Analýza signálů technikou Waveletů

Transkript

1 Analýza signálů tecnikou Waveletů Piecota, Hynek 1 1 Ing., Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, ynek.piecota@vsb.cz, ttp:// 1 Abstrakt Teorie analýzy signálů představuje účinný prostředek ke zkoumání vlastností reálnýc systémů, protože signály zprostředkovaně obsaují informace o tecnickém stavu zařízení. Metod pro vyodnocení těcto signálů je velké množství. Tento příspěvek se zaměřuje na metody analýzy signálů vycázející z transformace wavelet, které se uplatňují v případec, kdy nevystačíme s výsledky frekvenční analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase. Jsou převážně vodné pro zkoumání neperiodickýc tj. nestacionárníc signálů. Přitom jde o analýzu signálů či dvojrozměrnýc obrazů, jejic syntézu, kompresi a filtraci včetně odstraňování šumů ze signálů. 2 Transformace wavelet Transformace wavelet (dále WT) patří mezi časově frekvenční transformace. Spojitá wavelet transformace je definována rovnicí (1). Signál je při této transformaci rozložen do sady funkcí, tzv. waveletů. () t ψ (, s t) C ( τ, s) = f τ, dt (1) τ s ( τ, s,t) časové posunutí měřítko ψ wavelet f () t analyzovaný signál ( s) C τ, koeficienty transformace wavelet Výpočet této transformace lze zjednodušeně popsat ve čtyřec krocíc: 1. Vybere se vodný wavelet a nastaví se jako mateční. 2. Wavelet se porovná s analyzovaným signálem. Vypočítá se koeficient waveletu (koeficient sody). Čím je koeficient větší, tím je větší soda waveletu (při daném posunutí a měřítku) se signálem. 3. Wavelet se posune vzledem k signálu (časové posunutí) a opakuje se krok 2. Krok 3 se provádí pro všecna časová posunutí. 4. Změní se měřítko waveletu (dojde k roztažení waveletu) a opakují se kroky 2 a 3. Opakování se provádí pro všecna měřítka. Výše uvedený postup je znázorněn na obr. 1, obrázky byly převzaty z [Misiti 1996]. Koeficienty WT pro všecny celočíselné odnoty měřítka a poloy tvoří funkci, kterou lze znázornit graficky. Na obrázku obr. 4 jsou zobrazeny koeficienty WT pro sinusový signál s malou nespojitostí z obr. 2. Osa x

2 reprezentuje časové posunutí waveletu k signálu, osa y pak měřítko resp. frekvenci matečnío waveletu a barva vyjadřuje odnotu WT v každém bodě. Z obrázku 4 lze například jednoznačně určit čas výskytu nespojitosti, kterou bycom z FFT spektra nezjistili, viz obr krok výpočtu 3. krok výpočtu 4. krok výpočtu Obr. 1 Postup výpočtu transformace wavelet nespojitost Obr. 2 Sinusový signál s malou nespojitostí Obr. 3 FFT spektrum Obr. 4 Koeficienty WT Vedle spojité transformace wavelet (CWT), která se provádí na diskrétním souboru dat pro všecny celočíselné odnoty měřítka a poloy existuje i diskrétní WT (DWT), u které se používají tzv. lavní měřítka (mocniny dvou). Vedle těcto dvou typů WT existuje i třetí nazývaná ryclá WT (FWT), u níž se používají pyramidové algoritmy výpočtu WT. Tyto algoritmy provádějí rozklad signálu na složky o nízké frekvenci označované A (approximations) a složky o vyšší frekvenci, označované D (details). Pro rozklad se využívají konvoluční funkce, které vytvářejí výstupní vektor dat poloviční délky původnío vektoru. Rozklad si lze také znázornit jako použití filtru orní propust pro získání koeficientů D a filtru dolní propust pro získání koeficientů A, viz obr. 5. Tento rozklad se dále aplikuje na vektor A (můžeme si jej představit jako vylazený signál S), čímž opět získáváme složky o nízké a vysoké frekvenci. Počet těcto rozkladů udává celočíselná odnota nazývaná ladina rozkladu. Rozklad signálu S na ladině rozkladu =3 je zobrazen na obr. 6. Obr. 5 Rozklad signálu Obr. 6 Rozklad signálu pro =3 Výpočet inverzní WT je proveden otočením procedury. Získání původnío signálu z vypočtenýc koeficientů WT lze popsat rovnicí (2).

3 S = A + (2) 1 + D1 = A2 + D2 + D1 = A3 + D3 + D2 D1 3 Detekce nespojitostí Oproti Fourierově transformaci umožňuje Wavelet transformace přesně detekovat okamžik změny v nespojitém signálu, je tedy vodná pro případy, kdy nevystačíme s výsledky kmitočtové analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase. Na obrázcíc obr. 2 až obr. 4 byla již v kapitole 2 ukázána možnost detekce nespojitosti pomocí vypočtenýc koeficientů WT. Detekci okamžiku nespojitosti můžeme detekovat také pomocí rozkladu signálu do složek a a d, podle příslušnéo algoritmu FWT. Obrázek obr. 7 ukazuje detekci okamžiku změny v nespojitém signálu. Pro analýzu signálu s byl použit wavelet db5 na ladině rozkladu = 5. Na obrázku je znázorněn rozklad do nízkofrekvenční složky a 5 a složek vyššíc frekvencí d 1 až d 5. Protože nespojitost obsauje vyšší frekvenční složky, ukazuje složka d 1 nejpřesněji nespojitost v signálu a to s dostatečnou přesností. Jak již bylo zmíněno dříve, pomocí Fourierovy analýzy by nebylo možné detekovat nespojitost u podobnýc signálů. Obr. 7 Detekce nespojitosti v signálu 4 Filtrace a odstraňování šumu signálu Další výraznou vlastností wavelet transformace je možnost filtrace a odstranění šumu ze signálů. Šum je náodný signál, který souvisí s cybou měření a vyodnocování, jako je například šum A/D převodníku a zaokroulovací šum aritmetickýc operací, nebo dalšími zcela náodnými jevy. Jeo odstranění je vodné zejména z důvodu snížení množství dat potřebnýc k vyodnocení, protože šum nenese informaci o cování a vlastnostec měřené soustavy. Odstraňování šumu bylo provedeno na záznamu vibrací převodovéo agregátu a to pro čtvrtý ryclostní stupeň s převodovým poměrem nací/nané 40/39. V záznamec se objevuje odezva záběru nejen zmíněnéo ozubenéo kola s 40 zuby, ale také odezvy záběru dalšíc ozubenýc kol převodovky a šum měření.

4 Jak lze pomocí wavelet transformace odstranit ze signálu šum, ukazuje obr. 8. K analýze byl využit wavelet db3 (wavelet třídy Daubecies se třemi koeficienty) na ladině rozkladu = 6. Postup odstranění šumu ze signálu: Obr. 8 Odstraňování šumu ze signálu vybere se vodný matečný wavelet a ladina rozkladu vypočítá se rozklad signálu na ladinác 0 až 1 pro ladiny detailů d 1 až d se stanoví prá omezení a aplikuje se proces odstranění podpraovýc odnot detailníc koeficientů provede se zpětná rekonstrukce, která je založena na použití původníc aproximovanýc koeficientů ladiny a modifikovanýc detailníc koeficientů z ladin 0 až 1 signálu. Na obr. 9 je zobrazen originální signál a signál bez šumu z obr. 8 ve zvětšeném měřítku. Z tooto obrázku lze rozeznat, že došlo k odstranění vysokofrekvenčníc složek, šumu.

5 Obr. 9 Originální signál (plná čára) a signál bez šumu (tečkovaná čára) 5 Závěr V příspěvku byly předvedeny možnosti využití Wavelet transformace ke zpracování signálů. Tato metoda je převážně vodná pro zkoumání neperiodickýc tj. nestacionárníc signálů. Přitom jde o analýzu signálů či dvojrozměrnýc obrazů, jejic syntézu, kompresi a filtraci včetně odstraňování šumů ze signálů. Wavelet transformace má dobré rozlišení jak pro vysokofrekvenční, tak i nízkofrekvenční části signálu. Svým určením je podobná Fourierově transformaci, která je však vodnější pro periodické signály. Wavelet transformaci je vodné aplikovat například při ledání bodu zlomu, nespojitosti či trendu signálu, který vykazuje jen malé změny. Oproti Fourierově transformaci umožňuje Wavelet transformace přesně detekovat okamžik změny trendu, popřípadě jeo časové derivace v nespojitém signálu, je tedy vodná pro případy, kdy nevystačíme s výsledky kmitočtové analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase. 6 Literatura BURRUS, C. S., GOPINATH, R. A. & GUO, H Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer. Prentice Hall, s. ISBN MISITI, M., MISITI, Y., OPPENHEIM, G. & POGGI, J-M Wavelet Toolbox User s Guide. Te Mat Works, Inc s. NEWLAND, D. E An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis. 3 rd ed. Longman Scientific & Tecnical, s. ISBN SMUTNÝ, J Transformace wavelet a její využití při zpracování signálů. Automatizace, 1998, č. 10, s ISSN X TŮMA, J Zpracování signálů získanýc z mecanickýc systémů užitím FFT. 1. vyd. Praa : Sdělovací tecnika, s. ISBN