Kinematika a dynamika tuhého tělesa

Transkript

1 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Kinematika a dynamika tuhého tělesa V této kapitole se soustředíme na rotační pohyb tuhého tělesa nebo tuhé soustavy hmotných bodů. Kinematiky tohoto pohybu se en dotkneme; soustředíme se na základní veličiny souviseící s dynamikou: moment hybnosti a moment setrvačnosti. Pod pomem rotuící těleso si můžeme představit setrvačník třeba dětskou káču. Zdálo by se že dětská hračka nemůže být nic komplikovaného ovšem opak e pravdou setrvačníky patří k nesložitěším partiím teoretické mechaniky. V tomto textu se proto budeme věnovat en věcem zcela základním i tak však dodeme k zaímavým a užitečným výsledkům. Otáčení tuhého tělesa kolem pevného bodu Z úvodního kurzu mechaniky umíme popsat otáčení tělesa kolem pevné osy. Pokud osa není pevná e popis rotačního pohybu mnohem složitěší. Obecně ovšem platí že akoukoli rotaci tělesa kolem pevného bodu můžeme v daný okamžik popsat ako rotaci kolem osy procházeící tímto bodem. K popisu natočení tělesa vůči inerciální (laboratorní) soustavě S se požívaí tzv. Eulerovy úhly a. Jeich význam ukazuí obrázky. eprve soustavu S otočíme kolem osy z o úhel. (Osy otočené soustavy zde označueme x y z.) Potom tuto novou soustavu otočíme kolem osy x o úhel. (ové osy po otočení označueme x y z.) nakonec eště soustavu otočíme kolem osy z o úhel. Výsledkem e nová soustava S tuto soustavu bereme ako pevně spoenou s rotuícím tělesem. Zdá se to být složité ale ve skutečnosti de o docela přirozený způsob ak popsat třeba rotuící setrvačník: Úhly a charakterizuí směr rotační osy z kolem ní se pak setrvačník točí při tomto otáčení s časem roste úhel. Při obecné rotaci se ovšem s časem mění všechny tři Eulerovy úhly a. Při popisu otáčení pomocí Eulerových úhlů se zdánlivě vůbec nevyskytue úhlová rychlost. Ve skutečnosti se ovšem složky vektoru úhlové rychlosti daí ednoznačně vyádřit pomocí Eulerových úhlů a eich časových derivací. Vztahy které vyadřuí složky úhlové rychlosti sou známé ako Eulerovy kinematické rovnice. My v tomto textu nebudeme Eulerovy kinematické rovnice bezprostředně potřebovat proto e zde nebudeme ani odvozovat ani konkrétně uvádět. Zmiňueme e spíš pro úplnost; pokud byste někdy narazili na trochu složitěší problém týkaící se rotace těles tak se bez eich využití patrně neobedete. Toto tvrzení e známo ako Dʼlembertova Eulerova věta. Ve skutečnosti de o dvoe rovnice. Jedny vyadřuí složky úhlové rychlosti x y z v inerciální soustavě S druhé dávaí úhlové rychlosti x y z v soustavě S spaté s rotuícím tělesem. Tak abyste věděli co si v učebnicích vyhledat a měli alespoň základní představu o souvislosti s Eulerovými úhly.

2 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Moment hybnosti Důležitou veličinou v dynamice rotuícího tělesa e moment hybnosti L. V úvodním kurzu klasické mechaniky sme se seznámili s tím ak určit eho složku do směru osy rotace 4. yní se podíváme aké sou všechny složky momentu hybnosti při rotaci tělesa kolem pevného bodu. Tento bod vezmeme za počátek O soustavy souřadnic; daná soustava S e nerotuící tedy inerciální. Jeí souřadnice budeme označovat x x x. Moment hybnosti budeme počítat pro tuhou soustavu hmotných bodů. 5 Hmotnosti bodů budeme označovat m eich polohové vektory r (a složky těchto polohových vektorů x( k) x( k) x ) eich rychlosti ( k) v. Index k přitom číslue hmotné body; e li eich celkový počet e k. Celkový moment hybnosti e dán součtem hybnosti všech hmotných bodů: L L k (9.) Moment hybnosti hmotného bodu e L r p m r v ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k). (9.) Pro rychlost hmotného bodu v rotuícím tělese přitom platí v r. (9.) ( k) ( k) Dosazení (9.) do (9.) dává 6 L( k) m( k) r( k) r( k) m ( k) r( k) r( k) r( k) r( k). (9.4) V úvodním kurzu klasické mechaniky sme z tohoto vztahu určili průmět L do směru vektoru. yní určíme moment hybnosti obecně a to ve složkách. i tá složka (9.4) e 7 L( k) i m ( k) ir( k) r( k) x( k) ir( k). (9.5) m( k) ir( k) x( k) ix( k) m ( k) r( k) x( k) i x( k) yní už můžeme sečíst momenty hybnosti všech bodů navíc můžeme z celého vztahu vytknout: L L( k) m( k) r( k) x( k) i x( k) m( k) r( k) x( k) i x( k) k k k (9.6) 4 Pro připomenutí: Tato složka e L J kde J e moment setrvačnosti vzhledem k dané ose a ω e úhlová rychlost. 5 Tedy soustavu hmotných bodů eichž vzdálenosti se s časem nemění. Odvození e v tomto případě možná poněkud názorněší než v případě tuhého tělesa. Pro tuhé těleso pak ednoduše od sčítání přes všechny hmotné body předeme k obemovému integrálu. a bc b ac c ab. 6 Při úpravě používáme populární vzorec bac cab tedy 7 Při úpravě sme využili že lze zapsat i.

3 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Tenzor setrvačnosti Výraz v hranaté závorce v (9.6) nezávisí na úhlové rychlosti en na hmotnostech a polohách hmotných bodů tedy na rozložení hmotnosti v soustavě hmotných bodů resp. v tuhém tělese. Je tedy přirozené zavést pro tento výraz speciální označení: ( k) ( k) ( k) i ( k) k J m r x x (9.7) Veličiny J sou složky tenzoru setrvačnosti. Indexy i a maí hodnoty od do. Složky J maí dva indexy de tedy o tenzor druhého řádu. 8 Z (9.7) vidíme že de o tenzor symetrický (vzhledem k záměně indexů) tedy že platí J J. (9.8) V případě tuhého tělesa v němž e látka rozložena spoitě s hustotou r i místo sčítání přes všechny hmotné body integrueme přes obem a složky tenzoru setrvačnosti sou analogicky k (9.7) dány vztahem J r x x dv. r i V Známe li tenzor setrvačnosti e z (9.6) vidět že moment hybnosti e dán ednoduchým vztahem 9 (9.9) L J. (9.0) i Pomocí tenzoru setrvačnosti lze také ednoduše vyádřit kinetickou energii rotuícího tělesa. Je totiž 0 ( k) v( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) T m m r r m r r k k k m( k) r( k) r( k) L ili J k i i kde sme při poslední úpravě dosadili (9.0). Je tedy T J i i (9.) Je užitečné porovnat vztahy které sme v úvodním kurzu mechaniky odvodili pro rotaci tělesa kolem pevné osy s výše odvozenými obecnými vztahy využívaícími tenzoru setrvačnosti. Vztahy (9.0) 8 Tenzory sme poznali iž v úvodním kurzu mechaniky (vzpomeňte si na tenzor napětí). Obecně de o veličiny které maí více indexů a eich složky se při transformaci soustavy souřadnic transformuí specifickým způsobem: Platí li pro transformaci souřadnic x ax e J a a J. i il l l il m lm l m 9 Poznameneme že často se v zápise užívá Einsteinovo sumační pravidlo (sčítá se přes opakuící se indexy) takže se nepíše suma a vztah (9.0) se zapíše prostě Li J. 0 Rychlost hmotného bodu vyadřueme pomocí (9.) při úpravě smíšeného součinu používáme vztah a bc b c a přitom a r ( k b c r ).

4 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 a (9.) přitom iž budeme psát pomocí Einsteinova sumačního pravidla tedy bez explicitního vyznačení sčítání: Rotace kolem pevné osy Obecné vztahy (rotace kolem pevného bodu) L J i L J T J T J i Vidíme že obecné vztahy sou vlastně en přirozeným zobecněním vztahů pro rotaci kolem pevné osy. V uvedené tabulce L znamená průmět momentu hybnosti do směru rotační osy: L L (9.) Do (9.) můžeme ovšem dosadit z (9.0) a dospět k dalšímu zaímavému výsledku. Je totiž L L L J J J. ii i i i Z porovnání se vztahem L J vidíme že moment setrvačnosti vzhledem k ose dané ednotkovým vektorem e J J (9.) i To znamená že známe li složky tenzoru setrvačnosti (vzhledem k danému pevnému bodu) můžeme určit moment setrvačnosti vzhledem k libovolné ose (procházeící daným bodem). Význam složek tenzoru setrvačnosti Tenzor setrvačnosti tak ak sme ho zavedli nám dosud může připadat možná trochu abstraktně. Podíveme se proto aký význam maí eho složky zeména diagonální složky tedy složky J J J. Proč mluvíme o diagonálních složkách? Protože složky tenzoru můžeme zapsat do formy tabulky resp. čtvercové matice 4 J J J J J J. (9.4) J J J Jaká e tedy konkrétně složka J? Ze vztahu (9.7) pro i= = dostáváme Při úpravách využíváme toho že. (Uvědomte si že takto sme v úvodním kurzu mechaniky zaváděli vektor úhlové rychlosti.) Psáno iž opět s využitím Einsteinova sumačního pravidla. To není špatné že? 4 Díky (9.8) e to matice symetrická. 4

5 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) J m r x x m x x x x ( k) ( k) ( k) k k m( k) x( k) x( k) m( k) R( k) Josa x k k (9.5) kde R sou vzdálenosti bodů od osy x. Vidíme že složka J tenzoru setrvačnosti e rovna momentu setrvačnosti vzhledem k ose x. Podobně e tomu pro složky J a J. To znamená že diagonální složky tenzoru setrvačnosti sou rovny momentům setrvačnosti vzhledem k příslušným osám. Pro nediagonální složky tenzoru setrvačnosti plyne z (9.7) ( k) ( k) i ( k) k J m x x i. (9.6) Tyto složky nazýváme deviační momenty. Pro hmotné body symetricky rozložené vzhledem k osám souřadnic 5 budou deviační momenty nulové ak ukazue příklad na obrázku vpravo. Body na něm zobrazené tvoří činku. Ze vztahu (9.6) se můžeme přesvědčit že všechny složky J J J sou rovny nule. Také e zřemé že při rotaci kolem kterékoli z os x x x tato činka nehází (ve smyslu nevyváženého kola). aopak sou li deviační momenty nenulové odpovídá to nevyváženému kolu které hází. Příklad opět vidíme na obrázku. (Jeden bod činky e nad rovinou x x druhý pod ní. Představte si že se takovýto obekt točí kolem osy x. 6 ) Vidíme tedy že deviační momenty v istém smyslu vystihuí nevyváženost rotuícího tělesa. O vyváženost či nevyváženost de ovšem vždy vůči určitým osám. 7 ešlo by vhodným natočením systému souřadnic vůči tělesu dosáhnout vyvážení tedy toho aby deviační momenty byly nulové? Opravdu to lze! Díky tomu že tenzor setrvačnosti e symetrický lze dokázat že vždy existue soustava souřadnic v níž má pouze diagonální složky. 8 Osy této soustavy souřadnic se nazývaí hlavní osy tenzoru setrvačnosti. Bývá zvykem označovat diagonální složky tenzoru setrvačnosti v této soustavě ako B C: 0 0 J 0 B 0 (9.7) 0 0 C J J B J C. t. 5 Rozložení hmotných bodů zde popisueme poněkud vágně fakticky de i o eich hmotnosti. Z příkladů však bude asné co máme na mysli. 6 Pokud vám představa nestačí tak si ho prakticky sestrote a roztočte. Budete li osu rotace držet v rukou ucítíte nevyváženost takového tělesa vlastníma rukama. 7 V příkladě výše šlo o tutéž činku en byla inak natočena vůči osám. 8 Při důkazu lze využít poznatek z algebry že každou reálnou symetrickou matici lze transformací P P kde P e ortogonální matice převést na matici diagonální. Daná transformace e právě transformací složek tenzoru při otočení soustavy souřadnic. 5

6 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Eulerovy dynamické rovnice Jak sestavit pohybovou rovnici pro pohyb rotuícího tělesa? Východiskem nám bude druhá věta impulsová: dl M dt (9.8) Moment hybnosti L rozepíšeme do složek v soustavě Sʼ spoené s tělesem 9 0 : L L e J e i i i (9.9) Zde J sou složky tenzoru setrvačnosti v soustavě Sʼ složky úhlové rychlosti v Sʼ. Při úpravě využíváme obecný vztah (9.0) v soustavě Sʼ tedy Li J. Protože v soustavě Sʼ se těleso nepohybue sou složky J konstantní. e i sou vektory báze soustavy Sʼ rotuí tedy s tělesem. Pro eich časovou změnu proto platí dei ei. (9.0) dt Derivací (9.9) podle času dostáváme dl d d dei J e i J e i J dt dt dt dt (9.) J e J e J e J e i i i m m Dosazením do (9.8) získáme J e J e M (9.) i m m Z této vektorové rovnice nyní vezmeme en i tou složku. Přitom pro složku vektorového součinu platí e e. i tá složka rovnice (9.) v Sʼ e tedy m i ikn k m n ikn k mn ikm k J J M. (9.) m ikm k i 9 a první pohled se zdá že by bylo ednodušší rozepsat L do složek v inerciální soustavě S ako Li J dli rovnici (9.8) psát ako Mi dt a L i do ní dosadit. Ovšem protože těleso rotue (eho pohyb může být i dost složitý) složky tenzoru setrvačnosti J v soustavě S se mění s časem a tím by se vše komplikovalo. (Museli bychom explicite zapisovat ak se složky tenzoru setrvačnosti transformuí ze soustavy tělesa do S.) 0 adále používáme Einsteinovo sumační pravidlo takže ve vztahu (9.9) a dalších nepíšeme apod. Tento vztah sme využívali v úvodním kurzu klasické mechaniky při odvozování setrvačných sil v rotuících soustavách; de vlastně o vztah dr v r kde místo polohového vektoru r e e i. dt Při úpravách využíváme (9.0) časovou derivaci značíme tečkou nad symbolem a v posledním členu kvůli přehlednosti dalších úprav přemenováváme index i na m. V úpravě využíváme vztah vyadřuící vektorový součin ve složkách: ab iknak bn kde ikn e Levi Civitův symbol. 6 i

7 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Pro přehlednost lze členy v rovnici trochu přeuspořádat: J ikm k Jm Mi a eště přemenovat některé indexy aby rovnice vypadala hezčí : J J M (9.4) k km m i Toto už sou pohybové rovnice pro rotaci tuhého tělesa 4. (Jde o tři rovnice pro i.) Je ale výhodné napsat e v takové soustavě Sʼ v níž tenzor setrvačnosti e diagonální (viz (9.7)) tedy v níž platí J J B J C J 0 pro i (9.5) První složka (i=) rovnic (9.4) e pak J J J M po dosazení (9.5) a hodnot 5 k dostaneme C B M. (9.6) Pro i= a i= dostaneme steným způsobem další dvě rovnice; fakticky e můžeme dostat z (9.6) cyklickou záměnou. Výsledkem sou rovnice BC M B C M C B M (9.7) známé ako Eulerovy dynamické rovnice. Pokud bychom chtěli určit pohyb rotuícího tělesa obecně dosadili bychom za složky i z Eulerových kinematických rovnic a získali bychom pohybové rovnice pro Eulerovy úhly. 6 aštěstí v některých případech lze Eulerovy rovnice řešit i ednodušei ak ukáže následuící příklad. 4 My zde tuto rovnici důsledně píšeme s čárkami u všech veličin abychom zdůraznili že de o složky v soustavě Sʼ spoené s tělesem. V řadě učebnic se v některé fázi odvození pro stručnost čárky přestanou psát; někdy dokonce bez výrazného upozornění. Buďte si toho vědomi pokud budete porovnávat naše odvození s příslušnými partiemi v učebnicích teoretické mechaniky. 5 Připomeňme že a. 6 Obecně by ale vyšla soustava nelineárních navzáem provázaných rovnic. Ta by šla řešit numericky pomocí počítače ale analyticky t. s tužkou a papírem můžeme doufat v řešení maximálně ve speciálních případech. Jak už sme konstatovali výše setrvačníky sou ednou z nesložitěších partií klasické mechaniky 7

8 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Příklad: Volný symetrický setrvačník Uvažume setrvačník ehož momenty setrvačnosti vzhledem k osám x a x sou stené tedy B. Může ít například o setrvačník zobrazený na obrázku vpravo. avíc setrvačník bude volný to znamená že na ně nepůsobí žádné vněší síly. Složky momentu síly na pravé straně rovnic (9.7) sou proto rovny nule. Eulerovy dynamické rovnice pro takovýto setrvačník tedy sou C (9.8) 0 0 C (9.9) C 0. (9.0) Z rovnice (9.0) okamžitě plyne že e konstantní; označme tuto konstantu deme tomu : konst. (9.) Rovnice (9.8) a (9.9) po dosazení (9.) daí C (9.) C. (9.) Označíme li C (9.4) zderivueme (9.) (tedy ) podle času a do výsledku dosadíme (9.) (tedy ) dostaneme neboli rovnici Jeí obecné řešení umíme napsat:. 7 (9.5) 0 acos t 0 a z rovnice (9.) pak určit asin t. Přitom a e libovolná konstanta; 0 konstantu bychom mohli bez úmy na obecnosti zvolit rovnu nule. Výsledné vztahy 0 ako 8 acos asin 0 t0 t určuí ak se s časem mění složky úhlové rychlosti v systému Sʼ neboli ak se vektor úhlové rychlosti pohybue vůči rotuícímu tělesu tedy vůči setrvačníku. Z (9.6) vidíme konec vektoru úhlové rychlosti opisue kružnici ak to ukazue obrázek. Lze také říci že vzhledem k tělesu obíhá s úhlovou rychlostí Ω po plášti kužele. (9.6) 7 tedy rovnici která má stený tvar ako stará dobrá známá rovnice pro lineární harmonický oscilátor. 8 Z (9.) e 8

9 K přednášce UFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text verze 0 9. Kinematika a dynamika tuhého tělesa Leoš Dvořák MFF UK Praha 04 Můžeme také určit ak se v soustavě Sʼ pohybue vektor L. Jeho složky můžeme určit z úhlové rychlosti a tenzoru setrvačnosti (viz (9.0)) ako L L a L. Po dosazení (9.6) dostaneme L acos t0 L asint0 (9.7) L C Vektor L se tedy v soustavě Sʼ spaté s rotuícím tělesem také pohybue po plášti kužele opět obíhá s úhlovou rychlostí Ω. Ze srovnání (9.7) a (9.6) e navíc vidět že osa x vektor a vektor L leží v edné rovině viz obrázek. Ze získaného výsledku můžeme dokonce určit ak se setrvačník pohybue vůči nerotuícímu (laboratornímu) tedy inerciálnímu systému S. Protože moment sil e nulový musí se totiž moment hybnosti zachovávat: L konst. (9.8) Vektor L tedy vůči inerciálnímu systému zachovává pevný směr a naopak vektor a osa x (tedy osa setrvačníku) kolem tohoto pevného směru obíhaí s úhlovou rychlostí Ω. Tomuto evu říkáme 9 0 precese setrvačníku. 9 Samozřemě může nastat i případ kdy osa setrvačníku a směry úhlové rychlosti a momentu hybnosti splývaí tomu odpovídá hodnota konstanty a 0. 0 Pohyb osy setrvačníku a vektorů a L lze také popsat tak že se po sobě valí dva kužele osou ednoho e osa setrvačníku osou druhého vektor L. Vektor má směr přímky na níž se oba kužele dotýkaí. V učebnicích proto můžete narazit na zaímavě zněící názvy polhodiový a herpolhodiový kužel. My zde dále tuto geometrickou představu rozvíet nebudeme zmiňueme i spíše pro úplnost kdybyste na dané názvy narazili. 9