný bod A s nepřístupným průsečíkem přímek a, b. A - I. 8. A - I. 9. A - I. 10. Ve čtyřúhelníku ABCD jsou protilehlé vrcholy A, C nepřístupné. Sestrojte úhlopříčku, jež těmito vrcholy prochází. Do dané kruhové výseče vepište čtverec. Dány jsou rovnoběžky a, b a bod C, který na žádné z nich neleží. Bodem C veďte přímku tak, aby rovnoběžky a, b na ní vytínaly úsečku dané délky. A - I. 11. Jsou dány tři navzájem rovnoběžné přímky a, b, c a bod A ležící na přímce a. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrchol B ležel na přímce b a vrchol C na přímce c. A - I. 12. Sestrojte pravidelný a) pětiúhelník (desetiúhelník) vepsaný do kružnice daného poloměru b) pětiúhelník o dané straně. A - I. 13. Na přímce AB najděte bod C, aby platilo (ABC) = k, kde k je rovno 1,5 nebo -6; nebo -3. A - I. 14. Sestrojte úsečky: dané délky. abc x =, y = ab + cd, z = a 7 de, kde a, b, c, d, e jsou úsečky A - I. 15. Sestrojte trojúhelník, dáno-li a) a + b = 8, c = 5, γ = 60 b) a b = 3, c = 6, γ = 60. 3

4 A - I. 16. A - I. 17. A - I. 18. Sestrojte nevyznačený střed narýsovaného kruhového oblouku. Kruhový oblouk má nedostupný střed. Ve zvoleném bodě tohoto oblouku sestrojte tečnu. Sestrojte přímku jdoucí daným bodem A tak, aby protínala danou kružnici k(s; 4,5) tak, že délka tětivy měří d = 2,5 /SA = 7/. A - I. 19. Sestrojte kružnici o poloměru r = 12 tak, aby se dotýkala dané kružnice k(s; 6) a dané přímky p / střed S leží ve vzdálenosti ;8 od přímky p /. A - I. 20. Sestrojte společné tečny dvou daných kružnic a) leží-li jedna vně druhé; b) protínají-li se obě kružnice. A - I. 21. Sestrojte kružnici tak, aby procházela bodem A a dotýkala se různoběžek b, c. A - I. 22. A - I. 23. Sestrojte kružnici tak, aby procházela danými body A, B a dotýkala se dané přímky m. Sestrojte chordálu dvou daných kružnic, jež se neprotínají. A - I. 24. Sestrojte kružnici, která se dotýká dané kružnice k a přímky t v bodě T. A - I. 25. Sestrojte kružnici, která se dotýká daných přímek a, b a dané kružnice k. A - I. 26. Sestrojte kružnici jdoucí danými body A, B a dotýkající se dané kružnice k. Pokyny k řešení některých úloh: 3. Daný trojúhelník proměňte na rovnoplochý čtverec. Zvolený rovnostranný trojúhelník proměňte rovněž na rovnoplochý čtverec. Strany obou čtverců a jim odpovídajících rovnoplochých rovnostranných trojúhelníků jsou úměrné. 4. Bod C je průsečík úhlopříček rovnoběžníka, jehož jeden vrchol je společný bod polopřímek a, b a další vrcholy jsou průsečíky polopřímek a, b s hledanou přímkou. 6. Je-li C 1 obraz bodu C podle osy souměrnosti a a D 1 obraz bodu D podle osy b, leží na přímce C 1 D 1 paprsek po prvním odrazu. 8. K trojúhelníku ABC sestrojte dva stejnolehlé trojúhelníky při středu stejnolehlosti ve vrcholu D. Vrcholy C 1, C 2 těchto stejnolehlých trojúhelníků leží na hledané úhlopříčce. 9. Užijte stejnolehlosti se středem totožným se středem kružnice. Čtverec může být do výseče vepsán tak, že na oblouku leží jeden nebo dva vrcholy čtverce. 10. Využijte rovnosti protilehlých stran rovnoběžníka. 11. Předpokládejme, že rovnoběžka b leží uvnitř přímého pásu vytvořeného rovnoběžkami a, c. Otočme hledaný trojúhelník ABC kolem A o 60, takže vznikne trojúhelník AB 1 C 1. Platí C = B 1. Přímka b se otočí do polohy b 1, kterou snadno sestrojíme. Bod C bude ležet tedy také na přímce b 1. Je-li jiné uspořádání přímek a, b, c než předpokládáme, provádíme otáčení kolem vrcholu, jenž leží na přímce ležící uvnitř přímého pásu vytvořeného zbývajícími rovnoběžkami. 12. b) Existuje jednoduchá avšak méně známa konstrukce. Lze též použíti stejnolehlosti s pravidelným pětiúhelníkem vepsaným do zvolené kružnice. 4

5 19. Tětivy rovnoběžné s tečnou jsou půleny poloměrem jdoucím bodem dotyku. 21. Řešte pomocí stejnolehlosti hledané kružnice s libovolnou kružnicí, jež se dotýká daných různoběžek. Středem stejnolehlosti je průsečík daných různoběžek. 22. Určete průsečík C přímek AB, m. Pomocí mocnosti bodu C ke hledané kružnici najděte na přímce m bod dotyku. 24. Hledaná kružnice je stejnolehlá s kružnicí k, střed stejnolehlosti je v neznámém bodu dotyku obou kružnic. Odpovídá-li v této stejnolehlosti bod T k na kružnici k danému bodu T, prochází přímka TT k hledaným středem stejnolehlosti. 25. Hledaná kružnice je stejnolehlá s kružnicí k podle středu, jímž je neznámý bod dotyku obou kružnic. Pár bodů v této stejnolehlosti sobě odpovídajících určí průsečík přímek a, b a průsečík s nimi sdružených tečen a 1, b 1 kružnice k. 26. Sestrojte libovolnou kružnici k 1 jdoucí body A, B a protínající kružnici k. Spolu s hledanou kružnicí máme zde tři kružnice, jejichž potenční střed snadno sestrojíme. Tečna ve společném bodě kružnice k a kružnice hledané je zároveň jejich chordálou a pomocí potenčního středu ji snadno sestrojíme. II. Stereometrie Úlohy uvedené v tomto oddíle patří k základnímu učivu SŠ. Je třeba rozřešiti všechny úlohy, neboť se často vyskytují jako součást složitějších úloh. Řešení se provádí ústním vysvětlením postupu nebo symbolickým zápisem postupu, někdy náčrtem ve volném rovnoběžném promítání. A - II. 1. A - II. 2. A - II. 3. Daným bodem proložte rovinu rovnoběžnou se dvěma danými mimoběžkami. Dány jsou dvě různoběžné roviny. Bodem, který neleží v žádné z nich, veďte přímku rovnoběžnou s oběma rovinami. V dané rovině veďte daným bodem rovnoběžku s jinou danou rovinou. A - II. 4. Přímkou a, jež protíná různoběžné roviny β, γ veďte rovinu, jež protíná roviny β, γ v rovnoběžkách. A - II. 5. A - II. 6. A - II. 7. A - II. 8. A - II. 9. Dána je přímka p a rovina ρ, jež je různoběžná s přímkou p. Sestrojte úhel, který svírá přímka p s rovinou ρ. V rovině ρ veďte bodem M přímku kolmou k dané přímce p, jež je různoběžná s rovinou ρ. Je dána rovina ρ a přímka p s ní rovnoběžná. Daným bodem A, který neleží ani na přímce p ani v rovině ρ, veďte přímku a různoběžnou s přímkou p tak, aby úsečka vyťata na přímce a přímkou p a rovinou ρ měla danou délku d. Jsou dány různoběžky a, b a přímka c s oběma mimoběžná. Dále je dána rovina ρ, jež není rovnoběžná se žádnou z těchto tří přímek. Sestrojte přímku d tak, aby protínala přímky a, b, c a byla rovnoběžná s rovinou ρ. Jsou dány mimoběžky p, q. Sestrojte k nim příčku a) jdoucí daným bodem A b) mající daný směr s. 5

6 A - II. 10. Jsou dány mimoběžky a, b. Sestrojte jejich osu. A - II. 11. Co je geometrické místo bodů, které jsou stejně vzdáleny a) od tří bodů neležících na jediné přímce b) od tří rovin, jež mají společný právě jeden bod. A - II. 12. Jsou dány body A, B a přímka c, jež jimi neprochází. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC s vrcholem C na přímce c tak, aby úsečka AB byla a) jeho základnou; b)jeho ramenem. A - II. 13. Sestrojte úhel dvou daných rovin. A - II. 14. Sestrojte rovnoběžnostěn, jehož tři mimoběžné hrany leží na daných mimoběžkách a, b, c. A - II. 15. Dány jsou mimoběžky a, b a rovina ρ. K daným mimoběžkám veďte příčku rovnoběžnou s rovinou ρ tak, aby s oběma mimoběžkami svírala stejné úhly. A - II. 16. Sestrojte dvě shodné rotační plochy válcové, jež se vzájemně dotýkají a jejichž osy leží na daných mimoběžkách a, b. A - II. 17. Jsou dány tři mimoběžky a, b, c. Sestrojte rotační válcovou plochu, jež obsahuje přímku a a dotýká se přímek b, c. A - II. 18. Sestrojte plochu kulovou, znáte-li její 4 tečny, z nichž 3 procházejí jedním bodem. A - II. 19. Sestrojte plochu kulovou, znáte-li tři její body a rovinu, jíž se má dotýkat. Pokyny k řešení některých úloh: 14. Jedna z hran hledaného rovnoběžnostěnu směru a je příčkou mimoběžek b, c; podobně to platí o dalších směrech. 15. Libovolným bodem veďte přímku a, resp. b rovnoběžnou s přímkou a, resp. b. Kterákoli přímka ležící v rovině, jež převádí souměrností přímku a do přímky b, svírá s přímkami a, b shodné úhly. 16. Poloměry válcových ploch jsou rovny polovině nejkratší příčky mimoběžných os válců. 20. Třemi tečnami vycházejícími z jednoho bodu je určena rotační plocha kuželová, jíž se hledaná plocha kulová dotýká. Libovolná plocha kulová vepsaná do této plochy kuželové je s hledanou kulovou plochou stejnolehlá. Rovina proložená společným bodem daných tří tečen a čtvrtou tečnou protne pomocnou i hledanou kulovou plochu v kružnicích, jež jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je v bodě společném daným třem tečnám). 21. Spojnice dvou daných bodů protne tečnou rovinu v bodě M. Pomocí mocnosti bodu M k ploše kulové určíme jedno geometrické místo bodů dotyku v dané rovině tečné. Totéž opakujeme pro spojnici jiné dvojice daných bodů a zjistíme bod dotyku na dané tečné rovině. B - Kuželosečky V tomto oddíle jsou zahrnuty takové úlohy o kuželosečkách, jež lze řešit pomocí ohniskových definic kuželoseček. Kromě těchto definic je třeba umět sestrojit body kuželoseček, řešit úlohy o tečnách a o kružnicích (event. přímkách) vrcholových a řídicích. Při rýsování kuželoseček se používá vždy oskulačních kružnic ve vrcholech. 6

7 Úlohy o sestrojení kuželosečky je třeba vyřešit tak daleko, aby kuželosečka byla určena co nejjednodušeji (např. vrcholy). B - I. 1. B - I. 2. B - I. 3. B - I. 4. B - I. 5. B - I. 6. B - I. 7. B - I. 8. B - I. 9. B - I. 10. B - I. 11. B - I. 12. B - I. 13. B - I. 14. K dané kuželosečce sestrojte tečny a) z daného bod; b) rovnoběžné s daným směrem. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohniskem. Jejím středem prochází přímka p. Určete průsečíky přímky p s elipsou bez rýsování křivky. Sestrojte elipsu, dáno-li: a) jeden hlavní a jeden vedlejší vrchol a délka poloosy; b) hlavní vrchol A, vedlejší vrchol C a délková výstřednost e; c) vedlejší vrchol C, ohnisko F 1 a tečna t. d) oba hlavní vrcholy a jeden bod. Sestrojte elipsu, znáte-li jedno její ohnisko F 1 (-4,3; 4,6), délku hlavní osy 2a = 11 a dva body M(-3,7; 7,2), N(3,7; 7,2). (11; 6; 6; 0). Sestrojte hyperbolu, dáno-li: a) přímka, na níž leží reálná osa, jedno ohnisko a jedna asymptota; b) ohnisko, jedna asymptota a směr druhé asymptoty; c) ohnisko, směry obou asymptot a tečna; d) obě asymptoty a bod; e) obě asymptoty a tečna. Hyperbola je dána oběma asymptotami a jedním bodem T. V bodě T sestrojte tečnu bez určení ohnisek hyperboly. Hyperbola je dána asymptotami a bodem M. Omezte její průměr, který leží v tom úhlu asymptot jako bod M. Sestrojte hyperbolu, znáte-li jednu její asymptotu a tři body. Sestrojte parabolu, dáno-li: a) osa s ohniskem a jeden bod; b) osa s ohniskem a tečna; c) osa s ohniskem a normála; d) osa a tečna s bodem dotyku; e) osa, normála, délka parametru p; f) osa, tečna a délka parametru p; g) ohnisko, tečna a bod, který na dané tečně neleží; h) osa a dva body; i) řídicí přímka a dvě tečny; j) řídicí přímka, tečna a bod, který neleží na dané tečně; k) ohnisko a dva body; l) dvě tečny s body dotyku. Sestrojte parabolu, znáte-li směr osy, tečnu s bodem dotyku a a) další bod; b) další tečnu. Sestrojte parabolu, je-li dán její vrchol a tečna s bodem dotyku. Sestrojte kuželosečku, dáno-li: a) oba hlavní vrcholy a jedna tečna; b) obě ohniska a jedna tečna; c) ohnisko a tři tečny; d) obě ohniska a normála; e) jedno ohnisko, dva body a délka hlavní poloosy; f) jedno ohnisko, dvě tečny a délka hlavní poloosy; g) jedno ohnisko, tečna s bodem dotyku a délka hlavní poloosy; h) jedno ohnisko, jeden bod a jedna tečna (jež nejsou incidentní), délka hlavní poloosy; i) střed, dvě tečny a délka hlavní poloosy; j) střed, tečna a délky obou poloos. Sestrojte kružnici, která se dotýká a) tří daných kružnic; b) dvou daných kružnic a dané přímky. Sestrojte osy elipsy dané sdruženými průměty. 7

8 Pokyny k řešení některých úloh: 2. Sestrojte průměr q sdružený s průmětem p. Tečny směru q se elipsy dotýkají v bodech ležících na průměru p. 3. b) Použijte vztahů (AC) 2 = a 2 + b 2, e 2 = a 2 - b 2. c) CF 1 = a. 5. c) Sestrojte nejprve vrcholovou kružnici. 6. Úsek tečny ležící mezi asymptotami je půlen bodem dotyku. 7. Bodem M veďte rovnoběžku s průměrem p, jež protne asymptoty v bodech X, Y. Součin MX x MY je konstantní pro každý bod hyperboly. Je-li jeden koncový bod průměru p označen P, musí platit (SP) 2 = MX x MY. 8. Protíná-li libovolná sečna hyperbolu v bodech M, N a její asymptoty v bodech X, Y, platí MX = NY. 9. c) součet subtangenty a subnormály je půlen ohniskem f) pomocí subnormály sestrojte na dané tečně bod dotyku h) průměr, který půlí úsečku spojující oba dané body, má v koncovém bodě tečnu rovnoběžnou s touto úsečkou. Můžeme tedy sestrojit délku parametru p. 10. Využijte vlastnosti, že průměr procházející průsečíkem tečen půlí tětivu která spojuje jejich body dotyku. 11. Průmět bodu dotyku do osy křivky a průsečík tečny s osou křivky jsou středově souměrné podle vrcholu křivky. Průmět bodu dotyku do osy musí tedy ležeti na přímce, jež je s tečnou souměrně sdružena podle vrcholu jakožto středu souměrnosti. Dále využijte toho, že spojnice bodu dotyku s jeho průmětem do osy je na osu kolmá. 12. d) Obraz jednoho ohniska podle normály jakožto osy leží na průvodiči, který spojuje bod, v němž je normála sestrojena, s druhým ohniskem. 13. Řešte pomocí geometrických míst středů kružnic, které se dotýkají dvou daných kružnic nebo jež se dotýkají dané přímky a dané kružnice. C - Kótované promítání Některé základní úlohy se velmi často vyskytuji jako součást řešení úloh složitějších. Základní úlohu je třeba dokonale ovládat, abychom při řešení složitějších úloh již nemuseli promýšlet tyto detaily a mohli se plně věnovat dané úloze. Základní úlohy jsou obsazeny v příkladech 1 9 a je výhodné provést každou asi až desetkrát při nejrůznější volbě zadání. Toto cvičení je vhodné rozvrhnou do několika dnů, nemělo by cenu provést všech 10 řešení po sobě (i když by to časově bylo snadno možné). Není třeba tyto úlohy přesně rýsovat, stačí náčrtky od ruky. Z ostatních úloh není třeba (a časově ani není možno) podrobně prorýsovat všechno. Stačí podrobně vyřešit jen 15% - 25% úloh a ostatní řešit jen rozborem (rozložením úlohy na sled částí a uvědomit si, kterých základních úloh se při tom použije). Je třeba podrobně provést tu úlohu, která se zdá méně snadná nebo příliš složitá. Úlohy, které následují za sebou se v některých podstatných věcech sobě podobají a není nutné je tedy řešit všechny. Začátečník bude řešit větší počet úloh, a to hlavně na začátku tohoto oddílu. Úlohu, kterou jste nemohli rozřešit samostatně, si vyznačte a po čase se pokuste rozřešit ji znovu samostatně (tj. kromě textu úlohy nepoužít ničeho jiného, ani např. neprohlížet obrázek, na němž jste úlohu dříve rozřešili). Je omylem domnívat se, že jsem 8

9 se něčemu naučil tím, že jsem si prohlédl vyřešenou úlohu a všemu jsem rozuměl. Chci-li mít jistotu, že věc umím, musím to zkusit zcela samostatně a nedávat si pomoci ničím. Není třeba provést řešení vždy až do konce, stačí provést je tak daleko, že jsem si jist, že v dokončení již není nic, co bych nedokázal bezpečně a samostatně vyřešit. I. Základní úlohy C - I. 1. C - I. 2. C - I. 3. C - I. 4. C - I. 5. C - I. 6. C - I. 7. C - I. 8. C - I. 9. Promítací lichoběžník a rozdílový trojúhelník: Sestrojení skutečné délky úsečky, Nanesení úsečky dané délky na přímku. Odchylka přímky od průmětny. Určení koty bodu ležícího na přímce a daného průmětem a sestrojení bodu ležícího na přímce majícího danou kótu. Určiti vystupňovanou spádovou přímku roviny dané a) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní; b) dvěma různoběžkami; c) dvěma rovnoběžkami; d) třemi body neležícími na jediné přímce. Daným bodem vésti rovinu rovnoběžnou s danou rovinou (jakkoli zadanou). Určit odchylku od roviny (jakkoli zadané) od průmětny. Určit průsečnici dvou rovin (jakkoli zadaných). Určit průsečík přímky s rovinou (jakkoli zadanou). Daným bodem vésti přímku kolmou k dané rovině (jakkoli zadané). Daným bodem vésti rovinu kolmou na danou přímku. Otočit rovinu s útvary v ní obsaženými do průmětny nebo do polohy rovnoběžné s průmětnou. Sestrojit průmět kružnice ležící v dané rovině a určené středem a poloměrem. Pokyny k řešení některých úloh: 1. Sestrojte skutečné délky stran a pomocí nich skutečný tvar a velikost trojúhelníka. V něm sestrojte výšky a pak sestrojte jejich průměty pomocí vrcholů a pat výšek. II. Přímky, roviny, rovinné útvary C - II. 1. C - II. 2. C - II. 3. C - II. 4. Bodem A(-1; 4; 2) veďte rovnoběžku s průmětnou tak, aby protínala přímku b = BP [ B(-2; -1,5; 5), P(3; 3; 0)]. (2; 5; 4; 5). Zvolte si trojúhelník kotovanými průměty jeho vrcholů a sestrojte v něm obrazy jeho výšek. Úlohu řešte pouze užitím promítacích lichoběžníků nebo rozdílových trojúhelníků. Je dána přímka a různoběžná s rovinou ρ. Bodem A roviny ρ sestrojte v rovině ρ kolmici na danou přímku a. Dány jsou dvě mimoběžky a, b. Určete jejich úhel. 9

10 C - II. 5. Přímka a je různoběžná s rovinou ρ. Sestrojte pravoúhlý průmět přímky a do roviny ρ. C - II. 6. Určete úhel, který svírá přímka m = AB s rovinou ρ(-3,5; 4; 3) [A(0; 2; 6), B(3; 4; 0)]. (4; 6; 6; 9) C - II. 7. Stanovte úhel, který svírá rovina trojúhelníka ABC s rovinou ρ(-5; 4; 4) [A(2; -3; 2), B(-3; -5; 6), C(-2; -1; 4)]. (11; 10; 10; 9) C - II. 8. V rovině ρ(-3; 2; -5) určete příčku mimoběžek a = AP, b = BC [A(1; 0; 4,5), B(1; 6; 5), C(8; 3; 0), P(-3; 0; 0)]. (0; 4; 9, 7) C - II. 9. Sestrojte příčku mimoběžek a = AB, b = CD rovnoběžnou se směrem s = EF [A(4; 2; 5), B(0; -7; 0), C(-4; 1,5; 3), D(1,5;10; 9), E(-2; 2; 3), F(2; 5; 0)]. (1; 6; 10; 11) C - II. 10. Bodem P(7; 8; 0) veďte příčku k mimoběžkám a = AC, b = BD [A(0; 10; 1), B(9,5; 8; -2), C(11; 1,5; 8), D(1,5; 1,5; 7)]. (0; 1; 12; 12) C - II. 11. Sestrojte osu mimoběžek a = AO, b = BP. [A(0; 5; 5), B(-4; 0; 7), O(0; 0; 0), P(3; 0; 0)]. (4; 6; 6; 10) C - II. 12. Sestrojte roviny souměrnosti dvojice rovin α (4; -7; -3), β (9; -3; 8). (8; 6; 13; 6) C - II. 13. Sestrojte zásek rovnoběžníků ABCD a PQRS a vyznačte viditelnost [A(-5; 3; 4), B(0; 6; 0), C(3; 0; 3), P(4; 3; 0), Q(-4; 6; 6), R(-2; 0; 1)]. (4; 8; 9; 8) C - II. 14. V kótovaném promítání zobrazte střechu na budově obdélníkového půdorysu. Půdorysné odchylky sousedních rovin volte různě veliké. C - II. 15. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, který leží v rovině kolmé k přímce q = QR a má vrchol B na přímce q [A(2; 5; 6), Q(-6; 6; 8), R(5; -2; -2)]. (6; 13; 7; 15) C - II. 16. Zobrazte trojúhelník ABC, znáte-li jeho uhly α = 60, β = 45, víte-li, ze vrchol C leží v rovině ρ(5; 5; 4) [A(-6; 9; 6), B(5; 6; 3)]. (5; 9; 6; 16). C - II. 17. Zobrazte pravidelný šestiúhelník, který leží v rovině kolmé na přímku q = QR, znáte-li jeho vrchol A(-2; 4; 5) a víte li, že jeho střed leží na přímce q [Q(6; 6; 8), R(-5; -2; -2)]. (5; 6; 10; 13). C - II. 18. Zobrazte kružnici o středu S(0; 3; 4) tak, aby se dotýkala přímky t = QR [Q(-6; 2; 5), R(-1; 6; 1)]. (0; 10; 6; 15) C - II. 19. Zobrazte kružnici o poloměru r = 3 tak, aby procházela bodem M(-2; 2; 6) a dotýkala se přímky t = QR [Q(-6; 2; 5), R(-1; 6; 1)]. (0; 9; 5; 15) C - II. 20. Sestrojte kružnici dotýkající se přímky t = AB v bodě B a procházející bodem C(-2; -9; 8) [A(5; -10; 0), B(0; -4; 4)]. (13; 8; 10; 0) C - II. 21. Sestrojte kružnici se středem na přímce a = AB tak, aby procházela body C, D [A(-2; 2; 2), B(3; -4; 8), C(1; -5; 7), D(4; -1; 3)]. (9; 10; 10; 14) 10

11 C - II. 22. Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC [A(-7; 0; 0), B(2,5; 0; 2), C(0; -5; 5)]. (6; 8; 3; 11). C - II. 23. Sestrojte pravoúhlý průmět elipsy, jež má hlavní vrcholy A(-4; 2; 5), B(0; 9; 1) a prochází bodem M(-2; 2,5; 3). (1; 10; 10; 13) Pokyny k řešení některých úloh: 16. Uvažte, co je geometrické místo vrcholů C trojúhelníků o straně AB a daných úhlech. III. Zobrazení těles C - III. 1. Zobrazte krychli se stěnou ležící v rovině ρ(4,5; 5; 4,5), znáte-li dva protilehlé vrcholy této stěny A(-2; 0;?), C(2,5; 1;?). (6; 5,5; 6,5; 7,5) C - III. 2. Zobrazte krychli, znáte-li středy dvou rovnoběžných stěn 1 S(0; 6,5; 4,5), 2 S(3,5; 3; 7), víte-li, že jedna úhlopříčka stěny se středem 1 S svírá s průmětnou C - III. 3. C - III. 4. C - III. 5. úhel 60. (1; 10; 10; 13) Zobrazte krychli o hraně AB, jejíž jedna stěna touto hranou proložená svírá s průmětnou úhel φ [A(7,5; 5; 2,8), B(11; 9,5; 1), tgφ = 5/3]. (0; 0; 17; 14). Zobrazte krychli, znáte-li průměty jejích dvou hran vycházejících z téhož vrcholu [A(0; 0; 0), D(5; 0;?), A 1 BB1 = 4, B 1 A 1 D 1 = 60 ]. (8; 2,5; 9; 5) Zobrazte pravidelný trojboký hranol s pobočnou hranou AD, jehož další pobočná hrana prochází bodem M [A(-4; 4; 6), D(2; 7; 9), M(4; 4; 4,)]. (1,5; 8,5; 6,5; 11) C - III. 6. Zobrazte průmět pravidelného čtyrbokého jehlanu s temenem V(6; 0; 8) a podstavným vrcholem A(-5; 8; 8), jehož osa prochází bodem R(-8; 10; 0). (8; 11; 10; 16) C - III. 7. C - III. 8. C - III. 9. Zobrazte pravidelný čtyrboký jehlan s temenem V(3; 7; 8), jehož podstava leží v rovině ρ(6; 6; 3) a jeden podstavný vrchol je A(2; 1;?). (0; 5; 7; 13) Zobrazte pravidelný čtyrboký jehlan, jehož jedna pobočná stěna leží v rovině ρ = LMN, osa leží na přímce o = PQ a výška v = 7 [L(6,5; 7; 0), M(0; 3; 11,5), N(3; 11; 6), P(8; 2; 0), Q(-4; 12; 5,5)]. (2; 9,5; 1;5; 18) Zobrazte pravidelný čtyrboký hranol s tělesovou úhlopříčkou AG, jehož podstava leží v rovině určené body A, K, L [A(3; 7; 2), G(-2; 7; 9). K(-2; 0; 0), L(5; 5; 0)] (9; 8; 12; 18) C - III. 10. Zobrazte pravidelný pětiboký jehlan o temeni V(6; 1,5; 8,2), středu podstavy S(0; 4,5; 6), jehož jedna pobočná hrana je rovnoběžná s osou x. (1; 8; 11; 13) C - III. 11. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou o středu S(0;?; 4) v rovině ρ(-8; 9; 7), jehož jedna stěna leží v průmětně. (1; 9; 7; 16) C - III. 12. Zobrazte krychli, znáte-li její střed S(-1;2; 6,9; 6,4), rovinu jedné stěny α(-15,5; 17,7; z > 0) s odchylkou φ = 60 a kótu vrcholu A v rovině α z A = 3 (0; 17; 0; 14) 11

12 C - III. 13. Dokažte, že obrysem průmětu krychle, jejíž jedna tělesová úhlopříčka je kolmá k průmětně, je pravidelný šestiúhelník. C - III. 14. Zobrazte pravidelný osmistěn s osou EF a s jedním dalším vrcholem v půdorysně [E(-3,7; 6,5; 1), F(4,5; 1; 7)]. (4; 6; 9; 11) C - III. 15. Zobrazte pravidelný dvanáctistěn stojící jednou stěnou na půdorysně, znáte-li střed této stěny S(0; 0; 0) a jeden vrchol A(0; 3; 0). (7; 7; 7; 7) C - III. 16. Sestrojte obraz pravidelného dvacetistěnu, jehož jedna osa jdoucí vrcholem A(;;0) je kolmá k průmětně, znáte-li délku hrany a = 4. (6; 6; 6; 6) C - III. 17. Zobrazte rotační kužel, znáte-li dva body K, L na podstavné hraně, poloměr podstavy r = 4 a vrcholovou přímku v = PQ [K(0; 10; 10), L(4; 8; 6), F(4; 0; 0), Q(-2; 2; 2)]. (1; 10; 6; 15) C - III. 18. Zobrazte rotační kužel o straně s = 1;5 a poloměru podstavy r = 3,5, aby jeho vrchol měl průmět na ose x a aby se podstavná kruhová hrana dotýkala přímky t = TQ v bodě T [Q(2; 8; 1), T(-1; 8; 4,3)]. (0; 7; 9; 13) C - III. 19. Zobrazte rotační kužel s osou na přímce a = AP, s tělesovou výškou v = 12 a s tečnou rovinou τ( ; -1; -1) [S(-5; -6,5; 3,5), P(-1,5; -5,7; 0)]. (12; 9; 10; 0) C - III. 20. Zobrazte rotační komolý kužel, jehož plášť vytvoří úsečka MN otáčející se kolem osy o = KL [M(2; 11,5; 0), N(-1; 7; 2,5), K(0; 5,5; 1), L(6; 11;?)]. (0; 9,5; 1;5; 13) C - III. 21. Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká přímky a = AN v bodě A a přímky b = BM v bodě B [A(2; 4,2; 0), B(4; 8; 9), M(9; 4; 7), N(2; 0; 0)]. (5; 7,5; 9,5; 15) C - III. 22. Zobrazte plochu kulovou se středem v rovině ρ( ; -9; 6) a procházející body A(-3; 4; 1), B(5; 2; 6), C(1; 6; 8). (10; 9; 8; 10) C - III. 23. Sestrojte plochu kulovou, která prochází body A(-2; 6; 2), B(2; 6; 3), C(0; 5; 8) a dotýká se půdorysny. (3; 10; 10; 16) C - III. 24. Sestrojte průmět plochy kulové, která se dotýká roviny τ(1,5; 3; 2,5) v bodě T(-1,5; 2,3;?) a prochází bodem A(2; 7,5; 6). (1; 7; 8; 10) C - III. 25. Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká přímky t = TM v bodě T a jejíž střed leží na přímce s = QR [T(0; 3,5; 8), M(7; 3,5; 0), Q(7; 6; 6,5), R(-7; 6; 6,5)]. (0; 10; 10; 16) C - III. 26. Dány jsou body A(-2; 3; 0), B(3; 6; 0), C(-4; 9; 0). Zobrazte rovinu ρ tak, aby její vzdálenost od bodu A byla 1, od bodu B 2, a od bodu C 3. (1; 8; 10; 13) Pokyny k řešení některých úloh: 4. Třetí hrana jdoucí vrcholem A je kolmá k rovině ABD. Sestrojme plochu kulovou o středu A a poloměru rovném délce hrany hledané krychle. Rovina ABC tuto kouli protne v hlavní kružnici, jejíž dva sdružené průměry již známe a dovedeme tedy sestrojit její osy. Pak dovedeme sestrojit i obraz kolmice k této rovině. Využijme ještě vlastnosti, že délka průmětu kolmého poloměru je rovna délkové výstřednosti narýsované hlavní kružnice. 12

13 13. Tři hrany krychle vycházející z jednoho vrcholu svírají s tělesovou úhlopříčkou jdoucí tímtéž vrcholem shodné úhly. Svírají tedy shodné úhly i s rovinou kolmou k této úhlopříčce a jejich průměty do této roviny jsou shodné. Totéž platí i o hranách vycházejících z druhého vrcholu tělesové úhlopříčky. Rovina proložená koncovými vrcholy hran vycházejících z jednoho vrcholu (a různých od tohoto vrcholu) je kolmá k tělesové úhlopříčce a protne krychli v rovnostranném trojúhelníku. 17. Vrchol kužele V je v průsečíku vrcholové přímky rovinou souměrnosti dvojice bodů K, L. Úsečka VK nebo VL udává délku strany kužele, můžeme tedy sestrojit i tělesovou výšku kužele. Rovina podstavy prochází přímkou KL a dotýká se plochy kulové opsané kolem vrcholu V poloměrem výšky kužele. 18. Strana kužele jdoucí bodem T je kolmá k přímce t. Vrchol kužele tedy musí ležet v rovině kolmé k tečně t a jdoucí bodem T a to na kružnici opsané poloměrem s kolem středu T. 26. Rovina rovnoběžná s hledanou rovinou a vedená bodem A bude mít od zbývajících bodů vzdálenosti buď menší o 1 nebo větší o 1 než rovina hledaná D - Mongeovo promítání Podobně jako při kótovaném promítání je i zde třeba až do zautomatizování nacvičit základní úlohy obsažené v prvních 14 příkladech (D-I.1 D-I.14). Jde o jednoduché úlohy a stačí nakreslit náčrty od ruky. Opět je třeba provést každou úlohu vícekrát a volit pokud možno různá zadání. Tato cvičení je vhodné rozložit do doby několika dní. Srovnejte provádění základních úloh v Mongeově promítání s řešením těchže úloh v promítání kótovaném a zapamatujte si, v čem jsou shodná a v čem se liší. Složitější úlohy není ani časově možno provést všechny podrobně. Většinu z nich řešíme opět jen rozborem. Vyplatí se však provést podrobně tu úlohu, o níž mám pochybnost, že bych ji dovedl bezpečně provést. Doporučuje se prorýsovat všechny úlohy o příčkách mimoběžek, i když se zdají začátečníku nezajímavé a samoúčelné. Tyto úlohy se budou vyskytovati při řešení rozmanitých úloh o zborcených kvadrikách a bylo by pozdě učit se jim teprve tehdy, když je jejich použití nenahraditelné. Stane-li se Vám, že pří řešení některé úlohy jste měli při podrobném provádění nějaké nesnáze, než jste přišli na správný postup, je dobré se k takovéto úvaze po čase vrátit. Neprovádějte ji však podle zadání v textu uvedeného, nýbrž změňte je tak, že zaměníte souřadnice y a z a pokud se v textu mluví o průmětnách, zaměníte také půdorysnu a nárysnu; pro orientaci o potřebě místa je třeba zaměnit první a čtvrté číslo. Je také možno změnit druhé a třetí číslo. I. Základní úlohy D - I. 1. D - I. 2. D - I. 3. Promítací lichoběžník a rozdílový trojúhelník: Sestrojení skutečné délky úsečky, Nanesení úsečky dané délky na přímku. Odchylka přímky od průměten. Řešení těchže úloh otočením do polohy rovnoběžné s průmětnou. Najít stopníky dané přímky. Určiti stopy nebo hlavní přímky roviny dané a) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní; b) dvěma různoběžkami; c) dvěma rovnoběžkami; d) třemi body neležícími na jediné přímce. 13

14 D - I. 4. D - I. 5. D - I. 6. D - I. 7. D - I. 8. D - I. 9. D - I. 10. D - I. 11. D - I. 12. D - I. 13. D - I. 14. Určit odchylky roviny (jakkoli zadané) od průměten. Nalézti chybějící průmět bodu nebo přímky ležící v dané rovině (jakkoli zadané), je-li dán jeden jejich průmět. Určiti průsečnici dvou rovin jakkoli zadaných. Přímka je dána jedním průmětem s vyznačeným stopníkem v té průmětně, v níž je průmět přímky dán. Určete chybějící průmět tak, aby přímka byla rovnoběžná s danou rovinou (jakkoli zadanou). Určiti průsečík přímky s rovinou jakkoli zadanou. Daným bodem vésti rovinu rovnoběžnou s danou rovinou (jakkoli zadanou). Daným bodem vésti a) přímku kolmou na danou rovinu (jakkoli zadanou) b) rovinu kolmou na danou přímku. Otočiti danou rovinu s útvary v ní obsaženými do některé průmětny nebo do polohy s některou průmětnou rovnoběžné. Sestrojit průmět kružnice ležící v dané rovině a určené středem a poloměrem. Sestrojit třetí průmět přímky m do průmětny sdružené s půdorysnou (nebo nárysnou) a různoběžné s přímkou m. Rovina ρ je dána svými stopami. Sestrojte její třetí průmět do průmětny sdružené s půdorysnou (nebo s nárysnou) a kolmé k rovině ρ. II. Úlohy polohy a úlohy metrické D - II. 1. Užitím třetí průmětny sestrojte průsečík přímky m = AB s rovinou ρ(-5; 6; 4) [A(0; 6; 4), B(5; 3,5; 3)]. (8; 7; 6; 9) D - II. 2. D - II. 3. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a a roviny ρ (jakkoli zadané). Určete zda daný bod M leží v rovině ρ (jakkoli zadané). D - II. 4. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a = AB, c = CD [A(0; 2; 4,5), B(0; 5; 2,5), C(3; 2,2; 5), D(3; 1,5; 2)]. (6; 1; 12; 6). D - II. 5. Určete stopy roviny proložené přímkou a = AB a rovnoběžné s přímkou b = PN [A(7; 2; 1,5), B(9; 5; 0), P(0; 4; 0), N(3; 0; 7)] (6; 1; 10; 6). D - II. 6. Určete průsečnici rovin ρ(5; 6; 8), σ(5; 8; 6). (9; 7; 7; 9) D - II. 7. Sestrojte průsečík přímky m = AB s rovinou ρ(5; 6; 4) [A(0; 4; 0), B(0; 0; 7)]. (8; 8; 6; 7) D - II. 8. Dány jsou rovnoběžky a = AD, b (prochází bodem B) a přímka c = CE s nimi mimoběžná. Sestrojte přímku rovnoběžnou s rovinou ρ(3; 5; 3) tak, aby protínala přímky a, b, c [A(-6; 6; 1), B(-3; 7; 0), C(6; 7; 6), D(3; -1; 8), E(0; 5;-1)]. (1;8,11,9) 14

15 D - II. 9. Rovina ρ je dána splývajícími obrazy stop a přímka m splývajícími průměty. Sestrojte jejich průsečík. [Např. ρ(-6; 4,5; 4,5), m = AB, A(0; 3; -3), B(4,5; -2,5; 2,5)]. (6; 9; 1;,4) D - II. 10. Bodem M(-5; 2,7; 3,1) veďte příčku k mimoběžkám a = PN, b = P N [P(-7; 7; 0), N(2; 0; 6), P (2; 7; 0), N (-3; 0; 9)]. (10; 8; 8; 12) D - II. 11. Sestrojte příčku mimoběžek a = AC, b = BD rovnoběžnou se směrem s = SR [A(-5; 6; 2), B(5; 6; 10), C(4; 0; 2), D(4; 6; 2), R(4; 2; 2), S(2; 0; 0)]. (11; 10; 10; 10) D - II. 12. Na přímce m určené prvním i druhým průmětem najděte bod stejně vzdálený od obou průměten. D - II. 13. Určete průsečík přímek a = AC, b = BD [A(0; 4; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 8), D(0; 0; 3)]. (9; 9; 1; 8) D - II. 14. Sestrojte přímku m jdoucí bodem M (0; 5; 4) tak, aby její půdorys svíral s osou x úhel 120 a aby odchylka přímky od nárysny byla 45. (10; 4; 4; 6) D - II. 15. Bodem A(0; 5; 7) veďte přímku, jež svírá s půdorysnou odchylku 50 a s nárysnou 30. (10; 6; 6; 10) D - II. 16. Přímkou m = NP proložte rovinu ρ, jež svírá s půdorysnou odchylku 75 a rovinu σ, jež svírá s nárysnou odchylku 75 [N(-4; 0; 6), P(1; 7; 0)]. (8; 8; 6; 8) D - II. 17. Dvě různoběžné síly působící v jednom bodě jsou dány svými průměty. Sestrojte skutečnou velikost jejich výslednice. D - II. 18. V daném bodě A působí čtyři síly. Určete jejich výslednici. D - II. 19. V daném bodě působí tři různé síly. Najděte sílu, jež je uvede v rovnováhu. D - II. 20. Určete vzdálenost bodu M(-4; 6; 6) od přímky a = AN [A(4; 4; 6), N(-5; 0; 2)]. (9; 8; 8; 8) D - II. 21. Na přímce m = AB najděte body, které mají od roviny ρ(-5; 4; 3,5) vzdálenost d = 2 [A(5,5; 0; 0), B(0; 3,7; 4,2)]. (8; 12; 7; 11) D - II. 22. Je dána rovina ρ, přímka p. jež v ní neleží a bod A, který není incidentní ani s přímkou p ani s rovinou ρ. Na přímce p zjistěte bod B tak, aby byl od roviny ρ ve stejné vzdálenosti jako bod A a aby ležel v opačném poloprostoru vyťatém rovinou ρ než bod A. D - II. 23. Sestrojte rovinu σ, jež je rovnoběžná s rovinou ρ a má od ní danou vzdálenost d. D - II. 24. Sestrojte trojúhelník souměrný k trojúhelníku ABC podle roviny ρ(-15; 13; 10) [A(-9; 7; 2,5), B(5,5; 1; 9,5), C(0; 0; 6)]. (11; 15,5; 4; 13,5) D - II. 25. Sestrojte průmět pravého úhlu AVB [A(3,8; 6,4;?), B(3,2; -2,2; 5,5), V(0; 4; 3)]. (8; 1; 11; 8) D - II. 26. K daným mimoběžkám a, b sestrojte příčku rovnoběžnou s půdorysnou a vzdálenou od půdorysny 2,5. 15

16 D - II. 27. K daným mimoběžkám a, b sestrojte příčku kolmou k nárysně. D - II. 28. Najděte nejkratší vzdálenost přímky a = AB od osy x [A(-3; 0; 6), B(3; 6; 0)]. (7; 7; 7; 7) D - II. 29. Určete nejkratší vzdálenost mimoběžek a = AC, b = BD [A(9; 0; 0), B(-9; 0; 3), C(0; 6; 8), D(0; 6; 13)]. (10; 10; 10; 15) D - II. 30. Sestrojte osu mimoběžek a = PN, b = QN [P(7; 10; 0), N(1;5; 0; 7), Q(0; 8; 6), N (8; 0; 1)]. (8; 1; 18; 13) D - II. 31. Jsou dány mimoběžky a = AC, b = BD. Sestrojte rovinu s oběma rovnoběžnou a od obou stejně vzdálenou [A(3; 10; 0), B(7; 2; 0), C(-8; 0; 7), D(0; 10; 11)]. (12; 12,5; 7,5; 11) D - II. 32. Sestrojte průsečnici roviny α, jež půlí půdorysnou odchylku roviny ρ(-5; 5; 7) s rovinou β, jež půlí nárysnou odchylku téže roviny. (9; 6; 9; 8) D - II. 33. Zobrazte trojhran o straně a = 75 a přilehlých úhlech β = 75, γ = 60, leží-li strana a v nárysně. D - II. 34. Zobrazte trojhran o stranách a = 70, b = 80 a úhlu jimi sevřeném γ = 40, leží-li jedna jeho strana v průmětně. D - II. 35. Zobrazte trojhran o stranách a = 60, b = 70, c = 80, leží-li strana a v půdorysně (nárysně). D - II. 36. Zobrazte dráhu paprsku, který vychází z bodu M(4; 3; 7) a po odraze od přímky m = AB prochází bodem N(0; 4;?), který leží v rovině určené bodem M a přímkou m [A(-3; 2,7; 0), B(4; 0; 10)]. (11; 11; 6; 15). D - II. 37. Určete vzdálenost rovnoběžek a = AC, b = BD, ležících v rovině totožnosti [A(-3; 4; -4), B(0; 2; -2), C(3; -4; 4)]. (7; 8; 8; 7) D - II. 38. Dány jsou rovnoběžky a = AD, b (procházející bodem B). Sestrojte přímku c s nimi rovnoběžnou a vzdálenou od přímky a 5, od přímky b 6 [A(-4; 5,5; 0), B(7,5; 7; 5), D(-8,5; 3; 4,5)]. (8; 10; 9; 11) D - II. 39. Jsou dány tři rovnoběžky neležící v téže rovině. Sestrojte přímku s nimi rovnoběžnou a od všech stejně vzdálenou. D - II. 40. Sestrojte tři rovnoběžné roviny tak, aby vzdálenost sousedních rovin byla d = 2 a aby každá rovina procházela právě jedním z bodů A(-1; 3; 2), B(4; 5; 2), C(6; 1; 2). (7; 8; 9; 11) D - II. 41. Zakreslete dráhu světelného paprsku, který vychází z bodu A(3,7; 4; 5) a po odrazu od zrcadlící roviny ρ(-6; 5; 7) prochází bodem B(3; 6,5; 1,5). (7; 7; 5; 8) D - II. 42. Bod A otočte kolem osy o, jež neprochází bodem A, do roviny ρ, jež neprochází ano bodem A ani přímkou o. D - II. 43. Otočte rovinu ρ(-8,3; 6,5; 6) kolem přímky a = AB o úhel 90 [A(-5; 4; 7,5), B(3,7; 0,2; 0)]. (9; 12; 5; 12) 16

17 D - II. 44. Zvolený rovnostranný trojúhelník považujte za první a současně i druhý průmět jistého trojúhelníka. Sestrojte jeho skutečný tvar. D - II. 45. Určete jaký úhel svírá přímka m = AB a osou x [A(-3; 4; 4), B(3; 2; 0)]. (7; 8; 4; 7) D - II. 46. Bod A(2; 3;?) ležící v rovině ρ(-6; 5; 7) se má přesunout po nekratší dráze do bodu B(-2; 3;?), který leží v rovině σ(8; 7; 5) a to tak, že se pohybuje jen v těchto dvou rovinách. (8; 9; 9; 17) D - II. 47. V rovině ρ(-5; 8; -8) určete geometrické místo bodů stejně vzdálených od bodů A(-2,5; 2,5; 1,5), B(4; 6,5; 5,5). (8; 10; 8; 11). Pokyny k řešení některých úloh: 12. Všechny body stejně vzdálené od první a druhé průmětny vyplní rovinu souměrnosti a rovinu totožnosti. 15. Zvolte na hledané přímce libovolnou délku. Pomocí známých odchylek od průměten snadno určíte velikosti průmětů této délky, jakož i rozdíl souřadnic y, resp. z koncových bodů této úsečky. 19. Hledaná síla má stejnou velikost jako výslednice daných sil, avšak její směr je opačný ke směru výslednice. 25. Bod A leží v rovině kolmé ke přímce VB a procházející bodem V. 40. Hledané roviny protnou rovinu proloženou body A, B, C v rovnoběžkách stejně vzdálených (jejich vzdálenost je větší nebo alespoň rovna délce d). Jedna z těchto rovnoběžek půlí jednu stranu trojúhelníka ABC. 41. Paprsek procházející bodem B leží na přímce, jež prochází bodem A, který je souměrně sdružen s bodem A podle zrcadlící roviny. 42. Bod A se otáčí po kružnici, jež leží v rovině kolmé k ose o a procházející bodem A. Otočený bod leží také na průsečnici této roviny s danou rovinou. 44. Hledaný trojúhelník leží v rovině totožnosti, jejíž obě stopy splývají s osou x. Otočte tuto rovinu kolem osy x do některé průmětny. 46. Otočíme-li jednu rovinu do druhé kolem průsečnice obou rovin, přejde hledaná dráha v úsečku spojující jeden z daných bodů s bodem, který vznikne otočením druhého bodu do společné roviny. Ze dvou možných otočení je třeba voliti to, které odděluje průsečnicí obou rovin bod A (resp. bod B) od otočeného bodu B (resp. A). III. Rovinné mnohoúhelníky D - III. 1. D - III. 2. D - III. 3. Sestrojte obrazy pravidelného šestiúhelníka ležícího v rovině ρ( ; 5; 4), znáte-li jeho střed S(0; 2,5;?) a jeden vrchol A(2,5; 3;?). (5; 4; 4; 12) Zobrazte pravidelný pětiúhelník,který leží v rovině kolmé k půdorysně, znáte-li jeho střed S(-4; 4; 4,5) a jeden vrchol A(-2; 2; 2,5). (9; 5; 10; 7) Zobrazte rovnoramenný trojúhelník o základně AB a s vrcholen C na přímce m = DE [A(0; 3,7; 2,2), B(5,3; 5,5; 6), D(5,3; ;5; -2), E(10; 2; 6)]. (8; 1; 11; 8) 17

18 D - III. 4. D - III. 5. D - III. 6. Sestrojte čtverec s jednou úhlopříčkou na přímce m = QR, se středem S(0;?,?) a třetím vrcholem na přímce n = KL [K(-1; 4; 9), L(4; 1; 6,5), Q(-2; 7; 4), R(5; -1; 9,5)]. (12; 8; 9; 11) Sestrojte rovnostranný trojúhelník nejmenšího obsahu tak, aby jeho vrcholy ležely na přímce a = PN a třetí vrchol na přímce b = KL [K(4,5; 5; 9), L(12; 0; 7,5), P(4,5; 2,5; 0), N(0; 0; -3,5)]. (15; 2; 18; 15) V rovině ρ(-8,5; 8; 10) leží rovnoběžník o středu O(0; 3,5,?) a úhlopříčkách e = 6, f = 10. Oba jeho průměty se jeví jako kosočtverce. Sestrojte je. (10; 11; 11; 10) D - III. 7. Sestrojte průsek trojúhelníků ABC, DEF a rozhodněte o viditelnosti [A(-4,2; 1,8; 3,2), B(0; 8; 6,4), C(4,4; ;8; 0), D(-2,6; ;6; ;8), E(4,4; 8; 6,6), F(6,6; 3; 2,6)]. (7; 5; 7; 9) D - III. 8. Sestrojte průsek trojúhelníků ABC, DEF a rozhodněte o viditelnosti [A(0; 1;5; 3,5), B(13; 8; 1,5), C(7; 3; 1;5), D(1,2; 4; 2,5), E(11; 12; 10), F(9,5; 3,5; 1)]. (11; 1; 14; 13) D - III. 9. Sestrojte průsek trojúhelníka EFG s rovnoběžníkem ABCD a rozhodněte o viditelnosti [A(4; 4,5; 2,7), B(8,4; 3,5; 4,5), C(5,6; 1,2; 6,6), E(4,5; 7; 7,8), F(7,2; ;7; 2,4), G(0; 1,4; 1)]. (9; 1; 9; 8) Pokyny k řešení některých úloh: 6. Půdorys a nárys rovinného obrazce jsou v afinním vztahu. Osou afinity je průsečnice roviny obrazce s rovinou totožnosti. IV. Vynechaná základnice D - IV. 1. S vynecháním základnice řešte některé úlohy, zejména všechny základní úlohy D-I.1 D-I.14 a úl. D-II.17 D-II.19. V. Úlohy o kružnici D - V. 1. Sestrojte stopy roviny ρ tak, aby její první stopa svírala s osou x úhel 45, aby půdorys kterékoli kružnice v ní ležící se jevil jako elipsa s vedlejší osou poloměru kružnice. D - V. 2. Zobrazte kružnici opsanou i kružnici vepsanou trojúhelníku ABC [A(-3; 4; 2), B(3; 4; 3), C(1; 1; 7]. (10; 8; 8;,8) D - V. 3. D - V. 4. V rovině ρ(-7; 7; 10) leží kružnice o středu S(1;?; 6) a poloměru r = 3. Zobrazte její obraz v zrcadle ABCD [A(-7; 6; 0), B(7; 6; 0), C(7; 0; 8), D(-7; 0;?)]. (11; 8; 8; 9) Zobrazte kružnici o poloměru r = 3 a ležící v rovině ρ(-5; -7; -5) tak, že se dotýká obou průměten. (Sestrojte jen jednu kružnici a to tu, která leží nad půdorysnou a před nárysnou). (6; 13; 1; 10) 18

19 D - V. 5. D - V. 6. D - V. 7. Sestrojte kružnici, která se dotýká půdorysny v bodě P(-3; 4; 0) a nárysny v bodě N(1; 0; 3,5). (10; 8; 7; 11) Na bod A(-2; ;8; 6) působí dostředivá síla tak, že se otáčí kolem přímky m = BN. Když se bod A otočil o 90, přestane na něj působit síla dostředivá, takže se bod pohybuje dále po přímce. Nakreslete průměty dráhy tohoto bodu [B(-4; 6,5; 6,2), N(2,5; 0; 1,4)]. (7; 10; 6; 12) Sestrojte průmět kružnice, jež vznikne otáčením bodu A(1,5; 2; 7,5) kolem přímky m = MN [M(0; 6; 8), N(5; 0; 1,5)]. (14; 3; 8; 9) Pokyny k řešení některých úloh: 5. Půdorysná i nárysná stopa roviny hledané kružnice jsou tečnami kružnice a jsou tedy úseky na nich (od průsečíku s osou x až k bodům dotyku) stejně dlouhé. Průsečík stop s osou x tedy leží v rovině souměrnosti dvojice bodů P, N. VI. Zobrazení hranolů, jehlanů a mnohostěnů D - VI. 1. Zobrazte pravidelný n-boký jehlan (n = 4, 5, 6) o dané hraně podstavné i pobočné, který leží jednou pobočnou stěnou v půdorysně (nárysně). D - VI. 2. Zobrazte pravidelný osmistěn o dané hraně tak, aby jednou stěnou spočíval na nárysně. D - VI. 3. Kolmý jehlan s obdélníkovou podstavou o známých hranách podstavných a známé tělesové výšce leží větší (menší) stěnou na jedné průmětně. Sestrojte jeho průměty. D - VI. 4. Sestrojte průměty nejmenšího pravidelného pětibokého hranolu s osou o = OS a majícího jeden vrchol v půdorysně [O(-4; 5; 2,5), S(4; 3; 6,5)]. (9; 9; 6; 9) D - VI. 5. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan o výšce v = 8 s postavou v rovině ρ(2; 3; 4) a s jedním podstavným vrcholem A(-4; 3;?), aby jeho temeno V leželo na přímce m = ML [M(-4; 4,5; 2), L(0; 8; 6), vrchol V volte nad rovinou ρ]. (12; 8; 13; 15) D - VI. 6. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v rovině ρ(4; 5; -6) o středu S (2;?; 3), poloměru kružnice podstavě opsané r = 4, o jednom podstavném vrcholu A(?;?; 1,5) a tělesové výšce v = 8. (9; 9; 10; 13) D - VI. 7. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s osou na přímce o = QR, s jedním podstaveným vrcholem A(1; 8; 2) a délkou pobočné hrany h = 11 [Q(-5; 8; 2), R(3; 0; 9)]. (10; 10; 8; 14) D - VI. 8. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s temenem V(6; 12; 10), jehož osa prochází bodem P (-8; 4; 0) a s podstavným vrcholem A(-5; 11,5; 0). (15; 10; 8; 15) D - VI. 9. Pravidelný šestiboký jehlan stojí podstavou na půdorysně [V(0; 3,5; 7), A(0; 0; 0). Otočte jej kolem podstavné hrany kolmé a nárysně a ležící vpravo od počátku o úhel -60 a tento otočený otočte kolem osy kolmé k půdorysně a jdoucí bodem O(8; 3,5; 0) o úhel (9; 3,5; 16,5; 12) 19

20 D - VI. 10. Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v rovině ρ( ; 6; 4) o středu S(-2; 3,5;?) a vrcholu A(;5; 4;?), jehož pobočné stěny jsou čtverce. (6,5; 9; 6; 11,5) D - VI. 11. Zobrazte pravidelný čtyřstěn o známé hraně, leží-li jeho stěna v některé průmětně. D - VI. 12. Sestrojte čtyřstěn ABCD s vrcholem D v rovině ρ(-3; 3; -3), aby hrany vycházející z vrcholu D byly stejně dlouhé [A(-3; 2; 2), B(2; 3; 1), C(3; 7; 6)]. (7; 8; 6; 10) D - VI. 13. Určete čtyřstěn ABCD, aby hrany vycházející z vrcholu D měřily 6 [A(4,5; 3,3; 3,5), B(-2; 7; 1), C(5,2; 5; 6)]. (9; 11; 7; 10) D - VI. 14. Zobrazte krychli o hraně AB a s vrcholem C v půdorysně [A(0; ;5; 3,5), B(-3,5; 4; 2)]. (7,5; 8; 7; 9,5) D - VI. 15. Zobrazte krychli se stěnou v rovině ρ(8; 5; 8), znáte-li protilehlé vrcholy A,C této stěny [A(0; 0;?), C(-5;?; 2)]. (13; 11; 9; 13) D - VI. 16. Zobrazte pravidelný osmistěn s osou na přímce m = QR a s jedním vrcholem A(-1; 1; 3), [Q(3; 1; 10), R(-4; 8; 3)]. (11; 8; 11; 11) D - VI. 17. Zobrazte pravidelný osmistěn se středem S (0; 4,5; 5),jehož jedna hrana leží na přímce m =PN [P (-4; 13,5; 0), N(5; 0; 3)]. (11; 10; 10; 14) D - VI. 18. Zobrazte pravidelný osmistěn o ose AC a s dalším vrcholem B v nárysně [A(-5; 1; 5), C(5; 4; 9), z B >7]. (15; 9; 10; 11) VII. Zobrazení válců a kuželů D - VII. 1. Rotační válec má osu rovnoběžnou s osou x. Na jeho válcové ploše leží dva body A,B, z nichž první je dán půdorysem a druhý nárysem. Sestrojte chybějící průměty. D - VII. 2. Rotační kužel stojí podstavou na nárysně. Na jeho kuželové ploše leží body A, B, z nichž prvý je dán půdorysem a druhý nárysem. Sestrojte chybějící průměty těchto bodů. D - VII. 3. Zobrazte rotační válcovou plochu, znáte-li rovinu její řídicí kružnice ρ(4; 3; -5) a tři body A, B, C této plochy [A(0; 3; 11,7), B(-4; 0; 12,6), C(6,4; 7; 1,8)]. (13; 6; 13; 14) D - VII. 4. Zobrazte rotační válec, znáte-li jeho osu SS a tečnu t = PR válcové plochy [S(-6; 9; 5), S (-1; 1,5; 9), P(9; 4; 0), R(0; 8,5; 8) ]. (17; 11; 10; 14) D - VII. 5. Sestrojte kosý kruhový válec stojící podstavou na půdorysně, znáte-li střed S dolní podstavy, poloměr r = 4, bod A ležící na horní podstavné hraně a bod B ležící na ploše válcové [A(2; 2; 9), B(4; 7; 5), S(-3; 8; 0)]. (10; 7,5; 7,5; 15) D - VII. 6. Sestrojte kosý kruhový válec stojící eliptickou podstavou na půdorysně, znáteli bod A na horní podstavné hraně a bod B ležící na ploše válcové [A(2; 2; 9), 20

21 B(4; 7; 5), střed dolní podstavy S(-3; 8; 0), poloosa a = 5 je rovnoběžná s osou x, b = 3]. (10; 9; 7,5; 15) D - VII. 7. Zobrazte rotační válec, znáte-li středy O, S jeho podstav a poloměr r = 3 [S(-3; 3,5; 2,5), O(3; 7,5; 9)]. (12; 6,5; 6,5; 12) D - VII. 8. Zobrazte rovnostranný válec daný osou SS [S(-3; 4; 4), S (3; 8; 5,5)] (10; 7; 7; 12) D - VII. 9. Zobrazte rotační kužel, znáte-li střed podstavy S(0; 3,5; 3), vrchol V(3,5; 6; 8) a poloměr r = 3,5 (9; 4; 4; 10). D - VII. 10. Zobrazte rotační kužel o vrcholu V(-3,5; 7; 2,5), podstava leží v rovině ρ(8; 45 ; 6,5) a podstavná hrana prochází bodem L(1,3; 5;?). (11; 4; 13,5; 7,5) D - VII. 11. Zobrazte rotační kužel, znáte-li jeho vrchol V(-6; 9; 9), střed podstavy S(0; 4; 5) a bod Q(-1,7; 7; 4) ležící na plášti. (10; 7; 6; 11) D - VII. 12. Zobrazte rotační kužel, znáte li tečnou rovinu τ(5,5; 10; ), vrchol V(5;?; 1) a střed podstavy S(-2; 5,5; 6). (10; 11; 7; 14) D - VII. 13. Zobrazte rotační plochu kuželovou, znáte-li její řídicí kružnici ležící v rovině ρ(6,7; 6,5; 9,5) a mající střed S(0;?; 4) a poloměr r = 3 a kromě toho tečnu t = QR plochy [Q(4; 4; 9), R(-2; 7,7; 5)]. (10; 11; 9; 14) D - VII. 14. Zobrazte rotační kužel, znáte-li střed podstavy S(1,5; 5; 3,5), vrchol V(-5; 0; 0) a tečnu kuželové plochy t = PN [P(-5; 10; 0), N(0; 0; 7)]. (11; 9; 10; 16) D - VII. 15. Rotační kužel o vrcholu V(-4; 6; 8) stojí podstavou o poloměru r = 3 na půdorysně. Sestrojte osu rotační plochy kuželové, jež má vrchol rovněž v bodě V, dotýká se daného kužele podél neznámé povrchové přímky a prochází body A(0; 11; 5), B(3; 3; 1). (9; 8; 9; 14) D - VII. 16. Bodem A(-4,5; 1; 2,5) veďte tečné roviny k rotačnímu kuželi o vrcholu V(0; 7; 5,5) a podstavě o poloměru r = 4 v nárysně. (10; 9,5; 1;5; 8) Pokyny k řešení některých úloh: 5. Povrchové přímky vedené body A a B mají stopníky A, B, přímka AB má stopník P. Body A 1, B 1 sestrojte pomocí stejnolehlosti s středem P 1. Platí: P 1 A 1 : P 1 B 1 = P 1 A 1 : P 1 BB1, A 1 A 1 je rovnoběžné s BB1B 1, A 1, B 1 leží na podstavné kružnici, A 1, B 1, P 1 leží na přímce 6. Použijte řešení předcházející úlohy, na niž se daná úloha dá pomocí afinity převést. 12. Podstavná rovina protíná rovinu tečnou v přímce, jež se dotýká podstavné hrany. 13. Tečná rovina protne rovinu podstavnou v tečně podstavné hrany. 15. Podstavy dvou rotačních kuželů o společné straně a společném vrcholu mají ve společném bodě společnou tečnu, jež je průsečnicí rovin obou podstav. 21