Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Transkript

1 Pokrok matematik, fzik a astronomie Jaroslava Černá NMR Imaging. Nobelova cena za lékařství a fziologii 2003 Pokrok matematik, fzik a astronomie, Vol. 49 (2004), No. 1, Persistent URL: Terms of use: Jednota českých matematiků a fziků, 2004 Institute of Mathematics of the Academ of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictl for personal use. Each cop of an part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic deliver and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Librar

2 NMR Imaging Nobelova cena za lékařství a fziologii 2003 Jaroslava Černá, Praha 1. Úvod V roce 2003 bla udělena Nobelova cena v oblasti lékařství a fziologie za klíčové fzikální objev, které se týkají vužití nukleární magnetické rezonance (NMR) pro stanovení prostorové struktur měřeného objektu (NMR Imaging). Laureát Nobelov cen se stali Paul Lauterbur a Peter Mansfield. Metoda NMR Imaging je zvláště atraktivní, protože umožňuje studovat objekt in vivo. Stala se tak významnou neinvazivní diagnostickou metodou v lékařství (tomografie MR). Dovoluje totiž zobrazit řez živými tkáněmi bez jejich poškození s vsokou přesností a rozlišovací schopností. V roce 2002 blo na celém světě v provozu asi tomografů MR, na nichž blo provedeno více než 60 milionů všetření. 2. Nukleární magnetická rezonance Je-li atomové jádro s nenulovým jaderným magnetickým momentem µ umístěno do statického magnetického pole B 0, magnetický moment µ koná precesi kolem směru vnějšího pole. Frekvence ω 0 tohoto precesního pohbu, tzv. Larmorova frekvence, je dána vztahem ω 0 = γ B 0, (1) kde γ je gromagnetický poměr, který je závislý na tpu jádra. Je různý i pro různé izotop téhož prvku. Uvažujeme-li sstém mnoha jader bez přítomnosti vnějšího statického magnetického pole, jaderné magnetické moment µ i jsou orientován náhodně. Vektor magnetizace M = i µ i je proto nulový. Umístíme-li takový sstém do vnějšího magnetického pole B 0, jaderné magnetické moment µ i se uspořádají. Jejich uspořádání můžeme klasick popsat tak, že počet magnetických momentů, jejichž podélná složka je orientována paralelně s B 0,není stejný jako počet magnetických momentů s podélnou složkou orientovanou antiparalelně k B 0. Sstém se řídí Boltzmannovým rozdělením a při konečné teplotě platí, že magnetických momentů s paralelně orientovanou podélnou složkou je více a tento Mgr. Jaroslava Černá (1978), katedra fzik nízkých teplot, MFF UK Praha, V Holešovičkách 2, Praha 8, jaroslava.cerna@mff.cuni.cz Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 15

3 rozdíl se zvětšuje s rostoucím magnetickým polem. Vektor magnetizace M je proto nenulový a má směr působícího pole B 0. V eperimentu NMR je vzorek vstaven kromě působení vnějšího pole B 0 také působení radiofrekvenčního magnetického pole B 1. Toto pole vzniká v cívce, kterou protéká střídavý elektrický proud s frekvencí ω. Osa cívk je orientována kolmo k B 0. Předpokládejme B 0 =(0, 0, B 0 ) a B 1 = ( 2B 1 cos(ωt), 0, 0 ). Vlivem radiofrekvenčního pole se vektor magnetizace vchýlí z rovnovážného stavu, v němž je orientován paralelně s B 0. Lineárně polarizované radiofrekvenční pole B 1 lze rozložit do dvou kruhově polarizovaných složek, které se otáčejí v rovině kolmé k B 0. Jedna ze složek se otáčí úhlovou rchlostí ω ve směru a druhá proti směru hodinových ručiček. Přejdeme do rotující soustav souřadné, jejíž osa z je totožná s osou z laboratorní soustav souřadné, aosu ztotožníme s tou složkou magnetického pole B 1, která má stejný smsl otáčení jako magnetické moment µ i (viz obr. 1). ω B 1 ω Obr. 1. Rotující soustava souřadná. V dané rotující soustavě souřadné preceduje vektor magnetizace kolem směru efektivního magnetického pole B ef =(B 1, 0, B 0 ω/γ). V případě rezonance, kd ω = γb 0 = ω 0, se vektor magnetizace M otáčí v rovině -z (viz obr. 2). z ϕ M B 1 Obr. 2. V případě rezonance se vektor magnetizace M otáčí v rovině -z. 16 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1

4 Je-li radiofrekvenční pole B 1 aplikováno ve formě pulzu o délce τ, je úhel otočení ϕ vektoru magnetizace M závislý na délce a amplitudě pulzu, ϕ = γ B 1 τ. Nejužitečnější pulz je 90 pulz, který stočí vektor magnetizace M do rovin kolmé k B 0. V laboratorní soustavě souřadné máme pak vektor magnetizace, který se otáčí s úhlovou rchlostí ω 0 vrovině-. V přijímací cívce se indukuje napětí, pomocí kterého detekujeme signál NMR. Po vpnutí ecitačního pulzu se vektor magnetizace M vrací do své rovnovážné poloh, v níž je orientován paralelně s B 0. Tento proces se nazývá spin-mřížková nebo podélná relaace. Spin-mřížkový relaační proces je charakterizován relaačním časem T 1. V průběhu ecitace krátkým radiofrekvenčním pulzem (tpick 10 μs) lze sstém považovat za koherentní sstém, což znamená, že všechn složk µ i vektoru magnetizace M precedují ve fázi kolem směru efektivního pole (vzhledem k rotující soustavě souřadné). Po skončení pulzu však dochází ke ztrátě fázové koherence, která je způsobena fluktuacemi lokálního magnetického pole. Všechna jádra jsou totiž vstavena nejen působení vnějšího statického pole B 0, ale také působení vnitřního lokálního magnetického pole, které je vtvářeno magnetickými moment elektronů a okolních jader. Larmorova frekvence je závislá na poli, ve kterém se jádro nachází, a proto mají jednotlivé jaderné magnetické moment µ i různou Larmorovu frekvenci. Tím je způsobeno rozfázování magnetických momentů, které je příčinou spin-spinové nebo příčné relaace. Spin-spinový relaační proces je charakterizován relaačním časem T 2. Chování vektoru magnetizace popisují Blochov rovnice dm dt dm dt dm z dt = γ(m B) M T 2, = γ(m B) M T 2, (2) = γ(m B) z M z M 0 T 1. Řešením těchto rovnic získáme závislost podélné a příčné složk vektoru magnetizace M na čase, tj. časový průběh relaačních procesů. Relaace podélné složk M z po 90 pulzu je dána vztahem Pro příčnou složku M dostaneme vztah M z = M 0 z (1 e t/t1 ). (3) M = M 0 e t/t2. (4) Ke ztrátě fázové koherence přispívá kromě spin-spinové relaace také nehomogenita vnějšího statického magnetického pole B 0. Rozfázování magnetických momentů způsobuje časový pokles indukovaného napětí, které měříme v přijímací cívce. Fourierovou transformací (FT) měřeného signálu získáme rozdělení Larmorových frekvencí ve zkoumaném vzorku. Toto rozdělení se nazývá spektrum NMR. Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 17

5 3. Zobrazování pomocí NMR Základní princip zobrazování NMR je obsažen v rovnici (1) pro Larmorovu frekvenci, podle které je frekvence ω 0 magnetického momentu úměrná magnetickému poli B 0, které na magnetický moment působí. Předpokládejme, že vzorek se skládá se tří oddělených částí (obr. 3). Je-li takový vzorek umístěn v homogenním magnetickém poli B 0,vespektruNMRseobjevípouze jeden signál. Je-li společně s B 0 aplikováno magnetické pole s lineárním gradientem ve směru os, tj.g z = B z / (obr. 4), každá ze tří částí vzorku se nachází v jiném magnetickém poli. Výsledkem je spektrum NMR se třemi signál. Frekvence signálů odpovídají -ovým souřadnicím jednotlivých částí vzorku a amplitud signálů jsou úměrné počtu jader v každé z jeho částí. Přiložením gradientu magnetického pole jsme informaci o prostorovém rozložení vzorku zakódovali do frekvence, proto se tato procedura nazývá frekvenční kódování. z B 0 FT ω 0 ω Obr. 3. Spektrum NMR v homogenním magnetickém poli B 0: Spektrum obsahuje jeden signál na frekvenci ω 0 = γb 0. z B 0 + G z FT 1 ω 1 ω 2 ω 3 ω 2 3 Obr. 4. Spektrum NMR v gradientovém poli B 0 + G z : Rezonanční frekvence ω 1, ω 2, ω 3 odpovídají souřadnicím 1, 2, 3 jednotlivých částí vzorku. Je-li vzorek složitější, je zřejmé, že pro rekonstrukci prostorové struktur nestačí aplikovat gradient pouze v jednom směru. Pokud aplikujeme gradient s různou 18 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1

6 orientací (obr. 5), lze prostorovou strukturu vzorku určit. Metoda zobrazení používající otáčivého gradientu pole je analogická metodě rentgenovské tomografie (v lékařské terminologii označované CT). Obr. 5. Zpětná projekce: Vužitím spekter s rozdílnou orientací gradientu magnetického pole lze rekonstruovat prostorovou strukturu vzorku (směr gradientů je vznačen šipkami). V prai se však používá propracovanější postup. Vzorek je vstaven nejen gradientu magnetického pole kódujícímu frekvenci, ale také gradientu kódujícímu fázi. Předpokládejme, že máme 9 magnetických momentů uspořádaných do matice 3 3 (obr. 6). Aplikujeme-li gradient ve směru os, magnetické moment v jednotlivých sloupcích budou precedovat s odlišnými frekvencemi ω 1, ω 2 a ω 3 (obr. 6). ω 1 ω 2 ω 3 G z Obr. 6. Frekvenční kódování: Gradient G z = B z/ je příčinou odlišných Larmorových frekvencí v jednotlivých sloupcích. Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 19

7 Pomocí frekvenčního kódování ted dokážeme odlišit sloupce. Pro úplnou prostorovou informaci je dále nutné odlišit jednotlivé řádk. Toho lze docílit pomocí dalšího gradientu magnetického pole, který aplikujeme ve směru os. Na obr. 7 je znázorněn jeden sloupec z původní matice 3 3. Zapneme-li gradient ve směru os, každýze tří magnetických momentů bude precedovat s jinou Larmorovou frekvencí, a ted za určitý čas se každý otočí o jiný úhel. V okamžiku, kd gradient ve směru vpneme, všechn tři magnetické moment začnou precedovat se svou původní frekvencí ω 1,ale fáze každého z magnetických momentů bude jiná (obr. 7). Informace o poloze ve směru os zůstane zakódována ve fázi, proto se tento proces nazývá fázové kódování. ω 1 ω 1 + γ G z ω 1 G z Obr. 7. Fázové kódování: Za dobu t 1, po kterou je zapnutý gradient G z = B z/, sekaždý ze tří magnetických momentů otočí o jiný úhel, ϕ() =γ G z t 1. Po vpnutí gradientu je Larmorova frekvence všech magnetických momentů stejná. Vmezení vrstv rovnoběžné s rovinou - se provádí užitím gradientu ve směru os z v kombinaci s nastavením potřebné ecitační frekvence ω 0. Pouze pro magnetické moment s frekvencemi v malém okolí ω 0 (obr. 8) bude splněna rezonanční podmínka, a ted pouze tto magnetické moment se budou podílet na tvorbě signálu NMR. Gradient pro výběr vrstv musí být zapnutý v průběhu ecitace magnetických momentů. z ω 0 G z z Obr. 8. Výběr vrstv: Na tvorbě signálu NMR se podílejí pouze magnetické moment s frekvencemi v malém okolí ω Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1

8 Šířka ecitované vrstv je dána velikostí gradientu ve směru z a šířkou frekvenčního spektra ecitačního pulzu. Každý radiofrekvenční pulz má určitý frekvenční rozsah, který je dán délkou a tvarem pulzu. Čím kratší pulz použijeme, tím širší je jeho frekvenční rozsah, a proto širší ecitovaná vrstva. Radiofrekvenční pulz nemusí být vžd pravoúhlý. Ideálním tvarem pulzu je tzv. sinc pulz (sin t/t), protože má pravoúhlé frekvenční spektrum [1]. Při konstantním frekvenčním rozsahu ecitačního pulzu je možné ovlivnit šířku vrstv velikostí gradientu ve směru z. Aplikujeme-li strmější gradient, vbíráme užší vrstvu. Kontrast obrazu NMR je ovlivněn rozdíl v hustotě jader vodíku 1 H, jejichž signál se v lékařství pro NMR Imaging vužívá. Kontrast daný pouze rozdílnou hustotou jader 1 H je však malý, protože tato hustota je v různých biologických tkáních v řadě případů téměř stejná. Přechod mezi tkáněmi b ted bl na obrazu NMR nezřetelné. Pro vlepšení kontrastu se proto vužívají rozdíl v relaačních časech T 1 a T 2 jader v různých tpech tkání. Relaační čas jsou navíc odlišné i pro tkáň zdravou a tutéž tkáň zasaženou např. nádorem, což umožňuje diagnostiku nádorů. Je-li relaační doba T 1 jader ve tkáni A kratší než ve tkáni B, vektor magnetizace tkáně A se po ecitačním 90 pulzu vrací rchleji do poloh rovnoběžné s B 0.Vdaný časový okamžik je proto podélná složka magnetizace tkáně A větší než tkáně B. Pokud aplikujeme v tomto okamžiku další 90 pulz, bude amplituda signálu tkáně A větší, a proto se obraz tkáně A bude jevit světlejší. Tento způsob zobrazování se nazývá T 1 vážený obraz. T 2 vážený obraz vužívá rozdílu ve spin-spinových relaačních dobách. Je-li T 2 jader ve tkáni A kratší než ve tkáni B, klesá příčná složka vektoru magnetizace tkáně A rchleji než tkáně B. Amplituda signálu tkáně A je ted v každém okamžiku menší, a proto se obraz tkáně A jeví na T 2 váženém obrazu tmavší. T 1 nebo T 2 vážený obraz lze získat vužitím vhodné pulzní sekvence. Pulzní sekvencí se rozumí posloupnost radiofrekvenčních pulzů, která slouží k vtvoření určité specifické form signálu NMR. Často používanou pulzní sekvencí je tzv. spinové echo. Jaderný sstém je nejprve vstaven působení 90 pulzu, který stočí vektor magnetizace do rovin -. Jednotlivé magnetické moment se začnou vlivem mírně odlišných Larmorových frekvencí otáčet s rozdílnou fází. Za čas T E po aplikaci 90 pulzu je aplikován 180 pulz. V době mezi pulz dojde k úplné ztrátě fázové koherence sstému magnetických momentů µ i, ale všechn magnetické moment zůstávají v rovině pulz způsobí otočení magnetických momentů o 180 kolem os.začast E po aplikaci pulzu dojde k obnovení fázové koherence a vtvoří se signál nazývaný spinové echo. Tato pulzní sekvence eliminuje ztrátu fázové koherence magnetických momentů, která je způsobena nehomogenitou vnějšího statického magnetického pole. Amplituda spinového echa závisí na hodnotě spin-spinové relaační dob T 2 ( e 2TE/T2 ). Parametr pulzní sekvence spinového echa jsou čas T E mezi 90 pulzem a 180 pulzem a čas T R mezi dvěma opakováními celé pulzní sekvence. Nastavením parametrů T E a T R (s ohledem na hodnot relaačních časů T 1 a T 2 ) lze ovlivnit, zda výsledný obraz bude T 1 vážený nebo T 2 vážený [5]. Na obr. 9 jsou T 1 a T 2 vážené obraz řezu mozkem. Můžeme si všimnout, že na T 1 váženém obrazu je mozkomíšní mok tmavý, protože má delší relaační čas T 1 než mozková tkáň. Naopak na T 2 váženém obrazu je Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 21

9 Obr. 9. Řez mozkem: T 1 a T 2 vážený obraz. mozkomíšní mok světlý. Příčinou je jeho relaační čas T 2,kterýjedelšínežT 2 mozkové tkáně. Gradient ve směru jednotlivých os je nutné spínat ve správném pořadí. V případě pulzní sekvence spinového echa je gradient pro výběr vrstv zapnutý v době trvání 90 pulzu a 180 pulzu, gradient kódující fázi v době před 180 pulzem a gradient kódující frekvenci v době načítání dat, tj. při vtvoření spinového echa (obr. 10). T R T E 180 t G z z G z G z z G z G z z G z G z z G z Obr. 10. Spínání gradientů při sekvenci spinového echa: Na horní časové ose je znázorněna pulzní sekvence, na prostřední ose průběh signálu NMR a na dolní ose spínání gradientů magnetického pole. Ke zpracování měřeného signálu je třeba použít metod 2D spektroskopie, která vžaduje provedení Fourierov transformace ve dvou nezávislých časových doménách. Označme t 1 dobu, po kterou je zapnutý gradient G z kódující fázi, a časem t rozumějme 22 Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1

10 dobu, kd je zapnutý gradient G z kódující frekvenci. V době trvání gradientu Gz se provádí obvklá Fourierova transformace podle proměnné t. Takto získaná spektra závisí na době t 1, tj. na době trvání gradientu G z. Spektra naměříme pro několik různých časů t 1 a provedeme druhou Fourierovu transformaci podle proměnné t 1. Tímto postupem získáme informaci o prostorovém rozložení vzorku. 4. Nobelov cen Práce v oblasti NMR bla oceněna již třemi Nobelovými cenami. První bla udělena za původní eperimentální prokázání jevu NMR v roce Laureát se stali Edward Mills Purcell a Feli Bloch. V roce 1991 bl oceněn Nobelovou cenou za chemii Richard Ernst. Cenu obdržel za svůj příspěvek k rozvoji spektroskopie NMR vsokého rozlišení. Laureáti Nobelov cen za rok 2003 Paul Lauterbur a Peter Mansfield bli oceněni za rozvoj aplikačních možností zobrazování pomocí NMR v medicíně. P. Lauterbur pracoval v oblasti tvorb gradientových polí pro dvojdimenzionální zobrazování. P. Mansfield přispěl významným způsobem k rozvoji matematických metod zpracování signálu NMR pro účel zobrazování. Literatura [1] Hornak, J. P.: (1996). [2] Hornak, J. P.: (1997). [3] Englich, J.: Pulzní metoda jaderné magnetické rezonance a její užití v MR tomografii. Pokrok mat. fz. astronom. 42 (1995), [4] Rinck, P. A.: Magnetic Resonance in Medicine. Blackwell Scientific Publications, Oford [5] Schild, H. H.: MRI made eas. Schering, Berlin [6] Slichter, C. P.: Principles of Magnetic Resonance. Springer-Verlag, Berlin [7] Westbrook, C., Kaut, C.: MRI in Practice. Blackwell Science, Oford Pokrok matematik, fzik a astronomie, ročník 49 (2004), č. 1 23