Vlci a zajíci v pohádkovém lese
|
|
- Štěpánka Novotná
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 1/6 Vlci a zajíci v pohádkovém lese Jií Neas Vstupujeme do pohádky o jednom zvláštním lese. Ona ovšem celá pohádka to bude ponkud zvláštní. Nebudou v ní víly ani králové, a dokonce ani vlkodlaci, bludiky i jiná strašidla, jak by se pro pohádkový les slušelo a patilo. Protože však tam poádek vcí bude ponkud jiný než ve skutenosti, pívlastek "pohádkový" mu upírat nebudeme. A aspo pro princeznu v ní místo najdeme. V lese si budeme všímat vlk a zajíc. Vegetariánští zajíci se o sebe postarají, rostlinné stravy je dostatek, a vlkm poslouží jako základní zdroj obživy. Pozornost vnujeme tomu, jak se mní velikost vlí a zajeí populace. Vlkm role predátor sedí. Zajíci by asi patili spíš na pole a vlci by mohli mít jinou základní lahdku, ale tím by se nám komplikoval systém oznaování - promnné veliiny znaíváme písmeny z konce abecedy, a tak se nám bude hodit v pro vlky a z pro zajíce. 1 Nebudeme však tmito písmeny oznaovat množství sledovaných zvíat, nýbrž odchylky jejich potu od stední hodnoty. ím vtší bude zajeí populace, tím lépe se vlkm povede, což vlci na rozdíl od nás lidí nepromítnou do vtší "osobní spoteby", ale zkrátka budou se více množit. A protože pírstek veliiny vyjaduje derivace 2, mžeme tuto závislost matematicky vyjádit rovnicí 3 v' = a z, kde a je kladná konstanta, vyjadující závislost fertility vlk na dostupnosti potravy. Tato rovnice ovšem popisuje vývoj vlí populace i v dobách zlých, když je zajíc málo (jejich poet je menší než stední stav, tedy odchylka z od stední hodnoty je záporná) a vlk ubývá (v' < 0). Jak tedy vývoj vlí a zajeí populace funguje? Když vlk pibude, budou se zajíci píliš asto stávat potravou vlk, takže jejich populace bude slábnout - ím vtší bude "nadstav" (poet nad stední hodnotou) vlk, tím více bude zajíc ubývat, ím vtší bude podstav (poet pod stední hodnotou) vlk, tím více budou zajíci pibývat. Zmna množství zajíc tedy bude mít obrácené znaménko než odchylka potu vlk od rovnovážné podoby; práv uvedenou úvahu mžeme vyjádit rovnicí z' = - b v, 1 Pi tom si uvdomíme, jak píjemný jazyk je eština, že nám takovouto možnost poskytuje. 2 Nezávisle promnnou veliinou je zde as t; jeho jednotka mže být libovolná, avšak pro celou úvahu pevn zvolená; vhodnjší zde bude pedstavit si ji jako den i týden než jako sekundu, ve fyzice bžn užívanou. 3 Poet zajíc i poet vlk jsou pirozená ísla, která netvoí hustou množinu, a tak pokud není jejich poet konstantní, nemže jejich závislost na ase být vyjádena spojitou (a tedy ani derivovatelnou) funkcí. Vzhledem k výhodnosti prostedk matematické analýzy její aparát zde používáme s tím, že pi dostaten velkých potech malou celoíselnou zmnu mžeme považovat za spojitou. Jiný možný pístup je nevyjadovat velikost populace potem kusu, nýbrž její celkovou hmotností. Pak derivace podle asu má smysl, avšak zas narazíme na jiné problémy - vlci žerou "v dávkách", jak nakládat s hmotností zardoušených, avšak ješt nesežraných hlodavc atd.
2 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 2/6 kde kladná konstanta b vyjaduje závislost pírstku zajíc v závislosti na míe ohrožení vlky. Urení konstant a a b nechme princezn. Naše princezna je jiná než jaké obvykle v pohádkách bývají. Krásnými dlouhými kaštanovými vlasy, velkýma dobro vyzaujícíma oima, milým úsmvem, cudností a skromností své tradiní pohádkové kolegyn pipomíná, avšak místo nepraktických princeznovských šat má zelené triko s nápisy E = m c 2, E = h f, F = E - T S a hndé džíny; barvou obleení tak vyjaduje lásku k lesu, jehož se naše pohádka týká. A co je dležité, naše princezna má malý doktorát ze zoologie a PhD. z ekologie. Nápisy na triku ukazují k fyzice; princezna totiž ví, že všechny procesy v zoologii i v ekologii musejí být v souladu s fyzikálními zákony. A ví také, jak užitený nástroj pi poznávání je matematika, a tak s urováním konstant poká, až bude mít matematický model lesa zpracovaný. My jej budeme ešit spolu s ní. Máme dv rovnice, které váží vlí a zajeí populaci. Co však s nimi? Nejdíve je zderivujeme. Dostaneme: v'' = a z', z'' = - b v'. Nyní za první derivace dosame z našich pvodn sestavených rovnic: v'' = - a b v, z'' = - a b z. Pro ob populace dostáváme stejné rovnice. Pevedeme v nich leny z pravé strany na levou: v'' + a b v = 0, z'' + a b z = 0. Protože a i b jsou kladná ísla, je jejich souin rovnž kladný a bude užitené se na nj dívat jako na druhou mocninu urité veliiny, kterou oznaíme, tedy a b = 2. Jak odchylka potu vlk, tak odchylka potu zajíc od své stední hodnoty se ídí stejnou diferenciální rovnicí: v'' + 2 v = 0, z'' + 2 z = 0. Jde o homogenní (krátkou) lineární diferenciální rovnici druhého ádu s konstantními koeficienty. Koeny její charakteristické rovnice = 0 jsou ryze imaginární: i a - i. Znamená to, že ešení rovnic mžeme vyjádit ve tvaru v = K 1 cos ( t) + K 2 sin ( t), z = C 1 cos ( t) + C 2 sin ( t).
3 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 3/6 Konstanty K 1, K 2, C 1 a C 2 lze urit na základ poáteních podmínek, piemž mezi vlími konstantami K 1, K 2 a zajeími konstantami C 1, C 2 existuje souvislost, jejíž konkrétní tvar si ukážeme. Uvedli jsme ešení diferenciálních rovnic ve tvaru, v jakém bývá v uebnicích pedkládáno, tedy jako lineární kombinaci dvou lineární nezávislých (bázických) ešení. Praktici však dávají pednost jinému vyjádení, které dává názornjší pedstavu o jeho prbhu: v = K sin ( t + ), z = C sin ( t + ), piemž konstanty a lze volit z intervalu (- /2, /2>. Dosud sledujeme prakticky symetricky vývoj vlí i zajeí populace. Abychom zjednodušili vyjadování, vybereme si jednu z nich, jejímuž popisu budeme dávat pednost. Naše vzdlaná princezna dobe ví, jak užitené pro zdraví lesního spoleenství jsou šelmy, nicmén jejímu jemnému princeznímu srdci jsou pece jen bližší zajíci. A proto na zajeí rovnici si ukažme, jak spolu souvisejí konstanty z jednotlivých vyjádení ešení naší diferenciální rovnice: C 1 = C sin, C 2 = C cos, C = (C C 2 2 ) 1/2, = arctg (C 1 /C 2 ). Uvedené vztahy si tená mže ovit pomocí vztahu pro vyjádení sinu a kosinu soutu dvou argument. Princezna tedy ví, jak pro zdravý vývoj populace zajíc jsou vlci užitení. Co by se stalo, kdyby vlci v lese nebyli? Perušme naše pemýšlení o vzájemném psobení obou populací a zkusme se zamyslet, jak by se nad zajeí populace vyvíjela v lese bez vlk. Pokud se jim dobe povede, budou se zajíci množit. ím více zajíc bude, tím více mezi nimi bude zajeích maminek a tatínk, a tedy tím více jich bude pibývat. To mžeme vyjádit diferenciální rovnicí 4 Z' = k Z, kterou mžeme napsat ve tvaru standardním pro lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Z' - k Z = 0. Urení kladné konstanty k zas necháme zooložce-ekoložce princezn a my pomocí charakteristické rovnice - k = 0 najdeme ešení diferenciální rovnice, které vyjaduje, jak by se s asem mniílo množství zajíc: Z = Z 0 e kt. 4 V tomto pípad nemáme k dispozici njakou stední hodnotu potu králík, nebo oni se stále množí. Proto pracujeme s jejich celkovým potem, a k jeho oznaení použijeme pro odlišení velké Z.
4 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 4/6 Poet zajíc by tak exponenciáln rostl nade všechny meze. Pochopiteln, a jsou skromní vegetariáni, jednou by jim pestala stait lesní vegetace k obživ, zaali by si pekážet, podmínky dstojného zajeího života by pestaly existovat. Vývoj zajeí populace by se pestal ídit rovnicí odvozenou za pedpokladu, že se zajícm vede dobe. V lese by se prost nedalo normáln žít. Došlo by ke kolapsu. A tak díky vlkm, že k tomu nedochází! Podobn je tomu s každým exponenciálním rstem populace. Na rozdíl od zajíc jsou lidé vybaveni rozumem a vlí. V nkterých oblastech lidská populace stále výrazn roste, avšak celosvtov vtším problémem, který mže znamenat zhoršování podmínek lidského života, je rst náronosti, rst spoteby. A tak se nabízí otázka, zda teba souasná ekonomická krize nemá lidem pomoci podobn jako vlci pomáhají zdravému vývoji zajeí populace. Pak ovšem ty rzné protikrizové balíky, šrotovné apod. pipomínají jakési pípadné nemoudré snahy zajeích pohlavár vlky cílevdom 5 vyhubit. Vra me se však k lesu, kde se navzájem ovlivují zajeí a vlí populace. Zderivujme ešení diferenciální rovnice pro vlky, a to v našem "praktickém" tvaru:: v' = K cos ( t + ). Do vztahu v' = a z dosame za v' a za z vyjádení vyjadující závislost na ase: K cos ( t + ) = ac sin ( t + ). Porovnávat kosinus se sinem bude snazší, když si uvdomíme, že platí identita cos x = sin (x + /2) (ovíme ji zas jednoduše pomocí vztahu pro sinus soutu dvou argument s tím, že sin(/2) = 1, cos(/2) = 0). Použijeme-li tento vztah na kosinus vyskytující se v derivaci potu vlk, dostaneme K sin ( t + + /2) = a C sin ( t + ). To znamená, že K = a C/, = - /2. Vývoj našich populací tedy mžeme vyjádit ve tvaru z = C sin ( t + ). v = (a C / ) sin( t + - /2), popípad (protože 2 = a b) z = C sin ( t + ). v = C (a / b) 1/2 cos( t + ). Konstanty C a jsou ureny poáteními podmínkami. Jestliže zaneme as mit, když stav zajíc bude roven stední hodnot a bude rst, bude "fázová" konstanta rovna nule. Vzhledem k tomu, že funkní hodnoty funkcí sinus a kosinus se pohybují mezi -1 a 1, vyjaduje konstanta C maximální 5 Jsme v pohádce, a tam takové cílevdomé poínání zajeí populace je možné.
5 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 5/6 možnou odchylku potu zajíc od stední hodnoty. Maximální možná odchylka K stavu vlk není veliinou na této nezávislou, je totiž rovna a C /, což mžeme také vyjádit ve tvaru C (a/b) 1/2. Povšimneme si, že platí K / C = (a/b) 1/2, tedy a / b = (K / C) 2. Pro sestavení rovnic jsme udlali adu zjednodušujících pedpoklad. Konec konc, pohádkové populace vlk a zajíc se jimi mohou ídit. Došli jsme k výsledku, že ob oscilují kolem rovnovážné polohy, piemž vývoj vlí populace je o tvrt periody (pipomeme, že perioda funkcí sinus a kosinus je 2 ) naped ped populací zajeí, což mžeme vyjádit i tak, že je-li vývoj zajeí populace vyjáden (pi vhodné volb mítka) grafem funkce sinus, vyjaduje graf funkce kosinus vývoj populace vlí. Konstanty úmrnosti a a b z lineárních závislostí mezi v' a z a mezi z' a v se promítnou jednak do pomru mezi amplitudami, jak jsme již ped zaátkem tohoto odstavce zmínili, jednak do délky T 0 trvání periody, T 0 = 2 / = 2 / (a b) 1/2, odkud mžeme vyjádit souin konstant a a b ve tvaru a b = 4 2 / T 2. Pokud princezna zná amplitudy K a C, s nimiž velikosti populací oscilují podle rovnovážné polohy, a periodu T tohoto kolísání 6, snadno vypoítá konstanty a a b, které vyjadují, jak výrazn zmna jedné sledované veliiny závisí na hodnot veliiny druhé: a = 2 K / (T C), b = 2 C / (T K), Poty zajíc i vlk v lese se mní, avšak systém je tak nastaven, že stední hodnota zstává stálá. Kdyby kvli njakému vnjšímu zásahu došlo ke zmn nkteré z konstant a i b, ovlivní to pomr amplitud obou populací a délku periody, avšak regulaní schopnost bude trvat, pokud nebude zmna píliš velká, teba pokud velikost nkteré z populací neklesne na nulu; vymení zajíc by mlo za následek vymení vlk, vymení vlk samo by však znamenalo nekontrolovaný rst zajeí populace, což by, jak jsme si už ekli, znamenalo pro zajíce také katastrofu. Model, který jsme ešili pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1. ádu (pevedením na ešení lineární diferenciální rovnice 2. ádu), je velice zjednodušující. To není nic pohádkového. V praxi kvli možnosti modelovat reálnou situaci tak, abychom ji mohli ešit analyticky, velice asto zjednodušujeme. Snad jsme tím však vystihli podstatu regulace, kdy je nkterá veliina udržována v oscilacích kolem urité rovnovážné polohy pomocí jiné, negativní zptnou vazbu zprostedkovávající veliiny. Pomocí zcela elementární teorie diferenciálních rovnic s jednou neznámou funkcí jsme udlali matematický model s dvma v ase se na sob závisle mnícími veliinami, tedy s dvma neznámými funkcemi asu. 6 V našem pohádkovém svt je as homogenní, tedy njaké kolísání zpsobené roními obdobím zde nenastává.
6 Vlci a zajíci v pohádkovém lese 6/6 Regulace udržuje urité parametry v daných mezích. Pokud dojde k jejich píliš velkému vychýlení, pestává fungovat. Pro spoustu rzných veliin, které mžeme na Zemi mit, existují takové vzájemn složit provázané mechanismy, které udržují jejich žádoucí hodnoty v potebných mezích. Bez nich by na Zemi nebyl lidský život možný. lovk si poíná však asto bezohledn, takže mže hodnoty tchto pro život dležitých veliin vychýlit natolik, až regulaní mechanismy selžou. Nelze pesn zjistit, v jakých mezích regulace funguje, nicmén každopádn lidská rozpínavost pedstavuje vážné nebezpeí pro fungování toho, co je podmínkou života. Vztahy ve skuteném svt jsou nesrovnateln složitjší než v pohádkovém lese. Úlohu naší princezny v nm hrají týmy vdc. Zjednodušený pohádkolesní model jsme snadno vyešili s využitím elementárních znalostí o diferenciálních rovnicích. Naše souasné lidské vdomosti o svt slouží k sestavení rozsáhlých model, které se eší na poítaích. Ani ty se neobejdou bez zjednodušování. O svt a zákonitostech v nm platných toho víme stále více, a pi tom stále více a více poznáváme, kolik toho nevíme. Zdravou lidskou reakcí by mla být rostoucí touha po poznání 7 a zárove s ní i veliká pokora a úžas nad tím, jak zemský systém funguje. K tomu však patí i cílevdomá snaha jeho fungování neublížit. A to vše vyžaduje hluboce prožité poznávání, vedoucí k vdomí sounáležitosti vlastního "já" s celkem - s lidstvem, se Zemí, s vesmírem. A to zas vede ke stále hlubší pokoe. 8 Louíme se te s naší vzdlanou princeznou a s periodicky kolísajícími populacemi vlk a zajíc, louíme se i se soustavou dvou lineárních diferenciálních rovnic o dvou neznámých funkcích, a opouštíme náš pohádkový les s vdomím toho, že mezi naším "reálným" svtem s mitelnými veliinami, svtem pohádek a ideálním svtem matematiky vlastn žádná ostrá hranice není a vším tím prostupuje svt, ve kterém se uskuteuje naše lidství, naše touhy a usilování, kde má své místo i utopie, takzvanými realisty odmítaná, a pesto jako motivace k plnému, tvrímu prožívání našich život nesmírn dležitá. Literatura Neas, J.: Hrneku, va aneb Separace promnných v eské pohádce. Envigogika 2008,. 1. Mundus symbolicus 16 (2008) Rastrigin, L.A.: Etot sluajnyj, sluajnyj, sluajnyj mir! Moskva, Molodaja gvardija Ve svt idejí (v informaní sfée) je na míst chtít stále více a více, zatímco ve svt materiálním nikoli. 8 Znamená to existenci kladné zptné vazby pro postoj pokory.
1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí
V tomto lánku na dvou modelech rstu - exponenciálním a logistickém - ukážeme nkteré rozdíly mezi chováním spojitých a diskrétních systém. Exponenciální model lze považovat za základní rstový model v neomezeném
Více4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu
4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
Více1. MODELY A MODELOVÁNÍ. as ke studiu: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: Výklad. 1.1. Model
1. MODELY A MODELOVÁNÍ as ke studiu: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: charakterizovat model jako nástroj pro zobrazení skutenosti popsat proces modelování provést klasifikaci základních
Více1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D)
1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D) 1.16.1 Teoretický úvod Nedílnou souástí návrhu štíhlých prutových konstrukcí by ml být spolen se statickým výpotem také výpoet stabilitní, nebo podává z inženýrského
VícePravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)
NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru
VíceEfektivní hodnota proudu a nap tí
Peter Žilavý: Efektivní hodnota proudu a naptí Efektivní hodnota proudu a naptí Peter Žilavý Katedra didaktiky fyziky MFF K Praha Abstrakt Píspvek experimentáln objasuje pojem efektivní hodnota stídavého
VícePromnné. [citováno z
Promnné [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Abychom s datovým objektem mohli v programu njak rozumn pracovat, potebujeme se na nj njakým zpsobem odkázat. Potebujeme Pythonu íct, aby napíklad
Vícedq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly :
Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : si díve i pozdji jist uvdomíme, že nulová hodnota integrálu njaké veliiny pi kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho, že se
VíceDruhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení
Druhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení Pipomeme si nejprve znalosti z minulé kapitoly epelné stroje a vznik.vty termodynamiky : Jakýkoliv termodynamický proces musí sice vždy splovat zákon
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VícePedání smny. Popis systémového protokolování. Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012. Strana 1/6
Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012 Strana 1/6 Obsah 1 OBSAH... 2 2 NKOLIK SLOV NA ÚVOD... 3 3 MODEL... 3 4 DEFINICE... 3 5 DENNÍ VÝKAZ... 4 6 ZÁVR... 6 Strana 2/6 1 Nkolik slov na úvod Zamení
Více1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST
1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý
VíceSpráva obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema
Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Jaroslav Šmarda, smarda@vema.cz Vema, a. s., www.vema.cz Abstrakt Spolenost Vema patí mezi pední dodavatele informaních systém v eské a Slovenské republice.
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceMETODY OCEOVÁNÍ PODNIKU DEFINICE PODNIKU. Obchodní zákoník 5:
METODY OCEOVÁNÍ PODNIKU DEFINICE PODNIKU Obchodní zákoník 5: soubor hmotných, jakož i osobních a nehmotných složek podnikání. K podniku náleží vci, práva a jiné majetkové hodnoty, které patí podnikateli
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)
MUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)!"#$$%&! %' ($ Vítám vás, milí tenái, opt v pohádkovém lese [1], [2]. Setkáme se zase s krásnou a sympatickou princeznou Alguelitou 1 i s vílami a kovílasy 2. Ke správnému pohádkovému
VíceCykly Intermezzo. FOR cyklus
Cykly Intermezzo Rozhodl jsem se zaadit do série nkolika lánk o základech programování v Delphi/Pascalu malou vsuvku, která nám pomže pochopit principy a zásady pi používání tzv. cykl. Mnoho ástí i jednoduchých
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!
MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení
VíceProud ní tekutiny v rotující soustav, aneb prozradí nám vír ve výlevce, na které polokouli se nacházíme?
Veletrh nápad uitel fyziky 10 Proudní tekutiny v rotující soustav, aneb prozradí nám vír ve výlevce, na které polokouli se nacházíme? PAVEL KONENÝ Katedra obecné fyziky pírodovdecké fakulty Masarykovy
Více2. PÍKLAD DÍLÍ ÁSTI SOUSTAVY - DÍLÍ ÁST SDÍLENÍ TEPLA
2. PÍKLAD DÍLÍ ÁSTI SOUSTAVY - DÍLÍ ÁST SDÍLENÍ TEPLA 2.1. OBECN Tepelné požadavky na dílí ást sdílení tepla zahrnují mimoádné ztráty pláštm budovy zpsobené: nerovnomrnou vnitní teplotou v každé tepelné
VíceProstedky automatického ízení
VŠB-TU Ostrava / Prostedky automatického ízení Úloha. Dvoupolohová regulace teploty Meno dne:.. Vypracoval: Petr Osadník Spolupracoval: Petr Ševík Zadání. Zapojte laboratorní úlohu dle schématu.. Zjistte
VíceDISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE P I NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPII
DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE PI NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPII Luboš PAZDERA *, Jaroslav SMUTNÝ **, Marta KOENSKÁ *, Libor TOPOLÁ *, Jan MARTÍNEK *, Miroslav LUÁK *, Ivo KUSÁK * Vysoké uení
VíceSouvisející ustanovení ObZ: 66, 290, 1116 až 1157, 1158 a násl., 1223 až 1235, 1694, 1868 odst. 1, 2719, 2721, 2746, 2994, 3055, 3062, 3063,
Pídatné spoluvlastnictví Obecná ustanovení 1223 (1) Vc náležící spolen nkolika vlastníkm samostatných vcí urených k takovému užívání, že tyto vci vytváejí místn i úelem vymezený celek, a která slouží spolenému
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceIV. CVIENÍ ZE STATISTIKY
IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní
Víceseminá pro školský management jaro 2010
Manažerské dovednosti v práci editele školy seminá pro školský management jaro 2010 1. Stanovení osobní vize koncepce je jasná, konkrétní, psobivá a aktivující pedstava budoucího asu, dosažených výsledk,
VíceTeoretické základy vakuové techniky
Vakuová technika Teoretické základy vakuové techniky tlak plynu tepeln! pohyb molekul st"ední volná dráha molekul proud#ní plynu vakuová vodivost $erpání plyn% ze systém% S klesajícím tlakem se chování
VícePodpora výroby energie v zaízeních na energetické využití odpad
Podpora výroby energie v zaízeních na energetické využití odpad Tomáš Ferdan, Martin Pavlas Vysoké uení technické v Brn, Fakulta strojního inženýrství, Ústav procesního a ekologického inženýrství, Technická
VíceNEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY
NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Metodika Mgr. Michal Schovánek kvten 2010 Newtonovy pohybové zákony patí mezi nejobtížnjší kapitoly stedoškolské mechaniky. Popisované situace jsou sice jednoduše demonstrovatelné,
VíceRoní plán pro 1.roník
Roní plán pro 1.roník ( Nakladatelství Fraus) 1.období záí íjen dodržuje zásady bezpeného chování tak, aby neohrožoval zdraví své a zdraví jiných. Orientuje se v budov školy, vysvtlí rozdíl v chování o
VíceVysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky. Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK. Semestrální projekt
Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK Semestrální projekt 18.1.2007 GN 262 Barbora Hejlková 1 OBSAH OBSAH...2 ZADÁNÍ...3
VíceGYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí
VíceZimní pikrmování pták
ZPRAVODAJ. 101 íjen 2005 Vychází 4 x ron Ediní rada Zpravodaje: pátelé Soa Neumannová (odp. redaktorka), Iva Apfelbecková (zástupce), František Ducháek, V0ra Svobodová, Pavel Šulda a Dana Velebová Kresby
VíceOvení zákonitostí radioaktivních pemn
Ovení zákonitostí radioaktivních pemn Jaromír Karmazín, Gymnázium Velké Meziíí, blue.beret@seznam.cz Aneta Nová, Gymnázium Šternberk, novaaneta@centrum.cz Abstrakt: Naším cílem bylo ovit zákonitosti radioaktivních
Více23. Mechanické vlnní. Postupné vlnní:
3. Mechanické vlnní Mechanické vlnní je dj, pi které ástice pružného prostedí kitají kole svých rovnovážných poloh a tento kitavý pohyb se penáší postupuje) od jedné ástice k druhé vlnní že vzniknout pouze
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceKINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN
KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN Kivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž souadnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), t I R. Tena kivky je urena bodem dotyku X a teným vektorem o souadnicích
VíceVYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ
VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH SESTAV YAMACO SOFTWARE 2003-2004 1. ÚVODEM Standardní souástí všech produkt Yamaco Software jsou prostedky
VíceStatistické ízení finanních tok
Statistické ízení finanních tok OBUST 3.. - 7..006 Fakulta strojní VUT v Praze, Ústav technické matematiky Eliška Cézová eliska_c@email.cz Úvod Statistické ízení finanních tok znamená ízení penžních prostedk
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Víceaj.) a ekonomiky firmy v jejich celistvosti. A tímto nástrojem jsou práv vhodn sestavené manažerské simulátory 1.
Obdobn, jako inženýi, kteí staví mosty za mnoho milion, i manažei by analogicky mli svá dležitá rozhodnutí podrobovat pedbžnému testování tak, aby tím minimalizovali eventuální rizika a nechtné dsledky.
VíceKaždý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu.
Datový objekt [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Identita Identita datového objektu je jedinený a
Více27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí.
Petr Martínek martip2@fel.cvut.cz, ICQ: 303-942-073 27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Multiplexování (sdružování) - jedná se o
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více3 NÁHODNÁ VELIINA. as ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt
NÁHODNÁ VELIINA as ke studiu kapitoly: 8 minut Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt obecn popsat náhodnou veliinu pomocí distribuní funkce charakterizovat diskrétní i spojitou náhodnou veliinu
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceInformace pro uitele. Popis: Studenti zakreslují do mapy zemského povrchu ve válcové projekci dráhu Sputniku 1, první umlé družice Zem.
Informace pro uitele Obtížnost: 1. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je vysvtlit studentm na praktické ukázce dráhu družice, kterou vidí pracovníci ídicího stediska zakreslenou ve válcové projekci zemského
VícePřechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
VíceEfektivní uení. Žádná zpráva dobrá zpráva. (Structured training) Schopnost pracovat nezávisí od IQ. Marc Gold
Efektivní uení (Structured training) Schopnost pracovat nezávisí od IQ. Marc Gold Žádná zpráva dobrá zpráva 1 ásti efektivního uení Stanovení cíle (+ kritéria) Analýza úkolu Použití pimené podpory Volba
VíceJAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1.
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1. Monotonie (1) Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. (2) Když si funkci
VíceMasarykova univerzita. Fakulta sportovních studií MANAGEMENT UTKÁNÍ. technika ízení utkání v ledním hokeji. Ing. Vladimír Mana
Masarykova univerzita Fakulta sportovních studií MANAGEMENT UTKÁNÍ technika ízení utkání v ledním hokeji Ing. Vladimír Mana Brno 2013 Tvorba a tisk tohoto studijního materiálu byly financovány z Operačního
VíceVOLEBNÍ ÁD. pro volby výboru a dozorí rady Spolenosti radiologických asistent R
VOLEBNÍ ÁD pro volby výboru a dozorí rady Spolenosti radiologických asistent R razítko Spolenosti radiologických asistent R podpis pedsedy výboru a dozorí rady SRLA R (1) Voliem je každý ádný len SRLA
VícePednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2
Pednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2 1. ngelova kivka x poptávka po statku, M- dchod x luxusní komodita ( w >1) standardní komodita (0< w 1) podadná komodita ( w < 0) 2. Dchodový a substituní
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceRzné algoritmy mají rznou složitost
X36DSA 25 / 3 DSA Rzné algoritmy mají rznou složitost X36DSA 25 2 / 3 DSA The complexity of different algorithms varies X36DSA 25 3 / 3 Abeceda Jazyk Abeceda konená (neprázdná) množina symbol A mohutnost
VíceLineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1
Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceSplajny a metoda nejmenších tverc
Splajny a metoda nejmenších tverc 1. píklad a) Najdte pirozený kubický splajn pro funkci na intervalu Za uzly zvolte body Na interpolaci pomocí kubického splajnu použijeme píkaz Spline(ydata,, endpts).
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceUrení rychlosti svtla Römerovou metodou
Urení rychlosti svtla Römerovou metodou Informace pro uitele Obtížnost: 4. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je uit rychlost svtla tak, jak ji zmil Olaf Ch. Römer. Studenti si jednak procvií základy planimetrie,
Více1 Sémantika a její vztah k syntaxi
1 Sémantika a její vztah k syntaxi Mjme formální jazyk L T nad abecedou T. Tento formální jazyk je vymezen popisem syntaxe, která stanoví množinu všech syntakticky správných etzc jazyka. V dalším textu
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceObjektov orientovaný pístup
Objektov orientovaný pístup Softwarové inženýrství (SWI ) je disciplína poítaové vdy (computer science) zabývající se vývojem velkých aplikací. Softwarové inženýrství zahrnuje nejen technické aspekty vytváení
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceVI. VÝNOSY, NÁKLADY, ANALÝZA VÝVOJE HOSPODÁSKÉHO VÝSLEDKU
VI. VÝOSY, ÁKLADY, AALÝZA VÝVOJE HOSPODÁSKÉHO VÝSLEDKU VÝOSY Jedná se o veškeré penžní ástky, které podnik získal ze svých inností za urité období bez ohledu na to, zda došlo v tomto období k k jejich
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai
VíceSBÍRKA PEDPIS ESKÉ REPUBLIKY
Roník 2005 SBÍRKA PEDPIS ESKÉ REPUBLIKY PROFIL AKTUALIZOVANÉHO ZNNÍ: Titul pvodního pedpisu: Vyhláška o základním umleckém vzdlávání Citace pv. pedpisu: 71/2005 Sb. ástka: 20/2005 Sb. Datum pijetí: 9.
VíceKapitoly z EKONOMICKÉ DEMOGRAFIE
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Kapitoly z EKONOMICKÉ DEMOGRAFIE Felix Koschin Obsah Obsah 3 Kapitola 1 Vymezení 1. Vymezení Ekonomická demografie není zavedená vdní
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceWWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi
eské vysoké uení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Bakaláské práce WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi Jií Švadlenka Vedoucí práce: Ing. Ivan Halaška Studijní program: Elektrotechnika
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceSlužba Zvýšená servisní podpora
PÍLOHA 1d Služba Zvýšená servisní podpora SMLOUVY o pístupu k infrastruktue sít spolenosti Telefónica O2 Czech Republic využívající technologie Carrier IP Stream mezi spolenostmi Telefónica O2 Czech Republic,a.s.
VícePednáška 12 : 1. Oligopol, monopolistická konkurence 2. Mení ekonomické nerovnosti
Pednáška 12 : 1. Oligopol, monopolistická konkurence 2. Mení ekonomické nerovnosti 1) Opt pedpoklad maimalizace zisku MC = MR, piemž MR už není konstanta p (cena za jednotku výstupu), ale p snížené o dopad
Více5. Dsledky zákona zachování energie
5. Dsledky zákona zachování energie 5. Pohyb lyž po sjezdovce 5.. Zadání úlohy Lyža sjíždí ze svahu po sjezdovce o svislé výšce h = 8 m. Na zaátku sjezdu je jeho rychlost nulová. Jaká je jeho rychlost
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceSbírka zahrnuje základní autory, výbr nejdležitjších prací a spektrum názor Dsledn udržována
METODA KONSPEKTU Základní informace Kódy úrovn fond Kódy jazyk Indikátory ochrany fondu Základní informace Umožuje souborný popis (charakteristiku) fondu urité knihovny (skupiny knihoven) bez podrobných
Více! " # $ % # & ' ( ) * + ), -
! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceMetodický materiál Ma
Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma... 1 Úvod... 2 Možnosti použití v hodin... 2 Podmínky... 2 Vhodná témata... 3 Nevhodná témata... 3 Vybrané téma: Funkce... 3 Úvod... 3 Použití v tématu funkce...
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceDOPRAVNÍ INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ING. MARTIN SMLÝ DOPRAVNÍ INŽENÝRSTVÍ MODUL 1 DOPRAVNÍ A PEPRAVNÍ PRZKUMY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Dopravní inženýrství
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více