Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:
|
|
- Ilona Pavlíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému výroku přiřazujeme pravdivostní hodnotu 1 (p, true), nepravdivému výroku přiřazujeme pravdivostní hodnotu 0 (n, false). Příklady A: 8 je liché číslo. Nepravdivý výrok (ph(a) = 0) B: Praha je hlavní město. Pravdivý výrok (ph(b) = 1) C: 2+3 = 5 Pravdivý výrok (ph(c) = 1) Máš úlohu? Piš! Není výrok Není výrok Hypotéza je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout o pravdivostní hodnotě, ale jistě některá z možností 1, 0 nastává. (Např.: bude pršet.) Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: a) Matematika patří mezi humanitní vědy. b) V roce 2015 vyřeší vědci problém globálního oteplování Země. c) Žádné sudé číslo není prvočíslo. d) Absolutní hodnota reálného čísla je vždy kladné číslo. e) Kolik existuje přirozených čísel? f) Nečiň druhým to, co nechceš, aby tobě činili. g) Einstein zformuloval teorii relativity. h) Matematické poučky jsou pravdivé výroky. Negace výroku Negace výroku V je výrok Není pravda, že V ; negaci označíme pravdivostní hodnotu výroku. Příklad: V (V, nonv ). Negace mění A: Praha je hlavní město. A: Není pravda, že je Praha hlavní město. zkrácená verze negace: A: Praha není hlavní město. Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Situaci znázorníme v tabulce pravdivostních hodnot. A A Poznámka. Obsahuje-li výrok jednu z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. 1 Výukový materiál pro předmět Matematika
2 Příklad 2. Negujte výroky (negaci vyslovte ve zkrácené formě). Rozhodněte o pravdivosti výroků. Máme právě hodinu matematiky. Matematika je považována za královnu věd. Rozdíl dvou přirozených čísel je opět přirozené číslo. Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla je nezáporné číslo. Přímka je jednoznačně určena dvěma různými body. Za dvacet let budeme běžně přistávat na Měsíci. Za domácí úkol jsme dostali dva obtížné příklady. Příklad 3. Vyberte správné negace daných výroků V: Mám hlad. V: Není pravda, že mám hlad. V: Mám jen na něco chuť. V: Nemám hlad. V: Mám žízeň. V: Přirozené číslo 4 je sudé. V: Přirozené číslo 4 není sudé. V: Přirozené číslo 4 je liché. V:Sudé číslo 4 není přirozené. V: Není pravda, že je přirozené číslo 4 sudé. V: Není pravda, že přirozené číslo není sudé. Příklad 4. Určete, které výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu. (Jsou pravdivé/nepravdivé.) Číslo 6 je kladné. Není pravda, že číslo 6 není kladné. Není pravda, že číslo 6 je kladné. Je pravda, že číslo 6 není kladné. Je pravda, že číslo 6 je kladné. Číslo 6 je záporné. Číslo 6 není záporné. Číslo 6 je nezáporné. Je pravda, že číslo 6 není nezáporné. Není pravda, že číslo 6 není nezáporné Kvantifikované výroky Kvantifikované výroky vypovídají o určitém počtu, množství čísel, objektů, prvků aj. Slova všechna, každý, žádný, existuje aspoň n, existuje nejvýš n, existuje právě n nazýváme KVANTIFIKÁTORY. 2 Výukový materiál pro předmět Matematika
3 Kvantifikátory dělíme na dvě skupiny: a) obecné - každý, všichni (značí se ) nebo žádný b) existenční existuje aspoň jeden (značí se ) Přečtěte následující výrok: n N, n 1, k N, k < n Ke každému přirozenému číslu n, které je různé od jedné, existuje aspoň jedno přirozené číslo k, které je menší než číslo n. n N, m N, m n, m > n Význam kvantifikátorů (počet prvků, který kvantifikátory určují) a jejich negace: Kvantifikátor Počet prvků Negace každý je všechna přirozená čísla aspoň jeden není žádný není 0 aspoň jeden je je aspoň n n a více je nejvýš n 1 je nejvýš n n a méně je aspoň n + 1 je právě n n není právě n nebo je nejvýš n 1 nebo je aspoň n + 1 Příklad 5. Vyhledejte v následujícím textu kvantifikátory a vyjádřete je pomocí výše uvedených matematických kvantifikátorů. Ve třídě 1A je přesně 30 žáků. Všichni se učí nejméně dva cizí jazyky. Minimálně tři z nich ovládají více než dva jazyky, protože docházejí ještě do jazykové školy. Během školní docházky musí žáci zvládnout více než 2000 slovíček, z toho nejméně 20% patří odborné terminologii. Stává se, že někteří žáci požadavky nezvládají a musí někdy vyhledat pomoc vyučujících. Cvičení 1. Negujte výroky: Angličtinu studuje aspoň 20 žáků. Vstupné stojí nejvýš 100 Kč. V testu bylo 6 úloh. Každý žák OA se učí angličtinu. Žádný neví, kde jsou Domažlice. Angličtinu studuje nejvýš 19 žáků. Vstupné stojí aspoň 101 Kč. V testu nebylo 6 úloh. nebo V testu bylo nejvýš 5 úloh nebo tam bylo aspoň 7 úloh. Aspoň jeden žák OA se angličtinu neučí. Aspoň jeden ví, kde jsou Domažlice. 3 Výukový materiál pro předmět Matematika
4 Poznámka: V běžné řeči bychom negaci posledních dvou výroků vyslovili trochu jinak: Někteří žáci OA se angličtinu neučí. Někdo ví, kde jsou Domažlice. Příklad 6. Negujte výroky: Aspoň 5 žáků mělo z testu z MAT výbornou. Za hodinu spočítám nejvýš 8 příkladů. Každý žák ovládá negace výroků. S domácím úkolem neměl žádný žák problém. Vyučovací hodina trvá 45 minut. Všichni rodiče přišli na třídní schůzku včas. Cesta autobusem trvá nejvýš 10 minut. Na jízdenku potřebuji aspoň 50 Kč. Příklad 7. Vyhledejte v následujících výrocích kvantifikátory a výroky negujte: Nikdo o tom nevěděl. Všichni s návrhem souhlasili. Něco jsem slyšel. Na cestu na nádraží máme maximálně 20 minut. Přijdeme minimálně 4. Někteří studenti přednášku neslyšeli. Nikdo neodporoval. Něco se mi na řešení úlohy nelíbí. Úlohy Negujte výroky. a) Cosi mě probudilo ze spaní. b) Někdo se hlasitě smál. c) Nikdo mi nerozuměl. d) Všichni dělali, že nevidí, neslyší. e) Někteří žáci pojedou na lyžařský výcvik f) Lyžařský výcvik je pro všechny žáky povinný. g) Mohu ti půjčit nanejvýš 30 korun. 4 Výukový materiál pro předmět Matematika
5 h) Dnes ve třídě chybí 4 žáci. i) Mám nějaké pochybnosti o správnosti navrženého řešení. j) Kdosi na mě volal. k) Něco mě napadlo. l) Nikdo neudělal hrubou chybu. m) Někteří žáci spoléhají na pomoc spolužáků. n) TBT připravuje minimálně 15 žáků. o) Nikdo mi neodporoval. p) Něco se ti zdálo. q) Nic jsem neříkal. Složené výroky Výroky můžeme rozdělit do dvou skupin: jednoduché (elementární, atomární) nelze je rozdělit na další výroky, jsou tvořeny jednoduchými oznamovacími větami složené lze je rozložit na atomární výroky spojené logickými spojkami - souvětí Příklad 8. Rozhodněte, zda jsou dané výroky jednoduché nebo složené. Složené výroky rozložte na výroky jednoduché a nejděte logické spojky. 1) Petr je žákem 1. ročníku střední školy. 2) Petr studuje angličtinu a němčinu. 3) Jestliže se Petr na základní škole neučil angličtinu, pak se ji musí učit na střední škole. 4) Do kina půjdu, jen když budu mít hotové úkoly. 5) Absolutní hodnota každého reálného čísla je číslo nezáporné. 6) Každé přirozené číslo může být sudé nebo liché. 7) Trojúhelník je pravoúhlý jen tehdy, když pro jeho strany platí Pythagorova věta. 8) Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. 5 Výukový materiál pro předmět Matematika
6 V hovorovém i spisovném jazyce používáme velké množství spojek. Jazyk výrokové logiky používá pěti základních spojek: Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vznikne výrok Nazývá se výrok A neplatí není pravda, že A (A ) negace výroku A platí oba výroky A, B a, a zároveň, a současně, i A B konjunkce výroků A, B platí aspoň jeden z výroků A, B pokud platí A, platí i B (platnost A však není podmínkou) výroky A, B mají stejnou pravdivostní hodnotu nebo (v nevylučovacím smyslu) jestliže, pak když, potom... li, právě tehdy, když tehdy a jen tehdy, když A B disjunkce výroků A, B A B implikace (A implikuje B) A B ekvivalence výroků A, B Příklad 9. Pojmenujte následující složené výroky: Je zima a prší. konjunkce Sečteme-li dvě přirozená čísla, je výsledek opět přirozené číslo. Na výlet pojedeme vlakem nebo autobusem. Pomeranče si koupím jen tehdy, když nebudou mandarinky. Nebude-li pršet, nezmoknem. Hustě prší, ba dokonce hřmí. Na večírek půjdu, jen když nepůjde Karel. Pravdivostní hodnoty složených výroků Pravdivostní hodnoty složených výroků zobrazíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. A B A B A B A B A B Výukový materiál pro předmět Matematika
7 Poznámka. Konjunkce je pravdivá jen tehdy, když jsou pravdivé všechny výroky. Disjunkce je pravdivá, je-li aspoň jeden z výroků pravdivý. Implikace je nepravdivá jen tehdy, když z pravdivého předpokladu (A) vyplývá nepravdivé tvrzení, jinak je pravdivá. (Neplatnost výroku A zaručuje platnost implikace A B) Ekvivalence je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Příklad 10. Přečtěte následující matematické zápisy jako konjunkci, disjunkci, implikaci nebo ekvivalenci a určete pravdivostní hodnotu výroků. a) = = 660 b) c) 4 < 2 < 0 d) Příklad 11. Rozhodněte o pravdivosti implikací: a) Jestliže je 2 2 = 5, pak je 4 = 1. b) Jestliže je , pak je 3 2 = 9. c) Jestliže je 15: 5 = 3, pak je =. d) Jestliže je 64 = 9, pak je 25 = 7. e) Jestliže je 3 4 = 13, pak je Pythagoras žákem OA. f) Je-li 13 sudé číslo, pak se Austrálie nachází na severní polokouli. g) Jestliže je 16 = 4 a 3 2 = 8, pak je 2 3 = 9. h) Jestliže je číslo 3 liché a číslo 2 je prvočíslo, pak je číslo 7 sudé. i) Jestliže je 3 < 4 < 0, pak je dnes 14. září. Příklad 12. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot: A B A A B B A B A A B (B A) A A (B A ) (A ) Výukový materiál pro předmět Matematika
8 Výroková formule Výroková formule se skládá z výrokových proměnných (označují jednotlivé výroky), logických symbolů nebo závorek. [Např.: (A B) (C A)] Pravdivostním ohodnocením výrokové formule rozumíme tabulku pravdivostních hodnot, kterých může formule nabývat v závislosti na pravdivostních hodnotách atomárních výroků, které se ve formuli vyskytují. Cvičení 2. Sestavte tabulku pravdivostních hodnot formule (A B) (C A). Ve formuli se vyskytují 3 výrokové proměnné A, B, C. Tabulka pravdivostních hodnot bude tedy obsahovat 8 řádků ( 2 3 řádků), v nichž zkombinujeme všechny možnosti pravdivostních hodnot proměnných A, B, C. Vyplníme ještě dva pomocné sloupce pro formule A B, C A, abychom snadněji určili pravdivostní hodnoty celé formule. A B C C A B C A (A B) (C A) Mezi výrokovými formulemi se vyskytují takové, které jsou vždy pravdivé (nezáleží tedy na pravdivostních hodnotách výrokových proměnných). Tyto formule nazýváme TAUTOLOGIE. Mezi výrokovými formulemi se vyskytují takové, které jsou vždy nepravdivé (nezáleží tedy na pravdivostních hodnotách výrokových proměnných). Tyto formule nazýváme KONTRADIKCE. Příklad 13. Vyhledejte mezi výrokovými formulemi tautologie, kontradikce. a) ( A B ) A b) ( A B) B c) ( ) A B A B A B ( ) A B A A B ( ) A B A A B B A B A B A ( ) 8 Výukový materiál pro předmět Matematika
9 Obrácená a obměněná implikace Implikaci B A nazýváme implikací obrácenou k implikaci A B Implikaci B A nazýváme implikací obměněnou k implikaci A B. A B A B A B B A B A Je vidět, že implikace a obměněná implikace mají stejné pravdivostní hodnoty ve všech řádcích tabulky. Takové formule nazýváme ekvivalentními formulemi (můžeme jednu z nich nahradit druhou). Poznámka. Implikace a obrácená implikace nejsou ekvivalentní formule! Příklad 14. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot, vyhledejte ekvivalentní formule. X Y X Y X Y (X Y) X Y X Y X Y (X Y ) X Y X Y Příklad 15. Rozhodněte, zda formule Z (X Y ), X Y Z vyjadřují totéž jako formule (X Z) Z, (X Z ) Y, (Z Y) X 9 Výukový materiál pro předmět Matematika
10 Příklad 16. Vyslovte obměny a obrácené implikace: Zajíždí-li řidič k chodníku, dává znamení o směru jízdy. Je-li vozovka dostatečně osvětlena, nejede řidič s dálkovými světly. Jestliže je řidič předjížděn, nezvyšuje rychlost vozidla. Negace složených výroků Příklad 17. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot a najděte ekvivalentní formule. A B A B A B (A B) A B (A B) A B (A B) A B A B A B Příklad 18. Zformulujte věty o negaci složených výroků: Negací konjunkce je Negací disjunkce je Negací implikace je Příklad 19. Odvoďte vzorec pro negaci ekvivalence, když víte, že A B (A B) (B A) 10 Výukový materiál pro předmět Matematika
11 Příklad 20. Negujte složené výroky: Je chladno a vlhko. Není chladno nebo není vlhko. Půjdu cvičit nebo do kina. Nepůjdu cvičit, ani nepůjdu do kina. Když budu mít čas, budu se dívat na televizi. Budu mít čas a nebudu se dívat na televizi. Do kina půjdu jen tehdy, když nepůjde Martin. Půjdu do kina a Martin půjde do kina nebo nepůjdu do kina a Martin nepůjde do kina. Mám hlad a žízeň. Pojedu vlakem nebo autobusem. Když napadne dost sněhu, pojedeme na hory. Na kole pojedeme jen tehdy, když nebude pršet. Když se oteplí, sejdeme se u školy a vyrazíme na výlet. Příklad 21: Negujte složené výroky: Včera byla bouřka, přívalový déšť a krupobití. Mám chuť na těstoviny nebo zeleninový salát. Nebude-li pršet, nezmoknem. Dnes se nebudu učit, ani nepůjdu cvičit. Odbočuje-li řidič vlevo, dává přednost protijedoucím vozidlům. K lékaři půjdu jen tehdy, když mi neklesne teplota. Pes, který štěká, nekouše. Když bude pršet nebo sněžit, zůstanu doma a budu si číst. Když nepřijede návštěva, mohu jít na procházku nebo do bazénu. Přijde Honza nebo Dana a určitě nepřijde Jitka. 11 Výukový materiál pro předmět Matematika
12 Sportovního kurzu se zúčastním jen tehdy, nebude-li program příliš náročný. Mám hlad a žízeň a nemám dost peněz na nákup potravin. Úlohy Negujte výroky a) b) 10 3,5 14 c) Trojúhelník je pravoúhlý právě tehdy, když platí Pythagorova věta. d) Shodují-li se trojúhelníky ve dvou úhlech, jsou podobné. e) Kružnice jsou shodné právě tehdy, když mají stejný poloměr. f) Je-li součin dvou čísel roven nule, je aspoň jedno z nich rovno nule. g) Je-li součin dvou čísel kladný, jsou obě čísla kladná nebo obě záporná. h) Množiny nazýváme disjunktní, jestliže je jejich průnikem prázdná množina. i) Jestliže chcete jet na výlet vlakem, musí vás být aspoň 5. j) Jestliže každý spočítá jeden příklad, bude vám úkol trvat nejvýš 15 minut. k) Když chcete přijet včas, může vám cesta vlakem trvat nejvýš 65 minut nebo autobusem nejvýš 45 minut. l) Je-li = 5, pak je 35 : 5 = 8 a 2 6 = Výukový materiál pro předmět Matematika
λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceSLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:
ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.
Více1 Výrok a jeho negace
1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceM - Výroková logika VARIACE
M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Více[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]
Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceVýroková logika se zabývá výroky.
ARIP 2 Cv. 2 Výroková logika se zabývá výroky. Výroková logika je vyjadřovací prostředek matematiky Výrok je každá dobře srozumitelná oznamovací věta, u které má smysl ptát se, zda je pravdivá nebo nepravdivá.
Více1. Výroky a operace s nimi
1. Výroky a operace s nimi 1. Rozhodněte, zda se jedná o výrok, případně určete, zda je pravdivý či nepravdivý: a) Úhlopříčky čtverce nejsou navzájem kolmé. b) Existuje trojúhelník, který je rovnoramenný.
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceVýroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceVýrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.
Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku
Více1.4.6 Negace složených výroků I
1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat
Více1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence
1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence Předpoklady: 1401, 1402 Pedagogická poznámka: Látka zabere spíše jeden a půl vyučovací hodiny. Buď můžete využít písemku nebo se podělit o čas s následující
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
VíceSložené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceM - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření výukového materiálu povoleno pouze s uvedením odkazu na http://www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument
VíceBakalářská matematika I
do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,
Více( ) ( ) Negace složených výroků II. Předpoklady:
1.4.7 Negace složených výroků II Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Na začátku hodiny slovně zadávám úkol najít negaci implikace. Teprve po zapsání do třídnice promítám zadání příkladů (kde je v
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Více- existuje..., negace: pro všechny neplatí,... - pro všechna..., negace: existuje, že neplatí,...
.4.0 Formální logika shrnutí Předpoklady: 00409 Shrnutí logiky Důležité znalosti konjunkce, a b, "a", pravda, jen když jsou oba výroky pravdivé (jako průnik) disjunkce, a b, "nebo", lež, jen když jsou
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceNepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této
1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více1.4.6 Stavba matematiky, důkazy
1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším
VíceCvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
Více09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePo prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,
1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
VíceČíselné obory, množiny, výroky
11.1. Číselné obory, množiny, výroky Předpoklady: Př. 1: Vypiš číselné obory používané ve středoškolské matematice. každého oboru uveď označení a příklad toho, co pomocí daných čísel popisujeme. Každý
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
VíceMatematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz
Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VícePredikátová logika (logika predikátů)
Predikátová logika (logika predikátů) Ve výrokové logice pracujeme s jednoduchými či složenými výroky, aniž nás zajímá jejich struktura. Příklad. Jestliže Karel je studentem, pak je (Karel) chytřejší než
Více1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
VíceSeminář III. Základy logiky a matematiky. Martin Štrobl // Vojtěch Fučík ISS FSV UK
Seminář III. Základy logiky a matematiky Martin Štrobl // Vojtěch Fučík ISS FSV UK 24.10.2016 Základy logiky a matematiky (ISS FSV UK) Seminář III. 24.10.2016 1 / 12 Téma výroková logika Základy logiky
VíceSINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.
Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceKvantifikované výroky a jejich negace
Kvantifikované výroky a jejich negace Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410
VíceVýroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.
m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMATEMATIKA I. Marcela Rabasová
MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.
VícePříklad z učebnice matematiky pro základní školu:
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Více1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO
FBI VŠB-TUO 15. října 2013 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 Předpokládané znalosti
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceZákladní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
VícePřednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
VíceZáklady informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
VíceÚvod do logiky (VL): 8. Negace výroků
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceLogika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceStudijní text. Co je výroková logika. Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu.
Studijní text Co je výroková logika Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (označujeme také
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceReálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina
Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceLogika, výroky, množiny
Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Více4.9.70. Logika a studijní předpoklady
4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Více