LINEÁRNÍ ALGEBRA. Maticí typu m/n rozumíme skupinu m n komplexních čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců (m,n

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "LINEÁRNÍ ALGEBRA. Maticí typu m/n rozumíme skupinu m n komplexních čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců (m,n"

Naděžda Čechová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 LINEÁRNÍ LGER Micí p m/ romíme kpi m kompleích číel pořádých do m řádků lopců (m R ) To číl ýáme prk mice Očíme-li ij prek i-ém řádk j-ém lopci pk mici p m/ můžeme p e r: m m m Polopo mm e ýá hlí digoál Prk éo polopoi e ýjí digoálí SPECIÁLNÍ TYPY MTIC: ) Mice p m/ e ýá lopcoá ) Mice p / e ýá řádkoá ) Je-li m ýáme mici čercoo micí řád ) Čercoá mice e ýá jedokoá kdž má hlí digoále mé jedičk šde jide l Očjeme ji E

2 ) Čercoá mice řád e ýá digoálí jeliže má hlí digoále lepoň jede prek eloý oí prk jo ro le ) Mici O p m/ jejíž šech prk jo ro le ýáme loo micí ) Mice e ýá dolí rojúhelíkoá mice jeliže obhje pod hlí digoálo mé l Mice e ýá horí rojúhelíkoá mice jeliže obhje d hlí digoálo mé l 8) Sbmicí ik eme koo mici kerá ike mice echáím i-ého řádk k-ého lopce ) Trpooá mice T k mici ike mice k že měíme řádk mice lopce opk Jeliže je mice p m/ poom je mice rpooá p /m Plí ( ) T T ) Mice e ýá merická jeliže ) Mice e ýá imerická jeliže T T

3 OPERCE S MTICEMI: Nechť jo mice éhož p m/ čílo ) k R Poom: mjí-li ejé prk ejých poicích roo mic ) mice C je opě p m/ ike k že ečeme mic prk ejých poicích oče mic ) mice C k je opě p m/ ike k že kždý prek mice áobíme čílem k áobeí mice reálým čílem C kde Příkld : Vpočíeje mici ( ) T 8 8 Nechť je mice p m/ mice p /p Poom mice mic plí c ik j Poor! ij b jk i b k i b k i b k C je mice p m/p Pro oči T T T T T Plí: ( ) T T T T T ( )

4 Příkld : Vpočíeje oči mic Příkld : Vpočíeje oči mic [ ] 8

5 hodo mice Mimálí poče lieárě eáilých řádků mice p m/ eme hodoí éo mice Očjeme hod ( ) h ( ) Hodo loé mice je Řádkoými elemeárími rformcemi mice ýáme o úpr: ) Výmě do řádků ) Váobeí liboolého řádk čílem růým od l ) Přičeí k-áobk ( k R ) liboolého řádk k jiém řádk Podobě defijeme SLOUPCOVÉ ELEMENTÁRNÍ TRNSFORMCE Řekeme že mice jo ekileí le-li jed ich přeé drho koečým počem elemeárích rformcí Očjeme Dě mice keré mjí ejo hodo ýáme ekileími Pro mici p m/ plí: h( ) mi( m ) Řádkoými elemeárími rformcemi e hodo mice eměí Trpooáím e hodo mice eměí j i lopcoými elemeárími rformcemi e hodo mice eměí PRKTICKÝ VÝPOČET HODNOSTI MTICE: Pomocí elemeárích rformcí príme mici rojúhelíkoý (chodoý) r Vecháme loé řádk Poče eloých řádků éo mice je roe její hodoi Příkld : Určee hodo mic

6 C

7 Příkld : Jká může bý hodo mice pro růé hodo číl? ( ) ( ) 8 8 pro pro je ( ) hod je ( ) hod SOUVISLOST HODNOSTI MTICE S LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTÍ VEKTORŮ: Mějme ekor ( ) ( ) b b b ( ) r c c c Užjme mici c c c b b b echť ( ) h hod Jeliže r h pk jo ekor r lieárě eáilé Jeliže r h < pk jo ekor r lieárě áilé le ich br práě h lieárě eáilých ekorů Příkld : Zjiěe d jo ekor ( ) ( ) b ( ) c ( ) 8 d lieárě áilé ř ř ř ř ( ) < hod proo jo ekor lieárě áilé kokréě c b d

8 deermi Deermi čercoé mice řád jejíž prk jo kompleí číl je kompleí čílo Zčíme de ebo VÝPOČET DETERMINNTU: : : : požijeme Srroo pridlo : Pro deermi šších řádů NEPLTÍ logie předešlými ýpoč To deermi míme počí jik Několik možoí i kážeme: možo: Lplceů rooj deermi podle i-ého řádk i i k i Di i Di i Di kde Dik ( ) ik pro k D ik eme lgebrický doplěk k prk ik Obdobě můžeme defio Lplceů rooj podle liboolého lopce Pomocí Lplceo rooje můžeme počí deermi liboolého řád možo: Deermi rojúhelíkoé mice je roe oči prků hlí digoále K úprě deermi rojúhelíkoý r požijeme řádkoé či lopcoé elemeárí úpr míme le dbá ěkeré odlišoi: Vměíme-li deermi ájem d řádk (d lopce) deermi měí méko Váobíme-li JEDEN řádek (lopec) čercoé mice reálým čílem c poom deermi iklé mice je roe c Jiými lo polečého čiiele řádk (lopce) le ko před deermi Přičeme-li c-áobek ( c ) jedoho řádk (lopce) k jiém deermi e eměí možo: podle mého áor ejlepší bereme i řádek ebo lopec deermi e príme k b ěm ůlo jedo eloé čílo bek bl l Poé proedeme Lplceů rooj podle ohoo řádk (lopce)

9 DLŠÍ VLSTNOSTI DETERMINNTŮ: Má-li deermi d řádk (lopce) ejé je roe le Obhje-li jede řádek (lopec) deermi mé l pk je deermi roe le Deermi e roá le práě ehd kdž má řádk (lopce) lieárě áilé Trpooáím e deermi eměí j T Jo-li čercoé mice éhož řád pk j deermi oči do mic e roá oči deermiů ěcho mic Příkld : Vpočíeje deermi: Příkld : Vřeše roici ( ) ( ) ( )

10 Příkld 8: Vpočíeje deermi:

11 ierí mice Čercoo mici eme reglárí jeliže je její deermi eloý Jeliže poom eme čercoo mici iglárí Příkld : Určee čílo m k b mice m bl reglárí m ř ř m ( ) ( ) m m ř ( 8m ) m m 8 8m m K iglárí mici eeije mice ierí Ierí mice k mici (pokd eije) je micí rče jedočě (Tj k jedé reglárí mici emůže eio íce ierích mic) Ierí micí k reglárí mici je reglárí mice pro kero plí E Plí ( ) Nechť jo čercoé mice -ého řád Je-li lepoň jed mic iglárí pk je oči iglárí Jo-li obě mice reglárí je oči reglárí mice plí ( ) Výpoče ierí mice e obkle eproádí podle defiice Nejčěji e požíjí o d pop:

12 ď reglárí mice Poom mice k í ierí Mici eme djgoo ke čercoé mici jeliže kždý prek ik hrdíme jeho lgebrickým doplňkem ik D ko iklo mici rpojeme: D D D D D D D D D Příkld : Určee ierí mici k mici

13 Přeedeme-li řádkoými elemeárími rformcemi mici jedokoo mici E pk éž elemeárí rformce přeedo jedokoo mici E mici ierí Příkld : Určee ierí mici k mici ( ) 8 / E Micoé roice: E E Nechť je dá micoá roice rep pro eámo mici kde mice je reglárí mice je hodého p Řešeím éo roice je mice rep

14 Příkld : Určee mici micoé roice je-li o lieárích roic So m lieárích roic o eámých pijeme e r kde ij ýáme koeficie roice ýáme eámé roice i j b ýáme pré r roice ( i m j ) b b b m m m m Jo-li šech b poom e jedá o homogeí o lieárích roic i Je-li lepoň jedo číel b i růé od l poom e jedá o ehomogeí o lieárích roic

15 MTICOVÝ ZÁPIS SOUSTVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: b b kráceě můžeme pá m m m bm Řešeím o lieárích roic eme kždo pořádo -ici reálých číel ( ) po doeí do šech roic o o o ideick plňje kerá Liboolo o lieárích roic můžeme řeši GUSSOVOU ELIMINČNÍ METODOU: b Ze o lieárích roic eíme mici b / kero ýáme m m m bm rošířeo micí o To mici přeedeme ekileími úprmi mici rojúhelíkoém (chodoém) r Poče řešeí o jiíme rčeím hod ( ) hod ( / ) Z preé mice oříme oo o roic e keré dopočíáme jedolié eámé Ekileí úpr: Npáí roic liboolém pořdí Váobeí liboolé roice eloým čílem Přičeí liboolého áobk jedé roice k jié roici Vecháí roice kerá je áobkem jié roice Vecháí roice kerá je lieárí kombicí oích roic Frobeio ě: So m lieárích roic o eámých je řešielá (j má lepoň jedo řešeí) práě ehd kdž ( ) hod( ) hod / So je eřešielá práě ehd kdž hod ( ) hod( / ) Je-li hod ( ) hod( ) / (poče eámých) pk má o práě jedo řešeí Je-li hod ( ) hod( ) h < / pk má o ekoečě moho řešeí To řešeí jo áilá olbě h prmerů

16 Příkld : Goo elimičí meodo řeše o lieárích roic: ( ) ( ) 8 Příkld : Goo elimičí meodo řeše o lieárích roic: 8 8 Příkld : Goo elimičí meodo řeše o lieárích roic:

17 ( ) Řešeí o lieárích roic o eámých REGULÁRNÍ micí o: I Užiím ierí mice Nechť je dá o lieárích roic jejíž mice je reglárí Poom eije jedié řešeí II Crmeroo pridlo Nechť je dá o lieárích roic jejíž mice je reglárí Poom eije jedié řešeí ( ) kde k k k přičemž k je deermi mice kerá ike hreím k-ého lopce mice lopcem prých r Příkld : Užiím ierí mice řeše o lieárích roic:

18 Příkld : Užiím Crmero pridl řeše o lieárích roic: 8 ( ) ( ) 8 8 ( 8) 8 ( ) bod [ ] [ b b b ] ekor ( b b b ) ekoroá lgebr dimeioálím proor E Mějme bod [ ] [ b b b ] C [ c c c ] ekor ( ) ( ) w ( w w w ) i ( ) j ( ) k ( ) reálé čílo k Poom: eliko ekor oče ekorů ( ) rodíl ekorů ( ) k-áobek ekor k ( k k k ) opčý ekor k ekor ( ) dáleo bodů ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

19 řed S úečk S b b b b c b c b ěžišě T rojúhelík C T c klárí oči eliko úhl eloých ekorů co ϕ ekoroý oči ( ) i j k eliko úhl eloých ekorů i ϕ obh rooběžík P obh rojúhelík C P C míšeý oči ( w) objem rooběžoě V ( w) w w w objem čřě V ( w) eloé ekor eloé ekor jo rooběžé práě ehd kdž k jo kolmé ( ) práě ehd kdž k R { } loý ekor je ekor jehož šech ořdice jo ro jedokoý ekor je ekor jehož eliko je ro Příkld 8: Vpočíeje obh rojúhelík C je-li [ ] [ ] C [ ] ( ) C C ( ) i j k ( i 8 j) i j ( ) C k j k P C ( ) 88 j

20 Příkld : Vpočíeje objem čřě CD je-li [ ] [ ] C [ ] D [ ] ( ) C C ( ) D D ( ) ( C D) 8 ( ) 8 ( C D) j V lická geomerie lieárích úrů E I lická geomerie přímk: Smbolická roice přímk přímk je dá bod ; je liboolý bod ležící přímce ( ) R pro e jedá o roici polopřímk e jedá o roici polopřímk opčé k polopřímce e jedá o roici úečk Prmerické roice přímk ) přímk je dá děm bod [ ] [ b b b ] ( b ) ( b ) ( b ) R b) přímk je dá bodem [ ] rooběžý ekorem ( ) měroým ekorem přímk což je ekor R Koický r roice přímk jádříme prmer prmerické roice přímk doeme Implicií jádřeí přímk přímk je průikem do růoběžých roi b c d b c d

21 II lická geomerie roi: Smbolická roice přímk roi je dá ým jedím bodem [ ] ( ) ( ) děm lieárě eáilými ekor keré jo rooběžé do roio ( měroé ekor roi); je liboolý bod ležící roiě R Prmerická roice roi roi je dá ým bodem [ ] děm lieárě eáilými ekor ( ) ( ) R Obecá roice roi ) roi je dá ým bodem [ ] ( ) ( ) děm lieárě eáilými ekor b) roi je dá ým bodem [ ] ormáloým ekorem ( b c) [ ] je liboolý bod roi Plí b c ( ) ( ) ( ) b( ) c ( ) b c b c kráceě píšeme kde ; b c d Úekoý r roice roi ike obecé roice roi jeliže ejpre přeedeme d drho r roice poom celo roici dělíme čílem d bchom doli pré rě čílo ; eo r le přeé ) poe roi keré eprocháejí počákem ořdicoého ém (bodem [ ] p q r kde d p d q b r d c Číl p q r rčjí úek keré oách íá roi (průečík omi)

22 ) Vájemá poloh do přímek proor mimoběžk růoběžk rooběžk oožé přímk ) Vájemá poloh přímk roi přímk je růoběžá roio přímk je rooběžá roio přímk leží roiě C) Vájemá poloh do roi růoběžé rooběžé oožé Vájemá poloh liboolých do úrů e rčje k že e jií poče polečých bodů Tj poroáme roice obo úrů mei ebo Příkld : Určee ájemo poloh přímk p : roi : ρ R R r r r r r r r dodím do roice roi do So roic má práě jedo řešeí j přímk roio mjí práě jede polečý bod [ ] P proo jo růoběžé (přímk proíá roi) Příkld : Určee ájemo poloh přímk p : roi : ρ R ( ) ( ) ( ) 8 Roice emá řešeí j přímk roio emjí žádý polečý bod proo jo rooběžé

23 merické h přímek roi E odchlk do přímek ϕ kde prí přímk má měroý ekor drhá přímk má měroý ekor co ϕ odchlk přímk od roi kde přímk je dá měroým ekorem roi ormáloým ekorem i ϕ odchlk do roi kde prí roi je dá ormáloým ekorem drhá roi je dá ormáloým ekorem coϕ dáleo bod M od roi ρ kde : b c d ρ M [ ] ( M ρ ) b b c c d dáleo do rooběžých roi ρ : b c d σ : b c d ( ρ σ ) d d b c dáleo bod M od přímk p kde M [ ] přímk p je dá bodem [ ] měroým ekorem ( ) ( M p) M dáleo do rooběžek p q je ro dáleoi liboolého bod přímk p od přímk q ( p q) ( q) dáleo do mimoběžek: přímk p je dá bodem [ ] měroým ekorem ( ); přímk q je dá bodem [ b b b ] měroým ekorem ( ) ( p q) ( )

24 Příkld : Vpočíeje odchlk přímk p : od roi : ρ R R měroé ekor roi: ( ) ( ) ormáloý ekor roi: ( ) ( ) k j i j i k j k i k j i měroý ekor přímk: ( ) p ýpoče odchlk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i p p ϕ rci ϕ 8 ɺ ϕ Příkld : Určee dáleo bod [ ] od roi : ρ R prmerické roice roi oříme obeco roici roi: bď: ebo: ormáloý ekor roi ( ) (i Př ) liboolý bod ležící roiě př [ ] : d ρ ( ) : d d ρ d : ρ ( ) ρ

Podobné dokumenty

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí