Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení"

Transkript

1 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i 6,5 5, 3,1,9-1, -,7 Normální soustava rovnic: 8 6 6c + 3c 1 = 1 3c c 1 = 7, c =,95 c 1 = 1,99 Rovnice přímky je y =,95 1,99x b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = v intervalu a, b, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a druhý pod osou x.. a) Je dána počáteční úloha y = x y, y() = 1. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x =, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + h (k 1 + k ), kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + hk 1 ). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 1 (1 x+x e x+ ). f(x, y) = x y První krok: x =, y = 1 k 1 = f(; 1) = 1 = k = f( +,; 1 +, ) = = f(,; 1,) =, 1, =, y 1 = 1 +, ( +,) = 1, Druhý krok: x 1 =,, y 1 = 1, k 1 = f(,; 1,) =,3 k = f(,; 1,81) =,139 y = 1, +, (,3 +,139) = 1,811 Přibližná hodnota řešení v bodě x =, je y = 1,811. Přesná hodnota je y(,) = 1 (1, +, e,+ ) =. 1,818, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 + x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 + x ) dx = [x + x3 3 ]1 1 = 8 3. L 3 by vyšlo větší nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) druhá derivace integrované funkce je kladná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou větší než přesná hodnota.

2 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x / pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 3 stovky hodin? Jakou dobu životnosti překročí 9% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P (1 < X < 3) = F (3) F (1) = 1 e 3 / (1 e 1 / ) = e 1/ e 9/. =,673. Hledáme x, pro které je P (X > x) =,9: P (X > x) =,9 1 F (x) =,9 F (x) =,1 1 e x / =,1 x = ln,9 =.,69, tj. přibližně 65 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x / ) = e x / ( x ) = x e x / ; pro x je f(x) =. EX = x x e x / dx = x e x / dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 5. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 5 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Anežka hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,8. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje třikrát až čtyřikrát? Hraje 5-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 5 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje nanejvýš 35-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 3x až x) = P (vyhraje 3x) + P (vyhraje x) = ( ) 5 3,83, + ( 5 ),8, =,61. X Bi(n = 5; p =,8), tedy střední hodnota je EX = n p = 5,8 = a rozptyl DX = n p (1 p) = 5,8, = 8. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = a rozptyl σ = DX = 8 vypočtené v předchozí části. X Bi(5;,8) přibližně X No(µ = ; σ = 8), U = X 8 P (X 35). = P (X < 35,5) = P = 1 Φ(1,59). = 1,9 =,56. ( U < 35,5 8 ).= P (U < 1,59) = Φ( 1,59) = b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F () > F (3)? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Nerovnost F () > F (3) platit nemůže, protože F () = P (X < ) a F (3) = P (X < 3). Hodnota F (3) udává pravděpodobnost většího jevu než F (), a tedy F (3) rozhodně nemůže být menší než F (). Přesněji: F (3) = P (X < 3) = P (X < ) + P ( X < 3) = F () + P ( X < 3) F (), }{{} a tedy nemůže být F () > F (3).

3 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta B13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -3, -,8,7,9 5, Normální soustava rovnic: 5c 5c 1 = 5 5c c 1 = 15,9 Rovnice přímky je y = 3,9 +,9x. c = 3,9 c 1 =, b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = volíme počáteční aproximaci x tak, aby f(x ) a f (x ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.. a) Je dána počáteční úloha y = x y, y(1) = 3. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + hk, kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + h k 1). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = x + x + e x+1. f(x, y) = x y První krok: x = 1, y = 3 k 1 = f(1; 3) = 1 3 = 1 k = f(1 +, ; 3 +,1 ( 1)) = = f(1,1;,9) = 1,1,9 =,8 y 1 = 3 +, (,8) =,9 Druhý krok: x 1 = 1,, y 1 =,9 k 1 = f(1,;,9) =, k = f(1,3;,916) =,78 y =,9 +,,78 =,99968 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1, je y =, Přesná hodnota je y(1,) = 1,+ 1, e 1,+1. =,99, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 x ) dx = [x x3 3 ]1 1 = 3. L 3 by vyšlo menší nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) druhá derivace integrované funkce je záporná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou menší než přesná hodnota.

4 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x /9 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží až stovky hodin? Do jaké doby selže 95% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P ( < X < ) = F () F () = 1 e /9 (1 e /9 ) = e /9 e 16/9. =,7. Hledáme x, pro které je P (X < x) =,95: P (X < x) =,95 F (x) =,95 1 e x /9 =,95 x = 9 ln,5 =. 5,19, tj. přibližně 519 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x /9 ) = e x /9 ( x 9 ) = x 9 e x /9 ; pro x je f(x) =. EX = x x 9 e x /9 dx = x 9 e x /9 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 3 π/.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 1. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 1 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Barbora hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,75. Jaká je pravděpodobnost, že ve hrách vyhraje dvakrát až třikrát? Hraje 8-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 8 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 8 hrách vyhraje alespoň 55-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje x až 3x) = P (vyhraje x)+p (vyhraje 3x) = ( ),75,5 + ( 3).,753,5 =,633. X Bi(n = 8; p =,75), tedy střední hodnota je EX = n p = 8,75 = 6 a rozptyl DX = n p (1 p) = 8,75,5 = 15. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 6 a rozptyl σ = DX = 15 vypočtené v předchozí části. X Bi(8;,75) přibližně X No(µ = 6; σ = 15), U = X 6 P (X 55). = P (X > 5,5) = P 15 ( U > 5, ).= P (U > 1,) = 1 Φ( 1,) = = 1 (1 Φ(1,)) = Φ(1,). =,9. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > 3) = 1 F (3)? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 (P (X < 3) + P (X = 3)) = 1 F (3) P (X = 3) Rovnost P (X > 3) = 1 F (3) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = 3) =. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = 3) = p(3) nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X x), pak rovnost P (X > 3) = 1 F (3) platí vždy.)

5 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta C13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -3,3 -, -,5,8, Normální soustava rovnic: 5c + 5c 1 = 3 5c c 1 = 11 c = c 1 = 1, Rovnice přímky je y = + 1,x b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = v intervalu a, b, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a druhý pod osou x.. a) Je dána počáteční úloha y = x 3y, y() = 1. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x =, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + h (k 1 + k ), kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + hk 1 ). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 1 7 ( 6x+9x +e 3x+6 ). f(x, y) = x 3y První krok: x =, y = 1 k 1 = f(; 1) = 3 1 = 1 k = f( +,; 1 +, 1) = = f(,; 1,) =, 3 1, = 1, y 1 = 1 +, (1 + 1,) = 1, Přibližná hodnota řešení v bodě x =, je y = 1,795. Druhý krok: x 1 =,, y 1 = 1, k 1 = f(,; 1,) = 1,168 k = f(,; 1,576) = 1,387 y = 1, +, (1, ,387) = 1,795 Přesná hodnota je y(,) = 1 7 ( 6, + 9, + e 3,+6 ) =. 1,7, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 + x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n =, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1+x ) dx = [x+ x3 3 ]1 1 = 8 3. S by vyšlo stejně při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.

6 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x 3 /8 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až stovky hodin? Do jaké doby selže 99% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P (1 < X < ) = F () F (1) = 1 e 3 /8 (1 e 13 /8 ) = e 1/8 e 8. =,88. Hledáme x, pro které je P (X < x) =,99: P (X < x) =,99 F (x) =,99 1 e x3 /8 =,99 x = 3 8 ln,1 =. 3,37, tj. přibližně 333 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x3 /8 ) = e x3 /8 ( 3x 8 ) = 3x 8 e x3 /8 ; pro x je f(x) =. EX = x 3x 8 e x3 /8 dx = 3x 3 8 e x3 /8 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π 3/(9Γ(/3)) =. 1,786.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 15. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 15 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Cyril hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,5. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje jednou až dvakrát? Hraje 6-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 6 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 6 hrách vyhraje alespoň -krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 1x až x) = P (vyhraje 1x)+P (vyhraje x) = 5,5,75 + ( 5 ),5,75 3. =,659. X Bi(n = 6; p =,5), tedy střední hodnota je EX = n p = 6,5 = 15 a rozptyl DX = n p (1 p) = 6,5,75 = 11,5. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 15 a rozptyl σ = DX = 11,5 vypočtené v předchozí části. X Bi(6;,5) přibližně X No(µ = 15; σ = 11,5), U = X 15 11,5 P (X ) =. P (X > 19,5) = P. = 1,91 =,9. ( U > 19, ,5 ).= P (U > 1,3) = 1 Φ(1,3). = b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F (1) > F ()? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Nerovnost F (1) > F () platit nemůže, protože F (1) = P (X < 1) a F () = P (X < ). Hodnota F () udává pravděpodobnost většího jevu než F (1), a tedy F () rozhodně nemůže být menší než F (1). Přesněji: F () = P (X < ) = P (X < 1) + P (1 X < ) = F (1) + P (1 X < ) F (1), }{{} a tedy nemůže být F (1) > F ().

7 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta D13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -,3-1,3,6, 3,3 5,5 Normální soustava rovnic: 6c 3c 1 = 8 3c c 1 = 3, Rovnice přímky je y =,11 + 1,55x. c =,11 c 1 = 1, b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = volíme počáteční aproximaci x tak, aby f(x ) a f (x ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.. a) Je dána počáteční úloha y = 3x y, y(1) =. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + hk, kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + h k 1). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 6 6x + 3x e x+1. f(x, y) = 3x y První krok: x = 1, y = k 1 = f(1; ) = 3 1 = 1 k = f(1 +, ; +,1 1) = = f(1,1;,1) = 3 1,1,1 = 1,53 y 1 = +, 1,53 =,36 Druhý krok: x 1 = 1,, y 1 =,36 k 1 = f(1,;,36) =,1 k = f(1,3;,57) =,566 y =,36 +,,566 =,8185 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1, je y =,8185. Přesná hodnota je y(1,) = 6 6 1,+3 1, e 1,+1. =,81, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n =, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 x ) dx = [x x3 3 ]1 1 = 3. S by vyšlo stejně při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.

8 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x 3 /7 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží až 3 stovky hodin? Jakou dobu životnosti překročí 95% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P ( < X < 3) = F (3) F () = 1 e 33 /7 (1 e 3 /7 ) = e 8/7 e 1. =,376. Hledáme x, pro které je P (X > x) =,95: P (X > x) =,95 1 F (x) =,95 F (x) =,5 1 e x3 /7 =,5 x = 3 7 ln,95 =. 1,115, tj. přibližně 11 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x3 /7 ) = e x3 /7 ( 3x 7 ) = x 9 e x3 /7 ; pro x je f(x) =. EX = x x 9 e x3 /7 dx = x 3 9 e x3 /7 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π 3/(3Γ(/3)) =.,679.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ =. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Daniel hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,. Jaká je pravděpodobnost, že ve hrách vyhraje jednou až dvakrát? Hraje 1-krát. Náhodná veličina X udává počet výher ve 1 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že ve 1 hrách vyhraje nanejvýš 19-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 1x až x) = P (vyhraje 1x) + P (vyhraje x) =,,8 3 + ( ),,8 =,563. X Bi(n = 1; p =,), tedy střední hodnota je EX = n p = 1, = a rozptyl DX = n p (1 p) = 1,,8 = 16. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = a rozptyl σ = DX = 16 vypočtené v předchozí části. X Bi(1;,) přibližně X No(µ = ; σ = 16), U = X P (X 19) =. ( P (X < 19,5) = P U < 19,5 16 ).= P (U <,1) = Φ(,1) = = 1 Φ(,1). = 1,58 =,5. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > ) = 1 F ()? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. P (X > ) = 1 P (X ) = 1 (P (X < ) + P (X = )) = 1 F () P (X = ) Rovnost P (X > ) = 1 F () platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = ) =. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = ) = p() nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X x), pak rovnost P (X > ) = 1 F () platí vždy.)

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0. A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................

Více

metoda Regula Falsi 23. října 2012

metoda Regula Falsi 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně

Více

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Statistika I (KMI/PSTAT)

Statistika I (KMI/PSTAT) Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

Matematika 3 (Komentovaná zkoušková zadání pro kombinovanou formu studia)

Matematika 3 (Komentovaná zkoušková zadání pro kombinovanou formu studia) FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 (Komentovaná zkoušková zadání pro kombinovanou formu studia) Autor textu: RNDr. Michal Novák, Ph.D. Verze

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více