SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ

Transkript

1 VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. DRAHOMÍR NOVÁK, DrSc. SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ MODUL P01 PRVODCE PEDMTEM CD04, CD06 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Drahomír Novák, (16) -

3 Obsah OBSAH 1 Úvod Cíle Požadované znalosti Doba potebná ke studiu Klíová slova Teorie spolehlivosti Nejistoty, náhodnost v koncepci návrhu Souasný stav teorie spolehlivosti Podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti Pravdpodobnost poruchy Index spolehlivosti Metody ešení spolehlivosti Simulaní metody typu Monte Carlo Aproximaní metoda FORM Software Obecné poznámky FReET Závr Shrnutí Píklady Studijní prameny Seznam použité literatury Seznam doplkové studijní literatury Odkazy na další studijní zdroje a prameny Legislativa, normy (16) -

4 - 4 (16) -

5 Úvod 2 Úvod 2.1 Cíle Cílem tohoto prvodce pedmtem je seznámit studenty se základy teorie spolehlivosti a poskytnout jim v ucelené a kompaktní podob ty nejnutnjší informace, jako základ k další studijní literatue. Prvodce pedpokládá další studium problematiky ve skriptu Spolehlivost stavebních konstrukcí, autor B. Teplý a D. Novák, vydalo nakladatelství CERM, Brno, Prvodce poskytuje základní potebnou znalost problematiky nutnou pro ešení úloh spolehlivosti a vytváí pedpoklady k širšímu pochopení souvislostí. Prostudování tohoto modulu je základním pedpokladem k úspšnému použití spolehlivostního software na vybrané problémy z teorie konstrukcí. 2.2 Požadované znalosti Ped studiem tohoto modulu je teba zvládnout problematiku Matematické statistiky a teorie pravdpodobnosti, Základ stavební mechaniky, Pružnosti a plasticity I. Poslední dva uvedené pedmty jsou nezbytné ke zvládnutí numerických píklad a k širšímu pochopení souvislostí v rámci navrhování a posuzování stavebních konstrukcí. 2.3 Doba potebná ke studiu Tento modul pedpokládá pibližn 10 hodin intenzivního studia. 2.4 Klíová slova Spolehlivost, bezpenost, mezní stavy, podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti, nejistoty, náhodné veliiny, pravdpodobnost poruchy, index spolehlivosti, simulaní metody typu Monte Carlo, Latin Hypercube Sampling, statistická závislost. - 5 (16) -

6

7 3 Teorie spolehlivosti 3.1 Nejistoty, náhodnost v koncepci návrhu Skutenost, že pi analýze a návrhu inženýrských systém je teba zohledovat nejistoty a náhodnost nebyla nikdy zpochybována. Náhodnost se uplatuje u každé ásti systému Konstrukce Zatížení Prostedí (nap. vlastnosti materiálu, geometrické imperfekce, stálé zatížení, nahodilé zatížení, vítr, sníh, vlhkost, koroze, atd.). Tradiní pístupy problém zjednodušují, zohledují náhodnost pomocí empirických souinitel bezpenosti, s náhodnými parametry je tak nakládáno jako s deterministickými veliinami. Souinitelé bezpenosti jsou zpravidla ureny na základ zkušenosti. Návrh konstrukce se obecn zakládá na dimenzování prvk konstrukce pi psobení zatížení tak, že je splnna ada požadavk na bezpenost, použitelnost a trvanlivost. Jinými slovy, konstrukce by mla být navržena tak, že má vyšší pevnost, resp. odolnost, než odpovídá vlivu zatížení. Schematický Obr. 2.1 ukazuje dv promnné, zatížení E a odolnost R. Ob veliiny jsou náhodné; jejich náhodnost je charakterizována odpovídající hustotou pravdpodobnosti f E (e) a f R (r). Obrázek rovnž ukazuje deterministické (návrhové) hodnoty tchto základních parametr, E N, a R N, které jsou používány v klasickém pístupu dílích souinitel spolehlivosti. Vyšrafovaná plocha pekrývajících se ástí hustot pravdpodobnosti pedstavuje oblast k výpotu základní veliiny kvantifikující nespolehlivost pravdpodobnosti poruchy. Tato plocha závisí na relativní poloze kivek (dána stedními hodnotami µ E a µ R ), rozptylech veliin (smrodatnými odchylkami σ E a σ R ) a tvaru obou kivek. f f E (e) f R (r ) E E N R N R R,E Obr. 2.1: Odolnost konstrukce R a úinek zatížení E - dv náhodné veliiny. 3.2 Souasný stav teorie spolehlivosti Výpoet pravdpodobnosti poruchy v uzavené form není obecn možný, proto byla vyvinuta v minulých letech celá ada úinných stochastických metod. Je možné rozlišovat ti hlavní kategorie metod: Statistická analýza: Postupy jsou zameny na odhad statistických moment parametr odezvy, jako jsou stední hodnoty, rozptyly, apod. Nejistoty vstupují do funkce odezvy. - 7 (16) -

8 Citlivostní analýza: Kvantifikace citlivosti výstupu (odezva, pravdpodobnost poruchy) na promnlivost vstupních veliin. Spolehlivostní analýza: Postupy jsou zameny na výpoet teoretické pravdpodobnosti poruchy. Nejistoty vstupují do funkce poruchy. ada rzných metod pokrývajících zmínné kategorie má jedno spolené: Zpravidla vyžadují opakované vyíslení (simulaci) funkce odezvy nebo funkce poruchy. Z historického pohledu lze rozvoj rzných metod charakterizovat jako úsilí snížit velký poet simulací na minimum. Prostou simulaci Monte Carlo není možné aplikovat na výpotov nároné problémy, nebo vyžaduje velký poet simulací (opakovaný výpoet odezvy konstrukce). Tento problém byl celkem úspšn vyešen aproximaními metodami FORM, SORM, nap. [Hasofer a Lind, 1974], [Madsen a kol., 1986]. Navzdory nkterým problémm s dosažením pesnosti jsou tyto metody v souasné dob pijaty odbornou ve- ejností a staly se v nkterých pípadech standardními nástroji pi kalibraci norem. Výzkum byl dále zamen na rozvoj pokroilých simulaních metod, které koncentrují simulace do oblasti poruchy [Schuëller, 1998]. Z mnoha úinných metod vyvinutých v posledních desetiletích, Latin hypercube sampling a metody plochy odezvy jsou asto používány pro ešení výpotov nároných problém mechaniky kontinua. Rozvoj ady spolehlivostních metod, více i mén úinných, pesných a vhodných pro urité tídy problém, je dokumentován ve sbornících ze stžejních konferencí oboru teorie spolehlivosti, nap. [ICOSSAR, 1997; 2001; 2005] a [ICASP, 1995; 1999; 2003]. 3.3 Podmínka spolehlivosti, rezerva spolehlivosti Základní koncepci klasické teorie spolehlivosti lze uvést matematicky formálnji ve tvaru odezvy (nap. petvoení, naptí, mezní únosnost, apod.) nebo rezervy spolehlivosti (v pípad, že funkce pedstavuje podmínku spolehlivosti) jako funkci základních náhodných veliin (nebo náhodných polí) X = X 1, X 2,..., X n Z = g( X, X 2,..., X ), (2.1) 1 n g pedstavuje funkní závislost mezi složkami vektoru X (výpotový model). Prvky vektoru X mohou být statisticky závislé. V pípad že g ( X) pedstavuje podmínku spolehlivosti pak je funkce nazývána funkce mezního stavu nebo funkce poruchy. Konstrukce se považuje za spolehlivou jestliže platí: kde funkce ( X) ( X X X ) 0. g( X ) = g,,..., 1 2 n > (2.2) Funkce poruchy mže být explicitní nebo implicitní funkcí základních náhodných veliin a mže být velmi jednoduchá nebo velmi komplikovaná. Obvykle se pracuje s konvencí Z 0 (porucha) a Z > 0 (bezpená konstrukce). Chování systému a jeho prvk je zpravidla nutno popsat adou mezních stav (násobné funkce poruchy). - 8 (16) -

9 3.4 Pravdpodobnost poruchy Cíl analýzy spolehlivosti pedstavuje odhad pravdpodobnosti zvané teoretická pravdpodobnost poruchy: p f = P( Z 0). Formálnji je tato pravdpodobnost definována: ( X X,..., X ) p = f dx, dx,..., dx f D f 1, 2 n 1 2 kde D f pedstavuje oblast poruchy, kde platí (2.3) (2.4) g X a f ( X, X, 2, ) pedstavuje funkci sdružené hustoty pravdpodobnosti náhodných veliin. n ( ) 0 1 X n 3.5 Index spolehlivosti Teoretická pravdpodobnost poruchy není jediným používaným mítkem spolehlivosti. Velmi asto se používá tzv. indexu spolehlivosti, který je uvádn v souasných normových pedpisech. Index spolehlivosti (podle Cornella), který je všeobecn znám a rozšíen, lze nejlépe ukázat na funkci poruchy Z = R E. Jestliže R a E jsou náhodné veliiny s normálním rozdlením pravdpodobnosti (a statisticky nezávislé), pak také rezerva spolehlivosti Z má normální rozdlení. Situace je názorn ukázána na Chyba! Nenalezen zdroj odkaz..2. První dva statistické momenty rezervy spolehlivosti Z je možné urit jednoduše jako µ Z = µ R µ E σ = σ + σ 2 Z 2 R 2 E Index spolehlivosti je pak definován vztahem µ Z β = σ Z tedy jako pevrácená hodnota varianího koeficientu rezervy spolehlivosti. Z Chyba! Nenalezen zdroj odkaz..2 je zejmé, že index spolehlivosti nám íká, kolikrát je možno umístit smrodatnou odchylku rezervy spolehlivost mezi nulu a stední hodnotu. Pravdpodobnost poruchy zde odpovídá pravdpodobnosti, že rezerva spolehlivosti je záporná a protože Z je normáln rozložená, pak ji lze snadno urit jako hodnotu distribuní funkce normálního rozdlení pravdpodobnosti: p f = Φ N ( ) β (1) (2) (3) (48) Tento index spolehlivosti je omezen na rezervu spolehlivosti s normálním rozdlením pravdpodobnosti. Index spolehlivosti podle Hasofera a Linda je spjat - 9 (16) -

10 s aproximaní metodou výpotu pravdpodobnosti poruchy doposud asto používanou a budeme se jím proto v této souvislosti zabývat v kap Obr. 2.2:Rezerva spolehlivosti, index spolehlivosti, pravdpodobnost poruchy, a) rezerva nenormovaná,b) rezerva normovaná. 4 Metody ešení spolehlivosti 4.1 Simulaní metody typu Monte Carlo Metoda Monte Carlo ve své pvodní podob (oznaovaná jako klasická, pímá, elementární, jednouchá apod.) je metodou velmi jednoduchou a názornou a proto pomrn asto používanou. Její názornost je blízká inženýrskému myšlení, nebo uritým zpsobem simuluje reálné chování konstrukcí. Postup metody spoívá v numerické simulaci ešeného problému - v opakovaném ešení funkce poruchy vždy s jiným náhodn generovaným vektorem vstupních náhodných veliin X. Jednotlivé kroky jsou následující (popisujeme obecn j-tou simulaci, j=1, 2,, N, kde N je celkový poet simulací): Nejdíve se generují jednotlivé realizace vektoru X realizace náhodných veliin podle podle svých píslušných rozdlení pravdpodobnosti. S pomocí tchto vygenerovaných realizací je vypotena hodnota funkce poruchy a je tak získána hodnota rezervy spolehlivosti pro j-tou simulaci: ( x, x, x x ) z j = g 1, j 2, j i, j, n, j (3.1) Po provedení všech simulací máme statistický soubor veliiny Z. Tento soubor je možno statisticky vyhodnotit a získat tak odhad stední hodnoty, smrodatné odchylky, pípadn vyšších statistických moment bžnými postupy matematické statistiky. z 0 V pípad, že j, nastává porucha a celkový poet tchto pípad, které N f nastanou v prbhu všech N simulací, ozname. Pak podle elementární definice pravdpodobnosti ji lze odhadnout jako podíl p f = N f N (3.2) - 10 (16) -

11 Simulaní metoda Monte Carlo pro výpoet pravdpodobnosti poruchy je zobrazena pro dvourozmrný pípad (n = 2) na Obr. 3.1, kde jsou pomocí bod znázornny jednotlivé realizace funkce poruchy. Obr. 3.1: Simulace Monte Carlo dvourozmrný pípad. Je zejmé, že pesnost odhadu pravdpodobnosti poruchy závisí na celkovém potu N simulací a ádu odhadované pravdpodobnosti. ím vtší je poet simulací a také poet realizací v oblasti poruchy, tím realistitjší odhad obdržíme. Je teba si uvdomit, že pravdpodobnost poruchy je také náhodná veliina, její odhad pedstavuje uritou realizaci této náhodné veliiny. Zmníme-li zdrojová ísla generátor pro generování náhodných veliin obdržíme trochu jiný odhad. Varianí koeficient pravdpodobnosti poruchy lze pro malé pravdpodobnosti napsat ve tvaru 1 v p f = N p f (3.3) 4 Jestliže nap. odhadujeme pravdpodobnost poruchy ádu 10 a použijeme 6 N = 10, je varianí koeficient pravdpodobnosti poruchy 10%, což je pomrn pijatelná hodnota. Je zejmé, že nap. poet simulací N = 10 by byl 4 v tomto pípad naprosto nedostaující. 4.2 Aproximaní metoda FORM Po obecném Spolehlivostní metoda 1. ádu (FORM - First Order Reliability Method) je založena na linearizaci funkce poruchy. Vstupní náhodné veliiny X je nutné nejprve transformovat na nekorelované normované normální veli- iny U podle vztahu: U X µ i i i = (3.4) σ i Funkce poruchy je aproximována lineární funkcí v bod maximálního píspvku k pravdpodobnosti poruchy, v tzv. návrhovém bod. Z hlediska geometrické interpretace v prostoru normovaných normálních veliin U je návrhový bod - 11 (16) -

12 bodem ležícím na funkci poruchy s nejmenší vzdáleností k poátku, viz 3.2. Pipomeme, že tato nejmenší vzdálenost je oznaována jako index spolehlivosti β resp. Hasofer Lindv index spolehlivosti [5]. Nalezení návrhového bodu je možno realizovat jakýmkoliv nelineárním optimalizaním postupem, Na základ linearizace funkce poruchy je pak pibližn teoretická pravdpodobnost poruchy dána vztahem p 1 Φ f N ( ) β (.) ve kterém Φ N pravdpodobnosti. (3.5) je distribuní funkce normovaného normálního rozdlení Nevýhodou postupu FORM je skutenost, že nalezení návrhového bodu mže být problematické, mže existovat nkolik lokálních minim vzdáleností k po- átku souadnic, píspvek k výsledné pravdpodobnosti poruchy nemusí být dominantní pouze z oblasti návrhového bodu. To se stává v pípad siln nelineárních funkcí mezního stavu. Obr. 3.2: Návrhový bod a index spolehlivosti (16) -

13 5 Software 5.1 Obecné poznámky Spolehlivostní metody jsou v rzných modifikacích implementovány ve spolehlivostním software, nap. COMREL, COSSAN, CRYSTALL BALL, FREET, M-STAR, PHIMECA, PROBAN, SARA, SLANG, VAP. Tento software zpravidla umožuje pracovat s funkcí poruchy definovanou uživatelem (obecn použitelný) nebo je pln integrován se specifickým programem FEM. 5.2 FReET Pravdpodobnostní software FReET pedstavuje simulaní nástroj k ešení spolehlivostních problém [2]. Software ilustruje nkolik zde uvedených panel prostedí programu. Nejistoty výpotového modelu jsou modelovány jako náhodné veliiny s uritým teoretickým rozdlením pravdpodobnosti (normální, lognormální, Weibullovo aj.), Obr Statistická závislost mezi nimi je popsána korelaní maticí, Obr. 4.2, zavedení do simulace je realizováno metodou simulovaného žíhání, Obr Pomocí stratifikované simulace jsou realizovány tyto náhodné veliiny a poté použity ve výpoetním modelu analyzovaného problému, následuje ást spolehlivostního vyhodnocení, Obr Obr. 4.1: Zadávání vstupních veliin Obr. 4.2: Statistická závislost Obr. 4. 3: Simulované žíhání Obr. 4.4: Statistické vyhodnocení funkce - 13 (16) -

14 6 Závr 6.1 Shrnutí Tento text slouží k prvotní informaci do pedmtu, studenta orientuje v problematice a umožuje mu snadnjší studium z dalších studijních pramen. Následující píklady ukazují typy jednoduchých píklad, které se pedpokládají k procviování v poítaové uebn pomocí software FReET. 6.2 Píklady Píklad 1: Zatížení sloup výškové budovy se skládá ze stálého zatížení D (vlastní tíha), nahodilého zatížení L (osoby, nábytek, zaízení) a zatížené vtrem W. Zatížení lze uvažovat jako statisticky nezávislé náhodné veliiny: Veliina Stední hodnota [t] Sm.odchylka [t] Rozdlení pravdpodobnosti D 4,2 0,3 normální L 6,5 0,8 lognormální W 3,4 0,7 extrémních hodnot Type I Kombinace zatížení na jeden sloup je E = D + L + W. Únosnost R sloupu má stední hodnotu 21,15 tun s lognormálním rozdlením pravdpodobnosti a varianím koeficientem 0,15. Urete odhad statistických parametr celkového zatížení E vetn nejvhodnjšího rozdlení pravdpodobnosti a pravdpodobnost, že únosnost sloupu R bude menší než E (pravdpodobnost poruchy). Použijte simulaní metodu Monte Carlo a aproximaní FORM. Píklad 2: Balkonový železobetonový nosník je zatížen rovnomrným zatížením o intenzit q. Urete pravdpodobnost poruchy nosníku, náhodné veliiny jsou dány dle tabulky a funkce poruchy je ve tvaru: g ( E, R) = R E. R = θ n R E = θ E ρ + [ f / f ]. 2 2 ( πφ / 4) f h c φ / 2 0,5n( πφ / 4) y 2 ( p) L / 2. y c - 14 (16) -

15 Veliina Jednotky Rozdlení Stední hodnota Pevnost bet. v tlaku f c MPa Lognormální 24 4 Mez kluzu oceli f c MPa Lognormální Odchylka Délka nosníku L m Normální 0,9 0,005 Prmr výztuže m Deterministické 0,008 - Poet profil na 1m n - Deterministické 20 - Tlouška nosníku h m Lognormální 0,12 0,01 Krytí výztuže c m Beta 0,026 0,009 Faktor nejistoty u R R - Lognormální 1,1 0,05 Faktor nejistoty u E E - Lognormální 1 0,05 Hustota betonu MN/m 3 Normální 0,024 0,06 Zatížení p MN/m 2 Gamma (2 par.) 0,0008 0, (16) -

16 7 Studijní prameny 7.1 Seznam použité literatury [1] Teplý, B. Novák, D Spolehlivost stavebních konstrukcí (skriptum), Brno, vydavatelství CERM. 7.2 Seznam dopl kové studijní literatury [2] Novák, D., Voechovský, M. and Rusina, R FREET - Feasible Reliability Engineering Efficient Tool, User s and Theory guides. Brno/Cervenka Consulting, Czech Republic, Odkazy na další studijní zdroje a prameny [3] ICASP (1995; 1999; 2003, 2007). Proceedings from Int. Conf. on Application of Statistics and Probability (Paris, France; Sydney, Australia; San Francisco, USA; Tokyo, Japan) [4] ICOSSAR (1997; 2001; 2005). Proceedings from Int. Conf. on Structural Safety and Reliability (Kyoto, Japan; Newport Beach, USA; Rome, Italy) [5] Hasofer, A. M., Lind, N. C Exact and invariant second-moment code format. Journal of Eng. Mech. ASCE 100 (EM1), 1, [6] Madsen, H. O., Krenk, S., Lind, N Methods of Structural Safety. Prentice Hall, Englewood Cliffs. [7] Schuëller, G. I Structural reliability recent advances (Frudenthal lecture). In.: Proc. of Icossar 97, Vol. I. Balkema, Rotterdam, Legislativa, normy [8] EN 1990, Basis of structural design: Brussels, CEN [9] JCSS Probabilistic Model Code: Joint Committee on Structural Safety httt:// [10] ISO 2394 General Principles on Reliability for Structures, (16) -