ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ. Diplomová PRÁCE. Závislost HDP na ekonomických faktorech

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Diplomová PRÁCE Závislost HDP a ekoomických faktorech Praha, 2015 Autor: Jakub Šagala 1

2 Prohlášeí Prohlašuji, že jsem svou diplomovou prací vypracoval samostatě a použil jsem pouze podklady, uvedeé v přiložeém sezamu. V Praze. Podpis. 2

3 Poděkováí Chtěl bych tímto poděkovat všem, kteří mi při vytvářeí této práce pomáhali. Především děkuji svému vedoucímu práce doc. Ig. Jau Kožíškovi CSc. 3

4 Abstrakt Diplomová práce se zabývá zkoumáím závislostí mezi velkým počtem veliči. Čteářům apomáhá vytvořit postup výběru a ásledé elimiace veliči, za účelem sestaveí optimálího regresího modelu. K tomu poslouží aplikace, která byla v rámci této diplomové práce vytvořea. Fukčost této aplikace byla ověřea skrze aalýzu závislosti HDP a 7 mou zvoleých regresorech. Abstract This master thesis is examiig the depedecy of a umerous figures. It helps the users of this thesis to develop a procedure for elimiatio those variables, which are ot relevat to the developmet of a optimal regressio model. For this procedure a applicatio was developed. The fuctioality of this applicatio was tested via aalyse of the depedecy betwee GDP ad 7 idepedet variables. 4

5 Obsah 1 Úvod a cíle práce Závislost jevů Pojmy regrese a korelace Regresí a korelačí aalýza Jedoduchá lieárí regrese Víceásobá lieárí regresí a korelačí aalýza Idetifikace a charakteristika veliči Způsoby výpočtu HDP Výdajová metoda Důchodová metoda Produkčí metoda Výběr a charakteristika regresorů Počet obyvatel Počet ezaměstaých a počet zaměstaých Ročí míra iflace Ročí spotřeba elektrické eergie Počet malých a středích podiků Produktivita práce Volba regresího modelu Postup volby regresího modelu Metoda liearity Multikoliearita Grubbsův test Aalýza reziduí Aalýza závislost HDP a zvoleých regresorech Příručka použití aplikace

6 4.1.1 Zápis dat Test liearity Test multikoliearity Grubbsův test Aalýza reziduí Regresí a korelačí aalýza Aalýza HDP Zápis dat Metoda liearity Metoda multikolielarity Grubbsův test Aalýza reziduí Regresí a korelačí úko Vyhodoceí RKA Závěr Publikace 61 Přílohy 61 Sezam obrázků Sezam tabulek 63 6

7 Sezam použitých zkratek EU RKA HDP C Europea uio Evropská uie Regresí a korelačí aalýza Hrubý domácí produkt Household cosumptio - spotřeba domácostí I výdaje firem, ákup fiálí produkce Busiess ivestmet spedig, purchases of fial products - ivestičí G fiálí produkce NX PB Tx Pr Am I CO vlastíkům CG PH State spedig o the purchase of fial products - výdaje státu a ákup Net exports - čistý export Persoal expeses Compaies - osobí áklady firem Idirect taxes - epřímé daě Corporate profits - zisky firem Amortisatio - odpisy Iterest Compaies - úroky firem Net mixed icome, bouses owers - čistý smíšeý důchod, odměy Cash grats- peěží dotace Performaces - výkoy 7

8 MSP Malé a středí podiky OECD Orgaisatio for Ecoomic Co-operatio ad Developmet - Orgaizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj HDP PZ ΦPOHT PS TSS MSS RSS PO PN MI SEE PMSP PP Hrubý domácí produkt Počet zaměstaých Průměrý počet odpracovaých hodi týdě Počet státích svátků, dí bez práce Total sum of squares - celkový součet čtverců Model sum of squares modelová suma čtverců Residual sum of squares - reziduálí součet čtverců Počet obyvatel Počet zaměstaých Míra iflace Spotřeba elektrické eergie Počet malých a středích podiků Produktivita práce 8

9 1 Úvod a cíle práce Hlavím cílem mé diplomové práce je vytvořeí excelovské aplikace, která usadí zkoumáí závislosti mezi velkým počtem veliči. Aplikace pomůže jejím uživatelům ajít ideálí počet veliči pro jejich daé empirické šetřeí a ásledě, pro tyto vybraé veličiy provede regresí a korelačí úko. Fukčost aplikace a její použití ukážu a příkladu zkoumáí závislosti hrubého domácího produktu zemí EU a mých idetifikovaých ekoomických faktorech. Výsledky této aalýzy shru v 5. kapitole. 1.1 Závislost jevů S pojmy jako jsou závislost, souvislost, vztah příčia a ásledek se esetkáváme pouze při řešeí teoretických otázek ěkterého z vědího oboru. Přicházíme s imi do styku běžě i v reálém životě. Pozáí obecých pricipů mezi sledovaými veličiami, slouží k aalýze a ásledému rozvoji většiy disciplí. Samoté výsledky aalýzy esmí vycházet pouze z teoretických pozatků, je zde důležitá schopost zobecňovat empirické iformace o vlivy působeí prostředí. Pojem fukčí závislost veličiy Y a veličiě X představuje fukčí předpis y = f(x), který jedozačě přiřazuje hodotám závisle proměé Y hodoty ezávisle proměé X. Jde zde o jedozačý zápis. Pro každou hodotu X ám vyjde hodota Y. Nepřipouštíme možost, že by při určitých podmíkách teto zápis platil, a při jiých eplatil. Nebo dokoce, že by pro určité podmíky vyhovoval lépe ebo hůře. Je zde plě vylouče vliv vedlejších čiitelů. Proto se s tímto postupem v praxi příliš často esetkáme. V pravděpodobostím pojetí se dva jevy považují za závislé, jestliže výskyt jedoho jevu podmiňuje pravděpodobostí výskyt jevu druhého. Zcela stejě si v pravděpodobosti vykládáme závislost dvou áhodých proměých: Dvě áhodé veličiy jsou a sobě závislé v případě, že záko rozděleí jedé veličiy závisí a tom, jakých hodot bude abývat druhá veličia. Prostě a jedoduše řečeo, každá hodota jedé proměé má estejou pravděpodobost výskytu hodoty druhé veličiy. 9

10 Pravděpodobostí pojetí se velmi podobá pojetí statistickému. Zde je závislost jedé veličiy a druhé podmíěa určitým systematickým směřováím. Například růst hodot jedé závisle proměé Y, povede k poklesu hodot druhé ezávislé X. Zde mě apadá jede příklad statistické závislosti. Růst ce elektrické eergie Kč/kWh bude mít jistě za ásledek průměrý pokles odběrů elektrické eergie domácostí v kwh. Zvýšeí ce povede u většiy domácostí ke spořeí s eergií. Poskytovatelé elektrické eergie, se jistě espokojí pouze s teoretickým vyjádřeím této závislosti. Bude důležité zobecit empirické údaje a podle ich vyjádřit ekoomický dopad, který zdražeí eergie přieslo. Pokud zvýšeí ce i při sížeé spotřebě povede k větším ziskům, můžeme mluvit o správém kroku. Na příkladu jsem chtěl demostrovat, že ve většiě příkladu evystačíme pouze s teoretickými zalostmi. Každý případ je sám o sobě uikátí a záleží a ašem vyhodoceí výsledků. Tohle obecé systematické směřováí hodot jedé závislé proměé při změách hodot druhé proměé, však zpravidla emusí zameat příčiý vztah mezi těmito veličiami. V růzých oblastech zkoumáí používáme statistické metody k vyjádřeí závislosti jedotlivých veliči pomoci matematických modelů. Matematický model sestavujeme vždy pomoci empirických údajů, které jsme získali buď z provedeých experimetů, ebo z pozorováí a zapisováí určitých jevů reálého světa. Iformace jsou v deší době ceěou komoditou, důležitou poviostí každého statistika je zvolit vhodou metodu jejich sběru. Iformace musí mít co ejvětší vypovídací schoposti, respektovat zvláštosti daého problému a zároveň musí být časově a ákladově přijatelé. Neí tedy pro statistika vůbec jedoduché vybrat správou metodu a ásledě se rozhodout v jakém rozsahu ji praktikovat. V přírodích vědách se hlavě setkáváme s orgaizovaými systémy, s veličiami jejichž příčié vazby dobře záme. Víme, jaké možství daého prvku vyvolá v roztoku daou reakci. Kolika % uhlíková ocel má daou tvrdost. Tyto jevy jsou řízey přírodou. Proto proměé jsou zatížey výhradě chybami pozorováí a měřeí. Matematické modely vychází především z odvozeých křivek a grafů, které jsme odvodili pomoci experimetů. Jde hlavě o vyrováí experimetálích údajů vhodou křivkou (přímkou, parabolou expoeciálou apod.). Pro techické a společeské vědy je typický velký počet vzájemě závislých veliči. Je tedy složité odhalit a vybrat vhodé veličiy. Sažíme se vždy vybrat veličiy, které mají co ejvětší vliv a sledovaý případ, jsou časově i ákladově přijatelé a aplňují požadavek multikoliearity. To bude úkolem 3 kapitoly aši práce. 10

11 1.2 Pojmy regrese a korelace Pojem regrese pochází už z koce 19. Století, kdy ho poprvé použil aglický vědec Fracis Galto. Galto byl reesačím člověkem, čiým v moha vědích disciplíách: psychologii, atropologii, geografii, statistice a dalších. Zabýval se také otázkami dědičosti. Pozoroval vztah mezi výškou otců a jejich dětí, své výsledky publikoval v časopise Atropolog, zde také prvě použil termiologii regrese. Galto svým rozsáhlým pozorováím, došel k rovici, ze které vyplývalo, že vysocí otcové mají vysoké syy, tedy vyšší ež je průměr. Ale zároveň v průměru ižší ež jsou sami otcové. A obdobě, malí otcové mají malé syy, ale v průměru vyšší ež jsou oi sami. Teto tred ásledující geerace směrem k průměru azval Galto regresí. Proč to všecho uvádím? Abychom si uvědomili, že současé pojetí regresí problematiky má je málo společého s tím Galtoovým, ale myšleka použití empirických údajů k zázorěí ějaké tedece, eboli tredu, zůstává stejá. V současosti se pod pojmem regrese, potažmo regresí aalýza, rozumí určité uspořádaé změy jeděch veliči, pří změách jiých veliči a ásledé zobrazeí průběhů těchto změ pomoci matematických fukcí. Regresí aalýza je jeda z ejdůležitějších metod matematické statistiky a samotě ebo ve spojeí s jiými metodami patří k ejužívaějším metodám prakticky v každé oblasti vědy. Často ji také používají podiky, ehledě a odvětví a velikosti. Je to ejlepší metoda progózováí hodot vystupující veličiy (závisle proměé), při zalosti ebo odhadu vstupujících veliči (ezávisle proměých). V aší diplomové práci budeme ozačovat jako závisle proměou y, a ezávisle proměé x 1, x 2 x k. S pojmem regrese úzce souvisí pojem korelace. Pochází už z 16. století, českými syoymy jsou slova souvztažost, vzájemý vztah, souvislost atd. Obecě lze říct, že korelace zameá vzájemou souvztažost veliči, ebo procesů. V případě, že se jeda veličia měí, měí se i ta druhá a aopak. 1.3 Regresí a korelačí aalýza Jak již jsem psal v úvodí kapitole, zkoumáí závislostí mezi jedotlivými jevy a veličiami eí výhrada pouze vědích disciplí. Ale i vy si určitě vybavíte situace v běžém 11

12 životě, kdy jste uvažovali ad tím, jak jeda proměá ovliví tu druhou a aopak. Jak se projeví počet účastíků aší domácosti a spotřebě eergie, počet pracovíků aší firmy a celkovém hospodářském výsledku atd Nejjedodušším postupem je podívat se a hodoty veliči z let miulých a sažit se pochopit vztahy mezi imi, a ásledě odvodit určitý vztah. Vezmeme si příklad se spotřebou elektrické eergie. Když ám přibude člověk v domácosti, určitě se spotřeba elektrické eergie zvýší. Ale jak moho? Sažíme se tedy podle určitých vzorců kvatitativě popsat závislost mezi sledovaými jevy a veličiami. Regresí a korelačí aalýza ám pomáhá tuto závislost kvatitativě popsat podle určitých rovic (přímky, paraboly, expoeciály, mocié fukce ) a ásledě určit těsost regresího odhadu. Regresím úkolem se tedy rozumí kvatitativí popsáí průběhu sledovaého vztahu mezi proměými. Prvím krokem regresího úkolu je odhad typu křivky (přímky, paraboly, expoeciály, mocié fukce ) dle průběhu sledovaého vztahu. Pokud si ejsme jistí správosti volby daé křivky, proveďme výpočet pro více křivek a dle těsosti korelačí závislosti vyberme tu optimálí, s ejvyšší hodotou korelačího koeficietu. Dalším krokem je výpočet korelačích ukazatelů (eboli koeficietů). To provádíme podle metody ejmeších čtverců. Metoda ejmeších čtverců Vychází z požadavku miimalizace reziduálího součtu čtverců. Zjedodušeě řečeo, hledáme, ulový průměrý součet všech čtverců odchylek empirických hodot od hodot vyrovaých. Empirické hodoty y i jsou skutečé hodoty, dříve aměřeé a zazameaé. Vyrovaé hodoty ŷ i jsou vypočteé hodoty a základě odvozeých regresích fukcí. Teto průměrý součet čtverců odchylek ese ve statistice ozačeí reziduálí rozptyl. 2 s y.x = 1 (y i ŷ i ) 2 = mi Posledím krokem regresího úkolu je staoveí výsledého tvaru fukcioálí regrese. Kde b 1 b k jsou vypočteé regresí koeficiety a F i (x i ) jsou fukce ezávisle proměé x, které již eobsahují žádý další parametr. ŷ i = b 0 + b 1 F 1 (x 1 ) + b 2 F 2 (x 2 ) + b 3 F 3 (x 3 ). b k F k (x k ) 12

13 Korelačí úkol se saží určit těsost daého regresího odhadu, tedy jeho spolehlivost. Termí korelačí koeficiet se používá pro zázorěí spolehlivosti regresího odhadu při vyrováí přímkou. V ostatích případech používáme ozačeí korelačí idex (vyrováí parabolou, expoeciálou, mociou fukcí...). Korelačí koeficiet abývá hodot od -1 až do 1. Čím vyšší hodota korelačího koeficietu, tím větší je spolehlivost daého regresího odhadu. Sledovaý vztah mezi dvěma veličiami může být buď kladý y = a+bx, zvýšeí hodoty ezávislé proměé x se přímo projeví zvýšeím hodoty závislé proměé y. Nebo záporý y = a-bx, zvýšeí hodoty ezávislé proměé x povede ke sížeí hodoty závislé proměé y. Hodota korelačího koeficietu 1 začí zcela epřímou korelačí závislost. Hodota + 1 začí zcela přímou korelačí závislost. A hodota 0 začí ekorelovaost. Stále mluvíme o korelačím koeficietu, jde tedy o vyrováí přímkou. Nulová hodota začí, že mezi závisle proměou y a ezávisle proměou x eí zjištěa žádá přímá závislost. Obecě emůžeme říct, že mezi sledovaými veličiami eí žádá statistická závislost. Uvědomme si, že pokud použijeme jiou rovici křivky pro vyrováí, mohou ám vyjít úplě odlišé hodoty korelačího idexu. I zde platí pravidlo, čím vyšší je hodota korelačího idexu, tím je vyšší spolehlivost regresího odhadu. Hodoty se mohou pohybovat od 0 do 1, vzorec si odvodíme v 3. kapitole. Uveďme si pár rovic, které můžeme použít pro vyrováí. 1. Rovice přímky: ŷ i = b 0 + b 1 x i 2. Rovice paraboly: ŷ i = b 0 + b 1 x i + b 2 x i 2 3. Rovice hyperboly: ŷ i = b 0 + b 1 x i 4. Rovice mocié fukce: ŷ i = b 0 x i b 1 logb 0 + b 1 logx i 5. Rovice expoeciály: ŷ i = b 0 b 1 x i logb 0 + x i logb 1 Na příkladu si ukážeme průběhy jedotlivých fukcí, a jak se výběr křivky projeví a spolehlivosti regresího odhadu. Máme tabulku průměré ročí spotřeby elektrické eergie v závislosti a počtu čleů domácosti, tabulka Závisle proměou je zde ročí spotřeba elektrické eergie v kilowatthodiě, ezávisle proměou zase počet čleů domácosti. V ašem případě ejspolehlivějším odhadem regresí fukce bude parabolická přímka, protože má ejvyšší korelačí idex. Hodota R=0,9952 zaručuje téměř stoprocetí spolehlivost regresího odhadu. 13

14 hodoty závisle proměé yi hodoty závisle proměé yi hodoty závisle proměé yi hodoty závisle proměé yi xi [počet čleů] yi [roč. spotřeba Kwh] Tabulka Vliv volby typu regresí přímky Lieárí závislost y = 283,93x ,1 R = 0, hodoty ezávisle proměé xi Par. závislost y = -19,34x ,04x R = 0, hodoty ezávisle proměé xi Expo. závislost y = 1475,6e 0,1173x R = 0,9416 Mociá závislost y = 1439,3x 0,417 R = 0, hodoty ezávisle proměé xi hodoty ezávisle proměé xi 14

15 1.4 Jedoduchá lieárí regrese Při jedoduché lieárí regresi vyrováváme empirické hodoty přímkou. Jedá se o ejčastěji využívaou matamaticko-statistickou metodu používaou k aalýze závislosti průběhu dvou proměých. Jedoduchá lieárí regrese zázorňuje aproximaci hodot proměých (závisle proměé y a ezávisle proměé x) přímkou metodou ejmeších čtverců. Jelikož rovice přímky je dáa vztahem ŷ i = b 0 + b 1 x i, sažíme se ajít pomoci této metody optimálí hodoty koeficietů b 0 a b 1. Tím dosáheme ejspolehlivějšího regresího odhadu. Zjedodušeě řečeo získáme rovici přímky, která zaručuje ulový součet všech čtverců odchylek empirických hodot a hodot vyrovaých, s ejvyšší hodotou korelačího koeficietu. Jak přesý a spolehlivý teto odhad je, ám pomůže určit korelačí úkol. Staoveí koeficietů b 0 a b 1, provádíme pomoci metody ejmeších čtverců. F(b 0 ; b 1 ) = 1 (y i ŷ i ) 2 = 1 (y i b 0 b 1 x i ) 2 = mi Jelikož hledáme optimálí parametry b 0 a b 1, budeme hledat extrém (miimum) fukce dvou proměých. Abychom ašli miimum součtu čtverců, provedeme parciálí derivaci reziduálího rozptylu fukce F(b 0 ; b 1 ) podle parametrů b 0 a b 1 a dáme je do rovosti s ulou. F(b 0 ; b 1 ) = 2 b 0 (y i b 0 b 1 x i ) ( 1) = F(b 0 ; b 1 ) = 2 b 1 (y i b 0 b 1 x i ) ( x i ) = 0 0 Tyto vztahy upravíme a obdržíme rovice: y i = b 0 + b 1 x i y i x i = b 0 x i + b 1 x i 2 15

16 Máme soustavu dvou rovic o dvou ezámých. Dosazovací ebo sčítací metodou si odvodíme koeficiety b 0 a b 1 (tzv. regresí koeficiet): b 1 = y ix i x i y i x 2 i ( x i ) 2 Regresí koeficiet b 1 udává, jak se projeví jedotková změa ezávisle proměé x a výsledé hodotě závisle proměé y. b 0 = y i b 1 x i = y b 1 x Spolehlivost regresího odhadu postihuje korelačí koeficiet. Vzorec pro jeho výpočet odvodil počátkem 20. století aglický matematik a filosof Karl Pearso. Vycházel z takzvaé kovariace. Tou se rozumí míra vzájemé vazby mezi dvěma proměými (závisle proměou y a ezávisle proměou x). Kovariaci vyjádřil jako průměrý souči odchylek korelovaých veliči od jejich průměrů. cov(x; y) = 1 ( x i x )(y i y ) Korelačí koeficiet obdržíme, když podělíme kovariaci součiem směrodatých odchylek obou proměých (s x ; s y ): r yx = cov(x; y) s y s x = {[ x 2 i y i x i x i y i ( x i ) 2 ][ y 2 i ( y i ) 2 ]} Ze vzorce je patré, že při ulové hodotě kovariace, bude i korelačí koeficiet ulový. Při ulové hodotě kovariace tedy můžeme prohlásit obě proměé za ekorelovaé (ebo také ezávislé). 1.5 Víceásobá lieárí regresí a korelačí aalýza V miulé kapitole jsme si ukázali, jak matematicky vyjádřit průběh vztahu mezi dvěma proměými. Máme zde pouze jedu vstupující proměou x, která působí a výsledou hodotu vystupující proměé y. Pro techické a společeské zkoumáí je však 16

17 častější větší počet vzájemě působících veliči. Musíme se tedy rozhodout, jaké faktory jsou podstaté. Sažíme se ajít čiitele, které výzamě působí a aši závisle proměou y. V diplomové práci se budu rozhodovat mezi více vstupujícími veličiami. Mým úkolem bude vybrat pro regresí a korelačí aalýzu je ty čiitele, které jsou statisticky výzamé a zároveň ejsou ve velké lieárí závislosti samy mezi sebou. Úkolem víceásobé regresí a korelačí aalýzy tedy je vybráí podstatých čiitelů, které statisticky výzamě působí a výsledou hodotu závisle proměé y, kvatitativí popsáí průběhu sledovaého vztahu mezi proměými a ásledé určeí spolehlivosti daého regresího odhadu. Jelikož zkoumáme, jak se projeví působeí dvou a více vstupujících proměých x i a výsledé hodotě vystupující proměé y, mluvíme o víceásobé regresí a korelačí aalýze. Aalogicky dvojásobá regresí a korelačí aalýze se zabývá vztahem jedé závisle proměé y a dvou ezávislých proměých x 1 a x 2, trojá vztahem jedé závisle proměé y a tří ezávislých proměých x 1, x 2, x 3 atd My se budeme zabývat lieárí závislostí. Jde o ejčastější typ vyrováí, avíc i ěkteré elieárí vztahy se dají trasformovat a lieárí. Regresí fukci pro víceásobou aalýzu apíšeme ve tvaru: ŷ i = a y.123 k + b y1.23 k x 1 + b y2.13 k x b yk.12 (k 1) x k a y.123 k absolutí parametr regresí fukce, doplňující čle regresí rovice, eí přímo ve spojitosti s ezávislými proměými b y1.23 k dílčí regresí koeficiet vyjadřuje, jak se průměrě změí závisle proměá y při jedotkové změě ezávisle proměé x 1, za předpokladu pozastaveí vlivu zbylých proměých (x 2, x 3, x k ) a daé stálé úrovi Pro výpočet dílčích regresích koeficietů b yi.23 k použijeme směrodaté proměé u 1, u 2, u 3,, u k. Směrodaté proměé: u y = y i y s y u i = x i x s i 17

18 y aritmetický průměr empirických hodot závisle proměé y, y = y i s y směrodatá odchylka empirických hodot závisle proměé y, s y = (y i y ) 2 x aritmetický průměr empirických hodot ezávisle proměéx i, x = x i s x směrodatá odchylka empirických hodot ezávisle proměé x i, s x = (x i x ) 2 počet sledováí Jelikož budeme mít zpravidla více hodot pozorováí, uvažujeme, že směrodaté proměé mají povahu áhodých veliči podléhajících ormálímu rozděleí. Hustota pravděpodobosti má tedy v tomto případě tvar pro x (-, ): x hodota áhodé veličiy f(x) = 1 σ 2π e 1 2 (x μ σ )2 μ středí hodota áhodé veličiy ormálího rozděleí σ směrodatá odchylka áhodé veličiy ormálího rozděleí S tímto tvarem se však v praxi moc esetkáváme. Práci ám ulehčí ormovaé ormálí rozděleí. Trasformovaé ormálí rozděleí se středí hodotou E(U)=0 a rozptylem D(U)=1. Rozděleí je defiováo pro teoreticky odvozeou veličiu u, která vzike trasformací původí áhodé veličiy x tak, že od í odečteme středí hodotu základího souboru a rozdíl se vydělí směrodatou odchylkou základího souboru. Zde ozačeí u, defiuje teoreticky odvozeou veličiu, epleťme si to s ozačeím směrodatých proměých! Hustota pravděpodobosti má zde tvar pro x (-, ): φ(u) = 1 2π e u = x μ σ 1 2 u2 18

19 Pro výpočet regresích koeficietů použijeme vlastost áhodých veliči vyplývající z tohoto ormovaého ormálího rozděleí, E(U)=0 a D(U)=1. A to, že aritmetický průměr směrodatých odchylek je rový ule a jejich rozptyl a směrodatá odchylka rové 1 u = 0, s 2 (u) = 1, s(u) = 1. Směrodaté proměé zavedeme do regresí rovice: u y = α y.123 k + β y1.23 k u 1 + β y2.13 k u 2 β yk.12 (k 1) u k Zovu použijeme metodu ejmeších čtverců. F(α y.123 k ; β y1.23 k ; β y2.13 k ; ; β yk.12 (k 1) ) = 1 (u y u y) 2 = 1 (u y α y.123 k β y1.23 k u 1 β y2.13 k u 2 β yk.12 (k 1) u k ) 2 = mi β yi.12 k koeficiety beta, slouží k výpočtu dílčích regresích koeficietů a souhrého korelačího koeficietu, zároveň z ěho můžeme vyčíst, do jaké míry se projeví pozastaveí vlivů určitých veliči a daé průměré úrovi α y.123 k absolutí parametr regresí rovice, aší sahou bude dokázat, že se rová ule Postupujeme stejým způsobem jako u jedoduché lieárí regrese. Postupě parciálě derivujeme parametry fukce F(α y.123 k ; β y1.23 k ; β y2.13 k ; ; β yk.12 (k 1) ) a rovice dáváme do rovosti s ulou. Pro usaděí zavedeme zápis: α y.123 k = α β y1.23 k = β 1 β y2.13 k = β 2 β yk.12 (k 1) = β k 19

20 Získáme (k+1) ormálích rovic: F(α; β 1 ; β 2 ; β k ) α F(α; β 1 ; β 2 ; β k ) α F(α; β 1 ; β 2 ; β k ) = F(α; β 1; β 2 ; β k ) β 1 = F(α; β 1; β 2 ; β k ) β 2 = = F(α; β 1; β 2 ; β k ) β k = 0 = 2 (u y α β 1 u 1 β 2 u 2 β k u k )( 1) = 0 β 1 = 2 (u y α β 1 u 1 β 2 u 2 β k u k )( u 1 ) = 0 F(α; β 1 ; β 2 ; β k ) β 2 = 2 (u y α β 1 u 1 β 2 u 2 β k u k )( u 2 ) = 0 F(α; β 1 ; β 2 ; β k ) β k = 2 (u y α β 1 u 1 β 2 u 2 β k u k )( u k ) = 0 Pokrátíme zlomek 2 a převedeme doleva čley bez parametrů a doprava čley s parametry: u y = α + u y u 1 = α u 1 + u y u 2 = α u 2 + β 1 u 1 + β 2 u β k u k β 1 u β 2 u 1 u 2 + +β k u 1 u k β 1 u 1 u 2 + β 2 u β k u 2 u k u y u k = α u k + β 1 u 1 u k + β 2 u 2 u k + β 3 u 3 u 3k + + β k u k 2 20

21 Z podmíky u = 0 plye: Dosadíme do prví rovice: u y = u 1 = u 2 = u k = 0 0 = α + β β β k 0 Odvoďme si další vztahy: α = 0 α = 0 1 u y 2 = 1 2 (y i y ) = 1 s y 1 u i 2 = 1 2 (x i x ) = 1 s i s2 y 2 s i (y i y ) 2 = 1 s2 s y 2 = 1 y (x i x ) 2 = 1 2 s s i 2 = 1 i 1 u iu j = 1 (x i )(x i j x j ) cov(x i ; x j ) = = r s i s j s i s ij j r ij párový korelačí koeficiet, dá jedoduchou lieárí závislostí dvou proměých, více viz kapitola jedoduchá lieárí regrese, r ij =r ji, r ii =r jj =1 Použijeme ásledující odvozeé vztahy do ormovaých rovic. Máme už jeom k rovic, které jsme trasformovali podle výše uvedeých vztahů a příslušé kostaty r ij, r yj a β i. r y1 = β 1 + β 2 r β k r 1k r y2 = β 1 r 21 + β β k r 2k r yk = β 1 r k1 + β 2 r k2 + + β k 21

22 Máme k rovic o k ezámých. Dosazovací, sčítací metodou ebo pomocí matic si můžeme odvodit koeficiety beta β i. Nejsazším postupem je použití webové aplikace pro výpočet matic. V praktické části diplomové práce budu vytvářet vlastí excelovskou aplikaci pro výpočet regresích koeficietů dvojásobé a trojásobé regresí a korelačí aalýzy. Řeším zde soustavu rovic pomoci matic. Ax = b x = A 1 b 1 r 12 r 1k r 21 1 r 2k A regulárí matice [ r k1 r k2 1] 1 r 12 r 1k r 21 1 r 2k A 1 iverzí matice [ r k1 r k2 1] 1 r y1 r y2 b sloupový vektor [ r yk] β 1 β 2 x sloupový vektor ezámých [ β k ] Koeficiety β i tedy získáme vyásobeím matic: 1 r 12 r 1k r y1 β 1 r 21 1 r 2k r y2 β 2 iverze = [ r k1 r k2 1] [ r yk] [ β k ] 22

23 Dílčí regresí koeficiety b yi.123 k obdržíme vyásobeím daého koeficietu beta β yi.123 k zlomkem s y s i : b yi.123 k = s y s i β yi.123 k Absolutí parametr regresí rovice a y.123 k odvodíme z prví ormálí rovice, eboť dílčí regresí koeficiety už záme: a y.123 k = y b y1.23 k x 1 b y2.13 k x 2 b yk.12 (k 1) x k Korelace ve víceásobé RKA: Dílčí korelačí koeficiety ám pomáhají určit korelačí závislost dvou veliči při pozastaveí vlivu veliči ostatích a určité průměré úrovi. Pomocí ich můžeme vyčíst vliv jedotlivých veliči a samotý regresí odhad. r yi.123 k dílčí korelačí koeficiet, vyjadřuje stupeň těsosti lieárí korelačí závislosti y a x i a tím tedy i přesost regresího odhadu y a x i (b yi.12 k ) při pozastaveí vlivu zbylých proměých a určité průměré úrovi Pro jejich výpočet vycházíme ze sdružeých regresích koeficietů: r yi.12 k = (b yi.12 k. b iy.12 k ) Po dosazeí obdržíme: r yi.12 k = r yi.12 k 1 r yk.12 k 1. r ik.12 k 1 (1 r 2 yk.12 k 1 )(1 r 2 ik.12 k 1 ) Souhrý korelačí koeficiet udává těsost korelačí závislosti vystupující proměé y a vstupujících proměých x 1, x 2 x k. Udává tedy spolehlivost ašeho regresího odhadu. r y.123 k souhrý korelačí koeficiet udává těsost daého regresího odhadu Je dá vzorcem: r y.123 k = (β y1.23 k. r y1 + β y2.13 k. r y2 + + β yk.12 k 1. r yk ) 23

24 2 Idetifikace a charakteristika veliči Jedím z cílů mé diplomové práce je odvozeí rovice pro výpočet respektive progózováí hrubého domácího produktu HDP zemí EU v závislosti a hodotách ámi zvoleých vstupujících veliči. Po dlouhé úvaze jsem vybral 7 vstupujících veliči, které dle mého uvážeí ovlivňují výsledou hodotu HDP a zároveň ejsou obsažey v ěkterém ze vzorců pro jeho výpočet (výdajová, důchodová, produkčí metoda). Dále prozkoumám závislosti mezi veličiami a odstraím z modelu statisticky epotřebé veličiy. Sestavím tedy regresí model, je z těch veliči, které jsou pro áš regresí odhad statisticky výzamé. Závisle proměou y i je HDP. Charakterizujme si tedy teto ukazatel a ukažme si způsoby jeho výpočtu. HDP je suma tržích hodot veškeré produkce fiálích statků, vyprodukovaých výrobími faktory a daém území za daé období (zpravidla rok), bez ohledu a to, kdo tyto výrobí faktory vlastí. Jde tedy o klíčový ukazatel výkoosti ekoomiky daé země. Rozlišujeme HDP reálé a omiálí. U omiálího je produkce oceěa v tržích ceách. To jest v ceách období, ve kterém jsou statky vyrobey. Velikost omiálího HDP je tedy podmíěo změám tržích ce a produkce výrobků a služeb. Reálé HDP aopak vyjadřuje celkovou peěží hodotu produkce ve stálých ceách. Oprošťujeme ho od vlivu pohybu ceových hladi. Zvolíme cey ěkterého roku za základ a pomocí ich oceíme produkci ásledujících i předchozích let. Nesledujeme změy tržích ce výrobků a služeb v daých letech. Výsledá hodota HDP závisí tedy pouze a objemu produkce. 2.1 Způsoby výpočtu HDP Výdajová metoda Protože výdaj za zboží odpovídá trží ceě tohoto zboží. Uvažujeme, že celková hodota HDP je dáa sumou veškerých agregátích výdajů (výdajů domácostí, firem, veřejé správy, zahraičích osob) a daém území za daý časový iterval (zpravidla jede rok). Nomiálí HDP získáme tedy ze vzorce: 24

25 HDP = C + I + G + NX C spotřeba domácostí I ivestičí výdaje firem, ákup fiálí produkce G výdaje státu a ákup fiálí produkce NX čistý export, NX = export import Důchodová metoda Protože každý výdaj z ekoomického hlediska je zároveň i ěčím příjmem (eboli důchodem), můžeme celkové HDP vyjádřit jako součet příjmů domácostí, státu a firem. Jelikož odpisy jsou áklady, které ikam eodvádíme, jeom ám sižují zisk pro výpočet daě, jsou připočtey k příjmům. Nomiálí HDP získáme tedy ze vzorce: HDP = PB + Tx + Pr + Am + I + CO CG PB osobí áklady firem Tx epřímé daě Pr zisky firem Am odpisy I úroky firem CO čistý smíšeý důchod, odměy vlastíkům CG peěží dotace Produkčí metoda HDP získáme sečteím přidaých hodot firem, ze všech odvětví.. 25

26 x HDP = PH 1 PH = výkoy (tržby z prodeje vlastích výrobků a služeb, aktivace, změa zásob vlastí výroby) výkoová spotřeba (spotřeba materiálu, eergie a služeb) Hodoty HDP zemí EU jsem čerpal z portálu z teritoriálích iformací portálu který spravuje Miisterstvo průmyslu a obchodu. Data jsou ze statistik pro rok Výběr a charakteristika regresorů Sažil jsem se ajít všechy proměé, které, dle mého ázoru jsou ve statistické závislosti se závisle proměou y. Ty proměé, které ovlivňují výsledou hodotu HDP a zároveň ejsou obsažey v ěkterém ze vzorců pro jeho výpočet. Vybral jsem 7 regresorů: k Název regresoru Jedotky [ ] 1 Počet obyvatel [1000 ] 2 Počet ezaměstaých [ 1000] 3 Počet zaměstaých [ 1000] 4 Ročí míra iflace [ %] 5 Ročí spotřeba elektrické eergie [1000GWh] 6 Počet MSP [ 1000] 7 Produktivita práce [ USD/h] Tabulka Regresory x 1, x 2 x Počet obyvatel Obyvatelé jsou ti, kteří odebírají fiálí produkci. Ve většiě zemí EU se spotřeba domácostí podílí alespoň 50 % a výsledé hodotě HDP. Lidé jsou důležitým zdrojem ve výrobím procesu. Jejich efektiví využití apomáhá orgaizacím zvyšovat přidaou hodotu. Údaje o počtu obyvatel jsem čerpal z teritoriálích iformací portálu který spravuje Miisterstvo průmyslu a obchodu. Data jsou ze statistik pro rok

27 2.2.2 Počet ezaměstaých a počet zaměstaých Nezaměstaost je považováa za závažý ekoomický problém. Státy s vysokou mírou ezaměstaosti vyakládají vysoké fiačí prostředky a výplaty sociálích důchodů. V rozpočtu států potom ezbývají dostatečé prostředky a ivestice, které apomáhají zvyšovat přidaou hodotu. Navíc eí žádým překvapeím, že ezaměstaí mají ižší příjmy ež zaměstaí. Jejich spotřeba je tedy ižší. Pro svou aalýzu jsem zvolil jako proměou i počet pracujících. Tím chci odstrait vliv geeračího rozložeí obyvatel v jedotlivých zemích EU. Údaje o počtu zaměstaých a ezaměstaých jsem čerpal z portálu OECD, Data jsou ze statistik pro rok Ročí míra iflace Iflace, eboli míra změy ceové hladiy, vytváří ejisté prostředí pro podikatelské čiosti. Pracovíci i podikatelé tím mohou být odrazei od své aktivity a také tvorby úspor. Vysoká iflace v ivestičím prostředí zvyšuje diskotí sazbu. Moho dlouhodobých ivestičích pláů, kvůli tomu emusí sehat ivestory. Na druhou strau iflace může vést k árůstu spotřebích výdajů. S rostoucí iflací roste i fiačí oceěí produkce. Údaje o ročí míře iflace jsem čerpal z Eurostatu, Data jsou pro rok Ročí spotřeba elektrické eergie Elektrická eergie je hlavím zdrojem eergie pro průmysl a dopravu. Možství spotřebovaé elektrické eergie je pomyslým odrazem velikosti výrobích kapacit jedotlivých zemí. Efektiví využití eergie šetří áklady firem, tím tedy i zvyšuje jejich přidaou hodotu. Údaje o spotřebě elektrické eergie zemí EU jsem čerpal z portálu idex mudi, Data jsou pro rok

28 2.2.5 Počet malých a středích podiků EU defiuje MSP jako podiky s maximálím počtem zaměstaců do 250. Ve většiě zemí EU malé a středí podiky zaměstávají zhruba dvě třetiy pracujících a vytvářejí více jak poloviu přidaé hodoty. Jsou to podiky, které většiu zisku vkládají do vývoje. Je pro ě typická vysoká míra iovativosti a pružé reagováí a změu požadavků zákazíků. Údaje o počtu MSP jsem čerpal z portálu Europea Commissio, Data jsou ze statistik pro rok Produktivita práce Je hlavím ukazatelem výkoosti výrobích faktorů jedotlivých zemí. Vyjadřuje schopost výrobího systému trasformovat vstupy a výstupy. Je dáa vzorcem: Produktivita práce = výstupy vstupy výstupy produkce orgaizací, bývá vyjádřea v peěžích jedotkách vstupy jsou dáy v důsledku využití techologií, pracovích zkušeostí, zručostí a potřebou kapitálu Produktivita práce roste se zvyšující se zručostí a zalostí pracujících, s užitím dokoalejších strojů, techologií, orgaizací výroby atd Pro aši aalýzu jsem vymyslel vzorec produktivity práce: Produktivita práce = HDP PZ ((52 Ø POHT) (PS Ø POHT )) 5 HDP hrubý domácí produkt [mld USD] PZ počet zaměstaých [1000] Ø POHT průměrý počet odpracovaých hodi týdě [h/týdě] PS počet státích svátků, dí bez prace[dí] 28

29 52 počet týdů v roce 5 počet pracovích dů v týdu Jmeovatel rovice vyjadřuje ročí efektiví časový fod pro všechy aktivě pracující obyvatele daé země. Produktivita práce je zde tedy popsáa hrubým domácím produktem vytvořeým za jedu odpracovaou hodiu jedím pracovíkem. Níže uvádím tabulku průměrých odpracovaých hodi týdě a počtu dí bez práce pro jedotlivé země EU. Údaje jsem čerpal z teritoriálích iformací portálu který spravuje Miisterstvo průmyslu a obchodu. Data jsou ze statistik pro rok Země EU PS [1000] Ø POHT [h/týdě] Belgické království 12 35,2 Bulharská republika 10 41,0 Česká republika 12 40,5 Dáské království 12 34,5 Estoská republika 11 39,5 Fiská republika 14 36,7 Fracouzská republika 11 36,4 Chorvatská republika 13 39,9 Irská republika 10 35,3 Italská republika 11 37,0 Kyperská republika 10 38,9 Litva 12 38,7 Lotyšská republika 12 41,3 Lucembursko 11 36,2 Maďarsko 12 40,1 Maltská republika 14 38,4 Spolková republika Německo 15 34,4 Nizozemské království 9 29,7 Polská republika 12 40,0 Portugalská republika 8 39,1 Rakouská republika 13 37,5 Rumusko 11 40,5 Řecká republika 10 39,8 Sloveská republika 10 40,4 Sloviská republika 12 39,9 Velká Britáie 8 36,4 Špaělské království 11 38,3 Švédské království 17 35,7 Tabulka Průměrých odpracovaých hodi týdě a počtu dí bez práce 29

30 3 Volba regresího modelu Jde o proces hledáí ideálího počtu veliči pro áš regresí odhad. Neexistuje žádé kouzelé pravidlo, které by ám pomohlo pro daé empirické šetřeí ajít ejvhodější model. Nicméě můžeme, alespoň podle určitých metod a pravidel sížit počet v úvahu přicházejících variat. Jiými slovy, sestavíme regresí model je z těch veliči, které jsou statisticky výzamé, použijeme metodu liearity a metody multikoliearity. Ale pozor, ejde jeom o to odstrait z modelu přebytečé veličiy, které by zatěžovaly áš výpočet. Může se stát, že opomieme ěkterou z důležitých vstupujících veliči. Výběr je potom edostatečě reprezetující a výsledky aalýzy ejsou zcela vypovídající. Je proto vždy lepší začíat s mohorozměrým pozorováím a postupě odstraňovat statisticky epotřebé veličiy. Samozřejmě omezeost zdrojů ám eumožňuje sledovat všechy faktory, které působí a áš problém. Z výše uvedeého tedy vyplývá, že statistik by se měl sažit ajít co možo ejvětší počet veliči, které jsou zároveň časově a ákladově přijatelé. A ásledě pomoci určitých metod a pravidel odstrait přebytečé veličiy. Sami jistě uzáte, že to eí ic lehkého. Dalším krokem je výběr typu regresí fukce. Když už máme vybrá počet vstupujících proměých, musíme si odpovědět a otázku, jakou formou je co ejvhoději vyjádřit? Volíme regresí fukci, jejíž tvar se co možo ejvíce podobá charakteru průběhu empirických hodot, získaých z pozorováí. Výběr tvaru fukce vychází zpravidla z dřívějších zkušeostí a pozatků daého statistika. Já se budu zabývat lieárí závislostí, jelikož jde o ejčastější typ vyrováváí. Navíc lze ěkteré elieárí vztahy trasformovat a vztahy lieárí. Budu tedy muset dokázat, že proměé jsou v lieárím vztahu. V datech by eměly být odlehlé hodoty. Regresí aalýza je a ě citlivá. I jeda odlehlá hodota může ovlivit odhady parametrů rovice. Odlehlé hodoty můžeme odhalit buď vizuálě, prozkoumáím bodových grafů, ebo podle testů (Grubbsův test, Dixoů test). V mé práci použiji Grubbsův test. Kvalita regresího modelu se posuzuje dle schoposti vyhovět požadavkům daé úlohy. Vezmeme si apříklad model, který progózuje ávštěvost letího kia v závislosti a počasí, srážkách atd. Pouhým porováím skutečých hodot ávštěvosti od hodot modelových získáme přehled o přesosti daého modelu. Pokud ejsou velké rozdíly mezi těmito hodotami a směrodaté chyby regresího odhadu splňují požadavek miima, 30

31 považujeme model za kvalití. Co je velký a co malý rozdíl, závisí a každém kokrétím případě a uvážeí příslušého statistika. 3.1 Postup volby regresího modelu Při sestavováí regresího modelu budu postupovat ásledujícím způsobem: 1. Idetifikuji všechy faktory, které mohou mít vliv a aši závisle proměou y (HDP). Samozřejmě vyberu je ty faktory x 1, x 2 x k, ke kterým půjdou sehat data. Jelikož pracuji s údaji ze sekudárích zdrojů, jsou mé možosti omezeé. 2. Pomoci metody liearity popíši, jak velký vliv má každá ezávisle proměá x 1, x 2 x k, a závisle proměou y. Ty s malým vlivem odstraím z modelu. 3. Pomoci metod multikoliearity odstraím ezávislé proměé x 1, x 2 x k, mezi kterými je velká lieárí závislost. 4. Odstraím pomoci Grubbsova testu všechy odlehlé hodoty ezávisle proměých x 1, x 2 x. 5. Provedu testy reziduí. Vždy pro dvojice proměých, závisle proměá y a ěkterou ze zbylých ezávisle proměých(x 1, x 2 x k ). Rezidua by měla být áhodá, ezávislá a podléhat ormálímu rozděleí N (0; σ 2 ). Rozptyl σ 2 musí být kostatí. 6. Provedu regresí a korelačí úko Metoda liearity Tato metoda ám pomáhá odstrait z regresího modelu ty ezávislé proměé, které mají se závisle proměou malou statistickou závislost. Náš regresí model předpokládá, že závisle proměá y bude záviset lieárě a ezávisle proměých x 1, x 2 x. Musím tedy dokázat, že průběhy dvojic proměých y a x i mají lieárí povahu. Pokud vztahy mezi dvojicí proměých y a x i ejsou lieárí, pokusím se data statisticky trasformovat (logaritmovat, odmocňovat ), tak abychom aplili požadavek liearity. 31

32 Postup: 1. Vypočtu všechy párové regresí koeficiety r yi. 2. Pokud ěkterý z r yi <0,6, pokusím se data trasformovat. 3. Pokud ai trasformace epomůže, ezávisle proměou x i se slabou statistickou závislostí odstraňím z modelu Multikoliearita Multikoliearitou se rozumí vzájemá lieárí závislost mezi ezávislými proměými. Začí ji vysoká hodota párového korelačího koeficietu mezi dvěma vstupujícími proměými x i a x j. Důvody multikoliearity mohou být růzé. Relativě ejjedodušším a ejčastějším případem je zatěžováí regresího modelu adbytečými vstupujícími proměými. V mé práci se sažím pomoci statistických metod tyto adbytečé proměé idetifikovat a ásledě odstrait z regresího modelu. Použiji dvě metody: Metodu postupého vyřazováí Zde odstraím vždy jedu z dvojice vstupujících proměých mezi, kterými je silá závislost, eboli hodota párového korelačího koeficietu r ij 0,8. Do výpočtu vstupují pouze proměé, které mají výzamou statistickou závislost se závisle proměou y i. Ty už záme z metody liearity. Postup: 1. Vypočtu všechy párové regresí koeficiety r yj a r ij. 2. Vyberu ezávisle proměou x i, která má ejvyšší korelačí závislost se závisle proměou y i (ejvyšší hodotu r yj ). 3. Jako další sleduji ezávisle proměé x j, které mají vysokou korelačí závislost s mou vybraou proměou x i z druhého kroku. Pokud je korelačí koeficiet mezi vybraou proměou vyšší ež 0,8 r ij 0,8, vyřazuji proměou x j z modelu. 32

33 Metodu Stepwise Zde proměé přiřazuji do modelu postupě, máme tedy více modelů. Každý ový model má o jedu proměou avíc. V každém kroku vypočtu reziduálí součty čtverců RSS a provedu F-test. Postup se aplikuje tak dlouho, dokud je příos přidáí proměé statisticky výzamý. Dokud se ám statisticky výzamě sižuje reziduálí součet čtverců RSS. Vycházíme z rozkladu čtverců. Variabilitu vystupující veličiy můžeme také vyjádřit pomoci součtu čtverců odchylek empirických hodot od jejich průměru. Celková suma čtverců TSS se rová: TSS= (y i y ) (y i y ) = (y i y ) 2 1 Dále celkovou sumu čtverců můžeme rozložit a dvě položky. 1 TSS=MSS + RSS MSS eboli modelová suma čtverců je část z celkové sumy čtverců, která je vysvětlea závislostí vystupující veličiy a regresorech. Je dáa jako součet čtverců odchylek vyrovaých hodot od průměru empirických hodot. MSS= (y i y ) (y i y ) = (y i y ) 2 1 RSS eboli reziduálí suma čtverců je část z celkové sumy čtverců, kterou mimo jié používá metoda ejmeších čtverců. Je dáa jako součet čtverců odchylek vyrovaých hodot od empirických. RSS= (y i y ) i (y i y ) i = (y i y ) 2 i 1 Pomoci těchto rozkladů můžeme také určit těsost regresího odhadu. Koeficiet (idex) determiace R 2 udává, do jaké míry regresí model vysvětluje variabilitu vystupující veličiy. R 2 = MSS TSS = TSS RSS TSS 1 1 = 1 RSS TSS 33

34 Odmocíme a získáme korelačí idex R: R = R 2 = MSS TSS = TSS RSS = 1 RSS TSS TSS Korelačí idex může tedy abývat hodot od 0 do 1. Ze vzorce je patré, že když je RSS rove ule pak R = 1, regresí odhad je 100% spolehlivý. Naopak když RSS = TSS, pak R = 0, regresí odhad je 0% spolehlivý (tedy ekorelovaý). Myšlekou této metody je zjistit, zdali se přidáí regresoru statisticky výzamě projeví a výsledé hodotě RSS, respektive zdali se hodota RSS statisticky výzamě síží. Pokud se po přidáí regresoru hodota RSS esíží ebo síží statisticky evýzamě, regresor vypouštíme z regresího odhadu. Přidáím i-tého regresoru buď sížíme hodotu výsledého RSS, ebo ji zachováme stejou: RSS = RSS (k 1) + RSS k i počet regresorů, i = 1,2,3 k RSS 0 regresor F i : Kritérium pro posouzeí statistické výzamosti je takzvaé parciálí F. Pro i-tý F i = RSS RSS (k 1) /( k) = RSS (k 1)+RSS k RSS (k 1) /( k) Když F i < F 1,( k 1) (1 α) je po přidáí i-tého regresoru sížeí i-tého statisticky evýzamé. Regresor vypouštíme z regresího odhadu. k současý počet regresorů počet pozorováí F 1,( k 1) (1 α) Hodota pravděpodobosti Fisherova rozděleí pro 1 a ( k 1) stupě volosti a daé zvoleé hladiě výzamosti α 34

35 Postup: 1. Vypočtu všechy párové regresí koeficiety r yj a r ij. 2. Vyberu ezávisle proměou x i (prví regresor), který má ejvyšší korelačí závislost se závisle proměou y i (ejvyšší hodotu r yj ). 3. Provedeme pro tyto dvě proměé regresí úko (jedoduchá lieárí RKA), a vypočteme RSS k. 4. Vybereme další ezávisle proměou x j (druhý regresor), který má s prvím regresorem ejižší párovou korelačí závislost (ejižší hodotu r ij ). Zovu provedeme regresí úko (dvojásobá lieárí RKA), vypočtemerss k a provedeme F-test. Pokud je příos regresoru statisticky výzamý, přidáme regresor do odhadu. Aalogicky postupujeme pro zbylé regresory. Pokud příos eí statisticky výzamý, regresor vyzařuji z regresího odhadu a testuji zbylé regresory Grubbsův test Odlehlé hodoty mohou ovlivit výsledky RKA. I jeda odlehlá hodota se projeví a odhadu parametrů rovice, proto je důležité tyto hodoty idetifikovat a ásledě je vyloučit ze souboru hodot. Postup: 1. Seřadím empirické hodoty vzestupě (x (1) < x (2) < < x () ). 2. Vypočtu aritmetický průměr x = x i všech hodot zkoumaé veličiy. a směrodatou odchylku s x = (x i x ) 2 ze 3. Vypočtu testovací kritérium pro ejižší a ejvyšší hodotu. T 1 = x x (1) s x, T = x () x s x 35

36 4. Vypočteé hodoty testovacích kritérií porovám s tabulkovou kritickou hodotou daé hladiy výzamosti α. Pokud T 1(,α) > T krit vyloučím hodotu x (1) ze souboru. Musím provést ový výpočet pro zbylé hodoty. Aalogicky postupuji i pro maximálí hodotu x (), když T (,α) > T krit vyloučím hodotu x () ze souboru. α = 0, 05 α = 0, ,412 1, ,689 1, ,869 1, ,996 2, ,093 2, ,172 2, ,237 2, ,294 2, ,343 2, ,387 2, ,426 2, ,461 2, ,493 2, ,523 2, ,551 2, ,577 2, ,600 2, ,623 2, ,644 2, ,664 3, ,683 3, ,701 3, ,717 3,071 Tabulka Kritických hodot Grubbsova testu 36

37 3.1.4 Aalýza reziduí Aalýzu reziduí provádím vždy pro proměou y a ěkterou z ezávisle proměých x 1, x 2 x k. Chci dokázat, že rezidua mají povahu áhodých veliči, jejichž rozděleí bude při věších výběrech podléhat ormálímu rozděleí se středí hodotou blížící se k ule. Rezidua musí tedy plit podmíky: 1. Rezidua jsou áhodá a ezávislá. 2. Rezidua mají ormálí rozděleí N (0; σ 2 ). 3. Rozptyl reziduí σ 2 je kostatí. Provádím tedy testováí o áhodosti reziduí. Máme dvě hypotézy: H 0 : rezidua jsou áhodá H 1 : rezidua ejsou áhodá Vycházím z testového kritéria: počet sledováí U = S + 0, S počet kladých rozdílu (e i+1 e i ), e i = rezidua = (y i y i) Nulovou hypotézu přijímám, když testové kritérium je meší ež 1,96. Odpovídá to hodotě Studetova rozděleí a hladiě výzamosti α = 0,05 u 0,975 = 1,96, u 0,025 = 1,96. U = S + 0, < 1,96 přijímáme H 0 37

38 4 Aalýza závislost HDP a zvoleých regresorech 4.1 Příručka použití aplikace K aalýze poslouží aplikace, kterou jsem vytvořil [PŘ1]. Aplikace uživatelům usadí zkoumáí závislosti, pomůže ajít ideálí počet veliči pro volbu regresího modelu a ásledě provede regresí a korelačí úko Zápis dat Data můžeme zadat dvěma způsoby. Buď a webové stráce do připraveého databázového formuláře. Data poté odešleme do excelovské aplikace pomoci tlačítka trasport dat, viz Obrázek Nebo si stáheme ze stráek excelovskou aplikaci a data zapíšeme rovou tam, viz Obrázek Máme možost zapsat data až pro 30 měřeí a 11 proměých (1 závisle proměá y i a 10 ezávisle proměých x 1, x 2 x 10, viz [PŘ1] list Vstupí oblast dat. Aby aplikace fugovala, je třeba povolit makra. Excel se vás a povoleí sám zeptá. Dále pokud emáme, aistalujme v Soubor Možosti Doplňky Aalytické ástroje VBA. trasport dat otevřeí excelu Obrázek Zápis dat Po zadáí dat klikeme v [PŘ1] a tomtéž listě a tlačítko Zadejte ázvy proměých otevře se ám uživatelský formulář, viz Obrázek Zde zadáme ázvy proměých a jedotek, poté potvrdíme stiskutím tlačítka ok. 38

39 Obrázek Uživatelský formulář ázvy proměých Pokud chcete ačíst původí hodoty, klikěte a tlačítko Načíst původí hodoty. Pokud chcete odstrait prázdé řádky v tabulce, klikěte a Smazat prázdé řádky. Mezi listy v [PŘ1] můžeme přepíat pomoci uživatelské lišty, viz Obrázek Obrázek Uživatelská lišta 39

40 4.1.2 Test liearity Na listě Korelace klikěte a tlačítko Korelace. Aplikace se ás zeptá a počet měřeí, viz Obrázek A a počet proměých, viz Obrázek Počtem proměých se myslí součet všech proměých. Tedy když máme 10 regresorů, zadáme počet proměých 11 (1 závisle proměá + 10 ezávisle proměých). Počet měřeí 1 až 30. Obrázek Počet měřeí Obrázek Počet proměých Po zadáí těchto dvou parametrů se ám zpustí výpočet párových korelačích koeficietů r yj a r ij. Výsledky jsou zde a listě zobrazey v tabulce, viz Obrázek Nyí můžeme koeficiety aalyzovat, a provést metodu liearity a metodu multikoliearity (metodu postupého vyzařováí), viz 3. kapitola. Obrázek Výsledky párových korelačích koeficietů r yj a r ij 40

41 4.1.3 Test multikoliearity Párové korelačí koeficiety r ij již záme, eí tedy problém provést metodu postupého vyřazováí, viz 3. kapitola. Na listě V.regrese zpustíme tlačítkem Regrese víceásobou regresi pro ámi zadaé hodoty z listu Vstupí oblast dat. Zovu se ás aplikace zeptá a počet měřeí a a počet proměých. Po zadáí ám aplikace vygeeruje regresí rovici, regresí koeficiety, souhrý korelačí koeficiet, determiačí koeficiet, adjustovaý determiačí koeficiet, vyrovaé hodoty, aalýzu rozptylu a testy statistické výzamosti regresího modelu. Metoda Stepwise je zde vyložea pomoci adjustovaého determiačího koeficietu. Pokud je adjustovaý korelačí koeficiet, eboli astaveá hodota spolehlivosti R, s přidáím regresoru vyšší, je vliv regresoru statisticky výzamý, viz Obrázek Začeme s jedoduchou lieárí závislostí. Přidáme do listu Vstupí oblast dat pouze aměřeá data pro závisle proměou y i a 1. regresor x 1i. Proveďme regresi, zase přes list V.regrese. Postupě přidávejme hodoty pro další regresory a sledujme, jak se projeví vliv přidáí regresoru a výsledou hodotu adjustovaého determiačího koeficietu. Regresory přidávejme v pořadí, které určíme a základě výsledků aalýzy lieárí metody a metody postupého vyzařováí. Pokud je adjustovaý determiačí koeficiet s přidáím regresoru vyšší, je vliv přidáí ového regresoru statisticky výzamý. Obrázek Adjustovaý determiačí koeficiet Regresí model je statisticky výzamý, když parciálí F získaé z aalýzy rozptylu (Aova) je větší ež hodota pravděpodobosti Fisherova rozděleí pro (k-1) a (-k-1) stupě volosti a daé zvoleé hladiě výzamosti α, viz Obrázek F > F α ( k-1,-k-1 ) regresí model je statisticky výzamý k současý počet regresorů 41

42 počet pozorováí Obrázek Aalýza Aova Obrázek Test výzamosti regresího modelu Grubbsův test Test provedeme a listě Grubbsův test. Data seřadíme od ejmešího po ejvětší klikutím a tlačítko Seřadit data. Poté už je stačí porovat testovací kritérium s kritickou hodotou, viz Obrázek Pokud T 1(,α) > T krit vyloučíme hodotu x (1) ze souboru. Musíme provést ový výpočet pro zbylé hodoty. Aalogicky postupujeme i pro maximálí hodotu x (), když T (,α) > T krit vyloučíme hodotu x () ze souboru. Obrázek Grubbsův test 42

43 Na listě je výpočet pro všech deset regresorů Aalýza reziduí Na listě Aalýza reziduí stačí pouze porovat testovací kritérium s hodotou 1,96, viz Obrázek Pokud testovací kritérium U < 1,96 mají rezidua povahu áhodých veliči. Na listě je výpočet pro všechy dvojice y i : x 1, x 2 x 10. U = S + 0, < 1,96 Obrázek Aalýza reziduí Regresí a korelačí aalýza Regresí a korelačí aalýzu až pro 10 regresorů provedeme a listě V.regrese. Nebo a listech 1.regrese,2.regrese a 3 regrese, kde je avíc výpočet pro jede dva ebo tři regresory podrobě rozepsá podle kroků z 1. kapitoly. Data pro RKA zadáváme vždy do listu Vstupí oblast dat. Aplikace ám vygeeruje regresí rovici, regresí koeficiety, souhrý korelačí koeficiet, determiačí koeficiet, adjustovaý determiačí koeficiet, vyrovaé hodoty, aalýzu rozptylu a testy statistické výzamosti regresího modelu. 43

44 4.2 Aalýza HDP Zápis dat Jak již jsem výše psal, budu aalyzovat vliv 7 regresorů x 1, x 2 x 7 a výsledou hodotu závisle proměé y i, hrubého domácího produktu zemí EU. EU je politická a ekoomická uie tvořea 28 evropskými státy. Mám tedy vždy 28 hodot pro každou proměou, viz Obrázek Tyto data jsem zadal do [PŘ1] do listu Vstupí oblast dat. Následě jsem postupovat dle příručky použití aplikace, viz výše. Mou sahou je ajít ideálí počet veliči pro regresí odhad. A ásledě provést regresí a korelačí úko. 44

45 y i x 1i x 2i x 3i x 4i x 5i x 6i x 7i Země Eu HDP PO PN PZ MI SEE PMSP PP [mld USD] [1000] [1000] [1000] [ %] [1000 GWh] [1000] [USD/h] Belgické království 524, ,99 416, ,00 1,20 84,78 520,70 6,42 Bulharská republika 54, ,68 338, ,24 0,40 28,30 302,19 3,54 Česká republika 208, ,42 367, ,00 1,40 59, ,12 5,23 Dáské království 335, ,24 201, ,00 0,50 32,70 212,87 3,29 Estoská republika 24, ,82 57,96 599,00 3,20 7,43 60,38 0,67 Fiská republika 267, ,27 219, ,00 2,20 83,09 222,03 3,02 Fracouzská republika 2 806, , , ,00 1,00 460, ,02 36,33 Chorvatská republika 57, ,70 339, ,54 2,30 18,87 145,90 2,16 Irská republika 232, ,03 299, ,00 0,50 26,10 144,37 2,61 Italská republika 2 149, , , ,00 4,10 309, ,24 32,99 Kyperská republika 21,91 858,00 71,50 405,17-0,40 3,22 40,80 0,44 Litva 45, ,47 148, ,45 0,40 10,30 134,11 1,53 Lotyšská republika 30, ,47 76, ,20 1,20 6,22 87,62 0,98 Lucembursko 60,13 549,68 14,83 236,00 0,00 6,45 29,39 0,31 Maďarsko 133, ,00 448, ,00 1,70 42,57 525,92 4,97 Maltská republika 9,64 425,38 16,54 219,78 1,70 1,99 30,49 0,23 Spol. republika Německo 3 730, , , ,00 1,00 544, ,14 47,92 Nizozemské království 853, ,29 590, ,00 1,60 112,50 802,09 11,29 Polská republika 525, , , ,00 2,00 132, ,95 19,40 Portugalská republika 227, ,30 851, ,00 0,40 48,27 774,83 5,29 Rakouská republika 428, ,79 214, ,00 0,40 65,57 307,33 4,59 Rumusko 189, ,64 808, ,46 2,10 51,46 426,30 9,89 Řecká republika 242, , , ,00 3,20 59,53 653,94 5,68 Sloveská republika 97, ,95 385, ,00 1,00 28,76 391,80 2,68 45

46 Sloviská republika 47, ,09 101,81 888,00-0,90 14,70 115,60 1,04 Velká Britáie 2 678, , , ,00 7,50 344, ,62 35,05 Špaělské království 1 393, , , ,00 1,50 267, ,78 24,38 Švédské království 579, ,86 407, ,00 1,50 132,10 665,82 5,56 Obrázek Data pro aalýzu HDP hrubý domácí produkt pro rok 2013 v miliardách USD PO počet obyvatel pro rok 2013 v 1000 PN počet ezaměstaých pro rok 2013 v 1000 PZ počet zaměstaých pro rok 2013 v 1000 MI míra iflace pro rok 2013 v % SEE spotřeba elektrické eergie pro rok 2013 v 1000 GWh PMSP počet malých a středích podiků pro rok 2013 v 1000 PP produktivita práce pro rok 2013 v USD/h 46

47 HDP [mld USD] Metoda liearity Požadavek a liearitu eaplňuje pouze průběh závislosti mezi lieárě závislou y i a 4. regresorem x 4, MI, viz Obrázek Průběh vztahu mezi těmito dvěma proměými jsem dále vyroval parabolou, mociou a expoeciálí křivkou. Ai v jedom případě korelačí idex epřesáhl hodotu 0,5, viz Obrázek a Obrázek Nebudu proto data pro teto regresor trasformovat a regresor vyloučím z regresího odhadu. Nejvyšší párový korelačí koeficiet má se závisle proměou regresor SEE, te yí podrobíme aalýze multikoliearity. Výpočet párových korelačích koeficietů r yi, r ij zpustíme a listě korelace. Obrázek Tabulka párových korelačích koeficietů r ij a r yi 4 000, , , , , , ,00 500,00 0,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 Míra iflace [%] Obrázek Vyrováí expoeciálou 47

48 HDP [mld USD] 4 000, , , , , , ,00 500,00 0,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 Míra iflace [%] Obrázek Vyrováí parabolou Metoda multikolielarity Regresor SEE je ve velké lieárí závislosti s regresory PO, PZ, PP, viz Obrázek Závislost mezi těmito dvojicemi ezávisle proměých je tak vysoká, že užití regresorů PO, PZ, PP by pouze zatěžovalo áš regresí odhad. Odstraím tedy i tyto regresory. Zbylé regresory podrobím aalýze Stepwise. Obrázek Párové regresí koeficiety r ij s SEE Na listě Vstupí oblast dat odstraím hodoty pro regresory, které jsem vyřadil. v předchozích krocích. Zbydou 4 proměé. Jejich hodoty zapíši do vstupí tabulky a listě Vstupí oblast dat v pořadí: Název proměé Jedotky [ ] 1 HDP y i [mld USD] 2 Spotřeba elektrické eergie x 1 [1000 GWh] 3 Počet ezaměstaých x 2 [1000] 4 Počet MSP x 3 [1000] Tabulka Zbylé proměé 48

49 Poté změím ázvy proměých a jedotek, viz Obrázek Obrázek Zadáí ázvů proměých Na listě 2.Regrese zpustím výpočet regresího a korelačího úkou dvojásobé RKA pro proměé: Název proměé Jedotky [ ] 1 HDP y i [mld USD] 2 Spotřeba elektrické eergie x 1 [1000 GWh] 3 Počet ezaměstaých x 2 [1000] Tabulka Proměé pro dvojásobou RKA V tomto kroku si ebudu všímat výsledků regresího úkou. Zaměřím pozorost pouze a výsledky hodot koeficietů spolehlivostí a testu výzamosti regresího modelu, viz Obrázek a Obrázek

50 Regresí statistika Násobé R 0, Hodota spolehlivosti R 0, Nastaveá hodota spolehlivosti R 0, Chyba stř. hodoty 265, Pozorováí 28 Obrázek Koeficiety spolehlivosti pro dvojásobou R Obrázek Test výzamosti regresího modelu pro dvojásobou RKA 50

51 Na listě 3.Regrese zpustím výpočet regresího a korelačího úkou trojásobé RKA pro proměé: Název proměé Jedotky [ ] 1 HDP y i [mld USD] 2 Spotřeba elektrické eergie x 1 [1000 GWh] 3 Počet ezaměstaých x 2 [1000] 4 Počet MSP x 3 [1000] Tabulka Proměé pro trojásobou RKA Zovu zaměřím pozorost a výsledky hodot koeficietů spolehlivostí a testu regresího modelu, viz Obrázek a Obrázek Regresí statistika Násobé R 0, Hodota spolehlivosti R 0, Nastaveá hodota spolehlivosti R 0, Chyba stř. hodoty 159, Pozorováí 28 Obrázek Koeficiety spolehlivosti pro trojásobou RK Obrázek Test výzamosti regresího modelu pro trojásobou RKA 51

52 Přidáí regresoru PMSP zvýšilo výsledou hodotu souhrého korelačího koeficietu o více ež 2 proceta. Nastaveá hodota spolehlivosti R, eboli adjustovaý korelačí koeficiet, také vzrostl. Považujeme tedy vliv přidáí regresoru PMSP za statisticky výzamý. K dalšímu zkoumáí jdou tedy tyto 4 proměé (y i a x 1, x 2, x 3 ): Název proměé Jedotky [ ] 1 HDP y i [mld USD] 2 Spotřeba elektrické eergie x 1 [1000 GWh] 3 Počet ezaměstaých x 2 [1000] 4 Počet MSP x 3 [1000] Tabulka Proměé k dalšímu zkoumáí Toto srováí můžeme provést i přes list V.regrese Grubbsův test Na listě Grubbsův test aplikace hlásí u všech tří regresorů odlehlé hodoty, viz Obrázek a Obrázek a Obrázek Obrázek Grubbsův test pro proměou x 1 52

53 Obrázek Grubbsův test pro proměou x 2 Obrázek Grubbsův test pro proměou x 3 53

54 Postupě jsem odstraňoval hodoty jedotlivých regresorů vzestupě a opakovaě prováděl Grubbsův test a hladiě výzamosti α = 0,05. V Tabulce jsou uvedey červeě hodoty, které testem eprošly a bíle hodoty, které prošly. Země EU alespoň s jedou červeou hodou jsem odstrail z modelu. Zbylo mi 11 zemí, viz Tabulka x 1i x 2i x 3i Zěmě EU SEE PN PMSP [ 1000 GWh ] [ 1000 ] [ 1000 ] Belgické království 84,78 416,35 520,70 Bulharská republika 28,30 338,13 302,19 Česká republika 59,26 367, ,12 Dáské království 32,70 201,92 212,87 Estoská republika 7,43 57,96 60,38 Fiská republika 83,09 219,00 222,03 Fracouzská republika 460, , ,02 Chorvatská republika 18,87 339,74 145,90 Irská republika 26,10 299,10 144,37 Italská republika 309, , ,24 Kyperská republika 3,22 71,50 40,80 Litva 10,30 148,81 134,11 Lotyšská republika 6,22 76,72 87,62 Lucembursko 6,45 14,83 29,39 Maďarsko 42,57 448,43 525,92 Maltská republika 1,99 16,54 30,49 Spolková republika Německo 544, , ,14 Nizozemské království 112,50 590,27 802,09 Polská republika 132, , ,95 Portugalská republika 48,27 851,80 774,83 Rakouská republika 65,57 214,95 307,33 Rumusko 51,46 808,78 426,30 Řecká republika 59, ,08 653,94 Sloveská republika 28,76 385,50 391,80 Sloviská republika 14,70 101,81 115,60 Velká Britáie 344, , ,62 Špaělské království 267, , ,78 54

55 Švédské království 132,10 407,60 665,82 Tabulka Hodoty, které eprošli testem y i x 1i x 2i x 3i Země EU HDP SEE PN PMSP [ mld USD] [ 1000 GWh ] [ 1000 ] [ 1000 ] Fracouzská republika 2 806,00 460, , ,02 Italská republika 2 149,00 309, , ,24 Maďarsko 133,40 42,57 448,43 525,92 Spolková republika Německo 3 730,00 544, , ,14 Nizozemské království 853,50 112,50 590,27 802,09 Polská republika 525,90 132, , ,95 Portugalská republika 227,30 48,27 851,80 774,83 Rumusko 428,30 51,46 808,78 426,30 Řecká republika 242,20 59, ,08 653,94 Velká Britáie 2 678,00 344, , ,62 Špaělské království 1 393,00 267, , ,78 Tabulka Hodoty, které prošli testem Aalýza reziduí Na listě Aalýza reziduí jsem zkotroloval pro jedotlivé dvojice proměých, vždy závisle proměá y i a ěkterý z regresorů x 1, x 2, x 3 testy o áhodosti reziduí, viz Obrázek a Obrázek a Obrázek Před samotou aalýzou reziduí jsem odstrail a listě Vstupí oblast dat ty odlehlé hodoty, které eprošli předchozím testem. Obrázek Aalýza reziduí pro y i a x 1 55

56 Obrázek Aalýza reziduí pro y i a x 2 Obrázek Aalýza reziduí pro y i a x 3 Testy prošli všechy dvojice proměých. Regresí model tedy bude obsahovat vždy 11 hodot pro každou ze 4 proměých (y i a x 1, x 2, x 3 ): Název proměé Jedotky [ ] 1 HDP y i [mld USD] 2 Spotřeba elektrické eergie x 1 [1000 GWh] 3 Počet ezaměstaých x 2 [1000] 4 Počet MSP x 3 [1000] Tabulka Proměé k RKA Regresí a korelačí úko Zbyly mi pouze 3 regresory, provádím tedy trojásobou RKA. Mohl jsem si vybrat, jestli výpočet zpustím a listě 3.regrese, kde je postup výpočtu rozepsá dopodroba podle 1. kapitoly diplomové práce, ebo a listě V.regrese. Aplikace ám vygeeruje koeficiety beta, regresí koeficiety, regresí rovici, souhrý korelačí koeficiet, determiačí koeficiet, adjustovaý determiačí koeficiet, vyrovaé hodoty, aalýzu rozptylu a testy statistické výzamosti regresího modelu. 56

57 Výsledky regresího a korelačího úkou: 1. Koeficiety beta Tabulka Koeficiety beta 2. Regresí koeficiety a souhrý korelačí koeficiet Tabulka Regresí koeficiety a korel. koeficiet 3. Regresí rovice ŷ i = 30, ,266x 1 0,090x 2 + 0,016x 3 4. Aalýza rozptylu (Aova) + kvatily ormálího rozdělěí Tabulka Aalýza rozptylu 57

58 Tabulka Pravděpodobostí kvatily NR 5. Test výzamosti regresího modelu Tabulka Test výzamosti regresího modelu 6. Vyrovaé hodoty y i y i Země EU HDP HDP [ mld USD] [ mld USD] Fracouzská republika 2 806, ,69 Italská republika 2 149, ,64 Maďarsko 133,40 247,05 Spol. republika Německo 3 730, ,10 Nizozemské království 853,50 746,85 58