Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Transkript

1 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i 6,5 5, 3,1,9-1, -,7 Normální soustava rovnic: 8 6 6c + 3c 1 = 1 3c c 1 = 7, c =,95 c 1 = 1,99 Rovnice přímky je y =,95 1,99x b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = v intervalu a, b, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a druhý pod osou x.. a) Je dána počáteční úloha y = x y, y() = 1. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x =, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + h (k 1 + k ), kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + hk 1 ). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 1 (1 x+x e x+ ). f(x, y) = x y První krok: x =, y = 1 k 1 = f(; 1) = 1 = k = f( +,; 1 +, ) = = f(,; 1,) =, 1, =, y 1 = 1 +, ( +,) = 1, Druhý krok: x 1 =,, y 1 = 1, k 1 = f(,; 1,) =,3 k = f(,; 1,81) =,139 y = 1, +, (,3 +,139) = 1,811 Přibližná hodnota řešení v bodě x =, je y = 1,811. Přesná hodnota je y(,) = 1 (1, +, e,+ ) =. 1,818, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 + x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 + x ) dx = [x + x3 3 ]1 1 = 8 3. L 3 by vyšlo větší nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) druhá derivace integrované funkce je kladná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou větší než přesná hodnota.

2 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x / pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až 3 stovky hodin? Jakou dobu životnosti překročí 9% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P (1 < X < 3) = F (3) F (1) = 1 e 3 / (1 e 1 / ) = e 1/ e 9/. =,673. Hledáme x, pro které je P (X > x) =,9: P (X > x) =,9 1 F (x) =,9 F (x) =,1 1 e x / =,1 x = ln,9 =.,69, tj. přibližně 65 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x / ) = e x / ( x ) = x e x / ; pro x je f(x) =. EX = x x e x / dx = x e x / dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 5. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 5 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Anežka hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,8. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje třikrát až čtyřikrát? Hraje 5-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 5 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje nanejvýš 35-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 3x až x) = P (vyhraje 3x) + P (vyhraje x) = ( ) 5 3,83, + ( 5 ),8, =,61. X Bi(n = 5; p =,8), tedy střední hodnota je EX = n p = 5,8 = a rozptyl DX = n p (1 p) = 5,8, = 8. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = a rozptyl σ = DX = 8 vypočtené v předchozí části. X Bi(5;,8) přibližně X No(µ = ; σ = 8), U = X 8 P (X 35). = P (X < 35,5) = P = 1 Φ(1,59). = 1,9 =,56. ( U < 35,5 8 ).= P (U < 1,59) = Φ( 1,59) = b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F () > F (3)? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Nerovnost F () > F (3) platit nemůže, protože F () = P (X < ) a F (3) = P (X < 3). Hodnota F (3) udává pravděpodobnost většího jevu než F (), a tedy F (3) rozhodně nemůže být menší než F (). Přesněji: F (3) = P (X < 3) = P (X < ) + P ( X < 3) = F () + P ( X < 3) F (), }{{} a tedy nemůže být F () > F (3).

3 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta B13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -3, -,8,7,9 5, Normální soustava rovnic: 5c 5c 1 = 5 5c c 1 = 15,9 Rovnice přímky je y = 3,9 +,9x. c = 3,9 c 1 =, b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = volíme počáteční aproximaci x tak, aby f(x ) a f (x ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.. a) Je dána počáteční úloha y = x y, y(1) = 3. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + hk, kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + h k 1). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = x + x + e x+1. f(x, y) = x y První krok: x = 1, y = 3 k 1 = f(1; 3) = 1 3 = 1 k = f(1 +, ; 3 +,1 ( 1)) = = f(1,1;,9) = 1,1,9 =,8 y 1 = 3 +, (,8) =,9 Druhý krok: x 1 = 1,, y 1 =,9 k 1 = f(1,;,9) =, k = f(1,3;,916) =,78 y =,9 +,,78 =,99968 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1, je y =, Přesná hodnota je y(1,) = 1,+ 1, e 1,+1. =,99, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně lichoběžníkovou metodou pro n = 3, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 x ) dx = [x x3 3 ]1 1 = 3. L 3 by vyšlo menší nejsnáze lze ukázat pomocí obrázku (obrázek k lichoběžníkové metodě viz skripta nebo přednášky). Jiná možnost je ze vzorce pro chybu (viz skripta nebo přednášky) druhá derivace integrované funkce je záporná, a proto je výsledek získaný lichoběžníkovou metodou menší než přesná hodnota.

4 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x /9 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží až stovky hodin? Do jaké doby selže 95% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P ( < X < ) = F () F () = 1 e /9 (1 e /9 ) = e /9 e 16/9. =,7. Hledáme x, pro které je P (X < x) =,95: P (X < x) =,95 F (x) =,95 1 e x /9 =,95 x = 9 ln,5 =. 5,19, tj. přibližně 519 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x /9 ) = e x /9 ( x 9 ) = x 9 e x /9 ; pro x je f(x) =. EX = x x 9 e x /9 dx = x 9 e x /9 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek 3 π/.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 1. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 1 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Barbora hraje pasiáns. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,75. Jaká je pravděpodobnost, že ve hrách vyhraje dvakrát až třikrát? Hraje 8-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 8 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 8 hrách vyhraje alespoň 55-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje x až 3x) = P (vyhraje x)+p (vyhraje 3x) = ( ),75,5 + ( 3).,753,5 =,633. X Bi(n = 8; p =,75), tedy střední hodnota je EX = n p = 8,75 = 6 a rozptyl DX = n p (1 p) = 8,75,5 = 15. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 6 a rozptyl σ = DX = 15 vypočtené v předchozí části. X Bi(8;,75) přibližně X No(µ = 6; σ = 15), U = X 6 P (X 55). = P (X > 5,5) = P 15 ( U > 5, ).= P (U > 1,) = 1 Φ( 1,) = = 1 (1 Φ(1,)) = Φ(1,). =,9. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > 3) = 1 F (3)? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 (P (X < 3) + P (X = 3)) = 1 F (3) P (X = 3) Rovnost P (X > 3) = 1 F (3) platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = 3) =. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = 3) = p(3) nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X x), pak rovnost P (X > 3) = 1 F (3) platí vždy.)

5 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta C13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -3,3 -, -,5,8, Normální soustava rovnic: 5c + 5c 1 = 3 5c c 1 = 11 c = c 1 = 1, Rovnice přímky je y = + 1,x b) Vysvětlete (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem), proč to, že f(a) a f(b) mají opačná znaménka, u spojité funkce f zaručuje existenci kořene rovnice f(x) = v intervalu a, b, zatímco u nespojité funkce existence kořene zaručena není. Obrázek pro spojitou funkci viz skripta. Nespojitá funkce je taková, že její graf je někde přetržený, proto osu x protnout nemusí, i když je jeden koncový bod nad osou a druhý pod osou x.. a) Je dána počáteční úloha y = x 3y, y() = 1. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x =, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + h (k 1 + k ), kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + hk 1 ). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 1 7 ( 6x+9x +e 3x+6 ). f(x, y) = x 3y První krok: x =, y = 1 k 1 = f(; 1) = 3 1 = 1 k = f( +,; 1 +, 1) = = f(,; 1,) =, 3 1, = 1, y 1 = 1 +, (1 + 1,) = 1, Přibližná hodnota řešení v bodě x =, je y = 1,795. Druhý krok: x 1 =,, y 1 = 1, k 1 = f(,; 1,) = 1,168 k = f(,; 1,576) = 1,387 y = 1, +, (1, ,387) = 1,795 Přesná hodnota je y(,) = 1 7 ( 6, + 9, + e 3,+6 ) =. 1,7, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 + x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n =, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1+x ) dx = [x+ x3 3 ]1 1 = 8 3. S by vyšlo stejně při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.

6 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x 3 /8 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží 1 až stovky hodin? Do jaké doby selže 99% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P (1 < X < ) = F () F (1) = 1 e 3 /8 (1 e 13 /8 ) = e 1/8 e 8. =,88. Hledáme x, pro které je P (X < x) =,99: P (X < x) =,99 F (x) =,99 1 e x3 /8 =,99 x = 3 8 ln,1 =. 3,37, tj. přibližně 333 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x3 /8 ) = e x3 /8 ( 3x 8 ) = 3x 8 e x3 /8 ; pro x je f(x) =. EX = x 3x 8 e x3 /8 dx = 3x 3 8 e x3 /8 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π 3/(9Γ(/3)) =. 1,786.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ = 15. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje 15 hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Cyril hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,5. Jaká je pravděpodobnost, že v 5 hrách vyhraje jednou až dvakrát? Hraje 6-krát. Náhodná veličina X udává počet výher v 6 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že v 6 hrách vyhraje alespoň -krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 1x až x) = P (vyhraje 1x)+P (vyhraje x) = 5,5,75 + ( 5 ),5,75 3. =,659. X Bi(n = 6; p =,5), tedy střední hodnota je EX = n p = 6,5 = 15 a rozptyl DX = n p (1 p) = 6,5,75 = 11,5. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = 15 a rozptyl σ = DX = 11,5 vypočtené v předchozí části. X Bi(6;,5) přibližně X No(µ = 15; σ = 11,5), U = X 15 11,5 P (X ) =. P (X > 19,5) = P. = 1,91 =,9. ( U > 19, ,5 ).= P (U > 1,3) = 1 Φ(1,3). = b) Může pro distribuční funkci nějaké náhodné veličiny platit F (1) > F ()? Jestliže ano, uveďte příklad náhodné veličiny, pro kterou to platí. Jestliže ne, vysvětlete, proč to platit nemůže. Nerovnost F (1) > F () platit nemůže, protože F (1) = P (X < 1) a F () = P (X < ). Hodnota F () udává pravděpodobnost většího jevu než F (1), a tedy F () rozhodně nemůže být menší než F (1). Přesněji: F () = P (X < ) = P (X < 1) + P (1 X < ) = F (1) + P (1 X < ) F (1), }{{} a tedy nemůže být F (1) > F ().

7 Semestrální písemka BMA3 - termín varianta D13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň na 3 desetinná místa. 1. a) Metodou nejmenších čtverců aproximujte funkci danou tabulkou bodů pomocí přímky. Nalezenou přímku pak načrtněte spolu se zadanými body. x i y i -,3-1,3,6, 3,3 5,5 Normální soustava rovnic: 6c 3c 1 = 8 3c c 1 = 3, Rovnice přímky je y =,11 + 1,55x. c =,11 c 1 = 1, b) U Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = volíme počáteční aproximaci x tak, aby f(x ) a f (x ) měly stejná znaménka. Za jakých předpokladů tato podmínka skutečně zaručí konvergenci a proč? Vysvětlete geometrický význam této podmínky (nakreslete obrázky a doplňte vhodným komentářem). Viz skripta (Fourierova podmínka) a obrázky ze cvičení.. a) Je dána počáteční úloha y = 3x y, y(1) =. Vypočtěte přibližnou hodnotu řešení v bodě x = 1, řešte s krokem h =, modifikovanou Eulerovou metodou y i+1 = y i + hk, kde k 1 = f(x i, y i ), k = f(x i + h, y i + h k 1). Výsledek pak porovnejte s přesným řešením přesné řešení je y = 6 6x + 3x e x+1. f(x, y) = 3x y První krok: x = 1, y = k 1 = f(1; ) = 3 1 = 1 k = f(1 +, ; +,1 1) = = f(1,1;,1) = 3 1,1,1 = 1,53 y 1 = +, 1,53 =,36 Druhý krok: x 1 = 1,, y 1 =,36 k 1 = f(1,;,36) =,1 k = f(1,3;,57) =,566 y =,36 +,,566 =,8185 Přibližná hodnota řešení v bodě x = 1, je y =,8185. Přesná hodnota je y(1,) = 6 6 1,+3 1, e 1,+1. =,81, chyba je přibližně b) Vypočtěte (přesně) 1 1 (1 x ) dx. Kdybychom tento integrál vypočítali přibližně Simpsonovou metodou pro n =, byl by získaný výsledek menší, větší, nebo stejný jako přesná hodnota? Odpověď zdůvodněte, např. pomocí obrázku. 1 1 (1 x ) dx = [x x3 3 ]1 1 = 3. S by vyšlo stejně při použití Simpsonovy metody nahrazujeme integrovanou funkci interpolačním polynomem. stupně neboli parabolou. Protože integrovaná funkce je polynom. stupně, Simpsonovou metodou dostaneme přesný výsledek.

8 3. a) Životnost určitého typu součástek (měřená ve stovkách hodin) je náhodná veličina X s distribuční funkcí { 1 e x 3 /7 pro x >, F (x) = pro x. Jaká je pravděpodobnost, že součástka vydrží až 3 stovky hodin? Jakou dobu životnosti překročí 95% součástek? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny X? Jen zapište, jak by se střední hodnota vypočítala (konkrétně pro tuto náhodnou veličinu, ne zcela obecný vzorec), ale dál už nepočítejte! P ( < X < 3) = F (3) F () = 1 e 33 /7 (1 e 3 /7 ) = e 8/7 e 1. =,376. Hledáme x, pro které je P (X > x) =,95: P (X > x) =,95 1 F (x) =,95 F (x) =,5 1 e x3 /7 =,5 x = 3 7 ln,95 =. 1,115, tj. přibližně 11 hodin. EX = xf(x) dx. Známe F, hustotu f vypočteme jako f(x) = F (x): Pro x > je f(x) = (1 e x3 /7 ) = e x3 /7 ( 3x 7 ) = x 9 e x3 /7 ; pro x je f(x) =. EX = x x 9 e x3 /7 dx = x 3 9 e x3 /7 dx ( Ručně by se tento integrál vypočítat nepodařilo, primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Pomocí počítače dostaneme výsledek π 3/(3Γ(/3)) =.,679.) b) Uveďte příklad náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s λ =. Například náhodná veličina udávající počet hovorů, které přepojí telefonní ústředna během hodiny, jestliže průměrně přepojuje hovorů za hodinu. Obecně: X... počet událostí za jednotku času, jestliže průměrně nastává λ událostí za jednotku času (další předpoklady, které musí být splněny, viz skripta nebo přednášky).. a) Daniel hraje Hledání min. Pravděpodobnost výhry je v každé hře,. Jaká je pravděpodobnost, že ve hrách vyhraje jednou až dvakrát? Hraje 1-krát. Náhodná veličina X udává počet výher ve 1 hrách. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Jaká je pravděpodobnost, že ve 1 hrách vyhraje nanejvýš 19-krát? Použijte normální rozdělení s korekcí. P (vyhraje 1x až x) = P (vyhraje 1x) + P (vyhraje x) =,,8 3 + ( ),,8 =,563. X Bi(n = 1; p =,), tedy střední hodnota je EX = n p = 1, = a rozptyl DX = n p (1 p) = 1,,8 = 16. Pro výpočet použijeme střední hodnotu µ = EX = a rozptyl σ = DX = 16 vypočtené v předchozí části. X Bi(1;,) přibližně X No(µ = ; σ = 16), U = X P (X 19) =. ( P (X < 19,5) = P U < 19,5 16 ).= P (U <,1) = Φ(,1) = = 1 Φ(,1). = 1,58 =,5. b) Musí pro každou náhodnou veličinu X platit P (X > ) = 1 F ()? Nebo to platí jen pro některý typ náhodných veličin? Nebo to neplatí vůbec? Odpověď zdůvodněte. P (X > ) = 1 P (X ) = 1 (P (X < ) + P (X = )) = 1 F () P (X = ) Rovnost P (X > ) = 1 F () platí pro spojité náhodné veličiny, protože pro spojitou náhodnou veličinu je P (X = ) =. Pro diskrétní náhodné veličiny vztah platit může a nemusí, záleží na tom, zda je P (X = ) = p() nenulová. (Jestliže však pracujeme s definicí distribuční funkce F (x) = P (X x), pak rovnost P (X > ) = 1 F () platí vždy.)