Motivace nadaných žáků a studentů k řešení úloh pomocí ICT
|
|
- Dana Jarmila Müllerová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Motivace nadaných žáků a studentů k řešení úloh pomocí ICT Anotace Motivating gifted pupils and students to solve problems using ICT David Nocar, Eva Bártková Příspěvek prezentuje jeden ukázkový příklad řešení úlohy řešitelné různými způsoby, z nichž jeden je realizovatelný pouze s využitím ICT. Využívání ICT ve výuce tak motivuje nadané žáky a studenty k hledání dalších nových způsobů řešení, které bez využití ICT nejsou realizovatelné. Abstract The contribution presents an example of problem solution solved in different ways, one of which is realizable only using ICT. The use of ICT in education can motivate gifted pupils and students to seek other new solutions, without the use of ICT unrealizable. Klíčová slova nadaní žáci a studenti, řešení úloh s využitím ICT Key words gifted pupils and students, solving problems using ICT Péče o matematicky nadané žáky patřila především v minulosti k důležitým úkolům jak Ministerstva školství mládeže a tělovýchovy, tak celé školské soustavy. V minulosti se často vytvářely různé zájmové kroužky, pořádaly letní školy, tábory zaměřené na matematicky talentovanou mládež, probíhaly soutěže a korespondenční semináře a především vznikaly specializované třídy gymnázií se zaměřením na matematiku. První takovéto třídy vznikly v roce 1974 na čtyřech gymnáziích v tehdejším Československu (Gymnázium W. Piecka v Praze, Gymnázium M. Koperníka v Bílovci, Gymnázium A. Markuša v Bratislavě a Gymnázium v Košicích) a později se k těmto školám připojilo ještě gymnázium v Žilině. O deset let později v roce 1984 se tato síť matematických gymnázií rozšířila alespoň na jednoho zástupce v každém z tehdejších krajů (s výjimkou Středočeského). Celkem tedy v 80. letech minulého století existovalo jen na území dnešní ČR devět gymnázií, jejichž součástí byly třídy se zaměřením na matematiku (zaměření 01). V současnosti existují v ČR již jen tři taková gymnázia (Plzeň, Brno, Bílovec). Důvody takového snižování počtu jsou celkem zřejmé ať už z hlediska ekonomického, společenského či z hlediska populačního. (1) V současné době je trendem tzv. integrovaná výuka, kdy jsou vyučováni společně ve třídě všichni žáci včetně žáků se speciálními vzdělávacími potřebami a žáky nadprůměrnými nadanými. Takováto výuka je náročná především pro vyučující, aby přiměřeným způsobem naplnily a uspokojily vzdělávací potřeby všech svých žáků.
2 U matematicky nadaných žáků lze předpokládat, že jejich zájem o studium matematiky a řešení matematických problémů je poměrně velký. Tito žáci bývají zvídavější, mají rádi komplexnější a náročnější úkoly, raději pracují nezávisle, samostatně, svým vlastním tempem a způsobem. Těchto vlastností lze velmi dobře využít při samostatné práci nadaných žáků s počítačem a s internetem. (2) U těchto žáků je pravděpodobné, že z hlediska realizovaných procesů při hledání postupů a metod řešení úloh se více uplatňují divergentní myšlenkové procesy, tj. takové procesy, při nichž je myšlení zaměřené šířeji produkující a hledající rozličné nápady, alternativy a hypotézy. Nadaný žák by se neměl spokojit s jediným způsobem řešení a i my jako učitelé bychom měli nejen u nadaných žáků a studentů podněcovat hledání více způsobů a cest vedoucích k řešení matematických problémů. Pro nadané žáky a studenty by mohlo být motivující hledat i taková řešení úloh, která jsou realizovatelná pouze za určitých technických podmínek, tím máme na mysli za podmínek využití výpočetní techniky (počítače a příslušného softwarového nástroje). Nadaný žák může uspokojit svou touhu nalezením více způsobů řešení zadané úlohy, ale řekneme-li mu, že existuje ještě další způsob, vneseme do hledání řešení další motivaci, kterou u mladé generace pozdvihneme ještě tím, když uvedeme, že existuje řešení, které je realizovatelné pouze s využitím ICT a stejný postup je bez využití ICT nerealizovatelný. Jako příklad úlohy, která má více způsobů řešení, z nichž některá lze získat s využitím papíru, tužky, kružítka a pravítka a některá pouze s využitím počítače si uvedeme Apolloniovu úlohu typu Bpp (bod a dvě přímky). V nadaném žákovi by úloha měla vybudit i určitou zvídavost a zájem o to, kdo to byl Apollonios, kdy žil, čím se zabýval, jaké úlohy formuloval a jak je řešil apod. Těmto žákům není potřeba předkládat veškeré informace, rádi pracují samostatně s dostupnými zdroji a především s internetem. Podíváme se tedy přímo na zadání úlohy a některá možná řešení. Zadání úlohy: Sestrojte kružnici k, která prochází daným bodem B a dotýká se daných přímek p a q. Po zadání této úlohy je jistě na prvním místě potřeba určitá rozvaha, za jakých podmínek vzájemné polohy vstupních prvků je daná úloha řešitelná a pokud ano, kolik má při konkrétní vzájemné poloze vstupních prvků řešení. Tuto rozvahu a počty řešení uvádí následující tabulka.
3 1. přímky p a q jsou rovnoběžné a) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží vně pásu určeného přímkami p, q 0 řešení b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek 1 řešení c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží uvnitř pásu určeného přímkami p, q 2 řešení 2. přímky p, q jsou různoběžné a) bod B je průsečíkem přímek p, q 0 řešení b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek p, q 2 řešení c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek p, q 2 řešení V tomto příspěvku si ukážeme některé způsoby řešení zadané úlohy pro konkrétní rozložení vstupních prvků uvedené v tabulce pod bodem 2. c) tj. přímky p, q jsou různoběžné a bod B neleží na žádné z těchto zadaných přímek. Jako první způsob řešení si ukážeme řešení pomocí stejnolehlostí, se kterou se setkávají žáci na střední škole. Jako druhý způsob řešení si ukážeme řešení pomocí kruhové inverze, se kterou se setkávají studenti během studia matematiky na vysoké škole. Jako třetí způsob řešení si ukážeme řešení metodou množin bodů dané vlastnosti. Tento třetí způsob je sice teoreticky známý již žákům střední školy, ale prakticky je realizovatelný pouze s využitím ICT. Nechť zadání Apolloniovy úlohy Bpp vypadá následovně:
4 p B q Řešení pomocí stejnolehlosti Hledání řešení spočívá v tom, že máme-li najít kružnici, která splňuje zadání úlohy, potřebujeme pouze najít střed této kružnice. Poloměr je pak nejjednodušeji dán vzdáleností nalezeného středu od zadaného bodu B. Jelikož se hledaná kružnice dotýká přímek p a q, leží její střed S na ose o úhlu určeného přímkami p, q, jemuž náleží bod B. Nyní musíme ještě zajistit, aby kružnice splňovala i třetí podmínku tj. aby procházela bodem B. Podle vět o stejnolehlosti dvou kružnic víme, že každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Úloha má dvě řešení a tyto dvě hledané kružnice jsou stejnolehlé se středem stejnolehlosti v průsečíku zadaných přímek p a q (průsečík si označíme P). Stejně tak bude s hledanými kružnicemi stejnolehlá každá další kružnice se středem na ose o dotýkající se přímek p a q. Můžeme si tedy nějakou takovou kružnici k (S, r ) sestrojit. Sestrojená kružnice k a hledané kružnice jsou navzájem stejnolehlé, proto bude na zvolené pomocné kružnici k existovat bod B odpovídající v téže stejnolehlosti zadanému bodu B. Vzhledem k definici stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed stejnolehlosti kolineární, a proto bod B náleží přímce PB (Tyto body B budou existovat dva, bude se jednat o dva různé obrazy bodu B ve dvou stejnolehlostech se stejným středem stejnolehlosti, ale s různými koeficienty stejnolehlosti). Dále platí, že ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto jsou přímky SB a S B rovnoběžné. Střed S hledané kružnice získáme jako průsečík osy o úhlu určeného přímkami p, q s náležejícím bodem B a přímky vedené bodem B rovnoběžně s přímkou B S.
5 Popis konstrukce: Konstrukce: m n X p B P k' B' S' B'' S2 k2 S1 o Z l k1 Y q
6 Řešení pomocí kruhové inverze Filosofií tohoto řešení je převedení vstupních prvků úlohy pomocí zobrazení zvaného kruhová inverze z roviny vzorů do roviny obrazů. Úlohu poté řešíme v rovině obrazů, tj. vycházíme z obrazů vstupních prvků. (Obecně není vhodné použít k převedení úlohy jakékoliv zobrazení, neboť ve shodných i podobných zobrazeních by se úloha řešila stejným způsobem, tudíž by převedení nepřineslo žádné usnadnění. Kruhová inverze může nabídnout usnadnění úlohy tím, že dokáže zobrazovat přímky na kružnice popř. i na přímky, kružnice na jiné kružnice popř. i na přímky, některé body mohou zůstat samodruhé a někdy se vlastní bod může zobrazit na bod nevlastní. Tím může dojít k zásadní změně úlohy v rovině obrazů a při vhodně zvolené kruhové inverzi k jejímu značnému zjednodušení.) Po vyřešení úlohy v rovině obrazů se pomocí stejné kruhové inverze můžeme vrátit zpět do roviny vzorů, neboť kruhová inverze je zobrazení involutorní. Výsledek úlohy v rovině obrazů je tedy obrazem původního hledaného výsledku v rovině vzorů. Zkonstruujeme-li tedy obraz výsledného obrazu v téže kruhové inverzi, dostaneme původně hledané řešení, jako kdybychom žádné převedení pomocí zobrazení neprováděli, což vyplývá z involuce použitého zobrazení. (Opakovaná involuce neboli složení involutorního zobrazení samo se sebou dává identitu.) Kruhová inverze je dána základní kružnicí z a kružnice je dána středem a poloměrem. Za střed základní kružnice z zvolíme bod B, čímž tento bod přejde v kruhové inverzi na bod nevlastní. Zadané přímky p a q se zobrazí na kružnice p a q. Kdybychom měli k dispozici hledané kružnice, zobrazily by se v této kruhové inverzi na přímky společné tečny kružnic p a q. Úlohu tedy řešíme pozpátku, tj. budeme hledat společné tečny kružnic p a q v rovině obrazů a poté nalezené přímky k 1 a k 2, které představují obrazy původně hledaných kružnic k 1 a k 2 převedeme kruhovou inverzí zpět do roviny vzorů.
7 Popis konstrukce: Popis konstrukce nebyl popsán ve všech detailech, neboť se předpokládá, že řešitel zná principy kruhové inverze, popř. používá při konstrukcích nástroje dynamické geometrie, jako je např. použitý program Cabri II Plus, ve kterém si řešitel může nadefinovat vlastní tlačítka a k nim přiřazené funkce z tzv. makrokonstrukcí. Program pak sám zkonstruuje po vybrání příslušné funkce přímku v kruhové inverzi, kružnici v kruhové inverzi a stejně tak mohla být nadefinována makrokonstrukce pro společné tečny kružnic, čímž by se popis konstrukce i vlastní konstrukce ještě zjednodušily.
8 Konstrukce: p ' x X p O1 z k2 k1 k1 B k2 y q' Y T1 O2 T2 ST q kt S Nyní si ukážeme třetí způsob řešení metodou množin bodů daných vlastností, u které jsme si již uvedli, že vyžaduje použití ICT (počítače a některého z programů dynamické geometrie). Tento třetí způsob může být sice teoreticky známý již žákům střední školy a dokonce si jej mohou zkusit zkonstruovat na papír pomocí tužky, pravítka, kružítka a také křivítka, ale jelikož je tato metoda založena na přesném nalezení geometrického místa bodů, kterým je průnik dvou parabol, není možné tuto konstrukci provést rukou natolik přesně, aby výsledné kružnice splnily zadané vlastnosti. Chceme-li mít na papíře jednoznačně danou parabolu, většinou nám stačí mít přesně danou řídící přímku a přesně dané ohnisko. Tím je parabola jednoznačně definovaná a není třeba ji ani vykreslovat. Pokud přesto chceme danou křivku opravdu vykreslit, postupujeme tak, že si sestrojíme několik bodů paraboly dle její bodové definice. Tyto body lze pomocí pravítka a kružítka sestrojit velmi přesně. Ale bohužel se jedná pouze o několik izolovaných bodů z nekonečně mnoha. Dále jsme také schopni průběh paraboly v okolí jejího vrcholu
9 částečně nahradit obloukem hyperoskulační kružnice. Poté už nám nezbývá nic jiného, než na oblouk hyperoskulační kružnice navázat křivítkem a pokračovat přes sestrojené jednotlivé body. Pro určitý náhled na průběh této křivky by tato konstrukce mohla být dostačující. Chceme-li ale najít dva konkrétní body v rovině, jejichž pozice v rámci kartézského souřadného systému musí být zcela jednoznačně určená a tyto body chceme získat jako průsečíky dvou parabol, nezbývá z důvodu přesnosti nic jiného než využít přesnosti počítačů a příslušných počítačových programů. Z těchto programů můžeme jmenovat např. Cabri II Plus, GeoGebra, GeoNext, C.a.R. apod. Tyto programy dynamické geometrie jsou dnes již na školách dostatečně zastoupeny, neboť některé z nich jsou volně dostupné a zcela zdarma. Řešení pomocí hledání množin bodů daných vlastností Danou úlohu, která má tři podmínky (kružnice se má dotýkat přímky p, kružnice se má dotýkat přímky q a kružnice má procházet bodem B) si můžeme rozložit na tři dílčí úlohy a každou dílčí úlohu řešit samostatně a na závěr provedeme průnik získaných dílčích výsledků. 1. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky p a procházejí bodem B. 2. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky q a procházejí bodem B. 3. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky p a přímky q. V prvních dvou případech se jedná o nalezení paraboly, neboť dotýká-li se kružnice přímky a zároveň prochází bodem, který na této přímce neleží, má střed hledané kružnice stejnou vzdálenost jak od dané přímky, tak od daného bodu, což je definice paraboly. Ve třetím případě musí středy hledaných kružnic ležet na ose úhlu určeného přímkami p, q, jemuž náleží bod B. Této vlastnosti bylo využito při prvním způsobu řešení zadané úlohy, proto již tuto možnost z důvodu opakování se nepoužijeme. Taktéž je zbytečné hledání bodu jakožto průsečíku tří čar : dvou parabol a jedné přímky. Řešení tedy budeme hledat na základě průniku 1. a 2. dílčího úkolu, tj. na základě průniku dvou množin bodů daných vlastností, které obě definují parabolu. Hledáme tedy průsečíky dvou parabol. První parabola p 1 je definovaná řídící přímkou p a ohniskem B. Druhá parabola p 2 je definovaná řídící přímkou q a ohniskem B. Program Cabri II Plus sestrojuje kuželosečky buď z pěti daných bodů, nebo je schopen kuželosečku vykreslit jako množinu bodů míst, kde všude se může určitý bod vyskytovat v závislosti na pozici jiného bodu. Při řešení použijeme druhou metodu s využitím funkce Množina, neboť k vykreslení paraboly nám stačí sestrojit pouze dva její body.
10 Popis konstrukce: Konstrukce: o2 p p2 D1 r2 k1 P3 S1 O2 B O1 k2 P2 S2 k2 k1 P4 P1 r1 D2 p1 o1 q
11 Po konstrukcích byly ve všech případech vynechány diskuse, neboť diskuse k úloze včetně podrobného rozboru možností rozložení vstupních prvků a z toho plynoucí počty řešení byla provedena hned po jejím zadání. Z vybraného rozložení vstupních prvků bylo zřejmé, že úloha bude mít dvě řešení. V příspěvku jsme si ukázali jednu z možností, jak motivovat matematicky nadané žáky a studenty k hledání řešení úloh s využitím ICT a tím využít a rozvíjet jejich potenciál. Nadaní žáci rádi pracují s počítačem a především s internetem, který jim zajišťuje stálý přístup k informacím. Tyto média jim umožňují určitou samostatnost při svém bádání, mohou si vyhledávat složitější úlohy, uspokojovat svou zvídavost a dychtivost v nekonečném světě informací, mohou komunikovat se svými vrstevníky a kooperovat na řešení složitějších úloh popř. i konzultovat své problémy s řešením s odborníky z oboru. Příspěvek vznikl v rámci realizace projektu Inovace kombinované formy studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ realizovaného na Katedře matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Literatura 1. CALÁBEK, P., ŠVRČEK, J., VANĚK, V. Péče o matematické talenty v České republice. Olomouc: VUP, ISBN VANĚK, V., NOCAR, D. E-learningová podpora matematicky talentovaných žáků. In MAKOS Zlín: UTB, ISBN Mgr. David Nocar, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, Olomouc david.nocar@upol.cz Telefon: Mgr. Eva Bártková, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, Olomouc eva.bartkova@upol.cz Telefon:
Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:
2 Kruhová inverze Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem: (1) X SX, (2) SX SX = r 2. Obrázek 6: Kruhová inverze
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceJAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
VícePROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D
PROTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceŘešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.
Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční
VíceNázev: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel
Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
VíceAutor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Stejnolehlost Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 4. (. ročník vyššího gymnázia)
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Více3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceÚterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů
Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceMETODICKÉ LISTY Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech
METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY
Více37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
VíceO podobnosti v geometrii
O podobnosti v geometrii Kapitola IV. Stejnolehlost v polohových úlohách In: Jaroslav Šedivý (author): O podobnosti v geometrii. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1963. pp. 48 60. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403487
Více3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky)
3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky) Předpoklady: 030304 Př. 1: Je dána úsečka, = 5,5cm. Narýsuj osu úsečky. Jakou vlastnost mají body ležící na této přímce? Pro všechny body na ose úsečky,
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceKuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceSyntetická geometrie I
Kruhová inverze Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Sférická inverze Autoportrét v kulovém zrcadle M.C.Escher, 1935 Pozor! jen pro ilustraci, inverze a zrcadlení se značně liší Kruhová
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VíceAutor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceKinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.
Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem
VíceKRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VíceVlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Katedra didaktiky matematiky Gymnázium Na Pražačce Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3 Letní škola geometrie 2018, 4. července 2018, Česká
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceShodné zobrazení v rovině
Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů
VíceCesta z roviny do prostoru od vlastností kružnic ke kulové inverzi
Cesta z roviny do prostoru od vlastností kružnic ke kulové inverzi RNDr. Šárka Gergelitsova, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Kruhová inverze BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Hana Fuchsová Přírodovědná studia, obor Matematická studia Vedoucí práce:
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Víces dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili
Dělení úsečky ŠÁRKA GRGLITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha V tomto článku se budeme zabývat sadou geometrických úloh, které jsou tematicky podobné. Liší se jen hodnotou jednoho
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku. Astaloš Dušan. frontální, fixační
METODICKÝ LIST DA35 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku Astaloš Dušan Matematika šestý
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceMongeovo zobrazení. Vzájemná poloha dvou přímek
Mongeovo zobrazení Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné totožné a = b Dvě přímky a, b mohou být v prostoru: a) rovnoběžné
VíceNázev. Řešení střech. Jméno a ová adresa autora. Obsah. Pomůcky. Poznámky
Název Tematický celek Jméno a e-mailová adresa autora Cíle Obsah Pomůcky Poznámky Řešení střech Geometrie Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová josef.molnar@upol.cz Rozvíjet prostorovou představivost,
VíceVýukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám
Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
VíceAnalýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky
Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Analysis of Educational Needs and Competencies of Primary School Teachers
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceKružnice opsaná a kružnice vepsaná
1.7.13 Kružnice opsaná a kružnice vepsaná Předpoklady: 010712 Př. 1: Na obrázcích jsou znázorněny shodné trojúhelníky a různé kružnice k. Dvě z kružnic jsou speciální (jedinečné). Překresli obrázky těchto
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika - stereometrie. Mgr. Hedvika Novotná
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceRočníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
VíceMongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
VíceVyužití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VícePomocný text. Kruhová inverze
Pomocný text Kruhová inverze Co je to kruhová inverze? Pod pojmem kruhová inverze se rozumí geometrické zobrazení, jehož vlastnostem se nyní budeme věnovat. Nechť je dána rovina, v ní ležící bod O, který
VíceSeznam pomůcek na hodinu technického kreslení
Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení Sešit bez linek, formát A4 Psací potřeby propiska nebo pero, mikrotužky 2B, H Pravítko s ryskou Rovné pravítko Úhloměr Kružítko Šablona písma 3,5 mm Šablona
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
Vícetečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí
Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází
VíceKonstrukce trojúhelníku III
Tematická oblast Konstrukce trojúhelníku III Datum vytvoření 12. 12. 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika Planimetrie Třetí ročník osmiletého gymnázia Řešení konstrukčních úloh
VíceDalší polohové úlohy
5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceShodná zobrazení v rovině osová a středová souměrnost Mgr. Martin Mach
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceKuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová
Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....
VíceMNOŽINY BODŮ. Základní informace o materiálu
MNOŽINY BODŮ S množinami bodů se žáci středních škol poprvé setkávají v tematickém celku Planimetrie. Pro potřeby konstrukční geometrie se zpravidla učí postup vlastní konstrukce dané množiny, aniž přesně
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku
METODICKÝ LIST DA39 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná Astaloš Dušan Matematika šestý
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceÚhly a jejich vlastnosti
Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
VíceVE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
Více