Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
|
|
- Dominik Jelínek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SEMESTRÁLNÍ PRÁCE z předmětu Matematické modelování Matematické modely v ekonomii Kateřina Chmelíčková
2 Obsah 1 Propojení matematiky a ekonomie 4 2 Prostředky matematického modelování v ekonomii Historicky sformované disciplíny Deterministické a stochastické modely Statické a dynamické modely Modely pro mikrosféru, mezosféru a makrosféru Deskriptivní a optimalizační modely Matematický aparát používaný při modelování v ekonomii 10 4 Matematické modelování a výpočetní technika 12 5 Matematické programování Model matematického programování Lineární programování Matematický model úlohy LP Základní typy úloh LP Závěr 21 Literatura 22 2
3 Úvod Matematické modelování ekonomických procesů lze v dnešní době považovat za běžně používaný nástroj při řešení rozhodovacích úloh z oblasti řízení a plánování na různých úrovních národní ekonomiky. Proč? Tato skutečnost je úzce spojena s moderní výpočetní technikou; matematické modely a metody spolu se stále se vyvíjející a zdokonalující se technickou podporou jsou klíčovými faktory úspěchu v intenzifikaci rozvoje ekonomiky. Tato práce se tedy bude zabývat nejen matematickým aparátem užívaným v matematických modelech v ekonomii, ale rovněž spojením těchto modelů s výpočetní technikou. V souvislosti s tímto bude rovněž zmíněna důležitá problematika matematického programováni se zvláštním zaměřením na programování lineární. 3
4 Kapitola 1 Propojení matematiky a ekonomie Jak bylo již v úvodu zmíněno, v současnosti je propojení matematiky a ekonomie v podobě nejrůznějších modelů bráno v podstatě za samozřejmost. Nicméně je určitě zajímavé se na toto podívat i z historického hlediska. Pokud by nás zajímaly vůbec nejstarší náznaky zmíněného propojení, pak bychom mohli zapátrat až v dávné minulosti. Konkrétně v období kolem roku 1650 př. n. l., kam se řadí Rhindův-Ahmesův papyrus, u néhož lze mluvit o ekonomické interpretaci. Samozřejmě mnohem bohatší a pro nás zajímavější bude novověká historie matematického modelování v ekonomii. Pokud bychom se vrátili do 17. století, pak je potřeba zcela jistě zmínit jméno anglického vědce W. Pettyho ( ), který napsal v roce 1676 studii Political Arithmerick,jejíž myšlenky se podílely na formováni ekonometrie jako samostatné vědecké disciplíny. Dalším důležitým jménem v této oblasti je A. A. Cournot ( ). Tento francouzský matematik se začal zabývat ekonomií a je spojován především s poptávkovými funkcemi, kdy tento pojem zavedl a tím definoval poptávku po zboží jako funkci jeho ceny. Rovněž předvídal teorii elasticity a dotýkal se i teorie oligopolu. K. Marx ( )používal ve svých dílech jednoduchá matematická schémata, zcela běžně opíral svůj výklad o číselné ilustrace a statistické údaje. Oproti Cournotovi byl ve své době díky jednoduchosti užívaných matematických nástrojů úspěšnější. Francouzsko-švýcarský ekonom L. Walras ( ) první používal matematický aparát jako naprosto podstatnou součást svých ekonomických úvah o marginální teorii užitku a při odvození obecné teorie ekonomické 4
5 rovnováhy. Zajímavostí je, že Walras neaplikoval na ekonomickou problematiku svoje matematické znalosti, ale spíše dodatečně hledal matematický aparát, pomocí něhož by mohl své myšlenky vyjádřit. Žákem L. Walrase byl V. Pareto ( ), který narozdíl od svého učitele dokonale ovládal matematickou teorii své doby a používal matematiku jako samozřejmý způsob vyjadřování ekonomických závistlostí. S Paretovou analýzou se setkáváme i v současnosti. Po první světové válce postup matematiky do ekonomie pokračoval v mnoha směrech. V Rusku půspbil J. Sluckij ( ), který se vedle problémů spíše statistických zabýval i teorií mezního užitku, stochastickými procesy a teorií poptávkouvých funkcí. Od roku 1933 začal vycházet časopis Econometrica, ve kterém se formuje vědní odvětví ekonometrie, která za svou hlavní náplň považuje matematický popis a statistickou verifikaci ekonomických vztahů a v širším pojetí zavádění matematických metod do ekonomie. V roce 1944 vychází kniha J. von Neumanna a O. Morgensterna Theory of games and economic behavior (Teorie her a ekonomické chování), která je považována za základní dílo teorie her. Po druhé světové válce se plně rozvíjelo lineární programování, hlavně zásluhou G. B. Dantziga a brzy poté se začaly uplatňovat i modely z oblasti nelineárního programování; v roce 1957 byla vydána kniha R. Bellmana Dynamic programming, která upozornila na další metody použitelné v ekonomickém modelování. Na začátku padesátých let se objevuje mezioborová disciplína operační výzkum, která přenáší zkušenosti z týmové práce při výzkumu a plánování vojenských operací na řízení ekonomických systémů. Vznikají teorie hromadné obsluhy, teorie optimalizace zásob, sít ová analýza. Uplatňování matematiky v ekonomii také působí zpětně jako mohutný zdroj inspirace pro rozvoj řady matematických odvětví; někdy je obtížné určit, kde končí čistá matematika a kde začínají aplikace matematiky v ekonomii. Sblížení matematiky a ekonomie je prospěšné jak pro ekonomii, tak i pro matematiku. Ekonomie je přiváděna k exaktním formulací a ke kvantitativnímu vyjadřování ekonomických závislostí. Matematika je obohacována o zcela nové oblasti zkoumání. 5
6 Kapitola 2 Prostředky matematického modelování v ekonomii Pro výstavbu matematických modelů ekonomických systémů máme k dispozici řadu matematických prostředků, které jsou speciálně upraveny pro použití na typické ekonomické úlohy. Dle [1] můžeme tyto prostředky klasifikovat podle následujících třídících kritérií: 1. podle historického vývoje a sformování v jednotlivé disciplíny, 2. zda berou v úvahu náhodné vlivy působící v modelovaných systémech, 3. zda berou v úvahu časový vývoj v modelovaném systému, 4. pro jaké ekonomické systémy jsou především určeny, 5. zda hlavním účelem modelu je popis systému či zda jde hlavně o nalezení optimálního rozhodnutí v konkrétně zadané situaci. 2.1 Historicky sformované disciplíny Nový všdní obor zpravidla vzniká postupně hromaděním nových poznatků publikovaných v odborné literatuře a hromaděním zkušeností s praktickými aplikacemi. Za rozhodující pro určení doby vzniku nové diciplíny můžeme považovat vydání práce zásadního významu či ustavení odborné společnosti. Následující přehled uvádí jednotlivé disciplíny včetně orientačního data jejich vzniku: ekonometrie (1930) strukturní analýza (1939) 6
7 teorie her (1944) lineární programování (1947) operační výzkum (1950) teorie hromadné obsluhy (1951) nelineární programování (1951) optimalizace zásob (1951) dynamické programování (1957) sít ová analýza (1958) celočíselné programování (1958) vícekriteriální optimalizace (1970) Disciplíny zabývající se vyhledáním extrému funkce při vedlejších podmínkách, typicky v podobě nerovností, vyvinuté pro aplikace v ekonomii, se souhrnně nazývají matematické programování. Právě matematické programování hraje důležitou roli a bude mu ještě dále věnována pozornost. 2.2 Deterministické a stochastické modely Model označíme za deterministický, pokud nepoužívá prostředky počtu pravděpodobnosti a tím také nepostihuje nekontrolovatelné nebo náhodné vlivy působící v modelovaném systému. Hranici mezi deterministickými a stochastickými modely nelze zcela přesně vymezit. I modely klasifikované jako deterministické používají často průměrné hodnoty náhodné veličiny jako výchozí údaje, zkoumají vliv náhodného kolísání vstupních údajů na řešení pomocí rozboru stability řešení apod. O stochastických modelech mluvíme tedy hlavně v případech, kdy použití pravděpodobnostního aparátu má natolik ústřední roli, že bez něho model přestává být adekvátním zobrazením reality. 2.3 Statické a dynamické modely Jednou z typických vlastností ekonomických systémů je jejich vývoj v čase. Pokud má tento vývoj pro účel zkoumání žádný či zanedbatelný vliv, používá se model, ve kterém nevystupuje čas jako parametr explicitně ani implicitně; 7
8 takovýto model nazýváme statický. Model, v němž čas explicitně vystupuje, se pak nazývá dynamický. Dynamické modely lze ještě dále rozdělit podle hodnot, jakých čas t nabývá. Probíhá-li čas všechny číselné hodnoty v nějakém intervalu, pak se mluví o modelu se spojitým časem. Pokud model pracuje pouze s určitými časovými okamžiky (např. stav na konci měsíce), tedy čas nabývá konečného či spočetného počtu hodnot; takové modely se nazývají modely s diskrétním časem. V modelech se spojitým časem se globální hodnoty časově proměnných veličin přes určité období vyjadřují jako časové integrály; např. úhrnná hodnota časově proměnné veličiny x(t) se vypočte jako X = T 0 x(t)dt. Změny této veličiny v čase jsou potom charakterizovány pomocí časové derivace ẋ(t) = dx(t). dt V modelech s diskrétním časem se objevuje místo integrálu suma a místo derivace diference X = T x(t) t=1 x(t) = x(t + 1) x(t). 2.4 Modely pro mikrosféru, mezosféru a makrosféru Modely určené především pro použití na podnikové úrovní se nazývají mikromodely, mluví se o modelování na mikroúrovni či o modelech mikrosféry. Modely určené pro použití na úrovni odvětví národní ekonomiky se nazývají mezomodely, mluví se o modelování na mezoúrovni. Modely zahrnující problematiku celé ekonomiky se nazývají makromodely, práce s těmito modely se označuje jako modelování na makroúrovni. Vzhledem k tomu, že odvětví bývá často považováno spíše za statistickou kategorii než za reálně existující část národního hospodářství, věnuje se obvykle větší pozornost zbylým dvěma kategoriím, tedy mikrosféře a makrosféře. 8
9 2.5 Deskriptivní a optimalizační modely Některé matematické modely si kladou za cíl popsat určitou část ekonomické reality na exaktní úrovnia objasnit zákonitosti jejího fungování či alespoň formulovat hypotézy o těchto zákonitostech; takové modely se nazývají deskriptivní. Jiným důležitým cílem matematického modelováni je najít optimální rozhodnutí v dané situaci či navrhnout metodu, jak taková rozhodnutí generovat; tyto modely se nazývají optimalizační. Oba tyto typy modelů jsou svým způsobem vzájemně propojeny. Optimalizačni model může obsahovat předpoklady o fungování zkoumaného systému, tím v sobě zahrnuje prvky modelu deskriptivního. A naopak, modely sestavené jako deskriptivní poskytují většinou podklady použitelné pro řízení modelovaných systémů a tím vytvářejí přechod k aplikaci modelů optimalizačnich. 9
10 Kapitola 3 Matematický aparát používaný při modelování v ekonomii Matematika disponuje bohatým aparátem, který jí umožňuje přesný popis vztahů mezi jednotlivými veličinami. Závislost veličiny y na veličině x, resp. na veličinách x 1, x 2,..., x n, zapíšeme dle obvyklé konvence: y = f(x), resp. y = f(x 1, x 2,..., x n ). Často se můžeme také setkat s vektorovou funkcí f, y = f(x), kdy tento zápis reprezentuje m funkcí o n proměnných y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ) y m = f m (x 1, x 2,..., x n ). Vektorové funkce více proměnných jsou důležitým prostředkem pro popis ekonomických systémů. Základni funkcí ekonomického systému je transformace zdrojů na výrobky. Jestliže objemy zdrojů za pevné časové období popíšeme hodnotou proměnných x 1, x 2,..., x n, pak výrobky vystupující ze systému v tomto období mohou být popsány hodnotami závisle proměnných y 1, y 2,..., y m. Matematické modely v ekonomii si často kladou za cíl nalezení optimálních rozhodnutí; matematicky tuto optimalitu můžeme ztělesnit pojmem extrému funkce. Extrémem funkce budeme rozumět bud její maximum nebo její minimum. 10
11 Je-li funkce f definována na množině X, značíme největší hodnotu, které f na X nabývá, symbolem max f(x). x X Někdy nás nezajímá pouze největší hodnota funkce f na množině X, ale spíše ten prvek množiny X, v němž je maximální hodnoty dosaženo. Takový prvek se značí symbolem arg max f(x). x X Obdobně můžeme definovat i symboly min x X f(x), argmin f(x). x X Dalším často užívaným nástrojem pro vyjadřování ekonomických závislostí jsou matice. Jak je známo, matici A o m řádcích a n sloupcích (tedy matici typu m, n) můžeme násobit maticí B zprava, pokud počet řádků matice B je roven počtu sloupců matice A. V případě modelů ekonomických systémů se často používá součin matice A typu m, n a matice typu n, 1, tj. sloupcového vektoru. Jako příklad můžou sloužit lineární funkce y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n y m = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n. Chceme-li tento dlouhý zápis zkrátit a zjednodušit, pak ho zapíše právě maticově: y = Ax, přičemž jak zápis napovídá, velkými tučnými písmeny A jsou označeny obecné matice typu m, n, zatímco malá tučná x, y jsou vyhrazena konkrétně pro jednosloupcové matice, tedy vektory. 11
12 Kapitola 4 Matematické modelování a výpočetní technika Význam výpočetní techniky všeobecně je čím dál větší. Toto platí i ve spojitosti a nejrůznějšími vědními obory, tedy i pro matematiku a specielně pro matematické modely představuje významný nástroj. Matematické modelování bylo v ekonomii používáno už v době, kdy programovatelné počítače ještě neexistovaly; k výraznějšímu použití počítačů při řešení úloh z oblasti ekonomie došlo na konci padesátých let, kdy už počítače byly běžně dostupné. Nástup počítačů přesto znamenal v matematickém modelování významný obrat. Bylo možné ustoupit od vysokého stupně agregace ekonomických veličin, jinak nutné při výpočtech prostředky klasické matematické analýzy a numerické matematiky 1. Neagregované modely mají schopnost přesněji vystihnout jevy v modelované ekonomické realitě, takže výsledky z nich získané je možné bezprostředně použít pro rozhodování a řízení. Nástupem počítačů se rovněž posílila úloha optimalizačních modelů, které bylo možné konstruovat více s ohledem na podstatu problému a méně s ohledem na výpočetní náročnost jejich řešení. Dále počítače umožnily shromáždění rozsáhlých statistických podkladů o reálných ekonomických systémech, na kterých mohou být optimalizační i deskriptivní modely založeny. Nový rozvoj zaznamenalo po nástupu počítačů lineární programování. Původní metody navržené pro řešení úloh lineárního programování bylo nutné pro reálné úlohy velkých rozměrů od základu přepracovat. Důležitým bodem se stalo rovněž úsporné zorganizování manipulace se vstupními 1 Agregací se rozumí spojení několika příbuzných veličin do jediné charakteristiky za účelem zmenšení rozměrů modelu. 12
13 daty. V oblasti nelineárního programování se pro použití na počítačích osvědčily metody, které používají prvky z výpočetních postupů lineárního programováni. Při typických aplikacích matematického modelování je nutné často kombinovat v jednom modelu různé matematické prostředky. Takovéto kombinované modely bývá velice obtížné řešit přesnými optimalizačními algoritmy kvůli jejich složitosti. Lze však navrhnout řídící algoritmus opírající se o odhada dosavadní zkušenosti s modelovaným systémem (tzv. heuristický algoritmus) a jeho činnost ověřit pomocí simulačních postupů. Přes neustálý rozvoj počítačů a jejich výpočetní síly je třeba uvážit, že jejich schopnosti přece jen jsou limitovány. Je tedy třeba mít toto napaměti při sestavování modelu a starat se o objem výpočtů potřebných k jeho vyřešení. Ekonomické systémy jaou pochopitelně velice složité a pokud bychom se pokoušeli vystihnout všechny jeho podstatné rysy, získali bychom model, který by pravděpodobně nešel vyřešit ani s pomocí nejlepší výpočetní techniky. Problematika využití výpočetní techniky je samozřejmě mnohem komplikovanější. Nicméně uvedený stručný přehled měl za úkol pouze naznačit, že počítače a jejich neustálý vývoj úzce souvisí i s matematickými modely. V následující části bude řeč tedy o modelech ve vztahu k matematickému programováni a k lineárnímu programování pak obzvlást. 13
14 Kapitola 5 Matematické programování Matematické programování se zabývá řešením optimalizačních úloh, ve kterých jde o nalezení maxima, resp. minima předem definovaného kritéria (např. zisk, náklady, objem výroby,... atd.) na množině všech možných přípustných variant dané úlohy. Prakticky to znamená, že hledáme extrém zmíněného kritéria při platnosti jistých omezujících podmínek. Dané kritérium je vyjádřené funkční závislostí (jde o funkci více proměnných) a omezující podmínky jsou vyjádřeny soustavou rovnic či nerovnic. Úlohy matematického programování dělíme na lineární a nelineární. 5.1 Model matematického programování Dosud jsme mluvili o modelování a o modelech; nicméně pojem model a to, co si pod ním představujeme, zatím nebylo vysvětleno. Můžeme říci, že pro každý model (a to nejen pro ekonomický) platí dvě základní charakteristiky; model je určité zobrazení (napodobení) reálného systému, vždy nedokonalý obraz skutečnosti Správně zkonstruovaný model musí vystihovat vlastnosti, které jsou z hlediska řešení problému považovány za důležité. Důvody se v podstatě nabízejí: 1. Pokud by model do všech známých detailů vystihoval reálnou skutečnost, šlo by o kopii skutečnosti a nelze tedy hovořit o modelu; navíc by se vytratily všechny výhody plynoucí z používání modelu; 2. Čím více vlastností reálného systému model vystihuje, tím je složitější a obtížnějí řešitelný, až neřešitelný dostupnými prostředky; 14
15 3. Jestliže model neobsahuje z hlediska požadovaného řešení důležité vlastnosti reálného systému (neznáme je nebo je opomeneme do modelu zařadit), mohou být získané výsledky optimální z hlediska modelu, nikoli pak z pohledu reálné situace. Model matematického programováni vyjadřuje vztahy platné v reálném systému formou matematických a výrazových prostředků, jako jsou: funkce soustavy rovnic a nerovnic Pokud by nás zajímal model úlohy matematického programování, tak ten se obvykle skládá ze dvou částí - z účelové funkce a z omezujících podmínek. 1. účelová (kriteriální) funkce vyjadřuje cíl, tedy co je měřítkem úspěšnosti řešení; cílem je nalézt takovou kombinaci rozhodovacích proměnných, aby hodnota této funkce nabývala požadovaného extrému (tj. maxima či minima). 2. omezující podmínky vyjadřují omezení a závazky, které jsme při řešení nuceni splnit; obvykle jde o soustavu rovnic či nerovnic, kde každá vyjadřuje jedno konkrétní omezení jako např.: nepřekročení kapacity vybraného skladu, nutnost vyrobit alespoň požadované množství q určitého výrobku, potřebu dosáhnout čistého zisku alespoň v nějaké minimální nezbytné výši z min, atd. Speciálním druhem omezujících podmínek jsou tzv. podmínky obligátní. Jde o omezení, která považujeme za samozřejmá, ale je třeba je uvést, aby výsledné řešení mělo vůbec smysl. Tyto podmínky vymezují definiční obor proměnných, obvykle jde o podmínky nezápornosti, které zajišt ují, abychom nevyráběli záporné množství či neujeli záporný počet kilometrů. Matematický model úlohy matematického programování můžeme obecně zapsat následovně: minimalizuj (maximalizuj) z = F (x 1, x 2,..., x n ) (5.1) za podmínek f 1 (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.2) 15
16 kde f 2 (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.3) f m (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.4) x j 0, j = 1, 2,..., n (5.5) n počet rozhodovacích proměnných, m počet omezujících podmínek, x j rozhodovací proměnné, F (x) a f i (x) funkce n rozhodovacích proměnných. Rovnice 5.1 ve výše uvedeném zápisu představuje účelovou funkci, rovnice omezující podmínky a vztah 5.5 podmínky obligátní. Množínu všech x, která splňují podmínky se nazývá množina přípustných řešení. Dosud byla řeč o matematickém programování jako celku, nyní se zaměříme na jednu jeho významnou část, a to na lineární programováni. 5.2 Lineární programování Danou úlohu označíme za úlohu lineárního programování - LP, jsou-li kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy. Lineární programování lze považovat za základ kvantitativních rozhodovacích procesů, a to z následujících důvodů: velké množství typů a variant důležitých problémů (např. manažerských) je možné formulovat pomocí modelů LP; pokud dokážeme problém formulovat jako úlohu LP, máme k dispozici dobré programové prostředky na jeho rychlé řešení na počítačích, a to i pro poměrně rozsáhlé úlohy; algoritmy pro řešení úloh LP dávají jako vedlejší produkt vlastního řešení řadu dalších informací velmi důležitých pro řídící management; aplikování způsobu myšlení, který používáme při konstrukci modelů matematického programování (tj. optimalizace zvoleného kritéria při splnění jistých omezujících podmínek) je velmi užitečné 16
17 při přemýšlení o vzniklých problémech i v případě, že nehodláme konstruovat a řešit model. Praxe s používáním LP modelů rozvíjí schopnosti využívat koncept hledání optima při splnění jistých podmínek i při intuitivním rozhodování. Při aplikaci lineárního programování pro řešení reálného rozhodovacího problému lze rozlišit několik základních na sebe navazujících fází: 1. Rozpoznání problému v rámci reálného systému a jeho definice 2. Formulace ekonomického modelu daného problému, který zjednodušeně popíše reálný systém, bude obsahovat pouze nejpodstatnější prvky a vazby mezi nimi s ohledem na analyzovaný problém 3. Formulace matematického modelu daného problému, který nás bude zajímat nejvíce a budeme se jím tedy v další části zabývat 4. Vlastní řešení matematického modelu úlohy LP 5. Interpretace získaných výsledků a jejich verifikace, která nám současně ověří, zda byly správně sestaveny oba modely, ekonomický a matematický 6. V případě úspěšné verifikace výsledků lze přistoupit k jejich implementaci v rámci analyzovaného reálného systému; ta by měla přispět ke zlepšení fungování daného systému s ohledem na sledovaný a v modelu definovaný cíl Matematický model úlohy LP V předchozí části jsme uvedli způsob, jakým postupovat při hledání řešení v rámci lineárního programování. Byly zmíněny dva modely, a to ekonomický a matematický. Ekonomický model je v podstatě slovním a numerickým popisem problému, podobně jako zadání slovní úlohy v matematice. Aby bylo možné daný problém řešit, je třeba jej nějakým způsobem formalizovat - převést tedy ekonomický model na model matematický, který je potom řešitelný standardními postupy. Oba modely obsahují stejné prvky ale v odlišném vyjádření. Již dříve jsme uvedli model matematického modelováni. Nicméně důležité je rovněž zmínit, že při formulaci matematického modelu nějaké reálně ekonomické situace je výhodné zachovávat určitý postup; ten by mohl vypadat zhruba následovně: 17
18 1. Rozebrat ekonomický model, uvědomit si, co jsou činnosti (procesy) modelu, co jsou zdroje - činitele vstupující do činností, co výsledky - činitele vystupující z činnosti a konečně, co je kritériem optimality v modelu. 2. Stanovit proměnné, jejich přesný věcný význam, dimenzi a měrnou jednotku. Obecně řečeno, proměnné vyjadřují neznámé a hledané úrovně, na nichž jsou prováděny čínnosti (uskutečňovány procesy). 3. Vyjádřit lineárními rovnicemi nebo nerovnostmi omezení úlohy v činitelích. Na pravé straně rovnice nebo nerovnosti stojí omezené disponibilní množství vstupujícího činitele nebo požadované množství vystupujícího činitele. Na levé straně je pak bud potřebné množství vstupujícího nebo produkované množství vystupujícího činitele, v obou případech vyjádřeno jako lineární funkce proměnných úlohy. 4. Vyjádřit zvolené kritérium optimality jako lineární formu proměnných úlohy. Jak je z postupu patrné, první dva body jsou obecně platné pro jakoukoliv úlohu matematického programování, jejíž model již byl popsán. Zbylé dva body už platí očividně speciálně pro programování lineární Základní typy úloh LP Úlohy lineárního programování mají široké použití v různých oblastech ekonomické sféry. Pro představu o některých základních typech bude uveden jejich přehled včetně stručné charakteristika problému. Úlohy výrobního plánování V úlohách výrobního plánování se jedná o stanovení výrobního programu při respektování omezených výrobních činitelů a dalších podmínek tak, aby bylo optimalizováno zvolené kritérium jako je např. maximalizace zisku či minimalizace nákladů. Proměnné v modelu úlohy výrobního plánování představují často objem produkce určitého druhu výrobku a omezující podmínky jsou odrazem omezených výrobních kapacit, technologických podmínek nebo požadavků odběratelů. Směšovací problém Ve směšovacích úlohách jde o to navrhnout směs požadovaných vlastností tak, aby bylo optimalizováno zvolené kritérium, např. co nejlevnější směs. Slovo 18
19 směs je tu vnímáno v širším slova smyslu. Může jít o směs v klasickém smyslu slova - tedy denní dávku výživy osob (nutriční problém) či přeneseně, např. finanční směs (tj. úlohy plánování portfolia). Jednotlivé proměnné udávají zpravidla podíl složek na výsledné směsi. Omezující podmínky jsou velice různorodé a vychází z charakteru úlohy. Řezný problém V úlohách tohoto typu se jedná o optimalizaci dělení větších celků na menší části tak, aby byl minimalizován odpad a aby byly splněny omezující podmínky; ty mohou třeba vyjadřovat požadavky, v jakém poměru mají být části získané dělěním. Příkladem může být řezání tyčí čí trubek, jednoduše jde o případy, kdy pro dělení je určující pouze jeden rozměr. Dopravní problém Dopravním problémem nazýváme úlohu, ve které jde o rozvoz nějakého zboží či materiálu z dodavatelských míst (zdrojů) odběratelům (do cílových míst) tak, aby byly minimalizovány celkové náklady spojené s tímto rozvozem. Máme definováno m zdrojů (dodavatelů) D 1, D 2,..., D m s omezenými kapacitami a 1, a 2,..., a m (množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat) a n cílových míst (odběratelů) O 1, O 2,..., O n se stanovanými požadavky b 1, b 2,..., b n (množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje). Vztah každé dvojice zdroj-cílové místoje oceněn, toto ocenění můzeme označit c ij, kde i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n; pod oceněním si můžeme představit třeba náklady na přepravu jednotky zboží mezi zdrojem a cílovým místem. Cílem řešení dopravního problému je naplánovat přepravu mezi zdroji a cílovými místy tak, aby nebyly překročeny kapacity zdrojů a aby byly uspokojeny požadavky cílových míst. Přiřazovací problém V úlohách tohoto typu jde o nalezení vzájemně jednoznačného přiřazení dvojice jednotek ze dvou skupin tak, aby toto přiřazení přineslo co nejvyšší efekt. V přiřazovacím problému jsou definovány dvě skupiny jednotek se stejným počtem prvků (pokdu by tomu tak nebylo, je třeba jednu ze skupin doplnit fiktivními jednotkami); jednotky těchto skupin můžeme označit A 1, A 2,..., A m a B 1, B 2,..., B m. Dále zde zavádíme cenový koeficient c ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., m, který slouží jako ohodnocení přiřazení každé dvojice. 19
20 Cílem je určit, zda i-tá jednotka z první skupiny bude nebo nebude přiřazena j-té jednotce ze skupiny druhé. V souvislosti s tím jsou zavedeny proměnné x ij, i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., m, které nabývají pouze dvou hodnot: x ij = 1, pokud jednotka A i bude přiřazena jednotce B j, x ij = 0, v opačném případě. Přiřazovací úloha je ve své podstatě speciálním případem dopravní úlohy, kdy máme stejný počet zdrojů i cílových míst a požadavky všech cílových míst i kapacity všech zdrojů jsou rovny jedné; zároveň v tomto případě můžeme mluvit o nedělitelnosti požadavků. 20
21 Kapitola 6 Závěr Problematika matematických modelů v ekonomii je velice rozsáhlých tématem a v této práci byla proto vybrána pouze malá část, kterou lze považovat za základní. Samozřejmě by bylo na místě alespoň zmínit některé další zajímavé oblasti spojené s matematickými modely. Budeme-li uvažovat modely konfliktních situací, potom je třeba zmínit teorii her. Tento vědní obor vznikl z představy, že situace, které vznikají při hraní her (jako jsou karetní hry či šachy) jsou ve své struktuře shodné se situacemi, které se řeší při rozhodování v ekonomických systémech. V matematických modelech nachází své uplatnění i teorie grafů, zvláště pak sít ová analýza. Existuje řada typů optimalizačních úloh, které je možné řešit pomocí jejich grafické reprezentace. Výhodou je velmi přehledná struktura celé úlohy, která bývá často srozumitelnější než třeba formulace v podobě matematického modelu v jejich klasické podobě. Svoje uplatnění mají samozřejmě i teorie hromadné obsluhy či teorie zásob. Všechny tyto výše zmíněné oblasti hrají samozřejmě také důležitou roli, nicméně rozebrání jejich charakteristik by dosáhlo rozsahu spíše knihy než semestrální práce. 21
22 Literatura [1] Hušek R., Maňas M.: Matematické modely v ekonomii, SNTL, Praha 1989 [2] Lagová M., Jablonský J.: Lineární modely, VŠE, Praha 1999 [3] Plevný M., Žižka M.: Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování, ZČU, Plzeň 2007 [4] Rzchetník L., Zelinka J., Pelzbauerová V.: Sbírka příkladů z lineárního programování, SNTL, Praha
4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu
4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceOperační výzkum. Základní informace
Operační výzkum Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Cvičící: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Základní informace rozsah předmětu: 2/2, zakončeno: zkouškou, počet kreditů:
VíceOPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS
OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb
VíceOSA. maximalizace minimalizace 1/22
OSA Systémová analýza metodika používaná k navrhování a racionalizaci systémů v podmínkách neurčitosti vyšší stupeň operační analýzy Operační analýza (výzkum) soubor metod umožňující řešit rozhodovací,
Více4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceOtázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
Více2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. 1 Úvodní pojmy Metody na podporu rozhodování lze obecně dělit na: Eaktní metody metody zaručující nalezení optimální řešení, např. Littlův algortimus,
VíceExaktní metody v managementu
Exaktní metody v managementu Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky a managementu Cvičící: Ing. Eva Šlaichová, Ph.D. Ing. Eva Štichhauerová, Ph.D. Ing. Lukáš Turčok,
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceLineární programování
24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.
VíceÚvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Úvod do modelování a simulace systémů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Základní pojmy Systém systémem rozumíme množinu prvků (příznaků) a vazeb (relací) mezi nimi, která jako celek má určité vlastnosti. Množinu
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDSS a De Novo programming
De Novo Programming DSS a De Novo programming DSS navrhují žádoucí budoucnost a cesty k jejímu uskutečnění Optimalizační modely vhodné nástroje pro identifikaci optimálního řešení problému Je ale problém
VícePříklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
VíceÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ Přednáška 1. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 1 ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ Organizační Vyučující Ing., Ph.D. email: belinova@k620.fd.cvut.cz Doporučená literatura Dudorkin J. Operační výzkum. Požadavky zápočtu docházka zápočtový test (21.5.2015)
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
Více01 Teoretické disciplíny systémové vědy
01 Teoretické disciplíny systémové vědy (systémový přístup, obecná teorie systému, systémová statika a dynamika, úlohy na statických a dynamických systémech, kybernetika) Systémová věda je vědní disciplínou
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do
VíceMatematika a ekonomické předměty
Matematika a ekonomické předměty Bohuslav Sekerka, Soukromá vysoká škola ekonomických studií Praha Postavení matematiky ve výuce Zaměřím se na výuku matematiky, i když jsem si vědom, toho, že by měl být
VíceOperační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceÚvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceTeorie systémů TES 1. Úvod
Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti. Teorie systémů TES 1. Úvod ZS 2011/2012 prof. Ing. Petr Moos, CSc. Ústav informatiky a telekomunikací Fakulta dopravní ČVUT v Praze
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Více4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
VíceModely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VíceStátnicová otázka 6, okruh 1
Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,
Víceaneb jiný úhel pohledu na prvák
Účelná matematika aneb jiný úhel pohledu na prvák Jan Hejtmánek FEL, ČVUT v Praze 24. června 2015 Jan Hejtmánek (FEL, ČVUT v Praze) Technokrati 2015 24. června 2015 1 / 18 Outline 1 Motivace 2 Proč tolik
VíceStochastické modely Informace k závěrečné zkoušce
Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce Jan Zouhar Katedra ekonometrie, FIS VŠE v Praze, zouharj@vse.cz 10. února 2015 Průběh zkoušky. Zkouška je ústní s přípravou na potítku. Každý si vylosuje
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceSYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VIII) Operační výzkum. Ak. rok 2011/2012 vbp 1
SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VIII) Operační výzkum Ak. rok 2011/2012 vbp 1 DEFINICE Operační výzkum je prostředek pro nalezení optimálního řešení daného problému při respektování celé řady různorodých omezení,
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceEKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy
EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých
VíceOptimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém
Obsah přednášky Mgr. Květuše Sýkorová Optimalizace Lineární programování Distribuční úlohy Okružní problém KI Př UJEP Ústí nad Labem Nederivační metody Metody 1D optimalizace Derivační metody Optimalizace
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více4EK201 Matematické modelování. 1. Úvod do matematického modelování
4EK201 Matematické modelování 1. Úvod do matematického modelování Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceMETODICKÝ APARÁT LOGISTIKY
METODICKÝ APARÁT LOGISTIKY Metodický aparát logistiky jedná se o metody sloužící k rozhodování při logistických problémech Metodu = použijeme, v případě vzniku problému. Problém = vzniká v okamžiku, když
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Více4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceJaroslav Tuma. 8. února 2010
Semestrální práce z předmětu KMA/MM Odstraňování šumu z obrazu Jaroslav Tuma 8. února 2010 1 1 Zpracování obrazu Zpracování obrazu je disciplína zabývající se zpracováním obrazových dat různého původu.
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více3. Úloha o společném rozhraní
34 3. Úloha o společném rozhraní Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni: Zjistit neregularity v systému Navrhnout řešení pro odstranění neregulárních vazeb Doba potřebná ke studiukapitoly:60minut
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz VII. SYSTÉMY ZÁKLADNÍ POJMY SYSTÉM - DEFINICE SYSTÉM (řec.) složené, seskupené (v
VíceManažerská ekonomika KM IT
KVANTITATIVNÍ METODY INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE (zkouška č. 3) Cíl předmětu Získat základní znalosti v oblasti práce s ekonomickými ukazateli a daty, osvojit si znalosti finanční a pojistné matematiky, zvládnout
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceDIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
Více