Aplikovaná matematika I (NMAF071) ZS 2013/14

Transkript

1 Aplikovaná matematika I (NMAF071) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) ZS 013/14 1 Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1.1 Výroky a množiny 1. Zobrazení Reálná čísla Komplexní čísla Mohutnost množin Posloupnosti a jejich limity Hlubší vlastnosti posloupností 11 Funkce jedné reálné proměnné 1.1 Základní pojmy 1. Limita a spojitost 1.3 Věty o limitách a spojitosti 13.4 Elementární funkce 16 3 Derivace funkce jedné reálné proměnné Definice a základní vztahy, diferenciál 8 3. Derivace vyššího řádu 9 4 Neurčitý integrál a primitivní funkce Základní vlastnosti Integrace racionálních funkcí Některé užitečné substituce 3 5 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v jedné dimenzi Funkce spojité na intervalu Věty o střední hodnotě Taylorův polynom Konvexní a konkávní funkce Průběh funkce Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic 39 6 Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Newtonův integrál 4 6. Riemannův integrál - poznámky Aplikace určitého integrálu 43 7 Lineární vektorové prostory Definice a příklady Lineární závislost a nezávislost vektorů Podprostory, lineární obal, báze Lineární zobrazení 47 Bonusy Řecká abeceda 6 Goniometrické a hyperbolické funkce - základní vztahy (porovnání) 7 Tabulka derivací 30 Tabulka primitivních funkcí 33

2 Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika I (NMAF071), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 013/14 vedl na MFF UK a je rozšířením a doplněním textu, který vznikl v akademickém roce 010/11, kdy jsem tuto přednášku měl poprvé. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a zejména důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobnějším korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na M. Rokyta,

3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační počet přednášek věnovaných kapitole] 1. Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti [3]. Funkce jedné reálné proměnné [] 3. Derivace funkce jedné reálné proměnné [1] 4. Neurčitý integrál a primitivní funkce [1.5] 5. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v 1 dimenzi [.5] 6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace [1.5] 7. Lineární vektorové prostory [1.5] - podrobněji postupně na webu přednášejícího Literatura 1. J. Kopáček: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.. J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3. J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu, Academia, Praha, B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, J. Bečvář: Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, web přednášejícího: poznámky a prezentace.

4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1.1 Výroky a množiny Logika je věda o formální správnosti myšlení. Při formálně logickém přístupu jde o správnost vyvození závěru z daných předpokladů. Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebo že neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A A Definice. Konjunkcí A&B výroků A a B nazveme výrok: Platí A i B. Definice. Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Definice. Implikací A B nazýváme výrok: Platí A nebo B. Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Pokud je výrok A B pravdivý, pak říkáme, že "A je postačující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A". Definice. Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. (Platnost výroku) A je nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku) B. Vše je možno shrnout do následující tabulky: A B A & B A B A B A B Intuitivně (bez přesné definice) budeme přijímat pojmy množina (jako soubor objektů), být prvkem množiny ("x je prvkem množiny M" píšeme: x M) a nebýt prvkem množiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x / M). Poznámka. Symboly N, Z, Q, R, C budou vyhrazeny pro množiny (po řadě) přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel.

5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 3 Výrokovou formou budeme nazývat výraz A(x 1, x,...x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvků x 1 M 1,...,x m M m z daných množin M 1,...,M m. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Pro všechna x M platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok zapisujeme ve tvaru: Existuje x M, pro které platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem. Pro obrat "Existuje právě jeden... " často používáme symbol! Poznámka. Pokud výrok obsahuje několik po sobě jdoucích kvantifikátorů stejného typu, lze jejich pořadí libovolně měnit, například následující dva výroky jsou ekvivalentní pro jakoukoli výrokovou formu V (x, y), x M, y N: x M y N : V (x, y) y N x M : V (x, y) Příklad: x R y R : x + y 4 0. Poznámka. Při záměně pořadí kvantifikátorů různého typu však nový výrok nemusí být ekvivalentní s výrokem původním: x M y N : V (x, y) y N x M : V (x, y) nejsou ekvivalentní výroky. (Jeden z nich však implikuje druhý - rozmyslete si.) Příklad: x N y R : y > x. Tvrzení 1.1 (Negace složených výroků). Platí: (A & B) = A B (A B) = A & B (A B) = A & B (A B) = ( A & B) (A & B) ( x M : A(x)) = x M : A(x) ( x M : A(x)) = x M : A(x)

6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 4 Příklad: Určete, který z výroků je pravdivý: ( x R y R z R : y + z > x) = x R y R z R : y + z x. Definice. Řekneme, že množina A je částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Dvě množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Označíme ji symbolem. Poznámka. Pro libovolné dvě množiny A, B platí: A = B (A B) & (B A). Definice (množinové operace). Necht I je neprázdná množina a A α je množina pro každé α I. Definujeme sjednocení α I A α jako množinu všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A α. Definujeme průnik α I A α jako množinu prvků, které náleží do každé z množin A α. Definice. Mají-li dvě množiny prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Rozdílem množin A a B (značíme A \ B) nazveme množinu prvků, které patří do množiny A a nepatří do množiny B. Kartézským součinem množin A 1,...,A n nazveme množinu všech uspořádaných n-tic A 1 A A n = {[a 1, a,...,a n ]; a 1 A 1,...,a n A n }. Věta 1. (de Morganova pravidla). Necht I je neprázdná množina, X, A α (α I) jsou množiny. Pak platí X \ A α = \ A α ), α I α I(X X \ A α = \ A α ). α I α I(X 1. Zobrazení Definice. Necht X a Y jsou množiny. Je-li každému prvku x X přiřazen nejvýše jeden prvek z Y, řekneme, že je definováno zobrazení z X do Y. Píšeme f : X Y a f(x) = y, případně f : x y. Množinu D(f) := {x X, y Y, f(x) = y} nazýváme definičním oborem zobrazení f. Definice. Necht X, Y jsou neprázdné množiny a f : X Y. Obrazem množiny A X při zobrazení f se nazývá množina f(a) = {f(x); x A}. Je-li A = D(f) definičním oborem zobrazení f : X Y, nazýváme množinu f(a) oborem hodnot zobrazení f. (Značíme R(f) nebo H(f).)

7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 5 Vzorem množiny B Y při zobrazení f nazveme množinu Definice. Necht X, Y jsou množiny a f : X Y. f 1 (B) = {x X; f(x) B}. Zobrazení f je prosté (injektivní) na A X, jestliže x 1, x A : x 1 x f(x 1 ) f(x ). Zobrazení f je zobrazením množiny A X "na" množinu Y (f je surjektivní), jestliže f(a) = Y. Řekneme, že f je bijekce A na Y, jestliže f je prosté a na Y. Definice. Necht f : A Y je prosté, f(a) = B. Pak zobrazení f 1 : B A definované předpisem f 1 (y) = x, kde y f(a) a f(x) = y, nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f. Definice. Necht f : X Y je zobrazení, A X. Zobrazení f A : A Y takové že f A (x) = f(x) x A nazýváme zúžením zobrazení f na množinu A. Definice. Necht f : X Y a g : Y Z jsou dvě zobrazení. Symbolem g f označíme zobrazení z množiny X do množiny Z definované předpisem (g f)(x) = g(f(x)). Takto definované zobrazení se nazývá složeným zobrazením zobrazení f a g, přičemž f je vnitřní zobrazení a g je vnější zobrazení. 1.3 Reálná čísla Vybudování číselných množin - několik možností: Možnost I: N (intuitivně nebo z teorie množin) Z Q R Možnost II: R (axiomaticky) N Z Q Ad I: Krok Q R obtížný (např. tzv. Dedekindovy řezy) Ad II: Krok R N např. pomocí pojmu tzv. induktivní množiny. V obou možnostech na závěr následuje krok R C. Ad II: Množinu reálných čísel R lze definovat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom o supremu I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání),

8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 6 x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání), w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R \ {0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ), x, y, z R : (x + y) z = x z + y z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x, y, z R : (x y & y z) x z (tranzitivita), x, y R : (x y & y x) x = y (slabá antisymetrie), x, y R : x y y x, x, y, z R : x y x + z y + z, x, y R : (0 x & 0 y) 0 x y. Označení. Označení x y znamená totéž co y x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x y, ale x y (tzv. ostrá nerovnost). Reálná čísla, pro něž x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). Reálná čísla, pro něž x 0 (resp. x 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice. Řekneme, že množina M R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a R takové, že pro každé x M platí x a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množiny M. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. Řekneme, že množina M R je omezená, je-li omezená shora i zdola. Definice. Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a je horní závorou množiny M a přitom a M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a minm. Minimum a maximum dané množiny reálných čísel nemusí existovat: (0, 1). Definice. Necht M R. Číslo G R splňující x M : x G, G R, G < G x M : x > G,

9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 7 nazýváme supremem množiny M. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej sup M. III. Axiom suprema Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. Definice. Necht M R. Číslo g R splňující x M : x g, g R, g > g x M : x < g, nazýváme infimem množiny M. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej inf M. Věta 1.3. Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Poznámka. Klademe sup M := + pro shora neomezenou množinu, a inf M := pro zdola neomezenou množinu. Klademe sup := a inf := +. Z axiomu o supremu plynou některé důležité vlastnosti R: Věta Pro každé r R existuje právě jedno číslo k Z takové, že k r < k Ke každému x R existuje n N splňující x < n. 3. Necht a, b R, a < b. Pak existuje q Q takové, že a < q < b. 4. Pro každé n N a x R, x 0, existuje právě jedno y R, y 0, splňující y n = x. Věta 1.5 (Základní nerovnosti mezi reálnými čísly). platí tzv. Bernoulliho nerovnost 1. Pro každé x R, x a pro každé n N (1 + x) n 1 + nx.. Pro všechna reálná čísla a 1,...,a n, b 1,...,b n platí tzv. Cauchy-Schwarzova nerovnost ( n ) n n a j b j a j b j. j=1 j=1 j=1 3. Pro všechna nezáporná reálná čísla a 1,...,a n platí tzv. A-G (aritmeticko-geometrická) nerovnost a a n n n a 1 a n.

10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti Komplexní čísla Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto x + y = (a + c, b + d), x y = (ac bd, ad + bc). Dále ztotožňujeme x = (x, 0) pro x R, a definujeme i = (0, 1). Potom (a, b) = (a,0) + (0, b) = (a,0) + b(0, 1) = a + bi, (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, tj. i = 1, a tedy C = {a + bi; a, b R} kde i = 1. Necht x = a + bi C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme x = a + b. Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = a bi; symbol x značí číslo a bi a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x 1 x = Mohutnost množin Definice. Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Symbol A B značí situaci, kdy A B a neplatí A B. Definice. Řekneme, že množina A je konečná, jestliže je bud A = nebo existuje n N takové, že platí A {1,...,n}. Řekneme, že množina A je spočetná, jestliže platí A N. Řekneme, že množina A je nespočetná, jestliže A není ani konečná ani spočetná. Tvrzení 1.6. Množiny N, Z, Q jsou spočetné, množiny R, C jsou nespočetné. 1.6 Posloupnosti a jejich limity Definice. Necht A je neprázdná množina. Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n z množiny A nazýváme posloupnost prvků množinya. Prvek a n nazveme n-tým členem této posloupnosti. Značíme {a n } n=1. Příklad. Posloupnosti zadané explicitně: a n := (1 + 1/n) n ; popisem: a n := n-té prvočíslo; rekurentně: a 1 = a := 1, a n+ := a n+1 + a n n N.

11 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 9... Poznámka. Posloupností budeme nadále až do odvolání rozumět (nekonečnou) posloupnost reálných čísel. Definice. Řekneme, že posloupnost {a n } je shora omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je omezená. Definice. Řekneme, že posloupnost reálných čísel {a n } je neklesající, je-li a n a n+1 pro každé n N, rostoucí, je-li a n < a n+1 pro každé n N, nerostoucí, je-li a n a n+1 pro každé n N, klesající, je-li a n > a n+1 pro každé n N. Posloupnost {a n } je monotónní, pokud splňuje některou z výše uvedených podmínek. Posloupnost {a n } je ryze monotónní, pokud je rostoucí či klesající. Definice. Řekneme, že posloupnost (reálných čísel) {a n } má limitu rovnou reálnému číslu A, jestliže platí ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < ε. Poznámka. Necht K R, K > 0, A R. Jestliže posloupnost {a n } splňuje podmínku potom lima n = A. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < Kε, Definice. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu +, jestliže L R n 0 N n N, n n 0 : a n L. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n N, n n 0 : a n K. Věta 1.7 (jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice. Má-li posloupnost {a n } limitu rovnou číslu A R, pak píšeme lim a n = A nebo jenom n lima n = A.Podobně píšeme lim a n = lima n =, resp. lim a n = lima n =. Řekneme, že n n posloupnost {a n } je konvergentní, pokud existuje A R takové, že lima n = A. Není-li posloupnost konvergentní, říkáme, že je divergentní. Věta 1.8. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Jestliže {n k} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z {a n} n=1. Věta 1.9. Necht {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {a n} n=1. Jestliže platí lim a n = A n R { } { }, pak také lim a n k = A. k

12 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 10 Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Pak A R { } { } nazýváme hromadnou hodnotou posloupnosti {a n } n=1, jestliže existuje vybraná posloupnost {a n k } k=1 taková, že lim a n k = A. k Rozšířená reálná osa: Uspořádání: a R {+ }: < a, a { } R: a < + Absolutní hodnota: = + = + Sčítání a odčítání: R := R { } {+ } (+ ) =, +( ) =, a R: a R: + a = a + ( ) =, + + a = a + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + Násobení a dělení: a R, a > 0: a R, a < 0: a (± ) = (± ) a = ±, a (± ) = (± ) a =, 1 + = 1 = 0 NEDEFINUJEME: ( ) + (+ ), 0 (± ), ± ±, cokoli 0 Věta 1.10 (aritmetika limit). Necht lima n = A R a limb n = B R. Potom platí: (i) lim (a n ± b n ) = A ± B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim (a n b n ) = A B, pokud je pravá strana definována, (iii) lima n /b n = A/B, pokud je pravá strana definována. Věta Necht lima n = 0 a necht posloupnost {b n } je omezená. Potom lima n b n = 0. Věta 1.1. Necht lima n = A R. Potom lim a n = A. Věta 1.13 (limita a uspořádání). Necht lima n = A R a limb n = B R. (i) Necht existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 je a n b n. Potom A B. (ii) Necht A < B. Potom existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 je a n < b n.

13 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 11 Věta 1.14 (o dvou strážnících). Necht {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti splňující: (i) n 0 N n N, n n 0 : a n c n b n, (ii) existují lima n, limb n, a navíc lima n = limb n. Potom existuje limc n a platí limc n = lima n. Poznámka. Pokud existuje lima n =, není nutné uvažovat žádnou posloupnost {b n } a tvrzení věty zůstává v platnosti. Podobně je tomu v případě limb n =, kdy "nepotřebujeme" posloupnost {a n }. Věta 1.15 (Limita monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Tvrzení Pro a > 0 je lim n a = 1. Platí lim n n = 1. Posloupnost a n := ( n) n je neklesající a shora omezená; posloupnost bn := ( ) n n je nerostoucí a zdola omezená, přičemž existují lima n = limb n. Tuto společnou limitní hodnotu označujeme e Věta Necht lima n = A R, A > 0, limb n = 0 a existuje n 0 N, že pro každé n N, n n 0, platí b n > 0. Pak lima n /b n =. 1.7 Hlubší vlastnosti posloupností Poznámka (Komplexní případ). Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n C nazveme komplexní posloupností. Evidentně {a n } je komplexní posloupnost právě tehdy, když existují reálné posloupnosti {x n }, {y n } takové, že a n = x n + iy n pro všechna přirozená n. Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. Řekneme, že komplexní posloupnost {a n } je omezená, pokud existuje K > 0 taková, že a n K pro všechna přirozená n. Poznámka (Komplexní limita). Je-li a n = x n + iy n komplexní posloupnost, a existují limx n, limy n vlastní, klademe lima n = limx n + ilimy n. Výrazy tvaru "a ± i ", "± ± ib", resp. "± ± i " nedefinujeme. Věta 1.18 (Bolzano-Weierstrassova věta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzano-Cauchyovu pod- Věta Posloupnost {a n } n=1 mínku, tj. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 m N, m n 0 : a n a m < ε.

14 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 1 Funkce jedné reálné proměnné.1 Základní pojmy Definice. Reálná funkce f jedné reálné proměnné (dále jen funkce) je zobrazení f : M R, kde M je podmnožinou množiny reálných čísel. Definice. Funkce f : J R je rostoucí na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x 1, x J, x 1 < x, platí nerovnost f(x 1 ) < f(x ). Funkce f : J R je klesající na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x 1, x J, x 1 < x, platí nerovnost f(x 1 ) > f(x ). Analogicky definujeme funkci neklesající (nerostoucí) na intervalu J. Definice. Monotónní funkcí (resp. ryze monotónní funkcí) na intervalu J rozumíme funkci, která je neklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) na J. Poznámka. Je-li funkce ryze monotónní na množině M R, je na ní prostá, ale nikoli naopak. Definice. Necht f je funkce. Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x D(f) platí x D(f) a f( x) = f(x), sudá, jestliže pro každé x D(f) platí x D(f) a f( x) = f(x), periodická s periodou a R, a > 0, jestliže pro každé x D(f) platí x+a D(f), x a D(f) a f(x + a) = f(x a) = f(x). Definice. Necht f je funkce a M D(f). Řekneme, že funkce f je shora omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, zdola omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, konstantní na M, jestliže pro všechna x, y M platí f(x) = f(y).. Limita a spojitost Definice. Necht a R a ε R, ε > 0. Potom definujeme okolí bodu a jako U ε (a) = (a ε, a + ε), prstencové (redukované) okolí bodu a jako P ε (a) = (a ε, a + ε) \ {a}. Okolí a prstencové okolí bodu + (resp. ) definujeme takto: P ε (+ ) = U ε (+ ) = (1/ε, + ), P ε ( ) = U ε ( ) = (, 1/ε). Definice. Řekneme, že prvek A R je limitou funkce f v bodě a R, jestliže Píšeme: lim x a f(x) = A. ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x P δ (a) : f(x) U ε (A).

15 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 13 Věta.1 (jednoznačnost limity). Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Poznámka. Limita je tzv. lokální pojem. Rozmyslete si následující vlastnosti: Pokud existuje δ > 0 takové, že f(x) = g(x) pro všechna x P δ (a), potom lim x a f(x) existuje právě tehdy, když existuje lim x a g(x). V tom případě se obě limity rovnají. Hodnota f(a), dokonce ani to, jestli funkce f je vůbec v bodě a definována, nemá žádný vliv na existenci či velikost hodnoty A := lim x a f(x). Rozhoduje pouze chování f na prstencovém okolí P δ (a) bodu a. Definice. Necht a R a ε R, ε > 0. Potom definujeme pravé okolí bodu a jako U ε +(a) = a, a + ε), levé okolí bodu a jako U ε (a) = (a ε, a, pravé prstencové okolí bodu a jako P ε +(a) = (a, a + ε), levé prstencové okolí bodu a jako P ε (a) = (a ε, a). Definice. Dále definujeme levé okolí bodu + jako U ε (+ ) = (1/ε, + ), pravé okolí bodu jako U ε +( ) = (, 1/ε), levé prstencové okolí bodu + jako P ε (+ ) = U ε (+ ), pravé prstencové okolí bodu jako P ε +( ) = U ε +( ). Definice. Necht A R, a R { }. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu zprava rovnou A, jestliže ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x P δ +(a) : f(x) U ε (A). Píšeme lim x a+ f(x) = A. Analogicky definujeme pojem limity zleva v bodě a R {+ } a píšeme lim x a f(x) = A. Definice. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a R, jestliže lim x a f(x) = f(a) R. Definice. Řekneme, že funkce f je v bodě a R spojitá zprava (resp. zleva), jestliže lim f(x) = f(a) x a+ R (resp. lim f(x) = f(a) R). x a.3 Věty o limitách a spojitosti Věta.. Necht a R, A R. Pak lim x a f(x) = A, právě když lim f(x) = lim f(x) = A. x a+ x a Funkce f je v bodě a spojitá, právě když je spojitá v bodě a zprava i zleva zároveň. Věta.3. Necht funkce f má vlastní limitu v bodě a R. Pak existuje δ R, δ > 0 takové, že f je na P δ (a) omezená. Věta.4. Necht funkce f má vlastní limitu A 0 v bodě a R. Pak existuje δ R, δ > 0 a konstanta c > 0 takové, že f(x) > c pro všechna x P δ (a). Věta.5 (limita a aritmetické operace). Necht a R. Necht lim x a f(x) = A R a lim x a g(x) = B R. Potom platí:

16 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 14 (i) lim x a (f(x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován, (ii) lim x a f(x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován, (iii) lim x a f(x)/g(x) = A/B, pokud je výraz A/B definován. Věta.6. Necht a R. Necht lim x a f(x) = 0, a necht existuje η > 0 takové, že funkce g je omezená na P η (a). Pak lim x a (f(x)g(x)) = 0. Věta.7. Necht a R. Necht lim x a g(x) = 0, lim x a f(x) = A R a A > 0. Jestliže existuje η > 0 takové, že funkce g je kladná na P η (a), pak lim x a (f(x)/g(x)) = +. (A obdobně pro A < 0, g zápornou atd.) Věta.8 ("o záměně 0 a "). Platí: a podobně Věta.9 (o srovnání). Mějme a R. (i) Necht lim f(x) = A x + R lim f(x) = B x R Pak existuje prstencové okolí P δ (a) takové, že platí lim f x 0+ lim f x 0 lim f(x) > lim g(x). x a x a x P δ (a) : f(x) > g(x). (ii) Necht existuje prstencové okolí P δ (a) takové, že platí x P δ (a) : f(x) g(x). Necht existují lim x a f(x) a lim x a g(x). Potom platí lim f(x) lim g(x). x a x a ( ) 1 = A R, x ( ) 1 = B R. x (iii) (o dvou strážnících) Necht na nějakém prstencovém okolí P δ (a) platí f(x) h(x) g(x). Necht lim x a f(x) = lim x a g(x). Potom existuje rovněž lim x a h(x) a všechny tři limity jsou si rovny. Věta.10 (limita složené funkce). Necht a, D, A R, lim x a g(x) = D, lim y D f(y) = A a je splněna alespoň jedna z podmínek (P1) η R, η > 0 x P η (a) : g(x) D, (P) f je spojitá v D. Potom lim x a f(g(x)) = A. Poznámka. Jsou-li funkce f, g spojité (případně spojité zleva, zprava) v bodě a R, jsou v bodě a spojité (případně spojité zleva, zprava) i funkce f ± g, fg, a pokud je g(a) 0, pak i funkce f/g.

17 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 15 Necht a R, funkce g je spojitá v a, funkce f je spojitá v g(a). Potom funkce f g je spojitá v a. Věta.11 (limita monotónní funkce). Necht funkce f je monotónní na (a, b), a, b R. Potom existují lim x a+ f(x) a lim x b f(x). Poznámka (komplexní funkce). Komplexní funkce f jedné reálné proměnné (dále jen komplexní funkce) je zobrazení f : M C, kde M je podmnožinou množiny reálných čísel. Evidentně f : M C je komplexní funkce právě tehdy, když existují reálné funkce g, h : M R takové, že f(x) = g(x) + ih(x) pro všechna x M. Pro komplexní funkci nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" funkce. Řekneme, že komplexní funkce f je omezená na M R, pokud existuje K > 0 taková, že f(x) K pro všechna x M. Poznámka (komplexní limita, spojitost). Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M C komplexní funkce, a M, a existují lim x a g(x), lim x a h(x) vlastní, klademe lim x a f(x) = lim x a g(x) + ilim x a h(x). Podobně pro jednostranné limity. Výrazy tvaru "a±i ", "± ±ib", resp. "± ±i " nedefinujeme. Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M C komplexní funkce, a M, a jsou-li g, h spojité v a (resp. spojité v a zprava, zleva), řekneme, že f je spojitá v a (resp. spojité v a zprava, zleva). Věta.1 (Heineho o limitě). Necht C R (resp. C C) a reálná (resp. komplexní) funkce f je definována (alespoň) na prstencovém okolí bodu a R. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní: (i) lim x a f(x) = C (ii) Pro každou posloupnost {x n } n=1 splňující lim n x n = a, n N : x n a, platí lim n f(x n ) = C. Věta.13 (Heineho o spojitosti). Necht reálná (resp. komplexní) funkce f je definována (alespoň) na okolí bodu a R. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní: (i) f je spojitá v a (ii) Pro každou posloupnost {x n } n=1 splňující lim n x n = a platí lim n f(x n ) = f(a). Definice (funkce spojitá na intervalu). Necht J R je nedegenerovaný interval (tj. obsahuje nekonečně mnoho bodů). Funkce f : J R(C) je spojitá na intervalu J, jestliže platí: f je spojitá zprava v levém krajním bodě intervalu J, pokud tento bod patří do J, f je spojitá zleva v pravém krajním bodě intervalu J, pokud tento bod patří do J, f je spojitá v každém vnitřním bodě J.

18 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 16.4 Elementární funkce Věta.14 (zavedení logaritmu). Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), která má tyto vlastnosti: (L1) D(ln) = (0, + ) a na tomto intervalu je ln rostoucí, (L) x, y (0, + ) : lnxy = lnx + lny, (L3) lim x 1 ln x x 1 = lim x 0 ln(1+x) x = 1. Poznámka: vztahu (L3) se někdy říká "základní limita pro logaritmus". Definice. Exponenciální funkcí budeme rozumět funkci inverzní k funkci ln. Budeme ji značit symbolem exp(x). Základní limita pro exponenciální funkci (lze odvodit z (L3)): exp(x) 1 lim = 1. x 0 x Lze postupovat i tak, že se nejprve definuje exponenciální funkce (zformuluje se věta o existenci a jednoznačnosti exponencální funkce), a poté se funkce ln definuje jako její inverzní funkce. Definice. Necht a, b R, a > 0. Obecnou mocninu a b definujeme jako a b = exp(b lna). Poznámka. Tedy pro číslo e R takové, že ln e = 1, platí e x = exp(xln(e)) = exp(x). Věta.15 (zavedení funkcí sinus a kosinus). Existuje právě jedno kladné reálné číslo (budeme ho značit π) a právě jedna dvojice funkcí sinus (sin) a kosinus (cos), které mají následující vlastnosti: G1) D(sin) = D(cos) = R, G) pro všechna x, y R platí sin(x + y) = sinx cos y + cos x siny, cos(x + y) = cos x cos y sin x siny, G3) sin je rostoucí na 0, 1 π, sin0 = 0, sin(1 π) = 1, G4) lim x 0 sin x x = 1. Poznámka. Základní limity (shrnutí): sin( x) = sinx, cos( x) = cos x, ln(x + 1) lim x 0 x lim x 0 sinx x e x 1 = 1, lim x 0 x = 1, lim x 0 = 1, cos x 1 x = 1.

19 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 17 Definice. Funkci tangens značíme tg a definujeme předpisem pro každé reálné x, pro něž má zlomek smysl, tj. tg x = sin x cos x D(tg) = {x R; x (k + 1)π/, k Z}. Symbolem cotg budeme značit funkci kotangens, která je definována na množině D(cotg) = {x R; x kπ, k Z} předpisem cotg x = cos x sin x. Definice (zavedení cyklometrických funkcí). Cyklometrickými funkcemi budeme rozumět funkce arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arkuskotangens (arccotg), které jsou definovány takto arcsin = (sin π, π ) 1, arccos = (cos 0,π ) 1, arctg = (tg ( π, π ) ) 1, arccotg = (cotg (0,π) ) 1. Tvrzení.16 (vlastnosti cyklometrických funkcí). Funkce arcsin, arccos, arctg, arccotg jsou ryze monotónní (tedy prosté) funkce na svých definičních oborech a platí: arcsin roste na 1, 1, arcsin( 1, 1 ) = π, π, arccos klesá na 1, 1, arccos( 1, 1 ) = 0, π, ( arctg roste na R, arctg(r) = π, π ), arccotg klesá na R, arccotg(r) = (0, π). Definice (hyperbolické funkce). Hyperbolickými funkcemi budeme rozumět funkce hyperblický sinus (sinh), hyperbolický kosinus (cosh), hyperbolický tangens (tgh) a hyperbolický kotangens (cotgh), které jsou definovány takto sinhx = ex e x, D(sinh) = R, cosh x = ex + e x, D(cosh) = R, tgh x = sinhx cosh x = ex e x e x + e x, D(tgh) = R, cotgh x = cosh x sinhx = ex + e x e x e x, D(cotgh) = R \ {0}. Definice (inverzní hyperbolické funkce). Inverzními hyperbolickými funkcemi (někdy též hyperbolometrickými funkcemi) budeme rozumět funkce argument hyperbolického sinu (argsinh), argument hyperbolického kosinu (argcosh), argument hyperbolické tangenty (argsinh), argument hyperbolické kotangenty (argcotgh), které jsou definovány takto argsinh = (sinh) 1, argcosh = (cosh 0, ) ) 1, argtgh = (tgh) 1, argcotgh = (cotgh) 1.

20 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 18 Tvrzení.17 (vlastnosti hyperbolometrických funkcí I). Hyperbolometrické (inverzní hyperbolické) funkce jsou prosté na svých definičních oborech, přičemž argsinh roste na D(argsinh) = R, a argsinh(r) = R, argcosh roste na D(argcosh) = 1, + ), a argcosh( 1, + )) = 0, + ), argtgh roste na D(argtgh) = ( 1, 1), a argtgh(( 1, 1)) = R, argcotgh klesá na (, 1) a na (1, + ) (ale nikoli na celém D(argcotgh) = R \ 1, 1 ), a argcotgh(r \ 1, 1 ) = R. Poznámka (vlastnosti hyperbolometrických funkcí II). Existuje vyjádření hyperbolometrických funkcí pomocí funkce ln (srovnejte to se skutečností, že hyperbolické funkce jsou definovány pomocí funkce exp). Platí: argsinhx = ln(x + x + 1), x R, argcoshx = ln(x + x 1), x 1, + ), argtghx = 1 ln 1 + x, 1 x x ( 1, 1), argcotghx = 1 ln x + 1, x 1 x R \ 1, 1. Věta.18. Funkce log, exp, sin, cos, tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg, sinh, cosh, tgh, cotgh, argsinh, argcosh, argtgh, argcotgh jsou spojité na svých definičních oborech. Poznámka. Termínem elementární funkce budeme označovat funkce 1, x, exp(x), sin x, a všechny funkce, které lze z těchto funkcí obdržet aplikováním konečného počtu následujících operací: sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání funkcí, zúžení (restrikce) funkce a vytvoření inverzní funkce. Poznámka (komplexní exponenciála). Lze dokázat (například z teorie mocninných řad), že platí tedy sin x = eix e ix, cos x = eix + e ix, x R, i e ix = cos x + isinx, x R. V tomto smyslu (tj. uvažujeme-li komplexní funkce) je tedy exponenciála základní elementární funkcí, nebot všechny goniometrické (i hyperbolické) funkce lze vyjádřit jejím prostřednictvím. Poznámka (nedefinované výrazy v obecné mocnině). Protože máme a b = exp(b lna) (pro a>0), je výraz a b nedefinován (i ve smyslu aritmetiky rozšířené reálné osy) právě tehdy, když je nedefinován výraz b ln a, tj. když b lna = 0 ± nebo b lna = ± 0. Odtud dostáváme následující výrazy v obecné mocnině, které nejsou definovány (ani ve smyslu aritmetiky rozšířené reálné osy): 0 0, (± ) 0, 1 (± ).

21 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 19.5 Grafy některých elementárních funkcí

22 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 0

23 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 1

24 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné

25 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 3

26 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 4

27 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 5

28 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 6 Bonus I: Řecká abeceda A, α alfa N, ν ný B, β béta Ξ, ξ ksí Γ, γ gamma O, o omikron, δ delta Π, π pí E, ǫ, ε epsílon P, ρ ró Z, ζ (d)zéta Σ, σ sígma H, η éta T, τ tau Θ, θ, ϑ théta Y, υ ypsilon I, ι ióta Φ, ϕ fí K, κ, κ kappa X, χ chí Λ, λ lambda Ψ, ψ psí M, µ mý Ω, ω ómega

29 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. : Funkce jedné reálné proměnné 7 Bonus II: Goniometrické a hyperbolické funkce (porovnání) sinx = eix e ix i cos x = eix + e ix e ix = cos x + isinx sinhx = ex e x cosh x = ex + e x e x = cosh x + sinhx sin x + cos x = 1 cosh x sinh x = 1 sinx = sinxcos x cos x = cos x sin x sin x = 1 cos x cos x = 1 + cos x sin(x + y) = sinxcos y + cos xsiny sin(x y) = sinxcos y cos xsiny cos(x + y) = cos xcos y sinxsiny cos(x y) = cos xcos y + sinxsiny sin x + siny = sin x + y sin x siny = cos x + y cos x + cosy = cos x + y cos x cos y = sin x + y cos x y sin x y cos x y sin x y sinh x = sinhxcosh x coshx = cosh x + sinh x sinh x = cosh x 1 cosh x = cosh x + 1 sinh(x + y) = sinhxcosh y + coshxsinhy sinh(x y) = sinhxcosh y cosh xsinhy cosh(x + y) = cosh xcosh y + sinhxsinhy cosh(x y) = cosh xcosh y sinhxsinhy sinhx + sinhy = sinh x + y sinhx sinhy = cosh x + y cosh x + coshy = cosh x + y cosh x cosh y = sinh x + y cosh x y sinh x y cosh x y sinh x y sin(ix) = isinhx cos(ix) = coshx sinh(ix) = isinx cosh(ix) = cos x sin(x + iy) = sinxcosh y + icos xsinhy cos(x + iy) = cos xcosh y isinxsinhy sinh(x + iy) = sinhxcos y + icosh xsiny cosh(x + iy) = coshxcos y + isinhxsiny

30 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 3: Derivace funkce jedné reálné proměnné 8 3 Derivace funkce jedné reálné proměnné 3.1 Definice a základní vztahy, diferenciál Definice. Necht f je reálná funkce, necht a R. Pak derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f f(a + h) f(a) (a) = lim ; h 0 h derivací funkce f v bodě a zprava budeme rozumět f + (a) = lim h 0+ analogicky definujeme derivaci funkce f v bodě a zleva. f(a + h) f(a) ; h Věta 3.1. Necht funkce f má v bodě a R vlastní derivaci. Potom je funkce f v bodě a spojitá. Poznámka: podobně pro derivaci zprava, zleva. Věta 3. (aritmetika derivací). Předpokládejme, že funkce f a g mají v bodě a R vlastní derivace. Potom platí (i) (f ± g) (a) = f (a) ± g (a), (ii) (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a), (iii) je-li g(a) 0, pak ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g g. (a) Věta 3.3 (derivace složené funkce). Necht funkce f má vlastní derivaci v bodě y 0 R, funkce g má vlastní derivaci v bodě x 0 R a y 0 = g(x 0 ). Pak (f g) (x 0 ) = f (y 0 ) g (x 0 ). Věta 3.4 (derivace inverzní funkce). Necht funkce f je na intervalu (a, b) spojitá a ryze monotónní. Bud x 0 (a,b) a označme y 0 = f(x 0 ). (i) Pokud existuje (vlastní nebo nevlastní) f (x 0 ) 0, má funkce f 1 derivaci v bodě y 0 a platí rovnost (kde klademe 1 ± = 0). (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )), (ii) Je-li f (x 0 ) = 0 a f je rostoucí (resp. klesající) na (a,b), je (f 1 ) (y 0 ) = + (resp. ). Věta 3.5 (l Hospitalovo pravidlo). (i) Necht a R { }, lim x a+ f(x) = lim x a+ g(x) = 0, f a g mají na jistém pravém prstencovém okolí bodu a vlastní derivaci a existuje lim x a+ f (x) g (x). Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x). (ii) Necht a R { }, lim x a+ g(x) = +, f a g mají na jistém pravém prstencovém okolí bodu a vlastní derivaci a existuje lim x a+ f (x) g (x). Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x).

31 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 3: Derivace funkce jedné reálné proměnné 9 Poznámka. L Hospitalovo pravidlo platí i pro limitu zleva, resp. pro oboustrannou limitu. f Pokud neexistuje lim (x) x a+ g (x), nelze podle l Hospitalova pravidla nic tvrdit pro existenci nebo hodnotu limity lim x a+ g(x) f(x). Věta 3.6. Necht f je spojitá zprava v bodě a R a existuje lim x a+ f (x). Potom existuje f + (a) a platí rovnost f + (a) = lim f (x). x a+ Definice (diferenciál). Bud a R necht existuje f (a) vlastní. Diferenciálem funkce f v bodě a nazvu lineární zobrazení df(a) : h f (a) h, h R. Diferenciál identické funkce, tedy funkce I(x) = x, je proto zobrazení di(x) = dx, s vlastností dx(h) = h. Podíl diferenciálů obecné funkce f a identické funkce je potom lineární zobrazení s vlastností Podíl diferenciálů df(x) dx df(x) dx (h) = f (x) h = f (x). h tedy nezávisí na proměnné h, a lze psát df(x) dx = f (x), resp. f (x) = df(x) dx, kde zlomek vpravo chápeme jako podíl dvou diferenciálů. Vztah, který dostaneme z tohoto výrazu "rozšířením dx", tj. df(x) = f (x) dx pak chápeme jako vztah mezi dvěma diferenciály: diferenciál funkce f v bodě x je f (x)-násobkem diferenciálu identity. Při označení y = f(x) lze pak tento proces (proces diferencování) zachytit takto: y = f(x) = dy = f (x) dx. Poznámka (parciální derivace). Je-li f funkce, závislá na více než jedné proměnné, například f = f(x, y, z), lze uvažovat její derivace jen podle některé z jejích proměnných, například x. Tuto derivaci pak naýváme parciální derivací f podle x a značíme f x (x,y,z). Například ( ) x x y = 1 ( ) + z y + z, x y y = xy + z (y + z). 3. Derivace vyššího řádu Definice. Necht n N, a R, a f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n + 1)-ní derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f (n+1) f (n) (a + h) f (n) (a) (a) = lim. h 0 h Věta 3.7 (Leibnizův vzorec). Necht a R, n N, a necht existují vlastní derivace f (n) (a), g (n) (a). Potom existuje vlastní derivace (fg) (n) (a), a platí n ( ) n (fg) (n) (a) = f (n k) (a)g (k) (a). k k=0

32 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 3: Derivace funkce jedné reálné proměnné 30 Tabulka derivací některých elementárních funkcí f f D(f) D(f ) Pozn. const. 0 R (tj.: "jako D(f)") x n nx n 1 R n N x a ax a 1 x > 0 a R e x e x R a x a x ln a R a > 0 ln x log a x 1 x 1 xln a x > 0 x > 0 a (0,1) (1,+ ) sinx cos x R cos x sinx R 1 tg x cos x cotg x 1 sin x 1 arcsin x 1 x x π + kπ x kπ 1,1 ( 1,1) v ±1: jen jednostranné derivace arccos x 1 1 x 1,1 ( 1,1) v ±1: jen jednostranné derivace arctg x x R arccotg x x R sinh x cosh x R cosh x sinh x R tgh x 1 tgh x R cotgh x 1 cotgh x x 0 argsinh x 1 x + 1 R argcosh x 1 x 1 x > 1 argtgh x argcotgh x 1 1 x 1 < x < x x > 1

33 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 4: Neurčitý integrál a primitivní funkce 31 4 Neurčitý integrál a primitivní funkce 4.1 Základní vlastnosti Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I = (a, b). Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f(x). Definice. Necht funkce f je definována na konečném sjednocení neprázdných disjunktních otevřených intervalůj = k j=1 (a j, b j ). Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na J, jestliže pro každé x J existuje F (x) a platí F (x) = f(x). Věta Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro každé x I.. Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na konečném sjednocení neprázdných disjunktních otevřených intervalů J = k j=1 (a j, b j ). Pak existují konstanty c 1,...,c k R takové, že F(x) = G(x) + c j pro každé x (a j, b j ). Poznámka. Pro výše uvedené situace používáme rčení "F se rovná G až na konstantu" (v prvním případě), resp. "F se rovná G až na konstanty" (ve druhém případě). V obou případech píšeme F(x) = c G(x). Pro primitivní funkci k funkci f používáme často symbol neurčitého integrálu f(x) dx, je-li tedy F(x) jedna z primitivních funkcí k funkci f(x) na I = (a, b), resp. na J = k j=1 (a j, b j ), píšeme f(x) dx c = F(x) na I resp. J. Věta 4.. Necht f je spojitá funkce na otevřeném neprázdném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci. Věta 4.3. Necht f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. Tedy αf(x)+βg(x) dx =α c f(x) dx+β g(x) dx na I, pokud primitivní funkce vpravo existují. Věta 4.4 (integrace per partes). Necht I je neprázdný otevřený interval a funkce f je spojitá na I. Necht F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí g(x)f(x) dx = G(x)F(x) G(x)f(x) dx na I. Věta 4.5 (první věta o substituci). Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht ϕ je funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t (α, β) vlastní derivaci. Pak f(ϕ(t))ϕ (t) dt = c F(ϕ(t)) na (α, β). Věta 4.6 (druhá věta o substituci). Necht funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β) nenulovou vlastní derivaci a ϕ((α, β)) = (a, b). Necht funkce f je definována na intervalu (a, b) a platí f(ϕ(t))ϕ (t) dt= c G(t) na (α, β). Pak f(x) dx c =G(ϕ 1 (x)) na (a, b). Poznámka: Lze ukázat, že pokud ϕ (t) 0 pro všechna t (α, β), potom ϕ je ryze monotónní v (α, β).

34 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 4: Neurčitý integrál a primitivní funkce 3 4. Integrace racionálních funkcí Definice. Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Věta 4.7 (o rozkladu na parciální zlomky). Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = a n (x x 1 ) p 1...(x x k ) p k(x + α 1 x + β 1 ) q 1...(x + α l x + β l ) q l, (iii) a n, x 1,...x k, α 1,...,α l, β 1,...,β l R, a n 0, (iv) p 1,...,p k, q 1,...,q l N, (v) žádné dva z mnohočlenů x x 1, x x,...,x x k, x + α 1 x + β 1,...,x + α l x + β l nemají společný kořen, (vi) mnohočleny x + α 1 x + β 1,...,x + α l x + β l nemají reálný kořen. Pak existují jednoznačně určená čísla A 1 1,...,A1 p 1,...,A k 1,...,Ak p k, B 1 1, C1 1,..., B1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, C l 1,...,Bl q l, C l q l taková, že platí P(x) Q(x) = A 1 1 (x x 1 ) p + + A1 p 1 A k x x 1 (x x k ) p + + Ak p k + k x x k + B1 1x + C1 1 (x + α 1 x + β 1 ) q + + B1 q 1 x + Cq 1 1 B1 l 1 x + + x + Cl 1 + α 1 x + β 1 (x + α l x + β l ) q + + Bl q l x + Cq l l l x. + α l x + β l Poznámka. Bud te a, b, c, A, B R, n N, n, potom platí tato pravidla (hodná zapamatování): dx c x a = ln x a, x (, a) (a,+ ) dx c (x a) = 1 n 1 n 1, x (, a) (a,+ ) (x a) n 1 dx c x +b = 1 b arctg x b, pokud b 0 dx c (x+a) +b = 1 x+a b arctg b, pokud b 0 Pokud ax + bx + c nemá žádné reálné kořeny, pak používáme rovnost Ax+B ax +bx+c dx = A ax+b a ax +bx+c dx+( B Ab ) dx a ax +bx+c = A a ln(ax +bx+c)+ ( B Ab a a ve jmenovateli posledního integrálu použijeme techniku doplnění na čtverec. 4.3 Některé užitečné substituce Typ R(sin t, cos t) dt vždy lze užít substituci tg t = x je-li R(a, b) = R(a, b), lze užít substituci sin t = x je-li R( a, b) = R(a, b), lze užít substituci cos t = x je-li R( a, b) = R(a, b), lze užít substituci tg t = x ) dx ax +bx+c,

35 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 4: Neurčitý integrál a primitivní funkce 33 Typ R(t, ( at+b ct+f )1/q ) dt q N, q > 1, a, b, c, f R, af bc = substituce ( at+b ct+f )1/q = x. Typ R(e at ) dt a R = substituce e at = x. Typ 1 tr(lnt) dt = substituce lnt = x. Typ R(t, at + bt + c) dt, a 0 at + bt + c má dvojnásobný kořen α R: at + bt + c = a t α, pro a > 0 at + bt + c má dva reálné kořeny α 1 < α : at + bt + c = t α 1 a t α t α 1 at + bt + c nemá reálné kořeny: pak a > 0, c > 0, a lze užít některou z Eulerových substitucí at + bt + c = ± at + x nebo at + bt + c = tx + c nebo užít hyperbolických funkcí. Tabulka základních primitivních funkcí f x n x a f c = Pozn. Kde xn+1 n+1 n Z, n 1 x R pro n 0, x R \ {0} pro n < 0 xa+1 a+1 a R \ Z x (0, + ) 1 x ln x x R \ {0} e x e x x R a x ax lna a > 0, a 1 x R sinx cos x x R cos x sinx x R tg x ln cos x x R \ { π + kπ, k Z} cotg x ln sinx x R \ {kπ, k Z} sinhx cosh x x R cosh x sinhx x R tgh x ln(coshx) x R cotghx ln sinhx x R \ {0}

36 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 4: Neurčitý integrál a primitivní funkce 34 Tabulka dalších primitivních funkcí f f c = Pozn. Kde 1 tg x x R \ { π cos x + kπ, k Z} 1 sin x cotg x x R \ {kπ, k Z} arcsinx xarcsinx + 1 x x ( 1, 1) arccos x xarccos x 1 x x ( 1, 1) arctg x xarctg x 1 ln(x + 1) x R arccotg x xarccotg x + 1 ln(x + 1) x R 1 1 x arcsinx x ( 1, 1) 1 1 x arccos x x ( 1, 1) 1 1+x arctg x x R 1 1+x arccotg x x R 1 x +1 argsinhx x R 1 x 1 signx argcosh x x > x argtghx Def. obor! 1 < x < x argcotghx Def. obor! x > x ln 1+x 1 x Def. obor! x R \ { 1, 1}

37 M. Rokyta, MFF UK: Apl. mat. I kap. 5: Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v 1D 35 5 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v jedné dimenzi 5.1 Funkce spojité na intervalu Definice (funkce spojitá na intervalu - opakování). Necht J R je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekonečně mnoho bodů). Funkce f : J R je spojitá na intervalu J, jestliže platí: f je spojitá zprava v levém krajním bodě intervalu J, pokud tento bod patří do J, f je spojitá zleva v pravém krajním bodě intervalu J, pokud tento bod patří do J, f je spojitá v každém vnitřním bodě J. Věta 5.1 (Bolzano). Necht funkce f spojitá na intervalu a, b a předpokládejme, že f(a) < f(b). Potom pro každé C (f(a), f(b)) existuje ξ (a, b) takové, že platí f(ξ) = C. Věta 5. (zobrazení intervalu spojitou funkcí). Necht J je nedegenerovaný interval. Necht funkce f : J R je spojitá na J. Potom je f(j) interval (nebo bod). Věta 5.3 (o inverzní funkci). Necht f spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom funkce f 1 je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu f(j). Věta 5.4. Necht f spojitá funkce na intervalu a, b. Potom je f na a, b omezená shora i zdola. Definice. Necht M R, x M a funkce f je definována alespoň na M (M D(f)). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M : f(y) f(x) (resp. y M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje). Věta 5.5. Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b. Potom funkce f nabývá na a, b své největší hodnoty (maxima) a své nejmenší hodnoty (minima), tj. existují body c, d a, b takové, že f(c) = max a,b f(x), f(d) = min a,b f(x). Definice. Necht M R, x M a funkce f je definována alespoň na M (tj. M D(f)). Řekneme, že funkce f má v bodě x lokální maximum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P δ (x) M : f(y) f(x), lokální minimum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P δ (x) M : f(y) f(x). Věta 5.6 (nutná podmínka lokálního extrému). Budiž a R bodem lokálního maxima nebo lokálního minima funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. 5. Věty o střední hodnotě Věta 5.7 (Rolleova). Necht funkce f má následující vlastnosti: (i) je spojitá na intervalu a, b, (ii) má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě otevřeného intervalu (a, b),

38 M. Rokyta, MFF UK: Apl. mat. I kap. 5: Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v 1D 36 (iii) platí, že f(a) = f(b). Potom existuje ξ (a, b) takové, že platí f (ξ) = 0. Věta 5.8 (Lagrangeova). Necht funkce f je spojitá na intervalu a, b a má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu (a, b). Potom existuje ξ (a, b) takové, že platí f (ξ) = f(b) f(a). b a Věta 5.9 (Cauchyova). Necht funkce f, g jsou spojité na intervalu a, b a takové, že f má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu (a, b) a g má v každém bodě intervalu (a, b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existuje ξ (a, b) takové, že platí f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). Poznámka: L Hospitalovo pravidlo a věta o jednostranné limitě derivací jsou (m.j.) důsledkem Cauchyovy věty o střední hodnotě. Věta 5.10 (vztah derivace a monotonie). Necht funkce f je spojitá a má derivaci na intervalu (a, b), a < b. (i) Je-li f (x) > 0 pro všechna x (a, b), pak f je rostoucí na (a, b). (ii) Je-li f (x) < 0 pro všechna x (a, b), pak f je klesající na (a, b). (iii) Je-li f (x) 0 pro všechna x (a, b), pak f je neklesající na (a, b). (iv) Je-li f (x) 0 pro všechna x (a, b), pak f je nerostoucí na (a, b). Důsledek: Je-li f (x) = 0 pro všechna x (a, b), pak f je konstantní na (a, b). 5.3 Taylorův polynom Definice. Necht f je funkce, a R a f (n) (a) R. Pak polynom T f,a n (x) = f(a) + f (a)(x a) + + f(n) (a) (x a) n n! nazýváme Taylorovým polynomem řádu n funkce f v bodě a. Definice (symbol "malé o"). Necht f a g jsou funkce, a R. Řekneme, že funkce f je v bodě a malé o od g (píšeme f(x) = o(g(x)), x a), jestliže platí f(x) lim x a g(x) = 0. Některá pravidla pro zacházení se symbolem "o": Pro jednoduchost: a = 0, g(x) = x n, n N 0 := N {0}. lim x 0 o(x n ) x n = 0 c o(x n ) = o(x n ) c R, n N 0, x 0, o(x n ) ± o(x n ) = o(x n ) n N 0, x 0,