Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI"

Transkript

1 Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Aktualizace katalogu schváleného Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy ČR dne pod č. j /05-/0 Zpracovalo: CENTRUM PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VÝSLEDKŮ VZDĚLÁVÁNÍ Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR dne 008 pod č. j. s účinností od školního roku 009/00

2 Obsah Úvod Požadavky k maturitní zkoušce Základní specifikace zkoušky Příklady testových úloh

3 Úvod Účel a obsah katalogu Katalogy požadavků k maturitní zkoušce poskytují všem jejich uživatelům informace o požadavcích kladených na žáky vzdělávacích programů v oborech středního vzdělání s maturitní zkouškou. Maturitní zkouška z matematiky má charakter didaktického testu a je připravována ve dvou úrovních obtížnosti. Rozdíly mezi úrovněmi obtížnosti jsou vymezeny rozsahem a hloubkou ověřovaných znalostí a dovedností a odlišnostmi v typu použitých testových úloh s otevřenou odpovědí. Tento katalog vymezuje požadavky k maturitní zkoušce vyšší úrovně obtížnosti. Zkouška z matematiky ve vyšší úrovni obtížnosti má mimo jiné též splňovat vstupní požadavky vysokých škol. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Základem pro zpracování katalogu jsou stávající platné pedagogické dokumenty: Učební dokumenty pro gymnázia. Praha, Fortuna 999. Standard vzdělávání ve čtyřletém gymnáziu. Praha, Fortuna 999. Učební osnovy pro SOŠ a SOU, č. 07/000 ze , a dále učební osnovy matematiky pro technická, přírodovědná a ekonomická lycea. Zpracovatelé katalogu využili jako podpůrné prameny také publikované standardy a didaktické materiály. Při zpracování katalogu byla zohledněna skutečnost, že na některých středních školách jsou již ověřovány rámcové vzdělávací programy. () FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště. Praha: Prometheus, 00, ISBN () FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol.. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 998. ISBN () FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborné školy. Praha: Prometheus, 998. ISBN (4) Měření vědomostí a dovedností nová koncepce hodnocení žáků. Praha: ÚIV, s. ISBN Přel. z: Measuring Student Knowledge and Skills. Paris: OECD, pp.

4 Požadavky k maturitní zkoušce Očekávané znalosti a dovednosti pro zkoušku matematika ve vyšší úrovni obtížnosti jsou v prvé části uvedeny pěti hlavními kategoriemi kompetencí, které by během výuky matematiky na střední škole měly být zohleďňovány. Osvojení matematických pojmů a dovedností Užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich obsah, charakterizovat pojem různými způsoby, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi, zobecňovat pojmy a vztahy mezi nimi) Numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoby výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční obor výrazu, na základě reálné situace sestavit výraz s proměnnými) Pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu) Matematicky argumentovat (rozlišit různé typy tvrzení (definice, věta), rozumět logické stavbě matematické věty, dokázat jednoduchou matematickou větu, vytvořit, ověřit, zdůvodnit nebo vyvrátit hypotézu) Matematické modelování 4 Matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace) Pracovat s matematickým modelem Ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontetu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelované situace) Kombinovat různé modely téže situace Vymezení a řešení problému Vymezit problém Analyzovat problém Zvolit vhodnou metodu řešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus, vytvořit algoritmus řešení) Vyřešit problém Diskutovat o výsledcích Aplikovat osvojené metody řešení problémů v jiných tématech a oblastech Komunikace Číst s porozuměním matematický tet Vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd. Přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symboliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní řešení problému, prezentovat výsledky řešení úlohy (geometrické konstrukce) na dobré grafické úrovni)

5 Prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafů, diagramů, tabulek atd., použít různé formy znázornění matematických situací) Užití pomůcek Využít informační zdroje (odborná literatura, internet atd.) Efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC Použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problémů Použít tradiční prostředky grafického vyjadřování Druhá část požadavků obsahuje již konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků tak, jak byly týmem spolupracovníků v zastoupení všech typů středních škol a odborných ústavů určeny.. Číselné obory. Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele užít pojem dělitelnosti přirozených čísel a znaky dělitelnosti určit největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel. Celá čísla provádět aritmetické operace s celými čísly užít pojem opačné číslo. Racionální čísla pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody provádět operace se zlomky provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla řešit praktické úlohy na procenta a užitím trojčlenky znázornit racionální číslo na číselné ose.4 Reálná čísla zařadit číslo do příslušného číselného oboru provádět aritmetické operace v číselných oborech užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo znázornit reálné číslo nebo jeho aproimaci na číselné ose určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam zapisovat a znázorňovat intervaly, jejich průnik, sjednocení a doplněk užít druhé a třetí mocniny a odmocniny provádět operace s mocninami s celočíselným eponentem užít mocninu s racionálním eponentem a ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami 5

6 .5 Komplení čísla užít Gaussovu rovinu k zobrazení kompleních čísel vyjádřit komplení číslo v algebraickém i goniometrickém tvaru vypočítat absolutní hodnotu a argument kompleního čísla a chápat jejich geometrický význam sčítat, odčítat, násobit a dělit komplení čísla v algebraickém tvaru násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat komplení čísla v goniometrickém tvaru užitím Moivreovy věty. Algebraické výrazy. Algebraický výraz určit hodnotu výrazu určit nulový bod výrazu. Mnohočleny provádět početní operace s mnohočleny rozložit mnohočlen na součin užitím vzorců a vytýkáním. Lomené výrazy provádět operace s lomenými výrazy stanovit definiční obor lomeného výrazu.4 Výrazy s mocninami a odmocninami provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny. Rovnice a nerovnice. Lineární rovnice a jejich soustavy, rovnice s neznámou ve jmenovateli 6 stanovit definiční obor rovnice řešit lineární rovnice o jedné neznámé a rovnice s neznámou ve jmenovateli řešit rovnice obsahující výrazy s neznámou v absolutní hodnotě vyjádřit neznámou ze vzorce užít rovnice při řešení slovní úlohy řešit rovnice s parametrem řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řešit soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých. Kvadratické rovnice řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy řešit kvadratické rovnice s parametrem

7 řešit kvadratické rovnice s reálnými koeficienty v oboru kompleních čísel řešit soustavy lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých. Rovnice s neznámou pod odmocninou řešit rovnice s neznámou pod odmocninou, při řešení rovnic rozlišit ekvivalentní a neekvivalentní úpravy.4 Lineární a kvadratické nerovnice a jejich soustavy řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy řešit rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru řešit nerovnice obsahující lineární výrazy s neznámou v absolutní hodnotě řešit početně i graficky kvadratické nerovnice 7

8 4. Funkce 4. Základní poznatky o funkcích užít různá zadání funkce v množině reálných čísel a užít s porozuměním pojmy: definiční obor, obor hodnot, hodnota funkce v bodě, graf funkce určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic, sestrojit graf funkce, přiřadit předpis funkce y = f() ke grafu funkce rozhodnout, zda je funkce sudá nebo lichá, prostá, omezená, periodická, stanovit definiční obory a obory hodnot funkcí, intervaly monotonie a body, v nichž funkce nabývá lokální a globální etrémy sestrojit z grafu funkce y = f() grafy funkcí y = f( m ) n, y = f(), y = f( ) určit funkci inverzní k dané funkci (načrtnout její graf), užít poznatky o složené funkci modelovat reálné závislosti pomocí funkcí 4. Lineární funkce užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti určit lineární funkci, sestrojit její graf, využívat geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = a b určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce sestrojit graf lineární funkce s absolutními hodnotami a určit vlastnosti funkce řešit reálné problémy pomocí lineární funkce 4. Kvadratické funkce určit kvadratickou funkci, vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, upravit předpis funkce, sestrojit graf stanovit definiční obor a obor hodnot funkce, najít bod, v němž nabývá funkce etrému, určit intervaly monotonie sestrojit graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce 4.4 Mocninné funkce určit mocninnou funkci s celočíselným eponentem, funkce druhá a třetí odmocnina, sestrojit grafy těchto funkcí stanovit definiční obor a obor hodnot, určit intervaly monotonie 4.5 Lineární lomená funkce užít pojem a vlastností nepřímé úměrnosti určit lineární lomenou funkci, upravit předpis funkce, určit asymptoty, načrtnout graf lineární lomené funkce posunutím grafu nepřímé úměrnosti stanovit definiční obor a obor hodnot lineární lomené funkce, určit intervaly monotonie sestrojit graf lineární lomené funkce s absolutní hodnotou a určit její vlastnosti řešit reálné problémy pomocí lineární lomené funkce 4.6 Eponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice určit eponenciální funkci a sestrojit její graf užívat s porozuměním pojmu inverzní funkce pro definování logaritmické funkce, určit logaritmickou funkci a sestrojit její graf stanovit definiční obor a obor hodnot u obou funkcí, určit typ monotonie v závislosti na hodnotě základu, 8

9 řešit eponenciální a logaritmické rovnice a jednoduché nerovnice, užít logaritmu a jeho vlastností aplikovat poznatky o eponenciálních a logaritmických funkcích při řešení reálných problémů 4.7 Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice užít pojmu orientovaný úhel a jeho hodnoty v míře stupňové a obloukové definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku definovat goniometrické funkce v oboru reálných čísel, užít jednotkové kružnice načrtnout grafy goniometrických funkcí y=f() a grafy funkcí y=a f(bc)d, určit jejich definiční obor, obor hodnot, užít vlastností užít vztahy mezi goniometrickými funkcemi řešit goniometrické rovnice a jednoduché nerovnice aplikovat poznatky o goniometrických funkcích při řešení reálných problémů 5. Posloupnosti a řady, finanční matematika 5. Základní poznatky o posloupnostech aplikovat znalosti o funkcích při úvahách a řešení úloh o posloupnostech určit posloupnost vzorcem pro n tý člen, rekurentně, graficky 5. Aritmetická posloupnost určit aritmetickou posloupnost a používat pojem diference užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost 5. Geometrická posloupnost určit geometrickou posloupnost a používat pojem kvocient užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost 5.4 Limita posloupnosti a nekonečná geometrická řada s porozuměním užívat pojmy vlastní a nevlastní limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost využít věty o limitách posloupnosti k výpočtu limity posloupnosti určit podmínky konvergence nekonečné geometrické řady a vypočítat její součet 5.5 Využití posloupností pro řešení úloh z prae využít poznatků o posloupnostech v reálných situacích, zejména v úlohách finanční matematiky a dalších praktických problémech 9

10 6. Planimetrie 6. Planimetrické pojmy a poznatky správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, znázornit objekty užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek) rozlišit konvení a nekonvení útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti při řešení úloh využívat množiny všech bodů dané vlastnosti 6. Trojúhelníky pojmenovat základní objekty v trojúhelníku, správně užít jejich vlastností, pojmů užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, těžnice, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná) při řešení úloh argumentovat s využitím poznatků vět o shodnosti a podobnosti trojúhelníků aplikovat poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, výška, Pythagorova a Euklidovy věty, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie aplikovat poznatky o trojúhelnících v úlohách konstrukční geometrie řešit praktické úlohy užitím trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku 6. Mnohoúhelníky rozlišit základní druhy čtyřúhelníků, popsat a správně užít jejich vlastnosti (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky), pravidelné mnohoúhelníky pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastností konveních mnohoúhelníků užít poznatky o čtyřúhelníku (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsaná nebo vepsaná) a mnohoúhelníku v úlohách početní geometrie využít poznatky o mnohoúhelnících v úlohách konstrukční geometrie 6.4 Kružnice a kruh pojmenovat, znázornit a správně užít základní objekty v kružnici a kruhu, popsat a užít jejich vlastnosti (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží) užít polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah, velikost obvodového a středového úhlu) v úlohách početní geometrie aplikovat poznatky o kružnici a kruhu v úlohách konstrukční geometrie 6.5 Geometrická zobrazení popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti popsat a určit stejnolehlost nebo podobnost útvarů a užít jejich vlastnosti aplikovat poznatky o shodnosti a podobnosti v úlohách konstrukční geometrie 0

11 7. Stereometrie 7. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru určit vzájemnou polohu bodů, přímek, přímky a roviny, rovin rozhodnout o kolmosti nebo rovnoběžnosti přímek a rovin zobrazit jednoduchá tělesa ve volném rovnoběžném promítání konstruovat rovinné řezy hranolu a jehlanu 7. Metrické vlastnosti útvarů v prostoru určit vzdálenost bodu od přímky a roviny, odchylku dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin 7. Tělesa charakterizovat jednotlivá tělesa, vypočítat jejich objem a povrch (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části) využít poznatků o tělesech v praktických úlohách 8. Analytická geometrie 8. Souřadnice bodu a vektoru v rovině i prostoru určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky užít pojmy: vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární a vektorový součin vektorů) určit velikost úhlu dvou vektorů 8. Přímka a rovina užít parametrické vyjádření přímky v rovině a prostoru, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině užít parametrické vyjádření roviny a obecnou rovnici roviny určit a aplikovat v úlohách polohové a metrické vztahy bodů, přímek a rovin 8. Kuželosečky charakterizovat jednotlivé druhy kuželoseček, použít jejich vlastnosti a analytické vyjádření. určit vzájemnou polohu přímky a kuželosečky

12 9. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 9. Kombinatorika rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, a kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít v reálných situacích počítat s faktoriály a kombinačními čísly užít binomickou větu při řešení úloh 9. Pravděpodobnost použít pojmy náhodný jev, jistý jev, nemožný jev, opačný jev, nezávislost jevů, sjednocení a průnik jevů určit pravděpodobnost náhodného jevu, vypočítat pravděpodobnost sjednocení nebo průniku dvou jevů 9. Statistika vysvětlit a použít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak, četnost a relativní četnost vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností určit charakteristiky polohy a variability (průměry, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka) vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách

13 Základní specifikace zkoušky z matematiky Maturitní zkouška matematika ve vyšší úrovni obtížnosti bude ověřovat matematické znalosti a dovednosti žáků formou didaktického testu, který bude tvořen úlohami uzavřenými, otevřenými se stručnou odpovědí a několika otevřenými úlohami s širokou odpovědí. V uzavřených úlohách je vždy právě jedna alternativa v nabídce správná. V jeho průběhu budou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, budou moci používat kalkulátor bez grafického režimu a rýsovací potřeby. Následující tabulka uvádí přibližné procentuální zastoupení jednotlivých témat v testu. Tematické okruhy %. Číselné množiny 5 0. Algebraické výrazy 0 0. Rovnice a nerovnice Funkce Posloupnosti a řady, finanční matematika Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 5 0

14 6. Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 5 0 Příklady testových úloh Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Příklady testových úloh Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. Testové úlohy jsou uvedeny jen jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Soubor ukázek proto nelze považovat za sestavený test. ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena, uvádějícího danou V ukázkách uzavřených úloh jsou autorská řešení označena tučnou sazbou písmena, uvádějícího danou odpověd. otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou. odpověd. U otevřených úloh je správné řešení připojeno pod úlohou... Číselné Číselné množiny množiny Úloha Na divadelní představení byly byly zakoupeny dva dva druhy druhy vstupenek. vstupenek. Jistý Jistý počet počet vstupenek vstupenek prvního prvního druhu druhu za za 48 Kč 48 a o Kč pět a o vstupenek pět vstupenek po 68 po Kč 68 více. Kč více. Za vstupenky Za vstupenky bylo bylo celkem celkem zaplaceno zaplaceno Kč. Kolik Kč. Kolik vstupenek vstupenek každého druhu každého bylo zakoupeno? druhu bylo zakoupeno? Řešení: Řešení: 0 0 a Úloha Úloha Výnosy Výnosy z vkladní vkladní knížky knížky jsou jsou sníženy sníženy vždy vždy o 5% 5% daň. daň. Vklad Vklad ve ve výši výši Kč Kč vynesl vynesl za za rok rok čistý čistý úrok úrok 740 Kč. Jaká byla 740 roční Kč. Jaká úroková byla roční míra? úroková Výsledek míra? zaokrouhlete Výsledek na zaokrouhlete desetiny procenta. na desetiny procenta. Řešení: 8,0 % Řešení: 8,0 % Úloha Vypočítejte : a výsledek zapište pomocí mocnin s racionálním eponentem. Řešení: 4 9 Úloha 4 Kolejnice délky 5 m se při zvýšení teploty vzduchu o 0 C prodlouží o 6 mm. Nejnižší teplota ( 5) C byla naměřena. února a nejvyšší teplota 5 C 8. července téhož roku. Jaký byl největší rozdíl v délkách této kolejnice v průběhu roku, jestliže délka kolejnic se mění v závislosti na teplotě vzduchu rovnoměrně? A) 6 mm B) mm C) 5 mm D) 8 mm 4

15 B) mm D) 8 mm C) 5 mm D) 8 mm Úloha 5 V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla z, pro která platí: z i =. Úloha 5 Řešení: V Gaussově rovině zobrazte všechna y komplení čísla z, pro která platí: z i =. Řešení: iy i i i i Úloha 6 Úloha Výraz 6 i je roven: 5 Výraz i je roven: A) i A) i B) i B) i C) i C) i D) i D) i 5 0i -i 0 -i 5

16 .. Algebraické Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy Úloha Úloha Rovnost ( )( a) = b platí pro všechna R. Rovnost Určete hodnoty )( parametrů a = a, b. b platí pro všechna R. Určete hodnoty parametrů a, b. Řešení: a =, b = 5 Řešení: a =, b = 5 Úloha Úloha Upravte výraz Upravte výraz Řešení: ; Řešení: ; ; ; R \{ } R \{ a určete jeho definiční obor. a určete jeho definiční obor. Úloha Úloha y Výraz Výraz y y y y y : : y y A) y y A) y y y B) y B) y y C) y C) y D) y y D) y y y y y y lze pro všechna > 0, y > 0 upravit na tvar: lze pro všechna > 0, y > 0 upravit na tvar: Úloha 4 Úloha Rozhodněte 4 o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). Rozhodněte 4. Pro libovolná o každém dvě z následujících reálná čísla a, tvrzení, b platí zda a je b pravdivé = b a. (ANO), nebo nepravdivé (ANO NE) (NE). 4. Pro libovolná dvě reálná čísla a, b platí a b = b a. (ANO NE) = 5 (ANO NE) = 5 (ANO NE) 4. Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b = a b. (ANO NE) 4. Pro každá dvě nezáporná čísla a, b platí a b = a b. (ANO NE) = = (ANO NE) (ANO NE) 4 4 6

17 . Rovnice Rovnice a nerovnice a nerovnice. Rovnice a nerovnice Úloha. Úloha Rovnice a nerovnice Na cestě mezi městy leží město B. Vzdálenost měst A, je 0 km a vzdálenost měst B, C je 50 km. Z měst A a B Úloha Na cestě mezi městy A a C leží město B. Vzdálenost měst A, B je 0 km a vzdálenost měst B, C je 50 km. současně vyjeli dva cyklisté směrem k městu C. Rychlost cyklisty vyjíždějícího z města A byla 5 km.h -, rychlost Na cyklisty Úloha Z měst cestě A mezi a B současně městy A vyjeli a C leží dva město cyklisté B. Vzdálenost směrem k městu A, C. B Rychlost je 0 km cyklisty a vzdálenost vyjíždějícího měst B, z C města je 50 km. A byla 5 km.h vyjíždějícího -, rychlost cyklisty z města vyjíždějícího B 0 km.h - z. První města dohonil B 0 km.h druhého. -. První Ve dohonil které vzdálenosti druhého. Ve od které města vzdálenosti A to bylo? Z Na měst cestě A mezi a B současně městy A vyjeli a C leží dva město cyklisté B. Vzdálenost směrem k městu A, C. B Rychlost je 0 km cyklisty a vzdálenost vyjíždějícího měst B, z C města je 50 km. A byla od A) 5 Z města měst km.h 45 km A - to a, rychlost B bylo? současně cyklisty vyjeli vyjíždějícího dva cyklisté z směrem města B k 0 městu km.hc. -. První Rychlost dohonil cyklisty druhého. vyjíždějícího Ve které z města vzdálenosti A byla od B) města 5 A) km.h 50 A km45 - to, rychlost km bylo? cyklisty vyjíždějícího z města B 0 km.h -. První dohonil druhého. Ve které vzdálenosti od C) A) města B) 55 A km to km bylo? D) A) B) C) 60 km km B) C) D) km km D) C) km D) Úloha 60 km Úloha Řešte v R rovnici = 4. Úloha Řešte v R rovnici 5 = 4. 5 Řešte v R rovnici = 4. Řešení: = 9; = 4 5 Řešení: = 9; = 4 Řešení: Úloha = 9; = 4 Řešte v Úloha R nerovnici 4 8 <. Řešte Úloha v R nerovnici 4 8 <. Řešte Řešení: v R ( nerovnici 6; ) 4 8 <. Řešení: ( 6; ) Řešení: Úloha 4 ( 6; ) Úloha Kvadratická 4 rovnice ( m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: Kvadratická Úloha A) 4 m rovnice, ( m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: A) Kvadratická B) m ( rovnice,, ) (, ( ) m) m 7 = 0 s parametrem m R má imaginární kořeny pro: A) B) C) m ({,, } ) (, ) B) C) D) m ({,, }) ) (, ) m, C) D) {( }) D) m (, )

18 4. Funkce 4. Funkce Úloha Úloha Automobil Automobil má má na na počátku počátku jízdy jízdy 0 0 litrů litrů benzinu benzinu v v nádrži. nádrži. Průměrná Průměrná spotřeba spotřeba je je 8 litrů litrů na na km. km. Automobil Automobil jede po jede dálnici po dálnici průměrnou průměrnou rychlostí rychlostí 80 km.h 80 - km.h. Který -. z Který grafů z grafů by mohl by mohl znázorňovat znázorňovat lineární lineární funkci, funkci, která určuje která určuje závislost objemu závislost benzinu objemu v benzinu nádrži b (v v nádrži litrech) b na (v litrech) době jízdy na době auta t jízdy (v hodinách)? auta t (v hodinách)? b l A) A) b B) B) l t h t h b l C) C) b D) l t h t h Úloha Úloha Teplota se měří v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Teplota f ve Fahrenheitových stupních je Teplota lineární se funkcí měří teploty v Celsiových c v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Přitom stupních. hodnotě Teplota 8 C odpovídá f ve Fahrenheitových 46,4 F a 4 C odpovídá stupních je lineární funkcí 75, F. teploty Určete c hodnotu v Celsiových ve Fahrenheitových stupních. Přitom stupních, hodnotě která 8 C odpovídá 046,4 C. F a 4 C odpovídá 75, F. Určete hodnotu ve Fahrenheitových stupních, která odpovídá 0 C. Řešení: Řešení: 68,0 68,0 F F 6 8

19 Úloha Závislost Úloha hmotnosti m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem t Závislost m = m 0, 5 T 0 hmotnosti, kde m radioaktivní látky na čase t při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem 0 značí počáteční hmotnost látky v čase t = 0 a T je tzv. poločas přeměny (doba, za t kterou m m se mt 0 zmenší na polovinu). Poločas přeměny radionuklidu jodu 0 0, 5 m 0 značí počáteční hmotnost látky v čase t = 0 a T je tzv. I je poločas 8 dní. Vypočítejte přeměny (doba, hmotnost za zbylého kterou se radionuklidu m za 5 dní, jestliže m 0 = 0, g. 0 zmenší na polovinu). Poločas přeměny radionuklidu jodu I je 8 dní. Vypočítejte hmotnost zbylého A) 65 radionuklidu mg za 5 dní, jestliže m 0 = 0, g. B) A) 65 6,5 mg mg C) B) 0,65 6,5 mg mg D) C) 0,065 0,65 mg mg D) 0,065 mg Úloha 4 Řešte Úloha následující 4 nerovnice v daných oborech a výsledek zapište intervalem. 4. Řešte následující nerovnice pro v daných 0, 0oborech a výsledek zapište intervalem pro R 0, log 0 pro R log cos < sin 0 pro R0, π 4.4 cos < sin pro 0, π π 5π Řešení: 0, 6, 0,,, ),, π4 5π 4 Řešení: 0, 6, 0,,, ),,

20 5. Posloupnosti a řady, a řady, finanční finanční matematika matematika Úloha Firma zvyšovala za posledních pět let výrobu každý rok o 0 0 % oproti předcházejícímu roku. O kolik procent firma zvýšila firma zvýšila výrobu výrobu za posledních za posledních pět let? pět Výsledek let? Výsledek zaokrouhlete zaokrouhlete na celá na procenta. celá procenta. Řešení: 6 % Řešení: 6 % Úloha V posloupnosti ( a ) n n= je a = 0, a = a pro všechna n N platí a n = an an. Šestý člen této posloupnosti je roven: A) 4 A) B) 4 49 B) C) 49 5 C) 5 D) 58 D) 58 Úloha Slečna Hermína disponuje částkou korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát Úloha firmy MOULA & spol., v němž stálo: Slečna Hermína disponuje částkou korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy MOULA & spol., v němž stálo: Naše firma zhodnotí Vaše peníze! Za 00 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou Naše investici firma v zhodnotí hodnotě Vaše peníze! korun Za a více 00 garantujeme dnů si splníte 6% své zisk sny! za 00 dnů. Za jednorázovou Dokonce investici i investice v pod hodnotě korun 000 korun Vám přinese a více garantujeme za 00 dnů % 6% zisk. zisk za 00 dnů. Dokonce Chybí i Vám investice peníze? pod Půjčíme Vám korun až Vám přinese korun za na 00 dnů! % zisk. Teprve Chybí až uplyne Vám peníze? celých 00 Půjčíme dnů, zaplatíte Vám až 0 5% 000 úrok korun z půjčené na 00 částky. dnů! Hermína by ráda investovala Teprve až 0 uplyne 000 korun, celých a proto 00 dnů, zvažovala zaplatíte možnost 5% úrok půjčky. z půjčené Zodpovězte částky. následující otázky za předpokladu, že firma dostojí svým slibům.. Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku korun? Hermína by ráda investovala korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky za. O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje korun? předpokladu, že firma dostojí svým slibům.. Pokud by měla Hermína o něco méně než korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě. Jaký vyplatit. bude zisk Naopak Hermíny, pro nízké pokud částky si žádné je výhodnější peníze nepůjčí investice a investuje bez půjčky. jen částku Pro jakou částku korun? přinášejí obě. O kolik možnosti korun (investice se zvýší její částky zisk, s pokud půjčkou si chybějící i bez půjčky) peníze stejný od zisk? firmy půjčí a investuje korun?. Pokud by měla Hermína o něco méně než korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Řešení: Naopak.: pro 55 nízké Kč,.: částky Zisk se je výhodnější zvýší o 0 Kč. investice.: Možnosti bez půjčky. jsou Pro stejné jakou pro částku částku přinášejí 7500 Kč. obě možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk? Řešení:.: 55 Kč,.: Zisk se zvýší o 0 Kč..: Možnosti jsou stejné pro částku 7500 Kč. 8 0

21 Úloha 4 Výchozí Úloha 4 tet k úlohám 4. a 4. Čísla Výchozí, 6 tet a 6 k úlohám jsou tři členy 4. a 4. konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první a Čísla poslední, 6 a člen 6 jsou posloupnosti. tři členy konečné aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první a poslední člen posloupnosti. 4. Určete interval, do do něhož patří patří největší možná diference d takové takové posloupnosti. posloupnosti. A) ( 0 ;,5 ) B),5; 4 ) C) 4 ; 5,5) D) Do žádného z uvedených intervalů. 4. Kolik 4. členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d=0,5? A) Kolik členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d = 0, 5? B) A) Kolik 4 členů 40 by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d = 0, 5? C) B) A) D) B) C) Pro danou 4 47 diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) C) Pro 47 danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. D) Pro danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy. Úloha 5 Úloha 5 k n 4n Pro kterou hodnotu k R je lim =? n k( n 4) n Pro kterou hodnotu k R je lim =? A) 0 0 n ( n ) B) A) 0 C) B) 4 4 D) C) 8 84 D) 8 Úloha 6 Která Úloha z 6 uvedených řad nemá součet? Která z uvedených řad nemá součet? A) A) B) B) C) C)... D) D)

22 6. 6. Planimetrie Planimetrie 6. Planimetrie Úloha Kružnice Úloha má délku o 0 cm větší, než je je obvod pravidelného šestiúhelníku do do ní ní vepsaného. Vypočtěte obsah kruhu, obsah jehož Kružnice hranici kruhu, má délku tvoří jehož tato o hranici 0 kružnice. cm tvoří větší, tato než kružnice. je obvod pravidelného šestiúhelníku do ní vepsaného. Vypočtěte Poznámka: obsah kruhu, Počítejte jehož hranici s hodnotou tvoří tato π = kružnice.,4. Poznámka: Počítejte s hodnotou π =,4. Řešení: cm Řešení: cm Úloha Je Úloha dána přímka p, kružnice k ( S; r) a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P K ) tak, Je dána aby bod přímka O byl p, kružnice středem úsečky k ( S; r) a KP. bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P K ) tak, aby bod O byl středem úsečky KP. Řešení: Řešení: Náčrtek: Rozbor: Náčrtek: K Rozbor: je obrazem P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O Zápis K je obrazem konstrukce: P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O. Zápis p ; p konstrukce: = S 0 ( p).. K; p ; K p = k S 0 ( p ).. K; K KO k p 4.. P; P KO p KO Diskuse: 4. P; P p KO a) Diskuse: k p = nemá řešení b) a) k p p = = { K} nemá jedno řešení řešení c) b) k p = = { K,} K } jedno dvě řešení řešení k p = K, K dvě řešení c) { } S S K K k k O O P P Úloha Velikosti Úloha vnitřních úhlů šestiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete velikosti Úloha Velikosti zbývajících vnitřních úhlů vnitřních šestiúhelníku úhlů. tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete Velikosti velikosti zbývajících vnitřních úhlů vnitřních šestiúhelníku úhlů. tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete Řešení: velikosti 90º, zbývajících 0º, 0º, vnitřních 50º, 70º úhlů. Řešení: 90º, 0º, 0º, 50º, 70º Řešení: 90º, 0º, 0º, 50º, 70º p p

23 Úloha 44 Úloha V V rovině 4 ρ ρ jsou jsou umístěny dva dva různé body P P a a Q Q.. V V levém sloupci jsou jsou zapsány čtyři čtyři různé množiny bodů X X roviny ρ. ρ. Ke Ke každé množině zapsané v v až až přiřaďte jeden ze ze šesti šesti obrázků A A až až F, F, v v němž je je příslušná množina zobrazena. obr. obr. A A obr. obr. B B { X{ X ρ ; ρ ; PXQ PXQ= = } } Osa Osa o o úsečky PQ. PQ. Přímka p p kolmá k k úsečce o PQ o PQ procházející Q. p bodem Q. p { X{ X ρ ρ ; ; XP XP XQ XQ= = PQPQ} } PP Q PP Q { X { X ρ ; ρ PX ; PX } QX = PQ } QX = PQ obr.c Kružnice k k s s průměrem PQ PQ kromě bodů P P a a Q. Q. obr. obr. D D Kružnice k k s s průměrem PQ. PQ { X { X ρ ; ρ ; XP XP XQ XQ= = PQ PQ} } PP kk SS Q PP SS kk Q obr. obr. E E Polopřímka opačná k k polopřímce QP. QP. PP Q obr. obr. F F Elipsa s s ohnisky P, P, Q Q a a hlavní poloosou délky PQ PQ.. PP SS Q Řešení: 4. C, 4. F, 4. B, 4.4 E Řešení: 4. C, 4. F, 4. B, 4.4 E

24 7. Stereometrie 7. Stereometrie Úloha V krychli ABCDEFGH, kde AB = 6 cm, je bod P vnitřním bodem hrany HG, bod Q vnitřním bodem hrany EH a bod R vnitřním bodem hrany BF. Sestrojte řez krychle rovinou PQR. Řešení: H P G X S Q E F T p D C A R B Úloha 6. Úloha Pro Planimetrie odstraňování ropných havárií na otevřeném moři se používají speciální hmoty, které jsou schopny svým Pro velkým odstraňování povrchem ropných absorbovat havárií ropu na z otevřeném mořské hladiny. moři se používají cm povrchu speciální takové hmoty, které je schopen jsou schopny absorbovat svým velkým až Úloha povrchem 0 g ropy. Z absorbovat krychle výchozí ropu suroviny z mořské o hladiny. hraně m cmbyla povrchu technologickým takové hmoty způsobem je schopen bez materiálových absorbovat až ztrát 0 g ropy. Kružnice Z vyrobena krychle má výchozí směs délku kuliček suroviny o 0 o cm středním větší, o hraně než průměru je m obvod byla technologickým mm. pravidelného Kuliček, které šestiúhelníku způsobem lze připravit bez do za ní materiálových uvedených vepsaného. podmínek, Vypočtěte ztrát vyrobena je směs obsah kuliček přibližně: kruhu, o středním jehož průměru hranici tvoří mm. tato Kuliček, kružnice. které lze připravit za uvedených podmínek, je přibližně: Poznámka: Počítejte s hodnotou π =,4. A) 40 tisíc Řešení: A) B) 40 4 tisíc milionů cm B) C) 4 milionů 0 milionů Úloha C) D) 0 40 milionů milionů Je D) dána 40 milionů přímka p, kružnice k ( S; r) a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P K ) tak, Úloha aby bod O byl středem úsečky KP. Určete počet tělesových úhlopříček v konvením pětibokém kolmém hranolu. Úloha Řešení: Určete Řešení: počet 0 tělesových úhlopříček v konvením pětibokém kolmém hranolu. Náčrtek: Rozbor: Řešení: 0 K Úloha je obrazem 4 P ve středové souměrnosti S 0 se středem v O Zápis Je dán konstrukce: pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA B C D E F a dvojice rovin:. Úloha a) p ; ABC, p 4= D E F S b) ABB, CC F c) BDD, A AE d) A F F, EDD Je e) ACF, dán pravidelný A B D 0 ( p) šestiboký hranol ABCDEFA B C D E F a dvojice rovin: k. K; K k p S a) Určete ABC, počet D E F dvojic rovin, b) ABB, které CC F NEJSOU c) rovnoběžné. BDD, A AE d) A F F, EDD e) ACF, A B D. A) KOprávě jedna K 4. Určete B) P; P počet právě p dvojic dvě KO rovin, které NEJSOU rovnoběžné. O Diskuse: C) právě tři p A) právě jedna a) D) více než tři B) právě k dvě p = nemá řešení P b) C) právě k třip = { K} jedno řešení Úloha 5 c) D) více k než ptři ={ K, K } dvě řešení 6. V kotli Planimetrie tvaru polokoule o vnitřním průměru 86 cm je hladina vody 5 cm pod okrajem kotle. Kolik litrů vody je v kotli? Úloha Poznámka: Počítejte s hodnotou π =,4. Velikosti Úloha 5 vnitřních úhlů šestiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel má velikost 70º. Určete velikosti Kružnice V kotli tvaru zbývajících má délku polokoule o vnitřních 0 cm o vnitřním větší, úhlů. než průměru je obvod 86 pravidelného cm je hladina šestiúhelníku vody 5 cm do pod ní vepsaného. okrajem kotle. Vypočtěte Kolik litrů vody je obsah v kotli? kruhu, jehož hranici tvoří tato kružnice. Řešení: Poznámka: 90º, Počítejte 0º, 0º, s hodnotou 50º, 70º π =,4. Řešení: 47,5 005 cm l Úloha Je dána přímka p, kružnice k ( S; r) a bod O ( O p k ). Na kružnici k určete bod K a na přímce p bod P ( P K ) 4 tak, aby bod O byl středem úsečky KP.

25 8. 8. Analytická Analytická geometrie geometrie 8. Analytická geometrie Úloha 8. Analytická geometrie ; 0 = 5; AD = ;. Úloha 8. Analytická geometrie Který Úloha z uvedených bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? rovnoběžníku ABCD je dán střed souměrnosti A) [ ] ; vektory AB AD ; V Úloha rovnoběžníku A ; ABCD je dán střed souměrnosti S [ ; 0] a vektory AB = ( 5; ) a AD = ( ; ). Který uvedených bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? Který B) B 5; ] A) V rovnoběžníku z uvedených ABCD bodů je je dán vrcholem střed souměrnosti daného rovnoběžníku? S [ ; 0] a vektory AB = ( 5; ) a AD = ( ; ). A) Který C) C 5;] B) z uvedených A [ ; ] bodů je vrcholem daného rovnoběžníku? A) D) B) B D ; C) A [ 5 5; ; ; ] ] C) D) B) C B [ 55; ; ; ] ] Úloha C) D) C D [ 5; ; ] ] Množina vektorů c, kolmých k vektorům a = ( ; ; ) a b = ( ; 0; 5), je pro t R \{ 0 }: Úloha D) D [ ; ] A) Úloha ( 5t; t; t) Množina vektorů c, kolmých vektorům ( ; ; ) ( ; 0; 5), je pro \{ B) Množina Úloha ( 5t; vektorů t; t) c, kolmých k vektorům a = ( ; ; ) a b = ( ; 0; 5), je pro t R \{ 0 }: A) C) ( 5t; ( 5t;(5t; t) t; t; t) t) B) A) Množina ( 5t; D) ( 5t; vektorů ( 5t;( t; t; t; t) t; t) 5t) t) c, kolmých k vektorům a = ( ; ; ) a b = ( ; 0; 5), je pro t R \{ 0 }: B) t; t) A) C) ( 5t; (5t; t; t; t) t) (5t; t; t) B) D) C) (5t; Úloha ( t; ( 5t; ( t; t; t; t) 5t) t) D) ( t; 5t) t; 5t) Kružnice C) (5t; má t; střed t) v bodě S [ ; 4] a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? D) Úloha ( t; t; 5t) Úloha Úloha Kružnice Řešení: má střed bodě ; 4] prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Kružnice y 6 8y = 0 Kružnice Úloha má střed v bodě S [ ; 4] a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? má střed bodě S [ ; 4] prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Řešení: Kružnice má střed v bodě S [ ; 4] a prochází počátkem soustavy souřadnic. Jaké je její analytické vyjádření? Úloha Řešení: 4 y 6 8y = 0 Řídící přímka paraboly má rovnici =. Ohniskem paraboly je bod F[ 4; ]. Jaká je vrcholová rovnice dané paraboly? Úloha Řešení: y 6 8y = 0 Řídící Úloha přímka 4 paraboly Řešení: ( y ) má rovnici. Ohniskem paraboly je bod F[ 4; ]. Jaká je vrcholová rovnice dané = ( ) paraboly? Řídící přímka paraboly má rovnici =. Ohniskem paraboly je bod F[ 4; ]. Jaká je vrcholová rovnice dané Úloha 4 paraboly? Řešení: Řídící přímka paraboly má má rovnici =. = Ohniskem. Ohniskem paraboly paraboly je bod je F[ 4; bod ]. F[ 4; Jaká ]. je Jaká vrcholová je vrcholová rovnice rovnice dané dané paraboly? Řešení: ( y ) = ( ) y = V rovnoběžníku ABCD je dán střed souměrnosti S [ ] a vektory AB ( ) a ( ) Řešení: ( ) ( )

26 9. 9. Kombinatorika, Kombinatorika, pravděpodobnost, pravděpodobnost, statistika statistika Úloha Řešte rovnici: = Řešení: rovnice nemá Řešení: rovnice nemá Úloha Úloha Do finále turnaje v žákovské kopané, v němž se se utká každé družstvo s každým, s se se probojovala 4 družstva. 4 Každé Každé utkání utkání bude trvat bude dvakrát trvat dvakrát 45 minut 45 minut a mezi a mezi každým každým poločasem poločasem a každým a každým zápasem zápasem je je desetiminutová přestávka. přestávka. Jaká je minimální Jaká je minimální cena, kterou cena, organizátor kterou organizátor zaplatí za pronájem zaplatí za hřiště, pronájem jestliže hřiště, za každou jestliže započatou každou hodinu zaplatí započatou 00 Kč? hodinu zaplatí 00 Kč? Řešení: 00 Kč Řešení: 00 Kč Úloha Úloha Soubor karet je je očíslován přirozenými čísly od od do do Karty Karty zamícháme a jednu a jednu z nich z nich náhodně náhodně vytáhneme. vytáhneme. Určete pravděpodobnost, že číslo karty je dělitelné číslem 4 nebo číslem 6. Řešení: Úloha 4 Úloha 4 Ve škole jsou 4 třídy druhého ročníku označené písmeny A, B, C, D. V tabulce jsou uvedeny počty žáků a průměrné a známky průměrné z matematiky známky z matematiky v těchto třídách. v těchto třídách. Průměrná Průměrná Třída Třída Počet Počet žáků žáků známka známka z matematiky matematiky A A 8 8,5,5 B 4, B 4, C,6 C D 0,4,6 D 0,4 Vypočtěte průměrnou známku z matematiky žáka ve druhém ročníku této školy. Vypočtěte průměrnou známku z matematiky žáka ve druhém ročníku této školy. Řešení: Řešení:,44,44 6 6

27 Úloha Úloha 5 V grafu grafu je je statistika statistika dopravních dopravních přestupků přestupků ve ve sledovaném sledovaném období. období. (Například (Například deseti deseti řidičům řidičům bylo bylo v tomto tomto období období odebráno odebráno po po 5 bodech bodech za za jeden jeden přestupek.) přestupek.) Dopravní pestupky 7 poet pestupk poet odebraných bod za jeden pestupek 5. Určete Určete průměrný počet počet bodů bodů odebraných za za jeden jeden přestupek. 5. Kolikrát V kolika počet přestupcích odebraných počet bodů odebraných překročil bodů průměrnou překročil hodnotu? průměrnou hodnotu? Určete Určete modus. modus. 5.4 Určete medián. 5.4 Určete medián. 5.5 Vypočtěte směrodatnou odchylku 5.5 Vypočtěte směrodatnou odchylku Řešení: 5. 4,5 bodu; 5. ve 4 případech; 5. body; body; 5.5,94 bodu; Řešení: 5. 4,5 bodu; 5. ve 4 případech; 5. body; body; 5.5,94 bodu; 7 7

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/00 MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo

Více

Příloha č. 1 KATALOG POŽADAVKŮ PRO NEPOVINNOU ZKOUŠKU PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY ZE STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY MATEMATIKA+

Příloha č. 1 KATALOG POŽADAVKŮ PRO NEPOVINNOU ZKOUŠKU PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY ZE STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY MATEMATIKA+ Příloha č. 1 KATALOG POŽADAVKŮ PRO NEPOVINNOU ZKOUŠKU PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY ZE STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY MATEMATIKA+ 2 Úvod Účel a obsah katalogu Katalog požadavků výběrové nepovinné zkoušky

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA 1

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA 1 Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy KATALOG POŽADAVKŮ K MATURITNÍ ZKOUŠCE MATEMATIKA ZKOUŠKA ZADÁVANÁ MINISTERSTVEM ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Zpracoval: ÚIV CENTRUM PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VÝSLEDKŮ

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Č. j. MSMT-42192/2013-1 V Praze dne 12. prosince 2013

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Č. j. MSMT-42192/2013-1 V Praze dne 12. prosince 2013 Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Č. j. MSMT-42192/2013-1 V Praze dne 12. prosince 2013 Vyhlášení pokusného ověřování obsahu, formy, organizace a hodnocení výběrové zkoušky ze středoškolské

Více

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... TEST 1 ŘEŠENÍ...5 TEST ZADÁNÍ...40 TEST TABULKA S BODOVÝM

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2014/2015 MATEMATIKA Zpracoval: CENTRUM PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VÝSLEDKŮ VZDĚLÁVÁNÍ Schválil: Ministerstvo školství, mládeže a

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 006 MAACZMZ06DT MATEMATIKA didaktický test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.7 Matematika 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika je zařazen jako povinný ve všech ročnících čtyřletého studia. Patří do vzdělávací oblasti

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

5. 6 Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

5. 6 Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Charakteristika vyučovacího předmětu 5. 6 Matematika Výuka matematiky na gymnáziu rozvíjí a prohlubuje pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného světa, utváří kvantitativní gramotnost žáků

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Období: 3. období Počet hodin ročník: 165 132 132 132 Učební texty: 1 3. období A) Cíle vzdělávací

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika Podle těchto učebních osnov se vyučuje ve třídách 1.N a 2.N šestiletého gymnázia od školního roku 2013/2014. Zpracování osnov předmětu Matematika koordinoval Mgr. Petr Spisar Časová dotace : Nižší gymnázium:

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV)

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Školní výstupy Učivo Vztahy počítá zpaměti i písemně s přirozenými čísly dokáže analyzovat text jednoduchých slovních úloh vyjadřuje část celku pomocí zlomků

Více

Předmět: Matematika. 5.2 Oblast: Matematika a její aplikace. 5.2.1 Obor: Matematika a její aplikace. Charakteristika předmětu matematika 2.

Předmět: Matematika. 5.2 Oblast: Matematika a její aplikace. 5.2.1 Obor: Matematika a její aplikace. Charakteristika předmětu matematika 2. 5.2 Oblast: Matematika a její aplikace 5.2.1 Obor: Matematika a její aplikace Předmět: Matematika Charakteristika předmětu matematika 2. stupeň Obsah vyučovacího předmětu matematika vychází ze vzdělávacího

Více

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU MATEMATIKA Název školního vzdělávacího programu: Název a kód oboru vzdělání: Celkový počet hodin za studium (rozpis učiva): Zedník 36-67-H/01 Zedník 1. ročník = 66 hodin/ročník (2

Více

MATEMATIKA. Charakteristika předmětu:

MATEMATIKA. Charakteristika předmětu: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace MATEMATIKA Charakteristika předmětu: Předmět matematika je součástí vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Na naší škole je jedním z hlavních vyučovacích

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. 9. ročníku 5 hodin týdně ve třídách s rozšířenou

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Pedagogika. Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1

Pedagogika. Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1 Pedagogika Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1 Obsah: 1. Vztah cíle a výsledku vzdělávání 2. Konkretizace cílů v rámcových vzdělávacích programech: očekávané výstupy 3. Konkretizace cílů vzdělávání na

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

Matematika pro matematické skupiny

Matematika pro matematické skupiny Matematika pro matematické skupiny Vyučovací předmět navazuje na matematické poznatky, které děti získaly v 1. 5. ročníku. Časová dotace předmětu je v 6. ročníku 6 hodin, v 7. ročníku 4 hodiny, v 8. ročníku

Více

Standardy ČJ - 2.stupeň - přehled

Standardy ČJ - 2.stupeň - přehled Standardy ČJ - 2.stupeň - přehled ČJL-9-1-01 Žák odlišuje ve čteném nebo slyšeném textu fakta od názorů a hodnocení, ověřuje fakta pomocí otázek nebo porovnáváním s dostupnými informačními zdroji - 9.r.

Více

Matematika nižší gymnázium

Matematika nižší gymnázium Matematika nižší gymnázium Obsahové vymezení Vyučovací předmět Matematika vychází ze vzdělávacího obsahu vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace. Předmět Matematika rozvíjí průřezová témata: Osobnostní

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 6.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání Gymnázium Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od 1.9.2009

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1

MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1 MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1 =a n 4 a 1 =50. Pro jaké nejmenší přirozené číslo n bude součet prvních n členů záporný? max. 4b, kde Úloha

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení Předmět: MATEMATIKA Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Charakteristika předmětu Předmět je vyučován na 1. a 2. stupni. Vzdělávací oblast matematika a její aplikace je v základním vzdělávání

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Matematika 6.ročník. Pomůcky, literatura. Mezipředmětové vztahy a průř.témata. Období Ročníkový výstup Učivo Kompetence

Matematika 6.ročník. Pomůcky, literatura. Mezipředmětové vztahy a průř.témata. Období Ročníkový výstup Učivo Kompetence Období Ročníkový výstup Učivo Kompetence záříprosinec čte a zapisuje desetinná čísla,umí zobrazit des.číslo na číselné ose,porovnává a zaokrouhluje des.čísla,provádí početní operace s des.čísly,umí vypočítat

Více

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 7.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání: Ekonomické lyceum Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od

Více

Školní vzdělávací program

Školní vzdělávací program Školní vzdělávací program Obor: 7941K/81, Gymnázium všeobecné ( osmileté ) Obor: 7941/41, Gymnázium všeobecné ( čtyřleté ) Učební osnovy pro vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium Vzdělávací

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU:

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: VZDĚLÁVACÍ OBLAST : VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: Matematika a její aplikace Matematika 6.6 Matematika CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: Vyučovací předmět Matematika je předmět, který poskytuje vědomosti

Více