( ) Sčítání vektorů. Předpoklady: B. Urči: a) S. Př. 1: V rovině jsou dány body A[ 3;4]

Transkript

1 722 Sčítání ektorů Předpoklady: 7201 Př 1: V roině jso dány body A[ 3;4], [ 1;1] B Urči: a) S AB b) = B A a) S AB ( ) a1 + b a2 + b ; = ; = 2; b) = B A = [ 1;1] [ 3; 4] = ( 2; 3) Pedagogická poznámka: Žáci, kteří se yloženě nepřiprají na hodiny, mají problém s tím, že si jim pleto postpy pro střed a ektor ( nejhorších případech dokonce ani neočekáají pro S AB dojici sořadnic a získají sčítáním jedno číslo) Opakjeme proto střed je průměr krajních bodů, ektor je jejich rozdíl Př 2: Kromě bodů A[ 3;4], B[ 1;1] leží roině ještě bod [ 1; 2] = C B a w = C A Načrtni obrázek bodů A, B a C [ 1;1] [ 3; 4] ( 2; 3) [ 1; 2] [ 1;1] ( 2; 3) [ 1; 2] [ 3; 4] ( 4; 6) = B A = = = C B = = w = C A = = C Urči ektory: Vektory = B A a = C B jso shodné posntí z A do B je stejné jako posntí z B do C bod B je střed úsečky AC C B A Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika Upozorňji je tedy na začátk hodiny, že se jim bde opatrnost matematiků zdát přehnaná, ale že tímto způsobem se matematice zkrátka pracje 1

2 Př 3: Na obrázk jso nakresleny ektory se sořadnicemi ( 4;2), ( 0; 3), ( ) ( 1; 3) Přiřaď ektorům jejich sořadnice a f y e 4;2 a d c b x Vektor a má kladno x-oo složk a záporno y-o složk a = ( 1; 3) Vektor b má záporno x-oo složk a kladno y-o složk b = ( 4;2) Vektor c má nloo x-oo složk a záporno y-o složk c = ( 0; 3) Vektor d má kladno x-oo složk a kladno y-o složk d = ( 4;2) Vektor e má nloo x-oo složk a záporno y-o složk e = ( 0; 3) Vektor f má kladno x-oo složk a nloo y-o složk neodpoídá žádném ze zadaných ektorů Máme ž zaedeno množin ektorů, teď potřebjeme nějaké operace (stejně jsme si prním ročníků zaedli množin racionálních čísel a pak si pro ni nadefinoali sčítání zlomků) Sčítání ektorů Známe z fyziky pomocí ronoběžník sil nebo skládáním ektorů za sebe 2

3 Př 4: Jso dány ektory = ( 3;2) a = ( 1;3 ) Zakresli oba ektory a rči graficky jejich sočet (ektor + ) Najdi ztah, který by možnil rčit jejich sočet početně pomocí sořadnic y G x -2 Sořadnice ektor + : ( 2;5 ) Zdá se, že platí: + = ( 1; 2 ) + ( 1; 2 ) = ( 1 + 1; ) Oěříme ztah pro naše ektory: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) + = 3;2 + 1;3 = ;2 + 3 = 2;5 Pedagogická poznámka: Zápisy ( ; ) ( ; ) ( ; ) + = + + požíám schálně Snažím se tím posiloat nímání ektorů jako spořádaných dojic čísel, slabší stdenti mají tendenci obě složky separoat a nímat zlášť Troch exaktněji: Sočet ektorů = B A a = C B je ektor + = C A C + B A Tato definice ( podstatě skládání ektorů za sebe) platí ždy, neboť pro každý ektor můžeme zolit takoé místění, aby konečný bod ektor byl počátečním bodem ektor = ; = ; platí Pro každé da ektory ( 1 2 ) a ( 1 2 ) + = ( ; ) + ( ; ) = ( + ; + )

4 Pro každé da ektory = ( 1; 2; 3 ) a = ( 1; 2; 3 ) + = ( ; ; ) + ( ; ; ) = ( + ; + ; + ) platí Skělé je, že sčítání ektorů realizjeme jako sčítání jejich sořadnic Př 5: (BONUS) Dokaž pomocí sořadnic bodů zorec pro ýpočet sořadnic sočt ektorů Stačí pro jedn ze sořadnic: = B A = b a = C B 1 = c1 b1 w = + = C A w = c a = c b + b a = Jaké má sčítání ektorů lastnosti? Je komtatiní pro každé da ektory, platí + = w = + + w Je asociatiní pro každé tři ektory,, w platí ( ) ( ) Obojí je možné dokázat ze sořadnic i obrázkem Sčítání ektorů je komtatiní Sčítání ektorů je asociatiní w +w + ++w + Vektor rčený nloo orientoano úsečko se nazýá nloý ektor a označje se o Jeli = B A, nazýá se ektor A B opačný ektor k ektor a označje se Př 6: Doplň následjící ěty: a) Pro každý ektor platí + = o b) Pro každý ektor platí ( ) + = a) Pro každý ektor platí + o = + = o b) Pro každý ektor platí ( ) 4

5 Př 7: Urči roině sořadnice ektorů: a) o b) (pokd platí = ( ; ) ) 1 2 a) o = ( 0;0) b) = ( ; ) (pokd platí = ( ; ) 1 2 Podobně prostor: o = 0;0;0 ) 1 2 ( ) ( ; ; ) (pokd platí = ( ; ; ) = ) Stejně jako při sčítání čísel platí: + ( ) = Př 8: Jso dány ektory = ( 1; 2;3) a = ( 3; 2;2) ( 1; 2;3) ( 3; 2; 2) ( 1 3; 2 [ 2 ];3 2) ( 2;0;5) ( 1;2;3 ) ( 3; 2;2) ( 1 3;2 [ 2 ];3 2) ( 4;4;1) ( 3; 2; 2) ( 1; 2;3) ( 3 [ 1 ]; 2 2; 2 3) ( 4; 4; 1) + = + = = = = = = = = Podle očekáání jso ektory a nazájem opačné Vypočti jejich sočet a rozdíly Pedagogická poznámka: Pokd se stdenti snaží zkrátit zápis doporčji jim opět = 3; 2; 2 1; 2;3 = 4; 4; 1 Odečítání jednotliých složek zládno ( ) ( ) ( ) snadno z paměti a bdo mít lepší přehled o tom, jak k sobě sořadnice patří Př 9: Na obrázk jso nakresleny ektory a Nakresli do obrázk ektor - - 5

6 Př 10: Vyjádři pomocí ektorů a ektor w Výsledek zdůodni w Poronáním s předchozím obrázkem idíme, že platí w = Důody: Vektory a w toří ronoběžník sil s ýslednicí = + w w = Z obrázk je idět, že ektor w má i ýznam změny ektor na ektor w = (změna = konečný počáteční sta) Pedagogická poznámka: Někteří stdenti nakreslí ektor ihned způsobem požitým příkladě 7, pro ně nemá tento příklad alný ýznam Je jich šak minimm Předchozí da příklady poažji za žitečné Stdenti se s nimi často setkáají, ale mnohdy jim nejso příliš jasné Př 11: Je dán praidelný šestiúhelník ABCDEF Označ = C A, = B D a w = F B Urči ektor + + w E F A w D C B Z obrázk je zřejmé, že jiným možným místěním ektor je orientoaná úsečka FD + + w = o Pedagogická poznámka: Nejětší problém dělá stdentům při řešení příklad spráné yznačení směr ektorů (kreslí šipky obráceně) Př 12: Petákoá: strana 100/cičení 13 strana 101/cičení 22 Shrntí: Sořadnice sočt ektorů získáme jako sočet sořadnic sčítaných ektorů 6