ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE"

Transkript

1 ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE Fakulta životního prostředí Diplomová práce Hydrologicky korektní model terénu povodí Modrava 1 na základě trojúhelníkové sítě Petr Herout Vedoucí práce: Ing. Jiří Pavlásek, Ph.D. Obor: Environmentální modelování Duben 2013 i

2 ii

3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Hydrologicky korektní model terénu povodí Modrava 1 na základě trojúhelníkové sítě vypracoval samostatně za použití uvedené literatury. V Praze dne 21. dubna 2013 Petr Herout iii

4 Diploma Thesis Terrain model of Modrava 1 catchment based on triangular network Presented MSc. diploma thesis is focused on Digital Terrain Models (DTM) based on the Triangular Irregular Network (TIN) and on the hydrological and terrain analysis of these models. In the theoretical part topics of the digital terrain modeling and of the triangulation used for creating TIN are reviewed. In the second (practical) part a model of the experimental basin of Modrava 1 (Sumava mountin, Southern Bohemia) and a set of used algorithms are introduced. The set of algorithms could be applied on the creating of similar models of small catchments. In the model there are flow paths of the surface water, shape, area, slope and orientation relations of the catchment analyzed. The study is focused on the evaluation of the model quality loss in dependence on the terrain generalization rate in the end. Key words: Triangular Irregular Network TIN Digital Terrain Model Modrava 1 Catchment Triangulation iv

5 Poděkování Tímto bych rád poděkoval Ing. Jiřímu Pavláskovi, PhD., vedoucímu mé diplomové práce, za vstřícný přístup, za jeho ochotu a trpělivost. Dále chci poděkovat celému týmu, který se mnou podílel na terénním měření, zejména pak Petru Baštovi a Kubovi Medkovi, kteří práci v terénu obětovali mnoho hodin. Panu Ing. Danielu Zahradníkovi, PhD. patří dík za inspiraci a probuzení mého zájmu o programování. A v neposlední řadě chci poděkovat rodině a přátelům, kteří mi byli oporou nejen po celou dobu tvorby této diplomové práce. Děkuji vám P.H. v

6 1 ÚVOD CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE STRUKTURA PRÁCE TEORETICKÁ ČÁST ZÁKLADNÍ POJMY DIGITÁLNÍ MODELY TERÉNU DATOVÉ SÍTĚ MODELŮ TRIANGULACE FORMULACE PROBLÉMU A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI TRIANGULACÍ ROZDĚLENÍ TRIANGULAČNÍCH ALGORITMŮ METODIKA ZÁJMOVÁ OBLAST SBĚR DAT PŘÍPRAVA DAT STRUKTURA PROGRAMU VYBRANÉ ALGORITMY A VÝPOČTY ODSTRANĚNÍ BEZODTOKÝCH OBLASTÍ VYTVOŘENÍ A ANALÝZA SEZNAMU TROJÚHELNÍKU ANALÝZA HRAN NALEZENÍ TRASY ODTOKU NALEZENÍ ROZVODNICE VÝPOČET PLOCHY POVODÍ VERIFIKACE MODELU PRÁCE S PROGRAMEM PŘÍPRAVA PROSTŘEDÍ TVORBA MODELU TERÉNU ANALÝZA MODELU INTERAKTIVNÍ FUNKCE vi

7 3.6.5 ULOŽENÍ A NAČTENÍ MODELU FUNKCE PRO OVLÁDÁNÍ GRAFIKY PŘÍKLAD POUŽITÍ VÝSLEDKY A VÝSTUPY DIGITÁLNÍHO MODELU TERÉNU VÝSTUPY ANALÝZY TERÉNU BODOVÉ POLE TROJÚHELNÍKOVÁ SÍŤ ODSTRANĚNÍ BEZODTOKÝCH OBLASTÍ ORIENTACE TROJÚHELNÍKŮ SKLONY TROJÚHELNÍKŮ ANALÝZA HRAN VÝSTUPY ANALÝZY POVODÍ ROZVODNICE TVAROVÉ CHARAKTERISTIKY POVODÍ VÝSLEDKY VERIFIKACE A POROVNÁNÍ MODELŮ POROVNÁNÍ MODELŮ VYTVOŘENÝCH NA BÁZI TROJÚHELNÍKOVÉ SÍTĚ SROVNÁVACÍ MODEL NA BÁZI ČTVERCOVÉ SÍTĚ DISKUZE MĚŘICKÉ METODY DIGITÁLNÍ MODEL TERÉNU ANALÝZA POVODÍ ZÁVĚR SEZNAM INFORMAČNÍCH ZDROJŮ SEZNAM PŘÍLOH vii

8 1 Úvod Výběr tématu mé diplomové práce ovlivnily tři hlavní faktory. Prvním z nich byla láska k přírodě, která mě vedla k rozhodnutí, že při tvorbě diplomové práce nesmím strávit veškerý čas u počítače a v knihovnách, nýbrž alespoň část musím strávit nějakou prací v terénu. S tím úzce souvisí druhý faktor mého rozhodnutí. Již v posledním ročníku bakalářského studia jsem poprvé zavítal na jedno z šumavských experimentálních povodí, která provozuje Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelování Fakulty životního prostředí České zemědělské univerzity. Tehdy jsem zde pomáhal při infiltračních pokusech a krátce také při geodetickém měření a již v té době se v mé hlavě zrodila myšlenka, že by se moje diplomová práce mohla týkat některého z těchto povodí. Třetím faktorem byla záliba v hlavolamech a rébusech, díky které se jedním z mých nejoblíbenějších předmětů v prvním ročníku studia Environmentálního modelování stal předmět Počítačové modelování. Během jednoho roku jsem si díky tomuto předmětu a hlavně díky velmi pozitivnímu přístupu vyučujícího, pana Ing. Daniela Zahradníka, PhD., okruh mých zájmů rozšířil o programování. Později, když jsem se dověděl, že povodí Modrava 2 je jediné ze čtyř šumavských povodí KVHEM, které je zmapováno geodetickým měřením s dostatečnou podrobností, a je také jediné, pro které byl vytvořen podrobný digitální model terénu, rozhodl jsem se, že právě tvorba digitálního modelu terénu některého ze zbývajících experimentálních povodí bude tématem mé diplomové práce. O důvodu výběru povodí Modrava 1 bude pojednáno později v kapitole Zájmová oblast. Vzhledem k tomu, že nerad chodím po vyšlapaných cestách, jsem se rozhodl, že místo abych pro tvorbu modelu užil komerční software, raději vytvořit vlastní počítačový program. 1.1 Cíle diplomové práce Hlavním cílem práce je geodetické zaměření povodí Modrava 1 a tvorba digitálního modelu terénu povodí na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě pomocí - 2 -

9 vlastního souboru algoritmů. Podružnými cíli je vyšetření směrů odtoku povrchových vod, nalezení orografické rozvodnice a zjištění některých terénních a hydrologických ukazatelů povodí; to vše na základě vytvořeného digitálního modelu. Vytvořený program by měl být univerzální, použitelný pro libovolnou sadu výškových dat. Vedlejším, osobním cílem je rozvoj mých programovacích znalostí a schopností práce s programem R. 1.2 Struktura práce Text práce je rozdělen na několik základních celků. Kapitola 2 Teoretická část se v první podkapitole zabývá shrnutím problematiky tvorby digitálních modelů terénu s největším zaměřením na modely na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě. Další podkapitola se zaměřuje na triangulační algoritmy a jejich výhody a nevýhody. V obou případech je uvedena pouze stručná rešerše s odkazy na další doporučenou literaturu. Třetí kapitola Metodika podrobně popisuje postup prací na tvorbě digitálního modelu experimentálního povodí Modrava 1 od sběru dat, přes přípravu dat pro další použití, až po popis jednotlivých použitých algoritmů. Dále je v této kapitole uveden podrobný návod pro práci s předkládaným programem. Ve čtvrté kapitole jsou shrnuty výsledky a výstupy digitálního modelu terénu. Vzhledem k tomu, že výstupy mají převážně formu objemných datových tabulek, které jsou v textové formě pouze nepřehlednou změtí čísel, jsou výstupy znázorňovány povětšinou pouze formou grafů, diagramů a obrázků. Právě tyto obsáhlé obrazové výstupy jsou také důvodem značného rozsahu práce

10 2 Teoretická část Obsahem této kapitoly je shrnutí základních pojmů používaných v tomto textu a dále úvod do problematiky a stručná rešerše k tématům digitální modely terénu a triangulační algoritmy. 2.1 Základní pojmy Povodí Hrádek a Kuřík (2002) popisují povodí jako základní hydrologickou oblast, ve které je zkoumán hydrologický proces, a ve které je zjišťován vzájemný vztah bilančních prvků, a definují ho jako území z hydrologického hlediska uzavřené, do kterého nepřitéká žádná voda po povrchu ani pod povrchem. Je ohraničené rozvodnicí. Veškeré srážky, které na povodí spadnou, se povrchovým i podpovrchovým odtokem dostávají do tzv. uzavírajícího (nebo také uzávěrového) profilu, kde povodí opouštějí. Uzávěrový profil je nejnižším bodem celého povodí (Hrádek Kuřík 2002). Rozvodnice Rozvodnice je myšlená čára, která značí hranici mezi povodími. Rozlišujeme rozvodnici orografickou, která určuje povodí povrchových vod, a rozvodnici hydrologeologickou, která ohraničuje povodí podpovrchových vod. Orografická rozvodnice počíná v uzávěrovém profilu a probíhá terénem po hřbetnicích, hřebenech, vrcholech a sedlech. Průběh hydrogeologické rozvodnice je závislý na uložení nepropustných vrstev a na geologické stavbě území (Hrádek Kuřík 2002). Hydrogelogické a orografické povodí náležící ke stejnému uzávěrovému profilu se mohou v menší či větší míře lišit. Pokud je dále v této práci řeč o povodí či o rozvodnici, je vždy míněno povodí povrchových vod a rozvodnice orografická

11 Plocha povodí Plocha je nejzákladnější geometrickou charakteristikou povodí. Jedná se o plochu průmětu povodí do vodorovné roviny. Nejčastěji se udává v jednotkách [km 2 ] a stanovuje se planimetrováním z mapy (Moore Grayson Ladson 1991, Hrádek Kuřík 2002). Vzhledem k malé ploše zájmového území je však v této práci udávána v [m 2 ]. Způsob vypočtení plochy povodí v této práci je popsán v kapitole 3 Metodika. Délka povodí Délkou povodí se nazývá vzdálenost od nejvyššího bodu povodí k uzávěrovému profilu (Moore Grayson Ladson 1991). Sklon svahu, orientace svahu Sklon svahu v bodě je definován jako vertikální odchylka tečné plochy terénu v daném bodě od vodorovné roviny. Lze ji uvádět v procentech nebo ve stupních. Vhledem k nejednotnosti tvaru povodí se sklonové poměry vyjadřují charakteristikou střední sklon svahů v povodí, která se často určuje jednoduchým vztahem: H max H min I SV = 100 [%], (1) F kde H max a H min je maximální a minimální nadmořská výška v povodí [m] a F je plocha povodí [m 2 ] (Hrádek Kuřík 2002). Další možností je využití Herbstova vzorce, který počítá s průměrnou délkou vrstevnic: h lsi I SV = 100 [%], (2) F kde h je výškový interval mezi vrstevnicemi, l si průměrná délka vrstevnic v i- tém intervalu a F je plocha povodí (Hrádek Kuřík 2002)

12 Orientací svahu je míněna expozice svahu ke světovým stranám. V literatuře se lze setkat i s označením aspekt (angl. aspect) (Moore Grayson Ladson 1991, Bašta 2008). V bodě ji lze nejlépe definovat jako pravostrannou odchylku průmětu spádnice v daném bodě do vodorovné roviny od severu (neboli azimut). 2.2 Digitální modely terénu Názvosloví týkající se digitálních modelů reprezentujících terén není v literatuře zcela jednotné. Kromě výrazu digitální model terénu (Digital terrain model, DMT) se můžeme setkat například s výrazy digitální model reliéfu, digitální výškový (elevační) model (Digital elevation model, DEM), digitální model povrchu. Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí Výzkumného ústavu geodetického, topografického a kartografického (VÚGTK 2013) tyto názvy vykládá doslova takto: Digitální model terénu / reliéfu (DMT,DMR) (Digital terrain model, DTM): 1: digitální reprezentace zemského povrchu v paměti počítače, složená z dat a interpolačního algoritmu, který umožňuje mj. odvozovat výšky mezilehlých bodů 2: v USA má zpravidla formu nepravidelně rozmístěných výškových bodů, které optimálně vystihují terénní tvary včetně hran a výškových extrémů Digitální výškový model (Digital elevation model, DEM): 1: digitální model reliéfu pracující výhradně s nadmořskými výškami bodů 2: datová sada výškových hodnot, které jsou algoritmicky přiřazeny k 2rozměrným souřadnicím 3: v USA soubor nadmořských výšek ve vrcholech mříže vytvořené v pravidelných intervalech souřadnic x a y národního referenčního souřadnicového systému Digitální model povrchu (Digital surface model, DSM): - 6 -

13 zvláštní případ digitálního modelu reliéfu konstruovaného zpravidla s využitím automatických prostředků (např. obrazové korelace ve fotogrammetrii) tak, že zobrazuje povrch terénu a vrchní plochy všech objektů na něm (střechy, koruny stromů apod.). Podle tohoto lze říci, že anglicky psaná literatura rozlišuje rozdíl mezi výrazy Digital terrain model (DTM) a Digital elevation model (DEM) jako rozdíl v datové struktuře modelu (viz níže). V praxi se však setkáváme s vnímáním digitálního modelu terénu jako uspořádaného číselného pole představujícího prostorové rozdělení některých charakteristik terénu. Digitální elevační model je pak výraz podřazený předchozímu (DTM) a popisuje případ, kdy je jako charakteristika terénu použita výhradně nadmořská výška terénu (Moore Grayson Ladson 1991, Wilson Gallant 2000). V některé anglické literatuře je pak zkratka DTM užívána pro výraz Digital terrain modeling, což je obecný výraz pro veškeré techniky používané pro tvorbu digitálních elevačních modelů. Výrazy digitální model terénu a digitální elevační model tato literatura vnímá jako synonyma (Hengel Gruber Shrestha 2003 in Bašta 2008) Datové sítě modelů Digitální elevační modely můžeme rozdělit podle struktury datové sítě do tří základních typů (Obrázek 1). Obrázek 1: Struktury datových sítí: a) pravidelná síť, b) nepravidelná trojúhelníková síť a c) síť na bázi vrstevnic (Moore Grayson Ladson 1991) Nejužívanějšími z nich jsou modely na bázi pravidelné sítě (regular grid). Výšková data jsou zde strukturována do pravidelné sítě diskrétních bodů. Sítě mohou - 7 -

14 nabývat různých tvarů, nejčastěji se jedná o sítě čtvercové, alternativně však lze použít i sítě obdélníkové, dále čtyřhranné neortogonální či trojúhelníkové a hexagonální, přičemž může být v každém případě volena libovolná hustota datové sítě. Pro každý bod pravidelné sítě jsou uloženy hodnoty kartézských souřadnic x, y a z (Bašta 2008). Důvodem velkého rozšíření tohoto typu struktury modelu je především velice snadná implementace výpočetních algoritmů a také relativně malá výpočetní náročnost. Nevýhodami pravidelně strukturovaných sítí pak jsou především špatná schopnost zachycovat náhlé změny v elevaci terénu, ovlivnění výsledků rozlišením sítě (stejně tak i výrazné ovlivnění výpočetní náročnosti), nerealistické výsledky některých algoritmů hydrologických analýz a v neposlední řadě jednotnost rozlišení sítě v celé rozloze modelovaného území (Moore Grayson Ladson 1991). V českém jazyce jsou možnosti použití modelů na bázi pravidelné sítě a algoritmy hydrologických analýz na nich používaných velmi dobře shrnuty v pracích Bašty (2008) a Bartáka (2008). Další velmi rozšířenou datovou strukturou DEM je nepravidelná trojúhelníková síť (Triangulated irregular network, TIN). Používá ji například Tajchman (1981), Jones et al. (1990) a Yu et al. (1997). Struktura dat TIN je založena na bodech (tzv. uzlové body, anglicky nodes), které jsou nepravidelně rozmístěné na povrchu modelovaného terénu. Všechny tyto uzlové body jsou pomyslnými úsečkami spojeny do sítě, která celý povrch modelovaného terénu dělí v nepravidelné trojúhelníky (v anglicky psané literatuře zvané facets). Aby bylo dosaženo optimálního výsledku je vhodné, aby uzlové body byly umístěny v charakteristických místech terénu jako jsou: vrcholy, sedla, hřebeny, údolí (údolnice), lomové hrany atp. (Peucker Fowler Little 1978, Moore Grayson Ladson 1991). Metody používané pro tvorbu trojúhelníkové sítě (tzv. triangulace) budou podrobněji rozebrány v kapitole 2.3. Srovnání metod pro extrakci bodů pro TIN modely z modelů na bázi pravidelného gridu provedl Lee (1991). Na rozdíl od pravidelného gridu jsou v TIN modelech kromě x, y a z kartézských souřadnic ukládány ještě odkazy na sousední trojúhelníky. Ve výsledku je tedy třeba uložit tři datové tabulky: v první jsou zapsány kartézské souřadnice uzlových bodů, ve druhé jsou pro každý trojúhelník ukazatele na tři uzlové body a ve třetí jsou pro každý trojúhelník odkazy na tři sousední trojúhelníky (pokud leží trojúhelník na okraji modelu, je jedno místo odkazu prázdné). Existuje i druhá alternativa uložení, ve které je jako základní - 8 -

15 kámen brán uzlový bod namísto trojúhelníku. V takovém případě jsou pak pro každý bod uzlový uloženy kromě kartézských souřadnic odkazy na všechny jeho sousední body (připojené úsečkami) v daném pořadí (např. od nejsevernějšího souseda po směru hodinových ručiček). Druhá varianta je datově méně náročná, avšak je náročnější na implementaci výpočetních algoritmů hydrologických analýz (Peucker Fowler Little 1978). Souřadnice z bývá mezi uzlovými body nečastěji lineárně interpolována z vrcholů uzlových bodů trojúhelníku, kterému náleží. Lze však použít i specifické metody počítající se sklonem sousedních trojúhelníků, např. Bezierovy pláty Coonsovy plochy (Kilimánek 2006). Na bázi TIN modelů lze provádět nepřeberné množství analýz terénu. Nejběžnějšími analýzami jsou automatické stínování map (hill shading), analýza sklonu svahů (slope mapping), tvorba vrstevnic (contouring), analýza viditelnosti (line of sight) (Peucker Fowler Little 1978) a z hydrologických analýz pak například můžeme jmenovat vyhledání rozvodnice (watershed derive), nebo trasování odtoku (derive streem lines) (Vivoni 2004, Kilimánek 2006). Výhodou modelů na bázi TIN oproti modelům na bázi pravidelné sítě je především schopnost popisovat povrch v různých úrovních rozlišení v místech s větší členitostí terénu může být síť bodů libovolně zhuštěna a naopak; to zapříčiňuje větší efektivitu v ukládání dat. Navíc vzhledem k umístění uzlových bodů do význačných bodů terénu dochází u TIN modelů k lepší reprezentaci terénu než u gridu. Nevýhodou je složitější implementace výpočetních technik (Moore Grayson Ladson 1991). Třetí používanou datovou strukturou je síť na bázi vrstevnic (contour-based network). Ta se skládá z vrstevnic digitalizovaných do podoby tzv. Digital line graphs (DLG) a ze spádnic. Spádnice a vrstevnice jsou navzájem ortogonální a terén rozdělují na síť nepravidelných polygonů. Tuto strukturu poprvé představili Onstad a Brakensiek (1968, in Moore Grayson Ladson 1991). Její výhodou je především sledování přirozených tras odtoku, díky čemuž je možné zjednodušit složité třídimenzionální rovnice proudění na soustavu vzájemně závislých jednodimenzionálních rovnic. Proto se tato struktura uplatňuje hlavně v některých hydrologických aplikacích (Wilson Gallant 2002, Moore O Loughlin Burch 1988)

16 Hydrologicky korektní model terénu můžeme definovat jako model, který neobsahuje žádné terénní deprese (angl. sink), ať už vzniklé nepřesnou reprezentací terénu nebo takové, které se v terénu opravdu nachází. V modelech na bázi gridu často vznikají deprese vinou chyb při interpolaci dat. Depresí se u nich rozumí buňka, jejíž všechny sousední buňky mají vyšší hodnotu elevace (dno deprese), případně skupina buňek, jejichž okolní buňky splňují stejnou podmínku (uzavřená deprese, bezodtoká oblast) (Barták 2008). Analogicky se dá uvažovat o depresích a bezodtokých oblastech i v modelech na bázi TIN. Místo sousedních buněk stačí posuzovat sousední uzlové body modelu. Pokud model bezodtoké oblasti obsahuje, je potřeba je před prováděním všech hydrologických analýz odstranit

17 2.3 Triangulace S pojmem triangulace se můžeme setkat v mnoha různých významech napříč nejrůznějšími vědními obory. V tomto textu je však triangulací míněno rozdělení plochy nebo povrchu na trojúhelníky dle určitých pravidel. Triangulace je používána v nejrůznějších aplikacích například v kartografii (tvorba digitálních modelů terénu), v počítačové grafice (vizualizace prostorových dat), v biometrii (detekce otisků prstů), ke zpracování obrazu (segmentace a rozpoznávání vzorů) a v mnoha dalších aplikacích. V této kapitole poskytnu pouze stručný úvod do problematiky, která je velmi obsáhlá. Podrobnější informace je nutné dohledat v dalších zdrojích, kterých je k dispozici například v internetových knihovnách nepřeberné množství. Valná většina zdrojů se však věnuje výhradně jednomu konkrétnímu algoritmu. V českém jazyce obecně problematiku triangulačních algoritmů shrnuje velmi dobře Kolingerová (1999 a 2003) a Zábranský (2005). Z anglicky psané literatury více druhů algoritmů popisují Hjelle a Dæhlen (2010), ti navíc poskytují široký přehled další vhodné literatury. Stručně ale velmi přehledně popisuje většinu základních algoritmů také Shojaee (et al. 2006) Formulace problému a základní vlastnosti triangulací Máme dánu množinu bodů P={p 1,p 2,,p n } v R 2 a hledáme triangulaci T nad množinou P. Triangulace T nad množinou bodů P představuje takové planární rozdělení, které vytvoří soubor trojúhelníků t = {t 1,t 2,,t m } tak, aby platila všechna následující pravidla. (1) Libovolné dva trojúhelníky t i, t j T, t i t j mají společnou nejvýše jednu stranu. (2) Sjednocení všech trojúhelníků t T tvoří v euklidovském prostoru souvislou množinu. (3) Uvnitř žádného trojúhelníku neleží další bod P (Bayer 2013, Hjelle Dæhlen 2010). Počet hran a počet trojúhelníků konvexní triangulace je závislý na počtu uzlových bodů. Řídí se vztahy: N t = 2N k 2 (3) a

18 N h = 3N k 3, (4) kde N t značí počet vzniklých trojúhelníků, N h počet vzniklých hran, N počet uzlových bodů a k počet bodů tvořících konvexní obálku (Peucker Fowler Little 1978, Bayer 2013) Rozdělení triangulačních algoritmů Triangulační algoritmy patří mezi nejvíce teoreticky rozpracované postupy, přesto však vznikají stále nové algoritmy, které se co nejlépe snaží splňovat požadavky, které jsou na ně uplatňovány. Nejdůležitějšími požadavky na triangulace jsou především jednoduchost algoritmu, snadná implementace, vysoká výpočetní rychlost i pro značně objemné sady vstupních dat, malá citlivost na singulární případy a optimální tvar trojúhelníkové sítě. Některé z těchto požadavků stojí v kontrastu: jednoduchý algoritmus se snadnou implementací může jen těžko dosahovat vysokých výpočetních rychlostí (Bayer 2013). Triangulace můžeme rozdělovat z hlediska kvality různých kritérií na (1) lokálně optimální, (2) globálně optimální a (3) multikriteriálně optimální. Pro lokálně optimální triangulace platí, že každý čtyřúhelník tvořený dvojicí sousedních trojúhelníků je optimalizován vzhledem k vybranému kritériu. Kritérii pro lokální optimalizaci nejčastěji bývají minimální nebo maximální úhel v trojúhelníku, minimální nebo maximální výška trojúhelníku, poloměr opsané kružnice, poloměr vepsané kružnice, plocha trojúhelníku atd. Ve dvojici trojúhelníků může tedy být například maximalizován minimální úhel. Pro globálně optimální triangulace platí, že zadané kritérium musí být optimalizováno pro všechny trojúhelníky v celé triangulaci. Mezi globální kritéria patří například suma délek všech hran. Někdy je za globální kritérium považováno také kritérium obsahu tzv. povinných hran, tedy hran, které nesplňují lokální kritérium, avšak jsou povinně zahrnuty do triangulace. Multikriteriálně optimální triangulace kombinují více globálních či lokálních kritérií. Nejsou pro ně doposud známé dostatečně efektivní algoritmy (Bayer 2013, Kolingerová 1999). Běžněji jsou však v literatuře triangulace děleny podle jejich geometrické konstrukce. Mezi nejznámější patří (1) hltavá triangulace (greedy triangulation), (2)

19 Delaunayho triangulace, (3) triangulace s minimální váhou (Minimum Weight Triangulation, MWT), (4) triangulace s povinnými hranami (Constrained Triangulation) a (5) datově závislé triangulace (Data Dependent Triangulation, DDT) Hltavá triangulace Hltavá neboli greedy triangulace (GT) je složená z nejkratších možných, vzájemně se neprotínajících hran. Snadno se implementuje, avšak výpočetní složitost bývá velká, nicméně při vhodné úpravě algoritmu lze ji výrazně snížit (Dickerson Drysdale McElfresh 1998). U GT není brán zřetel na tvar trojúhelníků, a proto se příliš nehodí pro tvorbu digitálních modelů terénu. Výhodou je, že se do ní snadno vkládají povinné hrany (viz kapitola ). Pokud žádné dvě hrany nemají stejnou délku, je triangulace jednoznačná (Zábranský 2005). Algoritmus GT je jednoduchý a přímočarý; žádná z hran, které se postupně začleňují do triangulace, není dále měněna. Vypadá následovně: 1. Vytvoř seznam všech potencionálních hran a seřaď jej vzestupně podle jejich délky. 2. Vyber první hranu v seznamu (nejkratší) a pokud se nekříží s žádnou již přijatou hranou, zařaď ji do triangulace. 3. Opakuj krok 2, dokud není vybrán potřebný počet hran. Obrázek 2: Hltavá triangulace. Na obrázcích je patrné postupné včleňování hran. (Bayer 2013)

20 Delaunayho triangulace Delaunayho triangulace (DT) je v současné době jednou z nejpoužívanějších triangulací v nejrůznějších odvětvích včetně digitálního modelování terénu. Poprvé byla představena Borisem Nikolaevichem Delaunayem (anglická transkripce ruského jména Делоне) již v roce DT lokálně maximalizuje minimální úhel v trojúhelnících, čímž je dosaženo ideálního, neprotáhlého tvaru trojúhelníků. Pro danou množinu bodů je DT vždy jednoznačná, pokud žádné čtyři body neleží na jedné kružnici. Jedno ze základních pravidel DT je, že pro každý trojúhelník musí platit, že uvnitř kružnice jemu opsané nesmí ležet žádný další bod triangulace. Okraje DT jsou vždy shodné s její konvexní obálkou (Zábranský 2005, Shojaee Helali Alesheikh 2006). Obrázek 3: Delaunayho triangulace se znázorněnými opsanými kružnicemi. (Bayer 2013) Pro tvorbu Delaunyaho triangulací lze použít více různých metod. (1) Prohazování stran, (2) metoda rozděl a panuj, (3) inkrementální vkládání, (4) inkrementální konstrukce a další. Metoda prohazování stran (Edge flip) se zakládá na libovolné triangulaci, kterou lokálně vylepšuje až do konečné podoby DT. Jsou posuzovány čtyřúhelníky složené ze dvou sousedních trojúhelníků. V případě, že trojúhelníky nesplňují zadané kritérium, je

21 ve čtyřúhelníku použita opačná úhlopříčka. K vylepšování může být užito pravidlo o opsané kružnici případně lokální kritérium minimálního úhlu (Kolingerová 1999). Obrázek 4: Princip prohazování stran (edge flip) u nevyhovujících trojúhelníků. (Bayer 2013) Metoda Rozděl a panuj (Devide-and-Conquer) množinu vstupních bodů rozděluje na dvě přibližně stejně veliké podmnožiny, ty dále dělí a takto rekurzivně pokračuje, až zbude v každé podmnožině dostatečně malé množství bodů. Nad každou z těchto základních podmnožin vytvoří DT složenou pouze z několika trojúhelníků. Poté množiny bodů a triangulace opět spojuje a v místech spojů opravuje lokální nedostatky prohazováním hran na základě lokálního kritéria minimálního úhlu trojúhelníků. Výhodou tohoto algoritmu je nízká výpočetní náročnost (Hjelle Dæhlen 2010). Metoda inkrementálního vkládání v prvním kroku vytváří obalový trojúhelník, který obsáhne všechny zadané body. Následně do triangulace postupně vkládá náhodně zvolené body ze zadané množiny. Po vložení bodu nejprve vyhledá, ve kterém trojúhelníku současné triangulace leží. Poté přicházejí v úvahu dvě varianty: (1) Pokud leží uvnitř trojúhelníku, vzniknou tři nové trojúhelníky spojením aktuálního vkládaného bodu se všemi vrcholy trojúhelníku, ve kterém leží. (2) Pokud leží přesně v hraně triangulace, dva trojúhelníky, které tuto hranu sdílí, jsou rozděleny hranami vedoucími od vkládaného bodu do protějšího vrcholu trojúhelníku. Poté jsou všechny dotčené trojúhelníky

22 legalizovány případným prohozením stran pomocí pravidla o prázdné opsané kružnici. Pokud dojde u některého trojúhelníku k prohození, musí být provedena legalizace i u jeho sousedů. Takto pokračuje vkládání jednotlivých bodů, dokud nejsou všechny obsaženy v triangulaci. Na závěr je už jen odstraněn obalový trojúhelník a DT je hotová (Hjelle Dæhlen 2010, Zábranský 2005). Obrázek 5: Inkrementální vkládání. Na horní dvojici obrázků je znázorněn případ, kdy vkládaný bod je uvnitř trojúhelníku, na dolní dvojici je případ, kdy se vkládaný bod nachází na hraně. (Bayer 2013) Na počátku metody inkrementální konstrukce je vybrán libovolný bod ze zadané množiny. Často je jako pivot vybírán bod s extrémními souřadnicemi x nebo y. K němu je nalezen nejbližší bod, se kterým vytvoří směrově orientovanou úsečku a zároveň první hranu triangulace. Následně je na pravé straně od orientované úsečky hledán bod, který splňuje pravidlo o prázdné opsané kružnici, pokud není nalezen, změní se směr orientované úsečky a totéž se opakuje na opačné straně. Když je nalezen odpovídající bod, je spojen s aktuálně zkoumanou úsečkou do trojúhelníku, který je zahrnut do triangulace. Nově vzniklé hrany dostávají souhlasnou orientaci s první orientovanou úsečkou a jsou zařazeny do fronty. Následně je z fronty vždy odebrána první úsečka, na které se opakuje proces hledání dalšího vhodného bodu. Nově vzniklé hrany jsou opět řazeny na konec fronty. To se opakuje dokud, není fronta prázdná (Kolingerová 2003)

23 Obrázek 6: Metoda inkrementální konstrukce. Případ pivota s extrémní souřadnicí. (Bayer 2013) Existuje nepřeberné množství metod tvorby DT, výše zmíněné jsou však nejběžnější. Některé další příklady uvádí například Leifer (2006) Triangulace s minimální váhou Triangulace s minimální váhou (Minimal Weight Triangulation, MWT) je taková triangulace zadané množiny bodů, jejíž konvexní obal je shodný s konvexním obalem zadané množiny a součet délek všech hran triangulace je nejmenší možný. Lloyd (1977) dokázal, že ani Delaunayho triangulace ani greedy triangulace zadané podmínky MWT nesplňují. Tvorba MWT je velice náročná a dosud patří k ne zcela vyřešeným problémům výpočetní geometrie. Většinou se zakládá na výchozí greedy triangulaci, která je sice lokálně optimální vzhledem ke kritériu minimálních délek stran, avšak globálně optimální není (Zábranský 2005) Triangulace s povinnými hranami Triangulace s povinnými hranami (Constrained triangulation) není vlastně samostatnou kategorií. Jedná se o modifikace jiných typů nejčastěji Delaunayho

24 triangulace s povinnými hranami (Delaunay Constrained Triangulation, DCT) a greedy triangulace s povinnými hranami (Constrained Greedy Triangulation, CGT). Jsou to triangulace, které respektují některé předem zvolené hrany, pro které musí být splněna podmínka, že se nesmí vzájemně křížit. V některých případech povinné hrany umožňují věrněji reprezentovat modelovaný povrch. Vstupem těchto triangulací je kromě množiny bodů ještě množina takových hran. Tyto hrany modelují významné prvky terénní kostry, jako jsou hřbetnice a údolnice, a geomorfologické tvary například terénní zlomy, které mohou jinak být běžnou triangulací zanedbány a deformovány. Tvorba CGT je snadná. Povinné hrany jsou do triangulace zahrnuty již před začátkem algoritmu a nově zahrnované hrany se jim podřizují. Algoritmy DCT jsou na implementaci o poznání složitější. Lze například nejdříve vytvořit Delaunayho triangulaci a poté v místech povinných hran provádět lokální prohazování. Jejich použití popisují například Gudmundsson (et al. 2005) a Hjelle a Dæhlen (2010) Datově závislé triangulace Všechny dosud zmíněné triangulace byly striktně planární, vstupovaly do nich body zadané pouze kartézskými souřadnicemi x a y. Delaunayho triangulace sice vytváří vhodně tvarované trojúhelníky pro modelování terénu, ovšem právě pouze v rovině. Když se triangulovaným bodům následně přiřadí hodnota elevace, dochází k deformaci trojúhelníků a tím ke změně jejich vnitřních úhlů. V případě, že se v modelovaném terénu nenacházejí trojúhelníky s velkým sklonem, je tato deformace zanedbatelná. V opačném případě, dochází k výraznějším deformacím a tvar trojúhelníků přestává být ideální. Datově závislé triangulace (Data Dependent Triangulation, DDT) obsahují informace o výšce a podřizují jim optimalizační algoritmy. Vstupem bývá většinou již hotová triangulace (vzhledem k dobrému tvaru sítě to bývá Delaunayho triangulace) doplněná o zmíněná výšková data. Poté je tato triangulace optimalizována pomocí specializovaných kritérií, které popisují například Hjelle a Dæhlen (2010) nebo Zábranský (2005). Výhodou DDT je, že nemusí být vkládány povinné hrany, aby model více odpovídal realitě, výrazné body terénní kostry jsou algoritmem automaticky detekovány

25 3 Metodika Pro zhotovení digitálního modelu terénu byl vytvořen vlastní soubor skriptů a příkazů spustitelný ve statistickém programovacím prostředí R. Tento soubor je v textu práce pro zjednodušení nazýván programem, ačkoliv se o žádný samostatně spustitelný program nejedná. V první své podkapitole se kapitola Metodika zabývá informacemi o zájmovém území, v dalších pak už postupy a algoritmy, kterými bylo dosaženo výsledného modelu terénu. Následuje podrobný návod na užívání předkládaného programu. Model terénu byl nejprve vytvořen z kompletní sady změřených dat, následně byly jejím zredukováním na 75, 50 a 25 procent vytvořeny tři další zdrojové soubory dat. Z každého z nich byl opět vytvořen jeden model. Základní model je dále nazýván Model M1, ostatní v závislosti na procentuálním podílu použitých bodů Model M1_75, Model M1_50 a Model M1_25. Všechny čtyři modely byly verifikovány a porovnány s úmyslem zjistit, do jaké míry by bylo možné terén zájmového povodí dále generalizovat, aniž by došlo k výraznější ztrátě přesnosti modelu. Pro srovnání dvou typů modelů (TIN a grid) byl vytvořen také jednoduchý model na bázi pravidelné čtvercové sítě. Ten byl tvořen v komerčním softwaru ArcGIS 10 pomocí několika specializovaných funkcí. Aby bylo možné tento i postup zopakovat, uvádím v příloze 1 názvy použitých funkcí. Samotné funkce ovšem pro celou práci nestačí, je proto potřeba i základních znalostí a dovedností v programu ArcGIS

26 3.1 Zájmová oblast Zájmová oblast byla volena mezi třemi eventualitami. Povodí Modrava 2 bylo už zaměřeno dříve (Bašta 2008), zbývala tedy dvě modravská povodí a povodí Pastouška. Povodí Modrava 1 bylo vybráno z důvodu, že v mrtvém lese, který toto povodí pokrývá, začíná mladý smrkový podrost dosahovat většího vzrůstu a byla tedy poslední příležitost, zaměřit povrch pomocí totální stanice, než to bude podrostem znemožněno úplně. Na zbývajících povodích se nachází vzrostlý les, a proto je možnost měření touto metodou omezená. Povodí Modrava 1 bylo spolu s dalšími dvěma modravskými povodími založeno Katedrou vodního hospodářství a Katedrou biotechnických úprav krajiny FLE ČZU roku 1998 v rámci výzkumných aktivit grantového projektu VaV 620/6/97 Obnova biodiverzity a stability lesních ekosystémů v pásmu přirozeného rozšíření smrku na území NP Šumava (KVHEM 2013). Účelem bylo sledovat odlišnosti komponent srážkoodtokového procesu na územích s různým pokryvem. Lokalita Modrava 1 byla silně postižena kůrovcovou kalamitou, byla zde vyhlášena bezzásahová zóna NP Šumava, zůstal zde stát odumřelý smrkový porost, který nyní postupně podléhá větrným kalamitám. V povodí označovaném Modrava 2, byla povolena těžba kalamitního dřeva a zůstala zde paseka, která byla posléze zalesněna smrkem s příměsí klenu a jeřábu. Lokalita Modrava 3 nebyla zasažena kůrovcovou kalamitou vůbec, nachází se zde přibližně stopadesátiletý smrkový porost s příměsí buku (Pavlásek Máca Ředinová 2006). Zájmové povodí Modrava 1 se nachází v pramenné oblasti Roklanského potoka (hydrologické pořadí ) (Pavlásek Máca Ředinová 2006), na samé hranici České republiky s německým Bavorskem, asi tři kilometry východně od vrcholu Velkého Roklanu (1453 m n.m.) a dva kilometry jižně od Medvědí hory (1224 m n.m.). Lokalita leží na severním úbočí bezejmenného vrchu ležícího mezi Velkým Roklanem a Blatným vrchem (Vojenský kartografický ústav 1991)

27 Obrázek 7: Lokalizace zájmového území na mapě. Zdroj: mapy.cz Část suchých kmenů odumřelého lesa již vlivem větru popadala; probíhá zde postupná obnova smrkového lesa, některé mladé stromy již dosahují i větší než pětimetrové výšky. V horní části povodí se nachází také jednotlivě přimíšené jeřáby. Povrch terénu je pokryt travním porostem a popadanými suchými kmeny a větvemi. Hloubka půdního profilu je 0,4 0,6 m, půdním typem je podzol s nadložními horizonty s vyšší mírou zrašelinění (Pavlásek Máca Ředinová 2006). Dosud uváděné charakteristiky povodí byly odvozeny manuálně ze základní mapy 1:10 000, pro výpočet středního sklonu svahů byl použit vzorec dle Herbsta (Pavlásek 2013). Tabulka 1: Charakteristiky povodí zjištěné manuálním odečtením z mapy. KVHEM 2013 Plocha povodí 0,10 km 2 Min. nadmořská výška 1216 m n.m. Max. nadmořská výška 1270 m n.m. Střední sklon svahů 5,

28 3.2 Sběr dat Geodetická měření terénu probíhala ve dvou fázích. V první fázi v září 2011 prováděly dvě měřické skupiny zároveň měření dvěma různými metodami. První zvolenou metodou bylo tachymetrické měření pomocí totální stanice Topcon 105N v souřadném systému S-JTSK. Tato metoda se potýkala s několika problémy: špatná možnost připojení polygonového pořadu na body podrobného polohového bodového pole (nejbližší body PPBP se nachází na 2 km vzdáleném Blatném vrchu a na 2 km vzdálené Medvědí hoře), nevhodně zvolený polygonový pořad a zejména špatná viditelnost mezi odrůstajícími mladými smrky a suchými stojícími kmeny, kvůli které nebylo možno zachycovat výraznější lomové hrany a měřením pokrýt celé povodí. Proto byla tato metoda vyhodnocena jako nevhodná a pro potřeby diplomové práce nebyla takto získaná neúplná sada dat využita. Paralelně bylo prováděno druhé měření metodou diferenční GPS za použití GPS stanice Leica Pro korekci byla použita aktuální data z permanentních referenčních stanic sítě CZEPOS získávaná on-line přenosem mobilní internetovou sítí. Vzhledem k odlehlé poloze lokality u hranic s Německem, nebylo celé území dostatečně pokryto mobilním signálem, a proto nebylo možné celé povodí dokonale zmapovat. Navíc na severozápadním okraji povodí byl vlivem velice malého sklonu svahu nesprávně proveden prvotní odhad průběhu rozvodnice v terénu a v důsledku toho nebylo zaměřeno kompletně celé povodí. V září 2012 proběhla druhá fáze měření, za účelem doplnění chybějících dat. Bylo navázáno na diferenční GPS měření. Tentokrát však byla ke korekci použita mobilní referenční stanice druhý přístroj Leica umístěný nad bodem o známých souřadnicích. Tím byl vyřešen problém s nedostatečným mobilním porytím a mohlo být dokončeno měření i na německé straně lokality. Celkově bylo během obou fází naměřeno pomocí georeferenční GPS zaměřeno 410 bodů, z čehož 38 tvoří nezávislý verifikační soubor

29 3.3 Příprava dat Data naměřená pomocí GPS stanice byla extrahována pomocí softwaru Leica dodávaného s přístrojem. Pomocí stejného softwaru byla také data transponována z výchozího souřadnicového systému WGS 84 do systému S-JTSK. Na základě souřadnicového systému S-JTSK byl vytvořen pro větší přehlednost relativní souřadný systém s počátečním bodem v souřadnicích Y a X , souřadnice Z zůstává nezměněna. Dále bylo potřeba data upravit do vhodného formátu, výstupní formát byl pro programování nevhodný. K tomu posloužily programy Microsoft Office Excel 2003 a 2010, ve kterých byla data manuálně setříděna tabulky o šesti sloupcích (číslo bodu, souřadnice Y, souřadnice X, nadmořská výška Bpv, 3D přesnost deklarovaná měřicím přístrojem, poznámka) a následně byla manuálně odstraněna chybná data, která svými hodnotami výrazně nezapadala do normálu. Poslední úpravou bylo doplnění poznámky u dat, u kterých nebyla vytvořena již při terénním měření. Pole poznámky totiž nemůže zůstat nevyplněné. V tomto tvaru byla tabulka exportována do formátu.txt (s tabulátorem, coby oddělovačem sloupců a tečkou oddělovačem desetinných míst) a uložena jako Data.txt do pracovního adresáře. Slouží jako vstupní soubor do programu

30 3.4 Struktura programu Program se dělí na dvě základní části: tvorba modelu a analýza modelu. Obě tyto části se skládají z většího množství různě složitých funkcí, základní kostra je však velice jednoduchá a přímočará. Vše je znázorněno v diagramu na obrázku 8: Obrázek 8: Schéma programu

31 V počátku procesu probíhá příprava výpočetního prostředí. Nejprve jsou nainstalovány dva potřebné externí balíčky. Balíček rgl slouží pro zobrazování 3D grafiky a balíček tripack pro tvorbu trojúhelníkové sítě z jednotlivých bodů. Následně probíhá načtení vlastních funkcí z pracovního adresáře. Dále začíná samotná práce s daty nejprve načtením dat z pracovního adresáře ve formátu popsaném v kapitole 3.3. Následně jsou vyřazeny body, které nesplňují podmínky zadané jako argumenty (AccLimit, DistLimit) ve funkci TINmodel. První podmínka se vztahuje k přesnosti měření udávané přístrojem (Body zaměřené s menší přesností než je zadaný limit jsou ze seznamu odstraněny.), druhá k vzájemné vzdálenosti mezi jednotlivými body. (Pokud je vzdálenost mezi dvěma body menší než zadaný limit, jsou tyto považovány za zdvojený bod a jeden ze záznamů je odstraněn.) Následná tvorba trojúhelníkové sítě probíhá Delaunyho triangulací (případně Delaunyho triangulací s povinnými hranami constraint Delaunay triangulation) pomocí externího balíčku tripack; je používán algoritmus, který popisuje Renka (1996). Další tři části (odstranění bezodtokých oblastí, vytvoření a analýza seznamu trojúhelníků a analýza hran) budou podrobněji rozebrány v kapitole 3.5. Výstupem z první části programu jsou dvě grafická okna, v prvním z nich je model znázorněn ve 3D ve druhém je znázorněn ve 2D s barevně rozlišenými směry odtoku jednotlivých trojúhelníků. Analýza modelu začíná zjištěním rozvodnice povodí se zadaným závěrným profilem, následuje výpočet plochy povodí. Oběma algoritmům se budu rovněž věnovat v následující kapitole. U všech trojúhelníků je vypočtena jejich plocha pomocí obdobného algoritmu jako u výpočtu obsahu polygonu ( 3.5.6). U okrajových trojúhelníků povodí je navíc na základě lomových bodů rozvodnice a uzlových bodů modelu vypočteno, jaká jejich část se nachází uvnitř povodí. Na základě výsledků je dále váženým průměrem spočítán střední sklon svahů povodí a celková orientace terénu. Následuje verifikace modelu pomocí kritérií MAE a RMSE

32 3.5 Vybrané algoritmy a výpočty Podrobným popisem každé funkce programu by rozsah této práce příliš nabyl na objemu, proto jsou v této kapitole vybrány a podrobněji popsány pouze některé důležité a zajímavé algoritmy, jejichž průběh není zřejmý na první pohled Odstranění bezodtokých oblastí Odstranění bezodtokých oblastí je bezpodmínečně nutné k vytvoření tzv. hydrologicky korektního modelu, tedy aby z každého bodu na povrchu modelu bylo možné vést křivku odpovídající trajektorii tekoucí povrchové vody až k okraji konvexní obálce modelu. Pro vyhledání bezodtokých oblastí je třeba nejprve nalézt lokální minima, tzv. dna bezodtokých oblastí. Pro určení dalších bodů bezodtokých oblastí je použito prohledávání do šířky. Označené bezodtoké oblasti jsou odstraněny změnou hodnoty souřadnice Z každého označeného bodu na hodnotu průměru hodnot Z jeho sousedních bodů. Pokud je bezodtoká oblast rozlehlejší, je nutné tento postup opakovat ve více iteracích. Algoritmus tedy vypadá následovně: 1. Vyhledej buňky, které mají menší hodnotu Z než všechny jejich sousední buňky a zároveň neleží na konvexní obálce trojúhelníkové sítě. Ulož je jako buňky náležící k bezodtokým oblastem (Drainless) a přidej je také do množiny měněných bodů (ChangedPoints). 2. Jejich sousedy zařaď do fronty. 3. Odeber z fronty první záznam a prozkoumej, zda daná buňka má kromě bodů obsažených v seznamu Drainless i jiné sousedy s nižší hodnotou souřadnice Z. Pokud nemá, zařaď jí do seznamu Drainless, přidej do množiny ChangedPoints a její sousedy, které nejsou obsaženy v seznamu Drainless zařaď na konec fronty. 4. Krok 3. opakuj, dokud není fronta prázdná. 5. Bodům označeným v seznamu Drainless změň souřadnici Z na hodnotu vypočtenou jako průměr souřadnic Z sousedů každého z nich. 6. Proveď krok 1. a pokud není nový seznam Drainless prázdný opakuj i body 2. až

33 Zmíněný algoritmus je však vhodný pouze k odstranění menších bezodtokých oblastí uvnitř modelu. Při okrajích modelu (zejména v místě, kde odtok z povodí dosahuje okraje modelu) vytváří vady triangulace hráze, které neodpovídají realitě v terénu. Bezodtoké oblasti vzniklé těmito hrázemi je nutné řešit manuálně přidáním jednoho či několika bodů tzv. technických bodů vhodně umístěných do modelu přibližně v místech, kde očekáváme údolnici. Souřadnici Z u technických bodů volíme tak, aby voda z modelu mohla volně odtékat Vytvoření a analýza seznamu trojúhelníků Seznam trojúhelníků je vytvořen pomocí funkce triangles externího balíčku tripack. Každý trojúhelník je poté analyzován, je zjištěn jeho normálový vektor, na jehož základě je následně určen sklon trojúhelníku. Sklon trojúhelníku φ odpovídá odchylce roviny trojúhelníku od vodorovné roviny. Tato odchylka je rovna odchylce normálových vektorů zmíněných rovin. Sklon je tedy počítán pomocí rovnice odchylek dvou vektorů v prostoru: cos a b + a b + a b ϕ =. (5) a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 Pokud do rovnice dosadíme za a souřadnice normovaného normálového vektoru a za b normálový vektor vodorovné roviny b = (0,0,1), můžeme vhledem k tomu, že se jedná o dva jednotkové vektory rovnici zjednodušit na: cosϕ = a 3. (6) Na základě normálového vektoru je vypočtena i směrová orientace trojúhelníku. Tentokrát je počítána odchylka průmětu normálového vektoru trojúhelníku do vodorovné roviny od jednotkového vektoru (0,1,0). Rovnice odchylky vektorů nelze zjednodušit jako v předchozím případě. Navíc v případě, že vektor promítnutý do vodorovné roviny směřuje do II. nebo III. kvadrantu, je potřeba vypočtenou hodnotu odečíst od plného úhlu

34 Algoritmus analýzy je následující: 1. Vytvoř vektor U jako rozdíl 2. a 1. bodu trojúhelníku. 2. Vytvoř vektor V jako rozdíl 3. a 1. bodu trojúhelníku. 3. Vypočti souřadnice normálového vektoru jako vektorový součin vektorů U av podle rovnice: u v = ( u v v u, u v v u u v v u ) , 4. Pokud je hodnota Z normálového vektoru záporná, vynásob celý vektor Normálový vektor normuj. 6. Zjisti odchylku normálového vektoru trojúhelníku od normálového vektoru vodorovné roviny (0,0,1), převeď z radiánů na stupně. 7. Zjisti odchylku průmětu normálového vektoru trojúhelníku do vodorovné roviny od vektoru (0,1,0), převeď z radiánů na stupně. 8. Pokud souřadnice X normálového vektoru je menší než nula, odchylku vypočtenou v kroku 7 odečti od Opakuj body 1 až 8 pro každý trojúhelník

35 3.5.3 Analýza hran V modelu rozlišuji čtyři typy hran trojúhelníků podle sklonu trojúhelníků, jimž náleží a které oddělují. Prvním typem jsou hrany, které tvoří konvexní obálku. Každá z těchto hran náleží pouze jednomu trojúhelníku a je proto snadné je odlišit od ostatních typů. Všechny ostatní hrany náleží dvěma trojúhelníkům zároveň a v závislosti na sklonu trojúhelníků je můžeme rozdělit na hřbetnice, údolnice a hrany ve svahu. Toto rozdělení a označení jednotlivých hran je velice důležité pro následné analýzy tras odtoku povrchové vody a pro hledání rozvodnice. Algoritmus funguje na porovnání Z souřadnic tří význačných bodů ležících na kolmici ke zkoumané hraně a vypadá takto: 1. Prozkoumej sousední trojúhelníky, pokud existuje jen jeden sousední trojúhelník, přiřaď hraně typ 0 (konvexní obálka), kroky 2 až 4 přeskoč a pokračuj krokem V průmětu do vodorovné roviny najdi střed zkoumané hrany. Tímto bodem veď přímku kolmou ke zkoumané hraně a najdi její průsečíky se zbylými hranami obou sousedních trojúhelníků. 3. Tři význačné body nalezené v kroku 2 (střed zkoumané hrany a dva průsečíky) promítni zpět na povrch modelu, zjisti Z souřadnice každého z nových bodů. 4. Zjištěné souřadnice porovnej: Pokud Z souřadnice středu zkoumané hrany je vyšší než souřadnice obou průsečíků, přiřaď hraně typ 1 (hřbetnice) Pokud Z souřadnice středu zkoumané hrany je nižší než souřadnice obou průsečíků, přiřaď hraně typ 2 (údolnice) Pokud se Z souřadnice středu zkoumané hrany nachází mezi Z souřadnicemi průsečíků, přiřaď hraně typ 3 (hrana ve svahu) 5. Kroky 1 až 4 proveď pro každou hranu

36 Na obrázku Obrázek 9 jsou znázorněny popisované situace ve volném rovnoběžném zobrazení se zvýrazněnými význačnými body a jejich průměty do roviny π: Obrázek 9: Typy hran: a) hřbetnice, b) údolnice a c) hrana ve svahu

37 3.5.4 Nalezení trasy odtoku Algoritmus nalezení trasy odtoku je jeden z nejdůležitějších v celém programu. Je mnohokrát využíván i v dalších částech programu. Ze zadaných parametrů - souřadnic Y a X - nalezne nejstrmější cestu na okraj modelu, tato cesta simuluje trajektorii odtoku povrchových vod. Celý výpočet probíhá v průmětu do vodorovné roviny a pro jednotlivé lomové body trajektorie je dopočtena souřadnice Z odpovídajícího bodu na povrchu terénu. Výpočet celé trajektorie začíná v zadaných souřadnicích a probíhá v cyklech, přičemž v každém cyklu se posune do nového lomového bodu trajektorie (tzv. aktuální pozice) přes jeden trojúhelník ve směru spádnice na některou z protějších hran, nebo po jedné hraně do nižšího uzlového bodu modelu. 1. Zjisti číslo trojúhelníku, ve kterém se nachází zadané souřadnice. 2. V průmětu do vodorovné roviny nalezni průsečíky přímky dané zadaným bodem a normálovým vektorem trojúhelníku s hranami tohoto trojúhelníku. 3. Vyber ten průsečík, který odpovídá bodu s nižší souřadnicí Z a ulož ho jako tzv. aktuální pozici. 4. Zaznamenej současnou aktuální pozici jako poslední bod trajektorie. 5. Pokud aktuální pozice odpovídá některému z uzlových bodů modelu, pokračuj krokem 6a, pokud neodpovídá žádnému uzlovému bodu, pokračuj krokem 6b. 6. a) Nalezni všechny směry odtoku z aktuální pozice údolnice a spádnice trojúhelníků a vyber tu s největším kladným sklonem. Pokud se jedná o hranu údolnici, pokračuj krokem 7a, pokud se jedná o spádnici trojúhelníku pokračuj krokem 7b. b) Pokud je typ hrany (viz. kapitola 3.5.3), na které se nachází aktuální pozice, údolnice, pak pokračuj krokem 7a, jinak pokračuj krokem 7b. 7. a) Přepiš aktuální pozici na bod určený souřadnicemi nižšího bodu hrany. Pokračuj krokem 8. b) Urči číslo trojúhelníku, přes který poteče voda, a přepiš aktuální pozici na nižší z průsečíků hran tohoto trojúhelníku a přímky určené vektorem jeho spádnice a dosavadními souřadnicemi aktuální pozice. 8. Pokud se aktuální pozice nenachází na konvexní obálce modelu, opakuj kroky 4 až

38 3.5.5 Nalezení rozvodnice Algoritmus hledání rozvodnice funguje na velmi podobném principu jako algoritmus hledání trasy odtoku. Vstupním parametrem je však tentokrát řetězec, který se shoduje s poznámkou ve vstupním souboru dat u bodu odpovídajícího uzávěrovému profilu hledaného povodí. Algoritmus probíhá ve dvou větvích, které začínají v místě uzávěrového profilu a opět se stýkají v nejvyšším bodě povodí. 1. Zjisti číslo bodu, u kterého se shoduje poznámka s řetězcem vstupního parametru funkce. 2. Najdi lokální maxima modelu, body jejichž všichni sousedé mají nižší hodnotu souřadnice Z. 3. Najdi trojúhelníky obsahující uzlový bod zjištěný v kroku 1. Z těžiště každého z nich zjisti trasu odtoku. Rozděl trojúhelníky na takové, z jejichž těžiště vede trasa odtoku přes uzávěrový profil, a na ty, ze kterých nevede. 4. Najdi dvě tzv. kritické hrany hrany na rozmezí mezi trojúhelníky, jejichž těžiště v jednom případě náleží do povodí, ve druhém ne. 5. Pro každou kritickou hranu zjisti, zda je její typ hřbetnice. Pokud ano, jako výchozí bod dané větve rozvodnice urči okrajový bod hrany s vyšší hodnotou souřadnice Z. Pokud kritická hrana není hřbetnicí, najdi průsečíky hran obou sousedních trojúhelníků s přímkou danou souřadnicemi uzávěrového profilu a spádnicí každého z trojúhelníků. Jako výchozí bod větve rozvodnice v tomto případě vyber jediný průsečík ze čtyř, který se neshoduje s uzávěrovým profilem. 6. Výchozí bod větve ulož jako aktuální pozici. 7. Aktuální pozici ulož jako poslední lomový bod rozvodnice. 8. Pokud je aktuální pozice shodná se souřadnicemi některého z uzlových bodů modelu pokračuj krokem 9a, jinak pokračuj krokem 9b 9. a) Obdobným způsobem jako v bodech 3 a 4 najdi kritické hrany. Vyber tu, která směřuje vzhůru, a ověř, zda je hřbetnicí. Pokud je hřbetnicí, pokračuj krokem 10a, pokud není, pokračuj krokem 10b. b) Pokud je hrana, na které se nachází aktuální pozice hřbetnicí, pokračuj krokem

39 10a, pokud není, pokračuj krokem 10b. 10. a) Jako novou aktuální pozici ulož souřadnice okrajového toho bodu s vyšší hodnotou souřadnice Z hrany, na které se nachází dosavadní pozice (příp. kritické hrany). Pokračuj krokem 11. b) Jako novou aktuální pozici ulož průsečík přímky dané aktuální pozicí a vektorem spádnice sousedního trojúhelníku s jeho protější hranou. 11. Pokud se aktuální pozice neshoduje s některým z lokálních maxim, opakuj kroky 8 až Kroky 6 až 11 opakuj pro obě větve rozvodnice. 13. Polygon rozvodnice vytvoř jako vektor bodů, který začíná uzávěrovým profilem, pokračuje body první větve rozvodnice a body druhé větve rozvodnice zkrácené o poslední bod lokální maximum, v převráceném pořadí Výpočet plochy povodí 1987): Plocha povodí je vypočtena z polygonu rozvodnice pomocí rovnice (Beyer A = abs x y 1 1 x y x y 2 2 x y x y n n x y 1 1, (7) kde n je počet lomových bodů rozvodnice. Pro potřebu programu byl vzorec upraven následovně: xn x1 xi xi+ 1 y n = + 1 n y1 yi yi+ 1 A abs. (8) = 1 2 i 2 Vlastní algoritmus lze z této úpravy vzorce snadno vyvodit

40 3.5.7 Verifikace modelu Model je verifikován pomocí nezávislé verifikační sady měřených bodů. Pro každý verifikační bod je zjištěna modelovaná nadmořská výška ve stejných souřadnicích Y a X. Na takto získaná rezidua je pohlíženo skrze kritéria MAE a RMSE. Vzorce kritérií jsou dány rovnicemi: MAE = n i= 1 Z mod [ i] ver [ i] n Z (9) a RMSE = n ( Z mod [ ] Z ver [ ]) i i i= 1 n 2, (10) ve kterých Z mod značí souřadnici Z určenou modelem, Z ver značí měřenou souřadnici Z ze souboru verifikačních dat a n je počet verifikačních bodů

41 3.6 Práce s programem V této kapitole je krok po kroku uvedeno, jak pracovat s programem přiloženým na CD. Příkazy zadávané do konzole programu R jsou v textu uvedeny na jednotlivých řádcích a jsou předznamenány symbolem >. Tento symbol se do příkazového řádku nezadává. Nezadává se ani případné interpunkční znaménko uvedené na konci řádku s příkazem, příkaz musí vždy končit symbolem ) Příprava prostředí Pro práci s programem je třeba mít nainstalovaný software R (volně dostupný ze stránek projektu Všechny skripty byly napsány pro verzi R , pro jiné verze nelze funkčnost skriptů zcela garantovat. Před započetím práce je potřeba připravit pracovní adresář, do kterého je nutné nahrát všechny skripty (soubory formátu *.R) z adresáře Skripty na přiloženém CD a vstupní soubor dat ve formátu *.txt v potřebné úpravě (viz kapitola 3.3). Pokud máme soubory připravené a software nainstalovaný, spustíme jej poklepáním na jeho ikonu. Objeví se okno s konzolou R Console, ve kterém je potřeba nastavit cestu k pracovnímu adresáři příkazem: >setwd( adresa ), kam je navíc zapotřebí místo slova adresa zkopírovat cestu k připravenému pracovnímu adresáři. Příkaz vepíšeme či zkopírujeme do posledního, aktivního řádku konzole vyplníme adresu a potvrdíme klávesou enter. Nastavení pracovního adresáře lze rovněž provést v rozbalovacím menu File Change dir, kde správný adresář vybereme ze zobrazeného adresářového stromu. Před započetím práce je také vhodné odstranit všechny proměnné, které mohou být v paměti programu uloženy z předchozích sezení. K tomu slouží příkaz: >rm(list=ls())

42 Pokud již v počítači nainstalované nejsou, je dále nutné instalovat dva externí balíčky používané v předkládaném programu. V rozbalovacím menu klikneme na Packages Instal packages a v okně Packages vybrat možnosti rgl a tripack. Vícenásobný výběr se provádí se stisknutou klávesou ctrl. Je možné, že před samotným výběrem balíčku, bude nutné vybrat také umístění serveru, odkud mají být balíčky staženy (tzv. CRAN mirror). V takovém případě se namísto okna Packages nejdříve zobrazí okno Select CRAN mirror, ve kterém provedeme výběr serveru. Nejvhodnější je zvolit umístění serveru v některé blízké lokalitě. Poslední přípravnou akcí je načtení všech funkcí programu. To provedeme zadáním příkazu: >source( sourceall.r ) Tvorba modelu terénu Model terénu vytvoříme ze zadaného souboru dat vyvoláním funkce TINmodel: >Model=TINmodel(), čímž zároveň do proměnné Model (typ list) uložíme všechny potřebné informace o vytvořeném modelu terénu. Název proměnné můžeme samozřejmě vybrat libovolný jiný. Do kulatých závorek je možné zadávat hodnoty následujících argumentů oddělené čárkami. DataSource udává název vstupního souboru dat v pracovním adresáři. Zadává se ve formátu DataSource= Název.txt. AccLimit udává limit požadované přesnosti měření deklarované stanicí GPS v metrech. Zadáním hodnoty 0 nebo záporné hodnoty bude třídění vynecháno a budou použita všechna data bez ohledu na přesnost měření. DistLimit udává limit minimální vzájemné vzdálenosti dvou uzlových bodů v metrech. Body, které jsou k sobě blíže, budou považovány za jeden zdvojený bod a záznam s menší přesností měření bude odstraněn. Zadáním hodnoty 0 nebo záporné hodnoty bude třídění vynecháno. ConstraintNote je vektor proměnných typu string, které označují uzlové body, jež jsou určeny jako uzlové body tzv. povinných hran Delaunayho triangulace. Tyto

43 body musí být ve vstupním souboru dat uvedeny ve správném pořadí a se shodným označením v posledním sloupci Poznámka. Zadává se ve formátu ConstraintNote=c( Poznámka 1, Poznámka 2, Poznámka 3 ). Pokud je vektor zanechán prázdný, v modelu nebudou použity povinné hrany. Pokud jsou některé poznámky v příkazu vynechány, nabývají těchto výchozích hodnot: DataSource="Data.txt", AccLimit=0.15, DistLimit=0.15, ConstraintNote=c(). Výpočet může při vyšším počtu záznamů vstupního souboru trvat i několik minut. Po úspěšně provedeném výpočtu se objeví nové okno grafického rozhraní rgl s trojrozměrným znázorněním modelu terénu a grafické okno s dvourozměrným znázorněním modelu terénu s barevně odlišenými trojúhelníky různé orientace, doplněné o okno s legendou. Posledním krokem tvorby modelu je extrahování dat z proměnné Model a jejich uložení jako globální proměnné: >globalize(model). Tím je model hotov a připraven k analýze Analýza modelu Funkci pro analýzu modelu vyvoláme příkazem: >Basin=basinAnalysis(Model,BEnote), kde do kulatých závorek uvedeme až dva parametry. Parametr Model je povinný, zadáváme jím proměnnou, do které byl uložen výstup z procedury TINmodel (v našem případě proměnná Model), a na jejímž základě je prováděna analýza. Druhým parametrem je BEnote, který udává řetězec (ohraničený uvozovkami), jímž je označen uzávěrový profil povodí v poznámce vstupního souboru dat. Pokud druhý parametr vynecháme, bude použita výchozí hodnota BEnote= PRELIV. Procedura je poněkud náročná, a proto může výpočet trvat delší dobu. Po výpočtu je do aktivního grafického okna vykreslena rozvodnice. Informace o povodí výstup z analýzy lze zobrazit v konzoli vypsáním proměnné BasinInfo

44 >BasinInfo Proměnná BasinInfo obsahuje informace o souřadnicích uzávěrového profilu, ploše, průměrném sklonu a orientaci povodí Interaktivní funkce V programu je obsaženo i několik interaktivních funkcí. Ty se vždy aktivují zadáním příslušného příkazu v příkazovém řádku konzole. Tedy: >zoomin() >thispoint() >nearestnode() >placedrop() nebo >distance(). Následně se spustí po kliknutí do příslušného místa v aktivním grafickém okně. Funkce zoomin otevře nové grafické okno a vytiskne do něj výřez modelu určený dvěma diagonálně umístěnými rohovými body načtenými dvojím kliknutím do původního grafického okna. Nově otevřené grafické okno se okamžitě stává aktivním, a proto všechny další interaktivní funkce se vztahují právě k němu. Zavřením okna s výřezem se stane opět aktivním předcházející grafické okno. Do kulatých závorek je možné uvést parametr type, který specifikuje typ zobrazení modelu. Type=1 barevným odlišením trojúhelníků vykresluje orientaci terénu, Type=3 vykresluje sklon jednotlivých trojúhelníků, Type=2 je kombinací předchozích možností. Funkce thispoint zobrazí informace o bodu označeném kliknutím do zobrazení modelu. Zobrazovanými informacemi jsou Y, X a Z souřadnice bodu, číslo trojúhelníku, kterému zadaný bod náleží, a informace o tomto trojúhelníku (sklon, orientaci terénu,

45 plochu trojúhelníku resp. jeho průmětu do vodorovné roviny a plochu, kterou daný trojúhelník přispívá do povodí). Funkce nearestnode zobrazí informace o nejbližším uzlovém bodu modelu (číslo bodu v modelu, Y, X a Z souřadnice a poznámka k bodu uvedená ve zdrojovém souboru dat). označených v modelu. Funkce distance vypíše do konzole vzdálenost (v metrech) dvou bodů Poslední interaktivní funkcí je placedrop, která zobrazí trasu povrchového odtoku z příslušného bodu modelu zadaného kliknutím do aktivního grafického okna Uložení a načtení modelu Program umožňuje hotový model uložit a následně znovu načíst a zobrazit, což je výhodné vzhledem k náročnosti výpočtu. K ukládání projektu slouží funkce savep: >savep(file,tosave), kde se do kulatých závorek uvádí dva parametry. Prvním je File, název souboru, do kterého bude projekt uložen. Řetězec názvu se zadává v uvozovkách. Pokud je tento parametr vynechán, je použita defaultní hodnota File= project1. Druhým parametrem je seznam proměnných, které mají být uloženy, ToSave. Zadává se ve formátu ToSave=list(Model,Basin). K načtení projektu slouží funkce >loadp(file), kde se za parametr File zadává název načítaného souboru v uvozovkách. Po načtení souboru jsou otevřena grafická okna se znázorněním modelu ve 2D a v 3D a program je připraven k dalšímu užívání

46 3.6.6 Funkce pro ovládání grafiky Funkce pro grafické zobrazení modelu jsou integrovány už i v obalových funkcích TINmodel a basinanalysis, nicméně je možné je používat i samostatně. Je však možné je použít pouze v případě, že základní model byl již vytvořen. Dvourozměrný model je možné zobrazit funkcí: >plotmodel2d(points,triangles,tslope,tdirection,type=1,maxslope=30). Parametry Points, Triangles, TSlope a TDirection necháváme vyplněny jako v uvedeném příkladu, Type udává typ zobrazení (v závislosti na zobrazovaných veličinách) a může nabývat hodnot od 1 do 3 (1 = orientace terénu, 2 = orientace a sklon terénu, 3 = sklon terénu). Pokud zůstane parametr nezadán, je použita výchozí hodnota 1. Parametr MaxSlope má význam pouze při hodnotě předchozího parametru Type=3, ovlivňuje rozsah sklonů odlišovaných v modelu rozdílnými odstíny. Maximální sklon se zadává ve stupních, a pokud zůstane parametr nevyplněn, je použita výchozí hodnota 30. Trojúhelníky se sklonem vyšším, než je udaný tímto parametrem, jsou vyplněny černou barvou a jejich sklony tedy nelze odlišit. Prostorové zobrazení modelu je spouštěno příkazem: >plotmodel3d (Points,Triangles,ChangedPoints). Otevírá se v samostatném okně rgl a je možné jej ovládat myší (přiblížení a rotace modelu). Funkce zobrazení rozvodnice do modelu může proběhnout pouze v případě, že je průběh rozvodnice již spočítán. Je vyvolávána příkazem: >plotbasindivide(). Poslední funkcí pro ovládání grafiky je: >plotridgeetthalweg(points,arcs,triangles,tslope,tdirection)

47 Zobrazuje do dvourozměrného modelu, která hrana je údolím a která hřebenem. Hřebeny jsou zvýrazněny silnější černou linkou, údolí šedě. Funkce není obsažena v balíku načítaném příkazem sourceall (viz Příprava prostředí 3.6.1), a proto je nutné ji před případným použitím načíst příkazem: >source( plotridgeetthalweg.r ) Příklad použití Na následujících řádcích je na měřených datech z povodí Modrava1 uveden příklad, jak může vypadat sekvence příkazů zadávaná do příkazového řádku konzole. >Model=TINmodel (DataSource= Data.txt, AccLimit=0.15, DistLimit=0.15) >globalize(model) >Basin=basinAnalysis(Model,BEnote= PRELIV ) >BasinInfo >savep(file= Priklad, ToSave=list(Model,Basin)) V příkladu je nejdříve vytvořen celkový model, který je uložen do proměnné Model. Všechny jeho důležité části jsou dále uloženy do globálních proměnných, na jejichž základě je provedena analýza povodí, jehož uzávěrový profil je označen poznámkou PRELIV. Dále jsou v konzoli vytištěny informace o povodí a celý projekt je uložen do souboru s názvem Priklad. Při dalším spuštění programu R je možné tento projekt opět načíst příkazem: >loadp( Priklad )

48 4 Výsledky a výstupy digitálního modelu terénu Kapitoly Výstupy analýzy terénu i Výstupy analýzy povodí předkládají výsledky pouze z původního, nezredukovaného souboru dat Model M1, výstupy z ostatních modelů jsou vyobrazeny v přílohách 2-5. V kapitole Výsledky verifikace a porovnání modelů jsou modely porovnány z hlediska kritérií MAE (mean absolut error - střední absolutní chyba) a RMSE (root mean square error odmocněná střední kvadratická chyba) (viz rovnice 7 a 8). Výstupem z digitálního modelu terénu jsou převážně obsáhlé datové tabulky, které nejsou v textové podobě vůbec vypovídající, proto jsou pro prezentaci výsledků použita zejména grafická znázornění pomocí obrázků, grafů a diagramů

49 4.1 Výstupy analýzy terénu Bodové pole V terénu bylo celkem zaměřeno 410 bodů, z toho 38 tvoří samostatný soubor určený pro verifikaci modelu. Část základního souboru (7 bodů) byla odstraněna již při manuální přípravě dat. Ze souboru dat určených pro tvorbu modelu bylo 72 položek odstraněno pro nedostatečnou přesnost měření deklarovanou přístrojem (při limitu přesnosti 15 cm). Další dva body byly posléze odstraněny pro jejich duplicitu s jinými. (Limitní vzdálenost dvou bodů byla stanovena rovněž na 15 cm.) Tři body byly naopak do souboru manuálně přidány při odstraňování bezodtokých oblastí. Model je tedy tvořen 294 uzlovými body, které jsou zhuštěny v místech s větší členitostí terénu a v místech, kde byl předpokládán průběh rozvodnice a údolnice zkoumaného povodí. Jejich rozmístění je zobrazeno na obrázku. Obrázek 10: Bodové pole modelu M

50 4.1.2 Trojúhelníková síť Trojúhelníková síť byla vytvořena Delaunyho triangulací bez povinných hran. Celý model je tvořen 571 trojúhelníky s celkem 864 hranami. Konvexní obálku modelu tvoří 15 bodů. Celková plocha modelu čítá 38,57 ha. Obrázek 11: Triangulační síť modelu M

51 4.1.3 Odstranění bezodtokých oblastí Vlivem vad triangulace při okraji modelu vznikla v severní části modelu (v místě kde se tok opouští model) hráz, která neodpovídá reálnému terénu a díky níž vznikla v modelu rozsáhlá bezodtoká oblast. Pokud by taková oblast byla odstraněna prostým vyplněním pomocí algoritmu uvedeného v kapitole 3.5.1, došlo by ke značnému znehodnocení modelu. Proto byly do zdrojových dat manuálně přidány tzv. technické body, které tuto hráz odbouraly, a model byl vytvořen znovu z aktualizovaných vstupních dat. V těchto místech proto model sice neodpovídá realitě, ale vzhledem k tomu, že se tato část nachází až pod uzávěrovým profilem zájmového povodí, nebude výpočet rozvodnice ovlivněn. Hráz je patrná jako červené trojúhelníky v severní části modelu na obrázku v příloze 6, obrázek znázorňuje orientaci svahů modelu před doplněním technických bodů. Souřadnice vkládaných technických bodů jsou uvedeny v tabulce 2. Tabulka 2: Souřadnice technických bodů. Pořadové číslo bodu Označení bodu Souřadnice Y (East) Souřadnice X (North) Nadmořská výška (Bpv)[m] Na nový model byl aplikován výše zmíněný algoritmus pro automatické odstranění bezodtokých oblastí, žádná další bezodtoká oblast však nebyla nalezena, a proto u žádného bodu nemusela být změněna souřadnice Z

52 4.1.4 Orientace trojúhelníků Orientace trojúhelníků a směry odtoku pro každý trojúhelník byly vypočteny na základě metodiky uvedené v kapitole 3.5.2, výsledek je graficky prezentován na následujícím obrázku. Pro rozlišení orientace trojúhelníku byla použita paleta 360 odstínů, každý odstín pro jednostupňový interval. Jednotlivé odstíny a směry, které symbolizují, jsou zobrazeny v kruhovém diagramu dole na obrázku 12. Obrázek 12: Model M1 - orientace terénu a směry odtoku

53 V grafu 1 je znázorněno rozložení orientace terénu v celém modelu v desetistupňových intervalech. Graf 1: Rozdělení orientací terénu v modelu M1. Z obou znázornění orientací je patrné, že model zobrazuje hlavně svah se severovýchodní až východní orientací. Data rozložení orientací terénu modelu M1 v tabulkové podobě jsou součástí přílohy

54 4.1.5 Sklony trojúhelníků Sklon terénu v jednotlivých trojúhelnících byl vypočten metodou uvedenou v kapitole Grafické znázornění sklonů mezi 0 a 30 stupni je zobrazeno na obrázku 13. Sklon [ ] Obrázek 13: Model M1 - sklony svahů. Průměrný sklon svahů v celém modelu je 6,17. Terén je v lokalitě velmi málo členitý, výraznějším prvkem je pouze pramenná jímka v severní části. Trojúhelníky v blízkosti okraje modelu sklonem nemusí odpovídat skutečnému terénu vzhledem k jejich

55 neideálnímu, protáhlému tvaru. Rozložení sklonů je znázorněno v grafech 2 a 3. První z grafů vykresluje rozložení sklonů v normálním měřítku, druhý s logaritmickým měřítkem na ose y. Zdrojové tabulky grafů jsou součástí přílohy 2. Graf 2: Rozdělení sklonů terénu v modelu M1v normálním měřítku. Graf 3: Rozdělení sklonů terénu v modelu M1 v logaritmickém měřítku na ose y

56 4.1.6 Analýza hran Analýza hran je prováděna zejména pro potřeby dalšího průběhu programu, samotná není příliš zajímavým ani vypovídajícím výstupem. Výsledky jsou znázorněny na obrázku v příloze Výstupy analýzy povodí Předmětem analýzy modelu byl terén experimentálního povodí Modrava 1, s uzávěrovým profilem situovaným v místě hrotu thomsnova měrného přelivu. Souřadnice tohoto bodu v systému S-JTSK jsou Y = a X = Nadmořská výška v systému Balt po vyrovnání je m. Nejprve byl zjištěn tvar povodí, z něj celková plocha povodí a dalšími výpočty pak tvarové charakteristiky povodí. V této kapitole uvádím výsledky modelu M1, který je brán jako stěžejní

57 4.2.1 Rozvodnice Hledání rozvodnice probíhalo podle algoritmu uvedeného v kapitole od uzávěrového profilu cestou největších sklonů, tj. nejstrmějších spádnic trojúhelníků, a hřebenů, až k vrcholu povodí. Práce byla usnadněna specifickým tvarem povodí, které je tvořeno pouze jedním svahem, rozvodnice proto probíhá pouze přes jeden vrchol lokální maximum a neprobíhá žádným sedlem. Průběh rozvodnice je patrný z obrázku 14. Obrázek 14: Model M1 rozvodnice

58 4.2.2 Tvarové charakteristiky povodí Na základě vzorce z kapitoly byla určena plocha povodí, následně byl zjištěn průměrný sklon svahů a celková orientace povodí. Výsledné hodnoty jsou uvedeny v tabulce 3. Tabulka 3: Hodnoty terénních charakteristik povodí v modelu M1. Plocha povodí [m 2 ] Délka rozvodnice [m] Délka povodí [m] Průměrný sklon svahů [ ] 6.68 Celková orientace povodí [ ] Min. nadmořská výška [m n.m.] 1212,6 Max. nadmořská výška [m n.m.] 1279,2 Orientace svahů povodí Povodí sestává prakticky pouze z jediného svahu, tomuto faktu odpovídá i rozložení orientací svahů, kde naprostá většina plochy leží mezi 50 a 90 stupni. Výsledky jsou zobrazené v grafu 4 a v tabulce

59 Graf 4: Rozdělení orientací terénu v povodí pro model M1. Tabulka 4: Hodnoty rozdělení orientací terénu v povodí pro model M1. Orientace[ ] Plocha[m^2] Orientace[ ] Plocha[m^2]

60 Sklon svahů povodí Terén povodí je jednotvárný, mírně svažitý. Jediný výraznější terénní prvek je pramenná jímka v severní části povodí. Většina plochy povodí je odkloněna od vodorovné roviny pod úhlem čtyř až deseti stupňů. Rozdělení sklonů je znázorněno v grafech 5 a 6 a v tabulce 5. Graf 5: Rozdělení skolnů svahů v povodí pro model M1 v normálním měřítku

61 Graf 6: Rozdělení sklonů svahů v povodí pro model M1 v logaritmickém měřítku na ose y. Tabulka 5: Hodnoty rozdělení sklonů v povodí pro model M1. Sklon[ ] Plocha[m^2] >

62 4.3 Výsledky verifikace a porovnání modelů Každý z modelů byl verifikován sadou 38 nezávislých bodů podle kritérií MAE a RMSE, jejichž rovnice jsou uvedeny v kapitole Cílem bylo určit, do jaké míry lze generalizovat povrch terénu v modelu povodí Modrava 1, aniž by došlo k výraznému poklesu pravdivosti modelu, a zda by naopak nebylo vhodné Model M1 doplnit o další měřené body. Hodnoty verifikačních kritérií jsou uvedeny v tabulce 6 a znázorněny v grafech 7 a) a 7 b). Tabulka 6: Hodnoty verifikačních kriterií MAE a RMSE pro jednotlivé modely. Model M1 M1_75 M1_50 M1_25 Počet uzlových bodů modelu MAE [m] RMSE [m]

63 Graf 7: Hodnoty verifikačních kriterií: a) MAE, b) RMSE. V obrázku 15 je zachyceno prostorové rozložení reziduí jednotlivých modelů

64 Obrázek 15: Prostorové rozložení reziduí v jednotlivých modelech

65 4.3.1 Porovnání modelů vytvořených na bázi trojúhelníkové sítě Čtyři vytvořené modely podávají čtyři různé sady výsledků. Pro jejich porovnání slouží tabulka nejdůležitějších charakteristik modelových povodí (Tabulka 1Tabulka 7). Tabulka 7: Srovnání terénních charakteristik povodí udávaných jednotlivými modely. Model Jednotka M1 M1_75 M1_50 M1_25 Plocha povodí [m 2 ] Délka rozvodnice [m] Průměrný sklon svahů [ ] Orientace povodí [ ] V obrázku 16 jsou vyznačeny, rozvodnice vytvořené jednotlivými modely. Nejzásadněji se od ostatních odlišuje rozvodnice vytvořená modelem M1_25, zbylé mají velice podobný průběh. Rozvodnice modelu M1_75 se poněkud výrazněji odlišuje pouze v horní části a na jihovýchodní hranici povodí, rozvodnice modelu M1_25 tvarově kopíruje základní model M1, pouze v některých místech se mírně odklání směrem ven z povodí

66 Obrázek 16: Porovnání průběhu a tvaru rozvodnic nalezených různými modely Srovnávací model na bázi čtvercové sítě Model sloužící pro rámcové porovnání metod založených na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě a pravidelné čtvercové sítě, byl vytvořen v programu ArcGIS. Byl použit nejjednodušší algoritmus pro distribuci odtoku z jednotlivých bodů, algoritmus zvaný D8. Různé používané algoritmy shrnuje Bašta (2008). Plocha povodí vypočtená tímto modelem čítá m 2 ; další, grafické výstupy modelu na bázi čtvercové sítě jsou připojeny v příloze

67 5 Diskuze Cílem této kapitoly je zhodnocení použitých metod uvedených v metodice v kapitole 3 a shrnutí a zhodnocení výsledků a výstupů diplomové práce uvedených v kapitole Měřické metody Pro sběr tachymetrických dat byly použity dvě techniky. První zvolenou technikou bylo použití totální stanice Topcon 105N, druhou použití referencované GPS stanice Leica Užití totální stanice se ukázalo být nevhodným, vzhledem ke značné míře pokrytí povrchu lokality odrůstajícím smrkovým podrostem. V podrostu bylo možné nacházet průhledy přes značnou část plochy povodí, nicméně zaměřovat konkrétní body, lomové hrany atp. potřebné pro model terénu na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě bylo téměř nemožné. Práce postupovala velmi pomalu, z vytvořeného polygonového pořadu navíc nebylo možné dobře zaměřit celou plochu povodí. Další nevýhodou byla velká vzdálenost bodů podrobného polohového bodového pole potřebných pro zaměření hlavního polygonového pořadu. Jako vhodnější se ukázalo použití georeferencované GPS stanice. Vzhledem k velmi odlehlé lokalitě a nedostatečnému pokrytí mobilním signálem však nebylo možné v celé ploše povodí použít informace ze stabilních referenčních stanic sítě CZEPOS. Proto byla v poslední fázi měření užita mobilní referenční stanice ustanovená nad bodem o známých souřadnicích. To se nakonec ukázalo jako nejlépe použitelná měřická metoda pro povodí Modrava 1. Výraznou výhodou této lokality pro tento způsob měření byla absence stromového patra a tím velice dobrá dohlednost družic GPS

68 5.2 Digitální model terénu Cílem diplomové práce bylo vytvořit digitální model terénu povodí Modrava 1. Základním požadavkem na model je samozřejmě, aby co nejlépe reprezentoval skutečný terén, a zároveň si zachoval dostatečnou jednoduchost. Generalizace terénu Ze základní sady vstupních dat byly vytvořeny čtyři modely, které využívaly různou poměrnou část vstupního souboru dat (100 %, 75 %, 50 % a 25 % bodů). Z hodnot vypočtených kritérií uvedených v kapitole 4.3 vyplývá, že model při zvětšení míry generalizace, při použití 75 % zaměřených bodů, neztrácí na své přesnosti. Ba naopak, v případě kritéria RMSE se model M1_75 jeví jako přesnější. To je však nejspíš zapříčiněno malým počtem verifikačních bodů. Při další generalizaci (na 50 % použitých bodů) už je ztráta přesnosti patrná, avšak nikoliv výrazná. Je třeba také brát v úvahu, že při výběru bodů, které byly odstraněny z původní kompletní sady, nebyl brán ohled na tvar terénu, na výraznější lomové hrany. Tím také mohlo dojít k dalšímu snížení pravdivosti modelu. Model M1_25 s průměrnou absolutní odchylkou 0,8 m se jeví ve srovnání s ostatními jako naprosto nepoužitelný. Vzhledem k algoritmu vyhledávání rozvodnice (kapitola 3.5.5), který postupuje od uzávěrového profilu vždy po spádnicích vzhůru, se mi jako nejvhodnější jeví výrazné zhuštění bodů v blízkosti uzávěrového profilu a zvýšení míry generalizace v horní části povodí. Generalizace terénu v blízkém okolí uzávěrového profilu, způsobuje nepřesnost v celém průběhu rozvodnice. Okrajové chyby Při triangulaci dochází v okrajových částech modelu k tvorbě trojúhelníků podlouhlého tvaru, což pro reprezentaci terénu není ideální. V těchto trojúhelnících se pak může sklon a orientace svahu značně odlišovat od skutečného terénu. Proto je vhodné zvolit dostatečný přesah měřených dat přes okraje povodí, aby nedošlo k ovlivnění výsledku při hledání průběhu rozvodnice. Dalším problémem při okraji modelu je vytváření hrází, které způsobují tvorbu bezodtokých oblastí značného rozsahu. Tyto oblasti nelze odstranit algoritmem pro běžné

69 odstraňování bezodtokých oblastí bez ztráty informační hodnoty modelu, proto je potřeba v některých místech modelu vkládat tzv. technické body, které upraví triangulační síť tak, aby byly hráze odstraněny a mohlo docházet k volnému odtoku vody z modelu. Následně pak lze aplikovat algoritmus pro odstranění ostatních bezodtokých oblastí. Srovnání TIN modelů s modelem na bázi čtvercové sítě Modely TIN a model na bázi čtvercového gridu byly porovnány pouze graficky. Pro model na bázi čtvercové sítě byl použit nejjednodušší a také nejpoužívanější algoritmus pro trasování odtoku a nalezení rozvodnice. Tento algoritmus určuje pro každý čtverec jeden z osmi směrů odtoku, z těchto vypočtených informací, posléze vyhodnocuje tvar povodí. Oproti tomu vytvořený model na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě dovoluje určit pro každý trojúhelník libovolný směr odtoku. Výsledky, které model na bázi TIN dává, jsou proto plynulejší, bez nepatřičných ostrých lomů rozvodnice. Pro srovnávací model na bázi čtvercové sítě by bylo vhodnější použít některý jiný algoritmus pro trasování odtoku, který by více odpovídal podmínkám modelu TIN. 5.3 Analýza povodí Pro každý z vytvořených modelů byla provedena analýza povodí se stejným uzávěrovým bodem. Byla nalezena rozvodnice a zjištěny některé terénní charakteristiky povodí. Algoritmus pro hledání rozvodnice Algoritmus pro hledání rozvodnice (podrobněji popsaný v kapitole 3.5.5) pracuje na základě hledání průsečíků spádnic s hranami trojúhelníků od uzávěrového profilu na levou i pravou stranu povodí vzhůru až do bodu, který je lokálním maximem modelu. Poté jsou obě větve rozvodnice spojeny do jediného řetězce párů souřadnic, který definuje polygon povodí. V případě povodí Modrava 1 je tento algoritmus plně dostačující, neboť rozvodnice prochází pouze jediným vrcholem lokálním maximem. V případě povodí s jinou morfologií s více lokálními maximy by došlo k hrubé chybě lokalizace rozvodnice. Dvě lokální maxima nejblíže k uzávěrovému profilu by byla spojena přímkou,

70 body rozvodnice mezi nimi by byly vynechány, čímž by došlo zásadní chybě ve výpočtu plochy povodí a všech ostatních charakteristik. Pro povodí s více vrcholy by musel být algoritmus doplněn o nalezení zbývajících částí rozvodnice. To by mohlo probíhat buďto od zmíněných nejbližších lokálních maxim algoritmem obdobným jako jsou kroky 4 a 5 základního algoritmu (kap ) ovšem opakovaně a s hledáním extrémního sklonu ve směru dolů i nahoru. Další eventualitou je provést hledání sedla mezi lokálními maximy a další část rozvodnice hledat obdobným způsobem jako dosud. Nalezení sedla by však v určitých případech mohlo působit značné problémy. Charakteristiky povodí V každém z vytvořených modelů byly zjišťovány některé charakteristiky povodí. Ty byly porovnány s doposud udávanými hodnotami, které byly odhadnuty pomocí map. V základním modelu M1 a v modelu M1_50 se plocha povodí po zaokrouhlení s odhadnutou plochou shoduje. Ve zbylých modelech se vypočtená hodnota od odhadované liší v řádech tisíců až desetitisíců metrů čtverečních.(v případě modelu M1_75 je rozdíl činí 5,9 %, v případě modelu M1_25 19,0 %.) V případě průměrného sklonu svahů se všechny čtyři modely shodují v řádu stupňů. Vypočtené hodnoty se nacházejí v rozmezí 6,48 až 6,82 stupně. (Odchylka největšího a nejmenšího modelovaného průměrného skonu svahů činí tedy pouze 0,34.) Odhadovaný průměrný sklon je 0,09, což odpovídá 5,14. Rozdíl mezi odhadovanou hodnotou a vypočtenými hodnotami je patrně užitím zjednodušeného vztahu pro odhad charakteristiky

71 6 Závěr Cílem předkládané diplomové práce bylo vytvořit digitální model terénu šumavského experimentálního povodí Modrava 1 na bázi nepravidelné trojúhelníkové sítě pomocí vlastního souboru algoritmů. Následně měla být pomocí modelu nalezena orografická rozvodnice a vyhodnoceny základní terénní charakteristiky povodí. Všechny vymezené cíle se v práci podařilo splnit. Výstupem práce je především soubor algoritmů spustitelných v prostředí R sloužící pro vytváření, zobrazování a analýzu digitálního modelu terénu včetně návodu na jeho obsluhu (kapitola 3.6) a dále vlastní digitální model povodí Modrava 1 ve čtyřech provedeních podle použité míry generalizace terénu. Všechny vytvořené modely byly vzájemně porovnány. Výstupy analýzy modelů jsou uvedeny v kapitole 4 a doplněny dalšími grafickými přílohami na konci práce. Vytvořený soubor algoritmů je zcela dostačující pro analýzu digitálního modelu povodí Modrava 1, avšak jak je popsáno v diskusi v kapitole 5.3 není zcela univerzální. Při jeho použití na povodí s odlišnou morfologií by vedlo k výraznému zkreslení modelované rozvodnice a tím i chybným analýzám všech terénních charakteristik povodí. Dále při ladění programu docházelo k občasným kolapsům vlivem chyb v algoritmizaci některých jednotlivých podfunkcí, všechny odhalené chyby byly opraveny, avšak nelze vyloučit objevení dalších. Vývoj a ladění programu je velmi dlouhodobá záležitost. V budoucnu bych rád program dopracoval do verze, která by byla univerzální funkční pro libovolnou sadu tachymetrických dat, nedocházelo by v ní ke zmíněné chybě v lokalizaci rozvodnice, a ve které by byly přidané i další aplikace (jako například zobrazení modelu ve formě vrstevnicové mapy, nalezení údolnice povodí a další). Další uvažovanou možností je program přepracovat jako samostatnou aplikaci s vlastním, přístupnějším uživatelským rozhraním. Dopracovaná verze by později mohla sloužit jako názorná pomůcka při výuce hydrologie, případně by mohla posloužit jako základ pro srážko-odtokové modely

72 7 Seznam informačních zdrojů BARTÁK, V. (2008): Algoritmy pro zpracování digitálních modelů terénu s aplikacemi v hydrologickém modelování. Diplomová práce, nepublikováno. Česká zemědělská univerzita v Praze, Fakulta životního prostředí, Katedra vodního hospodářství, Praha. BAŠTA, P. (2008): Digitální model terénu povodí Modrava 2. Diplomová práce, nepublikováno. Česká zemědělská univerzita v Praze, Fakulta Životního prostředí, Katedra vodního hospodářství, Praha. BAYER, T. (2013): Rovinné triangulace a jejich využití. Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Praha. Online: cit: BEYER, W.H. (1987): CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, str DICKERSON, M.T. DRYSDALE, R.L.S. MCELFRESH S.A. WELZL E. (1997): Fast Greedy Triangulation Algorithms. Computational Geometry, 8 (1998), FELDMAN, A.D. DEVANTIER, B.A. (1993): Review of GIS Applications in Hydrologic Modelling. Journal of Water Resources Planning and Management, Vol. 119., No.2, March/Apríl Hydrologic Engeneering Center, US Army Corps of Engeneers. GILBERT, P.D. (1979): New Results in Planar Triangulations. Master s Thesis, University of Illinois, Urbana, GUDMUNDSSON, J. HAVERKOT J.H. VAN KREVELD, M. (2005): Constrained Higher Order Delaunay triangulations. Computational Geometry, vol. 30, Issue 3, March 2005, Pages HENGL, T. GRUBER, S. SHRESTHA, D.P. (2003): Digital Terrain Analysis in ILWIS. Lecture Notes and User Guide

73 Online: cit: HJELLE, Ø. DÆHLEN, M. (2010): Triangulations and Applications. Berlin, Springer. 234 s. HRÁDEK, F. KUŘÍK, P. (2002): Hydrologie. Česká zemědělská univerzita, Lesnická fakulta. Praha. JONES, J. A. A. WRIGHT, S. J. MAIDMENT, D. R. (1990): Watershed Delineation with Triangle-based Terrain Models. Journal of Hydraulic Engeneering 116: KLIMÁNEK, M. (2006): Digitální modely terénu. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, s. KOLINGEROVÁ, I. (1999): Rovinné triangulace. Habilitační práce, Západočeská univerzita, Plzeň. KOLINGEROVÁ, I. (2003): On Triangulations. University of West Bohemia, Plzeň. KVHEM (2013): Experimentální povodí Modrava. Katedra vodního hospodářství FŽP ČZU, Praha, online: cit.: LEE, J. (1991): Comparison of Existing Methods for Building Triangullar Irregular Network Models of Terrain from Grid Digital Elevation Models. Int. J. Geographical Information Systems, 1991, Vol. 5, No. 3, LEIFER, F. (2006): Delaunayho triangulace a její aplikace. Diplomová práce, nepublikováno. VUT v Brně, FSI ústav automatizace a informatiky. LLOYD, E.L. (1977): On Triangulations of a Set of Points in the Plane. in: Proc. 18th FOCS MOORE, I.D. GRAYSON, R.B. LADSON, A.R. (1991): Digital Terrain Modeling: A Review of Hydrological, Geomorphological, and Biological Applications. Hydrological Processes, Vol. 5(1991), MOORE, I.D. O LOUGHLIN, E.M. BURCH, G.J. (1988): A Contour-based

74 Topographic Model for Hydrological and Ecological Applications. Earth Surface Processes and Landforms, vol. 13, ONSTAD, C. A. BRAKENSIEK, D. L. (1968): Watershed Simulation by Stream Path Analogy. Water Resources Research 4, PAVLÁSEK, J. MÁCA, P. ŘEDINOVÁ J. (2006): Analýza hydrologických dat z modravských povodí. Journal of Hydrology and Hydromechanics, 54 (2006/2), , Institute of Hydrology of the Slovak Academy of Science. PAVLÁSEK, J. (2013): Ústní sdělení. ( ). PEUCKER, T.K. FLOWER, R.J LITTLE J.J. (1978): The Trainagulated Irregular Network. Department of Geography, Simon Fraser University, Burnaby, B.C., Canada. RENKA, R.J. (1996): Algorithm 751: TRIPACK: a Constrained Two-dimensional Delaunay Triangulation Package. ACM Transactions on Mathematical Software. 22, 1-8. SHOJAEE, D. HELALI, H. ALESHEIKH, A. A. (2006): Triangulation for Surface Modelling. In: Ninth International Symposium on the 3D Analysis of Human Movement, France. SU, P. DRYSDALE, R.L.S. (1997): A Comparison of Sequential Delaunay Triangulation Algorithms. Computational Geometry, 7 (1997), TAJCHMAN, S. J. (1981): On Computing Topographic Characteristic of Mountain Catchment. Canadian Journal of Forest Research 11: VIVONI E. R. et al. (2004): Generation of Triangulated Irregular Networks Based on Hydrological Similarity. Journal of Hydrologic Engeneering, Vol. 9, No. 4, July 1, str VOJENSKÝ KARTOGRAFICKÝ ÚSTAV (1991): Šumava Povydří: turistická mapa 1: Edice Klubu českých turistů č. 65., 1. vyd., Praha. 548 mm x 742 mm. VÚGTK (2013): Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí. Výzkumný

75 ústav geodetický, topografický a kartografický, Terminologická komise ČUZK, Praha. Oniline: cit: WILSON, J.P. GALLANT, J.C. (2000): Terrain analysis: Principles and Applications. John Wiley & Sons, s. YU, S. - VAN KREVELD, M. SNOEYING J. (1997): Drainage Queries in TINs: from Local to Global and Back Again. In M. J. Kraak and M. Molenaar (eds.), Advances in GIS research II: Proceedings of the Seventh International Symposium on Spatial Data Handling. Lonon, Tailor & Francis, ZÁBRANSKÝ, J. (2005): Triangulace povrchů a úlohy na nich. Diplomová práce, nepublikováno. Západočeská univerzita, Fakulta aplikovaných věd, Plzeň

76 8 Seznam příloh Počet stran Předmět přílohy Příloha 1 1 Funkce programu ArcGIS použité pro tvorbu srovnávacího modelu na bázi čtvercové sítě Příloha 2 4 Další výstupy modelu M1 Příloha 3 2 Grafické výstupy modelu M1_75 Příloha 4 2 Grafické výstupy modelu M1_50 Příloha 5 2 Grafické výstupy modelu M1_25 Příloha 6 1 Falešná hráz - problematická oblast modelu Příloha 7 3 Výstupy srovnávacího modelu na bázi čtvercové sítě Příloha 8 2 Seznam funkcí vytvořeného programu Příloha 9 2 Obsah CD Příloha 10 - CD

77 Příloha 1, Str. 1/1 Příloha 1: Funkce programu ArcGIS použité pro tvorbu srovnávacího modelu na bázi čtvercové sítě 1. Natural neighbor 2. Fill 3. Flow directions 4. Slope 5. Flow accumulation 6. Watershad 7. Raster to polygon 8. Feature to line

78 Příloha 2, Str.1/4 Příloha 2: Další výstupy modelu M1 Analýza hran modelu M1

79 Příloha 2, Str.2/4 Tabulky rozložení orientace a sklonu v celém modelu M1 Orientace [ ] Plocha [m2] Sklon [ ] Plocha [m2] >

80 Příloha 2, Str.3/4 Ukázka znázornění tras odtoku v modelu funkcí placedrop. Pro ilustraci byly náhodně vybrány body uvnitř i vně povodí.

81 Příloha 2, Str.4/4 v trojnásobném měřítku. Ukázky třírozměrného znázornění modelu. Vzhledem k malé členitosti terénu je osa Z

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

krajiny povodí Autoři:

krajiny povodí Autoři: Fakulta životního prostředí Katedra biotechnických úprav krajiny Soubor účelovýchh map k Metodice stanovení vybraných faktorů tvorby povrchového odtoku v podmínkách malých povodí Případová studie povodí

Více

23.6.2009. Zpracována na podkladě seminární práce Ing. Markéty Hanzlové

23.6.2009. Zpracována na podkladě seminární práce Ing. Markéty Hanzlové Petr Rapant Institut geoinformatiky VŠB TU Ostrava Zpracována na podkladě seminární práce Ing. Markéty Hanzlové 23.3.2009 Rapant, P.: DMR XIII (2009) 2 stékání vody po terénu není triviální proces je součástí

Více

Téma: Geografické a kartografické základy map

Téma: Geografické a kartografické základy map Topografická příprava Téma: Geografické a kartografické základy map Osnova : 1. Topografické mapy, měřítko mapy 2. Mapové značky 3. Souřadnicové systémy 2 3 1. Topografické mapy, měřítko mapy Topografická

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE název předmětu TOPOGRAFICKÁ A TEMATICKÁ KARTOGRAFIE číslo úlohy název úlohy 2 Tvorba tematických

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

POSKYTOVÁNÍ A UŽITÍ DAT Z LETECKÉHO LASEROVÉHO SKENOVÁNÍ (LLS)

POSKYTOVÁNÍ A UŽITÍ DAT Z LETECKÉHO LASEROVÉHO SKENOVÁNÍ (LLS) POSKYTOVÁNÍ A UŽITÍ DAT Z LETECKÉHO LASEROVÉHO SKENOVÁNÍ (LLS) Petr Dvořáček Zeměměřický úřad ecognition Day 2013 26. 9. 2013, Praha Poskytované produkty z LLS Digitální model reliéfu České republiky 4.

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

7. Geografické informační systémy.

7. Geografické informační systémy. 7. Geografické informační systémy. 154GEY2 Geodézie 2 7.1 Definice 7.2 Komponenty GIS 7.3 Možnosti GIS 7.4 Datové modely GIS 7.5 Přístup k prostorovým datům 7.6 Topologie 7.7 Vektorové datové modely 7.8

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Odraz změn legislativy ČR v pozemkových úpravách

Odraz změn legislativy ČR v pozemkových úpravách Výzkumný ústav meliorací a ochrany půdy, v.v.i. Oddělení Pozemkové úpravy a využití krajiny Brno www.vumop.cz Odraz změn legislativy ČR v pozemkových úpravách Brno 2014 Ing. Michal Pochop Vyhláška č. 13/2014

Více

Kartometrická analýza starých map část 2

Kartometrická analýza starých map část 2 Podpora tvorby národní sítě kartografie nové generace Kartometrická analýza starých map část 2 Seminář NeoCartoLink, Olomouc, 29. 11. 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Soubor map - Věková a prostorová struktura přírodě blízkých smrčin ČR

Soubor map - Věková a prostorová struktura přírodě blízkých smrčin ČR Soubor map - Věková a prostorová struktura přírodě blízkých smrčin ČR Radek Bače, Vojtěch Čada, Miroslav Svoboda Znalosti o struktuře lesů představují potřebný zdroj informací pro správné a efektivní rozhodování

Více

16.3.2015. Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz

16.3.2015. Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz Ing. Pavel Hánek, Ph.D. hanek00@zf.jcu.cz Přednáška byla zpracována s využitím dat a informací uveřejněných na http://geoportal.cuzk.cz/ k 16.3. 2015. Státní mapová díla jsou stanovena nařízením vlády

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

DATA A SLUŽBY ZEMĚMĚŘICKÉHO ÚŘADU

DATA A SLUŽBY ZEMĚMĚŘICKÉHO ÚŘADU Zeměměřický úřad DATA A SLUŽBY ZEMĚMĚŘICKÉHO ÚŘADU Ing. Bohumil Vlček Zeměměřický úřad Odbor správy a užití geoinformací 8. 11. 2013 Geografické informace poskytované ZÚ Geografické podklady, produkty

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km.

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km. TECHNICKÁ ZPRÁVA Číslo zakázky: Název zakázky: Název akce: Obec: Katastrální území: Objednatel: Měření zadal: Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632

Více

Mapa zdroj informací

Mapa zdroj informací Nejpřesnějším modelem Země je glóbus. Všechny tvary na glóbu odpovídají tvarům na Zemi a jsou zmenšeny v poměru, který udává měřítko glóbu. Mapa je zmenšený a zjednodušený rovinný obraz zemského povrchu.

Více

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 3 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje

Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje stanovují způsob tvorby ÚKM Jihočeského kraje a její aktualizace do doby než dojde ke zprovoznění RUIAN, poté přechází

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

scale n_width width center scale left center range right center range value weight_sum left right weight value weight value weight_sum weight pixel

scale n_width width center scale left center range right center range value weight_sum left right weight value weight value weight_sum weight pixel Změna velikosti obrázku Převzorkování pomocí filtrů Ačkoliv jsou výše uvedené metody mnohdy dostačující pro běžné aplikace, občas je zapotřebí dosáhnout lepších výsledků. Pokud chceme obrázky zvětšovat

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

Záznam dat Úvod Záznam dat zahrnuje tři základní funkce: Záznam dat v prostředí třídy Záznam dat s MINDSTORMS NXT

Záznam dat Úvod Záznam dat zahrnuje tři základní funkce: Záznam dat v prostředí třídy Záznam dat s MINDSTORMS NXT Úvod Záznam dat umožňuje sběr, ukládání a analýzu údajů ze senzorů. Záznamem dat monitorujeme události a procesy po dobu práce se senzory připojenými k počítači prostřednictvím zařízení jakým je NXT kostka.

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Použití splinů pro popis tvarové křivky kmene

Použití splinů pro popis tvarové křivky kmene NAZV QI102A079: Výzkum biomasy listnatých dřevin Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta lesnická a dřevařská 9. února 2011 Cíl práce Cíl projektu: Vytvořit a ověřit metodiku pro sestavení lokálního

Více

Excel tabulkový procesor

Excel tabulkový procesor Pozice aktivní buňky Excel tabulkový procesor Označená aktivní buňka Řádek vzorců zobrazuje úplný a skutečný obsah buňky Typ buňky řetězec, číslo, vzorec, datum Oprava obsahu buňky F2 nebo v řádku vzorců,

Více

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Excel - pokračování Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Př. Analýza prodeje CD základní jednoduché vzorce karta Domů Př. Skoky do dálky - funkce

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

ČÚZK POSKYTOVATEL ZÁKLADNÍCH GEOGRAFICKÝCH PODKLADŮ

ČÚZK POSKYTOVATEL ZÁKLADNÍCH GEOGRAFICKÝCH PODKLADŮ ČÚZK POSKYTOVATEL ZÁKLADNÍCH GEOGRAFICKÝCH PODKLADŮ Ing. Petr Dvořáček Zeměměřický úřad 19. letní geografická škola 25.8.2011, Brno, Obsah prezentace Rezort Českého úřadu zeměměřického a katastrálního

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE Autoři: Ing. David LÁVIČKA, Ph.D., Katedra eneegetických strojů a zařízení, Západočeská univerzita v Plzni, e-mail:

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Společnost ATLAS, spol. s r.o. byla založena roku 1990 za účelem vývoje vlastního grafického software pro oblast inženýrských prací.

Společnost ATLAS, spol. s r.o. byla založena roku 1990 za účelem vývoje vlastního grafického software pro oblast inženýrských prací. Společnost ATLAS, spol. s r.o. byla založena roku 1990 za účelem vývoje vlastního grafického software pro oblast inženýrských prací. Během dosavadní činnosti společnost navázala dlouhodobou spolupráci

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT

FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PŘÍRUČKA A NÁVODY PRO ÚČELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY YAMACO SOFTWARE 2008 1. ÚVODEM Vybrané produkty společnosti YAMACO Software obsahují

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

REFERENČNÍ PŘÍRUČKA K WEBOVÉ APLIKACI KRESLENÍ GP

REFERENČNÍ PŘÍRUČKA K WEBOVÉ APLIKACI KRESLENÍ GP Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický, v.v.i. REFERENČNÍ PŘÍRUČKA K WEBOVÉ APLIKACI KRESLENÍ GP (Tato aplikace byla vyhotovena za finanční podpory ze státních prostředků poskytnutých

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách Dimenzování těles Dialogové okno Dimenzování těles lze otevřít z programu TZ (tepelné ztráty), z programu DIMOS_W a také z programu DIMTEL. Při spuštění z programu TZ jsou nadimenzovaná tělesa uložena

Více

NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1

NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1 NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1 Nadstavbový modul pro hierarchické shlukování se jmenuje Mod_Sh_Hier (MOHSA V1) je součástí souboru Shluk_Hier.xls. Tento soubor je přístupný na http://jonasova.upce.cz, a je

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY] 1 CÍL KAPITOLY Cílem tohoto dokumentu je přiblížit uživateli přehledovým způsobem oblast použití křivek v rámci dnes

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Předmluva 11 Typografická konvence použitá v knize 12. 1 Úvod do Excelu 2003 13

Předmluva 11 Typografická konvence použitá v knize 12. 1 Úvod do Excelu 2003 13 Předmluva 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Úvod do Excelu 2003 13 Spuštění a ukončení Excelu 14 Spuštění Excelu 14 Ukončení práce s Excelem 15 Přepínání mezi otevřenými sešity 16 Oprava aplikace

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

KOMENTÁŘ KE VZOROVÉMU LISTU SVĚTLÝ TUNELOVÝ PRŮŘEZ DVOUKOLEJNÉHO TUNELU

KOMENTÁŘ KE VZOROVÉMU LISTU SVĚTLÝ TUNELOVÝ PRŮŘEZ DVOUKOLEJNÉHO TUNELU KOMENTÁŘ KE VZOROVÉMU LISTU SVĚTLÝ TUNELOVÝ PRŮŘEZ DVOUKOLEJNÉHO TUNELU OBSAH 1. ÚVOD... 3 1.1. Předmět a účel... 3 1.2. Platnost a závaznost použití... 3 2. SOUVISEJÍCÍ NORMY A PŘEDPISY... 3 3. ZÁKLADNÍ

Více

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.

Více

Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy

Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy Kartografie přednáška 2 Mapy a jejich měřítka, plán výsledkem většiny mapovacích prací je mapa nebo plán Mapa zmenšený generalizovaný

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Modelování povodňových škod

Modelování povodňových škod Modelování povodňových škod Adam Podlaha, Alexandra Králová 28. února 2007 Český národní výbor pro omezování následků katastrof Slide 1 Program Modely na odhad povodňových škod pro účely zajištění Data

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Terestrické 3D skenování

Terestrické 3D skenování Jan Říha, SPŠ zeměměřická www.leica-geosystems.us Laserové skenování Technologie, která zprostředkovává nové možnosti v pořizování geodetických dat a výrazně rozšiřuje jejich využitelnost. Metoda bezkontaktního

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více