MA3G Stručný průběh přednášky

Transkript

1 MA3G Stručný průběh přednášky *** *** Organizační Definice elementární oblasti Rozličné příklady Na co dát pozor, patologické příklady Změna pořadí souřadnic v popisu obrazce, přechod k inverzní funkci Poznámka: Jak se definuje oblast: otevřená souvislá(neprázdná) množina Obrazce jako úrovňové množiny funkcí dvou proměnných ohraničeny vrstevnicemi Pato-příklad x 2 +y 2 4. Rovnice kružnice Přímka, poloprostor Příklad s parabolou Elipsa, kanonický tvar, inverzní funkce ke kvadratické, doplnění na čtv. Převod rovnice elipsy na rovnici jednotkové kružnice, deformace prostoru/roviny ================= Připomenutí: definice parametrizované křivky. Poznámka: Křivka zadána parametrizací, příklad kružnice Poznámka: Křivka zadána implicitně např jako vrstevnice, příklad kružnice Poznámka: Jak ověřit, že implicitní tvar určuje stejnou křivku jako parametrizace. O souřadnicích: nepravoúhlé osy, LK báze a LK duální báze. Polární souřadnice motivace Převody[r,f] [x,y] Metody výpočtu směrníku a jejich optimalizace[2atan(y/(r+x)): dk] Přirozené obory polárních souřadnic Příklad:PřevodM M* Souřadnicové křivky[odvoz.] Příklad: oblast dána podmínkami, převod na polární Příklad: Jak se počítá pomocí polárních souřadnic, jakobián, subst, du Bois-Reymondova věta Definice: Interval v Rn Definice: vol(i) Definice: diametr množiny Hausdorffův integrál, neceločíselná dimenze Definice: dělení intervalu v R, příklad Definice: dělení intervalu v Rn, příklad Definice: Norma dělení intervalu v Rn, normální posloupnost dělení Definice: Vnější a vnitřní míra Připomenutí: Každá zdola omezená množina má infimum. Definice: Jordanova míra =================

2 Vnější míra je def. pro všechny množiny Jordanova míra je def. pro některé množiny Vlastnosti míry: nezápornost, subaditivita, aditivita na disj. množinách Testovací množiny, definice měřitelné množiny Míra hladké křivky, míra méněrozměrného objektu Definice zjemnění dělení Průnik intervalu je prázdný, degene nebo zase interval Riemannovské integrální součty Věta: s(f,d) s(f,d ) S(f,D ) S(f,D),důkaz Význam předešlé věty pro existenci suprema Horní a dolní integrál Riemannův integrál Značení Začtverečkování Charakteristická funkce Integrál přes množinu Existenční věta Lebesgueova, diskontinuity Příklad: Oblast ohraničená Peanovou křivkou du-bois Reymondova věta(fubini) proč je formulace složitá: horní a dolní integrál mohou být různé funkce Poznámka: Podle Leb. věty se liší horní a dolní integrál na množině vnější míry nula, tedy f je integrovatelná pro s.v. x.(pojem skoro všude jsme nezavedli) Aplikace du Bois Reymondovy věty na element. oblast Historická poznámka o du Bois-Reymondovi a Fubinim ========================= Příště Konzistence Newtonova a Riemannova integrálu v R. Nevlastní Riemannův integrál v R Přip.: Norma dělení Příklad: praktické určení normy dělení Def: Diametr množiny, Normální posloupnost dělení Věta: Limita integrálních součtů při normální posloupnosti dělení(dk pomocí Leb. věty) Systém reprezentantů Věta:RiemannůvintegrálintegrovatelnéfunkcevR 1 serovnánewtonovu(dk) Změna souřadnic: dva pohledy na směr transformace Změna souřadnic: dvě interpretace deformace prostoru a křivočaré souřadnice Věta o změně souřadnic, Jacobiho matice a jakobián, determinant, idea Dk V důkazu: Význam Jacobiho matice při zobrazení vektoru do tečného prostoru Polární souřadnice, příklad výpočtu jakobiánu Cylindrické souřadnice, výpočet jakobiánu Zobecněné polární souřadnice, Výpočetjakobiánuprozměnuměřítkanaosách(x=ax, y= by ) příklad natažená lemniskáta 2

3 Aplikace integrálu obsah obrazce hmotnost desky těžiště(bez důkazu rovnosti momentů pro obecnou přímku a bez Steinerovy věty) plošnýobsahgrafufunkce z= f(x,y)průmětemnarovinu z= xy(jenmalézdůvodnění) - Na cvičení: momenty setrvačnosti v rovině i prostoru deviační momenty zachování momentu hybnosti, nikoli rotační osy vztah mezi momentem hybnosti a rotační osou tenzor setrvačnosti, hlavní směry preceseanutacezemě,pohybpólu momenty náhodné veličiny ve statistice páteční rozvrh odpadá Aplikace integrálu pravděpodobnost diskrétní a spojité náhodné veličiny hustota pravděpodobnosti jakpočítat P(X M) analogie: těžiště a střední hodnota analogie: moment setrvačnosti a rozptyl v R popis pomocí hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce nespojitost distribuční funkce Steinerova věta důkaz pravděpodobnostníinterpretace, VarX= E(X 2 ) (EX) 2 podpříklad na počítání oprav k průměru Cylindrické souřadnice souřadnicové plochy Sférické souřadnice odvození vztahů přes dvojí polární souřadnice význam proměnných na glóbu původ označení zeměpisná šířka a délka výpočet jakobiánu Často užívané plochy: Koule, dvojkužel atd Příklad:Určenímezí,skrytápodmínka...4x 2 +z 2 y 8 4x 2 z 2 Příklad:Dvatypyrozkladu svisléúsečkynebohzřezy...0 z 12 4 x 2 +y 2 Gaussovo rozdělení a Laplaceův integrál, výpočet 3

4 Typy zobrazení: funkce, transformace, vektorové pole, plocha, bodová funkce, vektorové pole podél křivky Definice: Parametrizovaná křivka, parametrizace Definice: Křivka jako množina bodů Příklady křivek(kružnice, neregulární úsečka) Definice: Hladká křivka, tečný vektor, regulární křivka, smyčka Křivkový integrál(prvního druhu) Typické aplikace, rozdíl mezi integrálem I. a II. druhu Připomenutí: parametrizace křivky, křivkový integrál Značení: tečný vektor, dx, dy, ds, tečky jako derivace, Newtonův pohybový zákon Parametrizace grafu funkce VzorecprodélkukřivkyzMA2G Příklad pro půlkružnici Definice reparametrizace Parametrizace obloukem Reparametrizace na parametrizaci obloukem Křivka parametrizovaná obloukem je deformovaná úsečka se stupnicí (jako provázek) Délka křivky par. obloukem je délka intervalu parametrizace(dk) Příklad reparametrizace půlkružnice na parametrizaci obloukem Příklad křivk. integrálu s hustotou po parabole Cavalieriho princip Příklad s šikmým kuželem Archimedův výpočet objemu koule Guldinovy věty interpretace: přetvarování rotačního tělesa na válcovou plochu Příklad pro anuloid Závislost křivkového integrálu 1. a 2. druhu na orientaci křivky Křivkový integrál 2. druhu definice Sestavení parametrizace pro úsečku přes směrový vektor pro úsečku přes směrnici prograffunkce pro implicitně zadanou křivku příkladpro(x 2 +y 2 ) 3 =(x 3 y xy 3 ) x 2 +y 2 Křivkový integrál v polárních souřadnicích obecný tvar(odvoz.) Plošný integrál příklad na povrch polosféry Připomenutí: Vzorec pro plošný obsah Plošný obsah válcových ploch pomocí křivk. integrálu Aplikace integrálu délka křivky 4

5 hmotnost těžiště moment setrvačnosti el.odpor práce práce vektorově Vektorové pole, oblast a její hranice Standardní předpoklady Def.: Oblast Def.: Jednoduše souvislá oblast Příklady a protipříklady Operátory div, rot a curl curlprodvojrozměrnépolevnořenédo R 3 Gaussova věta příklady(teplo, HDP, gravitační pole) Greenova věta cirkulace Stokesova věta otočenípoleopravýúhel vztahrotaceadivergence Aplikace Greenovy věty: dvě křivky okolo singularity hodnoty jsou soustředěny na ostrůvcích Rozdíl integrálů přes různé křivky v rotačním a nerotačním poli Nezávislost integrálu na cestě Potenciál nacvičení:div F= F,rot F= F ===================== div F= F,rot F= F derivace bodových funkcí geometrický význam divergence gradient potenciálu divergence hustota zdroje pole, tok přes hranici čtverce(d) rotace geometrický význam vnitřní tření v tekutinách, víry, příklady z přírody potenciální a nepotenciální vír grad arctg y/x Co nebylo: (možná najdete v loňských testech takovou otázku, ale v r to na přednášce nebylo, nebudetedyanivtestu) rotace pro zpracování obrazu dvojité zešikmení rotacegradientu F(ikdyžtohlebyvtestumohlobýt dásetoupočítat.) 5

6 Laplaceův operátor rovnice matematické fyziky(vedení tepla, vlnová rovnice atd.) Navier Stokesova rovnice magnetická levitace = aplikace Gauss. věty L Huillierovy vzorce[ale bylo na cvič. spojitá verze] křivost křivky Frenetův repér normála a binormála oskulační, normálová a rektifikační rovina 6