Číslicový lineární filtr prvého řádu se statisticky optimálně nastavovanými parametry

Transkript

1 Číslicový lineární filr prvého řádu se saisicky opimálně nasavovanými paramery Ing. Jiří Tůma, CSc. Tara, o. p., Kopřivnice 59.2 Článek se zabývá odvozením rekurenních vzorců pro časovou posloupnos hodno paramerů lineárního číslicového filru prvého řádu, u kerého ie minimalizován rozpyl odchylek výsupu filru od užiečné složky ieho vsupního signálu. Rozbor účinku odfilrování náhodných chyb od náhodně se měnícího užiečného signálu ie zaměřen rovněž na sar filrace. Účinek navržené řízené filrace ie porovná!" s filrací, u keré neisou v čase měněny paramery filru. Klíčová slova: filrace s řízením velikosi paramerů filru, opimá~í lineární filr prvého řádu, volba počáečních hodno paramerů a paměi filru.. Úvod Měřená daa jsou obvykle ovlivněna náhodnými chybami. Tyo chyby se přičíají k užiečné složce signá.lu obsažené v časové posloupnosi měřených da. Úkolem filrace je od.dělení chyb měření od užiečné složky signálu. Je zřejmé, že eno úkol může filrace plni, jesliže frekvenční spekra chyby měření a užiečného signálu jsou odlišné. Jednoduchým a velmi časo používaným filrem je filr prvého řádu. Nová hodnoa výsupu ohoo filru je dána váženým průměrem předchozího výsupu filru a vsupní veličiny filru. Účinek filrace náhodných chyb ypu bílý šum ovlivňujících součově náhodný užiečný signál, kerý předsavuje proměnná s korelovanými přírůsky, analyzoval Markl []. Cílem rozboru bylo nalezení opimálních paramerů filru pro minímalizaci s~řední hodnoy čverce odchylky výsupu filru od užiečné složky signálu po odeznění pře'chodového děje na začáku filrace. V mnoha měřicích sysémech s časým přerušováním měření a udíž i filrace nelze fázi náběhu filru zanedba, zvlášě je-li výsledkem měření pouze omezený poče údajů. V omo případě jsou důležié aké prvé hodnoy na výsupu filru. Příkladem mohou bý j ed noúče lové měřicí prís.roje nebo zpracování málo čených údajů v řídicích sysémech. Pro fázi ná.běhu filru je významný Zpílsob výpoču prvého výsupu filru a případné řízení filrace posupnou změnou paramerů filru. K řešení ohoo problému je vhodné uží meodiku výpoču kriéria filrace z [] a eorii řízené idenifikace od éhož auora [2]. Předložený článek se ěmio problémy zabývá, přičemž ve srovnání s prací [] je pozměněna definice saisických vlasnosí užiečné složky signálu. Časěji se vyskyující je oiž signál s korelovanými náhodnými odchylkami od časově sálé základní úrovně. 2. Model filrace Přehled dále používaných značení: - diskréní čas udávající poče změřených vzorků od saru filrace, =, 2,... H - neznámá skuečná hodnoa užiečné složky signálu v okamžiku. H - časově sálá složka uži ečného signálu (základní úroveň) h - odchylka skuečné hodnoy užiečné složky signálu H od své základní úrovně (průměrné hodnoy) H Y - naměřená hodnoa procesové veličiny, vsupní hodnoa filru. v okamžiku 'Y/ - náhodná chyba měření v okamžiku X - odhad neznámé hodnoy užiečné složky signálu H ("~Srsup filru v okamžiku ) A - (popř. Y = - Ad - paramer filru pro výpoče odhadu X. UŽiečná složka měřeného signálu je edy dána součem H = H + h Měřením se však zjišťuje veličina Všechny veličiny ve vzorcích () a (2) jsou náhodné, pro jejich sřední hodnoy plaí () (2) E{h} = E{'Y/} = O (3) H* = E{H} = E{H } = E{Y} (4) kde E{.} je operáor sřední hodnoy. Rozpyl neznámé základlií úrovně užiečné složky signálu je ozna.čeu a = E{(H - H?} = E{!i2} - H*2 (5)

2 op 3 (988) č. 2 Auokovarianční a vzájemně kovarianční funkce náhodných posloupnosí {h; =, 2,... } a {'}; =, 2,... }jsou E{hh+k} = rk = roplkl - < (J <, ro> O E{'}'}+k} = Sk = 0 0 { S So > O k = O pro k i= O E{h'}+k} = O pro všechna k Ob ě vyse definované náhodné posloupnosi nezávisí na náhodné veličině H, proo vzhledem k (3) plaí Posloupnos nezná.mých hodno užiečné složky signálu má edy neznámou. sřední hodnou. Měření je s chybou ypu bílý šum, j. jednolivé realizace vzáj emně nekorelují. Naproi omu vzájemně korelují odchylky užiečného signálu od jeho sřední hodnoy. Míra, vzájemné závislosi odchylek užiečného signálu klesá exponenciálně s jejich časovo u odlehlosí. R ychlos klesání je dána :paramerem (J. Hodnoě (J = O odpo vídají zcela náhodné nekorelova-né změny užieč ného signálu a hodnoě (J blížící se buď~k nebo - odpovídají deerminisické posloupnosi buď neměnných nebo periodicky se měnících hodno. Paramery modelu procesu j Oll. edy H*, a, 8 0, ro, (J. výsupní ve li čina fil,ru prvého řádu je dána váženým průměrem vsupní veličiny a pamaované minulé vý upní veličiny filru X = AX - + ry (6) (7) (8) (9) A + r =, r i= O (0) ]'jl,race začíná v čase =. Proces filrace je určen prvou hodnoou X o a posloupnosí hodno parameru filru.7f' = {A; =, 2,...} (ll) Algorimus filrace a model procesu voří model filrační siuace. 3. Odhad paramorů modelu procesu Pro výpoče opimálního nasavení paramerů filru ve smyslu dále definovaného kriéria je řeba předem zná paramery modelu procesu. U neznámé základní úrovně H užiečné složky signáln je řeba zná sřední hodnou H* a rozpyl a. Tyo základní saisické charakerisiky lze ur č i z opakovaných sérií měření. Z dlouhodobých zkušenosí jsou však yo základní údaje obvykle známy. Již v projeku měřicího sysému jsou zadány echnologické meze a rozsah měření. Z předpokládané husoy pravděpodobnosi lze pořebné paramery rozdělení veličiny H odhadnou. Paramery modelu procesu so' ro a (J lze vypočía z auokovariancí,wk=e{(y-h)(y+k-h)} (2) keré se odhadnou z dosaečně dlouhé posloupnosi vsupních veličin filru {Y ; =, 2,..., N}. Odhad náhodné veličiny H je H+ = NI ~ Y = 35 auomaizace Odhady auokovariancí pro k = 0,, 2,... jsou w= N-k N- k-l ~ (Y-H+) (Y+k-H+) (3) Vzah mezi auokovariancemi a paramery modelu procesu určuje věa. Věa : Nechť plaí předpoklady dané vzahy () až (9). Pak pro libovolné n ;;:;; jsou paramery modelu procesu s,), ro a (J vázány s auokovariancemi wo, W n a W. n vzahy Důkaz: Z definice () a (2) vyplývá (Y -H) (Y+k-H) = = hh+k + '}h +k + h'}+k + '}'}+k (4) po použií operáoru sřední hodnoy a vzahů (6) až (8) lze dosa (5) a odud po dosazení do (5) za k = O, n, 2n vznikne sousava rovnic upravielná do varu (4). Volba n k výpoču paramerů procesu je ohraničena počem vypočených auokovariancí wi. Lze voli n =, ovšem při hodnoě (J blízké horní mezi (viz (6)) je vhodnější voli n >. Proože odhady auokovariancí I>e obvykle liší od eoreických hodno daných V7;orcem (5), je vhodnější urči '0 a (J na základě aproximace závislosi hodno wi na k v inervalu k =,..., K eoreickou funkcí ro(jk. 4. Kriérium účinku rurace Kriériem souhlasu výsupu filru a užiečné složky posloupnosi změřených hodno je zvolena sřední hodnoa čverce rozdílu ěcho veličin pro =, 2,... (6) Účelem filrace je vylouči chybu měření, proo je vhodnější porovnáva rozpyl (6) s rozpylem So Z z= So (7) Normované kriérium (7) závisí, jak bude odvozeno dále, na poměru ro/so, kerý lze nazva odsupem časově proměnné užiečné složky signálu od chyby měření; zkráceně odsup signálu od šumu. Sřední hodnoa v obou kriériích nahrazuje ná.hodné veličiny jejich saisickými charakerisikami. Deerminisická posloupnos.'7' = {Z; =,2,... } (8) předsavuje rajekorň filračního procesu. Posloupnos (ll) je pak řízením filračního procesu. Účinek řízení na rajekorii filračního procesu popisuje následující věa. Věa 2: Nechť jsou splněny všechny předpoklady obsažené ve vzazích () až (9). Pak pro algorimus filrace (O) je rajekorie filračního procesu (8) dána vzahy go= O (9)

3 auomaizace 36 2( ro a (H*-Xo)2'J 2 Zl = )' Yl a pro > r!l-l = 2 _ o ( - (J) ( - A_l) + ({JA-l!l-.) BO (20) (2 ) Z = Ať (Z_l +!l-l) + yř (22) ve kerých je {!l ; = O,,... }pusloupnos pomocných savů. Důk az: V odvozovaných vzorcích je rozdíl v kriériu (6) značen (23) Vzorec (20) nebude zvlášť odvozován, proože posup jeho odvození j ť'. shodný s posupem odvození vzorce (22). Kombinací (2). (l0) a (23) lze pro > dosa d = Ad_l + A(h - h_l) - yj (24) Čverec rovnice (24) je dř = Adr- l + A(h - h_i)2 + y~j~ + + 2A~d _ (h - h-l) - 2AYd_lJ - - 2AY (h - h-l) J (25) Užiím operace sr'ední hodnoy na vzah (25) a vzorců (6) až (8) a (6) lze odvodi Z = A~Z_ + 2Aro ( - (J) + yb o + + 2A~E {d_ (h - h-l)} - 2AYE {d- lj}- - 2AYE {(h - h-l) J} (26) Proože d_l nezávisí na J, je E{d_l J} = O. Rovněž (h - h-l) nezávisí na J, proo E{(h - h-l) 7} = O. K výpočue{d _ (h - h_l)} bude odvozen rekurenní vzorec. Za proměnnou d_l bude dosazen výraz (24) se záměnou za -. Model náhodných změn proměnné h ve varu (6) určuje vzah (27) ve kerém náhodná proměnná B s konsanním rozpylem má shodné vlasnosi jako proměnná J, přičemž plaí (8). Užiím varianní definice posloupnosi {h ; =, 2,...} podle (27) je možné odvodi E{d_l (h - h_l)} = (JA_IE{d_ 2 (h_ - h_o)} - -A_IrO(I-{J)2 (28) Po dosazení vzorců (6) a (28) do vzorce (26) a definováním!l-l = 2!Q.. ( - (J) + E{d _ l (h - h-l)} (29) Bo lze povrdi správnos rekurenních vzorců (22). ó. Opimálni řizeni filrace Trajekorii filračního věy přičemž (2) a procesu (8) popisuje podle 2 rekurenní vzorec, kerý má obecný var (30) (3) Cílem opimalizace procesu filrace je nalezení akové rajekorie f/* = {z; =,2,... } (32) 3 (988) Č. 2 pro kerou při srovnání s jinými možnými rajekoriemi (8) pro všechna plaí (33) přičemž osrá nerovnos je splněna a spo ň pro jedno. Infimální rajekorii (32) ohoo víceeapového rozhodovacího procesu lze urči posupem, kerý navrhl Markl [2]. Opimální paramery filru (0) v určiém časovém okamžiku (j. lokálně) vyplývají ze vzahů (Xó, M) = minii (Xo, Al) (34) I(Z-l> Al = mini(z_l' A), > (35) ), Aby lokálně opimální řízení bylo am globálně opimální (33), musí bý savová rovnice (30) izoónní vzhledem k savu, j. pro libovolné hodnoy Z-l < < Z:"'l musí plai (36) pro všechny přípusné hodnoy A. Výsledek výpo ču opimá.lního řízení filračního procesu ímo posupem je uveden v následující věě. Tl ě a 3 : Nechť je dána rajekorie filračního procesu (20) a (22) s omezením jeho paramerů podle vzahů () až (9). Pak plaí:. filrace je lokálně opimálně řízena pro hodnoy paramerů filru Xó = H* (37) M = o (38) +!Q.. +~ 8 0 Bo A = 2 A ' > (39) - - +!l-l kde!l-l se vypočíá rekurenně podle (2) s prvou hodnoou (9) 2. minimální hodnoa kriéria (7) v okamžiku je z = l-a (40) 3. lokálně opimální řízení ad je současně globálně opimální. Důkaz: Normované kriérium filrace (20) je dáno součem nezáporných sčíanců. Volba param eu X o podle (37) jeden sčíanec nuluje. Opimální řízení (38) se určí jako minimum funkce jedné proměnné ~(AI)' Opimální řízení (39) se určí r,ejným způsobem jako minimum funkce Z(Al dané vzorcem (22) ~* _ A - Z _l +!l-l + (4) Porovnáním (4) a (22) lze odvodi vzah (40). Z ohoo vzahu a vzahu (4) plyne vzorec (39). Ze vzahů (38) a (39) vyplývá, že pro všechna je řízení A *' O, a edy i A 2 > O, což je podmínkou pro planos implikace (36) pro rekurenní vzorce (20) a (22) popisující filrační rajekorii. Lokálně opimální řízení je edy současně globálně opimální. Poslední věou jsou určeny rekurenní vzorce pro výpoče opimální posloupnosi paramerů filru (ll). Algorimus fil.race a korekce parameru filru.a. je znázorněn vývojovým diagramem na obr.. V zá.pisu

4 3 ( 988) Č auomaizace ladonl vsupnlch ůdaju ro Q H* (3 50 ' 50', počoečni vypocy a pi'iřoienl proměnnych 2 ~ (-())--p 50 H:O:_X +~+~ -JI m ěřeni I velikosi Y + vypoce vysupu filru l\x+(-a)y- X ~ adapace parameru filru p (- A) + (3 Ag A 2-A+ g l Obr.. vývojový diagram i"izené filrace algorimu je vypušěn index, proože v rekurenních vzorcích jsou zapořebí pouze minulé hodnoy vypočíávaných členů posloupnosí paramerů filru a pomocných savů. 6. Porovnání ří z ené a neřízené filrace Známý neřízený filr (0) nemá časově proměnlivé paramery A = A, pro =, 2,... ( 42) Přenos.neřízeného filru je sabilní pro - < A. ~. Ověem při..= výsup filru nezávisí na vsupním signálu, proo - < A <. Průběh řízené a neřízené filrace lze porovna podle průb ěhu kriéria (7) v čase. Důležiým je aké posup opimálního nasavení paramerů filru. Nejprve bude určen ú činek filrace v usáleném savu, j. po odeznění po čáečního přechodového děje. V ě a 4: Nechť jl') dána rajekorie filračního procesu (20) a (22) s omezením jeho paramerů plynoucím ze vzahů () až (9) a nechť plaí (42) s - < J. <. Poom pro limiu lim Z = z plaí -;.+oo I ( Z = ro },2 ) (I-{J)--- + I-A (43) + A 8 0 I - pa Dúkaz: Pro konsanní A je řešením diferenční rovnice (2) s počáeční podmínkou (9) následující vzorec Il-l = 2 ~ (-{3) (l-a({3a) A(I-{3) - ({3),)-2 ) (44) -{3A Limia výrazu (44) lim g-l = II závisí na mocnině -i>oo {3A. Proože plaí - < {3 <, je rovněž podle předpokladu věy 4 - < {3A <, a proo lim (P A)-2 = -i>oo = O a edy II = 2 ~ ( _ (3) - A 8 0 -{3A Limia (43) se vypo če z limiy vzahu (22) (45) z = A2(z + g) + (-..)2 (46) Opimální nasavení neřízeného filru spoclvá ve výpoču exrému funkce z(a) dané vzahem (43). Složios funkce (43) vylučuje použií analyické meody výpoču a odkazuje na numerický posup řešení. Účinnos říz.ené a neřízené filrace pro musí bý shodná, proo aké opimální velikos parameru A u neřízené filrace musí bý shodná s limiou lim ),. Podle (40) plaí z = -A. Hledání -? +oo minima funkce (43) lze nahradi řešením rovnice (43) s levou sranou - I,. Vznikne však algebraická rovnice řeího supně. Významnou přednosí řízené filrace je velmi snadný výpoče opimální velikosi parameru A. Výsledky výpoču ímo posupem jsou uvedeny vobr. 2. Vedle kriéria účinno si filrace (7) je v grafu vyznačena i odmocnina z, kerá předsavuje směrodanou odchylku normované chyby filrace. Závislos velikosi parameru A. a kriéria účinnosi filrace na paramerech modelu procesu ukazuje, že účinek filrace je věší v širším pásmu hodno {3 při nižším odsupu signálu od šumu ve srovnání s vyšším odsupem signálu od šumu, kdy lze účinně filrova náhodné chyby pouze při {3 blízkém jednoce..0 0,8 -< 0,7;:: 0,4 0,8 ~ 0,2 0,9 - -Q5 Obr. 2. Opimální nasaveni iru p o odeznění přechodového d ěje 0,2 0,4- počáečního Užiečná složka měřených da může bý dána pouze v čase neměnnou náhodnou veličinou (ro = O), jejíž rozpyl je zna čně vě ší než rozpyl náhodných chyb měření (a > > 8 0 ), Opimální posloupnos (ll) paramerů filru je v omo případě posloupnos: O,

5 auomaizace 38.=...3=--..!.(.:..:9:..::8.=...8)!...=.č.~2 + nehzena filrace o řizena filrace,5 r.!!...=o 50 P~ ~=0 50 l! -+-~-+-+ I O,5~+H o I,,,,,, " 2 : Obr. 3. Účinnos Hzcué ll n ony-oné lll'llco po ~aru m M'eru pro u?iočný signál s paramerem J = 0,9 /2,2/3,..., což odpovídá průběžnému arimeickému průměru změřených da. Výhody filrace řízené oproi neřízené budou demonsrovány na příkladu, u kerého je pro měřená daa zvoleno fl = 0,9 a několik hodno poměrů To/So a a/so. Počáeční volba veličiny X o u obou způsobů filrace je podle vzorce (37) a paramer A neřízené filrace minimalizuje funkci (43). Vliv odsupu signálu od šumu na ú činek filrace se sleduje pro měřená daa s neznámou hodnoou H, kerá má rozpyl a/s o = 0. a pro měřená daa se známou hodnoou H, j. a/so = O. Výsledky výpoču posupné změny odmocniny kri- I 0 ~éria (7) po saru filrace jsou uvedeny v ob?'. 3. Rízená filrace je ú činnější než neřízená především při měření údajů s neznámou hodnoou H a s časově proměnlivou užiečnou složkou, kerá má rozpyl menší, než je rozpyl chyb měření. 7. Závěr Řízený filr má ve srovnání s neřízeným filrem dvě podsané výhody: - řízená filrace má po celou dobu měření eoreicky nejvyšší možnou účinnos - výpoče opimálního nasavení řízeného filru je algorimicky velmi snadný. Řízená filrace využívá dokonale možnosí číslicovéhozpracování da současnou výpočení echnikou, proože řízený filr není prosým ekvivalenem analogového filru, jako je omu u neřízeného filru. Algorimus řízené filrace lze použí v ineligenních číslicových měřicích přísrojích s mikroprocesory a pro základní zpracování vsupních da složiých měřicích a řídicích sysémů. Před začákem filrace je řeba k výpoču parameru filru zada: - odsup. časově proměnné užiečné složky signálu od chyby měření (poměr rozpylů obou složek např. v db) - sřední hodnou základní úrovně měřeného signálu (obvykle sřed měřicího rozsahu) - poměr rozpylu základní úrovně k rozpylu chyby měření nebo rozpylu proměnlivé užiečné složkyviz případná úprava vzorce (38) (rozpyl základních základních úrovní měřeného signálu lze odhadnou např. z předpokladu rovnoměrného rozdělení éo náhodné veličiny v měřicím rozsahu) - šíři frekvenčního spekra užiečného signálu (umožňuje urči pořebný paramer auokovarianční funkce). Lieraura [ll MARKL, J.: Návrh opimálního exponenoiálruho filru pro počíačové zpracováru da. Auomaizace, 23, 980, č. I, s [2] MARKL, J.: Recursive esimaion as an opimaly conrolled proccss. Kyberneika, 2,985, č. 4, s Do~ lo: Lekoroval: doc. Ing. P. ZUek, DrSc.