5. Dsledky zákona zachování energie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Dsledky zákona zachování energie"

Transkript

1 5. Dsledky zákona zachování energie 5. Pohyb lyž po sjezdovce 5.. Zadání úlohy Lyža sjíždí ze svahu po sjezdovce o svislé výšce h = 8 m. Na zaátku sjezdu je jeho rychlost nulová. Jaká je jeho rychlost v na konci sjezdovky 3? (Tení a odpor vzduchu zanedbejte; použijte zaokrouhlenou hodnotu tíhového zrychlení g = m.s - ) Tedy: výška horního okraje sjezdovky h = 8 m výška dolního okraje sjezdovky h = m rychlost lyž na zaátku sjezdu v = m.s - rychlost lyž na konci sjezdu v =? hmotnost lyž m tíhové zrychlení g = m.s Podrobný zápis ešení Zákon zachování celkové mechanické energie se zpravidla zapisuje ve tvaru nebo a po rozepsání E p E k E p E k konst. E p E k m g h m v m g h m v. Tuto rovnici je možné vydlit hmotností lyž m a vynásobit dvma a dále upravit: g h v g h v v gh h v Obecné ešení mžeme dále zjednodušit, když si uvdomíme, že h = a v = : v g h 5..3 Zjednodušený zápis ešení Pokud si hned na zaátku ešení uvdomíme, že kinetická energie na poátku pohybu lyž je nulová (E k = ) a naopak pi dojezdu na dolní okraj sjezdovky má lyža nulovou potenciální 3 Pitom vbec nezáleží na tvaru sjezdovky. Tedy nemusíme se omezovat na pohyb po naklonné rovin. Na pohyb po naklonné rovin bychom se však museli omezit, pokud bychom úlohu neešili pomocí zákona zachování energie, ale pomocí rozklad tíhy lyž a z toho plynoucího rovnomrn zrychleného pohybu. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 33

2 energii 4 (E p = ): E k E p m v m g h v g h Zjednodušený zápis vede rychleji k cíli, ale také nás snadno svede ke zjednodušené formulaci: Potenciální energie lyž se promní na kinetickou energii. Musíme si však uvdomovat, že situace je ve skutenosti o nco složitjší. Tíhové pole Zem koná práci, když urychluje lyž po sjezdovce. Pitom se o tuto vykonanou práci sníží potenciální energie lyž v tíhovém poli (pole koná práci) a zárove se o stejnou vykonanou práci zvýší kinetická energie lyž (lyža spotebovává práci) íselné ešení a omezení zvoleného fyzikálního modelu Dosazením do obecného ešení dostáváme v g h. m.s.8 m 6 m. s 4 m.s. To je ovšem dost vysoká, ale ješt reálná rychlost v = 4 m.s - = 44 km.h -. Kdyby však byla svislá výška sjezdovky vtší, nap. h = 5 m, vyšla by rychlost lyž na konci sjezdovky v = m.s - = 36 km.h -, což je už naprosto nereálné. Lyžai ve speciálních rodynamických oblecích dosahují maximální rychlosti okolo km.h -, vtší rychlost jim nedovolí dosáhnout odpor vzduchu. Musíme tedy dobe zvážit, kdy lze zjednodušený fyzikální model použít a kdy by zjednodušení (nap. zanedbání tení i odporu vzduchu) vedlo k naprosto nesprávným výsledkm. 5. Rovnováha na dvojzvratné páce Pro dvojzvratnou páku se asto vyvozuje podmínka rovnováhy z rovnosti moment sil (íklad na obrázku rovnosti moment tíhy G a tíhy G ), protože výsledný moment je pro rovnovážný stav roven nule, tedy M M M M 5 ) r G r g r G sin π α r G sin π α a protože siny obou úhl lze goniometrickými úpravami pevést na cos α, mžeme rovnici zjednodušit na tvar 4 Samozejm pi vhodné volb vztažné soustavy a nulové hladiny potenciální energie (na konci sjezdovky). 5 Moment síly M by otáel pákou ve smru hodinových ruiek, což je dohodnutý záporný smr, proto je ped ním znaménko mínus, které záporný výsledek obrátí. Naopak moment síly M, psobící proti smru hodinových ruiek je sám o sob kladný. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 34

3 pro síly psobící na páku a pro hmotnosti závaží r G cosα = r G cosα / : cosα r G = r G r m g = r m g / : g r m = r m Podmínku rovnováhy na dvojzvratné páce mžeme ovšem snadno vyvodit ze zákona zachování energie. Navíc pi takovém vyvození nemusíme uvažovat vektorov, takže je i pro mén matematicky zdatné žáky snáze pochopitelné. Pedstavme si, že se dvojzvratná páka pootoí z polohy znázornné na obrázku do pesn vodorovné polohy (naznné árkovanou árou). K pootoení postaí nepatrná síla, kterou mžeme zanedbat (pouze k pekonání tení v bod otáení páky). Rovnováha na páce se pootoením neporuší. Závaží vlevo se zvedne o rozdíl výšek h a jeho potenciální tíhová energie se zvýší o E = G h, závaží vpravo klesne o rozdíl výšek h a jeho potenciální tíhová energie klesne o E = G h : pro síly psobící na páku a pro hmotnosti závaží E = E G h = G h / : sinα 6 ) G h : sinα = G r = G r G h : sinα m g r = m g r / : g m r = m r Podobným zpsobem je možné odvodit ze zákona zachování energie rovnice popisující fungování dalších jednoduchých stroj, a se jedná o další stroje vysvtlované pomocí moment psobících sil (jednozvratná páka, kladka pevná, kladka volná, kladkostroj, kolo na hídeli), nebo o jednoduché stroje ešené rozkladem tíhy bemene na dv navzájem kolmé složky (naklonná rovina, šroub). 6 Ob strany rovnice mžeme vydlit libovolným íslem rzným od nuly. Toto vydlení se nám hodí, abychom pešli od vertikálního posunutí závaží k délkám ramen dvojzvratné páky. Tíhu G a posunutí h mžeme také psát jako vektory. Zmna energie E je pak skalárním souinem tchto dvou vektor. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 35

4 5.3 Odvození vztahu pro dobu kmitu (periodu) matematického kyvadla Ve stedoškolských uebnicích fyziky bžn najdeme odvození vztahu pro dobu kmitu matematického kyvadla pomocí sil psobících na závaží (hmotný bod) vychýlené z rovnovážné polohy. Ukažme si, že tento vztah lze stejn snadno odvodit také pomocí zákona zachování energie. Závaží (kulika, hmotný bod) je pi maximální výchylce o vzdálenost h výš než pi nulové výchylce od svislého smru (závaží visící voln k zemi). Pi úhlové výchylce α a délce závsu kyvadla l je tento výškový rozdíl h = l. ( cos α) Potenciální energie závaží ve výšce h pak je E p = m.g.h, jestliže potenciální energii závaží v nejnižší poloze (pi nulové výchylce) zvolíme rovnu nule. Kinetická energie závaží je naopak nulová oloze s maximální výchylkou (závaží se tam na chvíli zastaví tzv. mrtvý bod) a maximální pi prchodu nejnižší polohou, kdy je i rychlost pohybu závaží maximální, tedy E k m v m Protože celková mechanická energie kývajícího se závaží se nemní (zákon zachování), musí platit: E k = E p ½ m v m = m g h /. /:m v m = g h v m gh Tím jsme spoítali maximální rychlost v m závaží kyvadla. Abychom vypoítali prmrnou rychlost ohybu kyvadla, musíme si uvdomit, že se jedná o harmonický 7 pohyb, a tedy okamžitá rychlost se mní s asem podle funkce kosinus 8 : v = v m. cos (ω.t + ϕ ) Pomr mezi prmrnou a maximální rychlostí je dán pomrem obsahu plochy ohraniené jednou plvlnou sinusoidy a obsahu plochy obdélníka opsaného této plvln (viz. obrázek): 7 Souvislost kmit matematického kyvadla, stejn jako kmit závaží na pružin, s rovnomrným pohybem po kružnici pedkládáme žákm jako empiricky zjištnou skutenost, i když použijeme klasické odvození pomocí rozkladu sil psobících na závaží kyvadla. 8 Ve školské fyzice zpravidla pedpokládáme, že poloha se mní s asem podle funkce sinus, tedy rychlost jako derivace polohy podle asu se mní podle derivace funkce sinus, kterou je funkce kosinus. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 36

5 v v m π π π cos x dx dx π cos x π π x π π 9 ) π Tedy prmrná velikost 3 rychlosti závaží bhem kmitu kyvadla v gh π Pi malé maximální úhlové výchylce α m mžeme délku oblouku píslušející tomuto úhlu nahradit vodorovnou výchylkou l. sin α m a celková délka trajektorie s bhem celého kmitu ( tam a zpátky ): s = 4. l. sin α m Dobu kmitu (periodu) T pak vypoítáme, když vydlíme délku trajektorie s prmrnou velikostí rychlosti v bhem jednoho kmitu: T s v 4 lsin α m gh π π lsin α m gh l sin α π m gl cosα m 9 Na vodorovnou osu grafu mžeme vynést as t v sekundách a na svislou osu rychlost v v metrech za sekundu. Potom plocha pod sinusoidou, resp. plocha obdélníka pedstavují dráhu s = v. t, kterou kulika urazí, resp. kterou by urazila, kdyby se celou dobu pohybovala maximální rychlostí. Protože celková doba pohybu je v obou pípadech stejná, je pomr ploch souasn pomrem prmrné a maximální rychlosti. V obrázku je naznno jak mžeme integraci pro žáky nižších roník stední školy nahradit setením plochy nkolika vhodn zvolených lichobžník. Postup je popsán v matematickém dodatku odvození. 3 Hovoíme o prmrné velikosti rychlosti, aby bylo zejmé, že pro nás v tomto konkrétním výpotu není podstatný smr (znaménko) rychlosti, ale jen její velikost. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 37

6 π l cos α m g cosα m π l cosα m g l π g π l g 3 ) A to je známý vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla Matematický dodatek odvození výpoet plochy pod obloukem kosinusoidy Vrame se ješt k ploše pod obloukem ( plvlnou ) kosinusoidy. Umíme-li derivovat a integrovat, snadno pomocí uritého integrálu vypoteme, že obsah plochy je pesn. Grafický význam integrálu jako plochy pod kivkou vyjadující uritou funkní závislost jsou ovšem schopni pochopit i studenti prvního roníku stední školy. Pitom vbec nemusíme hovoit o integrálu, ale pouze o tom, že dráha je souinem rychlosti a asu. Plochu pod kosinusoidou pak rozdlíme na malé lichobžníky, na okraji zbudou trojúhelníky. Prmrnou rychlost ve zvoleném úseku vypoítáme, když souet poátení a koncové rychlosti vydlíme dvma. Výpoet si mžeme zjednodušit, když si uvdomíme osovou soumrnost celého obrazce. Staí nám vlastn vypoítat plochu pod tvrtvlnou a pak ji vynásobit dvma. Mezivýpoty provádíme na tyi desetinná místa, výsledek potom zaokrouhlíme na ti platné íslice, což je bžn používaná pesnost pi ešení úloh ve stedoškolské fyzice. x cos x prmr plocha pibližn - π/,,94,339-5π/,588,3794,993 - π/3,5,636,58 - π/4,77,7866,59 - π/6,866,96,398 - π/,9659,983,573, Celková plocha tvrtvlny = souet ploch lichobžník,994 Mezivýpoty provádíme s pesností na tyi desetinná ísla. Výsledek potom zaokrouhlíme na ti platné íslice. Plocha pod obloukem ( plvlnou ) kosinusoidy,9984, 5.4 Bernoulliova 3 rovnice pro proudní ideální kapaliny Ideální (tedy nestlaitelná) kapalina proudí z místa ve výšce h, kde má rychlost v a tlak p do místa ve výšce h, kde má rychlost v a tlak p. Pedstavme si malé množství kapaliny, které projde prezem S a prezem S za stejný as t. Protože kapalina je nestlaitelná je toto množství (vyjádené hmotností) v obou pípadech stejné: 3 V odvození využijeme jednak vzorec z goniometrie (dsledek Pythagorovy vty známý pod názvem goniometrická jednika ) sin x + cos x =, jednak fakt, že pro malé úhly je cos α m pibližn roven jedné. 3 Daniel I. Bernoulli (7 až 78), len slavného rodu Bernoulli, zakladatel hydromechaniky a kinetické teorie plyn, jeho žákem a spolupracovníkem byl vynikající matematik a fyzik Leonhard Euler (77 až 783). [36, ] Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 38

7 m t = m t S v t = S v t / : t S v = S v 33 ) V místech a má toto množství kapaliny obecn rznou potenciální i kinetickou energii a na první pohled by se mohlo zdát, že v této situaci zákon zachování (mechanické) energie neplatí. Ale to je samozejm nesmysl. Pouze musíme vysvtlit zmnu stavu našeho malého množství kapaliny prací, kterou vykonají tlakové síly. V místech a je totiž rzný tlak, který pedstavuje nový typ potenciální energie tlakovou potenciální energii kapaliny. Zmna soutu kinetické a tíhové potenciální energie = Práce tlakových sil E - E = W ½ m t v + m t g h - ½ m t v - m t g h = F p s F p s Tlaková síla F p koná práci ve smru (znaménko +) pohybu kapaliny po dráze s (odpovídající posunutí malého množství kapaliny, které protee prezem S za as t), tlaková síla F p koná práci proti smru (znaménko -) pohybu kapaliny po dráze s (odpovídající posunutí stejného malého množství kapaliny, které však nyní protee jiným prezem S za stejný as t). ½ m t v + m t g h - ½ m t v - m t g h = p S v t p S v t Pro další úpravu rovnice je poteba si uvdomit jednak, že m t = ρ. V t, jednak, že podle rovnice kontinuity je S. v. t = S. v. t = V t, tedy malý objem kapaliny, odpovídající malému množství (hmotnosti) kapaliny, o kterém od zaátku uvažujeme: ρ V v t ρ V t g h ρ V v t ρ v ρ v ρ g h ρ v ρ g h p ρ v ρ V t g h p V t p V t ρ g h p p ρ g h p 33 Rovnice kontinuity (rovnice spojitosti tok) Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 39

8 ili souet kinetické, tíhové potenciální a tlakové potenciální energie malého jednotkového objemu kapaliny V t je ve všech místech proudící kapaliny stejný. Bernoulliova rovnice je pímým dsledkem zákona zachování energie. 5.5 Airiho zákon v hydrologii Na zaátku. století postihlo echy a Moravu nkolik niivých povodní. Jak je možné, že když se proud eky nkolikanásobn zvtší svou rychlost, má náhle tak niivé úinky? Odpov najdeme v Perelmanov knize Zajímavá mechanika [38, 5-5], kde v kapitole Kameny unášené vodou uvádí tzv. Airiho zákon: Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet pedmty n 6 -krát tžší. Perelman dokazuje Airiho zákon pro kamenné krychle pomocí moment sil. My si vypjíme krychlový tvar kamen, ale ukážeme, že Airiho zákon vyplývá ze zákona zachování energie. Tekoucí voda musí kamenu pedat takovou energii, aby se z polohy na stn (tžišt krychle je v tu chvíli ve výšce poloviny délky hrany krychle) pootoil do polohy na hran (tžišt krychle je ve výšce poloviny odmocniny ze dvou krát délka hrany krychle). Z této polohy se kámen dál valí ve smru proudu je unášen vodou: E p m g a ρ k V g a Tuto energii musí kamenu pedat voda (kapalné tleso) o zhruba stejném objemu, jako je objem kamene. Kdyby totiž byl objem vody výrazn vtší, obtekla by voda voln kámen a pedala by mu jen nepatrnou ást své energie. Výrazn menší objem vody by v reálné situaci sám jen tžko zpsobil pohyb kamene. Pedpokládejme tedy, že kamenem pohne kapalné tleso s objemem rovným A-násobku objemu kamene, kde A je njaký empiricky zjistitelný koeficient závisející na tvaru kamene (nikoliv na rychlosti vodního proudu). Toto kapalné tleso pedá kamenu energii (koná práci na úkor své kinetické energie): E k ρ v AVv Pokud chceme zjistit hraniní velikost kamen, se kterými pohne vodní proud, musíme položit kinetickou energii vodního tlesa rovnou pírstku potenciální energie kamene (proud lehce unáší také menší kameny a kaménky, pitom zvyšuje nejen jejich potenciální, ale souasn i kinetickou energii udluje jim rychlost): E p E k ρ k V g a ρ v AVv Tuto rovnici vydlíme objemem V, vynásobíme dvma a pak upravíme: ρ k ga ρ v Av Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

9 a ρ v A ρ k g v Všechny veliiny v itateli i ve jmenovateli jsou konstanty. Lze tedy konstatovat, že lineární rozmry kamen jsou pímo úmrné druhé mocnin rychlosti: a v A protože objem kamenné krychle V = a 3, umocníme ob strany úmrnosti temi a dostáváme vztah, který je matematickým vyjádením Airiho zákona: a 3 v 6 V v 6 m v 6 Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet pedmty n 6 -krát tžší, ili hmotnost nejtžších pedmt unášených proudem je pímo úmrná šesté mocnin rychlosti proudu. 5.6 Rychlost družice pohybující se po eliptické dráze okolo Zem Nejprve se soustedíme na jednodušší porovnání rychlosti družice erigeu p (místo nejblíže Zemi) a apogeu a (místo nejvzdálenjší od Zem). Vzdálenost družice o hmotnosti m od stedu planety Zem o hmotnosti M je erigeu dána rozdílem délek hlavní poloosy a excentricity elipsy a e, pogeu naopak jejich soutem a + e. Celková mechanická energie (souet 34 kinetické a potenciální energie) zstává stejný: mv p κmm κm mv a κm κmm a e κm a e κm a e 4 κme V rovnici máme stále dv neznáme a. Abychom se jedné z nich zbavili, musíme šikovn použít II. Keplerv zákon 35 (zákon ploch), ze kterého plyne substituce =. (a + e)/(a e) a e 4 κme 34 Nedejme se splést znaménkem mínus. To patí k potenciální energii tlesa v radiálním gravitaním poli. Skuten se zde jedná o souet (nikoliv rozdíl) kinetické a potenciální energie. 35 Vezmeme-li malé okolí apogea a perigea, mžeme si plochy pedstavit jako malé trojúhelníky jeden se základnou. t a výškou a e, druhý se základnou. t a výškou a + e. Plocha obou trojúhelník je stejná, rovnost vynásobíme dvma a vydlíme t a jednoduchou úpravou dostaneme uvedenou substituci. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

10 a e a e 4 κme 4 4 κme a κm κm a κm a A ješt jednou použijeme substituci vyplývající z II. Keplerova zákona: κm a κm a κm a Složitjší je odvození vztahu pro rychlost v libovolném míst eliptické trajektorie družice. Problém je v tom, že vektor rychlosti zde obecn není kolmý k prvodim (jako erigeu a apogeu). Odvodíme ješt jeden speciální pípad. Vypoteme rychlost v bodech, kde eliptickou dráhu družice protínají vedlejší poloosy elipsy. Tyto body nemají zvláštní název jako perigeum a apogeum (to jsou prseíky elipsy s hlavními poloosami elipsy), rychlost družice v tchto bodech ozname v c, vzdálenost družice od centra je rovna délce hlavní poloosy a. Z II. Keplerova zákona (zákona ploch) pro pomr druhých mocnin rychlostí plyne = v. (a + e) / (a e) : mv p κmm κm mv c v c κm a κmm a a κma v c a κm v c a κma v ca κm v c a v c κma v c a v c κma κme v c κme v c a κm v c κm a Zcela obecný vztah uvedeme bez odvození 36 : 36 Vyjádit obecn sinus úhlu, který svírá prvodi s vektorem rychlosti družice, je velmi složité. Toto odvození by šlo jednoznan nad rámec stedoškolské matematiky. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

11 v κm r a A ovíme, že vyhovuje všem tem díve odvozeným speciálním pípadm. Nejprve pro perigeum dosadíme r = a e: κm a a κm a κm a Pro apogeum r = a + e : κm a a κm a κm a Pro bod c je r = a : v c κm a a κm a κm a 5.7 Kámen klouzající po hladké kulové ploše V Hajkov vysokoškolské uebnici [3] je ada pkných úloh, ešitelných pomocí zákona zachování energie i na stedoškolské úrovni. Uvádím dv související úlohy Zadání první úlohy Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v metastabilní poloze. Když ho vychýlíme z rovnovážné polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého prmru koule dopadne na vodorovnou podložku, když polomr koule r =,5 m? [3, 59] 5.7. ešení první úlohy ešení je podrobn popsáno v uebnici [3, 59-6], proto uvádím pouze hlavní myšlenky ešení a výsledky. V míst, kde se hmotný bod odpoutá od povrchu koule se musí normálová složka jeho tíhy (složka míící do stedu koule) rovnat odstedivé síle. Polohu tohoto místa uríme pomocí úhlu ϕ, který svírá jeho smr ze stedu koule se svislým smrem. Pomocí rovnice, která popisuje zákon zachování celkové mechanické energie hmotného bodu, odvodíme, že cosϕ 3. Odtud snadno dopoítáme velikost úhlu ϕ a z nj délku kruhového oblouku, který pedstavuje trajektorii hmotného bodu bhem pohybu po povrchu koule (s =, m). Po odpoutání od koule mžeme pohyb hmotného bodu ešit samostatn ve svislém smru (rovnomrn zrychlený pohyb) a ve vodorovném smru (rovnomrný pohyb). Z rovnice pro svislý smr uríme as t, který uplyne mezi odpoutáním od koule a dopadem na vodorovnou rovinu (t =,5 s). Nakonec vypoteme dráhu ve vodorovném smru a z ní vzdálenost místa dopadu od svislého prmru koule (d =, m). Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 43

12 5.7.3 Zadání druhé úlohy Kámen A je na vrcholu hladkého tlesa tvaru polokoule s polomrem R. Udlíme mu poátení rychlost hodnoty v ve vodorovném smru. Máme urit, v kterém míst opustí kámen povrch polokulovitého tlesa. Pi jakých hodnotách v opustí kámen povrch polokoule oátením okamžiku? (Tení zanedbejte!) [3, 7] ešení druhé úlohy Celková mechanická energie E kamene oátením okamžiku (na vrcholu koule) je E m v mgr v okamžiku odpoutání od povrchu polokoule (když urazil po kružnici úhlovou dráhu ϕ) má kámen celkovou mechanickou energii E E m v mgrcosϕ (*) Vezmeme-li v úvahu, že v míst, kde se kámen odpoutá od povrchu polokoule se normálová složka jeho tíhy (složka míící do stedu koule) rovná odstedivé síle, dostaneme rovnici, z níž vyjádíme tverec rychlosti v. Ten pak dosadíme do rovnice (*): m v R mgcosϕ v grcosϕ E 3 mgrcosϕ Ze zákona zachování energie plyne, že celková mechanická energie zstává stále stejná E E 3 mgrcosϕ m v 3 grcosϕ v mgr m gr 3 Rg cosϕ 3 v 3 Rg Z výsledného vzorce pro kosinus ϕ vidíme, že kámen bude po polokouli klouzat maximáln o úhel ϕ, jehož kosinus je dv tetiny, tedy ϕ max = 48 '. Minimáln o úhel jehož kosinus je roven jedné, tedy ϕ min =. Z toho lze také urit mezní hodnotu rychlosti v. Pi rychlostech vtších než mezní opustí kámen povrch polokoule hned oátením okamžiku. m v R mg v 37 gr ) 37 V Hajkov sbírce úloh [3, 7] je u výsledku této neešené úlohy chyba v tisku chybí symbol odmocniny. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 44

13 5.8 Výpoet druhé kosmické rychlosti V Hajkov sbírce je také pkné vyvození druhé kosmické rychlosti [3, 65-66]: 5.8. Zadání úlohy vedoucí na výpoet druhé kosmické rychlosti Tleso bylo vrženo ze zemského povrchu svisle nahoru rychlostí v. Do jaké výšky vystoupí a jaká by musela být minimální poátení rychlost v, aby tleso nespadlo zpt na Zemi? (Odpor vzduchu zanedbejte!) 5.8. Citace ešení (peklad ze slovenštiny) Použijeme zákon o zachování mechanické energie. Celková energie tlesa v míst vrhu je dána kinetickou energií tlesa. V maximální výšce h, kterou tleso dosáhne, je zase celková energie dána potenciální energií tlesa. Pokud uvažujeme potenciální energii tlesa vzhledem k povrchu Zem, mžeme psát: m v κ m M Rh R Protože g κ M R, mžeme pedcházející rovnici upravit na tvar m v mgr h Rh Odtud pro hledané h vyplývá: h v grv R Podmínkou pro to, aby se tleso nevrátilo zpt na Zemi, je, aby se h = (respektujeme jen vliv zemského gravitaního pole), tj. gr v = takže poátení rychlost musí mít hodnotu minimáln v gr m.s což je druhá kosmická rychlost. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 45

NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY

NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Metodika Mgr. Michal Schovánek kvten 2010 Newtonovy pohybové zákony patí mezi nejobtížnjší kapitoly stedoškolské mechaniky. Popisované situace jsou sice jednoduše demonstrovatelné,

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2)

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2) Test a. Lučištník vystřelil z hradby vysoké 40 m šíp o hmotnosti 50 g rychlostí 60 m s pod úhlem 5 vzhůru vzhledem k vodorovnému směru. (a V jaké vzdálenosti od hradeb se šíp zabodl do země? (b Jaký úhel

Více

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)

Více

Informace pro uitele. Popis: Studenti zakreslují do mapy zemského povrchu ve válcové projekci dráhu Sputniku 1, první umlé družice Zem.

Informace pro uitele. Popis: Studenti zakreslují do mapy zemského povrchu ve válcové projekci dráhu Sputniku 1, první umlé družice Zem. Informace pro uitele Obtížnost: 1. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je vysvtlit studentm na praktické ukázce dráhu družice, kterou vidí pracovníci ídicího stediska zakreslenou ve válcové projekci zemského

Více

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu

Více

Obsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou.

Obsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou. Obsah Obsah 1 Newtonův gravitační zákon 1 2 Gravitační pole 3 2.1 Tíhové pole............................ 5 2.2 Radiální gravitační pole..................... 8 2.3..................... 11 3 Doplňky 16

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu

4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu 4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.

Více

(test version, not revised) 9. prosince 2009

(test version, not revised) 9. prosince 2009 Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Počty testových úloh

Počty testových úloh Počty testových úloh Tematický celek rok 2009 rok 2011 CELKEM Skalární a vektorové veličiny 4 lehké 4 těžké (celkem 8) 4 lehké 2 těžké (celkem 6) 8 lehkých 6 těžkých (celkem 14) Kinematika částice 6 lehkých

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI

CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI Stojící povrch, Pohybující se povrch Příklad č. 1: Vodorovný volný proud vody čtvercového průřezu o straně 25 cm dopadá kolmo na rovinnou desku. Určete velikost

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Derivace goniometrických. Jakub Michálek, Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012

Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 6.roníku Aritmetika desetinná ísla, dlitelnost pirozených ísel Geometrie úhel a jeho velikost,

Více

! " # $ % # & ' ( ) * + ), -

!  # $ % # & ' ( ) * + ), - ! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti

Více

Proud ní tekutiny v rotující soustav, aneb prozradí nám vír ve výlevce, na které polokouli se nacházíme?

Proud ní tekutiny v rotující soustav, aneb prozradí nám vír ve výlevce, na které polokouli se nacházíme? Veletrh nápad uitel fyziky 10 Proudní tekutiny v rotující soustav, aneb prozradí nám vír ve výlevce, na které polokouli se nacházíme? PAVEL KONENÝ Katedra obecné fyziky pírodovdecké fakulty Masarykovy

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí

1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí V tomto lánku na dvou modelech rstu - exponenciálním a logistickém - ukážeme nkteré rozdíly mezi chováním spojitých a diskrétních systém. Exponenciální model lze považovat za základní rstový model v neomezeném

Více

Řešení úloh 1. kola 55. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B

Řešení úloh 1. kola 55. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Řešení úloh 1 kola 55 ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autořiúloh:JJírů(1,2),JThomas(3,5,7),MJarešová(4),MKapoun(6) 1a) Během celého děje tvoří vozík s kyvadlem ve vodorovném směru izolovanou soustavu,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Urení rychlosti svtla Römerovou metodou

Urení rychlosti svtla Römerovou metodou Urení rychlosti svtla Römerovou metodou Informace pro uitele Obtížnost: 4. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je uit rychlost svtla tak, jak ji zmil Olaf Ch. Römer. Studenti si jednak procvií základy planimetrie,

Více

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep (1) 1. Zaveďte slovy fyzikální veličinu účinnost 2. Vyjádřete 1 Joule v základních jednotkách SI. 3. Těleso přemístíme do vzdálenosti 8,1 m, přičemž na ně působíme silou o velikosti 158 N. Jakou práci

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x) NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Vektory aneb když jedno číslo nestačí

Vektory aneb když jedno číslo nestačí V posledním studijním textu letošního ročníku si zopakujeme několik poznatků z předchozích sérií a doplníme je novými, abychom si následně mohli spočítat základní pohyby v homogenním tíhovém poli. Vektory

Více

KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN

KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN Kivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž souadnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), t I R. Tena kivky je urena bodem dotyku X a teným vektorem o souadnicích

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL 4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn! MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení

Více

Efektivní hodnota proudu a nap tí

Efektivní hodnota proudu a nap tí Peter Žilavý: Efektivní hodnota proudu a naptí Efektivní hodnota proudu a naptí Peter Žilavý Katedra didaktiky fyziky MFF K Praha Abstrakt Píspvek experimentáln objasuje pojem efektivní hodnota stídavého

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální energie

Více

frekvence f (Hz) perioda T = 1/f (s)

frekvence f (Hz) perioda T = 1/f (s) 1.) Periodický pohyb - každý pohyb, který se opakuje v pravidelných intervalech Poet Poet cykl cykl za za sekundu sekundu frekvence f (Hz) perioda T 1/f (s) Doba Doba trvání trvání jednoho jednoho cyklu

Více

Řešení úloh 1. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 5, 6, 7), J. Jírů (3), L.

Řešení úloh 1. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 5, 6, 7), J. Jírů (3), L. Řešení úloh 1. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 5, 6, 7), J. Jírů (3), L. Ledvina (4) 1.a) Na dosažení rychlosti v 0 potřebuje každý automobil dobu t v 0

Více

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 11. listopadu 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální

Více

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence : Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,

Více

Druhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení

Druhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení Druhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení Pipomeme si nejprve znalosti z minulé kapitoly epelné stroje a vznik.vty termodynamiky : Jakýkoliv termodynamický proces musí sice vždy splovat zákon

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

6. Mechanika kapalin a plynů

6. Mechanika kapalin a plynů 6. Mechanika kapalin a plynů 1. Definice tekutin 2. Tlak 3. Pascalův zákon 4. Archimedův zákon 5. Rovnice spojitosti (kontinuity) 6. Bernoulliho rovnice 7. Fyzika letu Tekutiny: jejich rozdělení, jejich

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte

Více

2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou... 4. 2.4 Tlak ve vzduchu vyvolaný tíhovou silou... 5

2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou... 4. 2.4 Tlak ve vzduchu vyvolaný tíhovou silou... 5 Obsah 1 Tekutiny 1 2 Tlak 2 2.1 Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou.............. 3 2.2 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou............. 4 2.3 Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou............. 4

Více

RADIÁLNÍ VYPÍNÁNÍ ZADÁNÍ: VUT - FSI, ÚST Odbor technologie tváení kov a plast

RADIÁLNÍ VYPÍNÁNÍ ZADÁNÍ: VUT - FSI, ÚST Odbor technologie tváení kov a plast Cviení. Jméno/skupina Speciální technologie tváení ZADÁNÍ: Vypoítejte energosilové parametry vyskytující se pi tváení souásti metodami radiálního vypínání. Pro tváení souásti byl použit elastický nástroj

Více

1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D)

1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D) 1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D) 1.16.1 Teoretický úvod Nedílnou souástí návrhu štíhlých prutových konstrukcí by ml být spolen se statickým výpotem také výpoet stabilitní, nebo podává z inženýrského

Více

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8. GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Píkazy pro kreslení.

Píkazy pro kreslení. Píkazy pro kreslení. Tento text je psán pro AUTOCAD 2006, eskou modifikaci. V jiných verzích se proto vyskytnou odchylky. Jsou to píkazy, které umožují nakreslit jednotlivé entity v AUTOCADu. Z menu je

Více

Mechanika - kinematika

Mechanika - kinematika Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb

Více

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet.

Více

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly :

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : si díve i pozdji jist uvdomíme, že nulová hodnota integrálu njaké veliiny pi kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho, že se

Více

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY FYZIKÁLNA 2. ročník šestiletého studia

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více